ELTE TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR SZAKDOLGOZAT

Átírás

1 ELTE TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR SZAKDOLGOZAT FELADATOK TÖBBFÉLE MEGOLDÁSSAL AZ ISKOLAI GYAKORLATBAN Témavezet: Ambrus Gabriella egyetemi adjuktus Matematika taítási és Módszertai Közpot Készítette: Gaál Krisztia Ibolya Matematika Bsc Budapest, 00

2 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK.... Fejezet... 3 BEVEZET... 3 A DOLGOZAT SZERKEZETE.... Fejezet... FELADATOK TÖBBFÉLE MEGOLDÁSSAL... KOMBINATORIKAI FELADATOK... ALGEBRAI FELADATOK... 0 GEOMETRIAI FELADATOK... ANALÍZIS FELADATOK Fejezet... NÉHÁNY FELADAT ÁLTALÁNOSÍTÁSA.... Fejezet... ÖSSZEGZÉS... FELHASZNÁLT IRODALOM...

3 . Fejezet BEVEZET Szakdolgozati témaválasztásál próbáltam olya témát választai, ami késbb a taári pályá felhaszálható. Egy adott feladatra, ha több megoldást aduk, azzal egyrészt ellerizhetjük, hogy jó eredméyt kaptuk, másrészt motiváli is lehet vele a diákokat. Az ismeret elmélyítését is segítheti, hogy külöböz témakörökél a külöböz részismeretek hogya épülek fel, illetve, hogy az aktuális taayag és a korábba tault taayag hogya függek össze. Eze kívül egy feladat külöböz megoldásai sorá gyakra tapasztaljuk, hogy az adott feladatot emcsak egy korosztályak lehet feladi, haem külöböz évfolyamoko is meg lehet próbáli a megoldást. Ha egy adott feladatra több megoldást is aduk, azzal fejlesztei lehet a logikus godolkodást és mivel a diákok külöböz képességgel redelkezek az sem elhayagolható ebbe az esetbe, hogy az egyik az egyik megoldást érti meg elször köyebbe, míg egy másik diák egy másik fajta megoldást. Ha egy feladatra miél többféle megoldást aduk, azaz miél több szempotból közelítjük meg, azzal jól lehet fejlesztei a külöböz matematikai kompeteciákat is, amiek fotosságáról ma gyakra halluk. Ha külöböz megoldásokat aduk egy feladatra, azzal segíthetjük azt is, hogy a külöböz részismereteket jól összehagolta tudják alkalmazi. A matematikai kompetecia a matematikai tatárgyi ismeretek, a matematikaspecifikus készségek és képességek, általáos készségek és képességek, valamit motívumok és attitdök együttese" (Vidákovich Tibor, 00). 3

4 A DOLGOZAT SZERKEZETE A dolgozatba a feladatokat, témakörökét redeztem. A feladatokat külöböz középiskolás taköyvekbl válogattam össze, figyelve arra, hogy mideféle témakörbl legyeek köztük. Ezek fkét középszite haszálhatóak a középiskolába de vaak közöttük emelt szitek is. Ilye feladatok például, amelyekél külöféle bizoyítási módszereket alkalmaztam. Ebbe a témába készült már olya szakdolgozat (Tóth Eik, 009) amelybe fleg emelt szit csoportok illetve szakköri feldolgozás számára vaak feladatok. Úgy godoltam, hogy meg lehete mutati, hogy a középszit középiskolai feladatok között is vaak olyaok, amelyeket többféle képpe is meg lehet oldai, ezért fleg ilye sziteket tettem dolgozatomba. Arra törekedtem, hogy feladataimmal miél jobba meg lehesse mutati a matematika sokszíségét és azt, hogy a külöböz matematikai területek hogya kapcsolódak össze. A feladatok között vaak klasszikusok is, amelyek külööse alkalmasak arra, hogy bemutassam egy feladat több oldalról is megközelíthet. Midegyik feladat mellett jelöltem, hogy melyik irodalomba találtam meg, illetve hoa vettem. A feladatok megoldásáál jelöltem azokat a megoldásokat, amelyek megtalálhatók a köyvekhez tartozó megoldókulcsba. Az Egységes Érettségi Feladatgyjteméyek va olya megoldókötete, amelybe megtalálhatók az egyes feladatok megoldásai. A Matematikai Feladatgyjteméyhez, illetve a 000 feladat az elemi matematika körébl cím köyvekbe csak eredméyek találhatóak, illetve ötlet a megoldáshoz. A Sokszí Matematika cím taköyvekhez található megoldási útmutató, de azokhoz a feladatokhoz, amelyek a dolgozatba szerepelek, csak eredméyeket írtak..

5 . Fejezet FELADATOK TÖBBFÉLE MEGOLDÁSSAL KOMBINATORIKAI FELADATOK. feladat Háy olya külöböz számjegyekbl álló égyjegy szám va, melybe két páros és két páratla számjegy szerepel. (Matematika Feladatgyjteméy 999, 3/83). megoldás Nézzük meg, milye esetek vaak akkor, hogy egy égyjegy számba, amelybe páros és páratla szám legye. Zárójelbe jelöljük, hogy az adott helyre háyféle számot tehetük. páratla () páros () páratla () páros () 00 páratla () páros () páros () páratla () 00 páratla () páratla () páros () páros () 00 páros () páros () páratla () páratla () 30 páros () páratla () páros () páratla () 30 páros () páratla () páratla () páros () 30 Összese: 60 Ha összeadjuk az összes lehetséges esetek a számát, akkor megkapjuk, háy olya égyjegy szám va, amelybe páros és páratla szám szerepel.. megoldás Elször kiszámoljuk az összes esetet, azokat is amelyek 0-val kezddek. A két darab páratla számot -féle képpe tuduk kiválasztai, és a két darab páros számot is féle képpe tudjuk kiválasztai. Az így kapott jegyet!-féle képpe tudjuk sorba tei. Az összes eset száma!.

6 Ezutá számoljuk ki háy olya lehetség va, ami 0-val kezddik. A páratla számokat -féle képpe tudjuk kiválasztai. Mivel az els helye 0 áll így a másik páros szám - féle lehet és a kapott számokat 3! képpe tudjuk sorba állítai, úgy hogy az els helye a 0 áll. Tehát az összes olya lehetségek száma amelyik 0-val kezddik 3! Így az összese! 3! 60 olya jegy szám va, amelybe páros és páratla szám va. 3. megoldás Mivel a feladatba a ehézséget az adja, hogy 0-val kezdd szám icse, ezért ézzük meg meyi azokak az esetekek a száma, amelybe szerepel a 0, és meyi azo lehetségekek a száma melybe em szerepel a 0. Elször számoljuk össze azokat a lehetségeket, amelyekbe szerepel a 0. A két darab páratla számot -féle képpe tudjuk kiválasztai. A 0 mellé -féle páros szám jöhet. Az els helyre 3 számot tehetük, mert 0-val em kezddhet szám. A maradék 3 helyre 3!- féle képpe tehetjük a számokat. Így az összes olya lehetség száma, amely tartalmaz 0-t 3 3!. Most számoljuk ki azokat az eseteket, amelyekbe em szerepel a 0. A páratla számok kiválasztásáak lehetsége, a páros számok kiválasztásáak a lehetsége, hisze a 0-t em számoljuk. Ezeket összese! féle képpe tudjuk redezi. Így összese! darab olya lehetség va, amelyikbe em szerepel a 0. A megoldást megkapjuk ha a két részeredméyt összeadjuk, 33! +! 60. 6

