A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez

Átírás

1 Kiegészítések az A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez Ujvári Miklós Utolsó módosítás: 2011 szeptember A 4.25 Megjegyzés mögé beszúrandó (4.26-ból 4.28 lesz, 4.27-ből 4.29): A G gráf automorfizmus csoportja, Γ := Aut (A(G)), éltranzitív, ha minden {i, j}, {i, j } E(G) esetén létezik π Γ úgy, hogy {i, j } = {π(i), π(j)}. Például a csillag automorfizmus csoportja éltranzitív, de nem csúcstranzitív Tétel: Reguláris gráfokra ϑ(g) n /( 1 + α ) max, α min egyenlőséggel, ha a gráf automorfizmus csoportja éltranzitív. Bizonyítás: Az előző tételből nyilvánvaló, hogy ϑ(g) inf{λ max (J xa(g)) : x R}. Reguláris gráfokra ez éppen a tételbeli egyenlőtlenség. Valóban, ha v i jelöli az A(G) mátrix α i sajátértékéhez tartozó sajátvektorát, akkor G regularitása miatt v n = 1, és így v 1,..., v n 1, 1 a J mátrixnak is sajátvektorai. Ezért a J xa(g) mátrix sajátértékei xα 1,..., xα n 1, n xα n. A legnagyobb ezek közül az első vagy az utolsó, az x optimális választása x = n/(α n α 1 ), ekkor mindkét sajátérték /( n 1 + α ) max, α min amivel a tétel első felét beláttuk. A tétel második feléhez elég megmutatnunk, hogy ha a gráf automorfizmus csoportja éltranzitív, akkor ϑ(g) = inf{λ max (J xa(g)) : x R}. 1

2 Ez az állítás a következőképpen igazolható: Tegyük fel, hogy Γ éltranzitív. Legyen ε > 0, és legyen A A, amelyre λ max (A) ϑ(g) + ε. Jelölje  az alábbi mátrixot:  := 1 P π APπ T. Γ π Γ A legnagyobb sajátérték függvény konvexitása miatt λ max (Â) π Γ 1 Γ λ max(p π AP T π ) = λ max (A), továbbá  = J xa(g) alakú Γ éltranzitivitása miatt. Ezért ϑ(g) inf x λ max(j xa(g)) λ max (Â) λ max(a) ϑ(g) + ε, amiből a tétel második fele is következik Következmény: Páratlan n esetén Páros n esetén ϑ(c n ) = n/2. ϑ(c n ) = n cos(π/n) 1 + cos(π/n). A fenti tétel segítségével Lovász további gráfok ϑ-ját, sőt Shannonkapacitását is meghatározta, lásd [40]. Például a Petersen-gráf Shannonkapacitása négy. Ha ϑ k (G) < n, akkor α k (G) < n, és így χ(g) > k, ahol...: Néhány apróbb hiba a 8. fejezetből: 8.7 d), e) helyesen: d) S, és minden... e) létezik bizonyításában egy kiemelt képlet helyesen: x L ri K =. : x m ri K i x 8.25 bizonyításában a kiemelt képlet helyesen: 2

3 x 1. x m : K1 x i ( K i ) =. Km + x 1. x m : x i = 0. A 11. fejezet változtatásai: 11.4 utáni mondat végére: (Lovász perfekt gráf tétele, [39], 13.57) után: Összehasonlítási gráfok perfektségét Dilworth igazolta ([39], 9.32) elé: Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy perfekt G gráfok polinom időben színezhetők χ(g) színnel (Grötschel Lovász Schrijver eredménye) helyett: A (P 1 ) és az alábbi (P 7 ) program között fennálló gyenge dualitás (a v P1 v P7 egyenlőtlenség) a lemma egyszerű következménye. Az erős dualitás a (P 6 ) és (P 7 ) programok ekvivalenciájából adódik: Tétel: ϑ(g) a (P 7 ) := max (e T 1 v i ) 2, V ONR (G) program optimumértéke. (Hasonlóan a (P 1 ) programhoz, e 1 helyébe itt is tetszőleges egységvektort írhatunk.) Bizonyítás: v P6 v P7 : Legyen V ONR (G), és legyen C := V T V. Ekkor C a (P 6 ) program megengedett megoldása, továbbá Rayleigh tétele miatt (e T 1 v i ) 2 = e T 1 V V T e 1 λ max (V V T ) = λ max (C). (Az utolsó egyenlőségben azt a könnyen igazolható állítást használtuk, hogy tetszőleges V mátrix esetén a V V T és a V T V mátrixok legnagyobb sajátértéke megegyezik.) v P6 v P7 : Legyen C a (P 6 ) program megengedett megoldása, ekkor C = W T W alakú valamely W ONR (G) mátrixszal. Általában a W T W 3

