Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................ 3 4. Valós függvények határértéke.................... 7 5. Valós függvények differenciálhányadosa............... 6. A differenciálszámítás alkalmazásai................. 4 7. Integrálszámítás............................ 9 8. Improprius integrál.......................... 34 Megoldások.............................. 37. Függvénytani alapismeretek..................... 38. Valós számsorozatok......................... 4 3. Valós számsorok............................ 49 4. Valós függvények határértéke.................... 59 5. Valós függvények differenciálhányadosa............... 68 6. A differenciálszámítás alkalmazásai................. 74 7. Integrálszámítás............................ 0 8. Improprius integrál.......................... 7
ELŐSZÓ A nem matematika szakos hallgatóknak a matematika tanulása olykor jóval nagyobb nehézséget okoz, mint azt az elsajátítandó tananyag mennyiségéből és bonyolultságából gondolnánk. Ennek valószínűleg az egyik nagyon fontos oka az, hogy az órára való felkészüléskor, egyedül nagyon kevés feladattal birkóznak meg a hallgatók. Kiváló feladatgyűjtemények állnak a hallgatók rendelkezésére, amelyekből sikeresen felkészülhetnek a vizsgáikra, zárthelyi dolgozataikra, ha megfelelő matematikai alapműveltséggel rendelkeznek az analízis feladatok megoldásában. Ehhez a tudáshoz próbálja hozzásegíteni a könyv azokat a hallgatókat, akik hajlandók olyan oldalakat lapozgatni, ahol nem bízunk semmit (vagy olykor egy nagyon keveset) a kezdő lépéseket megtevőkre, hanem végigvezetjük a feladatmegoldás alapvető lépésein, melynek végén nyugodt szívvel tekinthetnek leendő számonkéréseikre. A tankönyv tartalma és jelölésrendszere követi az irodalomjegyzékben megemlített Matematika, nem matematika szakos hallgatóknak" ([]) című jegyzetét. A feladatgyűjtemény a L A TEX nevű dokumentumkészítő rendszer segítségével készült, annak minden szépségét és nehézségét megélve. Az ábrák elkészítéséhez a Scientific Workplace programcsomagot használtuk. Ez a rendszer tette lehetővé azt is, hogy a feladatok megoldásait ne csak a szokásos módon ellenőrizhessük, hanem számítógéppel is. Így ha esetleges bosszantó elírások elő is fordulnak a végeredményekben hibák csak nagyon ritka esetben találhatók. Ezúton szeretném kifejezni köszönetemet azon kollégáimnak, barátaimnak és tanítványaimnak, akik hozzájárultak e könyv elkészítéséhez. Kovács Emődnek és Olajos Péternek TEX-hel kapcsolatos kérdéseim türelmes megválaszolásáért. Kollégáimnak a sok megtalált hibáért, amelyek így nem kerültek bele a feladatgyűjteménybe. Rados Mihálynak a teljes kézirat átolvasásáért, az olykor tréfás, mindig alapos és segítő, margóra írt megjegyzéseiért. Rimán Jánosnak, akitől megtanultam, hogy mindig még maga-
sabbra kell tenni a mércét. Kovács Dórának a precíz szerkesztő munkájáért. Tanítványaimnak az ábrák elkészítésében és a megoldások ellenőrzésében tanúsított lelkes munkájukért. Köszönöm a Békésy György posztdoktori ösztöndíj támogatását, amely nyugodt hátteret biztosított a munkámhoz. Külön köszönöm családtagjaimnak megértésüket és türelmüket. Eger, 004. augusztus 3. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet liptaik@ektf.hu
. Függvénytani alapismeretek 7. Függvénytani alapismeretek. Legyen X adott halmaz és A, B, C X. Bizonyítsuk be, hogy (a) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (c) A \ (A \ (B \ C)) = A B C c.. Határozzuk meg az alábbi f relációk értelmezési tartományát, értékkészletét és inverzét: (a) A := {,, 3, 5}, B := {3, 4, 6, 7}, f A B, és fy akkor és csak akkor, ha osztója y-nak, (b) A := {, 0,, 4, 5}, B := {,, 3, 5, 6, 7}, f A B, és fy akkor és csak akkor, ha + y = 5. 3. Döntsük el, hogy az alábbi függvények közül melyek invertálhatók, azokban az esetekben, amelyekben ez lehetséges határozzuk meg az inverz függvényét: (a) f : R R, f() := 5 + 6, (b) f : R R, f() :=, (c) f : R \{} R, f() := +, (d) f : R R, f() := +, (e) f : R R, f() := sin. 4. Határozzuk meg a következő halmazok pontos alsó és pontos felső korlátját, belső, külső, torlódási és határpontjainak halmazát: (a) H := [, ] (5, 7], (b) H := (, 3) {6} {7}, (c) H 3 := (, 5) (5, + ),
8. Függvénytani alapismeretek (d) H 4 := [ 3, ] (4, + ), (e) H 5 := ( 3, ] (, 4) [5, 0), (f) H 6 := { 8} [, + ). 5. Határozzuk meg a következő halmazok pontos alsó és pontos felső korlátját, belső, külső, torlódási és határpontjainak halmazát: (a) H := Q, (b) H := R \ Q, (c) H 3 := N, { (d) H 4 := R : = } n, n N, { (e) H 5 := R : = n, n N { (f) H 6 := }, R : = + } n +, n N. 6. Határozzuk meg a g f és f g függvényeket: (a) f : R R, f () := + 7, g : R R, g () := +, (b) f : R+ R, f () :=, g : [ π, π] R, g () := sin, (c) f : [0, π] R, f () = sin, g : [0, π] R, g () := cos, (d) f : R R, f () :=, g : [, + ) R, g () :=, (e) f : [, 4] R, f () :=, g : [, + ) R, g () :=.
. Valós számsorozatok 9. Valós számsorozatok. Határozzuk meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek a sorozatok tagjai a határérték 0 3 sugarú környezetébe: (a) a n : N R, a n := n + 6, (b) a n : N R, a n := 6n n + 7, (c) a n : N R, a n := 3n + 4n +.. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az alábbi sorozatok konvergensek: (a) a n : N R, a n := ( )n n, (b) a n : N R, a n := sin n n, (c) a n : N R, a n := n + n +, (d) a n : N R, a n := n + n + n +, (e) a n : N R, a n := n 3 + 5, (f) a n : N R, a n := 6n + n + n + n +, ( ) n (g) a n : N R, a n := 6, (h) a n : N R, a n := 5 + ( )n 5 n.
0. Valós számsorozatok 3. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n : N R, a n := n3 5n + 8 3n 3 + n + 7, (b) a n : N R, a n := 4n5 + 3n 3 5 3n 5 + 4n 4 + n 3 + 9, (c) a n : N R, a n := ( ) n n + n 3 + 5n 3, (d) a n : N R, a n := n + 3 n 3 n + 5, n 3 (e) a n : N R, a n := n3 + 5n + n + 5n 3 + n + 6. 4. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: ( ) 3n + 4 n (a) a n : N R, a n :=, 3n 5 ( ) 5n n+ (b) a n : N R, a n :=, 5n + 3 ( ) 7n n 5 (c) a n : N R, a n :=, 7n + 4 ( 6n ) n +4 (d) a n : N R, a n := 6n, + 3 ( 3n ) 4n + 7 (e) a n : N R, a n := 3n, 5 ( (f) a n : N R, a n := ) n n. 5. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: ( n + 3 (a) a n : N R, a n := 3n ) 4n,
. Valós számsorozatok (b) a n : N R, a n := 3n+ + n 4 + 5 n, (c) a n : N R, a n := n 6 4n cos nπ, + (d) a n : N R, a n := ( )n + 4 n+ 3 n + 7 n. 6. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) a n : N R, a n := n + 4 n + 3, (b) a n : N R, a n := 3n 4 n +, (c) a n : N R, a n := n 3n + 5, (d) a n : N R, a n := ( ) n n n +, (e) a n : N R, a n := ( ) n n n +, (f) a n : N R, a n := 5n+, n! (g) a n : N R, a n := n + 3 4n cos nπ. + 7. Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő sorozatok, és ha igen, határozzuk meg a határértéküket: (a) a n : N R, a n := n + n, (b) a n : N R, a n := 3 n 3 + 5 n, (c) a n : N R, a := 0, a n := n ( n 4 4 n ), ha n, (d) a n : N R, a n := 3n3 + 4n n + 3n + n, + 7
. Valós számsorozatok (e) a n : N R, a n := 6n4 3n + n + n 7, ( ) n n (f) a n : N R, a n :=, 3n ( ) n n (g) a n : N R, a n :=, n (h) a n : N R, a n := 5n + 3 n + 6 n. 8. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n : N R, a n := n n + 6n + 7, (b) a n : N R, a n := 3n + 6n + 8n +, (c) a n : N R, a n := n 4 n + 5 n, (d) a n : N R, a n := n sin n! n 3 + 4, (e) a n : N R, a n := + + + n, n(n + 5) (f) a n : N R, a n := + + + n (n + )(n + ). 9. Legyen a := és a n := + a n, ha n N és n >. Határozzuk meg az adott rekurzióval definiált sorozat határértékét.
