5. Analytic Hierarchy Process (AHP)

Átírás

1 5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, ) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés Az AHP-t Thomas Saaty fejlesztette ki 1980-ban Az erre épülő szoftver az Expert Choice, melynek jelenleg az EC 115-ös változata a legfrissebb A szoftver letölthető a honlapról a 15 napig működő demo változathoz is ott lehet kódot kérni Az AHP többszempontú döntési problémák megoldására alkalmas eljárás, ami lehetővé teszi a döntési feladatok logikus rendszerbe foglalását A döntési feladatok megoldásának első lépése a döntési feladat felépítése, ami a cél megfogalmazásából, az alternatívák kiválasztásából és a szempontok meghatározásából áll Az AHP-ben a döntési probléma az áttekinthetőség érdekében egy többszintű fastruktúraként van ábrázolva, amelynek legfelső szintjén a cél, az alatta levő szinteken a szempontok, az alszempontok stb, a legalsó szinten pedig az alternatívák helyezkednek el A legalacsonyabb szinten levő szempontokat levélszempontoknak nevezzük Az AHP döntési modellek szerkezetét mutatja az alábbi ábra 1

2 2 Látható, hogy az EC modellekben a grafikus ábrázolásában az alternatívák nincsenek megkülönböztetve a szempontoktól Az egyedüli különbség az, hogy az alternatívák helyezkednek el a szempontfa legalsó szintjén Az EC által kezelt fák legfeljebb 5 szint mélységűek, és egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet, így - mivel az utolsó szinten az alternatívák vannak - elvileg 7380 = ( ) szempont kezelhető; ezekből 9 4 = 6561 levélszempont Az AHP döntési modellekben a cél mindig az adott alternatívák rangsorának a meghatározása Mivel az értékelési szempontok fastrukúrába vannak rendezve, ezért a szempontok közötti összefüggéseket is figyelembe lehet venni Az alternatívák szempontok szerinti értékelése alapulhat névleges, rangsor, intervallum és arányossági (hányados) skálán megadott értékeken

3 A döntési feladat megoldása a különböző AHP modellekben a következő lépésekből áll: 1 a szempontok súlyainak a meghatározása; 2 az alternatívák kiértékelése a megadott szempontok szerint; 3 a súlyozás és az értékelések összegzése 52 Páros összehasonlítás Az AHP döntési problémák megoldásának az egyik alapeszköze a páros (páronkénti) összehasonlítás, amit a szempontok súlyozására és az alternatívák egyes szempontok szerinti értékelésére egyaránt alkalmaznak A páros összehasonlítás mátrix általános esetben a következő, ahol a p i (i = 1,, n) súlyok tetszőleges, pozitív valós számok Itt a páros összehasonlítás mátrixát az A 1, A 2,, A n alternatívákra írjuk fel A 1 A 2 A n A 1 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A 2 p 2 /p 1 p 2 /p 2 p 2 /p n A n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Itt az a ij = p i /p j hányados azt mutatja, hogy az A i alternatíva hányszor jobb, előnyösebb az A j alternatívánál Azt is mondhatjuk, hogy a p i > 0 szám az A i alternatíva súlya Ha 3 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A = p 2 /p 1 p 2 /p 2 p 2 /p n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Rn n, p = p 1 p 2 p n Rn

