Kombinatorikus batch kódok

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudoányegyete Terészettudoányi Kar Kobinatorius batch ódo Szadolgozat Készítette: Tardos Jaab Téavezetõ: Fran András Budapest, 016.

2 Köszönetnyilvánítás: Szeretné egöszönni téavezetőne, Fran Andrásna, segítségét és útutatását a téaörben és a ateatiában általában. 1

3 Tartalojegyzé 1. Bevezető 3. Alapo 3 3. Optiális ódo nagy n esetén 6 4. Optiális ódo is esetén A = eset 0 6. Optiális ódo is n esetén 0 7. Transzverzális atroido 8 8. Unifor batch ódo Batch ódo affin síoból Optiális ódo t 1 esetén Összefoglalás 46

4 1. Bevezető A batch ódo optializálása a ódelélet egy újabban egjelent érdésöre. A feladatot egy inforatiai probléa otiválja: egy nagy éretű adatbázist ell szervere segítségével leódolni úgy, hogy az felhasználó száára elérhető legyen a szervere túlterhelése nélül. A szadolgozat a batch ódo egy speciális változatáról, a obinatorius batch ódoról szól. Ez, a nevéne egfelelően, ár egy teljesen obinatoriai feladat. A batch ódoat a. fejezetben precízen definiálju, int adott paraéterehez tartozó speciális adottságoal rendelező, adott tulajdonságú halazrendszere. Eor a feladat a halzarendszer össz-éreténe inializálása. Az optiális obinatorius batch ódo éretére ég ne isert egoldás általános paraétere ellett. Ezért a dolgozat nagy részében a paraétere speciális beállításai ellett vezetjü le az optiális ód éretét. Eözben ülönböző ódszereet és egfigyeléseet utatun be a batch ódo tanulányozására. A 3. fejezetben levezetün egy általános alsóbecslést a batch ódo éretére, ait néhány onstrucióval el is érün rendívül nagy adatbáziséret esetén. Valaint beutatun egy apcsolatot a obinatorius batch ódo és a onstans súlyú bináris Haing ódo özött. A 4. fejezetben optialitás-tartó transzforációal egyszerűsítjü az iseretlen optiális ód strutúráját, aíg elég önnyen ezelhető lesz, hogy éles alsó becslést bizonyítsun a éretére. A 6. fejezetben, többe özött, bevezetün egy irányított segédgráfot, aelyen átláthatóvá váli a batch ódo strutúrája egy egyszerű esetben. Ezen ívül beutatju a is adatbázis esetén isert optiális egoldásoat. A 7. fejezetben a batch ódo transzverzális atroidjait vizsgálju, és enne a ódszerne a segítségével apun is egy alternatív bizonyítást az előző fejezet legnehezebb tételére. A 8. fejezetben röviden beutatju az unifor batch ódo feladatörét. A 9. fejezetben a véges teste feletti affin síoat alapul véve onstruálun érdees batch ódoat. Eze a paraétere egy eddig feltérépezetlen állása ellett adna optiális értéeet és utatjá eg a 3. fejezetben iondott alsóbecslés élességét. A dolgozat célja, hogy összefoglalja a téaörben eddig elért eredényeet és szeléltesse a batch ódo optializásána ülönböző trüjeit és ódszereit.. Alapo A batch ódo fogalát először Y. Ishai, E. Kushiletitz, R. Ostrovsy és A. Sahai vezetté be 004-es ciüben [13], ahol a övetező probléát vetetté fel: Tegyü fel, hogy egy adatbázis n tárgyat (vagy bitet tárol, elye egy Σ ábécé eleei. A tárolt adatoat elérhetővé szeretnén tenni felhasználó száára. Enne érdeében a tárgyaban tárolt inforációt leódolva szétosztju darab szerver özött (szintén Σ-beli betűel ódolun. Egy felhasználó egyszerre legfeljebb darab tárgyat szeretne egteinteni, viszont ne szeretnén, hogy a szervere terhelése túl nagy le- 3

5 gyen. Ez oból iötjü, hogy inden felhasználó inden szerverről legfeljebb t tárgyat olvashat le. Ha például t, aor egyszerű dolgun van, hiszen a tárgyaat ind ráírhatju egy szerverre és így se ütözün probléába, hiszen egy felhasználó ne tud annyi tárgyra ráérdezni, hogy túlterhelje az egyetlen szervert. A ási véglet, ha n, azaz elég szerver áll a rendelezésünre, hogy inden egyes tárgy ülön szervert apjon. Eor a szervere terhelése legfeljebb egy lehet, ert csa egy-egy tárgyat tárolna. A batch ód éreténe ondju a szervereen tárolt összes inforációt és N-nel jelöljü. Egy batch ód rátája n/n és általában egy batch ód annál jobb, inél nagyobb a rátája. A feladat általában adott (n,,, t, Σ ellett a lehető legisebb N egtalálása. A fent elített eseteben elértü az 1 rátát, ait terészetesen ne lehet eghaladni. Azonban az általános esetben a feladat ennél soal bonyolultabb. Defíniálju precízen a batch ódo fogalát. A triviális eset izárásána érdeében iötün néhány egyszerű összefüggést a változó özött..1. Definíció ([13]. Legyene n,, és t egészszáo, aire 1 t és t n. Továbbá legyen Σ egy véges ábécé. Legyen x 1 x...x n Σ n betűsorozat leódolva az y 1, y,..., y Σ tetszőlegesen hosszú betűsorozatoal. Ezt batch ódna hívju, ha tetszőleges i 1, i,..., i {1,..., n} indexhalaz esetén x i1, x i,..., x i deódolható y 1, y,..., y néhány betűjéből úgy, hogy inden y i betűsorozatból legfeljebb t betűt használun. Ezután ét egyszerűsítést végzün a defíniált feladaton. Ellőször is, a leódolásna csa egy nagyon egyszerű fajtájával fogun foglalozni: a ásolás-alapú ódolással. Azaz az adatbázis tárgyait egyszerűen átásolju a szervere egy részére. Az inforáció a felhasználó által való deódolása eor egyszerű olvasás, aine feltétele annyi, hogy a iolvasott betű özött ott legyen a eresett tárgy ásolata. Ezzel egy teljesen obinatoriai feladatot aptun és az ilyen batch ódoat oinatorius batch ódona nevezzü. A defínicióju az eredetinél lényegesen egyszerűbb, például egfigyelhető, hogy független lesz a Σ ábécétől, ezért ezt el is hagyju... Definíció ([14]. Legyene n,, és t egészszáo, aire 1 t és t n. Legyen X = {x 1, x,..., x n } a tárgya halaza. Y 1, Y,..., Y X szervere obinatorius batch ódot alotna, ha tetszőleges {i 1, i,..., i } indexhalazra létezne Z 1 Y 1, Z Y,..., Z Y iolvasandó részhalazo, hogy i : Z i t {x i1, x i,..., x i } Z i. Eor a ód érete N = Y i és CBC(n, N,,, t-vel jelöljü. Adott (n,,, t ellett a lehető legisebb N jelölése N(n,,, t. 4

