NUMERIKUS FUNKCIONÁLANALÍZIS

NUMERIKUS FUNKCIONÁLANALÍZIS

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential Geometry Diszkrét optimalizálás Diszkrét matematikai feladatok Geometria Igazságos elosztások Interaktív analízis feladatgyűjtemény matematika BSc hallgatók számára Introductory Course in Analysis Matematikai pénzügy Mathematical Analysis-Exercises 1-2 Mértékelmélet és dinamikus programozás Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás Operációkutatási példatár Optimális irányítások Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Szimmetrikus kombinatorikai struktúrák Többváltozós adatelemzés

tson Ja nos Kara NUMERIKUS IZIS FUNKCIONALANAL Eo os Lor and Tudom anyegyetem tv Term eszettudom anyi Kar Typotex 2014

c 2014 2019, Karátson János, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Lektorálta: Galántai Aurél Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN 978 963 279 239 2 Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában Felelős vezető: Votisky Zsuzsa Műszaki szerkesztő: Gerner József Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú, Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához című projekt keretében. KULCSSZAVAK: funkcionálanalízis, numerikus analízis, operátoregyenletek, lineáris, nemlineáris, parciális differenciálegyenletek, projekciós módszerek, iterációs módszerek. ÖSSZEFOGLALÁS: A funkcionálanalízis a matematikai analízisből kinőtt azon tudományág, melynek lényege végtelen dimenziós terek közti lineáris és nemlineáris leképezések vizsgálata. A benne megjelenő absztrakció lehetővé teszi az egységes tárgyalásmódot. E könyv témájának, a numerikus funkcionálanalízisnek a fogalma arra alapszik, hogy ezek az egységes, absztrakt módszerek éppoly alkalmasak a vizsgált egyenletek konstruktív megoldási algoritmusainak kidolgozására és analízisére, mint elméleti vizsgálatukra. E könyv megírásának mozgatórugója, hogy numerikus funkcionálanalízisról szóló könyv magyarul még nem elérhető. A könyv négy részből áll. Az I. részben a funkcionálanalízis egyes alapismereteit foglaljuk össze. A II. és III. rész lineáris, ill. nemlineáris operátoregyenletek megoldhatósági eredményeiről, azaz a megoldás fogalmáról, létezéséről és egyértelműségéről szól a szükséges elméleti háttérrel együtt. A IV. rész tartalmazza a különféle operátoregyenlettípusokra vonatkozó közelítő módszerek tárgyalását. A vizsgált eljárások elsősorban két nagy csoportba tartoznak: projekciós, ill. iterációs módszerek. Ennek az anyagnak egy része megfelel az ELTÉ-n tartott funkcionálanalízis BSc és nemlineáris funkcionálanalízis MSc előadás témájának, az utolsó fejezet tárgya pedig újabb kutatásokhoz kapcsolódik.

Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Bevezetés a funkcionálanalízisbe 5 1. Normált terek 7 1.1. Normált terek, Banach-terek és alaptulajdonságaik...... 7 1.2. Véges dimenziós normált terek................. 12 1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek............. 14 1.4. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A B(X, Y ) tér.... 23 2. Hilbert-terek 29 2.1. Hilbert-terek értelmezése..................... 29 2.2. Ortogonalitási tulajdonságok Hilbert-térben.......... 33 2.3. Fourier-sorok Hilbert-térben................... 36 3. Folytonos lineáris funkcionálok normált térben 45 3.1. Normált tér duálisa........................ 45 3.2. Folytonos lineáris funkcionálok kiterjesztése.......... 47 3.3. Reflexív Banach-terek...................... 50 4. Folytonos lineáris operátorok normált térben 53 4.1. A Banach Steinhaus-tételkör.................. 53 4.2. A Banach-féle nyíltleképezés-tételkör.............. 58 5. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert-térben 65 5.1. Riesz reprezentációs tétele.................... 65 5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-térben.............. 67 6. Folytonos lineáris operátorok Hilbert-térben 69 6.1. Adjungált operátor, speciális operátortípusok......... 70 i

6.2. Önadjungált operátorok..................... 72 6.3. Projektorok............................ 77 6.4. Izometrikus és unitér operátorok................ 77 6.5. Sajátérték és spektrum...................... 79 6.6. Kompakt operátorok....................... 88 6.7. Operátorok spektrális előállítása, operátorfüggvények..... 99 II. 109 Lineáris operátoregyenletek elmélete Hilbert-térben 7. Operátoregyenletek megoldhatósága korlátos operátor esetén 111 7.1. Egyenletek koercivitási feltételek mellett............ 112 7.2. Bilineáris formák, Lax Milgram-tételkör............ 117 7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhatósága, inf-sup-feltétel.... 120 8. Nem korlátos operátorok 127 8.1. Nem korlátos operátorok alaptulajdonságai.......... 127 8.2. Energiatér és gyenge megoldás szimmetrikus operátor esetén. 136 8.3. Gyenge megoldás nem szimmetrikus operátor vagy nyeregpontfeladat esetén........................... 140 9. Operátor-differenciálegyenletek 145 9.1. Félcsoportok és operátor-differenciálegyenletek........ 146 9.2. Két megoldhatósági eredmény.................. 148 10.A megoldhatósági tételek alkalmazásai 155 10.1. Integrálegyenletek........................ 155 10.2. Peremértékfeladatok gyenge megoldása............. 157 10.3. A Stokes-feladat......................... 166 10.4. A Maxwell-egyenletek időharmonikus esetének megoldása.. 168 10.5. Parabolikus Cauchy-feladat................... 171 III. Nemlineáris operátoregyenletek elmélete 173 11.Nemlineáris operátorok alaptulajdonságai 175 11.1. Egy elliptikus operátor...................... 175 11.2. Gâteaux-derivált......................... 178 11.3. Monoton operátorok és konvex funkcionálok.......... 183 12.Potenciáloperátorok 185 ii

12.1. A potenciál fogalma és létezése................. 185 12.2. Funkcionálok minimumhelye................... 188 13.Nemlineáris operátoregyenletek megoldhatósága 189 13.1. A variációs elv.......................... 189 13.2. Monoton operátoregyenletek potenciáloperátorral....... 190 13.3. Operátoregyenletek nem potenciálos operátorral........ 192 13.4. Alkalmazások nemlineáris elliptikus peremértékfeladatokra.. 194 IV. Közelítő módszerek normált terekben 203 14.Közelítő módszerek és a variációs elv 205 14.1. Lineáris egyenletek és kvadratikus funkcionál......... 205 14.2. Nemlineáris egyenletek minimalizáló funkcionáljai....... 208 15.Ritz Galjorkin-féle projekciós módszerek 211 15.1. Ritz Galjorkin-módszer szimmetrikus lineáris egyenletekre.. 211 15.2. Ritz Galjorkin-módszer nem szimmetrikus lineáris egyenletekre, Céa-lemma.......................... 216 15.3. Ritz Galjorkin-módszer bilineáris formával megfogalmazott feladatokra.............................. 217 15.4. Ritz Galjorkin-módszer nemlineáris egyenletekre....... 220 15.5. A végeselem-módszer elméleti háttere............. 222 16.Iterációs módszerek lineáris operátoregyenletekre 227 16.1. A gradiens-módszer korlátos önadjungált operátorra..... 227 16.2. A konjugált gradiens-módszer korlátos önadjungált operátorra 232 16.3. A konjugált gradiens-módszer korlátos, nem önadjungált operátorra............................... 241 16.4. Iterációs módszerek nyeregpont-feladatokra.......... 242 16.5. Iterációs módszerek és prekondicionálás............ 246 17.Néhány további módszer lineáris operátoregyenletekre 251 17.1. Közelítő operátorsorozatok................... 251 17.2. Regularizáció nem koercív feladatokra............. 252 17.3. Operátor-differenciálegyenletek diszkretizációja........ 254 18.Iterációs módszerek nemlineáris operátoregyenletekre 261 18.1. Egyszerű iteráció monoton operátorokra............ 261 18.2. A Newton Kantorovics-módszer................. 265 18.3. Newton-típusú módszerek.................... 269 18.4. Külső-belső iterációk....................... 273 iii