4 4 az összehasonlítás mátrixa és a súlyok vektora, akkor látható, hogy Ap = np vagyis n az A mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor éppen a súlyvektor Alább igazolni fogjuk, hogy minden páros összehasonlítási mátrixnak két sajátértéke van, n, melynek multiplicitása 1 és a hozzá tartozó sajátvektor (konstans szorzótól eltekintve) a p súlyvektor, a másik sajátérték 0, melynek multiplicitása n 1 és a hozzá tartozó lineárisan független sajátvektorok (p 1, 0,, 0, p n ), (0, p 2,, 0, p n ),, (0, 0,, p n 1, p n ) A bizonyításhoz induljunk ki a páros összehasonlítási mátrix sajátértékegyenletéből: p 1 /p 1 λ p 1 /p 2 p 1 /p n 0 = A λe = p 2 /p 1 p 2 /p 2 λ p 2 /p n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n λ = 1 p 1 p 2 p n p 1 p 1 λ p 1 p 1 p 2 p 2 p 2 λ p 2, p n p n p n p n λ ahol a determináns oszlopaiból rendre kiemeltünk 1 p 1, 1 p 2, 1 p n -et Az utolsó oszlopot mindegyik előzőből kivonva, a sorokból rendre p 1, p 2,, p n -et kiemelve, majd az első, második stb oszlopok

5 szerint kifejtve kapjuk, hogy p 1 λ 0 0 p p 2 λ 0 p 2 0 = p 1 p 2 p n 0 0 p n 1 λ p n 1 p n λ p n λ p n λ p n p n λ = λ λ 0 1 = ( λ) n 1 (n λ) 0 0 λ 1 λ λ λ 1 λ Innen A sajátértékei: λ = 0, n 1 multiplicitással, λ = n, 1 multiplicitással A λ = n sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete n p j Ax = nx vagy x i = nx j (j = 1,, n) p i Osszuk el a j-edik egyenletet p j -vel és vezessünk be új ismeretleneket y i := x i p i (i = 1,, n) definícióval, akkor n y i = ny j (j = 1,, n) Mivel mindegyik egyenlet baloldala ugyanaz, így a jobboldalak is megegyeznek, vagyis ny 1 = ny 2 = = ny n amiből y 1 = y 2 = = y n = t és a megfelelő sajátvektor x = (tp 1, tp 2,, tp n ) = t(p 1, p 2,, p n ) 5

6 6 ahol t tetszőleges nemzérus konstans A λ = 0 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete n p j Ax = 0 vagy x i = 0 (j = 1,, n) p i Osszuk el a j-edik egyenletet p j -vel és vezessünk be új ismeretleneket y i := x i p i (i = 1,, n) definícióval, akkor n y i = 0 (j = 1,, n), vagyis rendszerünkben ugyanaz az egyenlet szerepel n-szer A megoldás: n 1 darab ismeretlent tetszőlegesen választunk, az utolsót pedig az előző egyenletből számoljuk A megoldás altér dimenziója így n 1 Megadunk n 1 darab lineárisan független sajátvektort a következőképpen: (1, 0,, 0, 1), (0, 1,, 0, 1),, (0, 0,, 1, 1) Ezekből x i = p i y i -vel kapjuk meg az állításunkban szereplő lineárisan független sajátvektorokat

7 A páros összehasonlítási mátrixok a ij elemeire teljesül az, hogy a ij = 1 a ji mivel a ij = a ik a kj mivel p i p j = 1 p j p i p i p j = p i p k p k p j Definició Az A = (a ij ) R n n pozitív elemű a ij > 0 mátrixot reciprok mátrixnak nevezzük, ha a ij = 1 a ji (i, j = 1,, n) (1) Definició Az A = (a ij ) R n n mátrixot konzisztens mátrixnak nevezzük, ha a ij = a ik a kj (i, k, j = 1,, n) (2) A (2) egyenlet azt jelenti, hogy bármely rögzített i, k indexekre egy konzisztens A mátrix i-edik sorának elemei a k-adik sor elemeinek konstansszorosai (a konstans a ik függ az i, k indexektől) Világos, hogy minden páros összehasonlítási mátrix pozitív (elemű) és konzisztens, és fordítva, minden pozitív (elemű) konzisztens mátrix páros összehasonlítási mátrix A megfordítás igazolásához legyen A = (a ij ) pozitív (elemű) konzisztens, akkor (2)-ből j = k = i-vel következik, hogy a ii = a ii a ii, azaz a ii (1 a ii ) = 0 azaz a ii = 1 vagy [a ii = 0] (3) Továbbá j = i-vel 1 = a ii = a ik a ki, azaz a ik = 1 a ki (4) azaz pozitív konzisztens mátrix reciprok 7

