GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. A MAXIMUM LIKELIHOOD MÓDSZER ÉS A VÁRHATÓ ÉRTÉK MAXIMALIZÁLÁSÁNAK ELVE

TERMÉSZETTUDOMÁNY HANKA LÁSZLÓ VINCZE ÁRPÁD GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. A MAXIMUM LIKELIHOOD MÓDSZER ÉS A VÁRHATÓ ÉRTÉK MAXIMALIZÁLÁSÁNAK ELVE MATHEMATICAL METHODS OF GAMMA SPECTRUM S EVALUATION IV. THE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION AND THE PRINCIPLE OF EXPECTATION MAXIMIZATION A axu lkelhood becslés eg nagon hatékon statsztka ódsze, aelet akko alkalazunk, ha a endelkezése álló adatokhoz legobban lleszkedő ateatka odellt szeetnénk eghatáozn. A ódsze lehetőséget ad aa, hog a ateatka odell szabad paaéteet úg hangoluk, hog az lleszkedés optáls legen. A váható éték axalzálásának elve olan valószínűség odellek paaéteenek axu lkelhood becslésée ad lehetőséget, aelek olan etett változóktól lletve paaéteektől függenek, aeleket ne lehet közvetlenül egfgeln. Kulcsszavak: gaa spektu, valószínűségeloszlás, paaétebecslés, lkelhood függvén, axu lkelhood becslés, Posson eloszlás, Gauss eloszlás, χ statsztka, a váható éték axalzálásának elve. Maxu lkelhood estaton (MLE s a ve effectve statstcal ethod used to calculate the best wa of fttng a atheatcal odel to soe data. Modelng eal data b estatng axu lkelhood offes a wa of tunng the fee paaetes of the odel to povde an optu ft. The expectaton axzaton algoth (EM s used n statstcs fo fndng axu lkelhood estates of paaetes n pobablstc odels, whee the odel depends on unobseved vaables. Kewods: Gaa-a specta, pobablt dstbuton functon, estaton of paaetes, lkelhood functon, axu lkelhood estaton, Posson dstbuton, Gauss dstbuton, χ statstcs, expectaton axzaton algoth. 7

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. 8 Bevezetés Az alábbakban eg szcntllácós gaa-spektoéteel felvett spektu eghatáozásának axu lkelhood becslésével foglakozunk. A pobléa vázlatosan a következő. A éendő enegatatoánt oszszuk fel n db ntevallua az ' fel, hog a -edk [ E, E, ' 0 E,, ' E osztópontokkal. Tegük ' n ' E ] enegatatoánban a fotonok száa x ( =,,, n. A spektoéte csatonának a száa legen. Oszszuk fel tehát a éőeszköz által vzsgált enegatatoánt észe, ahol az osztópontokat E 0, E, E,, E elöl. Tegük fel, hog az - edk csatonában, vags az [E, E ] enegantevalluban ét beütésszá ( =,,,. Feltesszük, hog a detekto nden gaa fotont egsztál. Az = (,,, éés adatok, és a ténleges x = (x, x,, x n spektu között ateatka kapcsolat a következő ódon íható fel: (. = Rx + ε, ahol az R = [R ] R n átx a detekto válaszfüggvéne, ε R pedg a za. Az R átx R elee annak az eseénnek a valószínűsége, hog a -edk enegatatoánba tatozó gaa-foton az -edk csatonában van detektálva. A pobléa abban áll, hog a válaszfüggvén és a éés adatok btokában eg kell hatáoznunk a valós x spektuot. A axu lkelhood becslés alkalazásánál a -edk ntevalluba tatozó fotonok száát és a detekto által egsztált beütésszáot s valószínűség változónak tekntük. Legen a -edk enegantevalluba taozó gaa fotonok száa a ξ ( =,,, n valószínűség változó, az -edk csatonában egsztált beütésszá pedg az η ( =,,, valószínűség változó. Nlván ndkettő dszkét eloszlású változó, ael ne negatív étékeket vesz fel. A adoaktív bolás teészetének seetében lletve a száláló beendezések által ét adatok tuladonságanak seetében vlágos, hog nd ξ nd η Posson eloszlású változók []. Ha ξ átlagétéke, akko a ondottak szent annak valószínűsége, hog a - edk tatoánban a fotonok száa éppen az alább foulával adható eg: (. P(ξ x x x exp!

