Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása

Átírás

1 Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia Cegléd, június 11. Inefficiency p. 1/38

2 Páros összehasonlítások Llull (1280-as és 1290-es évek) Condorcet (1785), Borda (1781) Fechner, Weber (1860) Thorndike (1920), Thurstone (1927) Saaty Analytic Hierarchy Process (AHP, 1980) Inefficiency p. 2/38

3 Páros összehasonlítás mátrix Adott n objektum w 1,w 2,w 3,...,w n súlyokkal. Definiáljuk a páros összehasonlítás mátrixot: w 1 1 w 1 w w 2 w w n w 2 w w w w w n w 3 w 3 w w 1 w w n, w n w w n w 1 w n w 2 ahol minden i, j, k indexre w ij > 0, w ij = 1 w ji, w ij = w ik w kj. Inefficiency p. 3/38

4 1 a 12 a a 1n a 21 1 a a 2n A = a 31 a a 3n a n1 a n2 a n ahol i,j = 1,...,n re, a ij > 0, a ij = 1 a ji. A feladat: w = (w 1,w 2,...,w n ) R n + súlyvektor meghatározása. Inefficiency p. 4/38

5 Sajátvektor módszer Aw = λ max w n w i = 1 i=1 (w i > 0, i = 1, 2,...,n) Inefficiency p. 5/38

6 Legkisebb négyzetek módszere min n i=1 n j=1 n w i = 1 i=1 ( a ij w i w j ) 2 w i > 0, i = 1, 2,...,n Inefficiency p. 6/38

7 Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere min n i=1 n j=1 n w i = 1 i=1 [ log a ij log ( wi w j )] 2 w i > 0, i = 1, 2,...,n Inefficiency p. 7/38

8 Hagyományos és új kutatási irányok, alkalmazások Súlyozási módszerek Inkonzisztencia Nem teljesen kitöltött mátrixok Alkalmazások Pareto-optimalitás Inefficiency p. 8/38

9 Pareto-optimalitás A többcélú optimalizálási feladatunk: min x i > 0 i ( a ij x i x j ) i j Inefficiency p. 9/38

10 Pareto-optimalitás Legyen A = [a ij ] i,j=1,...,n egy n n-es páros összehasonlítás mátrix és w = (w 1,w 2,...,w n ) egy pozitív súlyvektor. Definíció: a w súlyvektor Pareto-optimális, ha nem létezik olyan w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektor, hogy a ij w i w j a ij w i w j minden 1 i,j n, esetén, és a kl w k < a kl w k valamely 1 k,l n esetén. w l w l Inefficiency p. 10/38

11 Egy Pareto-optimális súlyvektort tehát nem lehet dominálni, azaz megjavítani úgy, hogy legalább egy pozícióban jobban közelítse a döntéshozó által megadott értéket, miközben egyetlen más pozícióban sem keletkezik rosszabb közelítés. Inefficiency p. 11/38

12 Lokális Pareto-optimalitás Definíció: a w súlyvektor lokálisan Pareto-optimális, ha van olyan V (w) környezet, amelyben egyetlen w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektorra sem teljesül, hogy a ij w i w j a ij w i w j minden 1 i,j n, esetén, és a kl w k < a kl w k valamely 1 k,l n esetén. w l w l Inefficiency p. 12/38

13 Belső Pareto-optimalitás Definíció: a w súlyvektor belső Pareto-optimális, ha nem létezik olyan w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektor, hogy a ij w i w j = a ij w i w j a ij w i w j = a ij w i w j a kl w k w l = w k w l a kl w k w l = w k w l w i w j w i w j < w k w l > w k w l } minden 1 i,j n, esetén, és valamely 1 k,l n esetén. Inefficiency p. 13/38

14 Inefficiency p. 14/38

15 Pareto-optimalitás A definíciókból következik, hogy Pareto-optimalitás = lokális Pareto-optimalitás, Pareto-optimalitás = belső Pareto-optimalitás, Inefficiency p. 15/38

