Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1
1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek a: a) r = µ r 3 r b) r = µ r 2 r c) r = µ r 3 r ahol µ = k 2 (m 1 m 2 ) 2. A Steffenszen-módszer milyen segedváltozókat vezet be? a) s i = r 3 i, i = 1, 2,..., n, s ij = r 3 ij, i, j = 1, 2,..., n, i j b) s i = ri 3, i = 1, 2,..., n, s ij = rij, 3 i, j = 1, 2,..., n, i j c) s i = ri 2, i = 1, 2,..., n, s ij = r 2 ij, i, j = 1, 2,..., n, i j 3. A Jacobi-Lagrange egyenlet n-test probléma esetén: a) b) c) Ï = 2U + 4h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték Ï = 2U + 2h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték Ï = 2U + 2h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték 4. A relatív mozgás pályaegyenlete: a) r = b) r = c) r = p 1+e cos(u w) p 1 e cos(u w) p 1+e cos(u+w) 5. Energiaintegrál: a) T + V = h, h R állandó b) T V = h, h R állandó c) T + U = h, h R állandó 6. Tömegközéppont integrál: a) m r c = a t + b, ahol a, b R állandó vektorok, t I 2
b) m r c = a t + b, ahol a, b R állandó vektorok, t I c) m r c = at b, ahol a, b R állandó vektorok, t I 7. A háromtest probléma: a) három pontszerű test meghatározása, ha rájuk csak a Newton-féle gravitációs vonzóerő hat b) három pontszerű test sebességének vizsgálata c) Három pontszerű test mozgásának vizsgálata 8. A Laplace-integrál: a) r c µ r r = λ, λ a Laplace-vektor b) r c + µ r r = λ, λ a Laplace-vektor c) r c µ r 2 r = λ, λ a Laplace-vektor 9. Az excentrikus anomália a t idő függvényében a következő: a) E e sin E = n(t τ) b) E + e sin E = n(t τ) c) E e cos E = n(t τ) 10. A mozgás pályája parabola, ha a numerikus excentricitás: a) e = 1 b) e = 0 c) e (0, 1) Minden kérdés esetén az a) válasz a helyes! 3
2 Bartha Ildikó 1. Az égi mechanika a csillagászat azon ága, amely: a) a Naprendszert alkotó természetes égitestek mozgását vizsgálja b) mesterséges égitestek mozgását vizsgálja c) a csillagok mozgását tanulmányozza 2. Kepler harmadik törvénye: a) p2 a 3 = 4Π2 µ b) p2 a 3 = µ 4Π 2 c) a 3 4Π 2 = µ p 2 3. Kepler hányadik törvénye mondja ki azt, hogy a bolygók vezérsugara az idővel arányos területet súról? a) Kepler I. törvénye b) Kepler II. törvénye c) Kepler III. törvénye 4. A háromtest-probléma Newton-féle mozgásegyenletei: a) m i ẍ i = U x i, m i ÿ i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 ( m 1m 2 r 12 + m 2m 3 r 23 + m 3m 1 ), r ij = r j r i. z i, b) m i ẍ i = U x i, m i ÿ i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 m ( 1 m 2 m 3 ), r i,j=1,3,i j r ij = r ij j r i. r 31 z i, c) m i x i = U x i, m i y i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 ( m 1+m 2 r 12 + m 2+m 3 z i, r 23 + m 3+m 1 r 31 ), r ij = r j r i. 5. Hányad rendű a háromtest probléma mozgásegyenleteinek differenciálegyenlet rendszere és hányad rendűre redukálható? a) 18 és 6 b) 20 és 8 c) 18 és 10 6. Steffensen módszer: 4
a) az n-test probléma megoldása numerikus megközelítéssel, hatványsorok használata b) a kettest probléma megoldása numerikus megközelítéssel c) a háromtest probléma idő szerinti deriváltjának vizsgálata 7. A Steffensen-módszerrel megadott egyenletek száma a hely és sebességkomponensekre: a) 6n b) 2n c) n(n-1) 8. A korlátozott háromtest-probléma esetén a Jacobi-integrál: a) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = 2Ω + C b) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = 0 c) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = Ω 9. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele: a) h 0 < 0 b) h 0 > 0 c) h 0 = 0 10. A hármas ütközésre melyik tétel ad szükséges feltételt és mi az? a) Weierstrass-Sundman, c = 0 b) Steffensen, c = 0 c) Kustaanheio-Stiefel, c 0 Minden kérdés esetén az a) válasz a helyes! 5