6 Itt a obinatorius batch ódot int egy speciális tulajdonsággal rendelező halazrendszert defíniáltu. Egy batch ód egadható a duális halazrendszerével is [10], a övetezőéppen. A változóat a fenti definícióval azonos ódon ötjü eg. Legyen Y = {y 1, y,..., y } a szervere halaza. Egy obinatoriai batch ód duális rendszere F 1, F,..., F n Y, ahol F i azon szervere halaza, aelye tároljá x i tárgy egy példányát a ódban. A obinatorius batch ódo ilyen egadása so esetben hasznosabbna bizonyul int az eredeti, ezért száos ci ezt használja. Mi egy gráfoon alapuló reprezentációt fogun használni a dolgozat során. Adott obinatorius batch ód esetén definiálun egy G páros gráfot az (S, T csúcsosztályoon. S = a szervere halaza és T = n az adatbázis tárgyaina halaza. Egy adott pár aor van benne az E élhalazban, ha az adott szerver tárolja az adott tárgy egy ásolatát. A batch ódo helyessége önnyen átfogalazható a reprezentáló párosgráfra..3. Állítás. Egy G = (S, T ; E párosgráf pontosan aor reprezentál egy CBC(n, N,,, t-t, ha S =, T = n, E = N és tetszőleges éretű X T halazhoz létezi egy részgráf G-ben, aine inden S-beli foszáa legfeljebb t és inden X-beli foszáa legalább egy (feltehető, hogy pontosan egy. Eor az egyszerűség edvéért azt ondju, hogy G egy batch ód, ahelyett hogy G egy batch ódot reprezentál. Ebből a grafius reprezentációból iolvasható, a batch ód ási ét reprezentációja. A definíció szerinti Y i halazo egjelenne, int az S-beli csúcso szoszédságai, a duális halazrendszer (az F i halazo pedig egjelenne, int a T -beli csúcso szoszédságai. (G-ben egy csúcsot egy ási csúcs szoszédjána nevezün, ha a ettő özött fut él. Enne egfelelően egy u S T csúcs szoszédsága azon csúcso halaza, ai össze vanna vele ötve. Ezt Γ(u-val jelöljü. Egy X S T halaz szoszédsága Γ(X = u X Γ(u. Ha Γ(X = {v}, azt ondju, hogy Γ(X = v. Ha X T, Γ(X S és fordítva. Γ(u = d(u u foszáa vagy foa. A ásodi egyszerűsítés az, hogy a ci nagy részében a t = 1 esettel fogun foglalozni. Ezt ajdne inden batch ódoal foglalozó ci így teszi, ivel ez a speciális eset is nehéz és ély probléaört taar. Ezzel leegyszerűsítjü a jelölést is: Legyen CBC(n, N,,, 1 = CBC(n, N,, és N(n,,, 1 = N(n,,. Enne ellenére visszatérün az általános esetre az utolsó fejezetben. A t = 1 esetben az 1.1 állításban jellezett részgráf pontosan egy X-et fedő párosítás lesz. A Hall tétel segítségével a ód szabályosságána egy nagyon hasznos evivalens feltételéhez jutun, ai egalapozza szinte az összes optialitási bizonyítást..4. Állítás ((Hall feltétel[14]. G párosgráf pontosan aor batch ód, ha inden i éretű X T halazra Γ(X X. 5

7 Bizonyítás. A feltétel láthatóan szüséges, ert ha egy X halazra ne teljesül, aor seilyen X-et tartalazó halaz ne fedhető párosítással. Ha viszont teljesül a Hall feltétel, aor tetszőleges legfeljebb éretű X lefedhető párosítással az X S-re leszűített gráfra alalazott Hall tétel alapján. Ha egy halaz ne teljesíti a rá vonatozó Hall feltételt, aor azt ondju a halaz Hall-hiányos vagy hiányos. Még érdees iondani a Hall feltétel S-re vonatozó evivalens változatát. Egyes bizonyításonál hasznos ezt felírni az eredeti T -re vonatozó Hall feltétel helyett..5. Állítás. G párosgráf pontosan aor batch ód, ha inden i > éretű Y S halazra Γ(Y Y + n. Bizonyítás. Ha X T hiányos halaz, aor Γ(X <, ezért Y = S\Γ(X >, viszont Γ(Y = T \X < n Γ(X = n + Y. Tehát Y = S\Γ(X egszegi az S-re vonatozó Hall feltételt. Hasonlóan belátható, hogy ha Y S hiányos, aor T \Γ(Y is az, így a étféle Hall feltétel ugyanaor teljesül G-n. 3. Optiális ódo nagy n esetén Az első speciális eset, ait egvizsgálun, az -hez épest relative nagy n esete. Az n ( határ felett ár iserte optiális onstrució inden és esetén. E határ alatt is tárgyalun egy özel-optiális onstruciót. A fejezetet egy hasznos általános becsléssel ezdjü. Ez teszi lehetővé a onstrució optialitásána bizonyítását nagy n-e esetén. Kisebb n értéere ne feltételnül éles, bár a 9. fejezetben belátju, hogy végtelen so esetben az. Könnyen látható, hogy a T -ben lévő csúcso foai fölösleges hogy -nál nagyobba legyene. Ha egy CBC(n,, egy t T csúcsából több int él indul i, aor ezen éle özül itörölhetün néhányat úgy, hogy ég darab egaradjon. Eor T -nál isebb részhalazai özül csa a t-t tartalazóna csöenhet a szoszédságána érete, de eze ne sértheti eg a Hall-feltételt, ert Γ(t =. Ebből övetezi, hogy optiális batch ódonál indnen T -beli csúcs foa legfeljebb. [14] Teintsün egy tetszőleges optiális batch ódot. Osszu a T osztályt oponensere a csúcso foszáa alapján: T i azon T -beli csúcso halaza legyen, aelyene foszáa i (1 i. Legyen A i = T i. Eor a batch ód érete N = ia i. 6

8 Valaint n = A i. Végezzün ettős leszálálást az (S, t pároon, ahol S S-ne 1 eleű ( részhalaza, t T és Γ(t S. Tetszőleges t T esetén Γ(t-t S-ne éppen d(t ( 1 d(t darab 1-részhalaza tartalazza. Viszont seelyi S ne tartalazhatja T ülönböző csúcsána a szoszédságát, ert eor ez a csúcs olyan halazt alotna, ai egszegi a Hall feltételt. Ebből a övetező egyenlőtlenség olvasható i: 3.1. Állítás ([14]. 1 ( ( i A i ( 1 1 i 1 [14] Ebből levezethető egy N-re vonatozó alsó becslés. (Megjegyzés: Definíció szerint ( n = 0, ahol < 0 vagy > n, így a fenti egyenlőtlenségben a szua tartoánya iterjeszthető -ig. N = = n ia i = ( ia i + ( ( ia i = n ( 1 ( = n ( ( 1A i ( ( i A i ( i 1 i 1 (( i ( i A i 1 i A i együtthatója inden 1 i esetén nenegatív, ezért a szua alulról becsülhető nullával. Valóban, i = és i = 1 esetén láthatóan ( i 1 i = i. Ezután, ha i-t egyel csöentjü i egyel nő, de ( ( i i 1 i i -vel nő eg. Eor a övetezőt apju: 3.. Becslés ([14]. ( N n ( 1 1 A szuában inden A i együtthatója nenegatív és éppen A és A 1 együtthatója 0. Ez azt jelenti, hogy egy CBC(n,, csa aor teljesítheti egyenlőséggel a 3. becslést, ha inden T -beli csúcs foa vagy 1. Kiderül, hogy ez az n ( 1 ( 1 tartoányban egvalósítható. 7

9 3.3. Konstrució ([14]. S inden 1 éretű részhalazhoz válasszun 1 darab csúcsot T -ből, ai éppen enne a részhalazna a csúcsaival leszne összeötve. (Ezt egtehetjü, ivel T ( 1 ( 1. T aradé csúcsait össü össze S tetszőleges csúcsával. A 3.3 onstrucióban T inden csúcsána foszáa legalább 1, ezért a Hallfeltételt csa éretű halaz szegheti eg. Továbbá, hiányos halaz ne tartalazhat foú csúcsot, így csa darab 1-foú csúcsból állhat. Azonban seelyi 1-foú csúcsna ne egyezi eg pontosan a szoszédsága, ezért inden ilyen halaz szoszédsága legalább éretű. A Hall feltétel ne sérül eg, így a onstrució egy batch ódot alot. A 3.3 onstrució érete N = ( n ( 1 ( ( ( ( + ( 1 ( ( = n ( 1 1 Tehát a ód optiális Tétel ([14]. Ha n ( 1 ( ( 1, aor N(n,, = n ( 1 1. Ez az érté azonban ár ne érhető el ( 1 ( 1 -nél isebb n-ere. Ha n isebb, int ( 1 ( 1, aor a fenti ódszer általánosításával aphatun értées alsóbecslést Becslés ([]. Tetszőleges 1 c 1 egészszá esetén ahol U,,c = ( c( c ( 1 c. N nc ( c(u,,c n, + 1 Bizonyítás. [] Isét a.1 egyenlőtlenséget fogju használni. Azonban ost 1 súlyozzu ( c c -vel. nc = nc N = ia i = (c ia i + 1 (c ia i + (c (c ia i = nc ( 1 ( c c (( 1 i i 1 ( c c (c ia i ( i A i ( 1 1 i c ( 1 A i ( c(u,,c n + 1

