Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény deriválás.......................... 9 3..4. Taylor polinom............................ 0 3..5. Határérték meghatározása L Hospital szabállyal.......... 3..6. Síkbeli görbe érintője......................... 3 3..7. Szélsőérték számítás......................... 3 3..8. Függvényvizsgálat.......................... 6 3.. Megoldások. Valós függvények........................ 7 3... Bevezető feladatok.......................... 7 3... Határérték............................... 3..3. Függvény deriválás.......................... 5 3..4. Taylor polinomok........................... 8 3..5. Határérték meghatározása L Hospital szabállyal.......... 3 3..6. Síkgörbe érintője........................... 34 3..7. Szélsőérték számítás......................... 35 3..8. Függvényvizsgálat.......................... 4
3. fejezet Valós függvények
3.. Valós függvények 3... Bevezető feladatok Mivel egyenlő? ( ) 3. sin arcsin() ( ) 3.3 sin arccos() ( ) 3.5 cos arcsin() ( ) 3. sin arccos() ( ) 3.4 tg arccos() ( ) 3.6 sin arc tg (, 4) 3.7 sh() 3.8 ch(3) 3.9 ch(), ha sh() =. 3.0 arsh(4) 3. arch(5) 3. arth( 0, 6) Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát: 3.3 3.4 y = + + y = 3 3.5 3.6 y = 3 + y = + 3 3.7 y = ln( 3 + ) 3.8 y = ln 5 4 3.9 y = arcsin 3 5 3.0 y = arccos 9 3. y = ln 5 0 + 6 3. y = ln (ln ) 3
Rajzoljuk meg a következő függvények görbéit. 3.3 y = 3.4 y = + + 3.5 3.6 y = + y = + 3.7 3.8 y = y = + + 3.9 3.30 y = 4 y = ± + 3.3 3.3 y = e y = e 3.33 3.34 y = e y = arcsin(sin()) 3.35 3.36 y = arccos(cos()) y = arctan(tg ()) 3.37 y = arctan ( ) Határozzuk meg a következő függvények inverz függvényét. 3.38 3.39 y = y = + 4
3.40 3.4 3.44 3.46 y = + ( 0) y = 3 + ( 0) y = 3 3.4 3.43 3.45 3.47 y = y = 6 ( 0) y = + 3 + y = + 4 ( ) y = + 4 + + 4 3... Határérték Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban. 3.48 3.50 3.5 3.54 (3 + ) 3 3 + 4 3 + 3 3 4 + 4 4 + 3 5 + 3 + 3.49 3.5 3.53 3.55 k (k N rögzített) 3 3 + 4 4 + 4 + 3 0 6 + 8 4 5 + 4 5
3.56 3.57 8 3 6 5 + 3 + 3 + 3.58 n (n Z rögzített) 3.59 ( 3 ) 3 3.60 ( 4 ) 3 3.6 3 + 3.6 3.63 + 3 + 5 n + 3.64 + 3 3.65 3 3 3 6 + 3 0 7 + 963 3.66 + + 3.67 3 + + 9 + 3 + 3.68 3.69 + + + 6
3.70 3.7 ( + ) ( + ) 3.7 ( ) + 3.73 + + 6 4 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.8 3 5 3 + 3 + 4 + 5 + 5 5 + 3 + 3 3.80 sin(m), n, m N rögzített. n sin(5) 3.8 sin(a) sin(b), a, b R, b 0 rögzített. 7
3.83 3.84 sin() tg () ctg () 3.85 3.86 cos() cos() sin () 3.87 3.89 3.9 ( sin() ) tg + sin() cos() sin() cos() 3.88 3.90 ( π ) (tg ()) tg π 4 4 tg sin() 3 cos( 3 ) cos() 3.9 3.93 π 6 sin () + sin() sin () 3 sin() + 3.94 sin() + sin(3) ( cos()) tg 3 sin 3 () 3.95 sin() sin() 3 3.96 π 6 ( sin π ) 6 3 cos() 3.97 3.98 + tg () tg () π cos sin cos() 8 sin()
3..3. Függvény deriválás Határozzuk meg a következő függvények deriváltját. 3.99 f() = 4 3 + 7 3.00 f() = ( 3 3) sin() 3.0 f() = 3 + 3 ( + + ) cos() 3.0 f() = sin () 3.03 f() = sin( ) 3.04 f() = sin( 5 + 8) 3.05 f() = ( 4 6 + ) 6 tg 3.07 f() = tg ( ) 3.06 f() = cos(4 ) + sin 3 3.08 f() = sin 3 ( + tg ) 3.09 f() = 0 sin(3 ) 3.0 f() = e 3. f() = π sin() 3. f() = 3.3 f() = sin( ) 3.4 f() = 3.5 f() = + tg 3 3.7 f() = sh[ 3 ln( + 7)] 3.6 f() = lg( + sin ()) 3.8 f() = + th th 3.9 f() = 5 arcsin 3.0 f() = arcsin 3. f() = ar ch ar th + 3. f() = e 3.3 f() = 3 Határozzuk meg az alábbi implicit módon megadott (y = f()) függvények deriváltját. 3.4 + y = 3.5 sin() cos(y) + sin(y) cos() = 3.6 3 + y 3 3ay = 0 9
3.7 ( ) cos(y) + cos(y) = 0 3.8 y = y 3.9 f() = + arc tg f() 3.30 f() = ( + ) ( ) 3..4. Taylor polinom Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott 0 helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját. 3.3 3.3 3.33 f() = ln, 0 = e, T 4 () =? f() = e, 0 =, T 4 () =? f() = tg (), 0 = π 4, T 3() =? 3.34 f() = sin(), 0 = π 4, T 3() =? 3.35 f() = sin(3), 0 =, T 4 () =? 3.36 f() = 3 6 + 5, 0 =, T 3 () =? 3.37 f() = + 3 5 + 7 6, 0 =, T 6 () =? 3.38 f() = 5 4 3 + 3 + 4 + 0, 0 =, T 5 () =? 0