TERMÉSZETTUDOMÁNY Továbbá ha η átlagétéke, akko hasonlóan íható fel annak valószínűsége, hog az -edk csatonában a egsztált beütésszá : (.3 P(η exp! Az alábbakban elsősoban a Posson eloszlása, nt odelle táaszkodunk a száításank soán, a fontosabb eedéneket ennek az eloszlásnak az alkalazásával vezetük le, bá a 4. pontban ktéünk a noáls eloszlással töténő közelítés lehetőségée.. A axu lkelhood becslés A axu lkelhood becslést (axu lkelhood estaton, MLE aelet agaul a legnagobb valószínűség elvének lehetne fodítan, a statsztkában a paaétebecslések téaköében alkalazzák. Tegük fel, hog adott eg szabad paaéteekkel leít odell, aellel feltevésenk szent leíható az általunk vzsgált endsze. A paaéteeket éés útán hatáozzuk eg, de a éés adatok zaal teheltek. Ez azt elent, hog agukat a paaéteeket ne tuduk egén csak eg-eg valószínűség változót, ael összefüggésben áll a odell paaéteevel. A éés szepontából a odell paaétee s valószínűség változóknak tekntendők. A kédés az, hog a ét étékekből hogan hatáozzuk eg a odell paaéteet, hog a lehető legpontosabb becslést kapuk. A axu lkelhood ódszet akko alkalazhatuk az seetlen paaéteek becslésée, ha ezen paaéteek sűűségfüggvéne seetlenek, de a éést tehelő za eloszlása set. Abban az esetben, ha a paaéteek eloszlásáól ne tudunk set, a legegszeűbb egenletesnek feltételezn azt. A axu lkelhood becslés ezek alapán a következőt elent: axalzáln kell a P (ez a éés eedén a paaéteek étéke enn és enn feltételes valószínűséget. A axalzálandó függvén analtkus alakának eghatáozásához a Baes-féle foulát használhatuk. Ha feltesszük, hog α R k elöl az seetlen paaéteek vektoát (esetünkben az seetlen spektuot leíó paaéteeket, R pedg a ééssel kapott adatok vektoa (a detektoal ét spektu, akko a Baes-foula az alább alakban íható: 9

0 GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. (. P ( α ( α P( α ( P = P Itt a P(α valószínűséget a po valószínűségnek, a P valószínűséget a posteo valószínűségnek, P -et pedg lkelhood valószínűségnek nevezzük. Legen ost 0 eg konkét éés adatokat tatalazó vekto. Ekko az (. L(α = P( = 0 α függvént ael az α változó, tehát a paaéteek függvéne, lkelhood függvénnek nevezzük. Ez a függvén a éés za eloszlásának seetében eghatáozható. Az α paaétevekto axu lkelhood becslése a lkelhood függvén α-paaéte szent axalzálásával adódk. Száítástechnka szepontból gakan célszeűbb az L(α lkelhood függvén helett ennek teészetes logatusát, az lnl(α ún. log-lkelhood függvént axalzáln. A logatus függvén onotontása att ennek a két függvénnek a szélsőétékhele egegeznek. Az ( =,,, statsztka szepontból véletlen éés adatokat tehát valószínűség változónak tekntük, ael változók az α s (s =,,, k paaéteektől függenek. Ha egváltoznak a paaéteek, akko egváltozk az = (,,, valószínűség vektováltozóhoz tatozó egüttes valószínűségeloszlás. A pobléáa tehát úg teknthetünk, nt valószínűség eloszlások eg olan családáa, elek az α = (α, α,, α k paaétevektook által vannak ndexelve. Kssé általánosabban, elöle f( α a éés adatok = (,,, vektoához tatozó valószínűségeloszlás egüttes sűűségfüggvénét, ögzített α R k paaétevekto esetén: (.3 f( α = f(,,, α, α,, α k Abban az esetben, ha az eges éés adatok egástól függetlenek, az egüttes sűűségfüggvén az eges éés adatokhoz tatozó eged sűűségfüggvének szozataként íható fel: (.4 f( α = f(,,, α, α,, α k = f ( α, α,, α k f ( α, α,, α k f ( α, α,, α k = f A axu lkelhood ódsze lénege ezek után úg fogalazható, hog eg feltételezett odell és adott éés adatok esetén a odellnek eleget tevő sűűségfüggvének között eghatáozandó az a sűűségfüggvén, ael a legnagobb valószínűséggel lleszkedk a éés

TERMÉSZETTUDOMÁNY adatokhoz. Mvel a éés adatok R vektoát adottnak tekntük, a sűűségfüggvén az α R k paaéteek függvéne. Úg s fogalazhatunk tehát, hog eghatáozandó a paaéteek azon étéke, ael legnkább egfelel a éés adatokhoz tatozó valószínűség-eloszlásnak. A (.3 elölés alkalazásával a lkelhood függvént az (.5 L(α = f( α ódon ételezzük. Az L(α függvén sét hangsúlozva, hog az α paaéte függvéne, lénegében annak az eseénnek a valószínűségét epezentála, hog az α paaétevekto az α = (α, α,, α k étéket vesz fel, ögzített = (,,, éés adatok esetén. A ML ódsze alkalazása soán tehát az α L(α lkelhood függvén axuhelét keessük. Mnt elítettük gakan célszeűbb, egszeűbb az α ln L(α log-lkelhood függvén axuhelét eghatáozn, különösen akko, ha a lkelhood függvént szozat alakban íhatuk. Ha ugans a éés adatok függetlenek, akko (.4 szent (.6 L(α = f f,,..., k és ekko a log-lkelhood függvén alaka: (.7 lnl(α = ln f ln f,,..., k A szélsőéték létezésének szükséges feltétele, hog az α R k paaéte koponense kelégítsék az ún. lkelhood egenleteket : ln L(,,..., (.8 k 0 ; (s =,,, k s A gakolatban, ako a odell nagon sok paaétet tatalaz, a axu-feladat egoldása ne állítható elő zát analtkus foában. A szélsőétékhel ekko nuekus ódszeekkel állítandó elő, nelneás optalzálás eláások alkalazásával, teácós ódszeekkel. Célszeű ezen algotusok soán az elvleg legbővebb R k paaétetatoánt leszűkíten és az optuot az R k eg észhalazán egkeesn, et ez gosíta az teácót. Ebben az esetben azonban fennáll a veszéle annak, hog csak lokáls axuot állít elő az algotus és ne a lkelhood függvén abszolút axuát, égpedg akko, ha ne egfelelő paaétetatoánt választunk. Célszeű ezét több különböző ódsze és paaétetatoán esetén s eghatáozn a axuot, és ha nden esetben uganazt kapuk optáls egol-