3 Katona Kálmán 1. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan hɛr állandó, amelyre ahol: T + V = h, tɛ[t 0, t v ], a.) T = n i=1 m i v i 2 b.) T = 1 2 n i=1 m i v i 2 c.) T = 1 2 n i=1 m i v i 2 2. A Lagrange-Jacobi egyenlet esetén, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: a.) I = n i=1 m i (x i + y i + z i ) b.) I = 1 2 n i=1 m i (x 2 i + y 2 i + z 2 i ) c.) I = n i=1 m i (x 2 i + y 2 i + z 2 i ) 3. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor, amelyre n ( r i m i r i ) = c, tɛ[t 0, t v ]. i=1 a.) impulzusmomentum-integrál b.) energiaintegrál c.) tömegközéppont-integrál 4. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet felírható a következő alakban: a.) R = 2 U + 4 h 0 b.) R = 2 U 4 h 0 6
c.) R = 2 U + h 0 5. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet esetén az R a következő alakban írható fel: c.) R = 1 2 m n i=1 n j=1j i m i m j r ij b.) R = 1 4 m n i=1 n j=1j i m i m j r 2 ij c.) R = 1 2 m n i=1 n j=1j i m i m j r 2 ij 6. A relatív mozgás bármely megoldás esetén létezik olyan hɛr állandó, amelyre 1 ( ) 2 2 µ r r = h, tɛ[t 0, t v ]. a.) impulzusmomentum-integrál b.) energiaintegrál c.) Laplace-integrál 7. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s 1 = k 2 m1 m 2 r, m r 2 r 2 r 2 = k 2 m1 m 2 r 2 következő mozgásegyenlettel ekvivalensek: r r mozgásegyenletek a a.) r = µ r r 3 b.) r = µ r r 3 c.) r = µ r r 3 8. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s 1 = k 2 m1 m 2 r, m r 2 r 2 r 2 = k 2 m1 m 2 r mozgásegyenletek az r 2 r r = µ r mozgásegyenlettel ekvivalensek, ahol: r 3 a.) µ = k 2 (m 1 m 2 ) b.) µ = k 2 (m 1 + m 2 ) c.) µ = k 2 (m 1 + m 2 ) 7
9. Elliptikus mozgás esetén a T sziderikus keringési periódus négyzetének és a pálya a fél nagytengelye köbének arányára érvényes a következő összefüggés: T 2 a 3 = 4 π2 µ a.) Kepler I általánosított tétele b.) Kepler II általánosított tétele c.) Kepler III általánosított tétele 10. Elliptikus mozgás esetén a mozgó pont v sebességére érvényes a következő összefüggés: a.) v 2 = µ ( 2 r 1 a ) b.) v 2 = µ ( 2 r + 1 a ) c.) v 2 = µ ( 1 r + 1 a ) Helyes válaszok: 1.-b 2.-c 3.-a 4.-a 5.-c 6.-b 7.-a 8.-c 9.-c 10.-a 8
4 Koók László 1. A Laplace vektor alakja: (a) λ = µ r + rx c r (b) λ = µ + rx c r (c) λ = µ r + rx c r (d) λ = r + rx c 2. A Lagrange - Jacobi egyenlet: (a) (b) (c) (d) Ï = U + h Ï = U + 2h Ï = 2U + h Ï = 2U + 4h 3. Kepler első általánosított törvénye: (a) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú kúpszelet (b) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú hipebola (c) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú parabola (d) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 sugarú kör 4. A Lagrange - féle stabilitás szükséges feltétele: (a) h 0 = 0 (b) h 0 < 0 (c) h 0 > 0 (d) h 0 = 1 9
