TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 1 Mozgásleíás különböző ontkozttási endszeekből Egy test mozgásánk leíás áltlábn úgy töténik, hogy nnk mindenkoi helyzetét egy többé-keésbé önkényesen álsztott testhez, egy ún ontkozttási endszehez iszonyít djuk meg A helyzet meghtáozásához áltlábn ontkozttási endsze egy pontjához ögzített koodinátendszet eszünk fel, és test mozgását jellemző okt ebben koodinátendszeben djuk meg önnyen beláthtó, hogy h ugynzt testet két különböző, egymáshoz képest mozgó ontkozttási endszeből figyeljük meg, kko mozgását jellemző ok egy észét (pl helyzetekto, sebesség, lendület, enegi) eltéőnek tláljuk Felmeül kédés, hogy z ok közötti összefüggéseket megdó fiziki töények is különbözőek-e különböző ontkozttási endszeekben Leegyszeűsíte: kédés z, hogy hsználhtj-e obogó onton utzó megfigyelő ugynzokt fiziki töényeket, melyeket Földhöz képest nyugó lbotóiumbn éényesnek tlált A kédés izsgáltát édemes két észe bontni: előszö z egyszeűbb esetet nézzük meg, miko egymáshoz képest (állndó sebességgel) mozgó ineciendszeekkel fogllkozunk, mjd ezután téünk át egymáshoz képest gyosuló endszeek tágylásá Mozgásleíás egymáshoz képest mozgó ineciendszeekből Vizsgáljunk két olyn endszet, melyek egymáshoz képest állndó sebességgel mozognk, és mindkettőben éényes "tehetetlenség töénye" (Newton I xiómáj), gyis két ineciendszeől n szó Póbáljuk meg leíni ugynnnk tömegpontnk mozgását két endszeből néze, és keessük meg leíások közötti összefüggéseket Számos tpsztlt sugllj zt, hogy különböző ineciendszeekből néze mechniki jelenségek ugynúgy zjlnk le, és különböző endszeekben mechnik töényei zonos mtemtiki lkbn éényesek (temészetesen csk kko, h dott endszeben lklmz töényeket bennük szeeplő összes fiziki mennyiség helyébe ugynbbn endszeben mét okt helyettesítünk be) Ez tpsztltok lpján elfogdott lptétel klsszikus mechnik eltiitási ele A eltiitás elének fontos köetkezménye, hogy z ineciendszeek mechniki folymtok leíás szempontjából egyenétékűek, gyis mechniki kíséletek segítségéel nem lehet köztük különbséget tenni, így lmiféle "bszolút", kitüntetett ineciendszet sem lehet tlálni H egy test mozgását két egymáshoz képest mozgó és ineciendszeből izsgáljuk, kko test mozgását jellemző ok áltlábn eltéő étékeket kpunk, de két endszeben mét ok között összefüggések állnk fenn Ezek z összefüggések endszeek egymáshoz iszonyított mozgás áltl meghtáozott koodinát-tnszfomációk segítségéel kphtók meg, és ismeetükben egy fiziki töényt áttnszfomálhtunk egyik endszeből másikb z lábbi módon A endszeben felít fiziki töényben szeeplő fiziki mennyiségeket tnszfomációs összefüggések segítségéel kifejezzük endsze megfelelő mennyiségeiel, és így megkpjuk kédéses fiziki mennyiségek közötti összefüggést ( fiziki töényt) endszeben H ez z összefüggés mtemtiki lkját tekinte zonos endszeben felít összefüggéssel, kko zt mondhtjuk, hogy tnszfomáció összhngbn n eltiitás eléel H eltiitás elét, mint tpsztlti tényt elfogdjuk, kko csk ele összhngbn álló tnszfomációt hsználhtunk Elileg elképzelhető, hogy olyn fizikilg indokolhtó tnszfomációt fogdunk el, mely nincs összhngbn eltiitás eléel ( töények
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) lkj tnszfomációnál megáltozik), ekko zonbn nem tthtjuk fenn eltiitás elét Nézzük meg most, hogy klsszikus mechnikábn hsznált ún Glilei 1 -féle tnszfomáció összhngbn n-e mechnikábn elfogdott eltiitási elel A Glilei-tnszfomáció és eltiitás ele klsszikus mechnikábn A Glilei-tnszfomáció összefüggései hétköznpi szemléleten lpulnk, és z lábbi egyszeű meggondolásokkl kphtók Az áb P pontjábn léő tömegpont mindenkoi helyzetét z koodinátendszeből mindenkoi (t) -, P (t) endszeből pedig mindenkoi (t) helyektol dhtjuk meg (t z idő) H két endsze eltí y x helyzetét megdó ekto (t), kko két endszeben éényes helyektook kpcsolt (t) ( t ) ( t ) ( t) (t) z H endsze hoz képest állndó w sebességgel y mozog (ineciendszeekől n szó), kko ( t ) wt 0, x hol 0 két endsze oigójánk eltí helyzetét megdó ekto t0 időpillntbn Ezzel fenti kifejezés így lkul ( t ) ( t ) wt 0, mi koodinátákkl kifejeze x x wxt x0 y y wyt y0 z z wzt z0 t t Ez klsszikus mechnik Glilei-féle tnszfomációj A fenti gondoltmenet fontos mozznt, hogy z időt nem tnszfomáltuk, zz temészetesnek ettük, hogy két endszeben z idő zonos: tt A sebességek közötti összefüggés helyektook kpcsoltát megdó egyenlet idő szeinti diffeenciálásál kphtó ( t ) ( t) w, hol izsgált tömegpont endszebeli sebessége, nnk endszebeli sebessége omponensekkel kifejeze: x x wx y y wy z z wz Vgyis hétköznpi tpsztlttl egyezésben zt kpjuk, hogy ugynzon test sebességét egymáshoz képest mozgó megfigyelők különbözőnek tlálják A gyosulások összefüggését sebessége ontkozó egyenlet idő szeinti diffeenciálásál kpjuk: ( t ) ( t) 1 Glileo GALILEI (1564-164) olsz fizikus, mtemtikus, csillgász
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 3 A különböző ineciendszeekből mét gyosulások tehát zonosnk dódnk Ez zt jelenti, hogy egy ineciendszehez képest egyenletesen mozgó endsze szintén ineciendsze Ezek után nézzük meg, hogy Glilei-tnszfomáció összhngbn n-e eltiitás eléel mechniki töények esetében Előszö izsgáljuk meg tömegpont ontkozó közismet Newton-féle mozgástöényt A endszeben éényes F m töényben szeeplő mennyiségeket tnszfomáljuk át endszebe A klsszikus fizikábn feltételezett eőtöények esetén egy tömegpont htó eő csk nnk többi testhez iszonyított helyzetétől, zokhoz iszonyított eltí sebességétől és z időtől függhet Miel ezek mennyiségek fenti tnszfomáció szeint két endszeben zonosnk dódnk, így z eők is zonosk mdnk z egyik endszeből másikb ló átmenetnél: F F Másészt láttuk, hogy H iszont testek közötti kölcsönhtások és gyosulás két endszeben zonos, kko z F és közötti ányosság is éényben md, és tömeg is zonos Ez zt jelenti, hogy mozgástöénynek endszebe áttnszfomált lkj F m, mi zonos -beli lkkl (ádásul itt mguk mennyiségek is zonosk mdnk) Minthogy mechnik töényei lényegében kölcsönhtás töényéből és dinmik lpegyenletéből számztthtók, áltlánosn is kijelenthető, hogy Glilei-tnszfomáció mechnik töényeit áltoztlnul hgyj egyik ineciendszeből másikb töténő tnszfomáció soán Másként foglmz ez zt jelenti, hogy Glilei-tnszfomáció klsszikus mechnikábn összhngbn n eltiitás eléel Nem bizonyításként, csupán szemléltető példként nézzük meg, hogyn teljesül ez z állítás mechnik egy másik lpető töénye z lendület-megmdási töény esetén Vizsgáljunk két tömegpontot, melyek mozgásuk soán kölcsönhtásb lépnek, pl ütköznek egymássl A testek tömege m és M, ütközés előtti sebességeik egy endszeben és V, ütközés utáni sebességeik ugynitt u és U A hoz képest w sebességgel mozgó endszeben jelöljük ugynezeket sebességeket, V, u, U - el Tegyük fel, hogy lendület-megmdás tétele lklmzhtó folymt és íjuk fel zt endszeben: m MV mu MU Tnszfomáljuk át sebességeket Glilei-tnszfomáció segítségéel endszebe és íjuk be ebbe z egyenletbe Ekko z lábbi összefüggése jutunk m( w) M( V w) m( u w) M( U w), miből endezés után kpjuk m MV mu MU A tnszfomáció után tehát lendület-megmdás tételét endszeben lóbn ugynolyn lkbn kptuk meg, mint endszeben Hsonló módon lehetne demonstálni Glilei-tnszfomációnk eltiitás eléel ló összhngját más mechniki töények esetén is