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. dásként, akko fogadhatuk el a kapott vektot a axu lkelhood ódsze egoldásaként.. A axu lkelhood elv alkalazása Posson-eloszlás paaéteenek becslésée Téünk á a gaa-sugázás spektuának vzsgálatáa. Alkalazzuk az. pontban bevezetett elöléseket. Tegük fel, hog az -edk [E, E ] csatonában a egsztált beütésszá, íg az alkalazott odell szent a fotonok száának átlagétéke ( =,,,. Telesen általánosan, a odell szent váható étékek leíásáa szolgáló paaéteek legenek α, α,, α k. Tegük fel tehát, hog ndegk az α s (s =,,, k paaéteek függvéne: = (α, α,, α k. Jelöle P(, annak az eseénnek a valószínűségét, hog az -edk csatonában a egsztált fotonszá, feltéve, hog a odell szent beütésszá váható étéke ( =,,,. Ez utóbb nag száú éés eedénenek átlagolásával száítható. Mvel az eges csatonákban a beütések száa egástól nlvánvalóan független, a lkelhood függvén az alább alakban íható: (3. ( L α, α,...,αk = = P(, A tapasztalatok szent, ha adoaktív bolásól van szó, a szálálóbeendezéssel egsztált eseének száa, tehát a beütésszá Possoneloszlást követ, elnek váható étéke a fent bevezetett elölés szent éppen. Ebből következk, hog P(, = exp (! ezét a (3. lkelhood függvén a következő konkét alakot ölt: (3. Lα, α,...,αk exp (! Képezzük a kapott függvén logatusát. Íg kapuk a log-lkelhood függvént:

TERMÉSZETTUDOMÁNY 3 állandó ln(! ln( ln(! ln( ln(exp( ln( exp! ( ln,...,α,α lnl α k A axu lkelhood becslés az lnl(α, α k függvén α s paaéteek szent deválásával állítható elő: 0,...,α (α,...,α (α ln α α,...,α α, α ln L k k s s k (s =,,, k. A konkét száítások akko végezhetők el, ha az = (α, α,, α k váható étékeke konkét ateatka odell van a btokunkban. Első lépésként tegük fel, hog egetlen adoaktív zotóp gaa sugázását vzsgáluk. Élünk azzal a nlvánvaló feltevéssel, hog az -edk csatonában a beütésszá átlagétéke,, aános az zotóp A aktvtásával [, ]. Ebben az esetben tehát egetlen α paaéteünk van és ez az seetlen A aktvtás. Ha f elöl az egségn dőe és egségn aktvtása vonatkozó spektuot ( =,,,, akko az átlagétéke a = T A f összefüggés adódk, ahol T a spektu felvételének teles dőtataa. Ekko a (3. lkelhood függvén az alább foában íható: (3.3 f A T exp! ( f A T A L Íg a log-lkelhood függvén: f A T! ln( f A ln(t A L ln A szélsőéték pedg a 0 f T A f T A A A ln L egenlet egoldásaként adódk: (3.4 f T A

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. A (3.4 foula szolgáltata tehát az seetlen aktvtás axu lkelhood becslését egetlen zotóp esetén. Képezve a ásodendű deváltat, az adódk, hog: ln LA A A Ez nlvánvalóan negatív, a pontosan azt elent, hog a (3.4 egoldás a lkelhood függvén axuát szolgáltata. Általánosítsuk a fent egoldott pobléát aa az esete, ako k db adoaktív zotóp keveékének spektuát vesszük fel, továbbá vegük tekntetbe (k+-edk koponensként a hátteet s. Tegük fel, hog az s ndexű zotóp aktvtása A s. Ekko az -edk csatonában a beütésszá váható étéke: k T Asfs s ahol f s az s-ndexű zotóp egségn dőe és egségn aktvtása vonatkozó spektua. A lkelhood függvén ost k + db paaétet tatalaz: k T A s fs k (3.5 s L A,...,Ak, Ak exp T A s fs (! s Ennek logatusa: k k k k s s s s! s s,a ln T A f T A f ln lnl A,...,A 4