10 Itt az utolsó lépésben ihasználtu, hogy A i = n, valaint, hogy ( 1 ( 1 ( 1!( c!(! = ( 1!( + 1!( c! = ( cu,,c + 1 ( c c Majd a ifejezést rendezzü. nc ( c(u,,c n (( i i 1 ( c c c (c i + 1 Az előző esethez hasonlóan itt is igaz lesz, hogy inden A i együtthatója nenegatív, azonban ez evésbé nyilvánvaló. A szuát itt is alulról becsülhetjü nullával Lea. Minden 0 < i esetén, f(i = ( i Bizonyítás. f(i f(i 1 = i 1 ( c c ( i ( i 1 i+1 i ( c c ( c ( i = ( c c c (c i = ( i i 1 ( c c Látható, hogy ez i < c-re pozitív, i = c-re 0 és i > c-re negatív, azaz az f(i ifejezés i = c-ben és i = c 1-ben veszi fel a iniuát. Ezeen a helyeen éppen 0. Ebből a levezetésből az is ijön, hogy egy CBC(n,, csa aor teljesítheti a c-hez tartozó becslést egyenlőséggel, ha inden T -beli csúcs foszáa c vagy c 1. Még eldöntendő érdés, hogy n-től függően elyi c értére a legerősebb a 3.5 becslés. Vizsgálju a c + 1-hez és a c-hez tartozó becslése ülönbségét! = n + n(c + 1 ( c 1(U,,c+1 n + 1 ( c 1 c c 1 U,,c + ( c(u,,c n + 1 c+1 ( 1 c+1 Itt ihasználtu, hogy U,,c+1 = ( 1( nc + ( c(u,,c n + 1 A i = ( (U,,c n + 1 = ( 1( c c c+1 = ( 1 c c U c 1 c 1,,c. Ebből c+1 az is iderül, hogy U,,c onoton nő c-ben. A apott ifejezésből iolvasható, hogy a 3.5 becslés nő aíg n > U,,c, ezután pedig csöen. Így az optiális becslést a legisebb olyan c adja, aire n U,,c. (Kivéve az = esetben. Ezt az esetet ülön tárgyalju. 9

11 3.7. Becslés ([]. Ha és U,,c 1 < n U,,c, aor ( c(u,,c n N nc. + 1 A hányadosna vehetjü az alsó egészrészét, ert N és nc is egész. Speciálisan a c = 1 esetre létezi a 3.7 becslést egyenlőséggel teljesítő onstrució Konstrució ([][9]. A feltétel alapján ( ( n ( 1 1. Először vegyü T darab csúcsát és indegyiet össü össze S egy ülönböző ( 1( 1 n +1 éretű részhalazával. Ezt egtehetjü, ert ( ( 1 1 n ( 1( ( 1 = ( 1( ( = (. Eze a csúcso fogjá alotni T -t. T aradé csúcsaina indegyiét össü össze 1 darab csúcssal iözben vigyázun arra, hogy S seelyi 1 eleű részhalaza se tartalazza darab ülönböző csúcs szoszédságát is. (Ez egy hiányos halaz létezését jelentené T -ben. Tehát S inden S 1 eleű részhalazához válasszun legfeljebb 1 {t T : Γ(t S } darab csúcsot T -ből és ezeet össü össze S inden csúcsával. Az így iválasztott T -beli csúcso alotjá T 1 -et. ( 1 {t T : Γ(t S } + A S S S = 1 ( = ( 1 ( + A + A 1 ( ( ( 1 = ( 1 ( n n Így elérhető, hogy T inden csúcsána foszáa 1 vagy legyen. Megutatju, hogy a fenti onstrució valóban batch ódot alot. Tegyü fel, hogy egy X T csúcshalaz egszegi a Hall feltételt. Mivel T -ben inden csúcs foszáa legalább, ezért Γ(X csa vagy 1 lehet. Γ(X = esetén X ne lehet hiányos, ert inden -foú csúcsna ülönböző a szoszédsága. Γ(X = 1 esetén X ne tartalazhat -nél több csúcsot T -ből, arra pedig vigyáztun T 1 onstruálása során, hogy Γ(X ne tartalazza ülönböző csúcs szoszédságát. A ód érete (n A ( 1 + A ( = n( 1 A = n( 1 ( 1 ( 1 n + 1, 10

12 tehát a ód optiális Tétel ([][9]. Ha ( ( n ( 1 1, aor N(n,, = n( 1 ( 1 ( 1 n + 1 A c = esetben a tartoányna ár csa egy részére isert a.7 becslést egyenlőséggel teljesítő onstrució. A onstrució Haing ódoat használ. Haing ódo [3]. Egy Haing ód azonos ( hosszúságú (0, 1-sorozatoból (ódszavaból álló halaz. Két ódszó Haing-távolsága azon 1 és özötti i száo száa, aelyere igaz, hogy a ét ódszó eltér az i. szájegyben. Általában egy ód esetén egövetelün valailyen iniu távolságot bárely ét ódszó özött. Egy ódszó Haing-súlya a 0-sorozattól való távolsága. A onstrució inél nagyobb éretű onstans súlylú Haing ódoat használ. Ez azt jelenti, hogy inden ódszó súlya azonosan egy előre egszabott érté. Jelölje a legnagyobb -hosszú, w súlyú szavaból álló Haing ód éretét, ahol a ódszava távolsága legalább d, A(, d, w. A onstrucióban speciálisan az A(, 4, 3. Enne pontos értée ne isert, de egy létező becslés A(, 4, w ( 1 w Konstrució. A onstrució az ( ( ( + 1A(, 4, 3 n intervalluban valósítható eg, valaint feltesszü, hogy 5. (A < 5 esetet ülön tárgyalju a övetező fejezetben. ( n Legyen H egy éretű, 4 távolságú, onstans 3 súlyú Haing ód. + 1 Ilyen létezi, ivel ( ( + 1A(, 4, 3 n ( n ( + 1A(, 4, 3 ( n A(, 4, Száozzu S csúcsait 1-től -ig. Eor inden H-beli ódszó teinthető úgy, int S egy részhalazána a araterisztius vetora. Legyen S H S azon részhalazaina a halaza, aelyeet H egy ódszava ír le, int araterisztius vetor. Minden S S H -hoz halazhoz vegyün ét csúcsot, aelyeet éppen enne a halazna a csúcsaival ötün össze. Eze a csúcso alotjá T 3 -at. 11

13 T aradé csúcsaina indegyiét össü össze darab csúcssal úgy, hogy seelyi ilyen csúcs szoszédsága se tartalazzon egy S H -beli halazt és seelyi ét ilyen csúcs szoszédsága ne egyezzen eg pontosan. Ezt egtehetjü, ert inden S H -beli halaz S + 3 éretű részhalazát zárja i, és S + (( S ( + 3 = ( S ( + 1 n, tehát elérhető, hogy T inden csúcsána foszáa 3 vagy legyen. Megutatju, hogy a onstrució valóban batch ódot alot. Tegyü fel, hogy egy X T csúcshalaz egszegi a Hall feltételt. Ha Γ(X < 1, X legfeljebb egy T -beli és legfeljebb ettő T 3 -beli csúcsot tartalaz, így önnyen látható, hogy ne lehet hiányos. Feltehető, hogy Γ(X = 1. Legyen X 3 = T T 3 és X = T T. Ha t 1 X 3, aor Γ(t 1 Γ(X egy 3-részhalaza, így létezi ét darab éretű halaz Γ(X-ben, ai tartalazza. Legyene eze egyie Γ (t 1. Mivel T 3 -at egy 4 távolságú Haing ód alapján definiáltu, és inden ódszóhoz csa ét csúcs tartozi, Γ definiálható úgy, hogy Γ (t 1 Γ (t ülönböző t 1, t X 3 esetén. Továbbá, T onstruciójából látható, hogy Γ (t 1 Γ(t, ha t X. ( 1 1 = {Γ (t : t X 3 } + {Γ(t : t X } Tehát X ne hiányos. A ód érete = X 3 + X = X A ( + (n A ( 3 = n( ( n. + 1 Ez egegyezi a 3.7 alsóbecsléssel, ha 0 ( n < +1 od( +1 és egyel nagyobb nála, ha +1 ( < + 1 od( + 1. Tehát a onstrució optiális az esete felében. ( c isebb értéeire ne isert a.7 becslést egyenlőséggel teljesítő onstrució. n ( + 1A(, 4, 3 alatti értéeire ne isert optiális onstrució általános és ellett, ivéve ha n nagyon icsi, azaz n +. Ezzel az esettel a 5. fejezet foglalozi. 1

