Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 1 / 141
Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 2 / 141
Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 2 / 141
Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 2 / 141
Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 3 / 141
Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 3 / 141
Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 3 / 141
Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 4 / 141
Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 4 / 141
Összefoglalás Vázlat IV.rész: Összefoglalás 9 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 5 / 141
Jel fogalma és leírása 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 6 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek és fizikai mennyiségek Valamely valóságos folyamat mérhető mennyiségeiről mérőeszközök segítségével szerezhetünk információt. Definíció (Fizikai mennyiség) Különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről valamilyen mérőeszköz segítségévél mért mennyiséget fizikai mennyiségnek nevezzük. Példa hőmérséklet a tér egy adott pontján, egy testre ható erő, feszültség egy erősítő kimenetén, folyadékszint egy tartályban, stb. A fizikai mennyiségek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, melyek értéke valamely mértékegységben (pl. SI) megadott számérték. Példa T = 26.2 C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 7 / 141
Jel fogalma és leírása A jel fogalma és matematikai leírása Definíció (Jel) A jel valamely fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. Jelek matematikai leírására függvényeket használunk. A függvények egy független változó és egy függő változó között definiálnak kapcsolatot. (Egy változós skalár függvények) f : R R, y = x f(x), y = f(x) A független változó lehetséges értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát (D f ), a függő változó értékeinek halmaza pedig a függvény értékkészletét (R f ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 8 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása A jelek alaptípusai, az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerkezete alapján. 1 Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ezen csoportban legismertebb az analóg jel (folytonos értékű jel),amelynél a jel értéke is folytonos, 2 Ha egy analóg jelből adott (általában egyenletes osztású) időpillanatokban mintákat veszünk, akkor az időben diszkrét, értékkészletében pedig folytonos jelet kapunk, ami voltaképpen egy számsorozat. Ezt diszkrét idejű jelnek nevezzük, 3 Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos értékeket vehetnek fel egy megszámlálható számhalmaz elemeiből (lépcsős, másnéven kvantált jelalak, vagy diszkrét értékű jel). Az ilyen jel az időben folytonos, de értékkészletében diszkrét, 4 Végül a számítástechnika szinte minden műszaki területen jelen lévő alkalmazása miatt nagy jelentősége van a mind időben, mind értékkészletében diszkrét jelnek, amelyet digitális jelnek nevezünk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 9 / 141
A különböző jeltípusok Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása 1 1 0.5 0.5 x 1 (t) 0 x 2 [k] 0 0.5 0.5 1 1 0 1 2 3 4 5 t 1 0 10 20 30 40 50 k 1 1 0.5 0.5 0 0 x 3 (t) 0.5 x 4 [k] 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2 1 0 1 2 3 4 5 t 0 10 20 30 40 50 k Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 10 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Folytonos jelek és megadásuk Egy x jel akkor folytonos idejű, ha a jel az idő minden valós értékére értelmezett ahol t az időváltozó jele. Megadásuk: x = x(t), t R, < t <, Képlettel (matematikai formulával) (pl. x(t) = 3cos(t π/2)) Grafikusan (ábrázolással) Differenciál-egyenlettel Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Figyelem! A grafikus és értéktáblázatos megadással csak véges hosszú jel adható meg korlátozott pontossággal. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 11 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás képlettel(formulával) és grafikusan 2 1.5 1 0.5 x 1 (t) 0 x 1 (t) = { 0 ha t < 0 2cos(3t)sin(5t) ha t 0 x 2 (t) = { t ha t < 2 t 2 ha t 2 0.5 1 1.5 2 1 0 1 2 3 4 5 t 25 20 15 x 2 (t) 10 5 0 5 1 0 1 2 3 4 5 t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 12 / 141
Jel fogalma és leírása Megadás képlettel és grafikusan Jelek osztályozása 2 1 0 1 x 3 (t) 2 3 4 x 3 (t) = 2cos(3t π/2) t x 4 (t) = 1 0.3e 0.5t sin(3t) 5 6 1 0 1 2 3 4 5 t 1.4 1.3 x 4 (t) 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 1 0 1 2 3 4 5 t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 13 / 141