4 és W W T mátrixok legnagyobb sajátértéke megegyezik, így 1.16 szerint, alkalmasan választott x egységvektorral λ max (C) = λ max (W W T ) = (x T w i ) 2. Szorozzuk meg a W mátrixot balról egy szimmetrikus ortogonális mátrixszal, amelynek első oszlopa x, az így kapott mátrixot jelölje V. Ekkor V ONR (G), továbbá λ max (C) = (x T w i ) 2 = (e T 1 v i ) 2, amiből már látszik, hogy a (P 7 ) program a (P 6 ) program relaxációja helyett: Következmény: (Shannon) Θ(G) α (G). Bizonyítás: 4.22-ből és ből adódik. Egy közvetlenebb bizonyítás az alábbi: Mivel 11.9 szerint α(g) α (G), azért elég megmutatnunk, hogy α multiplikatív, vagyis α (G 1 G 2 ) = α (G 1 ) α (G 2 ). Lássuk be például a szubmultiplikativitást. Legyen q 1 az α (G 1 ) optimumértékű duál lineáris program optimális megoldása: α (G 1 ) =: 1 T q 1, R 1 q 1 1, q 1 0. Definiáljuk hasonlóképpen a q 2 vektort is. Egy G 1 -beli és egy G 2 -beli klikk direkt szorzata klikk G 1 G 2 -ben (a maximális G 1 G 2 -beli klikkek ilyen alakúak). Ezért a q 1 q 2 vektor kiegészíthető nullákkal az α (G 1 G 2 ) optimumértékű duál lineáris program egy megengedett megoldásává, ezt a vektort jelölje q 12. Ekkor α (G 1 ) α (G 2 ) = 1 T q 1 1 T q 2 = 1 T (q 1 q 2 ) = 1 T q 12 α (G 1 G 2 ), ami mutatja α szubmultiplikativitását. A szupermultiplikativitás hasonlóan igazolható az α -ot megadó primál lineáris program segítségével. Az előző bizonyítás során láttuk, hogy α (G 1 G 2 ) = α (G 1 ) α (G 2 ), 4

5 továbbá hogy α(g 1 G 2 ) = α(g 1 ) α(g 2 ). A ϑ(g) mindkét multiplikativitási tulajdonsággal rendelkezik: bizonyításában: Ekkor V ONR (G), így 11.7 szerint v P1 i (et v i ) 2. Másfelől...= i w i 2 = v P helyesen: Tétel: (Juhász) Ha G n pontú véletlen gráf, akkor ϑ(g)/ n és n/ϑ(g) is O(1) 1-hez tartó valószínűséggel. A 148. oldal (12. fejezet) Azt sejtik kezdetű és a rákövetkező mondata helyett: Gyengén páros gráfokra ez az mc/ϕ infimuma (lásd 10.9), általában pedig α (Feige és Schechtman eredménye). A oldalon: A (P ) program feltétele helyesen Hasonlóan (P )-nél. E ij X 2α 0 (ij E(G), i < j). A 152. oldal (13. fejezet) egy mondatában helyesen nem tartalmazza az origót helyett elemeinek első koordinátája egyes írandó. A C.11 tételbe beszúrandó: Legyen Ỹ := k Y ii /m i. Az Ỹ I (vagy az Ỹ 1 = 1 miatt erősebb Ỹ 0) feltételt... Az Irodalomjegyzékbe beszúrandó: 1. M. Aigner és G. M. Ziegler, Bizonyítások a Könyvből, Typotex Kiadó, Budapest, M. Laurent és F. Rendl, Semidefinite programming and integer programming, in Handbook on Discrete Optimization, K. Aardal et al., eds., Elsevier B. V., Amsterdam, 2005,