3. Valós számsorok 3 3. Valós számsorok. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az alábbi sorok konvergensek, és számítsuk ki az összegüket: (a) (b) (c) (d) (e) 3 n (n + ), (n + ) (n + 3), n (n + ), n (n + ) (n + ), 3 n n.. Határozzuk meg a következő sorok összegét: (a) (b) (c) (d) (e) ( 7 n + 5 ) 3 n, 0 6 n+5, + ( ) n 3 5 n+, 0 cos nπ 3 n, 0 sin n π + cos nπ 4 n+3, 0
4 3. Valós számsorok (f) (g) 0 0 ( 3) n + n 8 6 n, nπ cos n 3. 3. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorok divergensek: (a) (b) (c) (d) (e) (f) ( ) n n, n n + n + 3, n 0, 00,, 0 n, 0 5 n n, n + cos nπ. 5n 4. A Cauchy-féle gyökkritérium vagy a d Alembert-féle hányadoskritérium segítségével döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi sorok: (a) (b) (c) 5n 3 n n!, ( ) 3 n n!, n 0, n, n!
3. Valós számsorok 5 (d) (e) (f) 5 n n 7, n! (n)!, 5 n 3 (6n ) 7 n. 5. Döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi valós számsorok: (a) (b) (c) (d) (e) (f) n + 3 n (n + 5), n 3 (5n + ) 3 n, n 3 n, n n 4 + n +, e n (n + )!, n. 6. Döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi valós számsorok: (a) (b) arctg n n + n +, n! e n n n,
6 3. Valós számsorok (c) (d) (e) (f) (g) (h) 3 n + 3 n + n +, (arcsin n) n 4 +, n + 3 n 4 + 3n + 4, 3 n+4 (log n) n, ( ) n n + n(n + 3), ( ) n n n!.
4. Valós függvények határértéke 7 4. Valós függvények határértéke. Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) 0 4 4 + 3 ( cos ), (b) 0 4 + 3 5 ( cos ), (c) 0 cos 3 cos, (d) 0 cos 5 ( + cos ), (e) 0 tg sin 3 cos. sin ( cos ) (f) 0 3 cos 3, sin sin (g) 0 tg, (h) 0 sin m sin n, ahol n, m N.. Határozzuk meg a következő határértékeket: ( (a) + a + b), a, b R +, + ( ) (b) 9 + 3, + (c) (d) + + + 7 + 6, 9 3, 9 (e), 9 3
8 4. Valós függvények határértéke (f) + 5 + 6 + 4 5 + 7. 3. Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) (b) (c) (d) + + 3 6 +, + + 5 + 4 + 3, + 3 6 3 + + 7 +, + 3 + + 6 + 3 3 +, (e), + 3 3 (f), 0 (g) + 4. 0 4. Határozzuk meg a következő határértékeket: ( (a) + ), + ( (b) + 5 ), + ( (c) + a ), a R +, + ( 3 (d) + a 3 a), a R, (e) (f) + + + ( ) 4 + +5, 4 3 ( ) 6 5+,
4. Valós függvények határértéke 9 (g) (h) ( 5 π + 5 + + ( 4 + 6 4 ) ) 4 +,. 5. Az A paraméter milyen értékénél lesz a következő határérték egyenlő -gyel, A arctg. + 6. Határozzuk meg a következő függvények bal és jobb oldali határértékét az adott 0 helyeken: (a) f : R \ {} R, f () := +, 0 =, (b) f : R \ {, } R, f () :=, 0 =, 0 =, (c) f : R \ {, 4} R, f () := ( + ) 5 + 4, 0 =, 0 = 4, (d) f : R \ {0, } R, f () := + 4 3, 0 = 0, 0 =, (e) f : R \ {0} R, f () := + 3 3 +, 0 = 0, (f) f : R \ {} R, f () := 5 5, 0 =. 7. Határozzuk meg a következő függvények bal és jobb oldali határértékét az adott 0 helyeken: (a) f : R \ {3} R, f () := + 3, 0 = 3, (b) f : R \ {} R, f () := ( ), 0 =, (c) f : R \ {0} R, f () := arctg, 0 = 0,
0 4. Valós függvények határértéke (d) f : [, 0) (0, ] R, f () := arcsin, 0 = 0.
5. Valós függvények differenciálhányadosa 5. Valós függvények differenciálhányadosa. Bizonyítsuk be a definíció felhasználásával, hogy a következő függvények tetszőleges 0 R pontban differenciálhatók: (a) f : R R, f () := 3 + +, (b) g : R R, g () := + + 3.. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az f függvény az értelmezési tartomány tetszőleges 0 pontjában differenciálható, ahol f : R \ {0} R, f () :=. 3. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az f függvény tetszőleges 0 R pontban differenciálható, ahol f : R R, f () := n, n N. 4. Bizonyítsuk be, hogy a következő függvények nem differenciálhatók az 0 = 0 pontban: (a) f : R R, f () :=, { 0, ha = 0, (b) g : R R, g () := sin, ha 0, (c) h: R R, h () := sin. 5. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R+ R, f () := 5 + 4 3 + 7 4 + 5, (b) f : R+ R, f () := 6 7 + 5 π 3 +, (c) f : R R, f () := ( cos + ) ( + 6 3 ), (d) f : R+ R, f () = (ln + arctg ) (5 + ), ( (e) f : 0, π ) R, f () := 6π tg + 6, arctg
5. Valós függvények differenciálhányadosa (f) f : R+ R, f () = π cos 3 sin + + 7 ln. 6. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R R, f () := 7 +6 + π, (b) f : R+ R, f () := cos( + ), (c) f : (, 0) R, f () := arcsin( 7 + ), (d) f : R R, f () := cos, (e) f : R R, f() := ( + e ) sin 6, (f) f : R+ R, f () := sin, (g) f : R+ R, f () := ln ( 3 ln ), (h) f : R+ R, f () := arctg + 6, (i) f : ( 0, π ) R, f () := ln tg, (j) f : (e, + ) R, f () := ln ln ln, (k) f : R R, f() := sin (arctg 3 ) 6 cos (l) f : R+ R, f () := 4 7 + π, (m) f : R R, f () := 3 7 + arctg π, + (n) f : R R, f () := 3 + π ln 8 6, (o) f : ( π ) (, 0 0, π ) tg R, f () := log 6 +, (p) f : R+ R, f () := π 7 3 7 + 3 sin, ( (q) f : π, π ) 8 R, f () := e cos + 6 3 tg.
