Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges differeniálegyenletek, ariális differeniálegyenletek, (sztoasztikus differeniálegyenletek, késleltetett differeniálegyenletek) Közönséges differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy független változójú függvény és deriváltjai közötti összefüggést adja meg. d Pl. m = F, aol = t ( ) (Newton II. törvénye) dt Pariális differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely az ismeretlen többváltozós függvény és a ariális deriváltjai közötti kasolatot írja le. u(,y) Pl. ; és a megoldás u(,y) = f ( y). Seiális eset: Lineáris állandó együttatós közönséges inomogén differeniálegyenlet n n d y d y An + A n n + + A n 0y = r( ), aol r( ) a zavaró függvény. Megoldás: y( ) y ( ) y ( ) aol y ( ) = +, n n d y d y n n n n 0 a A + A + + A y omogén differeniálegyenlet általános megoldása, y ( ) az A + A + + A y = r( ) n d y n d y n n n n 0 inomogén differeniál- egyenlet egy artikuláris megoldása. A omogén differeniálegyenlet általános megoldása: n n d y d y An + A n n + + A n 0y Megoldást y = e λ alakban keressük ( Anλ n + A n A e λ nλ + + 0) 0 Karakterisztikus egyenlet: n n Anλ + An λ + + A0 (n-ed rendű olinom) Megoldása: n számú gyök: λ, λ,, λn. n A differeniálegyenletnek n számú alamegoldása van: e λ,e λ,,e λ. Az alamegoldások lineáris kombináiója is megoldása differeniál- y = Ce λ + Ce λ +,, + Ce λ egyenletnek: ( ) n n
Az ismeretlen C ( i,,,n) i = konstansok a erem-, illetve kezdeti feltételekből megatározatóak. Az inomogén differeniálegyenlet egy artikuláris megoldása: n n d y d y An + A n n + + A n 0y = r( ) A megoldást élszerű a zavaró vagy más néven forrás függvény alakjában keresni, mert ez többnyire eredményre vezet: y = C r. ( ) ( ) Beelyettesítés után a C konstans megatározató. Deriváltak jelölése: dy y' d =, d y = y'',, stb. (ely szerinti deriváltak) d dy y, dt =, d y = y,, stb. (idő szerinti deriváltak) dt
. Példa: Adott egy másodrendű állandó együttatós közönséges lineáris differeniálegyenlet valamint az eremen a függvény és deriváltjának értéke: y'' 4y y 0 =, y' 0 = 4. =, ( ) ( ) Feladat a differeniál egyenlet megoldásának előállítása. Megoldás: y( ) = y ( ) + y ( ) Homogén megoldás: omogén de. y" 4y, megoldás keresése ( λ 4 e λ ) 0 karakterisztikus egyenlet λ 4; λ = 4 ; λ, =± y = e λ omogén ált megoldás: y ( ) = C e + C e Az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináiója is megoldás e + e e e y( ) = A + A () s() azaz y ( ) A( ) A s( ) = +. Partikuláris megoldás: y ( ) = C (a zavaró függvény alakjában keressük) y '' 4y = beelyettesítés után 4C = y ( ) = 4 Peremfeltételek figyelembevétele: y( ) = y( ) + y( ) y0 ( ) = ( ) ( ) ( ) C = 4 y 0 = = A 0 + A s 0 0 4 0 = A ( 0) A = = = + 4 0 9 4= A ( 0) A = + = 4 8 8 y' ( 0) = 4 y'0 ( ) 4 As0 ( ) A 0 ( ) Végül: y( ) = y ( ) + y ( ) = ( ) ( ) 9 + s. 8 4