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 4 A Glilei tnszfomáció és eltiitás ele z elektomágnességtnbn, speciális eltiitáselmélet lpgondolt Az elektomágnességtn lpegyenletei, Mxwell 1 -egyenletek, fizikánk ugynolyn lpető töényei, mint Newton-töények E töények kidolgozás idején fiziki jelenségeket mechniki szemlélet lpján póbálták ételmezni, ezét semmi kétely nem meült fel bbn ontkozásbn, hogy mennyiségeket és töényeket fizikánk ezen teületén is Glilei-tnszfomáció segítségéel kell egyik endszeből másikb tnszfomálni Úgy gondolták, hogy létezik egy sjátos közeg, z ún éte, mely mindent kitölt, és z elektomágneses jelenségek ennek közegnek mechniki jellegű állpotáltozásil függnek össze Temészetesnek tűnt, hogy Mxwell-egyenletek z étehez ögzített koodinátendszeben éényesek, és hogy fény, mint elektomágneses hullám nem más, mint egy ebben közegben keltett z totejedése, mi teljesen nlóg mechniki hullámokkl Ennek megfelelően fény tejedési sebességét is z étehez iszonyított sebességnek tekintették A mechniki hullám-nlógi lpján z is temészetesnek látszott, hogy z étehez képest w sebességgel mozgó endszeben fény tejedési sebességét megfigyelő Glilei-tnszfomációnk megfelelő c c w étékűnek tlálj (c fény tejedési sebessége z étehez iszonyít) Ebből iszont z köetkezik, hogy z étehez képest mozgó endszeben fény tejedési sebessége függ fény hldási iányától A legngyobb sebességet kko méhetjük, h fény hldási iány ellentétes w sebesség iányál (ekko sebesség ngyság ccw), legkisebb éték iszont kko dódik, h fénytejedés iány megegyezik w sebességekto iányál (ekko sebesség ngyság c"c-w) H w iányát fénysebesség-méésekkel kíséletileg megkeessük, kko elileg meghtáozhtjuk ontkozttási endszeünknek z étehez iszonyított sebességét is (áb) A fenti gondoltmenet lpján múlt százd égén Michelson és Moley 3 égzett el egy kíséletsooztot bból célból, hogy meghtáozzák Földnek z étehez iszonyított sebességét ( w sebességgel mozgó endsze ekko mg Föld) A kísélet kiitelezése (minek észleteiel itt nem fogllkozunk) pktikus okokból más olt, mint fenti gondoltkíséleté, de elét tekinte két eljáás zonos A kísélet égeedménye úgy fogllhtó össze, hogy különböző iánybn hldó fénysugknál fénytejedési sebességek között nem sikeült különbséget kimuttni (így temészetesen w sebesség meghtáozás sem sikeült) Ezt z eedményt még lehetett oln úgy ételmezni, hogy kísélet idején Föld z étehez képest éppen 1 Jmes Clek MAXWELL (1831-1879) skót fizikus és mtemtikus Albet Abhm MICHELSON (185-1931) Nobel-díjs (1907) német számzású meiki fizikus 3 Edwd Willims MORLEY (1838-193) meiki kémikus, fizikus
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 5 nyuglombn olt, de kíséletet z é különböző időpontjibn (zz Föld különböző hldási iányi esetén) megismétele ugynezt z eedményt kpták Ez z eedmény zt klsszikus fizik lpján elképzelhetetlen köetkeztetést sugllt, hogy fény bámely ineciendszeben minden iánybn ugynolyn c sebességgel tejed H ez így n, kko iszont fény tejedésée nem lklmzhtó Glilei-tnszfomáció, mi komoly poblémákt sejtet z elektomágnességtn töényeit illetően A fény ugynis elektomágneses hullám, melynek tejedését Mxwell-egyenletek íják le H tejedésée nem lklmzhtó Glileitnszfomáció, kko áhtó, hogy ez tnszfomáció z elektomágnességtn töényeit sem iszi át áltoztln lkbn egyik ineciendszeből másikb A helyzet lóbn ez, gyis z elektomágnességtnbn Glilei-tnszfomáció nincs összhngbn eltiitás eléel A Loentz 1 -tnszfomáció A Mxwell-egyenletek mtemtiki elemzéséel temészetesen megtlálhtó z tnszfomáció, mely áltoztln lkbn iszi át zokt egyik endszeből másikb c c tény figyelembeételéel Ezt tnszfomációt Loentz tlált meg, és m Loentz-tnszfomáció néen ismejük A Loentz áltl megtlált tnszfomációs képleteket itt z egyszeűség kedéét két koodinátendsze speciális álsztás esetén djuk meg (áb) A speciális y w t y álsztás zt jelenti, hogy két endsze x y P y tengelye közös, és endsze hoz P képest w sebességgel mozog z x tengely P x x P x P x mentén nnk pozití iányábn, toábbá w z időt mindkét endszeben ttól z P z x P x P P pillnttól méik, miko két oigó (O és z z O) zonos helyen olt (ekko tt0) Előszö emlékeztetőül íjuk fel ee z esete Glilei-tnszfomációt: x x w t y y z z t t Az elektomágnességtn egyenleteit áltoztlnul hgyó mtemtiki úton megtlált Loentz-tnszfomáció képletei ezzel szemben w t x x wt x y y z z t c w w 1 1 c c A eltiitás elének teljesítése tehát megköeteli, hogy z időt is tnszfomáljuk, másészt tékoodináták közötti összefüggés Glilei-tnszfomáció megfelelő összefüggésétől egy w eltí sebességtől függő 1 κ w 1 c fktobn különbözik önnyen beláthtó (pl lendület-megmdási töénye ló lklmzás kpcsán), hogy Loentz-tnszfomáció mechnik töényeit nem iszi át áltoztlnul 1 Hendik Antoon LORENTZ (1853-198) Nobel-díjs (190) hollnd elméleti fizikus