8 8 Átjelölve A első oszlopának elemeit 1, P 2, P 3,, P n -nel (4) miatt az első sor elemei rendre 1, 1/P 2, 1/P 3,, 1/P n amiből a (3) tulajdonság miatt az első, második, harmadik, stb n-edik sor elemei úgy kaphatók, hogy az első sor minden elemét rendre megszorozzuk az 1, P 2, P 3,, P n számokkal így az A mátrix 1 1/P 2 1/P 3 1/P n P 2 1 P 2 /P 3 P 2 /P n P 3 P 3 /P 2 1 P 3 /P n P n P n /P 2 P n /P 3 1 végül P i = p i /p 1 (i = 1,, n)-nel kapjuk hogy A elemei a ij = p i /p j alakúak, amint azt állítottuk Láttuk, hogy ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa Egyúttal az is adódik, hogy konzisztens mátrix rangja 1 De abból, hogy egy mátrix rangja 1 következik az, hogy a mátrix konzisztens Ellenpélda a ( ) melynek rangja 1, de nem konzisztens mivel a 22 = 4 1 Igazolhatók a következő tételek Tétel Egy pozitív reciprok mátrix akkor és csak akkor konzisztens, ha λ max = n Tétel Ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa 53 Az AHP módszer

9 A döntéshozatal során a döntéshozó a döntési feladat szempont súlyainak meghatározására és az alternatívák minden egyes levélszempont szerinti kiértékelésére megadja a páros összehasonlítás mátrixokat A páros összehasonlítás intervallum-skálája az AHP módszertanban a következő: 9 1 egyformán fontos / előnyös; 3 mérsékelten fontosabb / előnyösebb; 5 sokkal fontosabb / előnyösebb; 7 nagyon sokkal fontosabb / előnyösebb; 9 rendkívüli mértékben fontosabb / előnyösebb A páros összehasonlításnál felhasználhatjuk a 2, 4, 6, 8 közbenső értékeket is A döntési feladatok megoldása során keletkező tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok sok esetben nem konzisztensek, ezért erre a mátrix osztályra is ki kell terjeszteni a páros összehasonlítás módszert A páros összehasonlítás mátrixok elemei pozitívak, így ez a mátrixosztály részosztálya a pozitív elemű mátrixoknak Perron 1907-ben az alábbi alapvető állítást bizonyította Perron tétel Minden pozitív elemű mátrixnak van olyan egyszeres pozitív sajátértéke, amely nagyobb bármely másik sajátérték abszolút értékénél, a hozzátartozó sajátvektor koordinátái pozitív számok és egy konstanssal való szorzás erejéig egyértelműen meg vannak határozva A páros összehasonlítás mátrixokból a szempontok fontosságát, illetve az alternatívák egyes levélszempontokra vonatkoztatott pontértékét úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a páros összehasonlítás mátrixok legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorokat, és az így kapott sajátvektorok komponensei adják a prioritásokat (a p i értékeket) A módszer hasznossága

10 10 azon alapul, hogy a gyakorlatban éppen a p i értékek ismeretlenek, és a p i /p j hányadosokról rendelkezünk információval a páros összehasonlítások elvégzése után A döntéshozó ugyanis azt mérlegeli, hogy bármely két szempont vagy alternatíva esetén az egyik hányszor fontosabb vagy kevésbé fontos, mint a másik, pl A i sokkal előnyösebb A j -nél, tehát a skála szerint p i /p j = 5 A döntéshozó egy pozitív reciprok mátrixot ad meg, ez a tapasztalati páros összehasonlítás mátrixa A döntési feladatok megoldásakor keletkező tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok sok esetben nem konzisztensek, ennek okai az alábbiak lehetnek: tévedés az adatbevitelnél, információhiány, az egyén koncentrálásának hiánya az összehasonlításnál, a való világ sokszor inkonzisztens (pl sport) a modell struktúra nem jó (az egyes tényezők összehasonlítása kivül esik a megadott határokon) A tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére bevezetjük a CI következetlenségi indexet, ami az AHP módszertanban az alábbi formula alapján számítható: CI = λ max n n 1, ahol λ max a tapasztalati páros összehasonlítás mátrix legnagyobb sajátértéke és n a páros összehasonlítás mátrix sorainak a száma A következetlenségi indexek átlagos értékeit véletlenszerűen generált páros összehasonlítás mátrixok segítségével határozzuk meg minden n esetére, és ezeket RI-vel jelöljük Az RI értékeit Saaty nyomán az alábbi táblázatban adhatjuk meg:

11 11 n RI 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56 1,57 A CR következetlenségi hányadost, a CI és RI indexek hányadosaként kapjuk meg, azaz CR = CI RI Bizonyítható, hogy pozitív reciprok mátrixokra λ max n, ezért a következetlenségi hányados értéke nemnegatív szám A következetlenségi hányados értékeit az EC szoftver készítői akkor tartják jónak, ha az értéke kisebb, mint 0,1 Az alacsony inkonzisztencia azonban nem célja a döntésnek Lényeges, de nem elegendő a jó döntéshez A konzisztenciánál fontosabb a pontosság A páronkénti összehasonlításon alapuló módszerekben hátrányt jelent, hogy csak bizonyos, az összehasonlítandó objektumok számára vonatkozó méretkorlát alatt alkalmazhatók, és az alternatívákra csak rangsort (relatív értékeket) adnak; előny viszont, hogy szubjektív szempontok értékelésénél jól használhatóak Néhány hasznos állítás T Saaty, The analytic hierarchy process, University of Pittsburgh, Pittsburgh, (1990) könyvéből: Tétel Pozitív mátrixok esetében a) a maximális sajátérték λ max felső korlátja a maximális sorösszeg; b) a maximális sajátérték λ max alsó korlátja a minimális sorösszeg Tétel (Wielandt) Pozitív mátrixok esetében a λ max értéke nő, ha a mátrix bármely komponensének az értéke nő

12 12 Az AHP lépései tehát: A döntési tényezők hierarchiájának összeállítása Az egyes elemekre vonatkozó páros összehasonlításokat tartalmazó mátrixok előállítása a döntéshozó kikérdezése alapján Minden szinten minden elemre (az utolsó szint kivételével) a súlyok meghatározására szolgáló sajátérték feladat megoldása Az egyes szintek aggregálásával megkapjuk a döntési alternatívákra vonatkozó értékeket, amelyekből azok sorrendje megkonstruálható 54 Példa az AHP alkalmazására Közgazdász végzettségű ismerősünk állást keres, és három lehetőség közül választhat: belép egy nagy könyvelőcégbe partnerként A 1, saját tanácsadó céget alapít A 2, vagy elfogadja az egyetem ajánlatát A 3 A feladat hierarchikus struktúráját az alábbi ábra mutatja: 1szint Elégedettség 2szint Kereset Biztonság Előmenetel Munkakörülm 3szint Nagy váll Saját cég Egyetem Példánkban a hierarchia első szintje az (általában elvont) végcélt jelöli: elégedettség a kiválasztott lehetőséggel (amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy a legjobb állás kiválasztása) A legalsó szinten a lehetőségek, vagy alternatívák sorakoznak A végcél alatt több szintű hierarchia is lehetséges, esetünkben a legegyszerűbb esetet választjuk: négy tényező alkotja ezt a szintet