. Példa: Adott egy másodrendű állandó együttatós közönséges lineáris differeniálegyenlet valamint az eremen a függvény és deriváltjának értéke: y'' 4y y 0 =, y' 0 = 4. + =, ( ) ( ) Feladat a differeniálegyenlet megoldásának előállítása. Megoldás: y( ) = y ( ) + y ( ) Homogén megoldás: omogén de. y" + 4y, megoldás keresése ( λ + 4 e λ ) 0 karakterisztikus egyenlet λ + 4; λ = 4 ; λ, =± i y = e λ i i omogén általános megoldás y ( ) C e C e = +, i i aol e = os( ) + isin( ) ; e = os( ) isin( ) azaz y ( ) = C os ( ) + i sin( ) + C os i sin ( ) ( ( ) ( )) Az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináió is megoldás e i + e i e i e i y( ) = A + A. os( ) sin( ) Beelyettesítés után: y ( ) = A os( ) + A sin( ) Partikuláris megoldás: y '' 4y beelyettesítés után 4C = C 4 + = ; ( ) = ; ( ) y = C (alakban keressük) y = 4 Peremfeltételek figyelembevétele: y( ) = y( ) + y( ) y0 ( ) = ( ) ( ) ( ) y 0 = = Aos 0 + Asin 0 + 0 4 0 = A os( 0) A = = = + + 4 0 4= A os( 0) + A = + = 4 4 8 y = y + y = os ( ) + sin( ) +. 8 4 y' ( 0) = 4 y' ( 0) 4 A sin( 0) A os( 0) Végül: ( ) ( ) ( )
. Példa: Adott egy kezdeti érték feladat differeniálegyenlete és a t=0 időontban a függvényérték és első deriváltja: y+ 9y = ost y0 = ; y0 =. és ( ) ( ) Feladat az adott kezdeti érték feladat megoldásának előállítása. Megoldás: y( ) = y () t + y () t Homogén megoldás: omogén de. y + 9y, megoldás keresése λt ( λ ) + 9 e 0 λ + = ; karakterisztikus egyenlet 9 0 λ = 9 ; λ, =± 9 =± i it it omogén általános megoldás y( t) = Ce + Ce, it it e os t i sin t e = os t i sin t aol = ( ) + ( ) ; ( ) ( ) azaz y ( ) = C os ( t ) + i sin( t ) + C os t i sin t ( ) ( ( ) ( )) az alamegoldások (bázisok) tetszőleges lineáris kombináió is megoldás e it + e it e it e it y( ) = A + A os( t ) sin( t ) beelyettesítés után y ( ) = A os ( t ) + A sin( t ) ; ( ) Partikuláris megoldás: y + 4y = ost y = C os t (alakban keressük) a deriváltak: y ( ) =C sint; y ( ) =C 4ost beelyettesítése után 4C os t + 9C os t = os t 5C = ; C = ; y ( ) = ost 5 5 Peremfeltételek figyelembevétele: y( t) = y( t) + y( t) y0 ( ) = y0 ( ) = = Aos0 ( ) + A sin0 ( ) + os0 ( ) y 5 0 = A os( 0) + A = = 5 5 5 5 0 = A os( 0) A = y t = y t + y t = os ( t ) + sin( t ) + os t. 5 5 y' ( 0) = 4 y ( 0) = =A sin( 0) + A os ( 0) os ( 0) Végül: () ( ) ( ) = t e λ
Egy rezgéssé alakítások (addiiós tételek): átalakítás I. y = osωt+ sinωt y = aos( ωt+ ϕ) ( ) y = aos ωt+ ϕ = aos ϕ osωt asinϕ sinωt ( ) + ( ) = a ( osϕ) + a ( sinϕ) = a a= ( ) + ( ) asinϕ = =tgϕ ϕ = artg aosϕ átalakítás II. y = osωt + sinωt y = a sin( ωt + ϕ) ( ) y = a sin ωt + ϕ = a sinϕ osωt + a osϕ sinωt ( ) + ( ) = a ( sinϕ) + a ( osϕ) = a a= ( ) + ( ) asinϕ = = tgϕ ϕ = artg aosϕ