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 6 egyik ineciendszeből másikb: gyis ez tnszfomáció mechnikábn nincs összhngbn eltiitás eléel Az előzőekben ázolt helyzetet z lábbi táblázttl szemléltethetjük, hol fizik két ngy teületén két tnszfomációnk eltiitás eléhez ló iszonyát tüntettük fel ( "" jel zt jelenti, hogy tnszfomáció lklmzás soán eltiitás ele teljesül-, "-" jel pedig zt, hogy nem teljesül) GALILEItnszfomáció LORENTZtnszfomáció MECHANIA - ELETROMÁGNESSÉGTAN - Ezek után elileg z lábbi lehetőségek között álszthtunk: ) Beletöődünk bb, hogy különböző jellegű fiziki folymtokbn (mechniki, elektomágneses) ugynzok fiziki mennyiségek különbözőképpen tnszfomálódnk két endsze között, mi lényegében zt jelenti, hogy áltlános fomájábn feldjuk eltiitás elét b) Fennttjuk eltiitás elét, és elfogdjuk józn észnek" megfelelő Glileitnszfomációt, de ekko hibásnk kell minősítenünk Mxwell-egyenleteket Az elektomágnességtn töényeit tehát úgy kell átlkítnunk, hogy zokt Glileitnszfomáció áltoztlnul hgyj c) Fennttjuk eltiitás elét, és elfogdjuk Loentz-tnszfomációt, de ekko mechnik töényeit kell eletnünk, és úgy átlkítnunk, hogy Loentztnszfomáció áltoztlnul hgyj zokt Miután nincs olyn tpsztlt, mely utln, hogy eltiitás ele ne lenne éényes, z ) lehetőséget elethetjük A b) lehetőséget zét nem álszthtjuk, met ismeünk olyn jelenséget (fény tejedése), melye Glilei-tnszfomáció nem éényes Így md c) lehetőség A százd első éeiben ehhez köetkeztetéshez többen is eljutottk (Loentz, Poincé 1, Einstein ), de Einstein olt z ki áltlános fiziki elmélet fomájáb öntötte c) pontbn megfoglmzott köetelményeket Ő ette észe, hogy tpsztlti tényekkel egyező elmélet két lpető fiziki elből leezethető: A fiziki folymtokt leíó töények minden ineciendszeben zonos mtemtiki lkbn éényesek Más szól, minden fiziki folymt éényes eltiitás ele A ákuumbn tejedő fény sebessége minden ineciendszeben zonos, uniezális fiziki állndó Ebből két lpelből leezethető Loentz-tnszfomáció, és segítségükkel elégezhető mechnik töényeinek szükséges átlkítás Az így létejött, fenti két elel összhngbn álló fiziki elmélet speciális eltiitáselmélet Neében "speciális" jelző utl, hogy csk speciálisn álsztott koodinátendszeekben, neezetesen ineciendszeekben éényes A Loentz-tnszfomáció fontos tuljdonság, hogy fénysebességhez képest kis w eltí sebességeknél Glilei-tnszfomációb megy át, gyis nem túl ngy sebességeknél toább is éényesek klsszikus mechnik töényei 1 Jules Heni POINCARÉ (1854-191) fnci mtemtikus, elméleti fizikus Albet EINSTEIN (1879-1955) Nobel-díjs (191) német számzású, 1933-bn Ameikáb emigált fizikus
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 7 A fenti két lpel elfogdás egyben zt is jelenti, hogy z "étet" nem tekinthetjük fényhodozó közegnek, hiszen fénysebesség mozgásállpottól független, és nem tekinthetjük lmiféle kitüntetett ontkozttási endszenek sem, miel eltiitás ele éényes Ezzel iszont eleszítette ételmét z éte létének feltételezése is Mozgásleíás egymáshoz képest gyosuló endszeekből, tehetetlenségi eők Egymáshoz képest nem túl ngy sebességgel mozgó ineciendszeekben Newton töények áltoztln lkbn hsználhtók Mi helyzet egy ineciendszehez képest gyosuló endszeben? Tnszfomációs összefüggések egymáshoz képest gyosuló, tnszlációs mozgást égző endszeekben A legegyszeűbb eset z állndó