5. Valós függvények differenciálhányadosa 3 7. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R+ R, f () := (b) f : (0, π) R, f () := (sin ), (c) f : (0, π) R, f () := (sin ) cos, (d) f : (, + ) R, f () := (ln ), (e) f : R+ R, f () := ( ), (f) f : ( 0, π 4 ) R, f () := log cos. 8. Határozzuk meg a következő függvények negyedik deriváltját: (a) f : R R, f () := 4 + 3 + 6 +, (b) f : R R, f () := 3 + 6 + 0 +, (c) f : R R, f () := e + cos, (d) f : R R, f () := +, (e) f : R R, f () := sin. 9. Határozzuk meg a következő függvények n-edik differenciálhányadosát, ahol n tetszőleges természetes szám: (a) f : (, + ) R, f () := ln ( + ), (b) f : R R, f () = e +e, (c) f : R R f () = sin, (d) f : R R, f () := e.
4 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 6. A differenciálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: (a) 0 sin, (b) 0 e e sin, sin sin (c), 0 sin 5 5 (d), 0 e (e) 0 cos, (f) ( + 0+0 3).. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: (a) (b) + e, + ( + ) 3 arctg 6 (c), 0 5 (d) ln sin, (e) 0+0 0+0 sin,, Guillaume Francois Antoine de l Hospital (66 704) francia matematikus, Johann Bernoulli tanítványa. Bernoulli előadásai alapján írt könyvében Analyse des infiniment petits (696) szerepel ez a szabály, amely valójában Bernoullitól származik.
6. A differenciálszámítás alkalmazásai 5 (f) (g) 5, +0 + sin, 3. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: ( (a) 0+0 ) e. ( (b) 0 cos ), ( ( (c) ln + )), + ( ( (d) ln + e )), (e) (f) (g) (h) + (ln ) 3, + 004 + e, ( ) e sin, + π 0 (tg )cos. 4. Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) 0 sin sin, (b) + sin + sin. 5. Keressük meg a következő függvények abszolút és helyi szélsőértékeit: (a) f : R R, f() := 8 3 4 6 +, (b) f : [3, 8] R, f() := 4 40 + 80,
6 6. A differenciálszámítás alkalmazásai (c) f : [ ], 3 R, f() := + +, (d) f : [ 3, ] R, f() := 3 3 + 8, [ (e) f :, ] 5 R, f() := 5 5 3 +. 6. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot a következő függvényeken: (Vizsgáljuk meg a következő függvények monotonitását, szélsőérték helyeit, konveitását, paritását és periodicitását. Határozzuk meg a függvények határértékét a végtelenben (ha lehetséges) és a szakadási helyeken (ha vannak ilyenek). Rajzoljuk fel a függvény gráfját.) (a) f : R R, f() := 4, (b) f : R R, f() := 3 3, (c) f : R \ { } R, f() := 3 +, (d) f : R \ {0} R, f() := 3 +, (e) f : R+ R, f() := ln, (f) f : R+ R, f() := ln, (g) f : R \{} R, f() := + +, (h) f : R \{, } R, f() :=, (i) f : R \{} R, f() := 3 + 5, (j) f : R R, f() := e, (k) f : R \{0} R, f() := +, (l) f : R \{} R, f() := ( ), (m) f : R+ R, f() := ln,
6. A differenciálszámítás alkalmazásai 7 (n) f : R R, f() := { e, ha > 0, 0, egyébként. 7. Döbrögi szőlőt termel a birtokán fekvő napos dombokon. Azt tapasztalja, hogy az f() = 5 + 049 8 5 5 összefüggés adja meg, hogy kg trágya felhasználása után hány mázsa szőlő terem hektáronként. Mennyi trágyát használjon fel ahhoz, hogy a szüret után, a bevételből, a legtöbb pénzt tudja fizetni Ludas Matyinak a vásárban? Abban biztos lehet, hogy a szőlő ára aranytallér lesz, egy kg trágya pedig aranytallérba kerül. 0 8. A Matematika Tanszék repülőgépet szeretne rendelni a geometriai terepgyakorlatozók részére. A bérleti díj 0 utasra 6000 euró. Minden további személy 0 euró árengedményt kap. A repülőgép legfeljebb 60 személyt képes befogadni. Mennyi szponzori pénzt kell a Matematika Tanszéknek előzetesen összegyűjteni, hogy nyugodtan megrendelhesse ezt az utazást a résztvevők pontos számának ismerete nélkül? 9. Bergengóciában egy fa magasságát, a jelenlegi pillanattól kezdve, év múlva a következő összefüggés adja meg: f () = 8. Mikor lesz a fa a legmagasabb? 0. Egy folyó partján egy 568 m nagyságú, téglalap alakú telket kell elkeríteni. Mekkorára válasszuk a téglalap méreteit, hogy a legrövidebb kerítésre legyen szükségünk? (A partra értelemszerűen nem kell kerítés.). Egységnyi térfogatú és azonos falvastagságú söröskorsók közül melyiknek a gyártásához szükséges a legkevesebb üveg? (A korsót egyenes hengernek tekintjük.). Adott gömb köré írható egyenes kúpok közül melyiknek a legkisebb a térfogata? 3. Egy adott V térfogatú, négyzet alapú, felül nyitott tartályt akarunk készíteni. Mekkorára válasszuk a méreteket, hogy az elkészítéshez a legkevesebb lemezt kelljen felhasználni.
8 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 4. Osszuk fel a 8-at két részre úgy, hogy (a) négyzetösszegük minimális, (b) szorzatuk maimális legyen. 5. Valamely kör és négyzet kerületének összege állandó. Mutassuk meg, hogy a két síkidom területének összege akkor minimális, ha a kör átmérője egyenlő a négyzet oldalával.
7. Integrálszámítás 9 7. Integrálszámítás. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) ( 3 + 3 + 6 ) 7 d, I := R +, (b) (c) ( 3 5 + π ) 7 3 d, I := R +, 4 + + 3 d, I := R +, (d) (e) (f) + 3 d, I := R, + d, I := R, + 49 d, I := ( 9 3, 3).. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) sin cos d, I := R, (b) sin cos d, I := R, (c) e d, I := R, (d) cos 3 d, I := R, ( (e) tg d, I := π, π ).
30 7. Integrálszámítás 3. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: 3 (a) d, I := R, + + (b) 3 + 3 d, I := R +, (c) 5 ln d, I := (, + ), (d) (6 d, I := (0, + ), + 6) arctg (e) d I := (0, ), arcsin ( (f) tg 6 d, I := 0, π ), (g) e + e d, I := R, + (h) d I := R +. ( + 5) 4. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) log 5 d, I := (, + ), (b) 3 + 7 d, I := R +, (c) 5 d, I := R, + 3 (d) e 4 e + d, I := R, (e (e) + ) e + d, I := R,
7. Integrálszámítás 3 (f) (g) (h) ln d, I := (, + ), sin 5 (cos ) 6 d, I := R, sin 3 + sin d, I := R. 5. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat a parciális integrálásra vonatkozó tétel segítségével az adott I intervallumokon: (a) sin d, I := R, (b) ( + ) e d, I := R, (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) ( + ) e d, I := R, ( 3) cos 6 d, I := R, ln d, I := R +, arcsin 3 d, I := ( 3, 3), arctg d, I := R, ( + ) ln d, I := R +, e sin 3 d, I := R, e + sin d, I := R.
3 7. Integrálszámítás 6. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: 5 (a) + d, I := (, + ), 6 (b) d, I := (, 3), 3 (c) d, I := (, 3), 5 + 6 π + (d) 6 + 5 d, I := (5, + ), 5 (e) d, I := (, 3), 6 + 9 3 (f) d, I := R, + 4 + 5 5 7 (g) d, I := R, + 6 + (h) 4 d, I := R. + + 5 7. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) ( d, I := (, + ), + ) ( + ) (b) ( d, I := (, + ), + + ) ( ) (c) 3 3 d, I := (, 0), + + 6 (d) ( d, I := ( 7, + ), + 5) ( + 7) + + (e) 3 ( + + ) d, I := R +.
