A Matematika BSC képzésbe résztvev hallgatók elképzettségérl (külöös tekitettel a bizoyítási képességre) Vigé Dr. Lecsés Áges egyetemi doces PTE TTK Matematika Taszék Rövid idredi áttekités A felsoktatásba való bekerülés és a felsoktatás reformja szempotjából a jelelegi Matematika BSC-t ézve az utóbbi 0 év változásait három potba foglalhatjuk össze. Nevezetese: Érettségi-felvételi: régi közpoti felvételi; hozott pottal ill. sima zöld köyves érettségivel való felvétel; középszit-emeltszit érettségivel való felvétel (szite csak középszit) Felsoktatás reformja: Bologa; BSC, MSC 006-tól Midezekkel párhuzamosa zajlott a taárképzés reformja. Egységes taárképzés: -tl. évfolyamig. A felsoktatásba oktatók számára már ezek a címszavak is ige beszédesek. Tapasztalt kollégák tudják, hogy már milye szívoalcsökkeést jeletett a közpoti felvételi mellett megjele hozott pottal ill. zöld köyves érettségivel való felvétel! Nem beszélve a középszit érettségivel való bekerülésrl. Eze dolgozatak em eek az elemzése a célja, azt éháy korábbi eladásba megtettem, st írásba az Iskolakultúra XIV. évf. 8. számába Matematikából középszit érettségivel a felsoktatásba? cím cikkel is. Tudásszit-mérés és felzárkóztatás a PTE TTK- 003-tól felmért iratok a régi zöld köyves érettségi egy feladatsorából szeptemberbe a bekerült hallgatókkal. A hallgatók ötöde ír évrl-évre elfogadható dolgozatot. Elfogadhatóak ökéyese a 0%-os teljesítméyt misítettem. Az évfolyamok között ics szigifikás külöbség; talá 006-ba az els BSC-s évfolyam produkciója volt egy áryalattal jobb (a felvettek egyede). Példa egy ilye u. zöld köyves érettségi feladatsorra:. Oldja meg a következ egyeletet a valós számok halmazá! x + x =. Egy háromszög csúcspotjaiak koordiátái: A(-;-), B(;-3) és C(;). Számítsa ki a B csúcsból iduló magasságvoal és az AC oldal metszéspotjáak koordiátáit!
3. Állítsa övekv sorredbe a következ számokat! (Számológép haszálata élkül!) log ; si 0 ; 3 8. Mely valós számokra igaz? si 3x + cos3x =. Oldja meg az egyeltleséget a valós számok halmazá! x x + lg > 0 x 6. Egységyi befogójú egyelszárú derékszög háromszög egyik befogójá felvet potból az átfogóra merleges és az átfogóval párhuzamos egyeest húzzo! Hol kell elvei a potot, hogy a keletkez trapéz területe maximális legye?! A tatervbe kreditet ér, gyakorlati jeggyel értékelt felzárkóztatást iktattuk be. A hagyomáyos képzésbe ó/hét egy félév, a BSC-be két félév 3ó/hét ill.ó/hét szerepel a tatervbe. A Matematikai alapismeretek címmel szerepl kurzus tematikája tulajdoképpe a régi közoktatás ayaga; a jelelegi középszitél több, de az emelt szitet em midehol éri el (aalízis elemei, valség-statisztika kimaradt) Ezek az órák gyakorlatorietáltak. Az elméleti ismeretek megtaítására vagy újrataítására ez az id kevés. Az elméletet Hajal: Matematikai fogalmak, tételek köyvébl vagy középiskolai taköyvükbl kellett átismételi, és a hiáyokat pótoli a hallgatókak. Órá az elméleti ayagból csak a ehezebb, problémás részeket ismételtük, redszereztük közöse. A hagsúly az elmélet feladatoko való tudatos alkalmazásá, a bizoyítási igéy felkeltésé a bizoyítási stratégiák, módszerek tudatosításá a problémamegoldó képesség fejlesztésé, és csak kis mértékbe az algoritmusok begyakorlásá volt. A felzárkóztatás eredméyeibl éháy statisztikai adatot ézzük! Taév 003 /00 00 /00 00 /006 006 /007 sz 006 /007 tavasz 007 /008 sz 007 /008 tavasz 008 /009 sz Létszám 8 7 9 36 33 3 Ebbl 0% felett teljesített -esél jobb (7%) 3 (7%) (9%) (7%) 0 (3%) (7%) (6%) 6 (%) 9 (38%) (6%) 8 (0%) 6 (7%) 8 (3%) (6%) 6 (8%) 6 (8%) 008 /009 tavasz (3%) (6%) A statisztika em áryalt. Mivel a létszámok viszoylag kicsik, em törtét elkülöítés aszerit, hogy például ki, háyadszor vette fel a tárgyat; milyeek osztályzatra átváltva a százalékos eredméyek, háy db. közepes, jó, etá jeles dolgozatot találtam. Csupá érzékelteti akartam a táblázat harmadik sorával, hogy milyeek a mutatók az %-os, azaz az elégséges tartomáy felett. A két külö féléves eredméyekbe jelets külöbség mutatkozik. Eek hátterébe az áll, hogy az els félévbe jobba taulható, begyakorolható fejezetek szerepeltek az ayagba (pl. egyeletek, egyeltleségek, egyeletredszerek). A második félév külöféle geometriai témái fejlettebb godolkodási és probléma-megoldási képességet igéyl feladatai em algoritmizálhatók.
A tapasztalatokról általáosa * A Matematikai alapismeretek tárgy vált a szóró-tárggyá. Vaak harmadéves BSC-s hallgatók, akik még em teljesítették, de már szakdolgozatot adak be. Véleméyem szerit megkérdjelezhet modjuk az sikeres aalízis vizsgájuk is. *A felvett hallgatók 80%-a (kb.) em képes a középiskolai matematikai ismeretek köyvbl való átismétlésére, megtaulására. Többször le kellett álli, elméletet közöse feldolgozi, hogy az elmélet tudatos alkalmazása törtéje a feladatok megoldása sorá. Az elméleti hiáyosságok miatt többször pótórát is tartottam. *A hallgatókak sziguláris ismeretei vaak, em áll össze ismeretredszerré. A fogalmak, tételek kapcsolatait, hálóját is közöse kellett megalkoti. (Ha sikerült egyáltalá.) *Gyakorlatilag a közoktatás ayagáak újrataítására lee szükség: tiszta világos fogalmakat kellee kialakítai, megalkotva a defiíciókat; felfedezteti a fogalmak közti kapcsolatokat, a tételeket; megalkoti a fogalmak, tételek hálóját; fejlesztei az idoklásibizoyítási képességet; mideze ismereteket alkalmaztati a problémamegoldásba Külööse a problémamegoldás a problémás *Nem midegy, hogy az ember mit és mikor taul meg! (0 évese taul meg az aalfabéta íri-olvasi!!!) Kevés az egy félévre vetített óra/hét!!! Rövide: egy teljes taév, miimum heti 8-0 matematika órával, a közoktatás ayagáak a közoktatásba alkalmazott módszerekkel való újrataítása segíthete csak a probléma megoldásá. Ha eredméyt akaruk eléri, tekitettel kell lei a bemeet szitjére. Itt emcsak az évekkel ezelttihez képest kevesebb matematika ayag pótlására kell godoli, itt a godolkodási mveletekrl, a fogalomalkotásról, a tételek felfedeztetésérl, a bizoyítási igéy és képesség fejlesztésérl, a problémamegoldásba való jártasság kialakításáról is szó va. A bizoyítási képesség fejlesztésérl A matematikai godolkodás alapvet területei: a fogalmak, összefüggések (fogalmak kapcsolatredszere), tételek, bizoyítási igéy és képesség, matematikai modellalkotás (más tudomáy matematikai modelljéek vagy matematika feladatba a megoldáshoz elvezet u. bels modell megkeresése), azaz problémamegoldás. Mit mide taítás célja, így a matematika-taításé is a godolkodási képesség fejlesztése, em pedig elssorba a lexikális tudás. A taulók, a hallgatók godolkodási képességét legjobba a probléma-megoldási feladatokba yújtott teljesítméyükbe ragadhatjuk meg. A probléma-megoldási feladatok közül is a