16 Pareto-optimalitás A definíciókból következik, hogy Pareto-optimalitás = lokális Pareto-optimalitás, Pareto-optimalitás = belső Pareto-optimalitás, valójában azonban: Tétel: A Pareto-optimalitás, a lokális Pareto-optimalitás és a belső Pareto-optimalitás ekvivalensek. Inefficiency p. 16/38

17 Pareto-optimalitás Blanquero, Carrizosa és Conde (2006) példája: A = / , w EM = 1/6 1/4 1 1/2 1/2 1/ , w = i a i3 x EM i3 x i3 a i3 x EM i3 a i3 x i Inefficiency p. 17/38

18 A = 1 4 1/9 9 1/9 1/8 1/4 1 1/8 1/4 1/7 1/ /2 1/9 4 1/ / /4 1/7 1 1/ , w EM = , w = A közelítések: X EM X , Inefficiency p. 18/38

19 A(p,q) = 1 p p p... p p 1/p 1 q /q 1/p 1/q 1 q /p q 1/p q /q 1, Állítás: Legyen p,q > 0,q 1 tetszőleges. Ekkor w EM nem Pareto-optimális. Ráadásul a fenti mátrix CR-inkonzisztenciája tetszőlegesen alacsony lehet, ha q elég közel van 1-hez. Inefficiency p. 19/38

20 A sajátvektor mint optimalizálási feladatok megoldása: Fichtner (1984) metrikája Perron és Frobenius min max és max min feladatai Inefficiency p. 20/38

21 Fichtner (1984) metrikája δ(a,b) def = n i=1 ( w EM(A) i ) w EM(B) 2 λ max (A) λ max (B) i + 2(n 1) +χ(a,b) λ max(a) + λ max (B) 2n, 2(n 1) + ahol χ(a,b) = { 0 ha A = B, 1 ha A B. Inefficiency p. 21/38

22 Tétel (Perron, Frobenius). Jelölje λ max az A n n-es páros összehasonlítás mátrix legnagyobb sajátértékét. Ekkor max w R n + min 1 i n n j=1 w i a ij w j λ max min 1 i n max w R n + n j=1 w i a ij w j ahol w = (w 1,w 2,...,w n ). Továbbá mindkét egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül egyenlőséggel, ha w = κw EM, ahol κ tetszőleges pozitív szám. Inefficiency p. 22/38

23 Pareto-optimalitás Jelölje ε ij := min x i > 0 i w i w j a ij ( a ij x i Állítás: w akkor és csak akkor Pareto-optimális, ha bármely k,l = 1, 2,...,n, k l indexpárra w optimális megoldása az alábbi törtprogramozási feladatnak: inf x k a kl x l x i a ij x j ε ij minden (i,j) (k,l)-re x 1,x 2,...,x n > 0. x j ) i j Inefficiency p. 23/38

24 x i a ij x j ε ij x i a ij x j ε ij x j x i a ij x j + t ij ε ij x j a ij x j x i + t ij ε ij x j t ij 0 Inefficiency p. 24/38

25 ε ij := w i a ij w j Legyenek a β ij > 0 (i,j = 1, 2,...,n) szorzók tetszőlegesek. n n max β ij t ij i=1 j=1 x i (a ij + ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x i + (a ij ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x 1 = 1, x i 0, i = 2, 3,...,n t ij 0, i,j = 1, 2,...,n t ii = 0, i = 1, 2,...,n (LP) Változók: x i, i = 1, 2,...,n, és t ij, i,j = 1, 2,...,n. Inefficiency p. 25/38

26 ε ij := w i a ij w j n n max β ij t ij i=1 j=1 x i (a ij + ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x i + (a ij ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x 1 = 1, x i 0, i = 2, 3,...,n t ij 0, i,j = 1, 2,...,n t ii = 0, i = 1, 2,...,n (LP) Tétel: A fenti LP optimumértéke nemnegatív és véges. Továbbá w akkor és csak akkor Pareto-optimális, ha a fenti LP optimumértéke 0. Inefficiency p. 26/38