7 . megoldás Kiszámoljuk az összes égyjegy számot, amelyek csupa külöböz számjegyekbl 9 9 9! állak. Ezekek a lehetségekek a száma 3! Számítsuk ki 3 3!(9 3)! azokak a lehetségekek a számát, amelyekbe em két páros és két páratla számjegy szerepel. Rossz lehetségek 3 páratla és páros szám - els helye páratla szám áll: 3! els helye páros szám áll: 3! páros és páratla szám: - els helye páratla szám áll: 3! els helye páros szám áll: 3! 70 Midegyik számjegy páros: 3! 96 3 Midegyik számjegy páratla:! 0 A megoldások számát megkapjuk, ha az összes lehetségbl kivojuk a rossz lehetségekek a számát. Az összes lehetséget már kiszámoltuk, 36. A rossz lehetségek száma pedig 376. Tehát az olya égyjegy számok száma, amelyekbe két páros és két páratla szám áll feladat Háyféleképpe olvasható ki a következ táblázatból a BUDAPEST szó, ha a táblázat bal fels betjébl iduluk, és az egyes lépeseket csak jobba vagy lefelé tehetjük? (Matematika Feladatgyjteméy 999, 3/90) B U D A P U D A P E D A P E S A P E S T. Táblázat 7

8 . megoldás Ahhoz, hogy a BUDAPEST szót ki tudjuk olvasi, összese 7 lépést kell megtei, ebbl 3 lépés lefelé, lépés pedig jobbra. Az összes megoldást úgy kapjuk meg, hogy a jobbra és a lefelé törté lépések összes lehetséges sorredjeit megadjuk. Megadhatjuk például, hogy 7 lépés közül mely esetekbe volt lefelé lépés. Ezekek a 7 száma: 3 3 Tehát 6 külöböz módó tudjuk kiolvasi a BUDAPEST szót.. megoldás Mide mezek megfeleltetük egy számot, ami azt jeleti, hogy az adott mezbe háyféle módo tuduk eljuti. Táblázat Egy adott mezbe balról és felülrl érkezhetük, azaz a mez értékét úgy számítjuk ki, hogy összeadjuk a tle balra lev értéket, és a mez feletti értétét. Ha így kitöltjük a táblázatot, akkor megkapjuk, hogy a bal fels sarokból a jobb alsó sarokig összese 3 lehetséges úto tuduk eljuti. 3. feladat Egy dobozba külöböz tárgy va. Találomra kiveszük a dobozból éháyat (lehet, hogy midet, lehet, hogy egyet sem). Háy külöböz eset jöhet létre? (Matematika Feladatgyjteméy 999, 39/08). megoldás Nézzük meg külö-külö, milye lehetségek lehetek, majd adjuk ket össze. Ha 0 darabot választuk ki azt -féle képpe tehetjük meg. Ha egy tárgyat választuk ki azt 0 -féle képpe tehetjük meg. Ha tárgyat választuk, akkor a lehetségek száma:. Ha mid a tárgyat kivesszük a dobozból, akkor azt 8 -féle képpe tehetjük meg. Ha összeadjuk az összes esetet, akkor megkapjuk, háy külöböz eredméy va.

9 Kiszámoljuk tehát külö-külö, hogy meyi a,,,, 0 és ezek eredméyét összeadjuk. Tehát összeadjuk az,, 0,, 36, 3003, 00, 63, 63, 00, 3003, 36,, 0,,. Ezekek a számokak az összege 3768, tehát eyiféle eset lehetséges. Megjegyzés Azt is megtehetjük, hogy az elz megoldáshoz hasolóa, kezdjük el megoldai a feladatot, csak a sok számolás helyett felhaszáljuk, hogy Eél a feladatál: Tehát a külöböz tárgyat 3768-féleképpe vehetjük ki a dobozból.. megoldás Mivel a tárgyból éháyat választuk ki, így ézzük meg külö-külö, hogy az adott tárgyat kivesszük-e a dobozból vagy em.. tárgy kivesszük em vesszük ki lehetség. tárgy kivesszük em vesszük ki lehetség 3. tárgy kivesszük em vesszük ki lehetség. tárgy kivesszük em vesszük ki lehetség. tárgy kivesszük em vesszük ki lehetség Mivel tárgy va, és midegyik tárgyál két lehetségük va, ez alapjá az összes lehetség, ami

10 ALGEBRAI FELADATOK. feladat Öt szög együtt teljes szöget alkot. Tudjuk továbbá, hogy midegyik szög az elzél kal agyobb. Mekkorák a szögek? (Sokszí Matematika 00, 36/3). megoldás A teljes szög 360. A legkisebb szöget jelölje α. A szögek: α, α +, α + 30 α + α + 60 α +. Egyelettel felírva, megkapjuk meyi a α. α + α + α α + α α A keresett szögek:, 7, 7, 87, 0. Megjegyzés: 360 Eek a megoldásak egy változata, ha a középs szög lesz α, ekkor a szögek: α 30, α, α, α +, α Ekkor Ie megkapjuk, hogy 87, 0. α 30 + α + α + α + + α α 360,azaz α 7. Azaz a keresett szögek: :, 7, 7,. megoldás Számtai sorozatkét is felírhatjuk a feladatot. Ekkor tudjuk, hogy a sorozat els tagja, és a külöbség. Tudjuk még azt is, hogy a teljes szög 360, azaz az els öt tag összege 360 a, d, S 360 (a + a ) S ( λ + ) ( λ + 30 ) λ 0

11 . feladat Határozzuk meg az m-et ( R) következ összefüggés álljo fe: x x. m úgy, hogy a x x + m 0 egyelet gyökei között a (Matematika feladatgyjteméy 999, 0/9). megoldás Kezdjük el megoldai a másodfokú egyeletet x -re és x -re. x / ± 8m. Ie megkapjuk, hogy x 8m és x + 8m. Azt tudjuk, hogy x x, ebbe behelyettesítve x -t és x -t megkapjuk meyi az m. 8m + 8m + 8m 8m / 8m 3 8m 8 3 8m 3 8m 8 8m 0 8m m Tehát m-ek -ek kell leie, hogy a megadott feltétel igaz legye a gyökökre. + 8m Megjegyzés: ha x, ebbe az esetbe a behelyettesítés utá a miimális külöbség is agyobb lee mit, mert ha a diszkrimiás egyel ullával, akkor a, ami agyobb mit. Ellerzés: x x + 0 a másodfokú egyeletet megoldva megkapjuk, hogy a két gyök: 3 és, és 3.

12 . megoldás Írjuk fel az egyeletet gyöktéyezs alakba. (x x )(x x ) 0. A zárójeleket felbotva ezt kapjuk: (x x x x x + x x ) 0 x x x x x + x x 0 Írjuk át a kapott egyeletet ilye alakba: x + ( x x )x + x x 0. Ebbl látszik, hogy a x x és a x x m. Tudjuk, hogy x x és x x. Ezek segítségével fel tuduk íri egy két egyeletbl álló két ismeretlees egyeletredszert, melybl megkapjuk x -t és x -t. x x x x Az egyeletredszert megoldva megkapjuk, hogy x és x 3. Tudjuk, hogy m x x 3. Tehát m. Ellerzés: 3 3. megoldás Haszáljuk fel a gyökös és együtthatók közötti összefüggéseket. Ez alapjá és x x m. Ha megoldjuk az x + x + x és x x egyeletredszert, akkor x m megkapjuk a két gyököt, ami a 3 és. Ie fel tudjuk íri, hogy x x, azaz m 3, tehát m. Ellerzés: hasolóa, mit az els megoldásál.