5. Az n-test probléma megoldásának numerikus megközelítésére használt módszer: (a) Lagrange módszer (b) Steffensen módszer (c) Sundman módszer (d) Broucke módszer 6. A relatív mozgás egyenlete: (a) r = µ r r 2 (b) r = µ r 3 (c) r = r r µ 3 (d) r = µ r r 3 7. A T sziderikus keringés és n középmozgás kapcsolata: (a) (b) (c) (d) n = π T n = 2T n = 2π T n = πt 8. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomália NEM elégíti ki a következő összefüggést: (a) rcosv = a(cose e) (b) rsinv = a 1 e 2 sine (c) r = a(1 ecose) (d) r = (1 sine) 9. A Jacobi integrál: (a) (b) (c) (d) ( dx dt ) + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ) = 2Ω + C dt dt )2 = 2Ω + C dt )2 = Ω + C ) = 2Ω + C dt 10. Mit jelent az inklináció? (a) (b) (c) (d) periodikus mozgás pályaelhajlás torzultság egyensúlyi állapot 10
Megoldások: 1) (a) 2) (d) 3) (a) 4) (b) 5) (b) 6) (d) 7) (c) 8) (d) 9) (b) 10) (b) 11
5 Kupás Ernő 1. Az n-test probléma esetén az energiaintegrál kifejezésében szereplő kinetikus energia értéke: a) T = 1 2 n i=1 m i v 2 i b) T = 1 2 n i=1 m i v 2 i c) T = k 2 1 i j n d) T = k2 2 m i m j r ij m i m j i,j=1,n;i j r ij 2. Az n-testre vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet felírható az Ṙ = 2U + 4h 0 alakban, ahol: a) R = 1 n n m i m j 2m i=1 j=1;i j rij 2 b) R = 1 n n 2m i=1 j=1;i j m im j rij 2 c) R = 2m n n i=1 j=1;i j m im j rij 2 d) R = 2m n i=1 n j=1;i j m i m j r 2 ij 3. Az n-test probléma n 3 esetén a tanult tíz első integrál (vagy skaláris első integrál) felhasználásával az egyenletek a) (2n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók b) (3n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók c) (4n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók d) (6n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók 4. A ρ 1 = 0 feltétel esetén a pontok közti r ij = r j r i kölcsönös távolságok kifejezése a Jacobi-koordináták segitségével: a) r ij = ρ j ρ i + j 1 m l l=i M l ρ l, 1 i < j n. b) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i M l m l ρ l, 1 i < j n. c) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i M lm l ρ l, 1 i < j n. d) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i ρ l M l m l, 1 i < j n. 12
5. Az e = 1 + 2h c2 összefüggéssel értelmezett e numerikus excentricitás µ 2 parabola pályát ír le,ha: a) e [0, 1) b) e = 0 c) e = 1 d) e > 1 6. Az energiaintegrál: T + V = h (ekvivalens) a) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) + k 2 m 1m 2 2 2 r b) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) k 2 m 1m 2 2 2 r c) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) + k 2 m 1m 2 2 2 r d) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) k 2 m 1m 2 2 2 r = h = h = h = h 7. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomálía kielégíti a következő összefüggéseket:(keressük meg melyik nincs helyesen felírva!) a) rcosv = a(cose e), b) rsinv = a 1 e 2 sine, c) r = a(1 ecose), d) tan v 2 = 1 e 1+e tan E 2, e) dv de = 1 e 2 1 ecose 8. 1767-ben L. Euler azt a problémát vizsgálta, lehetséges-e háromtestprobléma olyan megoldása, amelyben a a) tömegpontok közti távolság négyzetesen változik b) tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek c) tömegpontok mindig egy síkba esnek 9. Milyen alakja van a Tisserand-kritériumnak térbeli esetben? a) 1 a + 2n k a(1 e2 ) = konstans b) 1 a + 2n k a(1 e2 )sini = konstans 13