7. Integrálszámítás 33 8. Számítsuk ki a következő határozott integrálokat: (a) (b) (c) (d) π 0 r r π cos 5 d, ( + ) d, π(r ) d, ahol r R+, cos + sin d, (e) (f) π 4 0 0 arcsin d, arctg d.
34 8. Improprius integrál 8. Improprius integrál. Számítsuk ki a következő improprius integrálokat: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) + + + + + + + 0 7 d, d, α d, ahol α R, + d, + + 5 d, ln d, ( ) 3 d, (h) (i) + + + d, ( )e d,
8. Improprius integrál 35 (j) + (cos ) d. +. Határozzuk meg A értékét úgy, hogy az f() d = egyenlőség teljesüljön, ha (a) f : R R, f() := { Ae, ha 0, 0, ha < 0, (b) f : R R, f() := { A π(+ ), ha 0, 0, ha < 0, (c) f : R R, f() := { Ae, ha 0, 0, ha < 0. 3. Számítsuk ki a következő improprius integrálokat: (a) (b) (c) (d) 0 e 3 0 d, 4 ln d, ( ) d, 3 3 d,
36 8. Improprius integrál (e) 4 d.
MEGOLDÁSOK
38. Függvénytani alapismeretek. Függvénytani alapismeretek. (a) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait felhasználva adódik, hogy (A B) \ C = A B C c = A B C c C c = = (A C c ) (B C c ) = (A \ C) (B \ C). (b) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait és a de Morgan-féle azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy (A \ B) (A \ C) = (A B c ) (A C c ) = = (A B c A) C c = A (B c C c ) = = A (B C) c = A \ (B C). (c) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait és a de Morgan-féle azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy A \ (A \ (B \ C)) = A (A (B C c ) c ) c = = A (A (B c C)) c = A (A c (B c C) c ) = = A (A c (B C c )) = (A A c ) (A B C c ) = = A B C c. (A feladat megoldásában felhasználtuk, hogy tetszőleges A halmaz esetén (A c ) c = A.). (a) Mivel f = {(, 3), (, 4), (, 6), (, 7), (, 4), (, 6), (3, 6)}, így D f = {,, 3}, R f = {3, 4, 6, 7} és f = {(3, ), (4, ), (6, ), (7, ), (4, ), (6, ), (6, 3)}. (b) Mivel f = {(, 6), (0, 5), (, 3), (4, )}, így D f = {, 0,, 4}, R f = {, 3, 5, 6} és f = {(6, ), (5, 0), (3, ), (4, )}.
Megoldások 39 3. (a) Ha, y R esetén f() = f(y), azaz ha 5 + 6 = 5y + 6, akkor = y, tehát az ismert tétel miatt a függvény invertálható. Rögzített R esetén jelöljük f()-et y-nal. Az így kapott y = 5 + 6 egyenlőségben cseréljük fel és y szerepét, majd ebből fejezzük ki y-t. Azt kapjuk, hogy y = 6 ( 5). Mivel R f = R, így D f = R, tehát az f függvény inverze f : R R, f () := ( 5). 6 (b) Mivel f( ) = f() = 0, az f függvény nem invertálható. (c) A fentebb említett módszert követve kapjuk, hogy f : R \{} R, f () := +. (d) A fentebb említett módszert követve kapjuk, hogy f : R+ R, f () := log. (e) Mivel f(0) = f(π) =, az f függvény nem invertálható. A könnyebbség kedvéért vezessük be a következő jelöléseket. Jelentse H a belső pontok, H a határpontok, H k a külső pontok és H a torlódási pontok halmazát. 4. (a) sup H = 7, inf H =, H = (, ) (5, 7), H = {,, 5, 7}, H k = (, ) (, 5) (7, + ), = [, ] [5, 7]. H (b) sup H = 7, inf H =, H = (, 3), H = {3, 6, 7}, H k = (3, 6) (6, 7) (7, + ), H = (, 3]. (c) sup H 3 = +, inf H 3 =, H3 = (, 5) (5, + ), H 3 = {5}, H3 k =, H 3 = R. (d) sup H 4 = +, inf H 4 = 3, H4 = ( 3, ) (4, + ), H 4 = { 3,, 4}, H4 k = (, 3) (, 4), = [ 3, ] [4, + ). H 4
40. Függvénytani alapismeretek (e) sup H 5 = 0, inf H 5 = 3, H5 = ( 3, ) (, 4) (5, 0), H 5 = { 3,,, 4, 5, 0}, H5 k = (, 3) (, ) (4, 5) (0, + ), = [ 3, ] [, 4] [5, 0]. H 5 (f) sup H 6 = +, inf H 6 = 8, H6 = (, + ), H 6 = { 8, }, H6 k = (, 8) ( 8, ), H 6 = [, + ). 5. (a) sup H = +, inf H =, H =, H = R, H k =, H = R. (b) Megegyezik az előző feladat megoldásával. (c) sup H 3 = +, inf H 3 =, H 3 =, H 3 = N, H k 3 = R \ N, H 3 =. (d) sup H 4 =, inf H 4 = 0, H 4 =, H 4 = H 4 {0}, H k 4 = R \ (H 4 {0}), H 4 = {0}. (e) sup H 5 =, inf H 5 =, H 5 =, H 5 = H 5 {}, H k 5 = R \ (H 5 {}), H 5 = {}. (f) sup H 6 = 0, inf H 6 =, H 6 =, H 6 = H 6 { }, H k 6 = R \ (H 6 { }), H 6 = { }. 6. (a) f g : R R, (f g) () := +5 7, g f : R R, (g f) () := ( ) + 7 +. (b) f g : (0, π) R, (f g) () := sin, g f : R+ R, (g f) () := sin. (c) f g : [ 0, π ] R, (f g) () := sin cos, g f : [0, π] R, (g f) () := cos sin. (d) Ekkor g f = f g =. (e) f g : [, 3] R, (f g) () :=, g f : {} R, (g f) () :=.
Megoldások 4. Valós számsorozatok. (a) Könnyen belátható, hogy a sorozat határértéke 0. A kérdés megválaszolásához az n + 6 0 < 0 3 egyenlőtlenséget kell megoldanunk, melyből n > 994 adódik, azaz n > 44,6. Tehát a sorozat tagjai a 45. tagtól kezdve lesznek a határérték 0 3 sugarú környezetében. (b) A sorozat tagjai a 4 994. tagtól kezdve lesznek az adott környezetben. (c) A sorozat tagjai a 5. tagtól kezdve lesznek az adott környezetben.. (a) Belátjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Legyen ε R + tetszőleges, de rögzített és n N. Az ( ) n 0 n < ε egyenlőtlenségből n > ε adódik, azaz N(ε) = ε választással állításunkat igazoltuk. (b) Belátjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Legyen ε R + tetszőleges, de rögzített. Ekkor minden n N esetén amelyből N(ε) = ε sin n n 0 n, választással állításunk következik. (c) N(ε) = ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke.
4. Valós számsorozatok (d) Ha n N, n >, akkor n + n + n + < n. Ebből N(ε) = ma {, ε} választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke. (e) N(ε) = 3 ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 0. (f) N(ε) = 5 ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 6. ln ε (g) N(ε) = ln 0,5 választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 6. ln ε (h) N(ε) = ln 0, választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 5. 3. (a) Mind a számlálót, mind a nevezőt n 3 -nal osztva a n 3 5n + 8 n 3n 3 + n + 7 = 5 n + 8 n 3 n 3 + + 7 n n 3 egyenlőséget kapjuk, melyből a határérték 4-nek adódik. (b) A határérték 4 3. (c) A sorozat egy korlátos és egy nullsorozat szorzata, így a határértéke 0. (d) A számlálót és a nevezőt is n 3 -nal szorozva könnyen adódik, hogy a határérték. (e) A határérték 5. 4. (a) Könnyen adódik, hogy n ( ) 3n + 4 n = 3n 5 n ( + 4 ) n 3n ( 5 3n ) n = n ( + 4 3 n ) n ( 5 3 n ) n = e 3.