14 4. Optiális ódo is esetén A is onstans esete terészetesen adódi speciális esetént a 3. fejezet tételeiből. A = 1,, 3 eseteben az n (, ai felett töéletesen jelleezhető N(n,,, annyira alacsony, hogy feltétel nélül teljesül. Soal tanulságosabb a = 4 eset bizonyítása. Az itt apott éplet az optiális batch ódra nagyon bonyolult: 8 esetet ülönböztet eg n és értéei szerint, és ne olvasható i belőle általánosítható szabály. A 5 esetén ne isert általános optiális batch ód. = 1 esetén önnyen látható, hogy szüséges és elégséges feltétel az, hogy T -ben ne legyen izolált csúcs. Ebből azonnal övetezi erre az esetre az optiális ód érete Tétel. N(n, 1, = n. A = és = 3 esete ár ne ilyen nyilvánvalóa. Azonban eze az esete ég n inden lehetséges értéére iolvashatóa a 3.4 és 3.9 tételeből. Ha =, U,,1 =, így a 3.4 tétel inden esetben alalazható. Behelyettesítve = -t egapju N optiális értéét. 4.. Tétel ([9]. N(n,, = n. Ha = 3, U,3, = és U,3,1 =, így a ét intervalluot ülön ell vizsgálni a.4 illetve a.7 tétel segítségével. Behelyettesítve = 3-at egapju N optiális értéét Tétel ([9]. { n + n 3 N(n, 3, = ha n 3n + ha n A = 4 eset ezehez épest eglepően bonyolult. Ebben az esetben U,4,3 = 3 ( 3 és U,4, = ( (. Tehát ha n, aor a 3.4 és 3.9 tétele segítségével iszáítható az optiális N érté. Ha n 3 ( ( 3, aor N = 4n 3 ( 3 és ha n, aor 3( N = 3n 3 n = 3n n = 3n n. 3 ( 3 3 [9] Ha n < (, aor a CBC(n, 4, -eet strutúrálisan ell vizsgálni. Először ülönböző optailitás-tartó transzforációal egyszerűbbé, ezelhetőbbé tesszü a vizsgált ódot. Definiálju a G = (V, E segédgráfot. V = S és uv E, ha létezi t T, hogy Γ(t = {u, v}. Továbbá legyen Γ(T 1 = V 1 V. Látható, hogy inden V 1 -beli csúcsna pontosan egy szoszédja van T 1 -ben. Fogalazzu eg a Hall feltételt a G gráfra. (a Nincs hároszoros él. 13

15 (b Párhuzaos éle végpontja ne lehet V 1 -ben. (c Párhuzaos éle végpontja ne lehet 1 távolságra V 1 -beli csúcstól. (d Seelyi csúcsból ne indulhat i ét ülönböző párhuzuaos élpár. (e Hároszög egyi oldala se lehet párhuzaos él. (f Két V 1 -beli csúcs ne lehet szoszédos és szoszédságu (a G gráfban diszjunt. (g Hároszög egyi csúcsa se lehet V 1 -ben. Ha eze a feltétele ind teljesülne, aor a G gráf által eghatározott T 1 és T halazu önaguban ne szegi eg a Hall feltételt. Eor a aradé n A 1 A T -beli csúcshoz tartozó éle behúzásával batch ódot aphatun. (Például ha az összes többi T -beli csúcsból legalább 4 él indul i Állítás ([9]. Adott G segédgráfhoz tartozó optiális batch ód érete csa V 1 -től és E -től függ. Bizonyítás. [9] Minden T \T 1 \T -beli csúcs foszáa 3 vagy 4 lesz. A cél az, hogy inél több csúcs foa 3 legyen. Az alábbi feltétel szüséges ahhoz hogy szabályos batch ódot apjun: (h Minden S S 3-eleű halazhoz legfeljebb 3 {t T 1 : Γ(t S } {t T : Γ(t S } darab T -beli csúcs tartozi, aine a szoszédsága éppen S. Ez elégséges is: tegyü fel hogy (h indig teljesül, de X T hiányos halaz. Ha X T 1 T, aor ár a G ne teljesítette az (a-(g feltétele valaelyiét. Ha létezi t T 3 X, aor X ne lehet hiányos a Γ(t-re vonatozó (h feltétel alapján. Tehát a legjobb esetben ( in n A 1 A, (3 {t T 1 : Γ(t S } {t T : Γ(t S } S S S = 3 darab T -beli csúcs foszáa lesz 3 és a aradéé 4 lesz. 3 {t T 1 : Γ(t S } {t T : Γ(t S } ( ( ( 1 = A A 1, 3 1 tehát csa A 1 = V 1 -től és A = E -től függ. Tehát, ha adott egy optiális batch ódhoz tartozó segédrgáf, aor ezen a gráfon végezhetün olyan transzforációat, ai ne rontjá el az (a-(g feltételeet és ne változtatjá E -t. 14

16 A Transzforáció: Legyen u 1 v 1 és u v ét diszjunt étszeres él. Ha az {u 1, v 1 } és {u, v } özötti éle özül legalább háro be lenne húzva, aor itt sérülne az (e feltétel, tehát legfeljeebb ét él lehet behúzva. Ez azt jelenti, hogy (V, E -ben, a segédgráf opleenterében van {u 1, v 1 } {u, v } párosítás. Enne a párosításna a ét élét vegyü be E -be, u 1 v 1 és u v ultiplicitását pedig csöentsü egyre. Könnyen ellenőrizhető, hogy az (a-(g feltétele ne roolhatta el. A párhuzaos éle száa csöent B Transzforáció: Legyen uv az egyetlen párhuzaos él G -ben. Ha létezi uv-hez apcsolódó csúcs (x, aor feltehető, hogy ux E, de vx E. Eor E -höz hozzávesszü vx-et és uv ultiplicitását csöentjü egyre. Ha nincs ilyen x, aor tetszőleges ux élt veszün hozzá x-hez és uv isét egyre csöentjü. Itt is ellenőrizhető, hogy az (a-(g feltétele egaradna. G -ben ne aradt párhuzaos él. C Transzforáció: Tegyü fel, hogy G -ben nincs párhuzaos él. Legyen x V 1 foa legalább ettő, tehát ux, vx V 1. Eor (g alapján uv V 1. uv-t vegyü be E - be és ux-et hagyju i. Az (f feltétel iatt v V 1, így a V 1 -beli csúcso összfoszáa csöent Lea ([9]. Minden n < ( -re létezi optoális CBC(n, 4,, aire G - ben nincs párhuzaos él, és inden V 1 -beli csúcs foa legfeljebb egy. Bizonyítás. [9] Vegyün tetszőleges optiális CBC(n, 4, -et és teintsü a segédgráfját. Aíg több int egy párhuzaos éltl tartalaz isételten végezzü el rajta az A transzforációt. Mivel inden lépésben csöen a párhuzaos éle száa, egy idő után nulla vagy egy párhuzaos él arad. Ha pontosan egy párhuzaos él van G -ben aor elvégezhetjü a B transzforációt. Eor indenéppen olyan G -t apun, aiben nincs párhuzaos él. Aíg van olyan V 1 -beli csúcs, aine legalább ettő a foszáa, végezzü el egy ilyen csúcson a C transzforációt. Mivel inden lépésben csöen a V 1 -beli csúcso összfoszáa, egy idő után inden ilyen csúcsna a foa legfeljebb egy lesz. Így a lea feltételéne egfelelő segédgráfot aptun. A 4.4 állítás alapján ehhez tartozi optiális CBC(n, 4,. D Transzforáció: Legyen t 1, t T ét csúcs, aelyere Γ(t 1 Γ(t. Továbbá legyen A Γ(t \Γ(t 1. Eor az A és t özötti éle lecserélhető A és t 1 özötti élere. Az (f feltétel iatt v V 1, így a V 1 -beli csúcso összfoszáa csöent. A transzforáció nyilvánvalóan egtartja a ód éretét. Bizonyítandó, hogy az így apott gráf ég indig egy batch ódot ír le. Legyen X egy hiányos halaz T -ben a transzforáció után. X-ne tartalaznia ell t 1 -et vagy t -t, ülönben a transzforáció előtt is hiányos lett volna. Ha X csa t 1 -et tartalazza, aor Γ(X érete ne csöent a transzforáció során. Ha X tartalazza t 1 -et és t -t is, 15