13 6. feladat Bizoyítsuk be, hogy potosa akkor, ha em osztja -et, Ν (000 feladat az elemi matematika körébl 003, 0/30) (a felhaszált irodalomba em ezek a megoldások szerepelek). megoldás Érdemes a feltétel alapjá kiiduli: k+ vagy k ahol k egész, és eszerit redezi a megoldást. Párosítsuk tagokat a következ módo: ( ) + ( + 3 ) +. Haszáljuk fel a következ azoosságot: a + + b a b, ha k +. Ebbl következik, hogy + és + 3, ha k +. Nézzük meg azt az esetet, amikor páros. Ekkor az kifejezésbe az átírható k alakra, + k k k k ezt átalakítva k k k k k k k k ( ) ( ) + ( 3 ) + ( ) Nézzük meg, hogy a milye maradékokat ad -tel osztva. k k k k Hasolóa felhaszálható, hogy ha k páratla a + k k + b a b, ekkor k k + 9 és k k + 6. Tehát már csak azt az esetet kell megézi, amikor k páros (ilyekor k k alakú). Az eredeti kifejezésbe írjuk be, hogy k, azaz + k k k k k k k k Ez a kifejezés -tel osztva midig maradékot fog adi, hisze az bármelyik hatváyáak az utolsó számjegye, hasolóa a 8-ek is. A6-ak és 6-ak az utolsó számjegye hatváyozáskor 6, azaz -tel osztva maradékot adak. Azaz -tel osztva mid a kifejezés maradékot ad, tehát az összegük a maradékokak lesz, ami em osztható -tel. Tehát ha -tel. k alakú, akkor az em osztható 3

14 . megoldás Nézzük meg milye maradékokat ad az + sorába a lehetséges értékek szerepelek tel osztva. A táblázat legfels k k k k Táblázat Látszik a táblázatból, hogy az -tel való osztási maradékok periódikusak. A táblázat alapjá megfigyelhet, hogy a , mide -re, kivétel, ha az k k alakú. 3. megoldás (A köyvbe teljes idukcióval ajálják a feladat megoldását, de em vezetik le) Teljes idukcióval látjuk be, hogy , ha em k alakú. Három esetre botjuk a feladat megoldását, k+ alakú, vagy k+, vagy k ahol k egész szám.. eset: k+ Ekkor k+ k+ k+ k a bizoyítadó állítás. Az állítás k-re igaz, mert Tegyük fel, hogy kt-re igaz az állítás. Azaz: Lássuk be a feladatot t+-re, azaz (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) Átalakítva: t+ 6 t+ 6 t+ 6 t Továbbalakítva megkapjuk, hogy t+ t+ t+ t+ t+ t+ t+ ( ) A zárójelbe lév kifejezés az idukciós feltevés miatt osztható -tel, be kell még láti, hogy t+ t+ t , ez viszot igaz hisze

15 t+ t+ t+ ( ) igaz, ha k+. Tehát t+-re igaz az állítás, ezért eset: ha k+ alakú Ekkor k+ k+ k+ k a bizoyítadó állítás Nézzük meg k-re, , azaz k-re osztható a kifejezés -tel. Tegyük fel, hogy kt-re-re igaz, bizoyítsuk be t+-re. (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) Ezt tovább tudjuk alakítai: t+ + t+ + 3 t+ 3 + t+ t+ + t+ + 3 t+ 9 + t+ 6. t+ t+ t+ t+ t+ t+ t+ Írjuk át ilye alakra: ( ) Ekkor az idukciós feltevés szerit a zárójelbe lév kifejezés osztható -tel. Meg kell még mutati, hogy 3 t+ t+ t Ebbe az összegbe az utolsó tag osztható -tel, bizoyítadó, hogy az els két tag összege is osztható -tel. Alkalmazzuk a következ átalakítást: 3 t+ t+ t+ t+ t (3 + ) mivel a zárójelbe lev kifejezés osztható - tel ( azoos, páratla kitevj hatváyok összege osztható az alapok összegével), és a kivoadó is osztható -tel, a külöbség is osztható -tel. Ezzel az állítást bebizoyítottuk. Tehát (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) + (t+ ) , ezért Ha k+ alakú. 3. eset: k Ekkor az + k k k k k k k k Midegyik tag maradékot ad -tel osztva. Tehát az egész kifejezés -tel osztva maradékot ad, azaz ha k, akkor az em osztja az

16 7. feladat Bizoyítsuk be, hogy 6 3 (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy /69). megoldás Az 3 - kifejezést átalakítva kapjuk, hogy 6 ( + )( - ). Eek kell teljesülie. Mivel,,( + ),( ) három egymást követ szám, ekkor va közöttük, ami osztható hárommal és va olya is, ami osztható -vel. Tehát az állítás igaz. (ez a megoldás szerepel a megoldáskötetbe). megoldás Nézzük az hattal való osztás sorá keletkezett maradékait. Ez 0,,, 3,,. Ha ezeket behelyettesítjük a állítást bebizoyítottuk. 3 - be, és az eredméy mide esetbe osztható hattal, akkor az megoldás Teljes idukcióval. eseté az állítás igaz eseté is igaz az állítás Tegyük fel, hogy 6 3 igaz. Nézzük meg + -re. 6

17 6 ( + ) ( ( + ) ) Az idukciós feltevés szerit 6 ( 3 ), azt kell beláti, hogy 6 3( + ), 3( + kifejezés láthatóa osztható hárommal, + ( + ), két egymás utái szám szorzata. Így osztható az tal. ) 8. feladat Igazoljuk a következ állítást (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy 7/). megoldás A megoldás sorá a t felbotjuk szorzattéyezkre. ( 7 ) ( 7 + ) ( 7 ) 6 + Ezutá a kapott kifejezésbe az els, azaz a ( 7 ) zárójelet tovább botjuk. Ekkor azt kapjuk, hogy (7 )(7 + )(7 + )(7 + ), és ebbl tudjuk, hogy a 7- egyel 6-tal, azaz 6 6(7 + )(7 + )(7 + ). (ehhez a megoldáshoz hasoló megoldás szerepel a feladathoz tartozó megoldáskötetbe). megoldás Felhaszálhatjuk azt az összefüggést, hogy a b a b tetszóleges természetes szám eseté. 7 7 Ez alapjá:

18 9. feladat Egy autóbusz 30 perc alatt teszi meg az utat a kiiduló állomástól a végállomásig. A kiiduló állomásról percekét idítják az autóbuszokat. Egyik autóbusszal egy idbe idul a kiiduló állomásról egy autó, amelyek sebessége égyszer akkora, mit az autóbuszé. Háy autóbuszt elz meg az autó a végállomásig? (Matematikai Feladatgyjteméy 999, 7/7) Megjegyzés: A feladat kimodatlaul feltételezi, hogy midkét járm egyeletes sebességgel halad, ezért dolgozhatuk a következ modellekkel.. megoldás A kiiduló állomás és a végállomás közti utat az autóbuszok 30 perc alatt teszik meg. Tudjuk, hogy percekét idítaak autóbuszokat a kiiduló állomásról. Abba a pillaatba mikor egy busszal együtt elidul egy autó is összese 6 darab busz található az úto. Tudjuk hogy az autó égyszer olya gyorsa megy, mit a buszok, így a kiiduló állomástól a végállomásig tartó utat 7, perc alatt teszi meg. Tehát elég megézi, hogy abba a 7, percbe háy busz ér be a végállomásra. E D C B A. ábra Az autó idulásáak idpotjába az A busz már bet va a végállomáso, a következ percbe érkezik a B jel busz, újabb perc múlva C jel busz és utáa percre a D jel busz, így 6 perc alatt bet va a végállomáso busz. Az E jel busz már a 8. percbe érkeze be, így azt már meg fogja elzi az autó. Azaz a 6 buszból -et em fog megelzi az autó, így megkapjuk, hogy összese buszt fog megelzi. 8