6 3. L. Lovász, Semidefinite programs and combinatorial optimization, in B. A. Reed and C. L. Sales, eds., Recent Advances in Algorithms and Combinatorics, CMS Books in Mathematics, Springer, 2003, Ujvári M., A note on the graph-bisection problem, Pure Math. and Appl. 12(1) (2002), Ujvári M., New descriptions of the Lovász number, and the weak sandwich theorem, benyújtva a Pure Math. and Appl. folyóirathoz (2010). (Legfrissebb változata 2008 februári, Ujvari.pdf korábbi változatai letölthetőek a en.htm honlapokról.) 6. Ujvári M., Strengthening weak sandwich theorems in the presence of inconnectivity, benyújtva a Pure Math. and Appl. folyóirathoz (2010). 7. Ujvári M., Four new upper bounds for the stability number of a graph, Operations Research Report, ELTE TTK, Budapest, (Kiegészítés: Az α(g) ι 2 (G) egyenlőtlenség érvényben marad ι 2 (G) definíciójában A A feltétellel A A helyett. Ez az infimum legfeljebb n+1 ϑ(g) a (2) utáni megjegyzésből adódóan, ahol A A írandó (Lovász-szám), nem pedig A A (Schrijver-szám).) 8. Ujvári M., Applications of the inverse theta number in stable set problems, Operations Research Report, ELTE TTK, Budapest, (Kiegészítés: A (P ) program is megoldható polinom időben, hiszen ekvivalens (T D)-vel az e jegyzet 11.3 tételében látottak szerint. Az így nyert algoritmus legalább 2ϑ(G) n elemszámú stabil halmazt határoz meg.) 9. Ujvári M., Konvex analízis, Publikálatlan kézirat, Az utolsó oldalra: 6

7 Mellékelem az 1999/00 tanév II. félévében tartott előadásom (azóta módosított) tematikáját, ami segíthet a jegyzet feldolgozásában. 1. Algebrai segédtételek I: Valós, szimmetrikus mátrix ortogonálisan diagonalizálható; Rayleigh-tétel. 2. Algebrai segédtételek II: Courant Fischer-tétel; Cauchy-tétel. 3. Algebrai segédtételek III: Neumann-tétel; Ky Fan tétele. 4. Sajátértékkorlátok a kromatikus számra: Wilf-tétel; Hoffman-tétel. 5. Sajátértékkorlátok a maximális vágás, gráf félbevágás, gráfpartíció problémákra (Delorme Poljak-, Boppana-, Hoffman-korlát). 6. A theta-függvény megfogalmazása sajátértékkorlátként ((P 1 ) és (P 2 ), illetve (P 7 ) és (P 6 ) ekvivalenciája); a szendvicstétel bizonyításai. 7. Stiemke-tétel Carver-tétel erős dualitás kúplineáris programokra. 8. Krein-tétel Farkas-lemma erős dualitás kúplineáris programokra. 9. Szemidefinit programok; példák (lineáris program, konvex kvadratikus program, sajátértékprogramok); ellenpéldák; az erős dualitási tétel standard alakú szemidefinit programokra. 10. Sajátértékkorlátok megfogalmazása szemidefinit programként (maxcut); approximációs algoritmus a max-cut problémára. 11. A theta-függvény szemidefinit jellemzései; perfekt gráfok egy legnagyobb klikkjét meghatározó algoritmus; α(g), α (G), ϑ(g) multiplikativitása; a Shannon-probléma; tételek az automorfizmus csoport (csúcs-/él-) tranzitivitása esetén. 12. A Lovász Schrijver-módszer. 7