17 aor Γ(X ne változott. Mindét eset ellentond anna, hogy a transzforáció előtt szabályos volt a ód. Ha X csa t -t tartalazza, aor a transzforáció előtt X t + t 1 hiányos lett volna, ai szintén ellentondás. E Transzforáció: Tegyü fel hogy a batch ódhoz tartozó segédgráfra teljesülne a 3.5 leában leírt tulajdonságo. Legyen t T 3, Γ(t = {u, v, w} V \V 1. Továbbá legyen x V 1 \Γ(T 3. A (g feltétel iatt az uvw hároszögne ne lehet inden oldala E. Feltehető, hogy vw E. A batch ódban töröljü i a tu élt és helyettesítsü a tx éllel. Ez a transzforáció csa úgy ronthatná el a batch ódot, ha egy t-t tartalazó X halaz hiányossá válna, ahol Γ(X = {v, w, x}. Teintsü a (h feltételt a {v, w, x} halazra. {t T 1 : Γ(t S } = 1 az (f feltétel iatt és {t T : Γ(t S } 1 a 3.5 lea feltételei iatt, így X ne lehet hiányos Lea ([9]. Minden n < ( -re létezi optiális CBC(n, 4,, aire G -re teljesülne a 4.5 lea feltételei és T -ben inden csúcs foa legfeljebb ettő. Bizonyítás. [9] Mivel n < (, létezi egyszerű gráf, csúcson n éllel. Egy ilyen G V 1 = -zal egy szabályos batch ódot ad, aine érete n. Tehát N(n, 4, n és egy optiális ódban T -ben az átlag foszá legfeljebb ettő. Vegyün egy optiális batch ódot, ai egfelel a 4.5 lea feltételeine. Tegyü fel, hogy létezi 4-foú csúcs T -ben (t. Eor léteznie ell egy egyfoú t 1 csúcsna is. t ne lehet benne hiányos halazban, ezért feltehető, hogy Γ(t 1 Γ(t. Eor elvégezhetjü a D transzforációt erre a ét csúcsra A = 1 ellett. Ezzel csöent a 4-foú csúcso száa. Ezt isételjü aíg ne arad ilyen T -ben. Tegyü fel, hogy létezi 3-foú csúcs T -ben. Eor léteznie ell egy egyfoú csúcsna is. Ha nincs olyan 3-foú csúcs, aine a szoszédsága beleetsz V 1 -be, aor vegyün tetszőleges t T 3-foú csúcsot és x V 1 -et. Ezere teljesülne az E transzforáció feltételei, így elvégezhetjü azt. Ha létezi t T 3 és y T 1, aelyere Γ(y Γ(t, aor ezere elvégezhetjü a D transzforációt A = 1 ellett. Ezzel csöent a 3-foú csúcso száa. Ezt isételjü, aíg T -ben inden csúcs foa legfeljebb ettő. [9] Mivel feltehető, hogy T -ben inden csúcs foszáa egy vagy ettő, innentől ezdve elég G -t teinteni, aiben feltehtő, hogy a 4.5 lea feltételei teljesülne: (i Nincsene párhuzaos éle. (j Minden V 1 -beli él foa legfeljebb egy. A ód érete E + V 1 = A + A 1 = n A 1. A ód aor optiális, ha V ( 1 iniális. Ha V 1 adott, aor egbcsülhetjü E -t. V \V 1 -en belül legfeljebb A1 él lehet az (i feltétel iatt. A V1 és V özötti éle párosítást alotna a (j és (f feltétele alapján. Eiatt itt legfeljebb in(a 1, A 1 él lehet. V 1 -en belül 16

18 pedig ne lehet él szintén az (f feltétel iatt. Tehát ( A1 E + in(a 1, A 1. A becslés éles, ai a bizonyításából önnyen látszi. Ha E -re teljesül a becslés, aor szabályos G gráf onstruálható: Válasszu i V -ből tetszőlegesen a V 1 halazt, ajd húzzun be egfelelő ennyiségű élt úgy, hogy csa V \V 1 -en belüli éleet és egy V \V 1 V 1 párosítás éleit használju. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez szabályos segédgráf lesz. n = A 1 + A ( A1 n + in(a 1, A 1 + A Állítás ([9]. Ha n < (, aor N(n, 4, = n x, ahol x a legnagyobb olyan egészszá 0 és özött, aire ( x 0 + in(x, x + x n. [9] Ezután N(n, 4, egtalálása ár csa száolás érdése. Először eressün ilyen x-et a [, ] intervalluban. Eor a feltétel: ( x 0 + n 0 x + x + x + n 0 x + (1 + ( + n x 1 = 1 ± ( 1 4( + n x 1 = 1 ± 8n Ha n =, aor x = így ez az x érté egfelelő és optiális. Nagyobb n-ere azonban x >, ezért x x 1 -ne ell teljesülnie. Az optiális x tehát 1 8n 8 + 1, de csa aor, ha ez benne van az [, ] intervalluban. Esetszétválasztás paritása szerint. Ha páros, a övetező ell. 1 8n

19 8n n n Ha páratlan, aor a övetező ell n n n n Ha eze a feltétele ne teljesülne, aor nincs egfelelő x az [, ] intervalluban, ezért a [0, ] intervalluban ell eresni. Innentől ezdve feltehetjü, hogy n +6+8, ha páros, és n +4+11, ha páratlan. Eor a feltétel: 8 8 ( x 0 + x n Itt, ha páros 0 x + x + 5x n 0 x + (5 x + ( n x 1 = 5 ± ( 5 4( n x 1 = 5 ± 8n x Ha pedig páratlan >. = 5 + ( x > 1. =

20 Tehát az optiális x 5 8n ha ez benne van a [0, ] intervalluban. 5 8n , 8 ( = = = 0 Ha páros a övetező ell. 5 8n n n n + 6, 8 ai indig teljesül. Ha páratlan, a övetező ell. + 1 > 5 8n n > 6 8n > n > , 8 ai teljsesül egy eset ivételével: ha n = Ebben a ivételes esetben inden x [0, 1 1 ] jó, ezért az optiális x. Minden esetet egvizsgáltun, így iondhatju az N(n, 4, -re vonatozó tételt Tétel ([9]. n ha n = 1+ n + { 8n 8+1 < n +6, ha 8 < n +4+3, 8 n 1 ha n = N(n, 4, = 5+ n + { +6 8n 16+5 < n < ( ha 8, < n < ( 8, 3n ( n ha ( 3 n 3 3 4n 3 ( ha 3 ( 3 3 n 19

21 Látható, hogy az előző eseteel ellentétben a = 4 ár nagyon onyolult és n so intervalluát ell ülön-ülön vizsgálni. A = 5 és nagyobb esetere ne isert N értée. 5. A = eset Az alábbi rövid fejezetben a = esetet tárgyalju. Ez egyedülálló azon esete özött, ahol egözelíti -et. Itt N optiális értée önnyen egadható, de 1 esetén ne isert általánosan az optiális batch ód érete egészen = 4-ig, ait a 4 fejezetben tárgyalun Tétel. N(n,, = n + Bizonyítás. Az S-re vonatozó Hall feltétele szerint inden Y S-re Γ(Y Y + n. Eiatt inden s S-re d(s n + 1 és N (n + 1. Ez az érté el is érhető a övetező onstrucióval. Legyen T 1 T, T 1 = és T = T \T 1. S és T 1 özött vegyün teljes párosítást, ajd S és T özött vegyün teljes párosgráfot. Az így apott batch ód szabályosságát az S-re vonatozó Hall feltétele ellenőrzésével bizonyítju. Tetszőleges Y S esetén Y T 1 -beli szoszédságána érete Y és T Γ(Y ezért Y teljes szoszédságána érete pontosan Y + n. A ód érete + (n = n +. A = 1 egyes speciális eseteiről ég esi szó a 9 fejezetben. 6. Optiális ódo is n esetén Ebben a fejezetben azt a speciális esetet tárgyalju, ahol relative icsi -hez épest. Itt az n =, +1, + esete egoldásai iserte. Melléesen bevezetjü a batch ódhoz tartozó D = (V, A irányított gráfot, ai egy általánosságban is hasznos segédeszöz. Az n = eset önnyen ezelhető. Ebben az esetben az (T, S teljes párosítás egfelelő inden -ra és ez optiális is, ivel inden esetén inden T -beli csúcs foána legalább egyne ell lennie Tétel ([14]. N(,, = Az n = + 1 esetben ezdjün egy ézenfevő onstrucióval. 6.. Konstrució ([14]. Válasszun i egy tetszőleges t csúcsot T -ből. Vegyün egy (T t, S teljes párosítást, ajd t-t össü össze S tetszőleges csúcsával. Látható, hogy T seilyen X halaza ne szegheti eg a Hall feltételt, ert, ha t X, aor Γ(X, de ha t X, aor X benne van a párosításban. 0