19.Iterációs módszerek Ritz Galjorkin-diszkretizációkra 277 19.1. Rácsfüggetlenség lineáris egyenletek esetén........... 277 19.2. Rácsfüggetlenség lineáris nyeregpont-feladatok esetén..... 281 19.3. Rácsfüggetlenség nemlineáris egyenletek esetén........ 283 19.4. Alkalmazások elliptikus peremértékfeladatokra........ 286 Irodalomjegyzék 296 iv

Előszó A funkcionálanalízis a matematikai analízisből kinőtt azon tudományág, melynek lényege végtelen dimenziós terek közti lineáris és nemlineáris leképezések vizsgálata. A benne megjelenő absztrakció lehetővé teszi az analízis különböző területeit összefogó egységes tárgyalásmódot, ebben külön említést érdemel a különböző függvényosztályok által alkotott függvényterek egységes vizsgálata. A funkcionálanalízisnek jelentős magyar vonatkozásai is vannak: Riesz Frigyes, Neumann János és (a magyar származású) Peter D. Lax neve elválaszthatatlan e terület fejlődésétől. Neumann munkásságához kapcsolódik a funkcionálanalízis egyik legnagyobb hatású eredménye, ő dolgozta ki ugyanis a kvantummechanika szilárd matematikai megalapozását. E könyv témája szempontjából viszont a funkcionálanalízisnek azon eredményei állnak középpontban, amelyek operátoregyenletekkel leírható modellek, vagyis integrálés elsősorban differenciálegyenletek általános tárgyalására vonatkoznak. A természettudományok számos területén fellépő közönséges és főként parciális differenciálegyenletek modern elméleti vizsgálata nagymértékben támaszkodik a funkcionálanalízis eszközeire, mivel e differenciálegyenletek természetes alapterét végtelen dimenziós függvényterek alkotják. A Szoboljevterek fogalma tette lehetővé parciális differenciálegyenletek megoldhatóságának általános elméletét, melyen belül például a lineáris elliptikus esetben a Dirichlet-féle energia-minimalizálási elv is érvényesíthető, ill. a megoldhatóság egy általános, bilineáris leképezésekre vonatkozó elvre (Lax Milgram-lemma) vezethető vissza. E könyv témájának, a numerikus funkcionálanalízisnek a fogalma arra alapszik, hogy ezek az egységes, absztrakt módszerek éppoly alkalmasak a vizsgált egyenletek konstruktív megoldási algoritmusainak kidolgozására és analízisére, mint elméleti vizsgálatukra. Ez az alapelv a Nobel-díjas matematikus, L. V. Kantorovics klasszikus cikkére nyúlik vissza [32]. A funkcionálanalízisben megjelenő absztrakció sokszor képes a tulajdonságok lényegét megragadni és elegáns kezelésmódot adni, ez teszi lehetővé numerikus problémák egyes osztályainak egységes megértését és kezelését is. A funkcionálanalízis módszerei mára már beépültek a numerikus eljárások modern elméle- 1

2 Előszó tébe. Itt említendő, az alapvető példák közt tallózva, a végeselem-módszer egzakt tárgyalása Hilbert-térbeli apparátus felhasználásával, beleértve a nevezetes Céa-lemmákat, vagy a parabolikus feladatok Lax-féle elmélete, ill. az iterációs módszerek körében a Stokes-típusú nyeregpont-feladatok megoldása a megfelelő operátor függvénytérbeli szerkezetére alapozva, mint pl. az Uzawa-algoritmus. További magyar vonatkozásért pedig az iterációk körében térjünk vissza L. V. Kantorovicshoz: nála írt disszertációjában dolgozta ki Czách László nem korlátos operátorok korlátosra való transzformációját a konvergencia eléréséhez [12]. Ez az elv később mátrixokra vonatkozóan mint a kondíciószámot javító prekondicionálás technikája terjedt el, amely lineáris rendszerek iterációs megoldásának ma alapvető alkotórésze. E könyv megírásának mozgatórugója, hogy numerikus funkcionálanalízisról szóló könyv magyarul még nem elérhető. A funkcionálanalízis említett szerepe már számos helyen megjelenik a numerikus analízist részletesen összefoglaló [69] könyvben, megfordítva azonban, e két terület (az absztrakt elmélet és a közelítő módszerek) ötvözéséről szóló olyan munka, amely a funkcionálanalízis irányából kiindulva vizsgálja az absztrakt módszerek alkalmazásait numerikus eljárásokra, nem készült magyarul. Az angol nyelvű (mind a klasszikus, mind az újabb) szakirodalomból megemlítjük a [3, 15, 17, 23, 25, 33, 40, 47, 49, 57, 58] műveket. Magyarul a Newton-típusú módszereket építi fel normált terekben a [30] könyv, amely a román nyelvű, klasszikus [29] változatra alapul. Könyvünk bevezetést ad a numerikus funkcionálanalízis néhány fontosabb fejezetébe. Ehhez először, az I. részben, a funkcionálanalízis egyes alapismereteit foglaljuk össze. Ennek nem célja e terület egy újabb felépítése, hiszen számos munka létezik magyarul a funkcionálanalízis elemibb és mélyebb elméleti eredményeiről, például a klasszikus [59] mű, a [37, 38] (ezekre számos helyen utalunk) és a [13, 27, 36, 39, 43, 54] könyvek. Az első rész célja ehelyett önmagában használható kiindulást adni a további részekhez, ez egyben anyagot ad az ELTÉ-n tartott alkalmazott matematikus funkcionálanalízis előadáshoz is. A II. és III. rész lineáris, ill. nemlineáris operátoregyenletek megoldhatósági eredményeiről, azaz a megoldás fogalmáról, létezéséről és egyértelműségéről szól a szükséges elméleti háttérrel együtt. A IV. rész tartalmazza a különféle operátoregyenlet-típusokra vonatkozó közelítő módszerek tárgyalását. A vizsgált eljárások elsősorban két nagy csoportba tartoznak: projekciós, ill. iterációs módszerek. Ennek az anyagnak egy része megfelel az ELTÉ-n tartott nemlineáris funkcionálanalízis előadás témájának, az utolsó fejezet tárgya pedig újabb kutatásokhoz kapcsolódik [6, 23]. A tárgyalt módszereket fő alkalmazásként a könyv több pontján is parciális differenciálegyenleteken szemléltetjük. A könyv feltételezi az analízis alapjainak, elsősorban a Lebesgue-integrál és normált terek fő tulajdonságainak ismeretét.

Előszó 3 Köszönetnyilvánítás. E könyv révén szeretném kifejezni köszönetem Czách Lászlónak kollégámnak és korábbi tanáromnak, akitől a terület iránti érdeklődésemet és elindulásomat nyertem, és aki velem együtt matematikusok nemzedékeivel szerettette meg az analízist. A könyv elkészültében nagy segítséget jelentett az a két kézirat, melyet Kurics Tamás kollégám még hallgatóként készített két kapcsolódó előadásom alapján, igényes munkáját ezúton köszönöm, akárcsak neki és Kovács Balázs hallgatómnak a könyv kéziratának gondos átolvasását, ellenőrzését. Munkámat az MTA Bolyai János Ösztöndíjának támogatásával végeztem.

