Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 11.

Átírás

1 Matematia szigorlat, Mérnö informatius sza I jún. 11. Megoldóulcs 1. Adott az f(x) = (x ) függvény. (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! D f = R \ {} 13 zérushely: x = y-tengelyen a metszet: f(0) = 3 f nem áros, nem áratlan, nem eriodius, mert 1db zérushelye van lim x f (x) = (x ) = 0+ lim x 3(x + 6) (x ) 3 = 0 x = 6 x < < x < < x f 0 + f ց lo. min. ր ց (x ) = 0 lim x (x ) = f-ne az x = 6 helyen loális minimuma van, amine értée: f( 6) = 3 16 f (x) = 6(x + 10) (x ) 4 = 0 x = 10 x < < x < < x f f infl. A grafion: y x [ R f = 3 [ 16, 1

2 (b) Számolja i a függvénygrafion, a grafionhoz az x 0 = 1 ontban húzható érintő egyenes és az x-tengely által özrezárt orlátos sírész területét! Az érintő egyenes egyenlete: e(x) = f(1)+f (1)(x 1) = 1x 1 e(x) = 0 x = 4 7 Felhasználju továbbá, hogy (x ) = 3 x + 1 (x ) t = 1 (x ) dx 1 4/7 (1x 1) dx = 7 [ 3 ln x 1 ] 1 [ ] 1x 1 1x x 4/7 (9 ln 64) (1, 985), 91 [ ] 1 1x megj.: a 1x érté egy olyan derészögű háromszög területeént is számolható, 4/7 amelyne a ét befogója 3/7 ill. 9 hosszú.

3 . Adott a övetező három sí a háromdimenziós térben: S 1 : 3x y z = 1 S : x 3y + z = 1 S 3 : 5x + y 4z = 6 (a) Van-e özös ontja a három sína? Ha igen, határozza meg az összeset, ha nincs, indoolja meg, miért nincs! Megoldju a lineáris egyenletrendszert (az együtthatómátrix oszlovetorait a 1, a, a 3 -mal, az egyenlete jobboldalán álló számoból ézett vetort b-vel jelölve): 7 e e e a 1 1 e e a a e Katu: a három sína egyetlen özös ontja van: M(4, 5, 6) (b) Írja fel a nullvetort a, 3, 1, 1 vetoro nem-triviális lineáris ombinációjaént! Mivel b = 4a 1 + 5a + 6a 3, ebből l.: 4a 1 + 5a + 6a 3 b = (c) Határozza meg a mátrix rangját! Az (a)-beli eljárásból adódi: ρ = 3 a a a (d) Adjon meg egy olyan v vetort, amely merőleges az S 1 síra és oordinátáina szorzata 1! Mivel az S sí egy normálvetora: n S (3, 1, 1), ezért a eresett v vetorra v = λ(3, 1, 1) = (3λ, λ, λ) adódi. Ebből: λ = 3 1 ( 3, v = 3 3, 1 3 3, ). 3 3

4 3. Teintsü az A = {1,, 3, 4, 5} és B = {1,, 3} halmazoat! (a) Határozza meg az alábbi értéeet: 1 P (A B) = 15 = 3768 P (A B) = = 4 P (A) P (B) = 5 3 = 56 P (A) P (B) = 5 3 = 4 (b) Határozza meg az f : A B függvénye számát! (c) A függvényeet ényelmesen megszámolhatju a övetezőéen: egy ét-oszloos táblázatba foglalju, hogy egy függvény az egyes A-beli elemehez mit rendel B-ből: A B 1 b i1 b i 3 b i3 4 b i4 5 b i5 A bal oldali oszloban A elemei szereelne sorbarendezve, a jobb oldali oszloban B elemei tetszőlegesen, ismétlődés megengedésével. Azt ell megszámolnun, hogy a. oszloba hányféleéen tudju B elemeit tetszőlegesen, ismétlődés megengedésével beírni, azaz hogy 3 elemből hányféleéen tudun 5-hosszú sorozatoat észíteni, ha ismétlés megengedett. Ez V3,5 i = 3 5 = 43 - féleéen lehetséges. Írja fel algebrai alaban azoat a z omlex számoat, amelyere 3 Re(z) A, Im(z) B és z Az egyetlen megoldás: z = 1 + j (d) Teintsü a fenti B halmazon értelmezett S 1 és S homogén bináris relációat, amelyere xs 1 y, ha x + y < 5 xs y, ha x y Z i. Határozza meg az alábbi halmazoat elemei felsorolásával: 3 S 1 = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (, 1), (, ), (3, 1)} S = {(1, 1), (, 1), (3, 1), (, ), (3, 3)} S S 1 = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (, 1), (, ), (3, 1)} = S ii. Döntse el, hogy a reflexív, szimmetrius, antiszimmetrius, tranzitív tulajdonságo özül melye teljesülne az S 1 és S relációra! S 1 : szimmetrius S : reflexív, antiszimmetrius, tranzitív 1 P (X) az X halmaz hatványhalmazát jelöli.