22 Kiderül, hogy a fenti onstrució optiális inden esetén Tétel ([14]. N( + 1,, = + Bizonyítás. [14] Elég belátni, hogy ne létezi + -nál isebb ód. Tegyü fel, hogy létezi egy CBC( + 1, + j,, batch ód, ahol j <. Rendezzü foszá szerinti sorrendbe S csúcsait: (s 1, s,..., s, ahol d(s 1 d(s... d(s Eor d(s = N = + j, s S tehát az A = {s 1,..., s j } halazból iinduló éle száa legalább j, íg a B = {s j +1,..., s } halazból iinduló éle száa legfeljebb j. Legyen Γ(B = C T és T \C = D. C s B d(s j D = n C j + 1 Azonban Γ(D = A, aine a érete csa j, tehát D-ne tetszőleges j + 1 éretű részhalaza egszegi a Hall feltételt, ai ellentondás. Bár ez a bizonyítás rövid és elég egyszerű, érdees egelíteni egy ási gondolatenetet, aiből jobban eg lehet érteni az ilyen batch ódo strutúráját. Először belátun egy egyszerű, de általános esetben is hasznos állítást Állítás ([8]. Ha > 1, optiális batch ódban indig létezi S-et fedő párosítás. Bizonyítás. [8] Tegyü fel, hogy S ne fedhető párosítással. Eor létezi A S Hall-hiányos halaz, azaz B = Γ(A < A. Legyen C = T \B és D = S\A. A és C özött ne fut él ezért ha a gráfot leszűítjü a C D csúcshalazra szabályos batch ód arad. Ahhoz tehát, hogy az eredeti batch ód szabályos legyen elég, hogy legyen benne egy B-t fedő, B és A özötti párosítás. Mivel feltettü, hogy a batch ód optiális, A és B özött csa egy ilyen párosítás élei lehetne behúzva. A > B, ezért A egy s csúcsa izolált. Eor T bárely t csúcsára az összes t-ből induló élt helyethesíthetnén egyetlen ts éllel. Ezzel a ód érete csöen, ellentondva az optialitásna, ivéve, ha d(t 1, tehát T inden csúcsána foszáa legfeljebb egy. Ez azonban > 1 ellett csa aor lehetséges, ha a gráf egy (S, T teljes párosítás, ai ellentond a ezdeti feltevésne. 1

23 [8] Visszatérve az n = + 1 esetre, rendezzü sorba az S és T csúcshalazoat: (s 1, s,..., s és (t 1, t,..., t +1. Minden, az s 1 t 1, s t, s t párosítást tartalazó batch ódhoz hozzárendelhető egy D = (T, A irányított gráf a övetezőéppen. A t i t j (i j irányított él pontosan aor van benne A-ban, ha a batch ódban benne van a t i s j él. Az előző állítás alapján ár tudju, hogy van ilyen párosítást tartalazó optiális batch ód is. Jelleezzü a T csúcshalazon azoat az irányított gráfoat, ai egy szabályos batch ódhoz tartozna. (Megjegyzendő, hogy egy batch ódhoz so ülönböző irányított gráfot is rendelhetün, attól függően, hogy elyi párosítást, vagy S és T eleeine elyi sorrendjeit választottu i. Rögzített párosítás ellett azonban ár inden batch ódhoz egyértelűen rendelün egy-egy ülönböző irányított gráfot. Az így egapható irányított gráfo halazát szeretnén jelleezni Állítás ([8]. > 1. Egy D = (T, A irányított gráf pontosan aor tartozi batch ódhoz, ha t +1 befoa nulla és t +1 -ből legalább darab ási csúcs elérhető irányított úton. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy D-ben t + 1-be ne futhat be él, hiszen S- ben nincs s +1 csúcs. Bizonyítandó, hogy t +1 -ből elérhető ási csúcs. Tegyü fel, hogy t +1 -ből csa -nál evesebb csúcs érhető el irányított úton D-ben. Legyen a t +1 -ből elérhető csúcso halaza X T, X = l + 1. Ha X = {t i1, t i,..., t il, t +1 }, aor Γ(X tartalazza az s i1, s i,..., s il pontoat, de ezeen ívül ást ne, ert ez D-ben egy X-ből iutató élt jelentene. X > Γ(X, tehát X hiányos halaz lenne; D-hez ne tartozi batch ód. Tegyü fel, hogy t +1 -ből legalább ási csúcs elérhető, de a D-hez tartozó batch ód ne szabályos. Eor létezi egy X T hiányos halaz. Ha t +1 X azonnal ellentondásba ütözün, ert X-et fedi a iválasztott párosítás. Ha t +1 X, aor X ne tartalazhat inden t +1 -ből elérhető csúcsot (ert legfeljebb éretű, ezért létezi X-ből ilépő él D-ben. Legyen egy ilyen élne a végpontja t i0. Legyen továbbá X = {t i1, t i,..., t il, t +1 }, (ahol X = l + 1. Eor s i1, s i,..., s il, s i0 Γ(X, tehát Γ(X X és X ne lehet hiányos halaz. Ebből azonnal látszi, hogy pontosan a t +1 -gyöerű, -élű fenyőhöz tartozó batch ódo optiálisa. (Fenyőne nevezzü az olyan irányított fáat, aiben egy adott gyöércsúcsból inden ás csúcs elérhető irányított úton. Ebből adódi az 6.3 tétel. (A ihagyott = 1 esetben a 4.1 tételből adódi az 6.3 tétel. A D = (T, A irányított gráf bevezetése hasznos ötlet általában is, a = esetben például ihozható a 5.1 tétel a D gráf vizsgálatával. A ódszer alalazható n = + és nagyobb n-e esetén is. Ezeben az eseteben is jelleezhető a batch ódohoz tartozó irányított gráfo strutúrája, azonban az optiális batch ód éretét ár ne

24 lehet ilyen önnyen iolvasni. Az n = + esethez a 4. fejezethez hasonlóan optialitás tartó transzforációat ell alalazni, hogy a vizsgált ód strutúrája egyszerűbbé váljon. S csúcsait foszá alapján osztályozzu. Legyen S 1, S és S 3 S-ben rendre az egy, ettő és háronál nagyobb foszáú csúcso halaza. A = 1 esettől elteintün, ivel ezt ár a 4 fejezetben vizsgáltu. Eor az 6.4 állítás alapján inden S-beli csúcsból indul i él, így S = S 1 S S Lea ([10]. > 1. Ha optiális CBC( +,, -ben s S 1, aor Γ(s T 1. Bizonyítás. [10] Ha ez ne teljesül, t = Γ(s összes ts-től ülönböző élét itörölhetnén, ezzel csöentve a ód éretét Becslés ([10]. > 1, >. Ha egy optiális CBC( +,, -ben S 1, aor N( +,, N( + 1,, Bizonyítás. [10] Vegyün egy s S 1 csúcsot. Az előző állítás alapján enne egyetlen szoszédja t T 1. Tehát {s, t} a gráf egy összefüggőségi oponenese, ait elhagyva egy CBC( + 1,, 1-et apun. Enne élszáa nagyobb, int N( + 1,, 1, tehát a ód teljes érete legalább N( + 1,, A Transzforáció: Legyen s 1 S, Γ(s 1 = {t 1, t } és s Γ(t, ahol s 1 s. Eor a batch ódban helyettesíthetjü t s -t t 1 s -vel. Ezzel a transzforációval csa t -t tartalazó X hiányos halazt hozhatun létre. Ha t 1 X, aor Γ(X ne változott a transzforáció során. Ha viszont t 1 X, aor s 1 Γ(X t 1, ezért X t 1 a transzforáció előtt hiányos lett volna, ai ellentondás. (Megjegyzendő, hogy ne ell feltételezni, hogy t 1 s ne volt eredetileg a ódban. Ha benne volt, aor a transzforáció során csa elhagyju a t s élt, ezzel csöentve a ód éretét. Szintén fontos észrevétel, hogy a transzforáció seilyen S-beli csúcs foszáát ne változtatja Becslés ([10]. > 1. Ha egy optiális CBC( +,, -ben S 1 =, aor N( +,,