I. rész Bevezetés a funkcionálanalízisbe 5

1. fejezet Normált terek A funkcionálanalízis egyik legalapvetőbb struktúrája a normált tér, melynek lényege a hossz fogalmának általánosítása. Ennek segítségével általános keretben vizsgálhatóak a végtelen dimenziós függvényterek, melyek az alkalmazások szempontjából a normált tér fogalmának legfontosabb realizációi. Mivel e könyv feltételezi a normált terek elemi ismeretét az analízisből, itt csak rövid összefoglalást adunk néhány olyan alaptulajdonságról és példáról, melyeket leggyakrabban használunk majd, vagy nem tartoznak a szokásos alapismeretek közé. A skalárszorzatterek ennél speciálisabb struktúrájával a 2. fejezetben foglalkozunk majd hasonló szellemben. Mivel a normált terek az euklideszi terek általánosítását jelentik, egy-egy új fogalom prototípusaként gyakran tekinthetjük magát R n -et. Ezért külön szakaszban térünk ki a véges dimenziós esetre, és ezután adunk példákat végtelen dimenziós terekre. A normált terek további, részletesebb tárgyalása, beleértve a későbbiekben említett, de nem bizonyított állításokat és példákat, megtalálható a [37, 38] könyvekben. Végül megemlítjük, hogy a funkcionálanalízis egyes eredményei a normált tereknél általánosabb struktúrákban (topologikus vektorterekben) is felépíthetők, lásd szintén [37, 38], erre az általánosságra azonban e könyvben nem lesz szükségünk. 1.1. Normált terek, Banach-terek és alaptulajdonságaik A norma definíciója a hossz fogalmát általánosítja tetszőleges vektortérben. 7

8 1. Normált terek 1.1. Definíció. Legyen X vektortér K felett, ahol K = C vagy R. Egy : X R + függvényt normának nevezünk, ha teljesíti az alábbi ún. normaaxiómákat: (i) minden x X esetén x 0, és x = 0 x = 0; (ii) minden λ K és x X esetén λx = λ x ; (iii) minden x, y X esetén x + y x + y. Ekkor az (X, ) párt normált térnek nevezzük. Megadunk néhány egyszerű példát normált terekre, nagyrészt véges dimenziósakat. A funkcionálanalízis alkalmazásaiban a végtelen dimenziós terek, elsősorban függvényterek játsszák a fő szerepet, ezek közül a legfontosabbakkal az 1.3. szakaszban foglalkozunk majd. A legegyszerűbb példa X := R mint önmaga feletti vektortér: ez normált tér az abszolút értékkel mint normával, azaz x := x. Ha n N +, akkor X := R n normált tér a szokásos euklideszi normával, amit 2-es indexszel szokás jelölni, azaz x = (x 1, x 2,..., x n ) R n esetén x 2 := n i=1 x2 i. Az X := R n teret más normákkal is elláthatjuk, például az úgynevezett p-normákkal, ahol x R n esetén ( n x i p) 1/p, ha 1 p < + ; x p := i=1 max x i, ha p = +. 1 i n Ha I = [a, b] adott intervallum, akkor X := C(I) = {f : I R folytonos függvények} normált tér az f max := max I f normával. Ugyanezen a vektortéren megadható más norma is, pl. f 1 := I f. 1.2. Megjegyzés. Minden normált tér egyben metrikus tér a ϱ(x, y) = x y ún. indukált metrikával. (Visszafelé ez nem igaz, vagyis nem minden metrikát indukál valamilyen norma, pl. ha az alaphalmaz nem vektortér, vagy ha a metrika diszkrét.) A norma révén értelmezhetőek a gömbök, környezetek és ehhez kapcsolódó topológiai fogalmak. A nyílt gömbök segítségével a határérték és folytonosság ugyanúgy definiálható, mint R n -ben. Utóbbiak ε és δ nélkül közvetlenül is megfogalmazhatók, ezt tesszük először a sorozatok és sorok konvergenciájára, utána értelmezünk néhány topológiai alapfogalmat.

1.1. Normált terek, Banach-terek és alaptulajdonságaik 9 1.3. Definíció. (Sorozatok és sorok konvergenciája.) Legyen (X, ) normált tér, (x n ) X sorozat, x X vektor. (i) lim x n = x (vagy x n x), ha x n x 0. (ii) x n = x, ha az s n := n x i sorozatra s n x. n=1 i=1 1.4. Definíció. Legyen (X, ) normált tér. (i) Ha x 0 X adott pont, r > 0 szám, akkor x 0 közepű és r sugarú nyílt gömbön, ill. zárt gömbön a B(x 0, r) := {x X : x x 0 < r} és B(x 0, r) := {x X : x x 0 r} halmazokat értjük. Egy U X halmaz környezete x 0 -nak, ha U tartalmaz x 0 közepű nyílt gömböt. (ii) Egy G X halmaz nyílt, ha minden pontjának környezete. (iii) Egy F X halmaz zárt, ha X \F nyílt. Ez ekvivalens azzal, hogy minden (x n ) F konvergens sorozat esetén lim x n F. (iv) Egy K X korlátos halmaz átmérője: diam(k) := sup x y. x,y K 1.5. Lemma. Normált térben minden x, y X esetén x y x y. Bizonyítás. Mivel x = (x y)+y, ezért x x y + y, azaz x y x y. Mivel x és y szerepe szimmetrikus, ezért y x y x is igaz, amiből az állítás következik. 1.6. Következmény. A norma sorozatfolytonos függvény, azaz ha x n x, akkor x n x. Bizonyítás. Az előző lemma szerint xn x xn x 0, ha n. A fenti bizonyítások megegyeztek az R-ben szokásosakkal, az abszolút értéket normára cserélve. Hasonlóan igazolható, hogy normált térben az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei folytonosak. A normált terek egyik alapfogalma a tér teljessége: 1.7. Definíció. Egy normált teret Banach-térnek nevezünk, ha teljes, azaz ha minden Cauchy-sorozat konvergens. A teljesség azt jelenti, hogy ebből a szempontból a tér hasonlít a valós számok halmazához, ahol klasszikus tétel garantálja a Cauchy-sorozatok konvergenciáját. Néhány további példa a normált tereknél már felsoroltakból:

10 1. Normált terek (R n, 2 ) Banach-tér a x 2 := n i=1 x2 i euklideszi normával. Általában is: minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. (Ezzel külön foglalkozunk a következő szakaszban.) Ha K tetszőleges halmaz, akkor X := {f : K R korlátos függvények} Banach-tér az f := sup K f normával. (C[a, b], max ) Banach-tér az f max := max f normával. (Az [a, b] [a,b] intervallum helyett egy K R n kompakt halmaz is állhat.) (C[a, b], 1 ) nem teljes, azaz nem Banach-tér az f 1 := b f normával. Megadható ugyanis olyan (f n ) C[a, b] sorozat, amely a 1 a normában egy f / C[a, b] függvényhez konvergál, pl. a signumfüggvényhez. Ez Cauchy-sorozat a 1 normában, de nincs limesze C[a, b]-ben. 1.8. Megjegyzés. Bár nem minden normált tér Banach-tér, igazolható, hogy minden X normált tér sűrűn beágyazható Banach-térbe azonosítás erejéig, vagyis X izometrikusan izomorf egy alkalmas Banach-tér egy sűrű alterével. (Két normált teret izometrikusan izomorfnak hívunk, ha van közöttük normatartó lineáris bijekció; ilyenkor szokás őket azonosítani egymással.) Ekkor ez a Banach-tér szükségképpen egyértelmű izometria erejéig, neve X teljessé tétele. Egy bizonyítást a 3.12. tételben látunk majd erre. A teljessé tétel létezése közvetlenül is igazolható metrikus terekre is, azzal az alapgondolattal, hogy a Cauchy-sorozatokhoz hozzárendelt alkalmas ideális elemekből alkotható teljes tér. Éspedig, ha két Cauchy-sorozatot ekvivalensnek hívunk, amikor különbségük 0-hoz tart, akkor az új tér a Cauchy-sorozatok ekvivalencia-osztályaiból fog állni, és egy X-beli elemet a belőle alkotott konstans sorozat ekvivalenciaosztályával azonosítunk. A hosszú számolást igénylő részletes bizonyítást lásd pl. a [37] könyvben. 1.9. Definíció. Legyen X vektortér, 1 és 2 normák. Azt mondjuk, hogy a két norma ekvivalens, ha léteznek M m > 0 konstansok, hogy m x 1 x 2 M x 1 ( x X). (1.1) Könnyen látható, hogy ez valóban ekvivalencia-reláció. Ha a normák ekvivalensek, akkor ugyanazt a topológiát generálják, vagyis ugyanazok a nyílt halmazok és a konvergens sorozatok is. Például az 1.15 tételben látni fogjuk majd, hogy véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. 1.10. Állítás. Legyen X vektortér, 1 és 2 ekvivalens normák. Ha (X, 1 ) teljes, akkor (X, 2 ) is teljes.