legehezebbek számukra az u. bizoyításos feladatok. Ezért a felmér dolgozatból kihagytam a bizoyításos példát. A félév sorá több alkalommal, több bizoyításos feladat közös megoldása utá, a lépések elemzésével, a bizoyítási stratégiák, módszerek tudatosítása utá kaptak csak zárt, bizoyításos feladatot az évközi dolgozatba. A bizoyítás em lehet öcélú elméletieskedés. A természetes godolatmeetet követve derítjük fel az utat a feltevéstl a koklúzióig, sokszor csak ekkor derül ki, milye stratégia meté valósul meg a bizoyítás. A továbbiakba a bizoyítási stratégiák (szitézis, aalízis), valamit a bizoyítási módszerek (direkt, idirekt, teljes idukció) elméleti hátterét foglaljuk össze, és illusztráljuk példáko úgy, hogy világossá váljo a godolkodási mód is. Ez azért fotos, mert a godolkodás fejlesztése szempotjából agyo helytele, ha kész, megjegyzésre alkalmas ismeretközlést hajt végre az oktató akár az elmélet tárgyalása sorá, akár a problémamegoldáskor közli, vagy a bizoyításos feladatot jól megoldó hallgatóval ismerteti a bizoyításos feladat kész, letisztult megoldását.
A matematikai tételek szerkezete: A B Bizoyítás szitézissel (céliráyos okoskodás): A A A. A B A stratégia léyege, hogy a feltételekbl (A-ból) axiómák, korábba bizoyított tételek és defiíciók felhaszálásával szükséges feltételek lácolatá át véges sok lépésbe jutuk a következméyhez (B-hez). A stratégia kulcskérdése: mi következik ebbl? (Az elidulás, az els lépés megtalálása a ehéz. Ehhez kell sokszor ötlet.) Bizoyítás aalízissel (fordított iráyú okoskodás): B B B B A A stratégia léyege, hogy a B következméybl iduluk ki, ahhoz keresük eleged feltételt, amibl következik B, majd véges sok lépésbe folytatjuk a godolatmeetet addig, amíg ilye eleged feltételek lácolatá át az A feltételig jutuk. A stratégia kulcskérdése: mibl következik ez? ( Ahhoz, hogy ez teljesüljö eleged, hogy itt a kérdések illeszkedek a problémához, de a fordított iráy em ayira testhezálló.) Bizoyítás teljes idukcióval: ( B(0) /B() B(+)/ ) -re B() A teljes idukciós bizoyítás három lépésbl áll. Elször egy kezd esetre megézzük az állítás igaz voltát. A második lépésbe az örökldés vizsgálata jö, azaz az állítás -re való feállása maga utá voja-e a rákövetkez (+)-re való teljesülését. A harmadik lépésbe az els két feltétel teljesülésébl következtetük az állítás bármely kezd esetél agyobb egyel -re való teljesülésére. Tehát az. Peao axiómá yugvó teljes idukciós bizoyítás két implikációból áll. (Jól szemléltethetjük akár domiósorral, akár végtele lépcsvel.) Tudatosítai érdemes a diákjaikba, hogy a teljes idukciós bizoyítás természetes számokra voatkozó egyelségek, egyeltleségek és oszthatósági feladatok bizoyításakor jól haszálható. Idirekt bizoyítás: ( A B) (C C) Ha az A B tételt végs kétségbeesésükbe, amikor az egyéb módszerek már kudarcot vallottak idirekt módo bizoyítjuk, feltesszük az állítás tagadását.( Nem az ellekezjét tesszük fel!!!)az A feltételbl és a B tagadásából véges sok lépésbe következtetük ismert fogalmak, axiómák és tételek felhaszálásával egy yilvávalóa hamis állításra. Úgy szoktuk modai, hogy elletmodásra jutuk. A logika szabályai szerit igazból csak igaz következhet, tehát mivel A, és a felhaszált tételek igazak, a következtetés a logika szabályai szeriti, csak a B lehet hamis. Az elletmodás törvéye (B B midig hamis) szerit B igaz.