TERMÉSZETTUDOMÁNY Szélsőéték ott lehet, ahol telesülnek a ln LA,...,A k, Ak 0 ; (s =,,, k, k+ As egenletek. Elvégezve a deválást, azt kapuk, hog ln LA,..., A, A f k k T f 0 ; A k As fs s ( =,,, k, k+ A kapott egenletek átendezésével kapuk az eges zotópok A s aktvtásának axu lkelhood becslésée vonatkozó lneás egenletendszet: k (3.6 T A s f fs f ; ( =,,, k, k+ s Ez tehát eg k+ db egenletből álló egenletendsze az seetlen A s aktvtásoka vonatkozólag. A endsze nuekus ódszeekkel egoldható []. 3. Közelítés noáls eloszlással Vzsgáluk ost azt az általánosabb esetet, ako a éés adatok ne íhatók le poztív egész száokkal. Ekko ne alkalazható a Possoneloszlással töténő leíás, azonban közelíthetünk Gauss-eloszlással. Ha a szokásos ódon elöl az átlagétéket és σ a szóást, akko a gausseloszlás sűűségfüggvéne: (4. f,, σ exp ; ( =,,, π σ σ Bá a noáls eloszlás ne alkalazható közvetlenül eg száláló beendezés által ét étékek, nt valószínűségeloszlás leíásáa, égs azt ondhatuk, hog a Gauss-eloszlás a Posson-eloszlás elfogadható közelítésének száít, ha a beütésszá csatonánként elé legalább az 5 étéket. Ekko a Posson-eloszlás a noáls eloszlás egész heleken 5

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. felvett étékevel közelíthető. A noálssal való közelítés keülendő, ha az alacson beütésszáok gakoak [3]. A gakolatban és az elélet eggondolások soán s feltételezk, hog a σ szóások setek és függetlenek a odell paaéteetől []. Ez azt elent, hog csak a váható étékek függenek a paaéteektől: = (α,, α k. Ha tehát a noáls eloszlással töténő közelítés feltétele fennállnak, akko a (3. lkelhood függvén alaka a (4. sűűségfüggvén és a paaéteekkel kapcsolatos egállapodás fgelebevételével a következő: (4. Lα,α,...,α 6 k π exp σ (α,α,...,αk σ Képezve (4. logatusát, kapuk a log-lkelhood függvént: (α, α,...,α ln L α, α,...,α k k ln σ ln π σ A elölések egszeűsítése végett célszeű a kapott egenletet egszoozn ( -vel: (α, α,...,αk ln L α,α,...,αk ln σ ln π σ (α,α,...,αk ln σ ln π σ Vegük észe, hog az összeg első szuáa éppen a ét spektu és a odellspektu eltéését egadó χ statsztka, a ásodk, záóelben levő összeg pedg konstans, független a paaéteektől. Azt kaptuk, tehát, hog ha noáls eloszlással közelítünk és a σ szóásokat a paaéteektől független set konstansoknak tekntük, akko: ln Lα, α,...,αk χ állandó Az elített feltevések ellett gaz tehát, hog a axu lkelhood becslés, és a legksebb négzetek ódszee azaz a χ statsztka, uganazt az eedént szolgáltaták. Száláló beendezésekkel végzett éések esetében azonban ezek a feltevések ne telesülnek, de a fent eedén ódosítható a vzsgált esete. Ekko ugans a Possoneloszlása való tekntettel, pontosan telesülne kell annak, hog a szóásnégzet egenlő a váható étékkel, azaz σ =. Ekko tehát a

TERMÉSZETTUDOMÁNY Gauss-féle log-lkelhood függvén konstanstól eltekntve ne egenlő a χ statsztkával, hane tatalaz ég eg addtív, paaéteektől függő tagot: (4.4 (α,α,...,α lnl α,α,...,α k k ln (α,α,...,α k állandó (α,α,...,α k χp ln (α,α,...,α k állandó A χ statsztka ezen ódosítása Peason-tól száazk [3], ee utal a elölésben alkalazott P ndex. A paaéteek ML becslése a (.8 feltétel egenletek alkalazásával elvleg ennek a foulának a felhasználásával s adódk, ha endelkezünk konkét odellfeltevésekkel a váható étéke vonatkozólag. Vzsgáluk ost eg a ML hatékonságának pobléáát. Tsztán ateatka szepontból a χ statsztka a ν szabadságfokú khínégzet eloszlást követ, ha az összeg taga páonként független standad noáls eloszlású valószínűség változók. A sűűségfüggvén ekko ν ν (4.5 ν f x x ν exp ν Γ ha x > 0 és f ν (x = 0 ha x 0. Itt Г(x az Eule-féle gaafüggvént elöl: Γ x x t exp( tdt 0 (A gaafüggvén legsetebb tuladonsága, hog Γ(x = (x Γ(x, tehát Γ(n = (n! ha n egész szá! Ha a éés adatok száa, és az llesztett paaéteek száa k, akko az eloszlás szabadságfoka: ν = k. Mnt azt á koábban elítettük, száláló beendezésekkel végzett ééseke vonatkozólag a felsoolt feltételek csak közelítőleg telesülnek. Ezét ne át egvzsgáln, hog a egfgelésekből száított χ statsztka étéke len konfdenca ntevalluba esk. Hbát követhetünk el ugans azáltal, hog bzonos paaéteeket állandónak tekntünk, de lehet pobléa eleve a odell feltevésevel. Legen χ n 7