1.1. Normált terek, Banach-terek és alaptulajdonságaik 11 Bizonyítás. A definíciókból következik, hogy ha (x n ) Cauchy-sorozat a 2 normában, akkor Cauchy-sorozat a 1 normában is, így (x n ) konvergál a 1 normában, de akkor konvergál (ugyanahhoz a vektorhoz) a 2 normában is. Végül a teljességre alapuló néhány nevezetes eredményt adunk meg. 1.11. Tétel (Cantor-féle közöspont-tétel). Legyen X Banach-tér. Ha (F n ) X nem üres zárt halmazok egymásba skatulyázott sorozata (azaz F 1 F 2... ), melyre diam(f n ) 0, akkor F n egy pont. Bizonyítás. Vegyünk minden n-re egy x n F n pontot. Könnyen látható, hogy ezek Cauchy-sorozatot alkotnak, mivel bármely m n egészek esetén x n x m diam(f n ) 0. Mivel X teljes, létezik x := lim x n. Mivel minden n-re az {x n, x n+1,... } sorozat (amely szintén x -hoz tart) F n -ben fekszik, így F n zártsága miatt x F n, ezekből x F n. Végül a diam(f n ) 0 feltétel miatt nem létezhet másik olyan pont, amely minden F n -nek eleme, így a metszet csak x -ból áll. 1.12. Állítás (Weierstrass-kritérium). Legyen X Banach-tér. Ha x n konvergens, akkor x n is konvergens. i=1 Bizonyítás. Legyenek s n := n x i és σ n := n x i a megfelelő részletösszegek. Ekkor x n konvergenciája miatt (σ n ) Cauchy-sorozat, emellett minden n > m indexre n n s n s m = x i x i = σ n σ m = σ n σ m, i=m+1 i=m+1 így (s n ) is Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, így ez azt jelenti, hogy x n konvergens. 1.13. Tétel (Banach-féle fixponttétel). Legyen X Banach-tér és f : X X kontrakció, azaz van olyan q < 1 szám, hogy i=1 f(x) f(y) q x y ( x, y X). (1) Ekkor f-nek egyértelműen létezik fixpontja, azaz olyan x X, melyre x = f(x ). (2) Bármely x 0 X esetén az x n+1 := f(x n ) (n N) iteráció x -hoz konvergál, éspedig x n x qn 1 q x 1 x 0 ( n N).

12 1. Normált terek Bizonyítás. (1) Minden n-re x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1, így indukcióval x n+1 x n q n x 1 x 0. Ebből minden m > n esetén x m x n m 1 i=n x i+1 x i ( m 1 i=n q i ) x 1 x 0 < qn 1 q x 1 x 0, (1.2) amiből következik, hogy (x n ) Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, így létezik x := lim x n. Ez fixpont, mert f (Lipschitz-)folytonos is, amiből f(x ) = lim f(x n ) = lim x n+1 = x. Más fixpont nem lehet, mert ha x is fixpont, akkor x x = f(x ) f(x ) q x x, ami csak x x = 0 esetén lehetséges. (2) Az (1.2) egyenlőtlenség két széléből m esetén megkapjuk a kívánt becslést, mivel a bal oldal x x n -hez tart, a jobb oldal pedig nem függ m-től. 1.14. Megjegyzés. Az 1.11 és 1.13. tételek teljes metrikus térben is igazak (a bizonyításokban csupán a különbségnormák helyett távolságokat kell írni), erre azonban nem lesz szükségünk. A Banach-féle fixponttétel a legegyszerűbb olyan tétel, amely egyenlet megoldhatóságát és a megfelelő iteráció konvergenciáját mondja ki, erre a könyv III-IV. részében is utalunk majd. 1.2. Véges dimenziós normált terek A Banach-terekre adott példák között már említettük, hogy minden véges dimenziós normált tér teljes. Ezt most igazoljuk is; az ehhez felhasznált első eredmény önmagában is nevezetes. 1.15. Tétel. Véges dimenziós normált téren bármely két norma ekvivalens. Bizonyítás. Elég belátnunk, hogy minden norma ekvivalens egy rögzített normával. Ha e 1, e 2,..., e k bázisa X-nek, akkor tetszőleges x X felírható x = k x i e i alakban, és az i=1 x := max 1 i k x i (1.3) kifejezés normát definiál. Belátjuk, hogy tetszőleges norma ekvivalens a normával, azaz fennáll (1.1) valamilyen M m > 0 konstansokkal. Legyen x X tetszőleges. Az egyik irány: x = k x i e i i=1 k i=1 x i e i max 1 i k x i ( k i=1 ) e i = M x.

1.2. Véges dimenziós normált terek 13 A másik irányhoz először vegyük észre, hogy az 1.5. lemma és fenti irány miatt x y x y M x y ( x, y X), így Lipschitz-folytonos a normára nézve. Emiatt folytonos is, így a Weierstrass-tétel szerint van minimuma az S := {x X : x = 1} korlátos és zárt halmazon, azaz a normával vett egységgömb felszínén. (S korlátossága triviális, zártsága az 1.6. következménynek köszönhető.) Ez a minimum pozitív érték, mivel a nullvektor nincs S-en, így min y =: m > 0. y =1 Legyen most x X tetszőleges. Feltehető x 0, hisz 0-ra (1.1) triviális. Ekkor y := S, így x x x = x x = y x x m x. 1.16. Tétel. Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Bizonyítás. Legyen (x n ) X Cauchy-sorozat a tér normájában. Legyen e 1, e 2,..., e k bázis X-ben, és tekintsük az (1.3) képletben definiált normát. Mivel minden n, l N + esetén x n x l 1 m x n x l, így (x n ) Cauchy-sorozat -ban is. Ekkor minden i = 1,..., k koordináta esetén (x n i ) R is Cauchy-sorozat, így konvergens is, azaz létezik x i := lim n xn i R. Ekkor (x n ) is konvergens X-ben: ha x := k i=1 x i e i, akkor x n x M x n x = M max 1 i k xn i x i 0, ha n. 1.17. Megjegyzés. (i) A fentiek alapján véges dimenziós vektortéren bármely két norma ugyanazt a topológiát generálja, azaz ugyanazok a nyílt halmazok és a Cauchy-, ill. konvergens sorozatok is. Az utóbbi jelentése, hogy a sorozat minden koordinátája konvergens. (ii) Egy normált tér minden véges dimenziós altere zárt, mivel önmaga mint normált tér teljes. (iii) A fentiekhez hasonlóan igazolható, hogy véges dimenziós normált térben minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Ez ui. R-ben igaz, így az első koordináták sorozatának van konvergens részsorozata. A második koordináták ilyen indexű részsorozatának is van konvergens részsorozata, és így tovább. Az utolsó lépésben kapott indexsorozattal az egész sorozatnak kapjuk konvergens részsorozatát.