Írjuk fel az alábbi függvények 0 = 0 helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját. 3.39 3.40 f() = e, T 4 () =? f() = sin(3), T 6() =? 3.4 3.4 3.43 3.44 f() = cos(), T 5 () =? f() = arc tg, T 3 () =? f() = ln( + ), T n () =? f() = ( + ) α, T n () =? 3.45 Mekkora hibát követünk el, ha az y = sin() függvény értékét a [0, ] intervallumon a T 5 () = 3 3! + 5 5! Taylor polinommal közelítjük? 3.46 Határozzuk meg az e szám értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! 3..5. Határérték meghatározása L Hospital szabállyal 3.47 sin 3 tg 5 3.48 tg () + cos 3 e e
3.49 π 4 tg () sin 4 3.5 e e sin() 3.53 sin() e sin() e cos() 3.55 sin() cos() 3.50 e sin() 3.5 tg () sin() 3.54 ln ( + ) sin e ln 3.56 ln sin() ln 3.57 3.58 3 3.59 (e ) ( 3.6 ctg ) sin a ( 3.60 ) sin tg () 3.6 (sin()) π (a R rögzített) tg () 3.63 (arcsin ) 3.64 (tg ()) π π ( ) tg () 3.66 3.65 ( ) + 3.67 3.68 ( ) + ( ) + 3.69 3.7 ( ) 4 3.70 ( + tg ())ctg ( + )
3..6. Síkbeli görbe érintője 3.7 Határozzuk meg az y = 3 parabola 0 = abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét! 3.73 Hol metszi az y = ln görbe = e abszcisszájú pontjához húzott érintője az tengelyt? 3.74 Határozzuk meg az y = tg () görbének azt a pontját, melyhez tartozó érintő párhuzamos az y = 5 egyenessel! 3.75 Határozzuk meg az y = 3 6 + 56 görbének azokat a pontjait, melyekben az érintő párhuzamos az y = 6( π) egyenessel! 3.76 Bizonyítsuk be, hogy az y = a görbe (ahol a > 0 adott) bármely pontjához húzott érintője és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! 3.77 Írjuk fel az y = tg () görbe = π abszcisszájú pontjához tartozó normálisának 4 egyenletét. (A függvény görbe P pontjához tartozó normálisa az az egyenes, amely a ponthoz húzott érintőre merőleges.) 3.78 Határozzuk meg az y 3 3 4y + 3 = 0 implicit alakban adott függvény görbéjének = abszcisszájú pontjaiban az érintő és normális egyenletet. 3.79 Keressük meg az y = 3 3 + görbe azon pontjait, ahol a.) az érintő párhuzamos az tengellyel b.) az érintő az tengely pozitív irányával +45 -os szöget zár be. 3..7. Szélsőérték számítás 3.80 Határozzuk meg az y = 3 függvény lokális szélsőértékeit! 3.8 Határozzuk meg az y = 4 e függvény lokális szélsőértékeit! 3.8 Keressük meg az f() = 3 9 + 5 3 függvény a) lokális szélsőértékeit, b) abszolút szélsőértékeit a [0; ] és a (0; ) intervallumokon. 3.83 Keressük meg az f() = + függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az [ ; ] intervallumon. 3
3.84 Keressük meg az f() = ln függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az (0; ] intervallumon. 3.85 Határozzuk meg az R sugarú körbe írt legnagyobb területű téglalapot. 3.86 Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert. 3.87 Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot. 3.88 Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszínű hengert. 3.89 Egyenlő szélességű három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maimális? 3.90 Határozzuk meg a h alkotójú kúpot közül azt, melynek a térfogata legnagyobb. 3.9 Egy a szélességű csatornából derékszögben kinyúlik egy b szélességű csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba. 3.9 Keressük meg az y = 8 parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponttól a legkisebb távolságra van. 3.93 Feltsszük, hogy a gőzhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos. Keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó c km/óra sebességű víz-sodrással szemben halad. 3.94 Az A és B pontok a ill. b távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út A-ból B-be a falat érintve? 3.. ábra. 4