Megoldások 43 Megjegyezzük, hogy más úton is célba érhetünk, ha felhasználjuk a következő ismert tételt. Ha c n = 0, c n > és c n 0 n minden n N esetén, akkor ( + c n) cn = e. Ekkor n n = ( 3n + 4 3n 5 ( ( + 9 3n 5 (b) A határérték e 4 5, mivel ) n = n ) 3n 5 9 ( ) 3n 5 + 9 n = 3n 5 ) 9n 3n 5 = e 3. n = n ( 5n 5n + 3 ) n+ = n ( ( 4 5n + 3 ( ) (5n + 3) 4 n+ = 5n + 3 ) ) 3 5 ) 5n+3 ( 4 5n + 3 A második egyenlőségben felhasználtuk, hogy ( 4 ) =. n 5n + 3 (c) A határérték e 5 7. (d) n = n ( 6n 6n + 3 [ ( ) n +4 4 6n + 3 = e 4 5. ( ) 4 n +4 = n 6n = + 3 ) 6n + ] 3 [ ( ) 4 6n +3 ( ) ] 4 9 3 = n 6n + 3 6n = e 4 3. + 3 =
44. Valós számsorozatok (e) A határérték e 6. (f) Felhasználva az ( ) ( ) ( n = n + n) azonosságot a határérték -nek adódik. 5. (a) Felhasználjuk a konvergens sorozatok szorzatára vonatkozó tételt. Így n ( n + 3 3n Megjegyezzük, hogy ) 4n ( ) 4n ( n + 3 = n 3 n ) 4n = 0. n ( n + 3 n ) 4n ( ( = + 3 ) ) n 4 n n = e. (b) Felhasználjuk, hogy n qn = 0, ha q <. Így 3 n+ + n n 4 + 5 n = n 9 ( ) 3 n 5 + 4 4 ( 5 ( n ) 5) n = 0. + (c) A korlátos sorozatok és nullsorozatok szorzatára vonatkozó tétel miatt a határérték 0. Itt n és a koszinuszfüggvény korlátos. n 6 4n + = 0 (d) A határérték 0. (Lásd a (b) feladat megoldását!) 6. (a) Vizsgáljuk meg az a n+ a n különbséget. Az a n+ a n = (n + ) + 4 (n + ) + 3 n + 4 n + 3 = 5 (n + 5)(n + 3) < 0 egyenlőtlenségből következik, hogy a sorozat szigorúan monoton
Megoldások 45 csökkenő. Az n + 4 (n +,5) +,5 = = n + 3 n + 3 +,5 n + 3 átalakítást elvégezve is megkaphatjuk az állítást. Minden n N esetén < a n. (b) A sorozat szigorúan monoton növekvő. Minden n N esetén 3 a n < 3. (c) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. Ha n, akkor a n+ a n = n 3n + n 3n + 5 = ( 3n + )( 3n + 5) < 0, így a n+ < a n. Ebből minden n N esetén a a n 0 egyenlőtlenségrendszer adódik. (d) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A páros indeű tagok részsorozata monoton csökkenő sorozat, és minden k természetes szám esetén 0 < a k 3. A páratlan indeű tagok részsorozata monoton növekvő sorozat, és minden k N esetén 3 a k+ < 0. Azaz a sorozat korlátos, és minden n N esetén 3 a n 3. (e) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A sorozat korlátos, és minden n N esetén 3 a n 4 9. (f) Mivel a n > 0 és a n+ a n = 5 n + minden n-re, így n > 5 esetén a n+ < a n, míg n < 4 esetén a n+ > a n (a 4 = a 5 ). Ebből következik, hogy minden n természetes szám esetén 0 < a n 56 4!. Megjegyezzük, hogy 0 a sorozat értékkészletének a pontos alsó, és 56 4! pedig a pontos felső korlátja.
46. Valós számsorozatok (g) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A sorozat korlátos, és minden n N esetén a n 7. 7. (a) Az eredményt egyszerű átalakítással kapjuk: ( ( ) n + n) = n n + n + + n n n n + + n = = n n + + n = 0. (b) A megoldásban felhasználjuk az a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) azonosságot. ( 3 n 3 + 5 n) ( 3 (n 3 + 5) + n 3 ) n 3 + 5 + n n = n 3 (n 3 + 5) + n 3 = n 3 + 5 + n 5 (n 3 + 5) + n 3 = 0. n 3 + 5 + n 3 (c) A sorozat határértéke. ( ) n 3 3 + 4 n (d) Az a n = + n n 3 n 3 + n + 7 átalakítás után könnyen látható, hogy a n = +. n n ( ) n 4 6 3 + n (e) Az a n = n 4 n + n 7 átalakítás után könnyen látható, n hogy a n =. n (f) A sorozat határértéke 0, ami következő egyenlőségekből és a konvergens sorozatok szorzatára vonatkozó tételből következik. Azaz ( ) ( ( )) n n n n = = n n 3 n = n 3n ( ) ( n 3 n ) n,
Megoldások 47 és így n ( ) n = e. n (g) Mivel ( ) n n = n n e és az a n : N R, a n := ( ) n n n sorozat szigorúan monoton növekvő, ezért ( ) n n n < teljesül minden n N esetén. A közrefogási szabályból és a ( ) n 0 a n < egyenlőtlenségekből adódik, hogy a szóban forgó sorozat határértéke 0. 5 (h) Mivel a n = 5n + 9 9n 9 + 6 n > 9n 6 n = ( ) 3 n, így 8 a n = +. n 8. (a) A közrefogási szabályból és az < n n + 6n + 7 n 4n = n 4 ( n n ) egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték. (b) A közrefogási szabályból és az < 3n + 6n + 8n + < n 6n + 8n + n 5n = n 5 ( n n ), egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték. (c) A közrefogási szabályból és az 5 < n 4 n + 5 n < n 5 n < 5 n egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték 5.
48. Valós számsorozatok (d) A sorozat egy korlátos és egy nullsorozat szorzatára bontható, így a határértéke 0. (e) Az első n természetes szám összegére vonatkozó állítás felhasználásával kapjuk, hogy a n(n + ) n = n n n(n + 5) =. (f) Felhasználva az első n természetes szám négyzetének összegére vonatkozó állítást kapjuk, hogy a n(n + )(n + ) n = n n 6(n + )(n + ) = 3. 9. A sorozat nyilvánvalóan monoton növekvő. A teljes indukció módszerével igazoljuk, hogy a sorozat korlátos. Érvényesek az a = <, a = + a < + = egyenlőtlenségek. Tegyük fel, hogy a n <, ekkor az indukciós feltevésünket felhasználva kapjuk, hogy a n = + a n < + =. Mivel a sorozat korlátos és monoton, így konvergens. Az a n = + a n egyenlőségből következik, hogy a n = + a n. Jelölje a a sorozat határértékét. Felhasználva az előző egyenlőséget és azt, hogy konvergens sorozat részsorozatai is az eredeti sorozat határértékéhez konvergálnak, az a = + a összefüggéshez jutunk. Az egyenlet gyökei és. Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így a =.
Megoldások 49 3. Valós számsorok. (a) Mivel így n (n + ) = n minden n természetes szám esetén, n + s n = + 3 + + n(n + ) = = + 3 + + n n + = n +. ( A ) = egyenlőségből következik, hogy a sor n n + konvergens, és összege. (b) Bontsuk az kifejezést parciális törtekre. Az (n + ) (n + 3) (n + ) (n + 3) = = A n + + B (A + B) n + 3A + B = n + 3 (n + ) (n + 3) egyenlőségekből a A + B = 0, 3A + B = egyszerű lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Ebből az A =, B = értékek adódnak. Így s n = 3 5 + 5 7 + + (n + ) (n + 3) = = ( 3 5 + 5 n + + n + ) = n + 3 = 6 n + 3. ( A n 6 ) = egyenlőségből következik, hogy a sor n + 3 6 konvergens, és összege 6.