14 1. Normált terek További következmény az a későbbiekben hasznos tulajdonság, hogy véges dimenziós altérnek a tér bármely eleméhez van legközelebbi eleme. 1.18. Állítás. Legyen (X, ) normált tér, X 0 X véges dimenziós altér, x X tetszőleges vektor. Ekkor létezik y 0 X 0, amelyre d := dist(x, X 0 ) = x y 0. Bizonyítás. Válasszunk olyan (y n ) X 0 sorozatot, melyre d n := x y n d. Az (d n ) számsorozat konvergens, így korlátos is, így az (y n ) X 0 vektorsorozat is korlátos. Mivel X 0 véges dimenziós, kiválasztható (y n )-ből konvergens részsorozat, azaz y nk y 0 X 0. A norma folytonossága miatt x y 0 = lim x y nk = lim d nk = d. Ez a legközelebbi elem nem mindig egyértelmű, pl. a maximumnormával ellátott C[0, 1] térben az f 1 konstansfüggvény 1 távolságra van a homogén lineáris függvények egydimenziós alterétől, és ezt minden 0 c 2 paraméterű g(x) := cx függvényen fel is veszi. Könnyen látható azonban, hogy ha egy tér normája szigorúan konvex (azaz ha x + y < x + y, amikor x és y nem egymás számszorosa), akkor a legközelebbi elem már egyértelmű. Ilyenkor ezt az adott vektor véges dimenziós altérre való vetületének hívjuk. 1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek Az alábbi példák általában jól ismertek az analízisből, lásd [37, 38, 59]. Az L p () tereket fontosságuk miatt részletezzük. Az egyváltozós Szoboljev-tér itt ismertetett, Czách Lászlótól származó felépítése kevésbé ismert az irodalomban, célja a fogalom jól érthető szemléltetése. A Szoboljev-tér ugyanis az alkalmazásokban előforduló legfontosabb függvénytér lesz, és az egydimenziós eset jóval konstruktívabban leírható, mint a többváltozós [67], melyre a 10.2.2. szakasz elején utalunk majd. 1.3.1. Az L p () terek Legyen R n adott Lebesgue-mérhető halmaz, 1 p. Tekintsük azon f : R Lebesgue-mérhető függvényeket, melyekre f L p véges, ahol ( ) 1/p f p, ha 1 p < +, f L p := inf {sup f : N nullmértékű}, ha p = +. \N Gyakran f L p helyett csak f p -t írunk, ha nem okoz félreértést, mint pl. e szakasz számolásaiban. Emellett emlékeztetünk az alábbi fogalomra, ill. jelö-

1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek 15 lésre: a Lebesgue-elméletben egy tulajdonságot majdnem mindenütt (m. m.) érvényesnek nevezünk, ha nullmértékű halmaz kivételével teljesül. 1.19. Definíció. Az L p () tér azon Lebesgue-mérhető függvényekből áll, melyekre f L p <, beleértve, hogy két függvényt azonosnak tekintünk, ha m. m. egyenlőek. (Pontosabban tehát, a tér elemei ekvivalencia-osztályok, ahol f g, ha f = g m. m. ) A m. m. azonosítás önmagában is természetes amiatt, hogy a Lebesgue-integrál érzéketlen a nullmértékű halmazon való változtatásra, fő oka azonban az, hogy csak így lesz igaz az első normaaxióma. Az L () tér normájáról említést érdemel, hogy bármely f L () függvényhez megadható olyan N f nullmértékű halmaz, hogy f L = sup f. \N f (Ha ugyanis a definícióbeli infimumot sorozattal közelítjük, akkor a megfelelő nullmértékű halmazok uniója jó lesz N f -nek.) Ebből következik, hogy f f m.m., ezért néha az L -normát a függvény lényeges supremumának is nevezik és ess sup f -fel jelölik. Most belátjuk, hogy L p () normált tér. Az első két normaaxióma triviálisan teljesül, az elsőnél kihasználva a m. m. azonosítást (ugyanis f L p = 0 esetén f = 0 m. m., azaz f az L p () tér 0-eleme). A háromszög-egyenlőtlenséget a következő tétel mondja ki. 1.20. Tétel (Minkowski-egyenlőtlenség). Legyen 1 p adott, f, g : R mérhető függvények. Ekkor f + g p f p + g p. Bizonyítás. Ha p =, akkor f f és g g m.m., ezért f + g f + g f + g m.m., ami egy lényegében felső korlát, azaz f + g f + g. Legyen most p véges. Ha a jobb oldal vagy valamelyik függvény a 0, akkor az állítás triviális. Tegyük fel tehát, hogy f p 0 és g p 0. A t t p függvény konvex, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint 1 ( f p + g p ) p ( f + g ) p = f p f p + g p ( f p f p + g p f f p + g p g f p + g p g p ( ) p ( ) p f g p g +. f p f p + g p g p ) p

16 1. Normált terek Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy 1 ) p ( f + g ) ( f p 1, p + g p ebből f + g p f + g f p + g p. p A következő tétel az L p -terekbeli számítások igen gyakran használt segédeszköze. 1.21. Definíció. A p, q [1, ] számokat (egymáshoz) konjugált értékeknek hívjuk, ha 1 p + 1 q = 1. Ha p (vagy q) értéke 1, akkor az egyenlőséget úgy értjük, hogy q (vagy p) értéke. 1.22. Tétel (Hölder-egyenlőtlenség). Ha 1 p és 1 q egymáshoz konjugált értékek és f, g mérhető függvények, akkor fg 1 f p g q. Bizonyítás. Ha a jobb oldal 0 vagy végtelen, akkor az állítás triviális. Ha p = 1 és q = (vagy fordítva), akkor fg = f g f g m.m., emiatt fg 1 f 1 g. Legyenek most 1 < p, q < +, és F := f f p, G := g g q. A t log t függvény konkávitását felhasználva ( 1 F G = exp p ln F p + 1 ) ( 1 ln Gp exp ln q p F p + 1 ) q Gp = 1 p F p + 1 q Gp. Ezt integrálva 1 fg = f p g q f g 1 f p f p g q p f p + 1 p q ahonnan átszorzással adódik a kívánt egyenlőtlenség. g q g q q = 1 p + 1 q = 1, 1.23. Megjegyzés. (i) A Hölder-egyenlőtlenségből következik, hogy ha f L p () és g L q (), akkor fg L 1 (). (ii) A p = q = 2 speciális esetben a függvényekre vonatkozó Cauchy Schwarz Bunyakovszkij-egyenlőtlenséget kapjuk.