Példa (szitézisre) D P E Q Az A, B, C egy egyees három külöböz potja. ABD és BCE egyel oldalú háromszögek ugyaabba a félsíkba. P az AE, Q a DC szakasz felezpotja. Bizoyítsuk be, hogy a BPQ háromszög szabályos! A B C Nézzük, hogya godolkoduk! Elször a feladat megértéséhez a feltételekek megfelel ábrát készítük. Berajzoljuk vizsgáladó háromszöget. (A) Elhívjuk elzetes ismereteikbl, milye módoko lehet beláti egy háromszög szabályos voltát.(b) (három oldal egyel, va két 60 o -os szög, egyel szárú és a szárszög 60 o -os) Valami (heurisztika) azt súgja, hogy az utóbbira va esély, a BP és a BQ egyel volta igazolható talá, a PQ ak ics közvetle kapcsolata az eredeti adatokkal. Elemezzük! Mi a P és Q? A P az AE, Q a DC szakasz felezpotja, midkett össze va kötve B-vel, ami az eredeti két háromszög közös csúcsa. Ezek egyelségét kell megmutati. Szakaszok egyelségét általába háromszögekbl tudjuk megmutati, méghozzá egybevágókból. Melyik háromszögekbe va a BP és a BQ szakasz? A BP az ABE, a BQ a BCD háromszögek csúcsát köti össze a szemközti oldal felezpotjával, tehát súlyvoalak.(a ) Megva a bizoyítás els lépése. A A Ie már em ehéz beláti a feltételekbl a két háromszög egybevágóságát (AB=BD=a, BE=BC=b és ABE =DBC =0 0 ).Tehát ABE DBC. (A A ) Így megfelel súlyvoalaik is egyelk: BP=BQ, tehát a vizsgált háromszög egyelszárú.(a A 3 ) Ha két háromszög egybevágó akkor va olya egybevágósági traszformáció, amivel kölcsööse fedésbe hozhatók. A két háromszög helyzetébl em ehéz rátaláli erre a B középpotú -60 0 -os elforgatásra, amely már a BPQ egyelszárú háromszög szárszögéek 60 0 -os voltát igazolja és ezzel szabályosságát bizoyítja. A 3 B
Példa (aalízisre) Igazoljuk, hogy ha α, β, γ egy háromszög szögei és si α +si β =si γ, akkor a háromszög derékszög! Egy háromszög derékszög voltához eleged, hogy két oldal égyzetösszege egyel legye a harmadik oldal égyzetével.(pitagorasz tétel megfordítása alapjá.) B B, azaz a +b =c.eek teljesüléséhez eleged, ha c -tel osztott alakja igaz (c 0). Ez az ötlet abból jö, hogy szögeket kell behozi, mivel a feltételbe azok szerepelek. Tehát ( c a ) +( c b ) =, B B. Az oldalak aráyára voatkozó egyelség teljesüléséhez eleged a velük szembe fekv szögek siusaira voatkozó aráy teljesülése a sius-tétel si α si β alapjá. Azaz: ( ) +( ) =, B B 3. Ez pedig következik a si γ si γ si α +si β =si γ feltételbl, B 3 A. Megjegyezzük, hogy ez a bizoyítás köye elvégezhet szitézissel is. Példa (teljes idukcióra) Bizoyítsuk be, hogy cos ( ) irracioális! A bizoyítás teljes idukcióval törtéik!. =- re cos = cos = Q ( tehát a kezd esetre igaz az állítás). Tegyük fel, hogy (ha >) -re igaz: cos Q (idukciós feltétel), és ebbl vizsgáljuk meg, hogy (+) eseté igaz e, azaz cos Q? (örökldés-vizsgálat, els implikáció) + Mivel az -re voatkozó cos argumetuma -szerese az +-re voatkozóak, a kétszeres szög cosiusára voatkozó összefüggés segíthet az idukciós feltétel felhaszálásába. cos + cos + = cosα + cos α = + cos + = 0 < 0 < < cos ( < ) cos cos + = Q + A égyzetgyökjel alatt felhaszálva az idukciós feltételt. Azaz +-re is igaz. 3. Tehát az állítás re igaz. (. és. igaz eltagú implikáció alapjá igaz.)