19 . megoldás. ábra Az. buszt, amikor utolért az autó akkor megtette a teljes út kétharmicadát plusz még valameyit (ameyit ezalatt a busz met). Ebbl fel tudjuk íri, hogy 30 3 t v 30 t v 90 + t v 0 + t v A 0+ t v az autó útjáak a hossza. ahol, a t id alatt éri utol a. buszt és v sebessége va az autóak. 6 + Ebbl tudjuk, hogy az els buszt a teljes út részéél + éri utol. A második buszt az út részéél, a harmadik buszt az út részéél éri utol. Így folytatva a. buszt a teljes út részéél éri utol. Így összese + buszt elz meg, hisze az elst már a kiiduló állomásál megelzte. Így összese buszt elz meg. 3. megoldás Oldjuk meg a feladatot grafikusa. Az autó és a buszok sebességét ábrázoltuk az id és az út segítségével. A kék egyeesek mutatják a buszokak a sebességét, ezek egymással párhuzamosak, mert ugyaakkora a sebességük, és látszik az ábráról, hogy perc külöbséggel idultak el. A zöld egyees pedig az autó sebességét ábrázolja. Látszik, hogy míg a buszok egy 3. ábra x sebességgel haladak, addig az autó x sebességgel, azaz a zöld egyees égyszer 9

20 meredekebb, mit a kék egyees. Az ábráról látszik, hogy a kék és a zöld egyees metszéspotja mutatja meg hol törtét elzés. Az ábráról leolvasható, hogy összese elzés törtét. 0. feladat Oldja meg az egész számok körébe: 6/09) +. (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy x y 7 (Nem ezek a megoldások szerepelek a feladathoz tartozó megoldáskötetbe.). megoldás A megadott egyeletet át tudjuk íri, 7 x + 7y xy alakba. Ezt át tudjuk alakítai szorzattá: ( x 7)(y 7) 7. Nézzük meg a 7 osztóit, a 7 osztói:, 7, 9, -, -7, -9. Tehát az x 7 lehetséges értékei:, 7, 9, -, -7, -9. Ekkor az y 7 értékei: 9, 7,, -9, -7, -. Tehát x lehetséges értékei a 8,, 6, 6, -, az ezekhez tartozó y lehetségesértékek redre: 6,, 8, -, 6. (megoldásak megkapjuk azt is, hogy x0 és y0, de ez em lehet, hisze x és y em lehet 0 a feladat alapjá.). megoldás A megadott egyeletet átredezzük: x. Közös evezre hozva megkapjuk, hogy 7 y x y 7. Összevova megkapjuk, hogy 7y 7y y 7. Ezt az egyelséget tovább x 7y alakítva megkapjuk, hogy 7y x. Ha átalakítjuk a jobboldalt a y 7 7(y 7) + 9 y 7 alakra, akkor megkapjuk, hogy 9 x 7 +. Mivel x és y is egész szám, ezért a y 7 9 -ek is y 7 egész számak kell leie. A 9 osztói, 7, 9, -, -7, -9. Azaz y 7 lehetséges értékei, 7, 9, -, -7, -9. Tehát a jó x és y párok: (8 ; 6) (6 ; 8) ( ; ) (6 ; -) (- ; 6) 0

21 . feladat x x Oldjuk meg az egész számok halmazá a következ egyeletet: + x + (Matematikai Feladatgyjteméy 999, /868/a). megoldás A égyzetgyök miatt x 0. Redezve az egyeletet, a következt kapjuk: (x ) ( x ) ( x + ) + 8 ( x + ). A zárójeleket felbotjuk és redezzük az egyeletet, akkor x + 8 x kapjuk,. Ez egy másodfokú egyelet megkapjuk a keresett értékeket. x / x -re ézve. Másodfokú egyelet megoldó képletével 8 ± ± 0. Az egyik lehetséges megoldás: x 9, azaz x 8. Visszahelyettesítve az eredeti egyeletbe, ez jó megoldás. A másik lehetséges megoldás: x lee, de ez x 0 miatt em jö szóba. Tehát az egyelet megoldása az x Ellerzés: +, azaz megoldás Kikötés: x 0. Írjuk át az ( x ) -et ( x ) ( x + ) alakra. Ekkor az egyelet: ( x ) ( ( x + ) x + ) ( x ) +. Egyszersítve a baloldali kifejezést: ( x ) ( x ) +, -vel szorozzuk, és redezzük az egyeletet, ami utá a következt kapjuk: x 8, azaz x Ellerzés: +, azaz

22 GEOMETRIAI FELADATOK. feladat Egy égyzet középpotja egy másik égyzet csúcsa. Mekkora a két égyzet közös részéek területe, ha midkét égyzet oldala egységyi? (Varga Tamás Matematika Versey, 99/9, 7.o.. forduló). megoldás. ábra Az OTAM égyszöget tartalmazza az OTAP égyszög, és az OSAM égyszög is. Be kell láti, hogy az OTS háromszög egybevágó az OPM háromszöggel, ugyais akkor a jelzett terület egyel az OTPA égyzettel, ami éppe a egyede az eredeti égyzetek. Tudjuk, hogy OT OP, és, hogy az OPM megegyezik az OTS szöggel, midkett 90. Meg kell mutati, hogy SOT egyel POM. SOP SOT + TOP POM +MOS Az MOS szög egyel a TOP szöggel, midkett 90, tehát az SOT szög egyel a POM szöggel. Ezért a POM háromszög egybevágó a TOS háromszöggel. Tehát az állítás igaz.. megoldás Eél a megoldásál azt mutatjuk meg, hogy az OSAM égyszög átdarabolható az OCA háromszögbe. Ezt azért érdemes megtei, mert ez utóbbi területe éppe az eredeti égyzet egyede. Az OMAS égyszög területe egyel az OMA háromszög területével plusz az OAS háromszög területével. Az. ábra OAC háromszög területe pedig egyel az AOS háromszög plusz az OSC háromszög területével. Elég azt megmutati, hogy az OAM háromszög területe egyel az OSC háromszög területével. Az OCS egyel az OAM