1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek 17 (iii) A Hölder-egyenlőtlenség többféleképpen általánosítható. Indukcióval igazolható, hogy ha az 1 p 1,..., p n számokra 1 p 1 + + 1 p n = 1, akkor f 1 f n 1 f 1 p1 f n pn. Ebből, ha az 1 s 1,..., s n és 1 r számokra 1 s 1 + + 1 1 r, akkor a p i := si r és f i := h i r helyettesítéssel s n = h 1 h n r h 1 s1 h n sn. (1.4) 1.24. Tétel (Riesz Fischer). L p () a bevezetett normával teljes, azaz Banach-tér. Bizonyítás. Csak 1 p < esetére bizonyítjuk, a p = eset analóg a korlátos függvények terének korábban említett teljességével. Legyen (f n ) egy L p ()-beli Cauchy-sorozat. Ekkor van olyan k 0 N, hogy minden m > k 0 esetén f m f k0 p < 1/2. Ehhez van olyan k 1 > k 0, hogy minden m > k 1 esetén f m f k1 p < 1/4. Hasonlóan folytatva az eljárást, minden n-re van olyan k n > k n 1 index, hogy minden m > k n esetén f m f kn p < 1/2 n+1. Legyen most n g n := f k0 + f ki f ki 1. Mivel g n monoton növő függvénysorozat, létezik g := lim n g n. Mivel g n p f k0 p + i=1 n fki f p ki 1 f k0 p + i=1 n i=1 1 2 i f k 0 p + 1 = K, ezért a g n sorozat monotonitása miatt a Beppo Levi-tételből kapjuk, hogy g p = lim n gp n = lim gn p K p, n tehát g L p (). Ekkor g m. m. véges, ebből következik, hogy az f k0 + ( fkn f kn 1) n=1 függvénysor m. m. pontban abszolút konvergens. Emiatt konvergens is, jelöljük a sor összegét f-fel. Mivel f és g konstrukciója miatt f g, így

18 1. Normált terek f L p (). A sor n-edik részletösszege éppen f kn, tehát f kn f m. m. és így f kn f p 0 m. m. Emellett f kn f = i=n+1 ( fki f ki 1 ) f ki f ki 1 + f k0 = g, így f kn f p g p L 1 (), azaz f kn f p 0 m. m. és van L 1 ()-beli majoránsa. Lebesgue dominált konvergencia-tétele szerint f k n f p 0, azaz f kn f p p 0. Ezzel beláttuk, hogy egy tetszőleges Lp ()-beli Cauchysorozatnak van olyan részsorozata, amely konvergens. Ebből az ismert elemi állítás szerint következik, hogy az egész sorozat is konvergens. 1.25. Megjegyzés. Ismeretes, hogy ) C[a, b] az L 1 -normával ellátva nem teljes tér. Hasonlóan, (C[a, b], p sem az. Igazolható viszont, hogy C[a, b] ) sűrű altere L p (a, b)-nek a p-normával, így (C[a, b], p teljessé tétele éppen L p (a, b). A kitevő növelésével egyre szűkebb tereket kapunk, ez egyszerű számolással igazolható az (1.4) általánosított Hölder-egyenlőtlenség alapján, h 1 := f és h 2 1 választással: 1.26. Állítás. (L p () függése a kitevőtől). Legyen R n korlátos tartomány, 1 r < s. Ekkor L s () L r (), sőt létezik c > 0, hogy i=1 f L r c f L s ( f L s ()). 1.27. Megjegyzés. Igazolható az is, hogy ez visszafelé nem áll fenn, azaz különböző kitevőjű L p -normák nem ekvivalensek: alkalmasan választott α > 0 esetén elérhető, hogy az f(x) := x x 0 α függvényre (ahol x 0 rögzített pont) f L r () \ L s (), vagy f L s () ugyan, de a két norma hányadosa előírt korlát fölött lesz. 1.3.2. Sorozatterek és C n -terek További fontos példák Banach-terekre az l p -terek: l p := { (x n ) K számsorozatok, melyre n=1 } x n p <, ha 1 p < +, l := {(x n ) K korlátos számsorozatok}, ha p = +.

1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek 19 A norma értelmezése hasonló a korábbi esethez: ( x n p) 1/p, ha 1 p < +, n=1 (x n ) p := sup x n, ha p = +. n Az l p -terek valójában felfoghatók L p -tereknek is, mivel utóbbiak definíciójában nem kellett volna a Lebesgue-mértékre szorítkoznunk: általában egy (X, A, µ) mértéktérből kiindulva egy µ-mérhető függvénynek ugyanúgy definiálható a p-normája és így az L p -belisége, ahogyan előbb láttuk. Ekkor az l p terek a (N, P(N), µ) kiindulási mértéktérhez tartoznak, ahol µ a számlálómérték. A fentiek alapján a Riesz Fischer tétel átvihető az l p terekre is, ezek tehát Banach-terek. Vezessünk még be két újabb sorozatteret: legyen c a konvergens sorozatok tere, c 0 pedig a nullsorozatok tere, a norma mindkét esetben legyen (x n ) := sup x n. Könnyen látható, hogy ezek teljes terek, mivel zárt alterei l -nek. Végül legyen I = [a, b], n N + és ahol a norma C n (I) = {f : I R n-szer folytonosan differenciálható}, f C n := n f (k) max = k=0 n k=0 max I f (k). Ezek a már látott n = 0 esethez hasonlóan Banach-terek. 1.3.3. Egyváltozós Szoboljev-terek Ebben a szakaszban bevezetjük a Szoboljev-tér fogalmát az egyváltozós esetben. A Szoboljev-terek elsősorban többváltozóban, a parciális differenciálegyenletek elméletében rendkívül fontosak, erre a 10.2.2. szakaszban utalunk majd; a többdimenziós Szoboljev-terek részletes tárgyalása a [67] könyvben olvasható. A most adott egyváltozós definíció speciális és jóval konstruktívabb, mivel megadható, milyen függvényekből áll a tér, szemben a többdimenziós esettel, ahol absztrakt teljessé tételként definiáljuk a Szoboljev-tereket. Az egyváltozós eset nagyobb szemléletessége révén könnyebben látható e terek jelentősége, elsősorban majd a gyenge megoldásra való alkalmazásuknál a 10.2.1. szakaszban. A továbbiakban legyen I = [a, b] korlátos, zárt intervallum. (a) Elsőrendű Szoboljev-terek

20 1. Normált terek 1.28. Definíció. Legyen 1 p adott szám. Ekkor W 1,p (I) := {f : I R abszolút folytonos függvények, melyre f L p (I)}. 1.29. Megjegyzés. (i) Emlékeztetünk az alábbi jellemzésekre (az abszolút folytonosság definíciója helyett ezeket használjuk fel), lásd [38, 18. fejezet]). Egy f : I R függvény pontosan akkor abszolút folytonos, ha egy L 1 (I)-beli függvény integrálfüggvénye, ez pedig ekvivalens az alábbi három tulajdonság együttesével : f m. m. differenciálható, f L 1 (I), f integrálfüggvénye f -nek (azaz érvényes a Newton Leibniz tétel). Itt az f L 1 (I) kitétel értelmes, mert elég hozzá, hogy az f függvényt m. m. értelmeztük. f W 1,p (I) f egy L p (I)-beli függvény integrál- (ii) A fentiek alapján: függvénye. Több normát is bevezetünk a W 1,p (I) téren: az alapértelmezett norma f W 1,p := ( f p L p + f p L p ) 1/p = ( ( f p + f p )) 1/p (ha 1 p < ), emellett két segédnorma f W 1, := max{ f L, f L }, f + := f L p + f L p és f := f max + f L p. Célunk belátni, hogy W 1,p (I) teljes, azaz Banach-tér a W 1,p -normával. Ehhez az 1.10. állítás alapján azt fogjuk belátni, hogy a fenti normák ekvivalensek és a tér teljes a -normával. 1.30. Lemma. A W 1,p (I) téren W 1,p +. Bizonyítás. Mivel R 2 -ben az (x 1, x 2 ) p = ( x 1 p + x 2 p ) 1/p vagy (x 1, x 2 ) = max{ x 1, x 2 } norma ekvivalens a (x 1, x 2 ) 1 = x 1 + x 2 normával, ez öröklődik arra az esetre, ha argumentumukba az f L p és f L p számokat írjuk, ami éppen f W 1,p és f +. 1.31. Tétel. A W 1,p (I) téren +.