50 3. Valós számsorok Egyszerűbben megkaphatjuk az előző eredményt, ha észreveszszük, hogy (n + ) (n + 3) = (n + 3) (n + ) (n + ) (n + 3). (c) Az (a) feladatból rögtön következik, hogy a sor összege 4. Az előző megoldáshoz hasonló módon is belátható, hogy n (n + ) = ( n ) n + minden n N esetén. Így s n = ( 4 + 4 6 + + n ) = n + = 4 n +. ( Mivel n 4 ) = 4n + 4 4, a sor konvergens, és összege 4. (d) Bontsuk az kifejezést parciális törtekre. Az n (n + ) (n + ) n (n + ) (n + ) = A n + B n + + C n + = = (A + B + C) n + (3A + B + C) n + A n (n + ) (n + ) egyenlőségekből az A + B + C = 0, 3A + B + C = 0, A = lineáris egyenletrendszert kapjuk, amelyből az A =, B =, C = értékek adódnak, azaz n (n + ) (n + ) = ( n n + + ). n +
Megoldások 5 Most tekintsük az s n kifejezést és használjuk fel az előzőeket. Ekkor s n = 3 + + (n ) n (n + ) + + n (n + ) (n + ) = ( + 3 + 3 + 4 + + 3 + n n + n + ) + n n + + n + ( A n n + + n + hogy a sor konvergens, és összege 4. n n + n + + ). ( n + + n + = ) = egyenlőségből következik, 4 Megjegyezzük, hogy az összegzés könnyebben átlátható, ha a kapott törteket hármas csoportokban egymás alá írjuk. (e) Mivel 3 n n = 3 (n ) (n + ) = n n + minden n N esetén, így A s n = 4 + 5 + 3 6 + 4 7 + + n 4 n + n 3 n + n n + = = + + 3 n n n +. ( n 6 n n ) = n + 6 egyenlőségből következik, hogy a sor konvergens, és összege 6.
5 3. Valós számsorok. (a) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk a feladat végeredményét: n=0 ( 7 n + 5 ) 3 n = n=0 ( ) n + 5 7 n=0 ( ) n = 6 3 3. (b) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk a feladat megoldását: n= n=0 = 6n+5 6 5 n= ( 36) ( ) n = 36 6 5 36 = 35 6 7. (c) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk, hogy ( + ( ) n 3 5 n+ = ( ) n ( + ) ) n = 5 5 5 5 36. n=0 (d) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk, hogy n=0 cos nπ 3 n = ( ) n 3 n = n=0 n=0 ( ) n = 3 3 4. (e) Mivel sin n π + cos nπ 4 n+3 = 64 n=0 n=0 ( sin n π 4 n + ) cos nπ 4 n, a feladat megoldását két konvergens sor összegéből kapjuk. Felhasználva a cos nπ ( ) n 4 n = 4 n = 4 5 n=0 n=0
Megoldások 53 és a n=0 sin n π 4 n = n=0 ( ) 4n+ 4 n=0 ( ) 4n+3 = 4 4 7 egyenlőségeket, az eredmény 680. (f) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk meg a feladat végeredményét: ( 3) n + n n=0 8 6 n = 8 ( n=0 ( 3 6) n + ( ) ) n = 3 6 48. (g) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk meg a feladat végeredményét: nπ cos n 3 = 3n + n=0 n=0 n=0 ( ) n = ( ) n 8 4 8 8 n=0 n=0 3n+ + n=0 n=0 ( ) n = 5 8 7. 3n+ = ( 3. (a) Mivel n ) n ( ) n n = n n n = e, a sorok konvergenciájának szükséges feltétele nem teljesül, tehát a sor divergens. n+ (b) Mivel n n+3 =, az előző indok alapján a sor divergens. (c) Mivel n 0, 00 =, az (a) feladatban említett indok alapján n a sor divergens. (d) Mivel n, 0n = +, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens. (e) Mivel n n 0 5 n = n 0 5 ( n n) = 0 5, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens.
54 3. Valós számsorok (f) Mivel az a n : N R, a n := (cos nπ) n+ n+ 5n = ( )n 5n sorozat divergens, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens. 4. (a) Mivel a n+ a n 5 (n + ) 3 n n! = 3 n+ (n + )! 5n = (n + ) n! 3 (n + ) n!n = 0, ezért a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (b) Mivel és 3 e a n+ a n = 3 ( n+ n = 3 3n n+ (n + ) n!nn (n + ) 3 n n! = ) n = 3 e, >, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor divergens. (c) Mivel a n+ 0, n+ n! 0, a n = = (n + )! 0, n n + = 0, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (d) Mivel n 5 n n 7 = 5 ( n n ) 7 = 5 >, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium szerint divergens. A sor divergenciája nyilvánvalóan adódik abból a tényből is, hogy n 5n n 7 = +.
Megoldások 55 (e) Határozzuk meg a a n+ a n értékét. Mivel (n + ) n! (n)! (n + ) (n + ) (n)!n! = n + 4n + 6n + = 0, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (f) Mivel n 5 a n = 3 5 n n (6n ) 7 n = 5 n 5 3 7 n 6n = 5 7 <, így a Cauchy-féle gyökkritérium szerint a sor abszolút konvergens. Az < n 6n < n 6n = n 6 n n egyenlőtlenségekből és a közrefogási szabályból adódik, hogy n 6n =. n 5. (a) Minden n N esetén 6n = n 6n < n + 3 n + 5n. Legyen b n : N R, b n := 6n. Ekkor 0 < b n < n+3 n(n+5) minden n N esetén, és a b n = 6 n sor divergens. Így a minoráns kritérium szerint a sor divergens. (b) Mivel n+3 n(n+5) n a n = n 3 n (5n + ) 3 n = n 3 3 n 5n + = 3 <, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium miatt konvergens. Az < n 5n + n 6n = n 6 n n egyenlőtlenségből és a közrefogási szabályból adódik, hogy n 5n + =. n
56 3. Valós számsorok (c) Mivel n n n n) a n = n 3 n = ( = 3 3 <, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium miatt konvergens. (d) Minden n N esetén n n 4 + n + < n n 4 = n 3. Legyen b n : N R, b n :=. Ekkor 0 n n 3 n 4 +n + minden n N esetén, és a b n = n 3 < b n sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt a n sor abszolút konvergens. n 4 +n + (e) Határozzuk meg a értékét. Mivel a n+ a n e n e (n + )! (n + 3) (n + ) (n + )!e n = = e (4n + 0n + 6) = 0, így a sor a d Alembert-féle hányadoskritérium miatt abszolút konvergens. (f) Minden n N, n esetén n < n. Legyen most b n : N R, b n := n. Ekkor 0 < b n < n minden n N, n esetén, és a b n = n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a 6. (a) Minden n N esetén arctg n n + n + < n π n + n + < sor divergens. π 4n.
Megoldások 57 Legyen b n : N R, b n = π 4. Ekkor 0 < n arctg n n +n+ < b n minden n N esetén, és a b n = π 4 sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt az adott sor konvergens. (b) Határozzuk meg a értékét. Mivel a n+ a n (n + ) n! e n n n ee n (n + ) (n + ) n = n! e n ( n+ n ) n = e <, így a d Alembert féle hányadoskritérium miatt az adott sor konvergens. (c) Minden n N esetén 3 3 3 3 n < n + 3 n + n +. Legyen b n : N R, b n := 3. Ekkor 0 < b 3n n < 3 n+ 3 n +n+ minden n N esetén, és a b n = 3 3 3 n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a sor divergens. 3 n+ 3 n +n+ (d) Minden n N esetén (arcsin n) n 4 + < π n 4. Legyen b n : N R, b n := π. Ekkor 0 < n arcsin n 4 n 4 + b n minden n N esetén, és a b n = π sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt a (e) Minden n N esetén arcsin n n 4 + n 4 n + 3 n 4 + 3n + 4 > 3 n. sor konvergens.
