Ideális kristályserkeet 00. február 7. Térrács fglm: Kiterjedés nélküli pntk sbálys rendje térben. Elemi cell: térrács n legkisebb egysége, mely dtt serkeet vlmennyi gemetrii törvényserűségét mgán hrd. Primitív cell: csk srkpntjin trtlm rácspntt. r = r + n + n + n 0 i 1 j k 1,, -primitív trnslációs vektrk, r0 térrács egy dtt pntj, r térrács tetsőleges pntj. 7-féle térrács, 7-féle kristályrendser léteik. β γ α y x 1
Kristályrendser A tengelyeken mért megneveése távlságk 1,, Köbös 1 Tetrgnális 1 Hexgnális 1 Ortrmbs 1 Rmbéderes 1 Mnklin 1 Triklin 1 A válttkkl együtt 14 féle Brvis rács vn. A tengelyek áltl beárt sögek α, βγ, α = β = γ = 90 = α = β = γ = 90 = α = β = 90 γ = 10 α = β = γ = 90 α = β = γ 90 α = γ = 90 β α β γ 90 Sbálys (köbös) rendser ) b) c) egyserű köbös térben köéppnts köbös (t.k.k) felületen köéppnts köbös (f.k.k) Egyserű köbös kristályr ( tmk ldlél köepén érintkenek) Atmsugár és elemi celláh trtó tmk sám: = r 8 N 1 8 Térkitöltési tényeő T V V Vc elemi celláh trtó tmk térfgt elemi cell térfgt 4r π V = N, Vc =, r =
T V 1*4r π π 8 r 6 Síkkitöltési tényeő: T s A A síkelem tmk áltlelfgllt területe elemi celláh trtósíkelemterülete Vnlkitöltési tényeő: A = 4* r π /4= r π A= S r π π T T 4r 4 L L L tmk áltl elfgllt vnlhss vnlsks hss Krdinációs sám (K): tetsőleges tmtól egyenlő távlságr lévő legköelebbi smsédk sám, dtt esetben e 6. Síkk és irányk rácsbn c n b y Sík megdás ( ) r r n = 0 0
Tengelymetsékes frmábn felírv x + y + = 1 b c Ebből kiindulv Willim H. Miller 189-ben jvslt Miller-indexek lklmását: 1. A síkt, h kell párhums eltlássl, lyn helyetbe huk, hgy ne menjen át krdinát rendser rigóján.. A síkk tengelymetseteinek meghtárás, eek rendre bc,, 1 1 1. h =, k =, l = kisámítás, eek mennyiségek áltlábn tört értékek b c 4. Megfelelően válsttt egés sámml srv, indexekre tvább nem egyserűsíthető egés sámk dódnk: h= qh, k = qk, l = ql, miket Miller indexeknek neveünk ( hkl,, ). A Miller index nem egy síkr, hnem egymássl párhums síkseregre vntkik. hkl = 1* hkl. A negtív jel megdás sám fölött történik ( ) Néhány péld Miller indexekre köbös rendserben: hkl. Fnts: ( ) ( ) ( 100 ) ( 111 ) ( 110) ( 11 ) ( 01 ) ( 110) Kristálytnilg egyenértékű síksereg cslád jelölése: { hkl } { 100} = ( 100) + ( 010) + ( 001) 4
Miller indexek hexgnális rácsbn Elegendő lenne hárm index, de áltláns négy tengely hsnált, emitt egy újbb index beveetésére vlt sükség, mi nbn nem független többitől h+ k = i ( 0001 ) ( 111) 1 1 Kristálytni irányk jelölése 1. A dtt irányt jelölő vektrt önmgávl párhumsn úgy tljuk el, hgy végpntj krdinát-rendser rigójáb essen.. A irányvektr kmpnenseit úgy állpítjuk meg, hgy keletkeett sámhárms legkisebb egés sámkból álljn.. A irány Miller indexei eek lpján [ uvw ] A irányk meghtáráskr is hsnáljuk negtív sámt, melyet eúttl is sám fölé írunk: [ uvw ] A irányk Miller indexei sem csk egy knkrét irányr, hnem egymássl párhums irányk össességére vntknk, eek kristálytnilg egyenértékűek. A össes egyenértékű irány sereg megdásár egyeményes jelként hegyes árójeleket lklmunk: uvw. Például: 100 = [ 100] + [ 010] + [ 001] + 100 + 0 10 + 00 1 5
Irányk köbös rendserben 100 [ 101] [ 001] x [ 111] [ 010] [ 110] [ 110] 100 00 1 y 100 [ ] Irányk hexgnális rendserben 4 tengely hsnált esetében 4 indexes irányindex hsnálhtó [ UVTW ], U + V = T, kpcslt különböő megdási módk köött: u = U T, v= V T, w= W u v v u U = q, V = q, W = qw 110 110 110 110 11 1 10 10 1 10 6
Hégk kristályrácsbn Oktéderes rácshégk tkk rácsbn Tetréderes rácshégk tkk rácsbn A ktéderes rácshégk kck ldllpjink köepén, vlmint kckél köepén tlálhtók (6/+1/4=6db) 100 irány mentén r+ r = r / r = 0.155 ü ü Tetréderes rácshégk { 100 } síkkn 1/4, 1/, 0 típusú píciókbn tlálhtók (4/=1 db). A 10 irány mentén ru / r = 0.91 Oktéderes rácshégk fkk rácsbn Tetréderes rácshégk fkk rácsbn A ktéderes rácshégk kck köepén, vlmint kckél köepén tlálhtók (1+1/4=4db) { 100} síkkbn. A 100 irány mentén r+ rü = rü / r = 0.414 Tetréderes rácshégk 1/4, 1/4, 1/4 típusú píciókbn tlálhtók (8 db), r / r = 0.5 u 7
A tmkkl legsűrűbben rktt tmsíkk elhelyekedése: Fkk rendser esetében (ABC,ABC,ABC ) Hexgnális rendser esetében (AB,AB,AB ) Egymássl smséds kristálytni síkk távlság: Köbös rendserben: d = h + k + l hexgnális rendserben: d = 4 ( ) h + hk k + l c 8
Két egymást metső sík ( ), ( ) hkl hk l áltl beárt sög (köbös rendserben): 1 1 1 Felhsnálv t törvényserűséget, hgy vlmely sík nrmálvektránk Miller indexe megegyeik ugyneen sík Miller indexével, sög lábbi össefüggéssel sámíthtó ki: nn csϕ n hh + kk + ll 1 1 1 1 1 n h1 + k1 + l1 h + k + l Vlmely kristálytni iránnyl párhums síkk össességét ónánk neveük. Legegyserűbb ónát nyittt könyvnek elképelni, hl könyvlpk síkk, könyv gerince óntengely, mi síkk köös metsésvnl. A óntengely és uvw kristálytni hátrtó síkk köött egyserű össefüggés áll fenn: Bármely [ ] irány benne feksik egy ( hkl ) síkbn kkr, h óntengely és sík nrmálisánk skláris srt érus. hu + kv + lw = 0 9