Jel fogalma és leírása Megadás differenciálegyenlettel Jelek osztályozása Egy folytonos idejű jel megadható egy n-ed rendű differenciálegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t időpontban (célszerűen a t = 0-ban) meg kell adnunk n számú kezdeti értéket is. A megadott jel ekkor a differenciálegyenlet megoldásaként kapott függvény. Pl. dy dt = f(y, t), y(0) = y 0 y(t) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 14 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel A megadott egyenlet dy dt = 2y, y(0) = 5 dy = 2ydt (1) dy y = 2dt (2) 1 dy = 2 1dt (3) y lny + C 1 = 2(t + C 2 ) (4) y = e 2t C = e 2t C (5) e y(t) = Me 2t 1 vigyük át az y változót a bal, a t változót pedig a jobb oldalra (változók szeparálása) 2 formálisan integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. 3 felhasználjuk az 1/y és az 1 integranduszok primitív függvényét, az ln y + C 1 és a t + C 2 függvényeket, és 4 rendezzük az egyenletet y-ra úgy, hogy a C 1 és C 2 konstanokat összevonjuk egyetlen C konstanssá (C = C 1 + 2C 2 ). 5 helyettesítsük az e C konstanst M-el. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 15 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel (folyt.) 25 Ezáltal az y = Me 2t általános megoldást kapjuk, ahol az M konstans értékét a t = 0 időpillanatban adott érték segítségével határozzuk meg: y(0) = Me 0 = 5 M = 5. Így a differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt is kilégítő időfüggvény a következő (kék görbe): y(t) 20 15 10 5 y(t) = 5e 2t 0.5 0 0.5 1 1.5 t 5 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 16 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Diszkrét jelek és megadásuk Egy f[k] jel akkor diszkrét idejű, ha független változója k csak egész értékeket vehet fel y = f[k], k Z, k [,..., 1, 0, 1, 2,..., ], ahol k a diszkrét idő, azaz a kt s mintavételi időpillanat indexe. Megadásuk: Képlettel (matematikai formulával) (pl. y[k] = 3cos(k π/2)) Rekurzív formulával (pl. y[k] = 0.8y[k 1] + 0.2y[k 2]) Grafikusan (ábrázolással) Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 17 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás rekurzív formulával A jel k-adik ütembeli értéke sok esetben rekurzív úton számolható az azt megelőző értékek segítségével, pl.: y[k] = 0.5y[k 1] + 0.1y[k 2], y[ 1] = 2, y[ 2] = 0. A k = 0, 1, 2,... ütemekre az y[k] értéke lépésenként számolható, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti feltételeket is (most y[ 1] = 2 és y[ 2] = 0). A rekurzió tehát a következő: y[0] = 0.5y[ 1] + 0, 1y[ 2] = 0.5 2 + 0.1 0 = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0, 1y[ 1] = 0.5 1 + 0.1 2 = 0.7 y[2] = 0.5y[1] + 0, 1y[0] = 0.5 0, 7 + 0.1 1 = 0.45 y[3] = = 0.295 és így tovább. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 18 / 141
Jel fogalma és leírása Belépő és nem belépő jelek Jelek további csoportosítása Egy folytonos idejű y(t) jel belépő, ha értéke t negatív értékeire azonosan nulla. y(t) 0, ha t < 0 Egy diszkrét idejű y[k] jel belépő, ha értéke k negatív értékeire azonosan nulla. y[k] 0, ha k < 0 Általánosabban egy folytonos (diszkrét) idejű jel belépő a t 0 (k 0 ) időpillanatban, ha t < t 0 (k < k 0 ) esetén azonosan nulla. y(t) 0, ha t < t 0, y[k] 0, ha k < k 0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 19 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Páros és páratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel páros, ha igaz a jelre hogy x( t) = x(t), x[ k] = x[k], azaz a jel szimmetrikus az ordinátára (függőleges tengely). Pl. y(t) = cos(t), y(t) = 1, y(t) = t Egy x(t) ill. x[k] jel páratlan, ha x( t) = x(t), x[ k] = x[k]. azaz a jel szimmetrikus az origóra. Pl. y(t) = sin(t), y(t) = sgn(t), y(t) = t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 20 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Korlátos jelek Egy y(t) (y[k]) jel korlátos, ha létezik olyan véges K érték amelyre igaz, hogy y(t) < K, y[k] < K. Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korlátos mert az értéke abszolút értékben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e 3k nem korlátos, mert nem létezik olyan véges K amelyre igaz a fenti feltétel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 21 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Periodikus és aperiodikus jelek Az y(t) folytonos idejű jel T periódusidővel periodikus, ha y(t + T) = y(t) igaz t minden értékére. Hasonlóan az y[k] diszkrét idejű jel K periódusidővel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden értékére. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus függvények (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = e t vagy az y[k] = k 2 jel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 22 / 141
Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Determinisztikus és sztochasztikus jelek Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k]. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. A sztochasztikus jelek véletlen folyamatok eredményei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 23 / 141
Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Egy y(t) (y[k]) jel átlagértéke a [0, T] ([0, K]) intervallumon µ = 1 T T 0 y(t)dt, µ = 1 K + 1 K y[k]. k=0 Egy y(t) (y[k]) jel szórása a [0, T] ([0, K]) intervallumon 1 T σ = (y(t) µ) T 2 dt, σ = 1 K (y[k] µ) 0 K 2. k=0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 24 / 141
Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Két különböző sztochasztikus jel átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 25 / 141
Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Különböző jelek átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 26 / 141
Jel fogalma és leírása További gyakori jeltípusok Jelek további csoportosítása Korlátos tartójú jelek: A jel egy korlátos intervallumon kívül azonosan 0. Abszolút integrálható jelek: Abszolút összegezhető jelek: k= Négyzetesen integrálható jelek Négyzetesen összegezhető jelek k= x(t) dt < x[k] < x(t) 2 dt < x[k] 2 < Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 27 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI egységugrásjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsgált folyamatokat leíró jelek egy adott időpillanatban kezdődnek, ami célszerűen választható nullának. Az egységugrásjel hasznos lesz ilyen jelek leírására Definíció (Egységugrás) ε(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. ε(t) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1 0 1 2 3 4 5 t A szakaszonként folytonos egységugrásjelnek a t = 0 időpillanatban szakadása van. Itt bal oldali határértéke (a t = 0 időpillanatban) 0, jobb oldali határértéke (a t = +0 időpillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0, lim t 0 ε(t) = 1. t +0 Az ε(t) a t = 0 időpillanatban nem definiált. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 28 / 141
Eltolt egységugrás Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Szükségünk lehet egy tetszőleges τ idővel eltolt egységugrásjelre, amely a következőképp adható meg Definíció (Eltolt egységugrás) ε(t τ) = { 0, ha t < τ, 1, ha t > τ. ε(t τ) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 τ 0.2 1 0 1 2 3 4 5 t Az egységugrásjelet és eltolját korlátos tartójú jelek matematikai formulával történő megadására alkalmazzuk Definíció (Négyszög-ablak) 1 0.5 ε(t) w R(τ1,τ 2 )(t) = ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 ) ε(t) ε(t τ) 0 0.5 1 ε(t τ) τ 1 0 1 2 3 4 5 t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 29 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Ablakolás az egységugrásjel segítségével Egy x(t) jel adott intervallumát szeretnénk kiválasztani Az egységugrásjel segítségével, a vizsgált jel egy adott részét kitakarjuk egy négyszögletes ablakkal, amit két eltolt egységugrásjel különbségeként álĺıthatunk elő Az eredeti jel x(t) = 0.5 + 0.3e 0.2t cos(2t) Az ablakolt jel y(t) = [ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 )]x(t), 0 ahol τ 1 = 0.5 és τ 2 = 2. 1 0 1 2 3 4 5 y(t) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 30 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI Dirac-impulzus δ(t) (egységimpulzus) Definíció (Egységnyi intenzitású impulzus) δ(t, τ) = ε(t) ε(t τ) τ Ennek szélessége tehát τ, magassága pedig 1/τ, így intenzitása (területe) egységnyi δ(t, τ)dt = 1. Szemléletesen δ(t, τ) δ(t) ε(t) ε(t τ) δ(t) = lim. τ 0 τ δ(t,τ) δ(t) 2.5 2 1.5 1 0.5 1/τ τ 0 1 0 1 2 3 4 5 t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 31 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ fontosabb tulajdonságai jelölése egy függőleges nyíl, a Dirac-δ páros függvény. A Dirac-δ tehát olyan jel, melynek értéke minden t helyen 0, kivéve a t = 0 helyet, ahol végtelen nagy, és intenzitása (területe) egységnyi. δ(t)dt = +0 0 δ(t)dt = 1. A fenti egyenlőség igaz az eltolt Dirac-impulzusra is δ(t τ)dt = τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = 1. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 32 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ definíciója Definíció (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor f(t)δ(t τ)dt = f(τ), mert, ha az f(t) időfüggvényt beszorozzuk a δ(t τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan függvényt kapunk, amelynek értéke mindenütt nulla, kivéve a t = τ helyet, ahol viszont értéke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagysága arányos a konstans f(τ) értékkel, azaz f(t)δ(t τ)dt = f(τ) τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = f(τ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 33 / 141
Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált Fontosabb FI és DI jelek Ha az x = x(t) jel differenciálható, akkor x (t) dx dt = lim x(t + t) x(t) t 0 t az x(t) jel derivált jele, ha létezik a fenti határérték. Előfordul, hogy egy folytonos idejű jel szakaszonként differenciálható, viszont az egyes szakaszok közötti átmenetnél a jelnek véges szakadása (ugrása) van. Ennek kezelésére vezetjük be az általánosított derivált fogalmát Definíció (Általánosított derivált) egy x(t) jel általánosított deriváltja az az x (t) jel, melynek segítségével az x(t) jel az alábbi módon álĺıtható elő x(t) = t t 0 x (τ)dτ + x(t 0 ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 34 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata Pl.1 Közeĺıtsük az ε(t) függvényt az alábbi függvénnyel 0 ha t < 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ Innen az x (t) derivált jel egy olyan négyszögimpulzus, amelynek értéke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz x (t) = δ(t, τ). x(t) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1 0 1 2 3 t Ha τ 0, akkor x(t) ε(t) és x (t) δ(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 35 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A definíciós összefüggés szerint tehát (figyelembe véve, hogy x( ) = 0) hiszen t ε(t) = δ(τ)dτ = t δ(τ)dτ { 0 ha t < 0 1 ha t > 0 ε(t), tehát ε(t) = δ(t), Azaz a Dirac-δ az ε(t) egységugrásjel általánosított deriváltja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 36 / 141
Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonként az x 1 (t) illetve az x 2 (t) folytonos jel ír le, melyek találkozásánál (a t 1 helyen) x(t)-nek K értékű véges szakadása van { { x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x(t) = = x 2 (t) ha t t 1 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t 2 A jel általánosított deriváltja x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = Kδ(t t 1 ) ha t = t 1 = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) ha t > t 1 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 mivel K = x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 ) = 5 3e 4 = 4.95. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 37 / 141
Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 (folyt) 5 5 x(t) 4 3 2 x (t) 0 5 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t x(t) = { x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t 2 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 38 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer Írjuk fel az x(t) függvényt ablakozott jelek segítségével zárt alakban x(t) = x a (t) + x b (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), majd végezzük el a deriválást (szorzatfüggvények összegének deriváltja) x a(t) = [1 ε(t t 1 )] x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t), x b(t) = ε (t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t) = δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t), x (t) = x a(t) + x b(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) + δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 39 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer (folyt.) A derivált jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekről azonban tudjuk, hogy csak a t = t 1 időpillanatban vesznek fel értéket, minden más időpillanatban az értékük nulla, (továbbá δ(t t 1 )x 1 (t) = δ(t t 1 )x 1 (t 1 )) x (t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)(x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 )) + ε(t t 1 )x 2 (t) ahonnan a számértékek behelyettesítésével x (t) = 6[1 ε(t 2)]e 2t + 4.95δ(t 2) 10ε(t 2)e 2(t 2), ami azonos az előzőekben kapott eredménnyel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 40 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A DI egységugrás ε[k] és egységimpulzus δ[k] Definíció (Egységugrás) ε[k] = { 0 ha k < 0, 1 ha k 0, azaz az egységugrás értéke a k < 0 ütemekre 0, nemnegatív egészekre pedig 1. Definíció (Egységimpulzus) 0 ha k < 0, δ[k] = 1 ha k = 0, 0 ha k > 0, azaz az egységimpulzus értéke a k = 0 helyen 1, bármely más helyen értéke nulla. Eltolt egységugrás ε[k i] = Eltolt egységimpulzus { 0 ha k < i, 1 ha k i, 0 ha k < i, δ[k i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 41 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek DI jelek megadása eltolt egységimpulzusokkal Pl. x[k] = { 0 ha k < 0, 4 0.5 k = 4δ[k] + 2δ[k 1] + δ[k 2] +... ha k 0, Tetszőleges x[k] jel megadása x[k] = i= x[i]δ[k i], tehát az x[k] jelet eltolt egységimpulzusok súlyozott összegeként, más néven szuperpozíciójaként írhatjuk fel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 42 / 141
Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata Az egységugrásjel kifejezhető egységimpulzusokkal ε[k] = δ[k i] = δ[k] + δ[k 1] + δ[k 2] +..., i=0 Az egységimpulzus pedig megadható az egységugrással δ[k] = ε[k] ε[k 1], melynek általánosításával juthatunk el a folytonos idejű ablakhoz hasonló diszkrét idejű ablakhoz. 0 ha k < 0, x[k] = 1.1k ha 0 k < 4 x[k] = {ε[k] ε[k 4]}1.1k 0 ha k 4, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 43 / 141