23 - gel, hisze midkett. Tudjuk, hogy az OA OC, és hogy az OSC egyel az OMA - gel, mert ezek merleges szárú szögek.. Következik, hogy a COS is egyel az AOM is feáll. Így a jelzett háromszögekbe - oldal és a rajta fekv kétkét szög egyel. Tehát az állítás igaz. 6. ábra 3. megoldás Az ACDO égyszöget két háromszögre tudjuk felbotai, ACO és OCD -re. Eek a két háromszögek a terület együtt megadja a keresett területet. Tudjuk, hogy midkét háromszög magassága, mivel OB OE. A keresett terület így alakul: A keresett közös rész területe: AC CD T + T + OAC ODC T + T OAC ODC ( AC + CD ) Az AC és CD szakasz összege, mivel CDGA (ez következik például a égyzet egyedred forgásszimmetriájából) és GA+ACGC, így ( AC + CD) Megjegyzések: A jelzett irodalomba em ezek a megoldások szerepelek. Ez a feladat 9. osztályba egy jól haszálható feladat, hisze jól gyakorolható rajta a geometriai bizoyítás. A közös rész agyságáak vizsgálatához jól haszálhatók külöféle diamikus geometriai programok is. Pl.: Cabri geometria. Szakköri illetve emelt szit feladatkét jól vizsgálható a égyzetek egymáshoz viszoyított méretéek változtatása a feladatba. 3

24 3. feladat Egy háromszög oldalaiak felezpotjai P(- ; 3), Q( ; -), R( ; 6). Számítsuk ki a háromszög magasságaiak hosszát, a háromszög területét és bels szögeiek agyságát. (Sokszí Matematika 00, /0). megoldás. Elször az oldalfelez potokból meghatározzuk a háromszög csúcsait. A (a ;a ), B(b ;b ), C(c ;c ) a + b a + c b + c a + b + c 3 a b + c 6 7. ábra a + b - a + b 6 a + c a + c - b + c 8 b + c Ie: a - a - b 0 b 0 c 8 c Azaz: A( -;-), B(0;0), C(8;) Mivel ismerjük az A, B, C potokat meg tudjuk határozi a potok közti távolságot. AB ,6 BC 6 + 6,3 AC ,

25 Ebbl Hero képlettel megkapjuk az A, B, C potok által meghatározott háromszög területét. K,6 +,3 + 3, 39,8 K s 9,6 T T s(s a)(s b)(s c) 9,6,08 8,33 6,3 7,9 A területképletet máshogy is fel lehet íri, így megkapjuk a háromszög bels szögeit. AC AB si α 7,9 Kiszámolva, megkapjuk, hogy 7,, vagy 3,6 Hasolóa 7,9 BC AB siβ Ebbl tudjuk, hogy 60,9, vagy 9,09 7,9 BC AC si γ Ie γ 7,6, vagy γ 08, Megjegyzés: a γ szöget számíthatjuk 80 ( α + β) segítségével is. A háromszög szögei: 7,6, 7,, 60,9. ( A kapott 6 külöböz érték eseté csak eél a három szögél kapjuk meg, hogy a háromszög bels szögeiek összege 80.) A háromszög magasságáak a hosszait szité a területképletbl tudjuk megadi. AC m b 7,9 m b 0,7 BC ma 7,9 m a,7 AC mc 7,9 m c 9,88 Tehát a háromszög magasságaiak a hossza: 9,88,7 és 0,7. A háromszög területe 7,9, a bels szögei pedig: 60,9, 7,6, és 7,.

26 . megoldás A P, Q, R felezpotok is meghatározak egy háromszöget. Az a háromszög hasoló az ABC háromszöggel, hisze a PQ, QR, PR egyeesek középvoalak az ABC háromszögbe. Tudjuk azt is, hogy PR AC 8. ábra QR QP AB CB Mivel a QP, PR, RQ szakaszok hosszát ki tudjuk számoli, így ezzel meg tudjuk határozi az ABC háromszög oldalaiak a hosszát. QP PR QR ie tudjuk, hogy BC AC AB 3,3 3, 3,6 Mivel az ABC háromszög hasoló, a PQR háromszöggel, így ha meghatározzuk a PQR háromszög szögeit, akkor tudi fogjuk az ABC háromszög szögeit is. A keresett szögeket skaláris szorzattal kapjuk meg. Az A csúcsál lév szög α. A C csúcsál lév szög pedig γ. QPR szög ( α ) meghatározása, a (6 ; 3) és ( ; -) vektorokból skaláris szorzat segítségével 3 cosα 37,9 cosα cosα 0,36 α 7,6 Hasolóa PQR szögre (γ ), csak itt a (- ; -) és ( ; -7) vektorokkal kell meghatározi. 3 3 cos γ 0 γ 60,9 α + β + γ 80 7,6 + β + 60,9 80 β 7, 6

27 PRQ szög 7, A PQR háromszögbe a magasságvoalak fele akkorák, mit az ABC háromszögbe. A számítás végezhet oly módo, mit az ABC háromszögbe. Most egy másik módszert haszáluk. P (- ; 3) R ( ; 6) Elször határozzuk meg a P, R poto áthaladó egyees egyeletét. Az egyees egy iráy és egy ormálvektora: v (6 ; 3) (3 ; -6) P (- ; 3) Tehát az egyees egyelete: 3x 6y -, azaz x - y -8. Vegyük azt az egyeest, ami merleges a P, R pot által meghatározott egyeesre, úgy hogy az áthaladjo a Q poto. Ez az egyees lesz a PRQ háromszögbe a P, R oldalhoz tartozó magasságvoal. A magasságvoal egyelete: x + y 3 A két egyees metszetével megkapjuk Q potot, amibl majd ki tudjuk számítai a magasságvoal hosszát. Ehhez meg kell oldai a következ egyeletredszert: x + y 3 x y 8 Az egyeletredszert megoldva, megkapjuk Q koordiátáit. Q (-0, ; 3,8), Felhaszálva, hogy Q( ; -) QQ' ( 0, ) + (3,8 + ),76 + 3,0 8,8,366 Tehát az ABC háromszögbe az AC oldalhoz tartozó magasság m b QQ ' 0,73 P (- ; 3), Q ( ; -), v ( ; -), ( ; ) A P, Q poto áthaladó egyees egyelete x + y, azaz x + y. Erre az egyeesre merleges egyelete, ami áthalad R poto: x y - R potot megkapjuk a x + y egyeletredszerbl. R (-0,;,) x y A PRQ háromszögbe a P, Q oldalhoz tartozó magasságvoal hossza a R és R pot távolsága. RR' ( 0, ) + (, 6) 0, + 0, 6, 36 7

28 Tehát a BC oldalhoz tartozó magasság: m a PP' 6,36, 7 Ugyaígy meg lehet határozi Az R, Q oldalhoz tartozó magasságvoal hosszát. R ( ; 6), Q ( ; -), v(- ; -7), (-7 ; ) Az R Q poto áthaladó egyees egyelete: -7x + y - Erre az egyeesre merleges a x+7y7, ami áthalad a P poto. Itt is a két egyees egyeletéek a metszetébl lehet ki számoli P potot, ami (,7 ;,6). Az RQ oldalhoz tartozó magasságvoal hossza: PP' (,7 + ) + (,6 3),6 +,8,,93 Azaz a AB oldalhoz tartozó magasságvoal hossza m c PP ' 9, 87 Az ABC területéek a meghatározásához is elég meghatározi a PRQ háromszög területét, mivel a PR, RQ, QP középvoalak, így a T PQR T ABC Mivel megvaak a PQR háromszög szögeiek és oldalaiak a agysága így a területet ki tudjuk belle számoli, például a PR QR siβ T képlet segítségével. PR QR 3 PRQ szög ( ) 7, 3 si 7, T PRQ 8, 00 Tehát az ABC háromszög területe 8,00 7,008 Természetese mivel ismerjük a magasságait is a PRQ háromszögek, azok segítségével is ki lehet számoli a területet. RQ PP' 3, T PRQ 7, 98 T ABC 7,98 8