3.95 00 m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maimális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglevő 00 m hósszú kőfalhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 3.. ábra. 3.96 Keressük meg a 4 + 9y = 36 ellipszisnek azt a pontját, ami a P (, 0) ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van. 3.97 Egy derékszögű háromszög alakú telek egymásra merőleges oldalai 00 m és 00 m. Az ábra szerint ráépített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maimális? 3.3. ábra. 3.97. feladat. 3.98 Egy r sugarú félkörbe írható téglalapok közül melyik területe maimális? Melyik területe minimális? 3.99 Egy fapados repülőgépen 300 ülőhely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 00 ülőhely foglalt. Ha 00 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek 00 Ft-tal. Hány utas esetén lesz a légitársaság bevétele maimális illetve minimális? 3.00 Adott T területű téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? 3.0 Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk belőle. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maimális? 5
3..8. Függvényvizsgálat 3.0 Vizsgáljuk és ábrázoljuk az f() = ln függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket. 3.03 f() = 3 9 4 3.04 f() = + 3.05 f() = + 3.07 f() = + 3.06 f() = e 3.08 f() = e cos() 6
3.. Megoldások. Valós függvények 3... Bevezető feladatok 3. 3. 3.3 sin( arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) = 3.4 3.5 + 3.6 sin() = tg (), sin(arc tg.4) = + tg 3 3.7 sh() = e e 3.8 ch(3) = 0.068 = 3.67 3.9 ch() = ch + sh = + sh = 3, ha sh =. 3.0 ar sh = ln( + + ), ezért ar sh 4 = ln(4 + 7) =.094 3. ar ch = ln( ± ), ezért ar ch 5 = ln(5 ± 4) = ln 9.8999 =.9 = ln 0.0 =.9 3. ar th = ln + y y, ezért ar th ( 0.6) = 0.4 ln.6 = 0.693. 3.3 A + + kifejezés azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha + 0 és 0. Ezt az egyenlőtlenség rendszert megoldva kapjuk, hogy az értelmezési tartomány:. 3.4 3 3.5 R \ {} 3.6 R \ {0, 3} 7
3.7 A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. Ezért függvényünk pontosan az 3 + > 0 feltételnek eleget tevő valós számokra van értelmezve. Az egyenlőtlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: R \ [, ] 5 3.8 A logaritmus mögött pozitív számnak kell állnia, ezért > 0. Továbbá a ( 4 ) 5 gyökjel alatti számnak nem- negatívnak kell lennie, ezért ln 0. E két 4 5 feltétel együttese pontosan akkor teljesül, ha. Ezért: 4. 4 3.9 4. 3.0 3 8, 8 3. 3. < < 3, < < 5, 8 < <. 3. < <. 3.3-3.37 Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás előtt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Ahol egy törtfüggvénynek a nevezője zérus, ott pólusa van. Itt függőleges aszimptotája van. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg. (a) 3.3. feladat (b) 3.4. feladat 8
(c) 3.5. feladat (d) 3.8. feladat (e) 3.6. feladat (f) 3.3. feladat (g) 3.9. feladat (h) 3.3. feladat 3.38 y =. 9
(i) 3.7. feladat (j) 3.30. feladat (k) 3.34. feladat (l) 3.37. feladat (m) 3.33. feladat 3.39 y =. 0
3.40 y =. 3.4 y =. 3.4 y = 3. 3.43 y = + 6. 3.44 y = 3. 3.45 y = 3. 3.46 y = +. 3.47 y = ( + ). 3... Határérték 3.48 3. 3.49 + ha k páros, 3.50 0. 3.5 3. 3.5. balról, jobbról + ha k páratlan. 3.53 Az ( ) gyöktényezőt a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük, majd egyszerűsítünk: 3.54 + 3 0 3. 3.55 3. 3.56 6. 3.57 0. 3.58 n. 3.59. 3.60. = ( )( + 5) ( )( + ) = + 5 + = + 5 + = 7 3.
3.6 Helyettesítsük 3 + -et u-val. Ekkor 3 + = u és = u 3. Ha 0, akkor u, tehát 3 + = u u u 3 = u u (u )(u + u + ) = u u + u + = 3. 3.6 = u 5 helyettesítés alkalmazásával 3.63 + 3 + 5 = + u 5 u + u = u 4 u 3 + u u + 3 u u u + n. 3.64. = 5 3. 3.65 Mivel, ezért a nevező domináns tagjával, azaz 7 0 -nel egyszerűsítjük a törtet: 3 6 + 3 0 7 + 963 = ( 6) 3 + 3 7 0 + 963 = ( 6) 3 7 0 + 963 0 7 + 3 7 0 7 0 = = ( 6, ) 0 30 + 30 + 963 7 0 5 = ( ) 0 30 + 0,, 30 + 963 7 0 5 ( ) 0 3.66 A számlálót és a nevezőt egyaránt szorozva ( + + + ) -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból eltűnik a négyzetgyök jel, és ezt követően a kifejezés egyszerűsíthető -el. Így az ismert (a + b)(a b) = a b összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. + + = + + + + + + + + = + + = ( + + + ) = + + + + =. 3.67.