Rendszerek és osztályozásuk 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 44 / 141
A rendszer fogalma Rendszerek és osztályozásuk Definíció (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag leírhatjuk annak működését. Rendszer lehet pl. egy szabályozandó berendezés, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rugóra akasztott test és a rugó együttesen. A rendszer lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 45 / 141
Rendszerek és osztályozásuk SISO és MIMO rendszerek SISO, MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekké transzformálja, azaz adott gerjesztésekhez adott válaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik és kimeneteik száma alapján két fő csoportba sorolhatjuk 1 SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjesztéshez egy választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, 2 MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek több gerjesztéshez több választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 46 / 141
Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek További osztályozási lehetőségek Attól függően, hogy a gerjesztés és a válasz folytonos idejű vagy diszkrét idejű, egy rendszer lehet 1 Folytonos idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (FI rendszerek) 2 diszkrét idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (DI rendszerek) 3 diszkrét idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (D/A átalakítók) 4 folytonos idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (A/D átalakítók) Főként az 1 2 csoportba tartozó rendszerekkel foglalkozunk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 47 / 141
Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Lineáris rendszerek Egy rendszer lineáris, ha a G-V kapcsolatot jellemző W operátor lineáris,azaz homogén és additív (érvényes a szuperpozíció elve). A y = W{s} jelöléssel W{C 1 s 1 + C 2 s 2 } = C 1 W{s 1 } + C 2 W{s 2 } = C 1 y 1 + C 2 y 2. Pl. Lináris elemek pl. ellenállás, kondenzátor, tekercs, nemlineáris elemek pl. dióda, tranzisztor. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 48 / 141
Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Invariáns rendszerek Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be. Ellenkező esetben a rendszer variáns. Pl. Variáns rendszer pl. egy egyszerű ellenállás is, ha figyelembe vesszük, hogy a rajta átfolyó áram által létrehozott teljesítmény melegíti az ellenálláshuzalt, amelynek ennek hatására megnő az ellenállása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 49 / 141
Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Kauzális rendszerek Egy rendszer akkor kauzális, ha válaszának adott időpontbeli értéke nem függ a gerjesztés jövőbeli értékétől, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauzális, ha az y(t) (y[k]) válasz bármely t 1 (k 1 ) időpontban az s(t) (s[k]) gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre t < t 1 (k k 1 ). Egyébként a rendszer akauzális. Pl. Minden fizikai rendszer kauzális, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen időpillanatbeli állapota függene a jövőtől. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 50 / 141
Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha bármely korlátos gerjesztésre korlátos válasszal reagál. Ezt a stabilitást BIBO-stabilitásnak is szokás nevezni a,,bounded input implies bounded output angol elnevezés rövidítéséből. Fontos! Elképzelhető, hogy a rendszer több korlátos gerjesztésre korlátos választ ad, de ha létezik akár egyetlen olyan korlátos gerjesztés, amelyre a rendszer nem korlátos válasszal reagál, akkor a rendszer nem gerjesztés-válasz stabilis, más szóval a rendszer labilis. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 51 / 141
Hálózatok 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 52 / 141
Hálózatok A hálózat fogalma A hálózat komponensek összekapcsolásából áll. Minden komponensnek (hálózati elemnek) egy vagy több bemenete és egy vagy több kimenete lehet (pólusok). A bemenet(ek) és a kimenet(ek) közti kapcsolatot a komponens karakterisztikája adja meg, ami egy függvénykapcsolat a komponens bemeneti változója (változói) és kimeneti változója (változói) között, pl. megadja a kimeneti változót a bemeneti változó függvényében. A hálózat be- és kimenete A hálózat bemenetére a gerjesztést kapcsoljuk, kimenetén pedig a választ várjuk. A hálózat is rendelkezhet egy, vagy több bemenettel és egy, vagy több kimenettel, gerjesztése és válasza lehet folytonos idejű vagy diszkrét idejű. Hálózatok és rendszerek kapcsolata A hálózat akkor reprezentál, másszóval realizál egy rendszert, ha gerjesztés-válasz kapcsolataik megegyeznek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1-2.előadás 53 / 141