25 Bizonyítás. [10] Először az A transzforáció segítségével elérjü, hogy inden S -beli csúcsna legyen T 1 -beli szoszédja. Ha létezi s S, aire Γ(s T 1 =. Eor az textbf A transzforációval csöenthető Γ(t 1 érete. Ezt addig isételhetjü, aíg Γ(t 1 ár csa s-et tartalazza. Ezzel egyel csöent azon S -beli csúcso száa, aelye szoszédsága ne etszi T 1 -et. Ezt egisételve inden ilyen csúcsra olyan optiális CBC-t apun, aiben inden S -beli csúcsna van T 1 -beli szoszédja és S 1 = ég indig teljesül. Ebből azonnal látszi, hogy T 1 S. Tegyü fel, hogy egy t T \T 1 -re Γ(t S >. Eor Y = Γ(t S szoszádságána érete csa egyel nagyobb, int Y érete, ai ellentond az Y -ra vonatozó Hall feltételne. Minden S - beli csúcsna pontosan egy T \T 1 -beli szoszédja van és inden T \T 1 -beli csúcsna legfeljebb S -beli szoszédja van, ezért ( T \T 1 S. Ebből levezethető az N-re vonatozó becslés. n = T 1 + T \T 1 S + S = + 1 S S 3 = S = ( + 1 ( ( + n = = N S + 3 S 3 + S 3 + = Két onstrucióval egutatju, hogy az 6.7 és 6.8 becslés is teljesíthető egyenlőséggel. Mivel a ét becslés özül az egyi indenéppen teljesül N( +,, -re attól függően, hogy az optiális ódban S 1 üres-e, ezért N(+,, értée indig éppen a ét becslés iniua lesz. Az 6.7 becslés önnyen teljesíthető egyenlőséggel Konstrució ([10]. > 1. Vegyün egy optiális CBC( + 1,, 1-t és adjun hozzá S-hez és T -hez is egy új csúcsot, ajd az új csúcsoat össü össze. Könnyen látható hogy ez szabályos batch ódot alot, elyne érete N(+1,, Konstrució ([10]. > 1. Az 6.8 becslés bizonyításából látható, a becslés egyenlőséggel való teljesüléséhez ell T 1 = S 1, T \T 1 S, valaint hogy S 3- ban inden csúcs foa 3 legyen. Osszu S-et és T-t ét-ét részre. T = T 1 T és S = S S 3, ahol T 1 = n + 1 T n = + 1 S = T 1 4

26 S 3 = T. Az éle a övetezőe: T 1 és S özött vegyün be egy teljes párosítást. T és S 3 özött vegyün be egy optiális CBC ( T, T, T -t. A 4.1 tételből tudju, hogy enne érete N( T, T, T = 3( T és lehet inden S 3 -beli csúcs foa 3. Ezután S inden csúcsát össü össze egy T -beli csúccsal úgy, hogy inden T -beli csúcsna legfeljebb 1 S -beli szoszédja legyen. Ez egtehető, ert ( T n ( + 1 S. A batch ód szabályosságána bizonyításához az S-re vonatozó Hall feltételt fogju ellenőrizni. Tegyü fel, hogy Y S hiányos halaz. Legyen Y = Y S és Y 3 = Y S 3. Ha Y 3, aor Y 3 T -beli szoszédságána érete legalább Y 3 + a T és S 3 özötti batch ódra vonatozó Hall feltétel iatt. Tobábbá Y T 1 -beli szoszédságána érete legalább Y, ert a ód tartalaz teljes (Y, T 1 párosítást. Tehát Γ(Y Y Y = Y +, így Y ne hiáinyos. Ha Y 3 =, aor Y >, ezért van legalább ettő T -beli szoszédja. Az előző esethez hasonlóan Y T 1 -beli szoszédsága legalább Y = Y. Γ(Y Y +, így Y isét ne hiányos. A ód érete S + 3 ( T = T ( T 1 = + ( T + ( + 1 = + = + = Ezzel beláttu, hogy ha > 1, aor N( +,, = in(n( + 1,, 1 + 1, = +1. Innen egyszerű száolással egapható N( +,, explicit éplete Tétel ([9]. { + ha + N( +,, = ha > + Bizonyítás. [9] A = 1 esetben a 4.1 tétel alapján ellenőrizhető, hogy valóban helyes a éplet. Ha = 1, + +1 = 3 = N(3, 1, 1. Ha =, + +1 = 4 = N(4, 1, 1. Végül, ha > = +, = + = N( +, 1,. Innentől feltehető, hogy > 1. -re vonatozó teljes inducióval bizonyítun. Ha =, aor a 5.1 tétel alapján ellenőrizhető a éplet: + +1 = 3 = N( +,,.. 5

27 Az induciós lépéshez ellőször vizsgálju eg a l l+1 ülönbságet, ahol l > 0 egészszá. l l(l = l + 1 l(l + 1 Tehát, ha l(l + 1, aor 1 és l l+1 l l+1 1. Ha viszont l(l + 1, aor 1 és l l+1 l l+1 1. Enne segítségével becsülhetjü a +1 ülönbséget. Ha + 1, aor Ha viszont +, aor ( ( + 1 ( 1( ( ( + 1 ( ( Visszatérve az induciós lépéshez, az első eset, ha ( = N( + 1,, Tehát N( +,, = A ásodi eset, ha + 1 < +. ( + 1( 1 ( + 1( 1 = 1 < = ( > ( 1 > <

28 Így az első esethez hasonlóan belátható, hogy N( +,, = A haradi eset, ha + < + + 1, azaz = +. + ( N( + 1,, Ezért: N( +,, = N( + 1,, = ( = Bizonyítandó, hogy ez egyenlő el. Legyen a pozitív egészszá, aire a < (a = + a a + 1 Ha a < a + a, aor a+1 = a 1 és a a + a a < + 1 < a = a + 1. Ha a + 1 < (a + 1, aor a+1 = a és a + a < + 1 (a + 1 a + 1 < + 1 a = a +. Mindét esetben = = , + 1 tehát N( +,, = A negyedi eset, ha > A haradi esethez hasonlóan belátható, hogy N(+,, = N(+1,, 1+1. Tehát N(+,, = Az n > + ne isert az optiális batch ód érete általános esetben, ivéve n a 3. fejezetben tárgyalt nagy értéeire. 7

29 7. Transzverzális atroido [8] A obinatorius batch ódo optializálásána egy érdees ódszere a batch ódhoz tartozó transzverzális atroid vizsgálata. Az (S,T párosgráfhoz tartozó transzverzális atroid T alaphalazon értelezett artoid, aiben a párosítással lefedhető részhalazo a függetlene. A Hall feltétel alapján a transzverzális atroidból egállapítható, hogy a batch ód szabályos-e: pontosan aor szabályos, ha inden legfeljebb éretű részhalaz független. Bár inden párosgráf egyértelűen eghatározza transzverzális atroidját, ez fordítva ne igaz. Az adott M transzverzális atroidhoz tartozó párosgráfoat M prezentációina hívju, Az 6.4 állítás alapján feltehető, hogy M alaphalazána érete n és rangja, így a prezentációat értelezhetjü az S T csúcshalazon. (A = 1 esettől elteintün, ezt a 4 fejezetben ierítettü. M axiális prezentációja S perutációja erejéig egyértelű, legyen ez a G M = (S, T ; E M gráf. Tehát M bárely G = (S, T ; E prezentációjánál, S csúcsaina egfelelő perutációja esetén, E E M. M iniális prezentációja ne egyértelű S perutációja erejéig se, de az élszáa egyértelű, és eghatározható a G M axiális prezentációból. Pontosan, ha G = (S, T ; E iniális prezentáció, aor E = (d M (s i + r(t \Γ M (s i +, ahol S = {s 1,..., s }, d M a G M -beli foszáfüggvény, hasonlóan Γ M a G M -beli szoszédság és r M rangfüggvénye. A transzverzális atroido prezentáciról szóló fenti állításoat itt ne bizonyítju. A transzverzális atroido és prezentációi ülönböző tulajdonságairól a [3], [4], [5], [6], [7] cieben lehet olvasni. Ha optiális batch ódról van szó, aor övetezi, hogy a saját atroidjána iniális prezentációja. Enne éretét eg tudju határozni, ha iserjü a atroid axiális prezentációját Tétel ([8]. > 1. Ha egy optiális CBC(n,, atroidja M és M axiális prezentációja G M, aor N(n,, = (d M (s i + r(t \Γ M (s i +. Enne a ódszerne a felhasználásával többe özött levezethetjü az n = + esetben az 6.11 tételt. Itt az M duális atroidot vizsgálju, aelyről tudju, hogy ettő rangú, ezért strutúrája egyszerűen jelleezhető. Legyen X 0 a huro halaza. Két pontot párhuzaosna ondun, ha ételeű ört alotna. Ez egy evivalencia-reláció. Legyene a párhuzaosság legalábbb ételeű evivalenciaosztályai X 1,..., X p T és X p+1 = T \ p i=0. Eor M örei X 0 eleei, inden 1 8