3.68 + ( 4 )( + ) = = + ( )( + ) = = ( + + )( + ) + = 3. Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az előzőekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy = u helyettesítéssel oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható. 3.69 + + + ( + ) ( + + ) = ( + + + ) ( + ) = ( ) ( + + ) = + + + = 3.70 0. 3.7 0. 3.7. 3.73 4. =. 3.74 Alkalmazzuk az u = 3 + helyettesítést. Ekkor = u 3, s ezzel 3.75 3.77 3.79 3.8 3 + = u u u 3 = u. 3.76 5. 4. 3.78 3. 5 3. 3.80 5. sin m n ( sin m = m u (u ) (u + u + ) = u ) m n = m n = m n. u + u + = 3. 3
3.8 sin a sin b = a b sin a a sin b b = a b sin a a sin b b = a b = a b. 3.83 sin() tg () = sin() sin() cos() = (cos()) sin() sin() = =. 3.84. 3.85 3.86. cos() = ( cos()) ( + cos()) = ( + cos()) ( ) sin() sin () ( + cos()) = cos () = ( + cos()) = + cos() =. 3.87 3.88. 3.89. 3.90 ( sin() ) ( = tg () sin() cos() ) sin() cos() = sin() = 0 = 0. cos( 3 ) cos() = cos( 3 ) ( 3 ) cos() = cos() sin() = cos( 3 ) ( cos()) ( + cos( 3 )) = 4 + cos( 3 ) = 0 = 0. = 4
3.9 3.93 3.94 3.95 3.96 3.97 3.9-3 sin() + sin 3 = sin() + sin() sin() 3 = sin 3 3 3 sin() sin 3 + 3 = 3 + 3 = 4. = sin() sin() cos() 3 = sin() cos() = =. π cos sin cos() = π cos sin cos sin = π cos + sin = cos π + sin π =. 3.98 3..3. Függvény deriválás 3.99 f () =. 3.00 f () = 3 sin() + ( 3 3) cos(). 3.0 f () = 3 ( + + ) cos() ( 3 + 3)[( + ) cos() ( + + ) sin()]. ( + + ) cos () 3.0 f() = sin() sin() tehát f () = cos() sin() + sin() cos() = sin() cos() = sin(). 5
3.03 f () = cos( ). 3.04 f () = ( 5) cos( 5 + 8). 3.05 f () = 6( 4 6 + ) 5 (4 3 6)tg (4 6 + ) 6 cos. 3.06 f () = 43 sin( 4 ) ( + sin 3 ) 3 cos( 4 ) sin () cos() ( + sin 3 ()). 3.07 f () = tg ( ) cos ( ) = 4tg ( ) cos ( ). 3.08 f () = 3 sin ( + tg ) cos( + tg ) (tg + tg cos ) 3.09 f () = 0 sin(3) ln 0 cos( 3 ) 3 = 3(ln 0) 0 sin(3) cos( 3 ). 3.0 f () = e. 3. f () = π sin() ln π cos(). 3. f() = 7 8 tehát f () = 7 8 8. 3.3 f () = cos( ) sin( ). 3.4 f () = = ( ). 3 3.5 f () = 3.6 + tg 3 f () = = 3 cos 3 ( ) ( + tg 3). ( ) 4 sin() cos() lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) = sin 4 lg( + sin ) ln(0) ( + sin ).. 3.7 f () = ch[ 3 ln( + 7)] (3 + 7 ). 6
3.8 f () = ch sh. 3.9 f () = 5 5 arcsin ln. 3.0 f () =. 3. f () = ( + ) + = +. 3. Mivel ar th () = ( ) + ln, ezért e ar th = e ln + 3.3 f () = ( 3 ) 0 + ln = e + = f () = ( ) 3 ( 3 ). 3.4 Deriváljuk mindkét oldalt: + yy = 0, innen: y = y. 3.5 Deriváljuk mindkét oldalt: ( + )( ) 3 cos() cos(y) + y sin() sin(y) cos (y) + y cos() cos(y) + sin() sin(y) cos () = 0. Innen: y = cos() sin() sin(y) + cos(y) cos () sin() sin(y) cos (y) + cos() cos(y) cos (). 3.6 Deriváljuk mindkét oldalt: Innen átrendezéssel: y = a y y a. 3.7 y = cos y sin y + ( ) sin y 3 + 3y y (3ay + 3ay ) = 0. 7
3.8 Vegyük mindkét oldal logaritmusát: ln f() = f() ln. Deriváljuk mindkét oldalt: ln f() + Innen azt kapjuk, hogy 3.9 f () = + f(). f() f () = f () ln + f(). f () = f() f() ln f(). f() ln 3.30 Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük: ln f() = ( ) ln( + ). Aztán mint implicit függvényt deriváljuk: Innen átrendezéssel azt kapjuk, hogy 3..4. Taylor polinomok 3.3 A Taylor polinom képlete szerint: T 4 () = f(e) + f (e)! f() f () = ln( + ) + +. f () = ( + ) ( ln( + )). + ( e) + f (e)! ( e) + f (e) 3! A fenti képletbeli számítások: f(e) = ln e =. A derivált ( e) 3 + f (4) (e) ( e) 4. 4! f () =, f (e) = e. f () =, f (e) = e, Így a keresett polinom: f () = 3, f (e) = e 3, f (4) () = 3 4, f (4) (e) = 6 e 4. T 4 () = + ( e) e e ( e) + 3e ( 3 e)3 4e ( 4 e)4. 8
3.3 T 4 () = e [ +! ( ) +! ( ) + 3! ( )3 + 4! ( )4 ]. 3.33 T 3 () = +! ( π 4 ) + 4! ( π 4 ) + 6 3! ( π 4 )3. 3.34 f() = sin(), f( π 4 ) =. f () = cos(), f ( π 4 ) =. f () = sin(), f ( π 4 ) =. f () = cos(), f ( π 4 ) =. Tehát a keresett polinom: T 3 () = [ +! ( π4 )! ( π4 ) 3! ( π4 ] )3 3.35 T 4 () = sin(3) + 3 cos(3)! 3 3 cos(3) 3! 3.36 f() = 3 6 + 5, f() =. f () = 3 +, f () = 6, f () = 0 f () = 6, f () = 6. Tehát a keresett polinom: T 3 () = f() + f ()! ( ) 3 sin(3) ( )! ( ) 3 + 34 sin(3) ( ) 4. 4! f () = ( ) + f ()! ( ) + f () ( ) 3 = 3! =! ( ) + 6 3! ( )3 = ( ) 3 ( ) +. 9
