III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp (Ax n! n= [ n= d exp (Ax = A exp (Ax dx exp (Ax x= = I Az exp (Ax azonosíthatjuk a V(x fundamentális mátrixal Y (x = V(xY, V = AV, V( = I
Az exponenciális mátrix függvény meghatározása Legegyszerűbb ha a mátrix diagonalizálható: det(a λi = λ < λ <, < λ n R η (, η (,, η (n sajátvektorokra: Aη (i = λ i η (i ot AT = T = η ( η (n η ( η (n η n ( η n (n λ η ( λ nη (n λ η n ( λ nη n (n, = TD, D = transzformációs mátrix λ λ λ n T AT = D, T A m T = [ T AT ] n = D n e λ x T e λ x exp (AxT = exp (Dx = e λnx
Vezessük be a T transzformáció mátrixal új Z = z z n függő változókat Y = TZ, TZ = ATZ Z = T ATZ Z = DZ
Példa r = 3, η ( = ( A = ( 4 ; r =, η( = A T transzformációs mátrix és annak T inverze ( ( T = ; T = ( D = T 3 AT = ( e Dx e 3x = e x C 4 4 ( Tehát az Y = AY megoldása Y (x = e (Ax Y ( = Te (Dx T Y ( ( ( ( ( ( e 3x C e 3x e x C Y (x = e x = e 3x e x ahol ( C C = T Y ( Y = C Y (x + C Y (x, Y (x = e 3x ( C, Y (x = e x (
Inhomogén lineáris egyenletrendszerek Y = A(xY + B(x, ahol A(x egy n n típusú mátrix, míg Y (x és B(x n komponensű vektor Az egyenlet általános megoldása Y = C Y (x+,, +C ny n(x + V (x ahol C Y (x+,, +C ny n(x a Y AY = homogén egyenletrendszer általános megoldása V (x az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása
Diagonalizálás módszere Az Y = AY + B(x egyenletrendszerben legyen A egy állandó, átlós alakra hozható n n típusú mátrix A diagonalizálást a η (,, η (n sajátvektorokból képezett T transzformációs mátrixal történik Bevezetünk egy új Z = amely eleget tesz az alábbi egyenletnek Y = TZ, z z n vektort TZ = ATZ + B(x Z = (T AT Z + T B(x = DZ + H(x z j (x = r j z j (x + h j (x, j = {,, n} ahol h j (x a b (x,, b n(x meghatározott lineáris kombinációja z j (x = e r j x x x e r j s h j (sds + C j e r j x, j = {,, n}
Példa Y = r = 3 és r = ( η ( = ( ( e x Y + 3x A homogén egyenlet általános megoldása y = C ( (, η ( = e 3x + C ( = AY + B(x e x Ha normáljuk a sajátvektorokat, akkor be kell szorozzuk -vel T = (, T = ( Elvégezve az Y = TZ helyettesítést ( Z = DZ + T 3 H(x = Z + ( e x 3x e x + 3x
( Z = DZ + T 3 H(x = Z + ( e x 3x e x + 3x z + 3z = e x 3 x, z = z + z = e x + 3 x e x 3 [ ( x ] + C e x, 3 9 z = xe x + 3 (x + C e x Y = TZ = ( z + z = z + z ( (C/ e 3x + [(C / + = ]e x + x 4 + 3 xe x (C / e 3x + [(C / ]e x + x 5 + 3 xe x
Az állandók változtatásának módszere Egy általánosabb módszert amely akkor is használható ha a mátrix nem állandó vagy nem diagonalizálható Y = A(xY + B(x A fundamentális mátrixa V(x A homogén egyenlet általános megoldása Y = V(xC, ahol C = C C n Y = V(xU(x, ahol U = V (x = A(xV(x u (x u n(x C = V (xu(x + V(xU (x = A(xV(xU(x + B(x ahol C egy tetszőleges állandó vektor V(xU (x = B(x U (x = V (xb(x, U(x = x V (sb(sds + C C C n
Y = V(xC + V(x x V (sb(sds Y (x = Y Y = V(xC + V(x x x V (sb(sds Y = V(x C = C = V (x Y Y = V(xV (x Y + V(x x x V (sb(sds A fenti képlet formája még egyszerübb lesz ha a Φ(x fundamentális mátrix eleget tesz a Φ(x = I összefüggésnek Y (x = Φ(xY + Φ(x x x Φ (sb(sds