1.3. Nevezetes Banach-terek, függvényterek 21 Bizonyítás. A p = esetben az állítás triviális, hiszen az f függvény folytonossága miatt f L = ess sup f = f max, így f + = f. Legyen tehát p <. (i) Az egyik irányú becsléshez szintén f folytonossága miatt ( b f L p max f p) 1/p = ((b a) max f p) 1/p = c f max (ahol c = (b a) 1/p ), így a f + = f L p + f L p c f max + f L p max{1, c} f. (ii) A másik irányú becsléshez felhasználjuk, hogy ha f W 1,p (I), akkor teljesül rá a Newton Leibniz tétel, azaz f(y) = f(x) + y f x ( x, y I). Ebből, ismét az 1.26. állítást is használva f(y) f(x) + y f f(x) + b x a f = f(x) + f L 1 f(x) + c 1 f L p alkalmas c 1 > 0 mellett. Az egyenlőtlenség két végét integrálva x szerint (b a) f(y) b a majd leosztva az intervallum hosszával f + c 1 (b a) f L p c 1 f L p + c 1 (b a) f L p, f(y) c 1 b a f L p + c 1 f L p ( y I). Ebből, f folytonossága révén f max = max f(y) c y I b a f L + c f p L p, így f c b a f L + (c + 1) f p L p max{ c b a, c + 1} f +. 1.32. Tétel. W 1,p (I) teljes a normával.

22 1. Normált terek Bizonyítás. Legyen (f n ) Cauchy-sorozat a norma szerint, ekkor (f n ) Cauchy-sorozat a max normában és (f n) Cauchy-sorozat a L p normában. Mivel C(I) teljes a max -normával, ezért létezik f C(I), hogy f n f egyenletesen. Mivel f n L p (I), ezért létezik g L p (I), hogy f n g L p - normában. Célunk belátni azt, hogy f W 1,p (I) és f n f -normában. Mivel f n W 1,p (I), ezért f n (x) = f n (a) + x a f n ( x I, n N + ). Tekintsük az n határátmenetet. Mivel f n f egyenletesen, így pontonként is, azaz f n (x) f(x). Mivel f n g L p -normában, így Ezekből x a f n x a g x a f n g b = f n g L 1 c 1 f n g L p 0, így f(x) = f(a) + x a x a f n g x a a g. ( x I), f n g = vagyis f integrálfüggvénye g-nek. Mivel g L p (I), ez épp azt jelenti, hogy f W 1,p (I). Emellett a fenti képletet m. m. deriválva f = g m. m. Így f n f max 0 és f n f L p = f n g L p 0, amiből következik, hogy f n f 0. 1.33. Következmény. W 1,p (I) teljes a W 1,p norma szerint is. 1.34. Megjegyzés. (i) A W 1,p (I) Szoboljev-tér általánosítja a C 1 (I) teret abban az értelemben, hogy csak m. m. deriválhatóságot követelünk. A teljességet ekkor úgy lehetett garantálni, ha a deriváltaknak csak az L p -normáját (lényegében súlyozott átlagát) mérjük. (ii) Mint korábban említettük, a (C(I), L p) tér nem teljes, és teljessé tétele az L p (I) tér. Egészen hasonlóan (C 1 (I), W 1,p) sem teljes, és teljessé tétele a W 1,p (I) tér. (b) Magasabbrendű Szoboljev-terek Erről az esetről csak vázlatosan ejtünk szót, mivel teljesen hasonló az elsőrendű esethez. Legyen 1 p, N N + és { } W N,p (I) := f C N 1 (I) : f (N 1) abszolút folytonos, és f (N) L p (I),

1.4. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A B(X, Y ) tér 23 normája pedig ( N f W N,p := f (k) ) 1/p. p L p k=0 Itt is bevezethetjük a megfelelő. + és. normákat, és segítségükkel igazolható: 1.35. Tétel. ( W N,p (I), W N,p) teljes, azaz Banach-tér. A W N,p (I) Szoboljev-tér általánosítja a C N (I) teret úgy, hogy f (N) létezését csak m. m. követeljük meg. A (C N (I), W N,p) tér nem teljes, és teljessé tétele a W N,p (I) tér. 1.4. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A B(X, Y ) tér Legyenek először X és Y vektorterek. A lineáris leképezések vizsgálatakor az alábbi jelöléseket használjuk majd: azt írjuk, hogy A : X Y, ha D(A) = X és azt, hogy A : X Y, ha D(A) X altér. Először idézzük fel a lineáris leképezés fogalmát. 1.36. Definíció. Legyenek X és Y vektorterek a K számtest felett. Egy A : X Y leképezés lineáris, ha bármely x, z D(A) és c K esetén (i) A(x + z) = A(x) + A(z), (ii) A(cx) = ca(x). Ezzel ekvivalens definíció: bármely x, z X és c, d K esetén A(cx + dz) = ca(x) + da(z). A lineáris leképezéseket gyakran lineáris operátoroknak hívjuk. Ha A lineáris, akkor nem okoz félreértést az argumentum zárójel nélküli jelölése, mivel A valóban úgy viselkedik, mint egy szorzás: a továbbiakban Ax := A(x). Az alábbi tulajdonságok triviális következmények. 1.37. Állítás. Legyen A : X Y lineáris leképezés. Ekkor (i) A0 = 0, azaz A a(z X-beli) nullvektort a(z Y -beli) nullvektorba viszi. (ii) R(A) Y is altér. (iii) A pontosan akkor injektív, ha csak x = 0 esetén lehet Ax = 0. A lineáris leképezések gyakori speciális típusát alkotják a számértékű leképezések, ezeket később külön is vizsgáljuk majd.

24 1. Normált terek 1.38. Definíció. Az A : X K lineáris leképezéseket lineáris funkcionáloknak nevezzük. A továbbiakban legyenek X és Y normált terek, ugyanis a folytonossággal foglalkozunk. Először egy fontos fogalom: 1.39. Definíció. Egy A : X Y lineáris leképezést korlátosnak nevezünk, ha van olyan M 0 állandó, hogy Ax M x ( x D(A)). Az elnevezés azt tükrözi, hogy a vektorok hosszának nyújtása korlátos mértékű. Ez azt is jelenti, hogy ilyenkor A korlátos halmazt korlátos halmazba visz. Maga A értékkészlete természetesen nem korlátos, hiszen altér. Megjegyezzük, hogy pontosabb lett volna az Ax Y M x X jelölés, mivel a szereplő két norma általában különböző lehet. A jelölések egyszerűbb volta érdekében azonban itt és a későbbiekben sem tüntetjük fel ezt, ha nem okoz félreértést. A lineáris leképezések vizsgálatában alapvető lesz az alábbi tétel. 1.40. Tétel. Egy lineáris leképezés pontosan akkor folytonos, ha korlátos. Bizonyítás. Ha A korlátos, akkor a linearitás miatt Ax Az = A(x z) M x z ( x, z D(A)), így A Lipschitz-folytonos, és így folytonos is. (Ha x n x, akkor Ax n Ax M x n x 0.) Ha A nem korlátos, akkor van olyan (x n ) D(A) \ {0} sorozat, melyre Ax n > n x n ( n N + ). Emiatt A nem lehet folytonos, mert a z n := x n /(n x n ) vektorokra z n = 1 n, így z n 0, de Az n 1, így Az n 0. Megjegyezzük azt (ami a fenti bizonyításból is látszik), hogy egy A lineáris leképezés pontosan akkor folytonos az egész téren, ha egy pontban folytonos, hiszen az {x n x 0 Ax n Ax 0 } kritériumot a linearitással egy pontból bárhova eltolhatjuk. Tehát A vagy mindenhol, vagy sehol sem folytonos. Hasonlóan, a korlátosság ekvivalens azzal, hogy A az egységgömböt korlátos halmazba viszi, ekkor ugyanis beszorzás alapján minden origó közepű gömböt, illetve ezek részhalmazait, azaz minden korlátos halmazt korlátos halmazba visz.