3.37 Megjegyzés: Mivel az n-ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt n-edfokú Taylor polinomjával, ezért 3 6 + 5 = ( ) 3 ( ) +. Természetesen ez az azonosság elemi úton is ellenőrizhető. T () = 7 + 9( ) + 76( ) + 0( ) 3 + 90( ) 4 + + 39( ) 5 + 7( ) 6. 3.38 T 5 () = 6 + 5( ) + ( ) + 4( ) 3 + 4( ) 4 + ( ) 5. 3.39 T 4 () = + + + 4 3 3 + 3 4. 3.40 f() = sin 3, f(0) = 0. f () = 3 cos 3, f (0) = 3 f () = 3 sin 3, f (0) = 0 f () = 33 cos 3, f (0) = 33 f (4) () = 34 sin 3, f (4) (0) = 0 f (5) () = 35 cos 3, f (5) (0) = 35 f (6) () = 36 sin 3, f (6) (0) = 0. Tehát a keresett polinom: T 6 () = f(0) + f (0)! 3 + f (0)! + f (0) 3! = 0 +! + 0! + 33 3 + 0 3! 4! 4 + = [3 9 3 + 8 40 5 ]. 3.4 T 5 () = T 4 () = + 3 4. 30 3 + f (4) (0) 4! 3 5 5! 5 + 0 6! 6 = 4 + f (5) (0) 5! 5 + f (6) (0) 6 = 6!
3.4 f() = arc tg, f(0) = 0 f () = +, f (0) = f () = ( + ), f (0) = 0 3.43 f () = ( + ) 8 ( + ) ( + ) 4 = 6 ( + ) 3, f (0) =. Tehát a keresett polinom: T 3 () = 3! 3 = 3 3. T n () = + 3 3 4 n + + ( )n+ 4 n 3.44 T n () = + α α(α ) + α(α )(α ) + 3 +!! 3! α(α )... (α n + ) + + n = n! ( ) ( ) ( ) α α α = + + + + n = n n k=0 ( α k ) k. 3.45 A felírt polinom hatod fokúnak is tekinthető, ezért az elkövetett hiba R 6 () = f 7 (ξ) 7 = cos(ξ) 7 < 7! 5040 5040 < 5000 < 5 0 3, mert cos(ξ) bármilyen ξ esetén, és a 0 feltevés miatt. Ha tehát a 0-tól radiánig ( 57, 3 ) terjedő szögek sinusát az előbbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb. 3.46 Az e szám két tizedes jegy pontossággal való megközelítése azt jelenti, hogy megkeressük a két tizedes jeggyel felírt tizedes törtek halmazából azt az elemet, amely az e számhoz legközelebb esik. Ez a halmaz: {k 0.0 k Z}. Mivel két ilyen szomszédos tizedes tört távolsága 0, 0, ezért célszerűnek tűnik, hogy az e számot először 0.0 = 5 0 3 pontossággal közelítsük meg racionális számmal, majd ebből próbáljuk meg kikövetkeztetni, hogy az említett százados skálán melyik elem esik hozzá legközelebb. 3
Az e számot az f() = e ( R) függvény = helyen vett helyettesítési értéke adja. Ezért a feladat most olyan n N keresése, melyre e T n () = f() T n () < 5 0 3. A Taylor-formulát = esetén alkalmazva kapjuk, hogy van olyan 0 < ξ < szám, melyre f() T n () = f() n k= n! = f (n+) (ξ) (n + )! n+ = A ξ <, e < 3 becsléseket alkalmazva kapjuk, hogy ezért elég megoldani a 0 < f() T n () = e ξ (n + )! > 0. e ξ (n + )! < e (n + )! < 3 (n + )!, (3.) 3 (n + )! < 5 0 3 egyenlőtlenséget. Ez az egyenlőtlenség egyenértékű azzal, hogy (n + )! > 600, amiből kiolvasható, hogy n 5. Nézzük tehát pl. az n = 5 esetet: T 5 () = +! +! + 3! + 4! + 5! Rendezzük át az (3.) becslést: majd alkalmazzuk n = 5-re: T n () < f() < T n () + = 8, 5 3 3 (n + )!, =, 76666..., 76666 < e <, 76666 + 3 6! =, 7083333... Ebből már látható, hogy a százados skálán az e számhoz a, 7 tizedes tört esik legközelebb, tehát az e szám két tizedes jeggyel felírt közelítő értéke:, 7. 3..5. Határérték meghatározása L Hospital szabállyal 3.47 sin 3 tg 5 = 3 cos 3 5 cos 5 3 = 5 cos 3 cos 5 = 3 5. 3
3.48. 3.49. 3.50. 3.5 e e sin() = e + e cos() = e e sin() = e + e cos() =. 3.5. 3.53. 3.54 0. 3.55 e. 3.56 ln ln sin() = cos() sin() = sin() cos() = cos() cos() sin() =. 3.57 0. 3.58 sin a = sin a = ( a ) cos a = = a cos a = a cos 0 = a 3.59. 3.60 3. 3.6 0. 3.6 Itt felhasználtuk, hogy (sin()) tg () = e (tg ()) (ln sin()) = e 0 =. π π (tg ()) (ln sin()) = π π ln sin() ctg = ( sin() cos()) = 0. π = π cos() sin() sin = 33