c) 1 a + 2n k a(1 e2 )cosi = konstans d) 1 a + 2n k a(1 e2 )tani = konstans 10. Ki bizonyitotta be, hogy a háromtest-problémának nem létezik a 10 es klasszikus első integráltól független, további algebrai első integralja? a) H. Bruns b) K. Sundman c) L. Euler d) Tisserand Helyes válaszok: 1-a 2-b 3-d 4-a 5-c 6-b 7-d 8-b 9-c 10-a 14
6 Máthé Boglárka 1. Az Égi mechanika a Csillagászat azon ága, amely... a. a gravtitációs vonzóerő figyelembevételével a kevéstest rendszerek valódi mozgását tanulmányozza. b. az égitestek szerkezetét, fizikai tulajdonságait és kémiai összetételét tanulmányozza. c. a világegyetem egésszének szerkezetét és fejlődését tanulmányozza. d. a műszertechnika, asztrometriai mérési módszerek, hibaszámítással foglalkozik. e. csillagok, csillagrendszerek és csillagközti anyag eloszlásának és mozgásainak törvényeit tanulmányozza. 2. Az egy pontból felmért sebesség vektorok végpontjainak mértani helye -meghatározása... a. a sebesség-hodográfnak. b. a valódi anomáliának. c. a pericentrumnak. d. az apocentrumnak. 3. Az energia integrál... állandóságát fejezi ki. a. a mechanikai energia b. a helyezeti energia c. a mozgási energia d. a gravitációs energia 4. A v 2 = µ( 2 1 ) összefüggéssel kiszámolható... r a a. az elliptikus mozgás sebessége. b. a körmozgás sebessége. c. a hiperbólikus mozgás sebessége. d. a parabólikus mozgás sebessége. 5. A Lagrange-Jacobi egyenlet: Ï = 2U + 4h, ahol U : 15
a. U = V b. U = 1 V c. U = V + T d. U = T 6. A Lagrange-Jacobi egyenletben I, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka, melyik összefüggéssel számolható ki? a. I = n i=1 m i(x 2 i + y 2 i + z 2 i ) b. I = n mvi 2 i=1 2 c. I = gh n i=1 m i d. I = 1 2m n i=1 n+1 j=1 m im j r ij 7. Az r = d2 r dt 2 összefüggés, megadja... a. a sebességet. b. a gyorsulást. c. a mozgás pályáját. d. az impulzust. 8. Az impulzusmomentum integrál megadható, mint: a. mv = c b. r 2 dr dt = c c. r dv dt = c d. d 2 r dt 2 = c 9. A Lagrange-féle stabilítás szükségesség feltétele: a. h 0 0 b. h 0 0 c. h 0 < 0 d. h 0 1 10. Kepler I. általánosított tétele: 16
a. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókúszú kúpszelet. b. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy kör. c. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy P 2 fókúszú kúpszelet. d. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy ellipszis. 11. Ha mindenik helyes válasz egy pontot ér, maximum 10 pontot érhetsz el! Hányast adnál magadnak?! a. 4-en alul b. 5-6 között c. 6-7 között d. 7-8 között e. 9-10 között Helyes válaszok : 1-a 2-a 3-a 4-a 5-a 6-a 7-b 8-b 9-c 10-a 11-es választható kérdés. Amennyiben a diák feltudja mérni önállóan a tudását, megkapja a pontszámot ( és mindenekelőtt elárulja tudását), és amennyiben nem találta el elvesztette a pontszámot. 17
7 Molnár István 1. Milyen fizikai eszközökkel végeztek nagypontosságú méréseket 2000- ben, a Seattle-i Washington Egyetem kutatói, a Newton féle gravitációs állandó meghatározására? a.) toziós ingával b.) centrifugális géppel c.) Wertheim készülékkel 2. Tétel(impulzusmomentum-integrál): Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor, amelyre: a.) 1 n 2 i=1 m iv 2 i = c b.) n i=1 ( r i m i r i). = c c.) n i=1 (m i r i. r i.. ) = c 3. Az égi mechanikában a Nemzetközi mértékrendszerben (SI) (kg,m,s) egységek helyett milyen sajátos egységeket használunk? a.) Nap tömeg, csillagászati egység, szoláris nap b.) Föld tömeg, csillagászati egység, közép nap c.) Nap tömeg, csillagászati egység, közép nap 4. A Naprendszer Laplace-féle invariánbilis síkjának szögkoordonátái G.Burkhardt(1982) számításai szerint i=1 o 35 13,86 és Ω=107 o 36 30,8 ahol i és Ω: a.) pályahajlás, leszálló csomó b.) pályahajlás, felszálló csomó c.) integrációs állandó, felszálló csomó 5. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelmében stabil ha: a.) a pontok közti összes r ij távolságnak véges alsó határa van b.) a pontok közti összes r ij távolságnak véges felső határa van c.) a pontok közti összes r ij távolságnak nincs véges határa 6. A mozgásegyenletek első integrálja a következő: a.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, t) = c 18
b.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, µ) = c c.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, r C ) = c 7. Az r C = 1 m n i=1 r. egyenlet: a.) mozgásegyenlet b.) a rendszer C tömegközéppontjának helyzetvektora c.) pontrendszer össztömege 8. A rendszer C tömegközéppontja...: a.) nyugalomban van, vagyis a > 0 b.) változó mozgást végez, vagyis a < 0 c.) egyenes vonalú ( a = 0 ), egyenletes mozgást végez ( a 0 ) 9. Az I = n i=1 m i(x 2 i + y 2 i + z 2 i ) : a.) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka b.) impulzusmomentum integrál c.) tömegközéppont integrál 10. Mit jelöl E az E e sin E = n(t r) egyenletben? a.) excentrikus anomália b.) valódi anomália c.) excentricitás Helyes válaszok: 1-a 2-b 3-c 4-b 5-b 6-a 7-b 8-c 9-a 10-a 19
8 Molnár László 1. N-test probléma esetén az impulzusmomentum integrál: a) n i=1 ( r i m i ri ) = c, t [t 0, t v ] b) n i=1 ( r i m i r i ) = c, t [t 0, t v ] c) n i=1 ( r i m i r i ) = c, t [t 0, t v ] d) n i=1 ( r i m i ri ) = c, t [t 0, t v ] 2. Az n-test probléma esetén a T+V=h energiaintegrálban minek nevezzük a T-t? a) mozgási vagy kinetikus energia b) helyzeti vagy potenciális energia c) mozgási vagy potenciális energia d) helyzeti vagy kinetikus energia 3. Az n-test problémára vonatlozó Lagrange-Jacobi egyenlet felirható a következő alakban a) R = 2U + 4h 0 b) R = U + 2h 0 c) R = 4U + 2h 0 d) R = 4U + 4h 0, ahol R = 1 és h o R állandó 2m n i=1 n j=1j i m im j r 2 ij, m = n i=1 m i az össztömeg 4. A Jacobi-féle koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek az n-test probléma esetén: a) ξ i = M i U m i M i 1 ξ i η i = M i U m i M i 1 η i, i = 1, 2,..., n ζ i = M i m i M i 1 U ζ i b) ξ i = 1 U m i ξ i η i = 1 U m i η i, i = 1, 2,..., n ζ i = 1 U m i ζ i c) ξ i = M i U M i 1 ξ i η i = M i U M i 1 η i, i = 1, 2,..., n ζ i = M i M i 1 U ζ i 20
d) ξ U i = m i ξ i U η i = m i η i, i = 1, 2,..., n U ζ i = m i ζ i 5. A háromtest probléma esetén a tömegközéppont integrálok: a) 3 i=1 m i r i = a, 3 i=1 m i r i = at + b b) 3 i=1 m i r i = a, 3 i=1 m i v i = at + b c) n i=1 m i r i = a, n i=1 m i r i = at + b d) n i=1 m i r i = a, n i=1 m i v i = at + b, ahol a és b konstans értékek 6. Mikor vizsgálta Euler, hogy lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek? a) 1967 b) 1972 c) 1975 d) 1977 7. Milyen kérdésre kereste Lagrange a választ 1972-ben? a) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok közti távolságok aránya állandó. b) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek. c) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok nem mindig egy egyenesbe esnek. d) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok közti távolságok aránya nem állandó. 8. Ki bizonyította be, hogy c 0 esetén tetszőleges időintervallumban csak véges számú kettős ütközés lehetséges? a) Sundman b) Bruns c) Poincaré d) Euler 21