Példa (idirekt bizoyításra) Bizoyítsuk be, hogy log (+) irracioális, ahol N,! Tegyük fel az állítás tagadását: log (+) Q log (+) Q Q Q =R) A racioális szám defiíciójából: A logaritmus defiícióját alkalmazva: q = + p,q N, hogy log (+)= q p Midkét oldalt q-adik hatváyra emelve: p = (+) q p (mivel Q Q ={}, és (p,q)=, q Az és + közül potosa az egyik páros, ugya ez igaz pozitív egész kitevs hatváyaikra is. Tehát az egyik oldal osztható, a másik em osztható -vel. Elletmodás; idirekt feltétel helytele, az eredeti állítás igaz. Tehát log (+) -él em kisebb természetes számra irracioális. Összegzéskét éháy godolat a taárképzés szempotjából A matematika taítás-taulás célja a godolkodási képesség fejlesztése, a taulók, a hallgatók tudásállapotáak fejlesztése. Mivel mide taulás továbbtaulást jelet, ez relevás elismereteke, relevás képességeke yugodhat csak. A fetieket látva, tapasztalva ki kell modai a téyt, ami a matematika-módszerta oktatásakor külööse szembetvé vált a számomra, hogy a hallgatók godolkodási képessége ige gyege. Eek egyik gyökere, hogy matematikai ismereteik szórtak, külöállók, redezetleek, em állak össze redszerré. Márpedig, ha egy taár em redelkezik megfelel matematikai és módszertai tudással, em lesz képes taítváyai ismeretszerzési folyamatáak tervezésére és iráyítására sem; taítváyaiak is legfeljebb sziguláris ismeretei leszek; a matematikaoktatás mukájuk yomá legfeljebb képletek és algoritmusok sulykolásáig terjed. Tragikus a helyzet. A taárképzés szempotjából külööse az! Geerációkat teszük tökre. A matematika em degradálható le szabályok, képletek, algoritmusok haszálatára az em matematika. Az új, moder eszközökkel, a digitális táblával, a lap-top haszálatával a diák tevékeysége csupá a gombok yomogatására és a képery ézésére korlátozódik.(eredméyesség szempotjából ld. például régi idk programozott taköyveit; ma itelliges tábla!!!) Vegyük már végre tudomásul a régi törvéyt: ismeretszerzés csak tevékeység által, méghozzá saját tevékeység által valósulhat meg. Már Galilei is megmodta: Az embert em lehet valamire megtaítai, csak hozzásegítei ahhoz, hogy a tudást maga szerezze meg. Irodalom () Ambrus Adrás: Bevezetés a matematikadidaktikába, ELTE Eötvös Kiadó, 99 () Vigé Lecsés Áges: Matematikából középszit érettségivel a felsoktatásba?, Iskolakultúra 00/8