29 . feladat Bizoyítsuk be, hogy egy paralelogrammába Fitos, 98, 9/T) e + f a + b.. megoldás Pitagorasz tétel segítségével oldjuk meg a feladatot. Húzzuk be a paralelogramma magasság voalát (m). Ekkor a két átlót átfogókét tartalmazó megfelel derékszög háromszögekbe alkalmazhatjuk a Pitagorasz tételt. e f ( a x) + m ( a + x) + m Az m-t is fel tudjuk íri hasolóa: + x b. Azaz m Visszahelyettesítve: e + f m b x. ( a + x) + ( b x ) + ( a x) + ( b x ) 9. ábra Redezve megkapjuk, hogy e + f a + b, azaz az állítás igaz.. megoldás A feladat megoldásához alkalmazzuk kosziusz tételt. Írjuk fel a két átlót a következképpe:. e f f a a a + b + b + b a bcosα a b cos 80 + a b cosα ( α) Összeadva megkapjuk, hogy e irodalomba) + f a + b. (Ez szerepel a megadott 0. ábra Megjegyzés: Máshogy is meg tudjuk oldai kosziusz tétel segítségével. Ha az α szöget a két átló metszéspotjához tesszük. Eze kívül még felhaszáljuk, hogy a paralelogramma átlói. ábra 9

30 30 felezik egymást. Ekkor felírható, hogy ( ) α + α + cos 80 f e f e b cos f e f e a α + + cos f e f e b A kettt összeadva megkapjuk, hogy f e b a + +, ami redezve f e b a megoldás Vektorokkal oldjuk meg a feladatot. Vezessük be a következ vektorokat az ábra alapjá: az a oldalhoz tartozzo az a vektor a b oldalhoz a b vektor. Ezek felhaszálásával írjuk fel az e és f átlókhoz tartozó vektorokat, ami az ábrá az e és az f vektor. b a e és b a f +. Négyzetre emelve megkapjuk, hogy b a f e + + (Ez szerepel a megadott irodalomba). Megjegyzés: Vektorok segítségével másképpe is megoldhatjuka feladatot. Most az átlók metszéspotjából iduljaak ki az e és az f hosszúságú vektorok. Ezek segítségével írjuk fel az a oldalhoz 3. ábra. ábra

31 e f e f tartozó a vektort és a b oldalhoz a b vektort. Ekkor: a és b +. Négyzetre emelve: ( a) e és redezve megkapjuk, hogy f + e f + és ( b) e + f a + b. e f e f. Összeadva,. feladat A agy téglalap területe 00cm. A vízszites sáv 0cm, a függleges sáv 0cm terület. Mekkora a középs kis (zöld) téglalap területe? (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy 9/789). ábra. megoldás A függleges (sárga) sáv területe0cm, az egész téglalapé pedig 00cm. Így összese 0db 0cm terület függleges sávra tudjuk osztai. Hasolóa a vízszites sáv pedig ször fér bele a agy téglalapba. Így összese 0db zöld területre tudjuk osztai a agy téglalapot. Tehát a megoldás: megoldás szerepel a feladathoz tartozó megoldáskötetbe) 00cm, ami cm. (Ez a 0. megoldás A feladatot meg lehet oldai úgy is, hogy egyeletekkel felírjuk az ismert területeket, és ezek segítségével ki tudjuk fejezi a keresett területet. ab 00 cm cb 0 cm ad 0 cm dc?. ábra d 0cm a c 0cm b b 00cm a Azaz: dc 0cm a 0cm b cm 3

32 3. megoldás Itt felhaszáljuk a megadott területeket, és hogy a szorzás asszociatív (dc) (ab) (cb) (ad) (cd)(ad) 0 0 Ie megkapjuk a keresett terület ( dc) cm (ab) 00. megoldás A sárga és kék sávot eltoljuk az ábrá látható módo a agy téglalap mellé, ekkor egyeletredszerrel megtudjuk határozi a zöld terület agyságát. Tudjuk, hogy a fehér terület 00cm, a kék terület 0cm, a sárga terület pedig 0cm. A sárga és fehér terület összegét fel tudjuk íri, a (d + b) 30cm 6. ábra hasolóa a kék és fehér terület összegét is fel tudjuk íri, b (a + c) 0cm. A keresett zöld terület agyságát jelöljük x-szel. Az kék és sárga sáv eltolása sorá kapott agy téglalap területét. (c + a) (d + b) ab + ad + cb + cd 00cm 0cm b Tudjuk, hogy a x cm a b x cm 30cm a 60cm + x b 00cm 60cm + x + 0cm + 0cm + x Tehát a keresett terület cm. 3

33 6. feladat Mutassuk meg, hogy a szíezett rész területe egyel a jelöletle részek területével.(000 feladat az elemi matematika körébl 003, 03/9). megoldás Ki lehet számítai a 7. ábra megadott területeket például a következó módo:. Mivel szabályos yolcszög va megadva így ki tudjuk számítai a BFHI téglalapot. Ehhez meg kell határozi a BI szakasz hosszát. Tudjuk, hogy a BIJD égyszög egy szimmetrikus trapéz, eek segítségével határozzuk meg a keresett BI szakasz hosszát. Tudjuk, hogy a DBP -os, a BDJ 3 - os, tehát a BDP -os, a BPD 90 -os. Tehát a BPD háromszög egy derékszög egyelszárú háromszög. Legye a BD szakasz (a 8. ábra sokszög oldala) hossza a, x BD. Ie megkapjuk, hogy si x a. A DPQJ égyszög egy téglalap, ezért a PQ a. Tehát a BI szakasz hossza, a + a ( + ) a. Tehát a BFHI téglalap területe ( ) a +. A em szíezett terület egyel a BIJD trapéz területéek kétszeresével. A BIJD trapéz területe: ( + ) a + a ( + ) két terület megegyezik a a + a. Azaz a. Tehát a em szíezett terület:. ( ) 33

34 . megoldás Húzzuk be a DG és JE szakaszokat, ekkor látjuk azt, hogy a BFHI téglalap és a GEJD téglalap egybevágóak, tehát területük megegyezik. Mivel szabályos a yolcszög, ezért a DGJE téglalap a BFHI téglalapak a 90 -os elforgatása a yolcszög középpotja körül. Közös részük a RTKP égyzet. A BFTR téglalap egybevágó a DRPJ téglalappal, és hasolóa a PKHI téglalap a TGEK téglalappal Tehát azt kell még megmutati, hogy a BRD, 9. ábra 0. ábra FGT, KEH, ás a JPI háromszögek beledarabolhatóak az RTKP égyzetbe. Ez viszot következik abból, hogy ezek olya egyelszárú derékszög háromszögek (a yolcszög bels szögei 3 fokosak és 3-90 lesz bármely kis háromszög derékszögtl külöböz két szöge), amelyekek átfogója a hosszúságú. Tehát a szíezett és em szíezetett területek egyelk. 3

35 ANALÍZIS FELADATOK 7. feladat Adott kerület téglalapok közül melyikek legagyobb a területe? (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy 9/6). megoldás Adott a téglalap kerülete, ez alapjá felírható a két oldal. Az egyik oldal legye x, akkor a másik oldal K x. A területet fel tudjuk íri a két oldal segítségével. Keressük a K T x x, és K <. 0 x < K T (x) x x függvéy maximumát. A függvéy egy lefelé yitott parabola, amelyek a maximumát keressük. A parabola szélsérték helye így x K. Mivel lefelé yitott a parabola, ezért a maximuma va itt. Ha x K a másik oldal is eyi lesz. Azaz a keresett téglalap egy K oldalú égyzet.. megoldás Az egyik oldal legye x, a másik oldal pedig K K x. A téglalap területe T x x. Alkalmazzuk a számtai és mértai közép közti összefüggést az x és K x értékekre.. Ez alkalmazható, mert a x, és a K x + x K x x K x x K K x pozitív számok. Ekkor: 3