gyosulású tnszlációs (hldó) mozgás Vegyük fel ineciendszeben (pl teem) koodináttengelyeket úgy, hogy hozzá képest tnszlációs mozgást égző endsze (pl egy kocsi) endsze x-tengelye mentén mozogjon, F0 x - 0 endszebeli x-tengely pedig essen z x-tengelye (áb) A endsze közös x,x-tengely mentén 0 0 állndó gyosulássl mozog -hoz képest Az áltlános Glilei-tnszfomáció szeint (most w x, x eltí sebesség nem állndó!): x( t ) x ( t ) x ( t ) x( t ) w( t ) x ( t ) O O x( t ) 0 x ( t ) Eszeint egy tömegpont gyosulás endszeben x x 0, gyis nem ineciendsze, hiszen -bn nem gyosuló tömegpont ( x 0 ) -ben gyosul ( x 0 0 ) A fenti egyenletből m-mel ló szozássl kpjuk, hogy mx mx m0 Fx m0, hol F x mx endszeben tömegpont htó eő Látszik, hogy -ben Newton II töénye nem éényes ( Fx 0 esetén x 0 0 ) Hsználhtóá álik töény, h feltételezzük, hogy -ben tömegpont Fx Fx m 0 eő ht, gyis -bn működő eőt ki kell egészíteni egy F tx m 0 ún tehetetlenségi eőel Ezzel z F x mx egyenletet kpjuk, miből z F x 0 esetben tényleges x 0 gyosulást kpjuk H koodinátendszeek nem tágylt speciális eltí mozgást égzik, kko fenti gondoltmenet mindegyik koodinátá lklmzhtó, és 0 eltí gyosulás és F eő esetén, kpott eedmények ektoi fomábn éényesek:
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 8 0 F F m Ft m0 Tehetetlenségi eők fogó endszeben Egy ineciendszehez képest egyenletesen fogó endszeben szintén be kell ezetnünk tehetetlenségi eőket, hiszen z ineciendszeben nyugó tömegpont fogó endszeből néze köpályán mozog, tehát kko is gyosul, h nem ht á eő Ezt tehetetlenségi eőt legegyszeűbben úgy kphtjuk meg, h egy olyn tömegpontot izsgálunk, u mely fogó testhez ögzített koodinátendszeben N F t nyugszik (áb) Ennek tömegpontnk z cp m ineciendszeből néze cp m un gyosulás n, tehát F mcp m un eő ht á Miel fogó endszeben nyugszik, itt egy ezzel ellentétes, ugynilyen ngyságú Ft mcp m un tehetetlenségi eőt kell feltételeznünk A kíséletek zt muttják, hogy fogó endszeekben ilyen tehetetlenségi eő lóbn fellép, és centifugális eőnek neezik 0 ÍSÉRLETE: Rugó függesztett, ízszintes síkbn köbefogtott golyó tengelyt jól méhető eőel húzz (ugós eőméő) Ruglms lemezekből készített gömb lkú test fogtásko tengelye meőlegesen kidomboodik ( tengely mentén összelpul), ún geoid lkot esz fel (ilyen fogó Föld lkj is) Vízszintes úd mozgthtón felszeelt, cénál összekötött golyókt úd meőleges tengely köül szögsebességgel megfogt, golyók kko mdnk egyensúlybn, h tengelytől mét táolságik ( 1, ) és tömegeik (m 1, m ) között fennáll z m 11 m összefüggés Vízszintes tengely köül megfogtott keékpálánc mee keékként guul, gy megfogtott kö lkú ppílp olyn mee lesz, hogy ágni lehet ele A tpsztlt szeint fogó endszeben nem csk centifugális eő lép fel ÍSÉRLETE: Függőleges tengely köül fogthtó, ízszintes komozott lp tengelytől néhány centimétee egy golyót ögzítünk, mit egy szekezettel fogás közben szbddá teszünk A golyó lpon nem sugáiánybn kifelé mozog, hnem z áb szeinti göbe mentén, mit koométegbe be is jzol Itt oldliányú eőnek is fel kell lépni A fogó Földhöz ögzített hosszú ing lengési síkj lssn elfodul, mi ugynennek htásnk tuljdoníthtó
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 9 Tnszfomációs összefüggések egymáshoz képest fogó endszeekben A fogó endszeben fellépő tehetetlenségi eők meghtáozásához meg kell keesni megfelelő tnszfomációs képleteket Ehhez előzetesen néhány új foglmt kell beezetnünk A szögelfodulás- és szögsebesség-ekto Előszö kömozgást égző tömegpont mozgásánk jellemzésée beezetjük pont helyektoánk egy elemi idő ltt beköetkező elfodulását jellemző elemi szögelfodulás-ektot (z ábán d φ ), melynek ngyság d ϕ szögelfodulássl d egyenlő gyis d ϕ dϕ A d φ ekto iányát úgy definiáljuk, hogy z meőleges köpály síkjá (tehát d φ és (tδt) d dφ d ), és z ábán láthtó iányb mutt (t) ( jobbkéz-szbály ) dϕ A fenti definíció lpján