30 i p-re X i elepárjai és inden hároeleű halaz, ai ezeet ne tartalazza, ert M rangja ettő. Ez egyértelűen eghatározza M -ot és így M-et is. M bázisai azo a ételeű halazo, ai diszjunta X 0 -tól és inden 1 i p-re legfeljebb egy eleet tartalazna X i -ből. Feltétel, hogy létezzen legalább egy ilyen, tehát p + X p+1. Enne egfelelően M bázisai azon B T éretű halazo, aire X 0 B és inden 1 i p-re X i \B 1. Legyen inden i-re X i = n i, feltehető, hogy n 1 n... n p. Eor p+1 i=0 n i = n. A fenti definíció ellet belátju, hogy inden + éretű, rangú atroid transzverzális és iszáolju a axiális, ajd a iniális prezentáció éretét. 7.. Lea ([8]. M transzverzális atroid és egy axiális prezentációja a övetező G M gráf: S csúcsait osszu az Y 0, Y 1,..., Y p+1 halazora, ahol Y 0 = n 0, inden 1 i p-re Y i = n i 1 és Y p+1 = n p+1 +p. Az élebe vegyü be inden 0 i p esetén az (X i, Y i teljes párosgráf éleit, valaint a (T, Y p+1 teljes párosgráf éleit. Bizonyítás. [8] Legyen T T és T =. Kérdés, hogy T \T ior fedhető párosítással, azaz ior létezi (S, T \T teljes párosítás. Ha T tartalaz X 0 -beli csúcsot, aor Y 0 -na nincs elég szoszédja és ne létezi teljes párosítás. Ha 1 i p-re T X i, aor Y i -ne nincs elég szoszédja és ne létezi teljes prosítás. Ha eze ne teljesülne, aor inden 0 i p-re Y i lefedhető (X i, Y i párosítással, Y p+1 pedig tetszőleges éleel lefedhető, ezért létezi teljes párosítás. Ezzel beláttu, hogy M transzverzális atroid és G M prezentációja. Bizonyítandó, hogy ez axiális. Vegyün hozzá G M -hez egy új e élt, legyen e S-beli csúcsa Y i -ben (0 i p. Ha i = 0, létezi olyan párosítással fedhető halaz az új gráfban, ai ne tartalazza X 0 -t, ezért ár ne M prezentációja. Ha i > 0, létezi olyan párosítással fedhető halaz az új gráfban, aiből ét X i -beli csúcs is hiányzi, ezért ár ne M prezentációja. [?] Ha M optiális CBC( +,, atroidja, aor a tétel alapján: N( +,, = (d M (s i + r(t \Γ M (s i + 1 = n 0 (n 0 + r( p+1 j=1 X j p (n i 1 (n i + r( j i X j + 1 +(n p+1 + p ( + r( + 1 p = n 0 (n 0 + ( n (n i 1 (n i + ( + 1 n i + 1 +(n p+1 + p (

31 = n 0 + p n i + 3(n p+1 + p = n 0 + n p+1 + p Így ha M a szabályos CBC( +,, -e transzverzális atroidjaina halaza, N( +,, = in M M ( n 0 + n p+1 + p. A fentie alapján egy + eleű, rangú atroid pontosan aor van benne M- ben, ha inden függő halaza legalább + 1 eleű. T egy részhalaza éppen aor függő, ha ne részhalaza M egyetlen bázisána se, azaz M inden bázisába beleetsz. Eszerint a iniális függő halazo étféleéppen nézhetne i: T \X 0 \{t}, ahol t X p+1 vagy T \X 0 \X i, ahol 1 i p. Ha p = 0, aor a legisebb éretű függő halaz T \X 0 \{t} alaú és érete n n 0 1. A szabályosság feltétele n n Tehát n 0 n + =. n 0 + n p+1 + p = n 0 + n 1 = 3 n 0 3 ( + =. A bonyolultabb eset, ha p 1. Eor a legisebb éretű függő halaz T \X 0 \X 1, ert feltettü, hogy n 1 n... n p. Enne érete n n 0 n 1, tehát a szabályosság feltétele n n 0 n n 0 + n 1 n 1 = + 1. Ebben az esetben a n 0 + n p+1 + p ifejezést inializáló atroidot szabályosság tartó transzfotációal hozzu egyszerűbb alara. A Transzforáció: Ha n p+1, aor X p+1 -et ettéosztju a X p+1 és X p+ halazora, ahol az új X p+1 ételeű. Ezzel p értéét egnöveltü egyel, a atroid továbbra is szabályos ódhoz tartozi és a inializálandó ifejezés ne nőtt. B Transzforáció: Ha p, n 0 > 0 és n p+1 1, aor vegyün egy x 0 X 0 és egy x x p+1 eleet. x 0 -t áthelyezve X 1 -be és x-et X -be a atroid szabályos arad, ert n 0 + n 1 ne nő, továbbá a inializálandó ifejezés se nő Lea ([8]. Létezi n 0 + n p+1 + p-t inializáló atroid, aiben X p+1 üres és n 0 + n 1 = + 1. Bizonyítás. [8] Vegyün egy optiális M atroidot. Ha n 0 + n 1 < + 1, aor T \X 0 \X 1 tetszőleges eleét tegyü át X 0 -ba. Ezzel a inializálandó ifejezést csöentettü, ert n 0 egyel nőtt és ha n p+1 egyel nőtt, aor p egyel 30

32 csöent. A atroid továbbra is szabályos arad, ai ellentond a feltételne, hogy M optiális. Feltehető, hogy n 0 + n 1 = + 1. Ha n p+1 végezzü el az A transzforációt, és ezt isételjül, aíg n p+1 < ne teljesül. A transzforáció tartja az optialitást és az n 0 + n 1 = + 1 egyenlőséget. Ha n p+1 = 1, n 0 > 0 és p, aor végezzü el a B transzforációt, ai szintén eghagyja az n 0 + n 1 = + 1 feltételt. Ha n p+1 = 1, n 0 = 0 és p, aor n 1 = +1 > n. Eor X p+1 egyetlen elee hozzáadható X -höz az X i halazo rendezéséne elrontása nnélül. Mindét esetben a leána egfelelő optiális atroidot aptun, aiben n p+1 = 0. n p+1 = p = 1 ne lehetséges, ert eor + 1 = n 0 + n 1 = n 1. [8] Ha M azon + éretű, rangú atroido halaza, ahol n 0 +n 1 = +1 és X p+1 =, aor N( +,, = in M M ( n 0 + p n 0 épletét behelyettesítve a övetező ifjezést ell inializálni: n 0 + p ( n 1 + p n 1 + p X 1, X,..., X p egy + n 0 éretű halaz partíciója, ahol inden rész érete + n legalább ettő és legfeljebb n 1. Eiatt, rögzített n 1 ellett az optiális p 0 n 1, tehát a övetező ifejezész ell inializálni: + n0 n n 1 + = = n n 1 n n 1 +, arra vigyázva, hogy 0 n 0 = + 1 n 1. Tehát eressü az f(x = x + C x függvény iniuát egész x-re. Könnnyen látható, hogy az x + C ifejezés C-ben iniális és ezen pont előtt és után rendre x onoton csöen és nő. f(x = x + C x és a felsőegészrész-függvény onoton növő, ezért f az ( 0, C ] és [ C, intervalluoon rendre onoton csöen és nő, tehát a iniua C vagy C. A 6.11 tétel bizonyításában látottahoz hasonló esetszétválasztást alalazun. Legyen a egész szá, ahol a < C (a + 1. Ha a < C a(a + 1, aor n 1 n 1 31

33 a < C < a + 1, tehát f iniua a vagy a + 1. a < C a a + 1 f(a = a + a + 1 = a + 1 a 1 < C a + 1 a f(a + 1 = a a = a + 1 Eor f iniua a + 1 = C. Ha a + a + 1 C < (a + 1, aor a + 1 < C a + 1, tehát f iniua a vagy a + 1. a + 1 < C a a + f(a = a + a + = a + a < C a + 1 < a + 1 f(a = a a + 1 = a + Eor f iniua a + = C. Végül, ha C = (a + 1, aor f(a + 1 = a + 1 = a + 1 = a + = C. Tehát inden esetben igaz, hogy f a iniuát felveszi C -ben, ai C. Továbbá f ezen pont előtt és után rendre onton csöen és nő. Eze szerint az opriális n lenne, ai aor valósítható eg, ha ebben az esetben n 0 0: 0 n 0 = + 1 n 1 = = + Ha az optiális n 1 érté ne egengedett, aor f onotonitási tulajdonságai iatt a legnagyobb egengedett n 1 lesz optiális, azaz n 0 = 0 és n 1 = + 1. Ezzel egaptu N(+,, értéét inden esetben. Ahogy vártu, éppen a 6.11 tételt eptu vissza = n 0 +p = p = = + + = n 0 + p = ( n 1 + p = + + (n 1 + p 1 = { + ha + N( +,, = ha >