58 3. Valós számsorok Legyen b n : N R, b n := 3 n. Ekkor 0 < b n+ n < 3 n 4 +3n+4 minden n N esetén, és a b n = 3 n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a n+ 3 n 4 +3n+4 sor divergens. (f) A Cauchy-féle gyökkritérium alkalmazásával egyszerűen igazolható, hogy a sor abszolút konvergens. (g) Könnyen belátható, hogy az a n : N R, a n := n+ n(n+3) sorozat monoton csökkenő nullsorozat. A váltakozó előjelű sorokra vonatkozó Leibniz-tétel miatt a sorozat konvergens. (h) Az előző feladathoz hasonlóan igazolható, hogy a sorozat konvergens.
Megoldások 59 4. Valós függvények határértéke. (a) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 3 (4 + ) ( + cos ) ( cos ) ( + cos ) = (4 + ) ( + cos ) 0 ( cos = ) = 0 sin (4 + ) ( + cos ) =. (b) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 3 ( + ) ( + cos ) 5 ( cos ) ( + cos ) = ( + ) ( + cos ) 0 5 ( cos = ) = 0 5 sin ( + ) ( + cos ) = 4 5. (c) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz ( cos 3) ( + cos 3) cos 3 0 = cos ( + cos 3) 0 cos ( + cos 3) = = 0 = 0 9 sin 3 cos ( + cos 3) = ( sin 3 3 ) cos ( + cos 3) = 9. sin (d) A 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű
60 4. Valós függvények határértéke átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz (e) A 0 ( cos 5) ( + cos 5) ( + cos ) ( + cos 5) = cos 5 = 0 ( + cos ) ( + cos 5) = = 0 sin 0 = 0 5 sin 5 ( + cos ) ( + cos 5) = ( sin 5 5 ) ( + cos ) ( + cos 5) = 5 4. = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 (f) A sin cos sin 3 = cos 0 sin sin cos = 0 3 cos sin sin = 0 3 cos ( + cos ) = ( sin = 0 sin 0 sin sin cos cos 3 cos = sin ( cos ) + cos = 0 3 cos + cos = ) 3 cos ( + cos ) =. = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 = 0 sin ( cos ) + cos 3 cos 3 + cos = sin sin 3 cos 3 ( + cos ) = ( sin = 0 ) 3 cos 3 ( + cos ) = 4.
Megoldások 6 (g) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz (h) A sin (cos ) 0 sin = 0 sin 0 sin (cos ) cos = 0 sin = cos ( cos ) cos ( sin ) cos = = 0. sin (cos + ) 0 sin ( + cos ) = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 sin m n m m sin n n = 0 sin m m n sin n m n = m n.. (a) A kifejezést a eredményt: +a+ +b +a+ +b + hányadossal bővítve kapjuk az + a b + a + + b = (a b) = + + a + + b = = + a b + a + + b = a b. (b) Az előző feladat megoldásában alkalmazott ötlet segítségével adódik a megoldás: 9 + 9 + 9 + + 3 = = + 9 + + 3 = 6. + 9 + + 3 =
6 4. Valós függvények határértéke (c) (d) + + =. 7 + 6 6 ( 3) ( + 3) = +. + 3 (e) A határérték 6. (f) A határérték. 3. (a) A határérték. (b) (c) (d) + + + 5 + 4 6 3 3 + 3 + 4 7 + + + 3 3 + + 6 + = 6. + 3 (e) A határérték. = +. = 0. (f) Egyszerű bővítéssel adódik az eredmény: 0 ( + 3 3 = 0 + 3 3 ( + 3 + 3 ) = = 3. + 3 + 3 + 3 + 3 ) =
Megoldások 63 (g) Egyszerű bővítéssel adódik az eredmény: ( ) + 4 + 4 + = 0 + 4 + + 4 4 = ( 0 ) = 0. + 4 + 4. (a) (b) + + = + [ ( + + = + + + = 0. [ ( + 5 + 5 + 5 + = ) ] + + + + ) ] + 5 + + 5 + + = = 5 + 5 + = 5. (c) + = + [ ( + a + a + a + = ) ] + a + + a + + = a + a + = a. (d) Használjuk fel az a 3 b 3 = (a b)(a +ab+b ) azonosságot. Bővítsünk a 3 ( +a) + 3 ( +a)( a)+ 3 ( a) 3( +a) + 3 ( +a)( a)+ 3 kifejezéssel. Ekkor ( a) a ( + a) + 3 = 0. 4 a + ( 3 a) + 3
64 4. Valós függvények határértéke (e) Használjuk fel a + = + [ (4 + 4 3 ( + + ) = e ismert határértéket: ) ( ) ] 4 + 5 = 4 3 (4 ) + 4 = 4 3 + ( + 4 3 4 Egy lehetséges másik út a megoldáshoz a következő: ) 4 = e 5. + = e 5. ( ) [ 4 + +5 ( = + 5 ) ] +5 4 3 4 3 4 3 + 4 3 = (f) Az előző feladathoz hasonlóan: + = + ( ) + 6 5 ( + 6 + + 5 3 = e 5. ) = + ( ) 6 5 = (g) Az előzőekhez hasonló módon: ( 5 π + 5 + ( π = + + ) 4 ( 5 ) π 5 + = ) 4 5 5 (e ) π 4 = 5. 5 5 e
Megoldások 65 (h) A megoldás az előzőekhez hasonló módon történik. + ( ) 3 + 4 = + 3 ( ) = e 7 3 = 0. + 3 ( ) 3 + + 4 3 = 5. A = 4 π. 6. (a) Használjuk fel azt, hogy +0 = +, illetve 0 =. Így +0 0 ( ( + ) ) = +, ( ( + ) ) =. (b) Az előző feladathoz hasonlóan oldható meg. Ekkor ( ) =, + ( ) = +, + ( ) =, + ( ) = +. + +0 0 +0 0
66 4. Valós függvények határértéke (c) (d) 0+0 +0 +0 0 4+0 4 0 ( ( + ) 4 ( ( + ) 4 ( ( + ) ( ( + ) ( ) + 3 =, ( ) + 3 (e) Felhasználjuk az ismert (f) illetve 0+0 ) =, ( ) ) = +, ( ) ) = +, ( 4) ) =. ( 4) 0 0 = +, 0 0+0 = +, + 3 = +, határértékeket. ( Ekkor ) ( + 3) 7. (a) 3+0 (b) 3 + ( ) + 3 = +, ( ) + 3 =. 0 0 =, 3 = 0 ( = 0, ( + 3) 0 0 5 5 = + 5 5 = 0. +0 0 +0 + = +, 3 3 0 ( ) = +0 + 3 = +. ) = 3. 3 + 3 =.
Megoldások 67 (c) (d) 0 ( ) = 0 arctg 0+0 = π, 0+0 arcsin = +, arctg 0 0 = π. 0 0 arcsin =. =.