láthtó, hogy d dφ, hiszen d páhuzmos d φ ektol, ngyság pedig éppen d dϕ A tömegpont pály menti sebességét z elmozdulásnk z időttmml ló osztásál kpjuk: d dφ A koábbn skláként beezetett szögsebességet áltlánosít, definiáljuk szögsebesség-ektot z dφ dϕ összefüggéssel Az így kpott szögsebesség-ekto páhuzmos szögelfodulás-ektol, tehát szintén meőleges köpály síkjá, iány z ábán láthtó A szögsebesség-ekto segítségéel tömegpont pály menti sebességét összefüggés dj meg Ez ekto lóbn köpály éintőjének iányáb mutt, ngyság pedig lóbn kömozgásnál koábbn kpott étékkel egyenlő Hsonló meggondolássl kpjuk, hogy centipetális gyosulás N ( ) Ez ekto lóbn kö középpontj felé mutt, és ngyság is zonos kömozgásnál centipetális gyosulás kpott étékkel N Vekto megáltozás ineciendszeből és fogó endszeből néze Ahhoz, hogy tnszfomációs összefüggéseket megkpjuk, meg kell tlálnunk z áltlános összefüggést egy ektonk egy ineciendszeből és egy hozzá képest fogó endszeből észlelt megáltozás között
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 10 A észletes számolás eedménye z, hogy egy b ektonk endszeben észlelt megáltozás és z szögsebességgel fogó endszeben tpsztlt megáltozás között db db b összefüggés áll fenn Vgyis tetszőleges b ekto áltozási sebessége endszeből néze úgy kphtó meg, hogy endszeből mét áltozási sebességéhez hozzádjuk fogásból számzó áltozási sebességet, mit z b ekto d meg ***************** **************** **************** A fenti összefüggés leezetése áltlános esetben kissé hosszdlms, ezét itt egy egyszeűsített esetet muttunk be, miko izsgált b ekto 1 kezdőpontj endsze O oigójábn n (áb) A számítást ennek b ektonk egy öid Δt idő ltt beköetkező b ( t ) b( t Δt ) megáltozásá égezzük el A áltozás soán ekto égpontj helyzetbe keül, tehát ekto tébeli helyzete és hossz is módosulht, de egyszeűsítő felteésünk mitt ekto 1 égpontj helyben md A Δt idő ltt endsze Δϕ szöggel elfodul, mit Δϕ szögelfodulás-ektol dhtunk meg Δb A endszebeli megfigyelő szeint b ekto * Δϕ égpontjánk elmozdulását mi esetünkben Δϕ Δb Δb ot ekto megáltozásál egyenlő z ábán bejzolt Δ b ekto dj meg b(tδt) A fogó endszebeli megfigyelő b(t) szempontjából pont, melyhez b ekto megáltozását iszonyítni tudj, fogás O 1 köetkeztében * helye keült (ez pont endszehez n ögzíte) Emitt fogó endszebeli megfigyelő b ekto égpontjink elmozdulását Δ b ektol dj meg A endsze pontjánk endsze fogás mitt beköetkező * elmozdulását z ábán Δ bot ekto muttj Az áb lpján b ekto égpontjánk elmozdulás gyis esetünkben b ekto megáltozás endszeből néze kifejezhető ekto endszebeli megáltozásál és egy endsze fogásából számzó jáulékkl: Δ b Δb Δb ot Most má csk fogásból dódó ektot kell kifejezni fogást jellemző szögsebességgel H Δt időttm kicsi, kko ennek ektonk ngyságá z áb lpján felíhtjuk, hogy Δb ot Δϕ A Δt időttmot egye öidíte, és diffeenciálisn kicsi mennyiségeke áttée z összefüggést Δb ot dϕ lkb íhtjuk, másészt zt is megállpíthtjuk, hogy Δ bot ekto Δt időttm öidítéséel z ábán fogástengelye meőleges síkbn bejzolt segédkö éintőjébe megy át Ennek lpján ezt ektot diffeenciális áltozás esetén z lábbi módon íhtjuk fel: db ot dφ Ezt z összefüggést felhsznál, b ekto megáltozásá felít kifejezés diffeenciális lkbn köetkezőképpen lkul d b db dφ b A ekto megáltozásánk sebességée ebből időttmml ló osztás után zt kpjuk, hogy