3.63. 3.64. 3.65. 3.66 e. 3.67 e. 3.68. 3.69. 3.70. 3.7 e. 3..6. Síkgörbe érintője 3.7 Az érintő egyenlete y y( 0 ) = y ( 0 )( 0 ). Példánkban 0 =, y() =, y () =. Az érintő egyenlete y = ( ) + azaz y = +. 3.73 Az érintő egyenlete y = Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebből = 0. e Az érintő az origón megy keresztül. 3.74 Az érintő iránytangense y megegyezik az egyenes meredekségével. y = cos =. Innen cos() = ±, = ± π 4 + kπ. Tehát a keresett pontok: P k ( π 4 + kπ; ), Q k( π 4 + kπ; ) (k Z). 3.75 P (, 530) ; P (, 5). 3.76 T = a. 3.77 A normális meredeksége m = π = cos π y ( 4 ) 4 =. Innen az érintő egyenlete: y = + + π 8. 3.78 Keressük meg először a jelzett pontokat. Az = értéket beírjuk a függvénybe: y 3 3 4y + 3 = 0. Innen y(y 4) = 0. Három értéket találunk: y = 0, y =, y 3 =, ezért a megfelelő pontok P (, 0), P (, ), P 3 (, ). 34
A derivált y 6 4y = 3y 4 Érintő egyenesek: Normális egyenesek: = 6 + 4y 3y 4, y (P ) = 3, y (P ) = 7 4, y (P 3 ) = 4. y = 3 ( ), y = 7 4 ( ), y + = ( ). 4 y = 3 ( ), y = 4 ( ), y + = 4( ). 7 3.79 y =, ezt felhasználva: a) = 0, amiből = 0 vagy =. A keresett pontok: P (0, ), P (, 3 ). b) +45 -os bezárt szög esetén az érintő meredeksége, ezért megoldandó az = egyenlet. Ennek gyökei = +, =. Tehát a keresett pontok: Q ( +, 3 3 ), Q (, 3 + 3 ). 3..7. Szélsőérték számítás 3.80 A függvénynek lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus. Ha ezen a helyen az első el nem tűnő derivált páros rendű, akkor van lokális szélsőérték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor lokális minimum van, ha negatív, akkor lokális maimum van. y = 3, ezért y = 3 és y = 6. y = 0 ha = 4, azaz = ± y () = > 0, lokális minimum van y() = 6. y ( ) = < 0, lokális maimum van y( ) = 6. 3.8 y = (4 3 5 )e = 3 (4 )e Mivel e mindenütt pozitív, y = 0 akkor lehet, ha = 0 ill. =, 3 = y = ( 8 4 + 4 6 )e y (0) = 0, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni. y ( ) = y ( ) = 6 < 0, tehát ezeken a helyeken a függvénynek lokális e maimuma van. 35
Vizsgáljuk az = 0 helyet. y = (4 96 3 + 60 5 8 7 )e ; y (0) = 0 y (IV) = (4 336 + 49 4 76 6 + 6 8 )e y (IV) (0) = 4 > 0, tehát a függvénynek az = 0 helyen van lokális szélsőértéke: lokális minimuma van. = 0-nál y min = 0 = és 3 = -nél y ma = 4 e. M egjegyzés: természetesen kereshetjük a lokális szélsőérték helyeket a függvény monotonitásának vizsgálatával is. 3.8 a) f monotonitását vizsgáljuk, s ebből következtetünk a keresett szélsőérték helyekre. A derivált f () = 3 8 + 5, melynek zérushelyei: =, = 5. Ennek alapján a függvény monotonitása: a (, ] intervallumon: szigorúan nő, a [, 5] intervallumon szigorúan csökken, a [5, + ] intervallumon. szigorúan nő. Emiatt az = helyen lokális maimuma van, melynek értéke: 4, és az = 5 helyen lokális minimuma van, melynek értéke: 8. b) A [0, ] intervallumon vegyük figyelembe, hogy f a [0, ] intervallumon szigorúan nő, az [, ] intervallumon pedig szigorúan csökken. Emiatt abszolút maimuma az = helyen felvett f() = 4, abszolút minimuma pedig min{f(0); f()} = f(0) = 3. A (0, ) nyílt intervallumon - a monotonitás alapján - az = helyen van abszolút maimum, abszolút minimum pedig nincs. 3.83 Lokális szélsőértékek: f() ma =, ha = és f() min =, ha =. Abszolút szélsőértékek [ ; ]-n: abszolút minimum = -nél, abszolút maimum = -nél és = -nél 5. 3.84 Lokális szélsőérték: f() min = e, ha = e. Abszolút szélsőérték (0; ]-en: abszolút minimum = -nél, abszolút ma- e e imum = -nél 0. 36
3.4. ábra. 3.85 feladat 3.85 Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát m-el, akkor a terület T = m. Ekkor + m = 4R, ahonnan m = 4R.Így T = 4R. A kapott függvény maimumát kell keresnünk. Egyszerűsítést jelenthet, ha a terület-függvény helyett annak négyzetét tekintjük. T -nek ugyanott van maimuma, ahol T -nek: T = (4R ). A maimális területű négyszög négyzet, és = m = R. T = R. 3.86 Legyen a henger sugara r, magassága m. V = r πm V ma = 4 3 9 R3 π, ha r = R 3, m = R. 3 3.87 Legyen a kúp alapkörének a sugara r, magassága m. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhető. V = r πm ; r = R, m = R +. 3 V = π 3 (R )(R + ) V ma = 3 8 R3 π, ha m = 4 3 R, r = 3 R. 3.88 r = m = 3 π 37