13 A tényezők: a kereseti lehetőség K, a biztonság B, az előmeneteli lehetőség E és a munkakörülmények M Tegyük fel, hogy közgazdász barátunk az állással való elégedettség (legfelső szint) szempontjából a középső szint tényezőire vonatkozóan 6 páros összehasonlítást végzett el, s azok eredménye: (K : B) = (7 : 1), (K : E) = (1 : 1), (K : M) = (7 : 1), (B : E) = (1 : 3), (B : M) = (2 : 1), (E : M) = (5 : 1) Az összes páros összehasonlítást tartalmazó mátrix: /7 1 1/ /7 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó (alkalmasan normált) sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , , ]] Itt az első szám a sajátérték, második a multiplicitás, az utána következő szögletes zárójelben álló számok a normált) sajátvektor koordinátái (normálás: a koordináták összege 1 kell, hogy legyen) Barátunk most az alternatívákat az egyes tényezők szerint is értékeli ugyanezen a skálán, ugyanezen a módon A kereseti lehetőségre vonatkozóan az alternatívák páros összehasonlítási mátrixa: 1 1/ /2 1/5 1 13

14 14 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] A biztonságra vonatkozó mátrix: 1 3 1/5 1/3 1 1/ A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] Az előmeneteli lehetőségekre vonatkozó rnátrix: 1 1/ /2 1/7 1 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] A munkakörülményekre vonatkozó értékelés: 1 1/3 1/ / A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] (Vegyük észre, hogy az alternatíváknak az egyes tényezőkre vonatkozó értékeléseit is páros összehasonlítások segítségével

15 kaptuk Ez nem kötelező: a keresetnél pl dolgozhattunk volna a valódi keresetarányokkal, amennyiben ezek az arányok jól kifejezik szubjektív értékelésünket) Az eredményeket összefoglalva (az adatokat kerekítve): Elégedettség(1,00) K(0, 48) B(0, 10) E(0, 36) M(0, 06) 15 A 1 (0, 23) A 1 (0, 19) A 1 (0, 17) A 1 (0, 10) A 2 (0, 65) A 2 (0, 08) A 2 (0, 74) A 2 (0, 26) A 3 (0, 12) A 3 (0, 73) A 3 (0, 09) A 3 (0, 64) Végül a kiértékelés un disztributív módban (az alternatívák értékeit súlyozzuk) S(A 1 ) = 0, 48 0, , 10 0, , 36 0, , 06 0, 10 = 0, 1966 S(A 2 ) = 0, 6020 S(A 3 ) = 0, 2014 Ennek alapján az alternatívák sorrendje: A 2, A 3, A 1

16 16 6 Távolságminimalizáló módszerek 61 Szempontok súlyainak meghatározása A döntési feladatok megoldásának első lépése a szempontok súlyainak meghatározása Az AHP modellekben a szempontok súlyát vagy közvetlenül adjuk meg, vagy a sajátvektor módszerrel határozzuk meg Ez utóbbi esetben felépítjük az azonos szinteken lévő szempontok egymáshoz viszonyított fontosságát tartalmazó páros összehasonlítás mátrixokat (melyek reciprok mátrixok, nem feltétlenül konzisztensek) és ezek legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorai szolgáltatják az azonos szinteken levő szempontok súlyait, amelyek összege minden szinten 1 A sajátvektor módszer mellett távolságminimalizáló módszereket is alkalmazhatunk a prioritási értékek meghatározására Ezek a legkisebb négyzetek módszere (LSM), és a súlyozott egkisebb négyzetek módszere (WLSM) melyet Chu és szerzőtársai vezettek be 1979-ben, a logaritmikus legkisebb négyzetek módszere (LLSM) amit De Jong 1985 valamint Crawford és Williams 1985 javasoltak, és Jensen χ-négyzetek módszere (1984) Látható, hogy pozitív konzisztens mátrixokra (melyek páros összehasonlítás mátrixok) amikor a ij = p i p j egy összegűre normált p i súlyokkal, a w i = p i mindig megoldás Mivel a becslésnél reciprok, de nem feltétlenül konzisztens A = (a ij ) mátrixokkal dolgozunk a kapott eredményt a tekintjük ideális súlyoknak