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 11 db db dφ Itt ektook megáltozásánk sebességénél záójel mellett feltüntetett index muttj, hogy áltozást melyik endszeből izsgáljuk dφ H figyelembe esszük, hogy szögsebesség-ekto, kko égül zt kpjuk, hogy db db b A speciális eset kicsit hosszdlmsbb számolássl áltlánosíthtó, h fenti meggondolások lklmzásál b ekto 1 égpontjánk elmozdulását is figyelembe esszük Az áltlános számítás ugynezt z eedményt dj, tehát fenti összefüggés tetszőleges b ekto éényes ***************** **************** **************** A tnszfomációs összefüggések A észletes számolás eedményeként kpott db db b összefüggést felhsznál most megkeessük egy ineciendsze és hozzá képest fogó endsze mennyiségei közötti összefüggéseket A számolás soán speciális esetet izsgálunk: két koodinátendsze oigój mindégig egybeesik, gyis tnszlációt nem tételezünk fel z z (áb) Ebből köetkezik, hogy P pont helyektoá P fennáll, hogy d d O x O y Alklmzzuk tetszőleges ekto áltozásá kpott x kifejezést z ekto (ez z áltlános összefüggésben b helyettesítést jelenti): d d Itt felhsználtuk zt, hogy z ekto áltozási sebessége endszeből néze d Miel speciális esetünkben tömegpont endszebeli sebességée fennáll, hogy d d, - és endszebeli sebességek közötti összefüggése zt kpjuk, hogy A endszebeli gyosulást sebesség diffeenciálásál kpjuk meg: d d d( ) Ismét felhsznál ekto áltozásá kpott áltlános kifejezést, zt kpjuk, hogy b y
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 1 d d d, illete d d A kifejezést toább lkít zt kpjuk, hogy [ ] ) ( d d H fogó endsze szögsebessége állndó, kko z utolsó, ún Eule 1 -féle gyosulás null, és z ( ) összefüggést kpjuk Az utolsó tg nem más, mint koábbn felít centipetális gyosulás, második tg nee pedig Coiolis -gyosulás: ) ( C cp Tehetetlenségi eők fogó endszeben, centifugális- és Coiolis-eő Láttuk, hogy egy tömegpont gyosulás egy ineciendszeben () és egy hozzá képest állndó szögsebességgel fogó endszeben () más A két mennyiség közötti összefüggést átendeze zt kpjuk, hogy ( ) ( ) Ennek megfelelően, h endszeben Newton-féle mozgásegyenletet hsználni kjuk, kko z ( ) ( ) ( ) ( ) F m m m m m m összefüggés lpján fogó endszeben be kell ezetnünk z ( ) ( ) F m m t tehetetlenségi eőt Ennek első tgj z ( ) F m C Coiolis-eő, mely meőleges mozgó tömegpont endszebeli sebességée, második tgj pedig z ( ) F m cf centifugális eő, mely sugáiánybn kifelé mutt A centifugális eőt hétköznpi tpsztltból is ismejük (knyodó jámű), de htását számos egyszeű kísélet és tudományos tpsztlt is muttj Néhány ilyen kísélet és ételmezése fogó endszeben köetkező: Rugó függesztett, ízszintes síkbn köbefogtott golyó áltl megnyújtott ugó centifugális eőt muttj A köbefogtott hjlékony boncs geoid lkját fogó endszeben úgy ételmezhetjük, hogy centifugális eő tengelytől kifelé iszi z boncs észecskéit, egészen ddig, míg defomációl nöekő uglms eők egyensúlyt nem ttnk ele 1 Leonhd EULER (1707-1783) sájci mtemtikus, fizikus Guste CORIOLIS (179-1843) fnci gépészménök, mtemtikus
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 13 A Földől néze centifugális eő z ok nnk, hogy Föld nem gömb lkú, hnem skokon kissé belpult, ún geoid A Földön mét g "nehézségi" gyosulás gitációs- és centifugális eő együttes fellépésének eedménye Miel zonos szögsebességnél keületi sebesség sugá függénye, centifugális eő fogástengelytől mét táolságtól, gyis z ábán ψ δ F szögtől függ: F cf m mr cosψ (R Föld sug) Fg cf G Emitt áltozik Földön mét g "nehézségi" gyosulás, h ψ G sinψ észk-déli iánybn hldunk: g g s, hol m sin( δ ψ ) Fg g s m A centifugális eő fellépéséel mgyázhtó centifug működése is (h benne ülünk) A centifugáb tett észecskéke fellép centifugális eő, mely ngy fodultszámnál nehézségi eőnél sokkl ngyobb Miel ez nehézségi eőhöz hsonlón tömeggel ányos eő, htás fogástengelye meőleges iánybn ugynz, mint nehézségi eőé függőlegesen Ezét ngyobb sűűségű nygok tengelytől táolbb, kisebb sűűségűek tengelyhez közelebb gyűlnek össze A fenti összefüggések segítségéel Coiolis-eőe ontkozó kíséleteink és tpsztltink fogó endszeből szintén ételmezhetők A függőleges tengely köül fogthtó, ízszintes komozott lpon sugáiánybn elinduló golyó mozgásiányánk megáltozását sebessége meőleges Coioliseő okozz Az ing lengési síkjánk elfodulás Földön szintén z ingsúly sebességée meőleges Coiolis-eőel