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. a éés adatok és odellpaaéteek alapán száított aktuáls étéke a χ statsztkának. A konfdenca ntevallu kelöléséhez defnáluk a P χ n, ν fν (x dx 8 valószínűséget, ahol f ν (x a ν szabadságfokú khínégzet eloszlás (4.5 sűűségfüggvéne. Ha a száítások alapán az adódk, hog P > 0, akko a odellt elfogaduk, ha azonban P < 0,00, akko a odellt elvetük, et nag valószínűséggel feltevése ne heltállóak. A P étékét nevezzük az lleszkedés egbízhatóságának. A egbízhatóság ktéuát Gauss-eloszlás feltételezése ellett a χ statsztka alapán vezettük le. Feleül a kédés, adható-e valalen ktéu az lleszkedés egbízhatóságáa vonatkozólag, közvetlenül a lkelhood függvénnel egfogalazva? A válasz poztív. Defnáluk ennek édekében a lkelhood hánadost az alább ódon: ax L((α,...,αk α (4.6 ax ' α ax L( A töt szálálóában az adott R éés adatokhoz tatozó lkelhood függvén odell szent paaétetatoána vonatkozó, paaéteek szent axua áll. A nevezőben pedg lkelhood függvén abszolút axua szeepel, at úg kapunk, hog a paaéteek tekntetében, a odelle vonatkozólag seféle egszoító feltevéssel ne élünk. Vlágos, hog és egaánt a [0, ] ntevalluban vannak. A odellben alkalazott paaéteek legegfelelőbb étéke a hánados paaéteek szent axalzálásával kaphatók. A nevezőbel abszolút axu pedg a (4.7 ln L( 0 feltételekből adódnak, ahol az odellváltozókat ebben a lépésben függetlennek tekntük a paaéteektől. Defnáluk ost a axu lkelhood χ statsztkát a következő ódon: (4.8 χ = ln = lnl((α,, α k + lnl( Igazolható, hog a n(χ aszptotkusan egegezk a klasszkus k szabadságfokú χ eloszlással [3]. Eszent a egbízhatósága vonatkozó ktéu közvetlenül ebből a foulából s nehető. Mvel χ χ n

TERMÉSZETTUDOMÁNY 9 ásodk taga független a paaéteektől, ezét a χ paaéteek szent nalzálása ekvvalens az L((α,, α k lkelhood függvén axalzálásával. Tanulságos a χ alkalazása a koábbakban á vzsgált Possoneloszlás esetée. A becsült odellpaaéte ost a váható éték. Ha elsőként azt feltételezzük, hog ez ne függ paaéteektől, akko a (4.7 feltétel a következő eedént ada: 0! ln( ln( exp! ( ln,..., L ( ln A azt elent, hog a váható étékeke a = becslés adódk, ez szolgáltata a lkelhood függvén abszolút axuát. Ennek alapán Posson-eloszlás esetén a χ statsztkáa az alább kfeezést kapuk: χ = lnl( + lnl((α,, α k = (4.9 ln! ln( ln(! ln( ln( exp! ( ln exp! ( ln A axu lkelhood ódsze tehát Posson-eloszlás esetén aa vezetett, hog a lkelhood függvén axuának eghatáozása egenétékű a χ statsztka (4.9 alakának nalzálásával. Felhívuk a fgelet aa, hog ha (4.9-ben eltekntünk a konstans szozótól és a kapott kfeezés ellentettét vesszük, akko éppen az entópa ln, ( S általános alakát kapuk. Ennek axalzálása egenétékű χ nalzálásával. Megutattuk tehát, hog a gaa sugázás spektuának

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. Posson-eloszlással töténő odellezése esetén a axu lkelhood elv és a axu entópa ódsze egenétékűek [4, 5, 6]. 0 4. A váható éték axalzálásának elve A ML becslés alkalazása esetén a pobléa optáls egoldását közvetlenül a ln L(α, α,...,αk 0 ; (s =,,, k αs egenletek által eghatáozott endsze egoldása szolgáltata. Hog a kapott staconáus pont valóban abszolút axu és ne csak lokáls axu, vag esetleg nu, külön egfontolások tágát képez. Lneás és nelneás egenletendszeek egoldásáa több különböző eláás s set, tehát a pobléa elvleg egoldható. Ilennel találkoztunk (3.6-ban. Létezk azonban eg olan teatív eláás s, ael a lkelhood függvén axuát közvetlenül a Baes-foula alkalazásával, tehát valószínűségelélet alapon állíta elő. Ennek soán közvetlenül a P( α feltételes valószínűség logatusát, tehát a log-lkelhood függvént axalzáluk. Az eláás, a váható éték axalzálásának elve nevet vsel (Expectaton Maxzaton Algoth, EM. Mvel azonban ez a ódsze szntén a lkelhood függvén axuát állíta elő, ne független a ML elvtől, hane ellenkezőleg, aa épül. Ezét összefoglalóan úg nevezhetük, hog axu lkelhood becslés a váható éték axalzálásának ódszeével (Maxu Lkelhood estaton usng Expectaton Maxzaton Algoth, ML-EM [7]. Az alábbakban setetendő eláás száítások szepontából legnagobb előne, hog alkalazása akko s lehetséges, ha hánzó vag közvetlenül ne egfgelhető paaéteek s bonolíták a helzetet. A ódsze egvlágítása édekében tegük fel, nt koábban, hog R a éés adatok véletlentől függő vektoa, valószínűség változó. Legen továbbá α R k az alkalazott odellnek egfelelő paaéteek vektoa. Feladatunk az α s (s =,,, k paaéteeket úg eghatáozn, hog a P( α valószínűség, lletve ennek logatusa az L(α = ln P( α log-lkelhood függvén axáls legen. Az EM