9. A háromtest-probléma a) nem integrálható b) integrálható c) differenciálható d) nem differenciálható 10. Milyen nemzetiségű csillagász Sundman? a) Finn b) Angol c) Dán d) Svéd Minden kérdés esetén a helyes válasz az a). 22
9 Páll Éva-Boglárka Az első öt kérdést ki kell egészíteni, a többi kérdésnél pedig ki kell választani a helyes választ! Kérdés 1. Az n-test probléma n számú (n 2, n N), pontszerű test mozgását vizsgálja ha rájuk csak a...... hatnak. Válasz: Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők Kérdés 2. Kéttest probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 pont körüli relatív p mozgásának pályáját az r = egyenlettel adjuk meg. Ekkor az e numerikus excentricitás értékei szerint a pálya típusa a 1+e cos v következő: i...., ha e = 0; ii...., ha e (0, 1); iii...., ha e = 1; iv...., ha e > 1; Válasz: - i. kör ii. ellipszis iii. parabola iv. hiperbola Kérdés 3. Az n-test probléma esetén, a rendszer C tömegközéppontjának sebessége.... Tehát a rendszer C tömegközéppontja vagy... vagy... mozgást végez. Válasz: állandó, nyugalomban van, egyenes vonalú egyenletes; Kérdés 4.... kimondja, hogy a bolygók vezérsugara idővel arányos területeket súrol, azaz a... állandó. Válasz: Kepler II. törvénye, felületi sebesség; 23
Kérdés 5. A... egyenlet egy egyszerű alkalmazása a Lagrange-féle stabilitás. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelemben stabil, ha a tömegpontok közti összes r ij távolságnak létezik....... Válasz: Lagrange-Jacobi, véges felső határa Kérdés 6. Az n-test probléma Newton-féle mozgásegyenleteinek alakja: a. m i ri = k 2 j=1,n j i b. m i ri = k 2 j=1,n j i c. m i r i = k 2 j=1,n j i d. m i ri = k 2 Válasz: a! j=1,n j i m i m j r 3 ij m i m j r 3 ij m i m j r 2 ij m i m j r 2 ij r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; Kérdés 7. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan h R amelyre T + V = h, t [t 0, t v ], ahol n a. T = 1 m 2 i v 2 i a rendszer potenciális energiája, V pedig a kinetikus i=1 energia; b. T = n m i v 2 i a rendszer kinetikus energiája, V pedig a potenciális energia; i=1 n c. T = 1 m 2 i v 2 i a rendszer kinetikus energiája, V pedig a potenciális i=1 energia; d. T = n m i v 2 i a rendszer potenciális energiája, V pedig a kinetikus energia; Válasz: c! i=1 24
Kérdés 8. Az n-test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az ún. Lagrange-Jacobi egyenlet, amelynek alakja: a. I = 2U + 4h b. I = n m i (x 2 i + yi 2 + zi 2 ) i=1 c. m I = U + 2h d. Ï = 2U + 4h Válasz: d! Kérdés 9. A relatív mozgás bármely megoldásához létezik, olyan λ R 3 állandó vektor (Laplace-vektor), amelyre: a. λ = r c + µ r r b. λ = r c µ r r c. λ 2 = r c + µ r r d. λ = r r µ r c Válasz: b! Kérdés 10. Milyen pályaelemeket jelölnek a, e és Ω -val? a. félnagytengely, excentricitás, felszálló csomó hossza; b. félnagytengely, pályahajlás, pericentrum argumentuma; c. pericentrumátmenet időpontja, excentricitás, pályahajlás; d. pályahajlás, excentricitás, felszálló csomó hossza; Válasz: a! 25