ételmezhető ülönböző kezdeti feltételek mellett z ing mozgás eltéő (áb), de lengési sík minden esetben elfodul Ugynez z ok, hogy Földön kilőtt löedék eedeti iányától elté (pl Dél Észk iányú mozgásnál z észki féltekén jobb, délin bl; l z ábát) Hsonlón ételmezhető, hogy Föld felé szbdon eső test z eedeti mozgásiányától kelete té el Az eltéülés nem ngy: 100 m-ől eső test esetén kb 1,5 cm Ugyncsk Coiolis-eő okozz, hogy Földön elet Nyugt iánybn mozgó testeke lefelé htó ) b) F C -mx eő lép fel (súlyuk megnő), Nyugt elet iánybn mozgó testeke felfelé htó eő lép fel (súlyuk lecsökken) Ez z Eötös-effektus A látszólgos tömegáltozás ngyságendje: 1 m/s sebességű, 70 kg-os testnél kb 1 g A Coiolis-eőnek szeepe n légköi jelenségek lkulásábn is Egy lcsonybb nyomású helye minden oldlól beámló légtömegek eedetileg sugáiánybn hely felé mozognk, de Coiolis-eő eltéíti őket, így öénylő mozgás jön léte (áb) F C befelé F C kifelé
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 14 Az Eötös-kísélet A tehetetlen- és súlyos tömeg zonosságánk kédése igen fontos eli poblém Az első igzán pontos izsgáltot ezzel kpcsoltbn Eötös Loánd 1 égezte el Az Eötös-féle kísélet zon lpult, hogy Földön testeke htó nehézségi eő (G) két olyn eő eedője, melyek közül z egyik test súlyos tömegéel- (tömegonzás: F g ), másik pedig test tehetetlen tömegéel (centifugális eő: F cf ) ányos: F m g g s s Fcf mt (itt g s z m s súlyos tömeggel ányos, tömegonzásból számzó eő ányossági tényezője, Föld fogásánk szögsebessége, pedig izsgált köpályán mozgó pont pályájánk sug) A Föld dott helyén, melyet z ábán láthtó ψ szöggel jellemezhetünk, centifugális eő és tömegonzásból számzó eő hánydos z lábbi összefüggéssel dhtó meg: δ F F Fg cf sinδ cf mt G sin( δ ψ ) Fg ms g s ψ Ebből köetkezik, hogy dott földjzi helyen G eedő eő iányát meghtáozó δ szög függ tehetetlen- és súlyos tömeg hánydosától Eötös készített egy igen ézékeny toziós méleget, melynek údját elet-nyugti iányb állított (áb) A úd egyik égée pltin súlyt, másik lehető legpontosbbn zonos tömegű, más nygú testet ögzített H két teste súlyos és tehetetlen tömeg hánydos nem zonos, kko két teste htó eedő eő (G 1 és G ) iány eltéő, ezét ezeknek z eőknek ízszintes komponense is különböző lesz Emitt toziós mélege egy fogtónyomték lép fel, mi zt ddig fogtj el, míg szálbn ébedő szögelfodulássl ányos ellenkező iányú uglms fogtónyomték ki nem kompenzálj H z elfodulást megméjük, kko ki tudjuk számítni fogtónyomtékot, bból pedig meghtáozhtjuk súlyos és tehetetlen tömeg hánydosánk eltéését két test esetén A méésnél temészetesen kiinduló egyensúlyi helyzetben nem ismejük z elfodulás szögét, hiszen csk z egyensúlyt tudjuk megállpítni Ezét z egyensúly beállt után z eszközt függőleges tengely köül 180 o -kl el kell fodítni, és ekko z ing údj fellépő ellenkező iányú fogtónyomték mitt z eszközhöz képest elfodul Ezt z elfodulást má észlelni tudjuk Eötös ezzel módszeel különböző nygú testeket hsonlított össze z etlonként hsznált pltin súllyl, z eszköz elfodításko zonbn egyetlen testnél sem észlelte z ing údjánk elfodulását Vgyis zt z eedményt kpt, hogy méési hib htáin belül különböző testeknél súlyos- és tehetetlen tömeg hánydos zonos A kíséleti eszköz egye tökéletesebb áltoztál égehjtott méései lpján Eötös égül (1908-bn) zt állpított meg, hogy z m m t s F g F g1 G G 1 F cf1 F cf É Ny hánydosok egymástól illete z 1 EÖTVÖS Loánd (1848-1919) mgy fizikus
TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 15 egységtől ló eltéése legfeljebb 5 10-9 lehet (több, mint fél észázddl később koszeűbb eszközökkel, kissé eltéő módszeel méés pontosságát Dicke 1 megjított, és megállpított, hogy z eltéés mximális étéke kb 10-11 lehet) A súlyos- és tehetetlen tömeg zonosság z áltlános eltiitáselmélet egyik lpető feltételezése 1 Robet Heny DICE (1916-1997) meiki fizikus