5 4. (a) Vizsgálja meg, hogy a {0, 1, 3} halmaz zárt-e az 4 ill. 4 műveletere! A halmaz 4 -re nem zárt, l. mert = / {0, 1, 3}; A halmaz 4 -re zárt. (b) Legyen (F 6 ; ) a szabályos hatszög forgáscsoortja a szoásos omozíció művelettel. A hatszög csúcsait jelöljü A, B, C, D,E, F -fel, a hatszög özéontját O-val. i. Adja meg az O özéontú, ozitív irányú 10 -os forgatást táblázatos és cilius írásmóddal! ( ) A B C D E F = (ACE)(BDF) C D E F A B ii. Teljesül-e az (ADC) (EB) (F) = (ADCE)(BF) (A)(CEFB)(D) egyenlőség? Igen. iii. Vizsgálja meg, hogy izomorf-e a D 3 diédercsoort és F 6, azaz döntse el, hogy (D 3 ; ) = (F 6 ; ) teljesül-e! 3 A ét csoort nem izomorf: F 6 cilius csoort, D 3 viszont nem. (c) Teintsü a valós számo halmazát a szoásos összeadás és szorzás műveleteel: (R ; +, ) Továbbá teintsün egy elsőrendű nyelvet, amelyben az individuumváltozó: x, y adott ét étváltozós függvényjel: f,g adott egy étváltozós rediátumjel: P. Adjon meg egy olyan interretációt, amelyben formalizálható a övetező ijelentés: Az (R ; +, ) strutúrában mindét művelet idemotens. Formalizálja a ijelentést és határozza meg logiai értéét a megadott interretációban! Legyen U = R f(x,y) = x + y g(x,y) = x y Pxy : x = y A ijelentés formalizálva: x (Pf(x,x)x Pg(x,x)x) A ijelentés a fenti interretációban: hamis. (Pl.: + ) 4 a modulo 4 összeadást, 4 a modulo 4 szorzást jelöli 3 D 3 a szabályos háromszög egybevágóságaina halmaza 5

6 5. (a) Lehetne-e egy egyszerű gráf foszámai: 1,,3,3,4,5? Igen, ld.: (b) Teintsü a övetező G gráfot: i. Hány ör van G-ben? 6 db ii. Legfeljebb hány él hagyható el belőle, hogy még összefüggő maradjon? 8 ontú összefüggő gráfban 7 a minimális élszám, így azt aju, hogy legfeljebb 4 él hagyható el. (Eor a maradé gráf egy fagráf.) iii. Be lehet-e húzni egy élt úgy, hogy a gráf egyszerű maradjon és ne nőjön a romatius szám? (Azaz: bővíthető-e G élhalmaza egy elemmel úgy, hogy az így aott G egyszerű gráffal χ(g) = χ(g ) teljesüljön?) Igen. χ(g) = 3, és az alábbi G gráfra szintén χ(g ) = 3. (Ld. egy színezését a,, s színeel.) s G* iv. Elhagyható-e G-ből egy él úgy, hogy azzal csöenjen a romatius szám? Igen. Az alábbi G gráfna a romatius száma: G** (c) Melye izomorfa az alábbi gráfo özül? G1 G G3 G4 G = G3

7 6. (a) Határozza meg az alábbi integráloat! 8 i. x e x dx = x e x xe x + e x + C (arciális integrálással) ii. xe x dx = 1 ex + C (g (x) f(g(x)) alara hozható integrandus) (b) Igazolja az alábbi egyenlőséget! 7 = + = =0 (0, 4) A bal oldal (arciális törtere bontással): ( + = 1 1 ) = = = 5 6 = = A jobb oldal (mértani sor): (0, 4) = 1 = = = A ét sorösszeg tehát megegyezi. (c) Határozza meg az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását! 5 y y = Y Y = 0 Y = C 1 + C e x y = Ax y = A y = 0 0 A = A = y = x (rezonancia!) y = Y + y = C 1 + C e x x