10 Ugron Sándor Kérdés 1. Mikor stabil Lagrange értelemben egy rendszer? 1. h0 = 0 2. h0? 0 3. h0 < 0 4. h0 = 0 Kérdés 2. A mozgás teljes ideje alatt érvényes az Ï = 2U + 4h. Mi a h? 1. magasság 2. energiállandó 3. idálállandó 4. tehetetlenségi nyomaték Kérdés 3. Az egycentrum probléma mozgásegyenlete formailag melyikkel egyezik meg? 1. r = - 2. r = - 3. r = - 4. r = - ľ r 3 ľ r 3 ľ r 2 ľ r 2 r r r r Kérdés 4. Minek a meghatarozása az rmin = 1. pericentrumtávolság 2. apocentrumtávolság 3. pályahajlás 4. zéro sebességű kör p 1+e? 26
Kérdés 5. Minek a meghatarozása az rmax = 1. pericentrumtávolság 2. apocentrumtávolság 3. pályahajlás 4. zéro sebességű kör p 1 e? Kérdés 6. Mi a kéttest probléma esetén P2 pontnak P1 pont körüli pályája? 1. kör 2. ellipszis 3. kúpszelet 4. hiperbola Kérdés 7. Ha a numerikus excentricitás, e = 0 akkor a mozgás pályája? 1. ellipszis 2. kör 3. hiperbola 4. parabola Kérdés 8. Mit jelöl az I a Lagrange-Jacobi egyenletben? 1. tehetlenségi nyomaték 2. energiaállandó 3. energiaintegrál 4. tömegpont Kérdés 9. A pericentrum és az apocentrum megfelelője a Nap és a bolygók esetén? 27
1. perihélium és aphélium 2. pericentrum és aphélium 3. perihélium és apocentrum 4. perigeum és apogeum Kérdés 10. A pericentrum és az apocentrum megfelelője a Föld holdjainál? 1. perihélium és aphélium 2. pericentrum és aphélium 3. perihélium és apocentrum 4. perigeum és apogeum 28
11 Váradi Zsolt 1. A relatív mozgás bármely megoldás esetén létezik olyan h ɛ R állandó, amelyre a.) 1 2 ( r ) 2 + µ r = h b.) 1 2 ( r ) 2 µ r = h ( ) c.) 1 2 r µ = h r 2. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomália kielégíti a következő összefüggést: a.) r sin v = a(cos E e) b.) r cos v = (cos E e) a c.) r cos v = a(cos E e) 3. Az E excentrikus anomália a t időpont ismeretében az... Kepleregyenletből határozható meg. a.) E e sin E = n(t τ) b.) 1 e sin E = n(t τ) c.) E e sin E = 1 (t τ) n 4. A bolygók és holdjaik mozgásának vizsgálatában fontos szerepet játszik az n-test problémának az az esete, amelyben: a.) az egyik test sokkal kisebb tömegű a többinél. b.) az összes testnek azonos a tömege. c.) az egyik test sokkal nagyobb tömegű a többinél. 5. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú kúpszelet. 29
a.) Kepler II általánosított tétele b.) Kepler III általánosított tétele c.) Kepler I általánosított tétele 6. Az 1 2 (ẋ2 1 + ẏ 2 1) µ r = h egyenlet: a.) energiaintegrál b.) impulzusmomentum-integrál c.) mozgásegyenlet 7. Az n test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az... ún. Lagrange - Jacobi - egyenlet a.) Ï = 2U + 4h b.) Ï = U + 4h c.) Ï = U + h 8. A Lagrange - féle stabilitás nem mond semmit: a.) a tömegpontok közti maximális távolságokról b.) a tömegpontok közti összes távolság véges határáról. c.) a tömegpontok közti minimális távolságokról és a tömegpontok közti lehetséges ütközésekről. 9. A bolygók mozgását vizsgálva P 1 a..., P 2, P 3,..., P n a bolygók. a.) Föld b.) Nap c.) Hold 10. Milyen érteke kell legyen az e = 1 + 2h c2 összefüggéssel értelmezett µ 2 e numerikus excentricitásnak ahhoz, hogy ellipszis pályáról beszélhessünk? 30
a.) e ɛ [0, 1) h ɛ [ µ 2c 2 ) b.) e = 1 h = 0 c.) e > 1 h > 0 Helyes válaszok: 1.-b 2.-c 3.-a 4.-c 5.-c 6.-a 7.-a 8.-c 9.-b 10.-a 31