36 Vagyis K T. Mivel midkét oldalo pozitív meyiségek állak a relációjel iráya égyzetre emelés utá sem változik, T K akkor maximális, ha az egyelség teljesül. Ekkor 6 maximális terület téglalap a K oldalú égyzet. (Ez a megoldás szerepel a feladathoz tartozó megoldáskötetbe). A jobboldali kostas értékhez képest a T K x x, vagyis K x. Azaz a 3. megoldás Az elz megoldásokhoz hasolóa a területet fel tudjuk íri Vizsgáljuk a f (x) K x x -t. Az f (x) K T x x alakba. függvéyek keressük a maximumát. Deriválás segítségével meg tudjuk adi a szélsértéket. Ha f ('a) 0 és f ('a) < 0, akkor az f függvéyek a helye maximuma va. f (x) K x x K f ('x) x K K Szélsérték ott lehet, ahol f (' a) 0, azaz 0 x, x. f (' x) K f ' K K Tehát f ' < 0. Azaz a függvéyek az x helye maximuma va, és a maximum K égyzet.. Azaz adott kerület mellett a legagyobb téglalapot akkor kapjuk, ha a téglalap 36

37 8. feladat x x + 3 Tekitse az f (x) függvéyt ( x,a R, x a). Az a paraméter mely értékei x a eseté illeszkedek egy egyeesre a függvéy grafikojáak potjai? (Egységes Érettségi Feladatgyjteméy 60/0). megoldás Mivel olya a-t keresük, hogy egyeest kapjuk, ezért az f (x) függvéyek mx + b alakúak kell leie,. Tehát x x + 3 mx + b. Átalakítva az egyeletet azt kapjuk, x a hogy x x + 3 (x a) (mx + b). A zárójeleket felbotva ezt kapjuk: x x + 3 mx + (b am)x ab. Az egyelség két oldalá álló poliomok akkor egyelk, ha m, ezekívül, ha b am, azaz a b, és ab 3. Így kapuk a b egy kétismeretlees két egyeletbl álló egyeletredszert., ebbl meg tudjuk ab 3 határozi az a értékét. b a, behelyettesítve a második egyeletbe, a (a ) Zárójel felbotása utá egy másodfokú egyeletet kapuk a-ra. a a A másodfokú egyeletet megoldva megkapjuk az a értékeit. a / ± 6. ± Tehát a 3 vagy a. Az els ábra mutatja azt az esetet, amikor az a, ekkor az f függvéy az y x 3 egyees kivéve az (;-) pot.. A második ábra, az a3 eset, ekkor az f függvéy az yx- egyees, kivéve a (3;) pot. A említett potok az eredeti függvéy értelmezési tartomáya miatt em tartozak a függvéyhez. 37. ábra

38 . megoldás Adott az x x + 3 f (x) függvéy. Alakítsuk át szorzattá az x x + 3 -at. Ehhez x a keressük meg a gyökeit, x / ± 6, ez alapjá a két gyök a 3 és az. A két gyök segítségével át tudjuk íri a függvéyt (x 3) (x ) x a alakba. Tehát a függvéy grafikoja akkor lesz egyees ha a3 (ekkor az f (x) x függvéyt kell ábrázoli x 3 értelmezési tartomáyal) vagy a (ekkor pedig az f (x) x 3 függvéyt kell ábrázoli x értelmezési tartomáyal). (Ez a megoldás va a feladathoz tartozó megoldáskötetbe.) 9. feladat Az Örökzöld faiskolába 7000 feyfa va. Évete kivágják a meglev állomáy %- át, de ugyaakkor 600 új feyt is ültetek. A fkertész úgy látja, hogy ez egy jó godolat, és így soha em fogy el a készletük. A kertészet köyvelje viszot aggódik, szerite ebbl elbb-utóbb probléma lesz, és elfogyak a feyk. Kiek va igaza? (Készüljük az érettségire matematikából emelt szite, 00). megoldás A kezdeti évbe (0. év) a feyk száma Az. évbe a fák száma: 700 0, ( - 0,) A. évbe a fák száma: [7000 ( - 0,) + 600] - 0, [700 ( - 0,) + 600] ( - 0) ( - 0,) A 3. évbe a fák száma: 7000 ( - 0,) ( - 0,) ( - 0,) Az. évbe a fák száma: 7000 ( - 0,) ( - 0,) ( - 0,) Azaz az. évbe sem lehet 0 a fák száma, hisze bármely -re a 7000 ( - 0,) ( - 0,) ( - 0,) pozitív lesz. Tehát a fkertészek va igaza. (Részbe ez va az irodalomba.) 38

39 . megoldás Számolás élkül is meg lehet oldai, hisze volt eredetileg 7000 fák és mide évbe ott marad legalább 600 fáak a 88%-a Tehát em fogak elfogyi. Megjegyzés: Az más kérdés, hogy milye ids fát érdemes kivági, de ezt a feladat em vizsgálja. Ha a fák száma eléri az 000 darabot, akkor a faállomáy stabilizálódi fog, hisze az 000-ek a %-a pot 600, tehát 600 fát váguk ki és ayit ültetük hozzá. Tehát a faállomáy 000db fáál fog stabilizálódi. Ha az. évbe a darab fa va. Ekkor soha em meg 000 alá, tehát a fák em fogak elfogyi. a felírható: 0,88 a 600. Ez a sorozat a + 3. megoldás Azt állítjuk, hogy em fogyak el a fák. Bizoyítás: idirekt módo. Idirekt, tegyük fel, hogy az. évbe fogyak el elször a fák. Jelljük t-vel az (-). évbe a fák számát. Ekkor fel tudjuk íri, hogy a következ évbe a feltétel szerit a faállomáy 0,88 t , azaz a t -8, ami azt jeleti, hogy az (-). évbe a fák száma -8. Mivel elsévbe pozitív számról idult a fák száma, és az (-). évbe -8 a fák száma, ezért a közte lev idbe, valahol el kellett, hogy fogyjaak a fák. De ez elletmod aak, miszerit az. évbe fogyak el elször a fák. Mivel elletmodásra juttottuk, ezért az állítás igaz. Megjegyzés: Ha figyelembevesszük, hogy t csak em egatív lehet, akkor a t-8 érték eleve elletmodást jelet. 0. feladat Egy kábeltelevíziós társaság jeleleg 300 elfizet va, az évi elfizetési díj 000 Ft. A legutóbbi felmérésük szerite mide egyes 000 Ft-os díjcsökketés háromszáz új elfizetést hozhat. Meyi legye az új elfizetési díj, hogy a társaság bevétele maximális legye? (Készüljük az érettségire matematikából emelt szite, 00) Megjegyzés: feltételezzük a feladat megoldása sorá, hogy 000 Ft-os elfizetési díj csökkeése eseté 300 új elfizet lesz. 39