27 Az LP feladat megoldása, azaz w egy javítása még nem feltétlenül Pareto-optimális. Inefficiency p. 27/38

28 A logaritmizált változat min z R n ( z i z j log a ij ) i j Jelölje q i := log w i (i = 1, 2,...,n), µ ij := q i q j log a ij (i,j = 1, 2,...,n) és legyenek a ϑ ij > 0, 1 i < j n szorzók tetszőlegesek. n n max ϑ ij s ij i=1 j=i+1 z i z j log a ij µ ij + s ij 0, 1 i < j n z j z i + log a ij µ ij + s ij 0, 1 i < j n (loglp) z 1 = 0 s ij 0, 1 i < j n Változók: z i, i = 1, 2,...,n, s ij, 1 i < j n. Inefficiency p. 28/38

29 Tétel: Az alábbi állítások ekvivalensek: (1) w Pareto-optimális a ( min a ij x ) i x x i > 0 i j többcélú optimalizálási feladatban; (2) LP optimumértéke 0; (3) q = logw Pareto-optimális a i j min z R n ( z i z j log a ij ) i j többcélú optimalizálási feladatban; (4) loglp optimumértéke 0. Inefficiency p. 29/38

30 Tegyük fel, hogy w nem Pareto-optimális, és oldjuk meg a loglp feladatot, az optimális megoldást jelölje z. Meglepő módon w := expz, nem feltétlenül dominálja w-t. A következő előadásban a Pareto-optimalitás egy további karakterizációja jelenik meg. Inefficiency p. 30/38

31 A sajátvektor Pareto-optimalitása A sajátvektor biztosan nem Pareto-optimális: a korábban említett, tetszőlegesen alacsony CR-inkonzisztenciájú mátrixokra: 1 p p p... p p 1/p 1 q /q 1/p 1/q 1 q /p q 1/p q /q 1 Inefficiency p. 31/38

32 A sajátvektor Pareto-optimalitása A sajátvektor biztosan Pareto-optimális, ha a páros összehasonlítás mátrix konzisztens; 3 3-as, hiszen ekkor sajátvektor megegyezik a logaritmikus legkisebb négyzetek módszerével kapott mértani középpel; egy vagy két elem (és reciprokaik) megváltoztatásával konzisztenssé tehető ez is a következő előadás témája Inefficiency p. 32/38

33 A sajátvektor Pareto-optimalitása Nyitott kérdés: a sajátvektor Pareto-optimalitásának szükséges és elégséges feltétele. Inefficiency p. 33/38

34 Hivatkozások 1/4 Saaty, T.L. (1977): A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3): Saaty, T.L. (1980): The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York. Fichtner, J. (1984): Some thoughts about the Mathematics of the Analytic Hierarchy Process, Report 8403, Universität der Bundeswehr München, Fakultät für Informatik, Institut für Angewandte Systemforschung und Operations Research, Werner-Heisenberg-Weg 39, D-8014 Neubiberg, F.R.G. Inefficiency p. 34/38

35 Hivatkozások 2/4 Blanquero, R., Carrizosa, E., Conde, E. (2006): Inferring efficient weights from pairwise comparison matrices, Mathematical Methods of Operations Research 64(2): Conde, E., Pérez, M.d.l.P.R. (2010): A linear optimization problem to derive relative weights using an interval judgement matrix, European Journal of Operational Research, 201(2): Inefficiency p. 35/38

36 Hivatkozások 3/4 Bozóki, S. (2014): Inefficient weights from pairwise comparison matrices with arbitrarily small inconsistency, Optimization, 63(12): Ábele-Nagy, K., Bozóki, S. (2015): Efficiency analysis of simple perturbed pairwise comparison matrices, bírálat alatt. Ábele-Nagy, K., Bozóki, S., Rebák, Ö. (2015): Efficiency analysis of double perturbed pairwise comparison matrices, benyújtás előtt. Inefficiency p. 36/38

37 Hivatkozások 4/4 Bozóki, S., Fülöp, J. (2015): Efficient weight vectors from pairwise comparison matrices, benyújtás előtt. Inefficiency p. 37/38

38 Köszönöm a figyelmet. bozoki.sandor@sztaki.mta.hu bozoki Inefficiency p. 38/38