17 Módszer Minimalizálandó függvény Feltételek n n ( ) 2 n LSM a ij w i w j w i = 1, w R n + j=1 WLSM n n n (a ij w j w i ) 2 w i = 1, w R n + j=1 n n n LLSM (ln a ij ln w i + ln w j ) 2 w i = 1, w R n + j=1 n n ( ) 2 CSM a ij w i wi n w j w j w i = 1, w R n + j=1 62 Az alternatívák értékelési módjai Tekintsünk n alternatívát A 1, A 2,, A n és m szempontot/kritériumot C 1, C 2,, C m Tételezzük fel, hogy az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint ismert, és a szempontok fontosságuk szerint súlyozva vannak Jelölje a ij > 0 (i = 1,, m, j = 1,, n) a j-edik alternatíva i-edik szempont szerinti értékét, w i > 0 (i = 1,, m) az i-edik szempont súlyát Feltételezzük, hogy 17 n a ij = 1, (i = 1,, n) j=1 és m w i = 1 j=1 azaz az adatok normálva vannak Ezeket az adatokat táblázatos formában a következőképpen írhatjuk fel: A 1 A 2 A n w 1 C 1 a 11 a 12 a 1n w 2 C 2 a 21 a 22 a 2n w m C m a m1 a m2 a mn

18 18 A döntési probléma az alternatívák sorbarendezése Legyenek S(A j ), (j = 1,, n) az alternativák súlyai melyek segítségével adjuk meg a keresett végső rangsort Háromféle kiértékelési módot ismertetünk 1 Disztributív mód Ekkor S(A j ) D = m w i a ij, (j = 1,, n) tehát itt az 1 értéket osztottuk szét a levélszempontok és az alternatívák között a fontosságuknak megfelelően Megjegyezzük, hogy a disztributív AHP modell az alternatívák rangsorának a megállapítására, erőforrás szétosztásra és a legtöbb szempont szerint névleges értékkel bíró alternatívák közül való választáskor javasolt 2 Ideális mód Ez esetben m S(A j ) I a ij = w i, (j = 1,, n) max a ik k Ez a módszer leginkább akkor hasznos, ha a cél a legjobb alternatíva kiválasztása, és a sejthetően legjobb alternatívák pontszáma több szempont szerint közel azonos A tapasztalatok szerint a disztributív és az ideális AHP modellek az esetek nagy százalékában ugyanazt a rangsort adják az alternatívákra 3 Minősítő mód A minősítő AHP modellek esetében a szempontok súlyozása ugyanúgy történik, mint a disztributív és az ideális AHP modelleknél A lényeges különbség az alternatívák egyes szempontok

19 szerinti értékelésében van, ugyanis a minősítő modell esetében minden alternatívát külön-külön minősítünk a szempontokhoz megadott minősítéslisták alapján Ennek a modellnek hátránya, hogy az egyes szempontok szerinti értékeléskor nem adhatunk meg tetszőleges értéket, hanem egy, legfeljebb 9 elemű, listáról kell választani A minősítő AHP modellben az aggregálásra használt képlet a következő: S(A j ) R = m a ij w i a, (j = 1,, n) i ahol a i az i-edik szempont szerint adható pontszámok közül a maximális A képlet hasonló az ideális modellben alkalmazotthoz, de az a i, (i = 1,, m) értékek a feladattól (a konkrét alternatíváktól) függetlenek, és az értékeléskor előre megadott skálához tartoznak Az EC szoftverben a minősítő AHP modell esetén a levélszempontok alá egy-egy minősítéslista elemeit (pl jó, közepes, rossz) kell beszúrnunk, majd az egyes listaelemek értékeit kell meghatároznunk a közvetlen pontozáshoz hasonló módon, konkrét számok megadásával vagy páronkénti összehasonlítással Ezután a program automatikusan 1-re normál, és a táblázatban értékelhetjük az egyes alternatívákat a levélszempontok alapján, a megfelelő listáról kiválasztva a jónak gondolt minősítést 19