Példa Y = V(xU (x = B(x ( V(x = ( e x Y + 3x ( e 3x ( e 3x e 3x e 3x e x e x e x e x = AY + B(x ( u u ( e x = 3x, ( Y = V(xU(x = C ( + u = e x 3 xe3x, u = + 3 xex u (x = ex e3x = 6 e3x + C, U (x = x + 3 xex 3 ex + C, ( e 3x + C ( e x + ( x 3 e x + ( 4 5, ( xe x +
Fourier-sorok Az f (x függvény periódusa P ha f (x = f (x ± P =,, = f (x ± np =, ϕ(t = ϕ(t + T akkor a ϕ(t periódusa T n {,, 3, } Hasonlóan,ha A legközismertebb periódikus függvények a sin x, cos x amelyeknél a periódus π sin x = sin(x + π, cos x = cos(x + π Ugyanezzel a periódussal rendelkezik sin x, sin 3x,, sin nx, illetve cos x, cos 3x,, cos nx, és ezek függvényei
Tétel Az f (x = f (x + π periodikus függvény esetén léteznek az a, a, és b, b, együtthatók úgy, hogy f (x = a + (a n cos nx + b n sin nx, n= a jobboldal ún trigonometrikus sor, az f (x függvény Fourier-sora, az a i és b i értékek pedig a függvény Fourier-együtthatói
Vegyük észre hogy az {, sin nx, sinmx, cos nx, cos mx, } n m, n, m {,, 3, } függvények szorzatainak integrálja a [, π] intervallumon : π sin nxdx =, n, π cos nxdx =, n, π π = = sin nx sin mxdx =, π cos nx cos mxdx =, sin nx cos mxdx =, n m, ahol felhasználtuk, hogy sin nx sin mx = [cos(n mx cos(n + mx], sin nx cos mx = [sin(n + mx + sin(n mx] összefüggést
Két függvény skaláris szorzata (egy adott, például [, π] intervallumon (φ ψ π Ha (φ ψ = függvények ortogonálisak (φ φ a függvény normájának a négyzete φ(xψ(x dx (φ φ φ φ >, φ = φ = A trigonometrikus sor függvényeinek skaláris szorzata : ( sin nx = ( cos nx =, (sin nx sin mx = (cos nx cos mx = (sin nx cos mx = ortogonálisak = sin nx = cos nx = π π π dx = π, sin nx dx = π, cos nx dx = π ( sin nx = ( cos nx = (sin nx cos mx = n, m { π n = m (sin nx sin mx = (cos nx cos mx = πδ nm = {n, m} N n m
Ezek után határozzuk meg a trigonometriai sor (Fourier-sor Fourier-együtthatóit az f (x = a + (a n cos nx + b n sin nx egyenlőség alapján Integrálva az egyenlet mindkét oldalát [ π] intervallumban : π n= f (x dx = a π a = π π f (x dx Szorozva az egyenlet mindkét oldalát cos mx-el és integrálva -tól π-ig az előzőek alapján kapjuk, hogy : a n = π π f (x cos nxdx, n = {,,, } Ha az egyenlet mindkét oldalát sin mx-el szorozzúk és ezután integrálunk -tól π-ig, kvetkezik, hogy : b n = π π f (x sin nxdx, n = {,, } Egy π periodocitású függvénynél a π intervallumon képeztett integrálás helyett használhatjuk a π, π intervallumot, sőt általánosabban az α, π α intervallumot is
Példa Legyen f : [ π, π] R, π periodicítású {, x [ π, ] f (x = x, x [, π függvény a n = π f (x = a + (a n cos nx + b n sin nx a = π π = sin nx x π π n π π π π π n= f (x dx = π f (x cos nx dx = π π π sin nx dx = n π, ha n páros =, ha n páratlan πn x dx = π, x cos nx dx =, cos nx n π = π ( n n π n =
b n = π π π f (x sin nx dx = π π x sin nx dx = cos nx x π + π cos nx π n π n = ( n + sin nx π n π n = ( n+ n Behelyettesítve az együtthatókat f (x = π 4 ( cos x cos 3x cos 5x + + + + sin x sin x sin 3x + +, π 3 5 3 dx =