3.5. ábra. 3.86. feladat 3.6. ábra. 3.87. feladat 3.89 A feladat megoldásában segít az ábra: T = ϕ = 60. a + m = (a + )m 3.90 A feladat megoldásában segít az ábra: V ma = 3 7 πh3, ha r = ( 3.9 A feladat megoldásában segít az ábra: l ma = a 3 + b 3 3 h, m = h 3. ) 3, ha tg α = 3 a b. 38
3.7. ábra. 3.89. feladat 3.8. ábra. 3.90. feladat 3.9 P (, ±4). 3.93 Egy óra alatt a hajó v c km-nyi utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása E = av 3 (a konstans arányossági tényező). A D költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a K = a v3 v c költségfüggvény minimuma adja. A leggaz- 39
3.9. ábra. 3.9. feladat daságosabb sebesség: v = 3 c km/h. 3.94 Minimális távolság esetén α = α. 3.95 Maimális terület 5000 m, ekkor a = 00 m, b = 50 m. A minimális terület 0 (egyenes vonal). 3.96 Jelölje (, y) az ellipszis egy pontját. Ekkor P és (, y) távolsága: d = ( ) + (y 0). Ennek minimumát és maimumát keressük a 4 + 9y = 36 feltétel mellett. Nyilvánvaló, hogy d és d szélsőérték-helyei ugyanott vannak, ezért d szélsőértékhelyeit fogjuk keresni. A feltételi egyenletből kifejezzük y -et, majd behelyettesítjük d képletébe: d = ( ) + y = ( ) + 36 4 9 = 5 9 + 5 Keressük tehát az f() = 5 9 + 5 függvény abszolút szélsőértékeit a [ 3, 3] intervallumon. A [ 3, 3] intervallumhoz úgy jutunk el, hogy a feltételi egyenlet átrendezésével 9y = 36 4, amiből 36 4 0, azaz 3 3 adódik. Weierstrass tétele alapján tudjuk, hogy a keresett szélsőértékek léteznek. Keressük meg a derivált zérushelyét: f () = 0 9 = 0, ennek egyetlen megoldása = 9. Ez benne van a [ 3, 3] intervallumban. Így: 5 { min f = min f ( ) } { } 9 4, f( 3), f(3) = min 5, 4, = 4 = f 5 5 40 ( ) 9 5
{ ma f = ma f ( ) } { } 9 4, f( 3), f(3) = ma 5, 4, = 4 = f( 3) 5 Ennek alapján a P -hez legközelebbi pontok ( ilyen van): A ( 9 5, 8 5 ) és A ( 9 5, 8 5 ), a legtávolabbi pont pedig B( 3, 0). 3.97 A ház oldalainak hossza 00 m és 50 m. 3.98 A maimális területű téglalap oldalai a degenerált eset: egyetlen vonal. r és r. A minimális területű téglalap 3.99 Legyen f() a bevétel, ha utas van. A 00 fölöttiek száma 00, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként 30.000 00 ( 00). Ezért az összes jegy ára: ( ) f() = 30.000 00( 00) = 50.000 00 Az f () = 0 egyenlet megoldása = 50, így a potenciális szélsőérték helyek: = 00, = 50, = 350. A megfelelő függvényértékek: f(00) = 600.000, f(50) = 65.000, f(350) = 55.000 Maimális a bevétel 50 utas esetén, és minimális 350 utas esetén. csupán elméleti...) (A feladat 3.00 Négyzet. 3.0 Az egész drótból kört hajlítunk. 3..8. Függvényvizsgálat A függvényvizsgálat során a fő kérdések az alábbiak:. értelmezési tartomány. zérushelyek 3. a függvény viselkedése az értelmezési tartomány határain (határértékek) 4. növekvő és csökkenő szakaszok, szélsőérték 5. konve és konkáv szakaszok, infleiós pontok 6. grafikon felvázolása, értékkészlet 4
3.0 Értelmezési tartomány: R, > 0. A zérushelyeket az ln = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: =. Határértékek: ln = 0 (L Hospital-lal), + ln = +. Monotonitás, szélsőérték: f () = ln + zérushelye van: = e / =. e = ( ln + ). Ennek egyetlen A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ ] [ ) f a 0, intervallumon csökken, az e e, + intervallumon nő. Az = ( ) e helyen abszolút minimuma van. A minimum értéke: f = e e. Konveitás, infleiós pontok: f () = ( ln + ) + = ln + 3. Ennek egyetlen zérushelye van: = e 3/ = e e. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ ] [ ) f a 0, e intervallumon konkáv, az e e e, + intervallumon konve. Az = e helyen infleiós pontja van. e A függvény grafikonja: Értékkészlet: R f = 3.0. ábra. 3.0 feladat [ e, + ). 4