TERMÉSZETTUDOMÁNY algotus teácós úton állíta elő az L(α függvén axuát. Tegük fel, hog a k-adk lépésban a paaéteek optáls becslése: α (k. Mvel a feladat L(α axalzálása, telesülne kell, hog L(α > L (α (k. A ktűzött pobléával nlván egenétékű az (5. L(α L (α (k = ln P( α ln P( α (k különbség axalzálása. Mndezdág ne vettünk fgelebe hánzó, lletve közvetlenül ne egfgelhető, vag ne egfgelt adatokat, paaéteeket. Ha léteznek lenek, az EM algotus eg teészetes keetet szolgáltat ezen paaéteek fgelebe vételée. Megfodítva a logkát, a axu lkelhood becslés soán esteségesen s bevezethetünk etett paaéteeket annak édekében, hog a száítás egszeűbben kvtelezhető legen. Jelöle ezen paaéteek vektoát z = (z, z,, z R, aelet ugancsak valószínűség változónak tekntünk. A P( α valószínűség a z paaéteváltozó fgelebevételével, a teles valószínűség tétele alapán száítható k: P α P z, α P z α Az (5. egenlet íg az L(α L (α (k = ln z, α Pz α P ln P( α (k alakot ölt. Alkalazzuk ost a konkáv függvéneke vonatkozó R R R β f x f β x ; β 0, β Jensen-egenlőtlenséget a logatusfüggvéne. Ha alkalazzuk a β = P(z,α (k 0 elölést, és a nlvánvalóan gaz k P (z, α összefüggést, akko a Jensen-egenlőtlenség alkalazása és azonos átalakítások után a következőt kapuk:

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. k k L(α L α ln P z,α P z α ln P α k P(z,α k ln P z,α P z α k ln P α P(z,α ln P(z, α P(z,α k P z,α Pz α k,α k P z,α Pz α ln P(z P(z k,α k P z,α Pz α k ln P α k ln P α k P(z,α ln Δ α α k k P(z,α P α Az egenlőtlenséglánc végén bevezetett elöléssel azt kaptuk tehát, hog (5. L (α k k k L α Δ α α f α α Az f(α α (k függvén tehát ne haladhata eg a lkelhood függvént. Egenlőség pedg éppen az α (k helen telesül, ugans: (5.3 k k Δ α α k k k f α α L α k k P z,α P z α k k L α P(z,α ln k k P(z,α P α k P, z α k k L α P(z,α ln k P(z, α k k k L α P(z,α ln L α

TERMÉSZETTUDOMÁNY Tehát a k-adk teácós lépés eedéneként adódó α (k helen telesül, hog L(α = f(α α (k. Ennek alapán nlvánvaló, hog báel olan α választása esetén, ael egnövel az f(α α (k függvént, növekszk az L(α függvén étéke s. Annak édekében, hog L(α étékét tekntve a lehető legnagobb növekedést éük el az EM algotus alkalazása keetében, vlágos, hog az f(α α (k függvén axuát kell eghatáozn. Legen a (k+-edk teácós lépésben α becslése pontosan az f(α α (k függvén axuhele: α (k+. Ha a száítások soán eltekntünk a konstans tagoktól és alkalazzuk a feltételes valószínűség defnícóát, akko α (k+-edk közelítésée a következő foulát kapuk: (5.4 k α ax L α k α ax α ax α k P α k k P z, α Pz α P(z, α ln P(z P(z, α, α ax P(z, α α ax Eln P, z α α k ln P z, α Pz α k P, z, α ln Pz, α k ln P, z α P(z P, α z, α Pα Az adódk tehát, hog az α (k+ közelítést az E[lnP(,z α] feltételes váható éték α paaéte szent axua szolgáltata. A fentek szent az ME algotus két lépésből áll:. lépés: ( E-step, expectaton-step Az α (k k-adk közelítés btokában eg kell hatáoznunk az (5.5 k E ln P, z α P(z, α ln P, z α feltételes váható étéket. 3