1.4. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A B(X, Y ) tér 25 A korlátos lineáris leképezések esetén kitüntetett szerepet játszanak az egész téren értelmezett leképezések. Ha ugyanis D(A) sűrű X-ben, akkor az A folytonos lineáris leképezés egyértelműen kiterjeszthető a folytonosság és linearitás megtartásával az egész térre az x lim Ax n képlettel, ahol (x n ) D(A) n olyan sorozat, melyre x n x. Ha D(A) nem sűrű X-ben, akkor D(A)-ra terjesztjük ki és ezt tekinthetjük új alaptérnek. 1.41. Definíció. Jelölje B(X, Y ) az A : X Y korlátos lineáris leképezések halmazát. A B(X, Y ) halmaz természetes módon vektorteret alkot a leképezések pontonkénti összeadásával és számmal való szorzásával. Most normát is definiálunk ebben a térben. 1.42. Definíció. Ha A B(X, Y ), akkor legyen A := sup{ Ax : x X, x 1} az A úgynevezett operátornormája, vagy egyszerűen csak normája. Ez valós szám, hiszen A korlátos, így valamilyen M pozitív számra Ax M az egységgömbben. Sőt, ebből látszik, hogy ha M a korlátosság definíciójában szereplő alkalmas konstans, akkor A M. Ha viszont a fenti normát tetszőleges lineáris leképezésre értelmeznénk, akkor A pontosan akkor lenne korlátos, ha A véges. Nyilvánvaló az alábbi 1.43. Állítás. A fent definiált operátornorma valóban norma. Ha tehát X és Y normált terek, akkor B(X, Y ) is normált tér az operátornormával. A norma alábbi átfogalmazásai a definícióból következnek: 1.44. Állítás. Ha A B(X, Y ), akkor { } Ax A = sup x : x X, x 0 = sup{ Ax : x X, x = 1} = min{m 0 : Ax M x x X}. Az első egyenlőség úgy is fogalmazható, hogy A a vektorok megnyújtásának felső határa (ill. lehetséges legnagyobb mértéke, amikor sup helyett max írható).

26 1. Normált terek 1.45. Következmény. (i) Bármely A B(X, Y ) és x X esetén Ax A x. (ii) Bármely C B(X, Y ) és A B(Y, Z) esetén AC A C (a norma szubmultiplikatív). 1.46. Tétel. Legyen X normált tér, Y Banach-tér. Ekkor B(X, Y ) is Banachtér. Bizonyítás. Legyen (A n ) Cauchy-sorozat B(X, Y )-ban. Rögzített x X esetén az A n x A m x A n A m x egyenlőtlenség alapján (A n x) Cauchy-sorozat Y -ban. Mivel Y teljes, ezért (A n x) konvergens is. Legyen A az az X-ből Y -ba képező operátor, amelyre Ax := lim n A nx. Ekkor A lineáris a limeszképzés linearitása miatt. Igazoljuk, hogy korlátos is, azaz A B(X, Y ). Mivel (A n ) Cauchy-sorozat és A n A m A n A m, így ( A n ) is Cauchy-sorozat R-ben, így konvergens is, de elég annyi, hogy korlátos. Így A nx M x teljesül minden x X és n N esetén és mivel A n x Ax, ezért Ax M x, azaz valóban A B(X, Y ). Még azt kell belátnunk, hogy az (A n ) sorozat a B(X, Y ) tér normájában, azaz operátornormában konvergál az A operátorhoz. Mivel Cauchy-sorozatról van szó, ezért minden ε > 0 számhoz létezik N N, hogy minden n, m N esetén A n x A m x ε x ( x X). Legyen x és n rögzített, és tartsunk m-mel a végtelenbe, ekkor (A n A)x ε x ( n N), de ez minden x-re elmondható és N nem függ x-től. Azt kaptuk, hogy minden ε > 0 számhoz létezik N N, hogy minden n N esetén A n A ε, tehát A n A operátornormában. 1.47. Következmény. Ha X normált tér és K az alaptest, akkor B(X, K) Banach-tér. Példák folytonos, ill. nem folytonos lineáris leképezésre. Az alábbi példáknak az a jelentősége, hogy általános elvet tükröznek: az integrálás folytonos, míg a deriválás nem folytonos, ha adott térből önmagába képező operátorként vizsgáljuk. Általában is az integrálást tartalmazó ún. integráloperátorok folytonosak, míg a deriválást tartalmazó ún. differenciáloperátorok nem folytonosak adott térből önmagába képező operátorként. Tekintsük az X := C[a, b] teret a maximum-normával, és benne az alábbi operátorokat:

1.4. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A B(X, Y ) tér 27 1. Legyen D(A) = C[a, b] = X, és f C[a, b] esetén Ekkor A lineáris, és Af = max x [a,b] így A korlátos. x a f(t)dt (Af)(x) := b a x a f(t)dt. f(t) dt (b a) max f(t) = (b a) f, t [a,b] 2. Legyen D(A) := C 1 [a, b] X (azaz továbbra is a maximum-normával), és f D(A) esetén Af := f. Ekkor az f n (x) := e nx sorozatra Af n = f n = nf n, így tehát A nem korlátos. Af n f n = n, Általánosabb integráloperátorokra a 6.2., differenciáloperátorokra többek között a 8.1. szakaszban látunk majd további példákat, ezek a közelítő módszerek vizsgálatának is fontos tárgyai lesznek. Megemlítjük azt is, hogy ha az alaptér és képtér különböző (a halmaz ugyanaz is lehet, de a norma más), akkor nem mondható ilyen általános elv arra, hogy mely operátorok korlátosak vagy nem azok. Két szélsőséges példa: ha r < s és az X = Y = L s () alaphalmazon f X := f L r és f Y := f L s, akkor az Af := f identitásoperátor nem korlátos, mert ahhoz az f L s M f L r becslés kellene, ami az 1.27. megjegyzés szerint nem igaz. Másrészt tetszőleges operátor korlátossá tehető megfelelő normával: ha A lineáris leképezés (X, X ) és (Y, Y ) normált terek közt, akkor az x := x X + Ax Y új normát bevezetve az X térben, nyilvánvalóan Ax Y x ( x X), azaz A korlátos az (X, ) és (Y, Y ) terek közt.

2. fejezet Hilbert-terek 2.1. Hilbert-terek értelmezése A következőkben a normált tereken belül egy speciálisabb térfogalommal foglalkozunk, melyekben skalárszorzást értelmezünk a tér elemei között. Ezáltal e terek jobban hasonlítanak a véges dimenziós euklideszi terekhez, mint általában egy normált tér; értelmezhető lesz bennük a merőlegesség, valamint a vektorok ortonormált bázissal való előállításának megfelelője sor alakjában. A skalárszorzással ellátott terek normált terek is lesznek (az euklideszi hossz megfelelőjeként természetesen értelmezett normával), és az erre nézve teljes tereket nevezik Hilbert-térnek. A Hilbert-tereket alapértelmezésben a komplex számtest fölött szokás tekinteni. Itt is így teszünk, és csak megemlítjük a valós analógiát; a könyv későbbi részeiben viszont több szerep jut majd a valós Hilbert-tereknek is. 2.1. Definíció. Legyen H vektortér C felett. Egy, : H H C leképezést skalárszorzatnak nevezünk, ha bármely x, y H esetén (i) az x x, y leképezés lineáris funkcionál, (ii) y, x = x, y, (iii) x, x > 0, kivéve ha x = 0. 2.2. Megjegyzés. (a) Az (i) és (ii) tulajdonságokból adódik, hogy minden x H esetén az y x, y hozzárendeléssel értelmezett funkcionál konjugáltan lineáris, azaz x, c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 x, y 1 + c 2 x, y 2 ( x, y 1, y 2 H, c 1, c 2 C). 29