40 . megoldás Határozzuk meg meyi a bevétel, ha változik az elfizetési díj. A bevételi függvéyt megkapjuk, ha a fogyasztók számát szorozzuk az elfizetési díjjal, azaz ( x) ( x) 300. A zárójeleket felbotva egy másodfokú függvéyt kapuk, x x Deriválással megkapjuk meyi a maximuma eek a függvéyek. f ' (x) x Szélsérték ott lehet, ahol az f ' (x) 0. Azaz x 6, 7, és mivel f ' (x) < 0, tehát a függvéyek a maximuma 6,7-él va. Mivel x6 eseté a bevétel , x7 eseté a bevétel , az új elfizetési díj Ft legye.. megoldás Hasolóa mit az elz megoldás sorá felírjuk a bevételi függvéyt. Ekkor a x x egy paraboláak az egyelete. Tudjuk, hogy a paraboláak a szélsérték helyét megkapjuk a parabola egyeletébl. Ha a parabola egyelete a x esetbe a szélsérték hely a + b x + c, eek alapjá szélsérték helye a ( ) szélsérték ekkor a maximum, ami körülbelül 6,7. b helye va. Ebbe az a. Ez egy lefelé yitott parabola, tehát a Az. megoldásál leírt meggodolások miatt az új elfizetési díj Ft legye. 0

41 3. Fejezet NÉHÁNY FELADAT ÁLTALÁNOSÍTÁSA Az alábbi feladatok közül egyes feladatokat köye lehet általáosítai. Nézzük meg éháy példát erre. A 3. feladatot köye lehet általáosítai, ekkor a feladat sorá darab tárgy közül választuk találomra k darab tárgyat. Általáosítva is meg lehet oldai a feladatot kétféle módszerrel. Egyik megoldásak felhaszálhatjuk, hogy , vagy pedig, hogy külö-külö megézzük a 0 tárgyakál, hogy vagy kivesszük, vagy em. Ezekre midegyikre lehetség va, így az darab tárgyra köye kijö, hogy darabot. lehetség va, hogy találomra kiválasszuk k A 8. feladat általáosítása lehet például a következ: bizoyítsuk be, hogy 67. Ezt a bizoyítást köy bizoyítai. Ayit kell hozzá felhaszáli, hogy a b a b. Ie gyorsa kijö, hogy 7 7, azaz 67. Ez az általáosított feladat a biomiális tétel felhaszálásával is bizoyítható. Alakítsuk át a kifejezést a következ képpe 6 ( 8 ) ( ) ki a biomiális tétel segítségével, azaz ( + b) Tehát a ( 8 ) k k a a b. k ( ) k. Midkét tagot fejezzük. Ebbl látszik, hogy az utolsó tago kívül mide tag osztható 6-tal. Hasolóa 0 ( ) ( ), itt is az utolsó tago kívül mide tag

42 osztható hattal. Tehát azt kell még megmutati, hogy 6 ( ) ( ), ami pedig igaz, hisze 6 0. A 0. feladatot is lehet általáosítai, például, lehet a feladat az, hogy mely x és y egész számra teljesül, hogy +. x y A kifejezés átalakítható: ( x ) ( y ) alakra. Ie látszik, hogy az -et osztja az ( x ) és a ( y ). Az osztói lehetek egyelk az ( x ) -el. Ie meg tudjuk határozi a keresett x-et és y-t Például: -, ekkor +. Az osztói a ±, hozzáadva midketthöz -et, x y megkapjuk hogy a lehetséges x érték, a. Tehát az + -ek egy jó x y megoldása va, ez az +, azaz x y - 3, ekkor +, hasolóa a 3 osztói a ± 3 és a ±. x y 3 x lehetséges értékei: 6 y lehetséges értékei: 6-6 A jó megoldások: +, , ( ) 3 Nagyobb számokra is ki tudjuk így számoli a jó megoldásokat, de ahhoz sokat kell számoli, illetve az összes osztót ehéz meghatározi agyobb számokál. Megjegyzés A feladathoz további általáosítások is készíthetk: Például: + +, stb. Milye x, y, z,... egész számokra teljesül. x y z x y z k

43 A 8. feladatot is lehet általáosítai. Lehet például a következ:: egy faiskolába darab fa va, mide évbe kivágják a d százalékát és ültetek még t darab fát. Elfogyak-e a fák? Ekkor is látható, hogy a fák soha em fogak elfogyi, hisze miimum t darab fa midig lesz. Ha a k. évbe em fogak elfogyi. a k. Ekkor a k k + ( k)a t, mivel mide tag pozitív, ezért a fák Meggodolható az is, hogy háy százalékát kell kivági a fákak, hogy ha még hozzáültetük t darab fák, akkor elfogyjaak. Tetszleges lehet így a d értéke, hisze ha az összes fát kivágjuk, akkor is megmarad az, amit utólag ültetük t darab fa. 3

44 . Fejezet ÖSSZEGZÉS Szakdolgozatomba külöböz témájú feladatokat oldottam meg többféleképpe. Szerettem vola bemutati, hogy a matematikába meyi féle külöböz eszközt lehet haszáli. A külöféle feladatok szeritem jól mutatják, hogy egy feladatak agyo sokféle képpe hozzá lehet álli. Úgy godolom elég sok eszközt sikerült bemutati, egyegy feladat megoldásaiál. Látszott az is, hogy egy feladot em csak azokkal az eszközökkel lehet megoldai, amelyeket éppe akkor taulak a diákok, haem lehet, hogy egyszerbb megoldása is létezik egy feladatak. A szakdolgozat írása sorá akadtak kedvec feladataim is. Az egyik a 0. feladat, eél a feladatál egy megoldásra viszoylag gyorsa rájöttem, a másik megoldáso viszot apokig godolkoztam. A másik kedvec feladatom a 9. feladat. Ez a feladat azért tetszett meg agyo, mert apjaik egyik fotos témájával kapcsolatos, mobiltelefo és a yereség maximalizálás, ami szeritem érdekes dolog. Az ilye feladatokkal lehet jól megmutati, hogy miért jó matematikát tauli.

45 FELHASZNÁLT IRODALOM Róka Sádor 000 feladat az elemi matematika körébl, Typotex, 003 Hortobágyi Istvá Marosvári Péter Pálmay Lórát Pósfai Péter Siposs Adrás Vacsó Ödö Egységes Érettségi Feladatgyjteméy -, Kosept-H Köyvkiadó, 003 Hortobágyi Istvá Marosvári Péter Pálmay Lórát Pósfai Péter Siposs Adrás Vacsó Ödö Nagyé Pálmay Piroska Widisch Klára Egységes Érettségi Feladatgyjteméy Megoldások, Kosept-H Köyvkiadó, 003 Kosztoláyi József Kovács Istvá Pitér Klára Urbá Jáos Vicze Istvá Sokszí Matematika.. Mozaik kiadó, 00, 00 Bartha Gábor Bogdá Zoltá Csúri József Duró Lajosé dr. dr. Gyapjas Ferecé dr. Kátor Sádoré dr. Pitér Lajosé Matematika feladatgyjteméy, Nemzeti Taköyvkiadó, 999 Fitos László: Aalóg tételek és feladatok a sík és térgeometriába, Taköyvkiadó, 98 Pogáts Ferec: Varga Tamás Matematikai Verseyek, Typotex, 99 Bárd-Frigyesi-Lukács-Maior-Székely-Vacsó: Készüljük az érettségire matematikából emelt szite, Mszaki köyvkiadó, 00 Matematikai kompeteciaterület: letöltés: 00. május Tóth Eik Feladatok többféle megoldással (szakdolgozat, ELTE TTK, 009)