3.03 f( ) : maimum, f(4) : minimum, f ( ) 3 : infleió. 3.04 Értelmezési tartomány: D f = R, a függvény páratlan. A zérushelyek et az = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: = 0. + Határértékek: + = + + = 0. Monotonitás, szélsőérték: f () = ( + ) =. Ennek zérushelyei: =, = ( + ) ( + ). A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, ] intervallumon csökken, a [, ] intervallumon nő, az [, + ) intervallumon csökken. Az = helyen lokális minimuma, az = helyen lokális maimuma van. A lokális minimum értéke, a lokális maimum értéke. Konveitás, infleiós pontok: f () = ( 3) ( + ) 3. Ennek három zérushelye van: = 3, = 0, 3 = 3. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 3 ] és a [ 0, 3 ] intervallumokon konkáv, a [ 3, 0 ] és a [ 3, + ) intervallumokon konve. Az = 3, = 0, 3 = 3 helyeken infleiós pontja van. Aszimptota az -tengely. A függvény grafikonja: Értékkészlet: R f = helyen abszolút maimuma van. 3.. ábra. 3.04 feladat [, ]. Az = helyen abszolút minimuma, az = 43
3.05 Értelmezési tartomány: D f = R \ {0}, a függvény páratlan. A zérushelyeket az + = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. Ennek az egyenletnek azonban nincs valós gyöke, tehát a függvénynek nincs zérushelye. Határértékek: + f() = +. f() =, f() = +, + f() =, Monotonitás, szélsőérték: f () =. Ennek zérushelyei: =, =. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, ] intervallumon nő, a [, 0) intervallumon csökken, a (0, ] intervallumon csökken, az [, + ) intervallumon nő. Az = helyen lokális maimuma, az = helyen lokális minimuma van. A lokális maimum értéke, a lokális minimum értéke. Konveitás, infleiós pontok: f () =. Ennek nincs zérushelye. 3 f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 0) intervallumon konkáv, a (0, + ) intervallumon konve. Infleiós pontja nincs. Aszimptota az y = egyenes. A függvény grafikonja: 3.. ábra. f() = + Értékkészlet: R f = (, ] [, + ). Abszolút szélsőértékei nincsenek. 3.06 Értelmezési tartomány: D f = R, a függvény páros. Zérushely nincs, mivel bármely R esetén e > 0. Határértékek: e = + e = 0. 44
Monotonitás, szélsőérték: f () = e ( ). Ennek egyetlen zérushelye van: = 0. A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a (, 0] intervallumon nő, a [0, + ) intervallumon csökken. Az = 0 helyen abszolút maimuma van. A maimum értéke: f (0) =. Konveitás, infleiós pontok: f () = e ( ). Ennek két zérushelye van: =, =. f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: ( f a, ] [ ) és az, + intervallumokon konve, a [, ] intervallumon konkáv. Az =, = helyeken infleiós pontja van. A függvény grafikonja: 3.3. ábra. f() = e Értékkészlete a (0, ] intervallum. 3.07 D f : { R/{ }} ; f(0) = 0 : minimum, f( ) = 4 : maimum, infleió nincs, aszimptotája az y = egyenes. A (, ) és (0, + ) szakaszokon növekvő, (, ) és (, 0) szakaszokon csökkenő. R f : {0 < f() 4, f() 0} 3.08 Értelmezési tartomány: D f = R. 45
Zérushelyek: az e cos() = 0 egyenlet megoldásával kapjuk, hogy = z k = π + kπ (k Z). Kapcsolat az eponenciális függvénnyel: az e cos() = e egyenlet megoldásával kapjuk, hogy cos() =, azaz = k = kπ (k Z). Könnyű kiszámolni, hogy az k pontokban f és e deriváltja azonos. E két összefüggés azt jelenti, hogy az k pontokban f grafikonja érinti az e függvény grafikonját. Hasonlóan, az e cos() = e egyenlet megoldásával kapjuk, hogy az y k = (k + )π (k Z) pontokban f grafikonja érinti az e függvény grafikonját. Szemléletesen: f be van szorítva e és e közé. Határértékek: Mivel e f() e, ezért f() = 0. A viszont f-nek nincs határértéke, mivel f(z k) = 0 = 0, és f( k + k k) = e kπ = +. k + k Monotonitás, szélsőérték: f () = e (cos() sin()). = π 4 + kπ (k Z). + -ben Ennek zérushelyei: A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: [ π f a 4 + kπ, 5π ] [ 5π 4 + kπ intervallumokon csökken, a 4 + kπ, 9π ] 4 + kπ intervallumokon nő (k Z). Az = π 4 +kπ helyeken lokális maimuma, az = 5π +kπ helyeken lokális 4 minimuma van (k Z). Konveitás, infleiós pontok: f () = e sin(). Ennek zérushelyei: = kπ (k Z). f előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk: f a [kπ, (k + )π] intervallumokon konkáv), a [(k + )π, (k + )π] intervallumokon konve, az = kπ helyeken infleiós pontja van (k Z). Vegyük észre, hogy az infleiós pontok éppen azok a helyek, ahol az f hozzáér az eponenciális függvényhez. Értékkészlete: R f = R. 46