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV.. lépés: ( M-step, axzaton-step Maxalzáln kell a váható étéket az α paaéteek szent. A axuhel szolgáltata a (k+- edk α (k+ közelítést. Ezek után felváltva alkalazzuk az. és. lépéseket. A kfetett algotus teészetesen lehetőséget ad nden eges teácós lépésben a etett paaéteek, z becslésée s. Mvel a z étéket közvetlenül egén, egfgeln ne tuduk, teészetesnek ondható, hog a (k+-edk lépésben z étékét azonosítuk a (5.6 z (k+ = E[z, α (k ] feltételes váható étékkel. A leítak fénében úg dolgozunk, hog az teácó soán felvesszük kezdőétékként az α (0 paaétet, ad az (5.6 és (5.4 foulák sételt alkalazásával ende eghatáozzuk z és α aktuáls étékét: α (0 z ( α ( z ( α ( z (3 α (3 z (4 Isételten keelük, hog ha az L(α lkelhood függvén közvetlen axalzálása helett az f(α α (k függvént axalzáluk eg teácós eláás nden lépésében, akko az azzal az előnnel á, hog fgelebe tuduk venn a hánzó paaéteeket, a ne egfgelt adatokat, aeleket a z vektoban foglaltunk össze. Abban az esetben, ha becslést kívánunk adn ezeke a paaéteeke, a fent algotus lehetőséget ad á. A 6. pontban észletesen egvzsgálunk eg len esetet. Mnt azt a bevezetőben á elítettük, len paaéteek esteséges bevezetése gakan haszonnal s á, et egkönnít a száítások elvégzését. Az algotus abban az esetben s űködk, ha az f(α α (k függvén egzakt axuhelének egállapítása nehézségekbe ütközk, vag aká kvtelezhetetlen. Ebben az esetben az f(α α (k axuának egállapítása, tehát a függvénéték legnagobb étékű növelése helett elegendő eg olan α (k+ becslés eghatáozása, ael az f(α α (k függvén étékét egszeűen csak növel, de ne a legnagobb étékben. Ebben az esetben s telesül tehát, hog (5.7 f(α (k α (k f(α (k+ α (k (Teészetesen lehetőség szent egkövetelük a szgoú egenlőtlenséget. Ez az eláás az EM algotus általánosításának tekntendő (Genealzed EM Algoth, GEM. Feleül az teácó konvegencáának kédése. Megutattuk (5.3-ban, hog ( α (k α (k = 0. Vzsgál- 4

TERMÉSZETTUDOMÁNY uk ennek felhasználásával a (k+-edk teácós lépésben L(α étékét. (5. és (5.7 szent: L (α (k+ L(α (k + ( α (k+ α (k = f(α (k+ α (k f(α (k α (k = L(α (k + ( α (k α (k = L(α (k A azt elent, hog az L(α (k (k N soozat onoton növekedő. Vlágos, hog a soozatnak felső koláta lnp( α. Ez azt elent, hog az L(α (k soozat onoton és kolátos, tehát létezk hatáétéke. Más szavakkal ez annt elent, hog az teácó nden esetben konvegens. Pobléa a lokáls axuokkal lletve a neegpontokkal lehet, et elképzelhető, hog az teácó hatáétéke ne az abszolút axu. Ennek ellenőzéseképpen célszeű az teácót több különböző α (0 kezdőétékkel lefuttatn. Ha nden esetben uganaz adódk optáls egoldásként, akko fogaduk el az teácó eedénét optáls becslésként. 5. Az EM algotus alkalazása gaaspektuok kétékelésée A bevezetőben alkalazott elölésekkel élve tegük fel, hog a -edk enegantevalluban a fotonok száa x, ( =,,, n. A fotonok száa Posson-eloszlást követ váható étékkel ( =,,, n. Feladatunk, hog a detektoal ét spektu, tehát az ( =,,, adatok alapán eghatáozzuk az x fotonszáokat, vag a ezzel gakolatlag egenétékű, ezek átlagétékét. Tegük fel, hog a -edk ntevalluba tatozó fotont a detekto az -edk csatonában egsztála. Ennek valószínűségét elöl R. Feltehető, hog nden eges ettált fotont a detekto egsztál valaelk csatonában, tehát telesül, hog (6. R ;( =,,, n. A detekto válaszfüggvénének R koponense éések útán eghatáozható, detektoa ellező állandók. Ezeket az alábbakban setnek tételezzük fel. A detekto által az -edk csatonában egsztált beütésszá szntén Posson eloszlású valószínűség változó, elnek átlagétéke ( =,,,. 5

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. Ezek szent exp( annak valószínűsége, hog az -edk csatonában a beütésszá. Mvel ennek a váható étéke, telesül! a 6 (6. E n R összefüggés s. Legen ost z ( =,,, ; =,,, n azon fotonok száa, aelek a -edk enegantevalluba tatoznak és az - edk csatonában vannak egsztálva. Az 5. pont elölésevel és gondolataval összhangban, ezek azok a etett paaéteek aeleket közvetlenül egfgeln ne tudunk. Az EM algotus különleges saátossága, hog segítségével ezeke a paaéteeke s adhatunk becslést. A z paaéteek s Posson eloszlást követnek, elöle ezek átlagétékét. Nlván telesül, hog (6.3 = R. Feltehetük, hog az eges enegatatoánokba tatozó fotonok száa egástól független, és uganezt elondhatuk a detekto eges csatonában egsztált beütésszáokól s. Ez azt elent, hog a lkelhood függvén szozatalakban íható. Az eddgekben általánosan α-val elöltük azokat a paaéteeket aeleket úg szeetnénk hangoln, hog a odell a legobban lleszkeden a éés adatokhoz. Ezt tekntük a lkelhood függvén változóának. Az alább vzsgálatokban ezek a paaéteek a áltagétékek, lletve (6.3 szent a váható étékek. Ezét a lkelhood függvén a (6.4 L n z z exp(! alakban íható. Ennek logatusa, a log-lkelhood függvén íg a következő: (6.5 ln L z ln lnz! n Ha tt ténlegesen fgelebe vesszük a (6.3 összefüggést, akko a paaéteektől függő alakot kapuk: n (6.6 ln L R z ln z lnr lnz! Alkalazzuk lnl( axuának eghatáozásáa az EM algotust. Az algotus két lépésből áll:

TERMÉSZETTUDOMÁNY. lépés ( E-step : Meg kell hatáoznunk az (5.5-nek egfelelő Eln P,z k P(z, ln P,z z feltételes váható étéket. Felhívuk a fgelet, hog tt lnp(,z éppen az lnl( log-lkelhood függvén. A (6.6 z-szent feltételes váható étékének kszáítását végezhetük tagonként. Az első tag konstans, íg átlaga saát aga. A több háo tagban s elég z feltételes váható étékét kszáítan, ad a ásodk és haadk tagban konstanssal szoozn. A k-adk teácós lépésben kapott (k közelítés btokában, az (5.6 összefüggés szent, ez az átlagéték éppen a z közelítő étéke a (k+-edk teácós lépében: (6.7 z (k+ = E[z, (k ] Ennek eghatáozása édekében előszö száítsuk k a P[z, (k ] feltételes valószínűségeket. Ha felhasználuk a nlvánvaló és az z összefüggéseket, a feltételes valószínűség fogalát, továbbá azt, hog z és Posson eloszlásúak, akko azt kapuk, hog: P z, P z P z! z,! α z α exp( z! z z! exp(! z z! exp( α α A száítás eedéne azt utata, hog a P[z, (k ] feltételes valószínűségeloszlás éppen Bnoáls eloszlás. Ennek pedg közset a váható étéke, a egben a z (k+ közelítő éték: k k (6.8 z (k+ = E[z, (k ]= n k 7

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV.. lépés ( M-step : Maxalzálnunk kell a (6.6 függvén feltételes váható étékét. Ehhez előszö foálsan behelettesítük a (6.8 összefüggést a (6.6 függvénbe, ezzel képeztük a váható étéket: n! ln L( ln L( deváltakat és egolduk a 0 (6.9 k k k ln L R z ln z ln R ln z Mad kszáítuk a ( =,,, egenleteket. Elvégezve a deválást azt kapuk, hog: k R z 0 Ha felhasználuk a (6. összefüggést, akko kapuk ezeknek az egenleteknek a egoldását: k k z Helettesítsük ost ebbe az összefüggésbe a (6.8 eedént: k k n k Mvel (6.3 szent ég az s telesül, hog = R, ezét a paaéteeke vonatkozó teácós foula végül a következő alakot ölt: k R k k R n n k k R R (6.0 A (6.0 foula tehát a valós spektukoponensek átlagétékée vonatkozó teácós foula. Mvel az x átlaga, gakolatlag uganez a foula szolgál az x fotonszáok teácós becslésée s [5, 6]: k k R x n k R x (6. ; 8

TERMÉSZETTUDOMÁNY Az ML-EM algotus bá eedetleg pozton esszós toogáfa vzsgálatok kétékeléséhez lett kfelesztve, nagon hatékonan alkalazható ódsze a spektuok kétékelésének pobléaköében s. Hátána, hog az teácó vszonlag lassan konvegál, és bzontalanság van abban, hog a egoldás abszolút vag lokáls axuot ad-e, de előne, hog a dekonvolúcós ódszeek között a legobb felbontást bztosíta, a legélesebb csúcsokat és a legélebb völgeket állíta elő a spektuban, és akko s eedénesen alkalazható, ha vszonlag alacson a el/za aán. 9

GAMMA-SPEKTRUMOK KIÉRTÉKELÉSÉNEK MATEMATIKAI MÓDSZEREI IV. Felhasznált odalo. Jánoss Laos: Méés eedének kétékelésének elélete és gakolata. Akadéa Kadó. 968. V.A. Muavsk S.A. Tolstov A.L. Kholetsk: Copason of the least squaes and the axu lkelhood estatos fo gaa-spectoet Nuclea Instuents and Methods n Phscs Reseach B 45, (998 573 577 3. T. Hauschld M. Jentschel: Copason of axu lkelhood estaton and ch-squae statstcs appled to countng expeents. Nuclea Instuents and Methods n Phscs Reseach A 457, (00 384 40 4. E.T. Janes: Infoaton Theo and Statstcal Mechancs. Phscal Revew 06, (957 60 630. 5. L. Bouchet: A Copaatve stud of deconvoluton ethods fo gaa-a specta. Astono & Astophscs Suppleent Sees. 3, (995 67 83. 6. L.J. Meng D. Rasden: An nte copason of Thee Spectal-deconvoluton Algoths fo Gaa-a Spectoscop 47, (000 No.4. 7. Todd K. Moon: The Expectaton Maxzaton Algoth: IEEE Sgnal Pocessng Magazne, 996 Novebe 30