pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6.
1 2 3
Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál feladat f(x) < 0 g i (x) 0, i = 1,..., m x R n, f, g i : R n R kvadratikus (x T Ax + b T x + c) Elégséges feltétel λ R m, amelyre f(x) + i λ i g i (x) 0, x R n Mikor szükséges is? Regularitási feltétel (Slater) Konvex függvények m = 1 (S-lemma, Yakubovich, 1971)
Az S-lemma Yakubovich, 1971 Ha x : g( x) < 0, akkor az alábbi két álĺıtás ekvivalens: x R n : f(x) < 0, g(x) 0 y 0 : f(x) + yg(x) 0 minden x-re Konvexitás nélkül! Rejtett konvexitás Alkalmazások Ljapunov-féle stabilitásvizsgálat Ellipszoidtartalmazás Számítógépes grafika
Megoldási módszerek Csak,,kevés egyenlet esetén Rangkorlátozott lineáris mátrixegyenlőtlenségek Viszonylag új terület Az együttes numerikus értékkészlet konvexitása Klasszikus elmélet (Hausdorff, Töplitz) König, Ky Fan
Jelölések Mátrixok S n : n n valós szimmetrikus mátrixok PS n S n : pozitív szemidefinit mátrixok, F G = Tr (F G) = Tr (GF ) skalárszorzat Primál feladat homogén alak x T Ax < 0, x T Bx 0, x R n nem megoldható Duál feladat homogén alak Regularitási feltétel (Slater) λ 0, amelyre A + λb 0 x : x T B x < 0
Két egyenlőtlenségre x T A 1 x + 2b T 1 x + c 1 < 0 x T A 2 x + 2b T 2 x + c 2 0 Homogenizáló változó x T A 1 x + 2b T 1 xt + c 1 t 2 < 0 x T A 2 x + 2b T 2 xt + c 2 t 2 0 Eredeti megoldható homogén megoldható és t = 1 A t = 0 esetet a Slater-feltétellel zárjuk ki.
Tartalom x T Ax < 0 A xx T < 0 A X < 0 x T Bx 0 B xx T 0 B X 0 x R n rank (X) = 1, X 0 Pataki, 1998: A S n affin altér, dim A ( ) ( n 2 r+2 ) 2 + 1, PS n A =, X PS n A, amelyre rank (X) r. Barvinok, 2001: A S n affin altér, dim A = ( ) ( n 2 r+2 ) 2, PS n A = és korlátos X PS n A, amelyre rank (X) r. r = 1 + Farkas + Slater S-lemma NB: r = 1 miatt a második eset csak n 3-ra működik
Bizonyítások Tartalom Pataki, 1998: A S n affin altér, dim A ( ) ( n 2 r+2 ) 2 + 1, PS n A =, X PS n A, amelyre rank (X) r. Elemi, geometriai Konstruktív, sőt polinomiális Barvinok, 2001: A S n affin altér, dim A = ( ) ( n 2 r+2 ) 2, PS n A = és korlátos X PS n A, amelyre rank (X) r. Nem elemi, differenciálgeometriai Nem konstruktív, nincs algoritmus
A primál feladat nem megoldható R R { (x T Ax, x T Bx) : x R n} = } {{ } konvex! (Dines, 1941) Kicsit általánosabb eredmény (Poljak, 1998) n 3, az A, B 1, B 2 mátrixoknak van PD lineáris kombinációjuk { (x T Ax, x T B 1 x, x T B 2 x) : x R n} konvex Szeparációs bizonyítás Norma-feltétel
A rangfeltétel és a konvexitás ekvivalenciája Az { (x T Ax, x T Bx) : x R n} halmaz konvexitása y, z R n, λ [0, 1] Kell: x R n x T Ax = λy T Ay + (1 λ)z T Az x T Bx = λy T By + (1 λ)z T Bz X = xx T a következő rendszer 1-rangú megoldása A X = λy T Ay + (1 λ)z T Az B X = λy T By + (1 λ)z T Bz Pataki: létezik 1-rangú megoldás
Magasabb rangú megoldások Konvex-e { r x T i A 1 x i,..., i=1 Ekvivalens alakban } r x T i A m x i R m, x i R n, i = 1,..., r? i=1 {A 1 X,..., A m X} R m, X R n n, rank (X) r Új konvexitási eredmények
König-konvexitás f : X Y, x 1, x 2 X létezik x 3, amelyre 2f(x 3 ) f(x 1 ) + f(x 2 ) rendezés: x y y x K Y zárt, konvex,,,szép kúp Illés és Kassay, 1994 Legyen f : X Y König-konvex, f(x) 0 nem megoldható y K \ {0} amelyre y, f(x) 0, x X. Hogyan lehet a König-konvexitást bizonyítani? folytonosság együttes értékkészlet konvexitása
König-linearitás f, g : R n R homogén kvadratikus F (x) := (f(x), g(x)), K = R 2 {F (x) : x R n } konvexitása miatt x 1, x 2 R n x 3 : F (x 3 ) = F (x 1 ) + F (x 2 ), vagyis F König-lineáris. További függvények?
, további lehetőségek További elégséges feltételek Ramana, 1995: NP-teljes (nem meglepő) negatív eredmények Bonyolultabb függvények Poljak, 2001:,,kis gömb képe konvex Általánosabb dualitás Elégséges mátrixok SOS optimalizálás
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6.
Figure: { (x T Ax, x T Bx) : x R n} ( 2 0 A = 0 1 ) ( 3 1, B = 1 0 ) Vissza a konvexitáshoz!