68 5. Valós függvények differenciálhányadosa 5. Valós függvények differenciálhányadosa. (a) Legyen 0 tetszőleges valós szám. Ekkor f () f ( 0 ) 3 + ( + = 0 + 0 + ) = 0 0 0 0 3 3 0 = + 0 = 0 ( 0 ( 0 ) + 0 + ) 0 + ( 0 ) ( + 0 ) = = 0 ( 0 = + 0 + ) 0 + + 0 = 3 0 + 4 0, 0 azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) = 3 0 + 4 0. (b) Legyen 0 tetszőleges valós szám. Ekkor g () g ( 0 ) = 0 0 = 0 + + 3 ( 0 + 0 + 3) 0 = = 0 ( 0 )( + 0 ) + ( 0 ) 0 = 0 +, azaz a g függvény differenciálható 0 -ban, és g ( 0 ) = 0 +.. Legyen 0 0 tetszőleges valós szám. Ekkor f () f ( 0 ) = 0 0 0 = = 0 0, 0 0 0 = 0 0 0 0 = azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) =. 0
Megoldások 69 3. Legyen 0 tetszőleges valós szám, ekkor f () f ( 0 ) n n 0 = = 0 0 0 0 ( 0 )( n + n 0 + + n = 0 0 0 ) = n n 0, azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) = n n 0. 4. (a) Mivel és f () f ( 0 ) = 0+0 0 0+0 =, f () f ( 0 ) = 0 0 0 0 0 =, azaz a függvény jobb és bal oldali differenciálhányadosa az 0 = 0 pontban nem egyenlő. Tehát a függvény az adott pontban nem differenciálható. (b) Tekintsük a függvény 0 = 0 ponthoz tartozó differenciahányadosát: = sin 0. g () g ( 0 ) Ha n : N R, n := (n )π, akkor az n sorozat nullához konvergál. Ebben az esetben a hozzá tartozó sin n sorozat nem konvergens, így a g függvény az adott pontban nem differenciálható. (c) Mivel h () h ( 0 ) sin = =, 0+0 0 0+0
70 5. Valós függvények differenciálhányadosa és h () h ( 0 ) sin = =, 0 0 0 0 0 azaz a h függvény jobb és bal oldali differenciálhányadosa a 0 pontban nem egyenlő, a függvény az adott pontban nem differenciálható. A fejezet további feladataiban a D f = D f egyenlőség miatt nem adjuk meg az f értelmezési tartományát. 5. (a) f () = 5 4 + 3 4 4 + 83 0. 3 (b) f () = 4 6 + 5 π. (c) f () = sin ( + 6 3 ) + ( cos + ) ( + 6 3 ln 3). (d) f () = ( + + ) (5 + ) + (ln + arctg ) ( ln ). (e) f () = 6 π cos arctg ( 6π tg + 6 ) + arctg. ( ) π sin 3 cos + ( (f) f + 7 ln ) () = ( + 7 ln ) (π cos 3 sin + ) ( + 4 ln ( )) ( + 7 ln ). 6. (a) f () = 7 +6 ln 7. (b) f () = sin ( + ) ( ) +. (c) f () = ( 7 + ) 76. (d) f () = cos ( sin ). (e) f () = sin 6 + ( + e ) 6 sin 5 cos. (f) f () = sin ln cos.
Megoldások 7 (g) f () = ( 3 3 ln + 3 ln ln 3 ). ln (h) f 6 4 ( + )3 () = + + 6 + 36 (i) f () = 4 (ln tg ) tg cos. (j) f () = ln ln ln. (k) f () = sin (arctg 3 ) cos (arctg 3 ) +( 3 ). 3 3. (l) A függvény differenciálhányadosát a következő kifejezés adja: 7 + π 4 cos 3 ( sin ) (7 + π) cos 4 6 cos 4 (7 + π). (m) f () = ( 7 3 π + 3 4 + ) + 4. (n) f () = 0, mivel f konstansfüggvény. (o) f () = ln 6 tg + tg cos ( + ) tg ln ( + ). (p) Mivel f() = π 4 + 7 3 sin, így f () = π 4 4 7 (ln 3) cos 4 4 3 3sin 3 sin. (q) f () = 8 ( e cos ( sin ) + 6 3 tg ln 3 ) cos (e cos + 6 3 tg ). 7. (a) Végezzük el az = e ln = e ln átalakításokat, majd alkalmazzuk az összetett, illetve szorzatfüggvényre vonatkozó differenciálási szabályokat. Így f () = e ln (ln + ) = (ln + ).
7 5. Valós függvények differenciálhányadosa (b) Az előző példa alapján kapjuk, hogy f () = e ln sin ( ln sin + sin cos ). Az eredményt felírhatjuk f () = (sin ) ( ln sin + sin cos ) alakban is. (c) Az előzőek alapján kapjuk, hogy f () = e cos ln sin ( sin ln sin + cos sin cos ). (d) Az előzőek alapján kapjuk, hogy ( ) f () = e ln ln ln ln + ln. (e) Az előzőek alapján kapjuk, hogy f () = e ln ( ln + ). (f) Térjünk át természetes alapú logaritmusra, majd alkalmazzuk az összetett, illetve a hányados függvényre vonatkozó differenciálási szabályokat. Így f() = ln cos ln és f cos () = ( sin ) ln ln cos ln. 8. (a) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = 4 3 + 6 + 6, f () = +, f (3) () = 4 +, f (4) () = 4. (b) Könnyen belátható, hogy f (4) () = 0, minden R esetén. (c) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = e + ( sin ), f () = 4e + ( cos ), f (3) () = 8e + sin, f (4) () = 6e + cos. (d) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () =, f () = 8, ( +) ( +) 3 ( +) f (3) () = 483 + 4, f (4) () = 3844 88 + 4. ( +) 4 ( +) 3 ( +) 5 ( +) 4 ( +) 3 (e) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = sin + cos, f () = cos sin, f (3) () = 3 sin cos, f (4) () = 4 cos + sin.
Megoldások 73 9. (a) Az első néhány differenciálhányados a következő: f () = +, f () = ( + ), f (3) () = ( ) ( ) ( + ) 3, f (4) () = ( ) ( ) ( 3) ( + ) 4. Azt állítjuk, hogy f (n) () = ( ) n (n )! ( + ) n minden n N esetén. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Az előzőekből következik, hogy n = esetén igaz az állítás. Legyen n >. Megmutatjuk, hogy ha valamely n természetes számra igaz az állítás, akkor igaz (n + )-re is. Az n-edik differenciálhányados deriváltjából egyszerűen következik az állítás, azaz f (n+) () = ( ) n n! ( + ) (n+), és ezzel az állítást bizonyítottuk. (b) Az előzőhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy { minden R esetén e f (n) +e () =, ha n páros, e e, ha n páratlan. Az f : R R, f() := e e függvényt szinusz hiperbolikusz függvénynek, az f : R R, f() := e +e függvényt koszinusz hiperbolikusz függvénynek nevezzük. (c) Az előzőhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy minden R és k N {0} esetén n cos + sin, ha n = 4k, f (n) n sin + cos, ha n = 4k +, () = n cos sin, ha n = 4k +, n sin cos, ha n = 4k + 3. (d) Az előzőekhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy minden R esetén f (n) () = e ( + n + n (n ) ).
74 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 6. A differenciálszámítás alkalmazásai. (a) A határérték. (b) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával szá- e mítható ki. Így e 0 sin = 0 e +e cos =. (c) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki. Így sin sin cos cos = = 0 sin 5 0 5 cos 5 5. Természetesen néhány esetben a l Hospital-szabály alkalmazása nélkül is célba jutunk. Ebben az esetben járható lenne a következő út is: sin sin sin ( cos ) = = 0 sin 5 0 sin 5 sin = 0 sin 5 ( cos ) = 5. sin Felhasználjuk, hogy 0 sin 5 = 5 5 sin 0 sin 5 = 5. (d) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki a határérték. Így ln 5 ln 5 0 = ln 5 ln. (e) A határérték, mivel a 0 sin e 0 ( cos sin ) = e 0 sin = ( e ) ( = 0 sin sin = e ), 0 sin sin = ismert határérték, a második tényezőre pedig alkalmazhatjuk a l Hospital-szabályt.
Megoldások 75 (f) A határérték típusú. Egyszerű átalakítás után a kitevőre alkalmazzuk a l Hospital-szabályt, és felhasználjuk, hogy az eponenciális függvény folytonos. Így ( + 0+0 3) = 0+0 e( ) ln(+3) = e ln(+3) = 0+0 = e 6.. (a) + e = + e = 0. (b) A határérték típusú. Végezzük el a ( + 3 + ) = = + e3 ln(+ ) átalakítást, majd a kitevőben lévő kifejezésre (némi átalakítás után) alkalmazzuk a l Hospital-szabályt. Így + = + ln ( + ) = 3 ( ) + + ( ) 3 4 = + 3 4 = 3 + 3 + = +. Az e alapú eponenciális függvénynek a + -ben vett határértéke adja a feladat megoldását, azaz a kérdéses határérték +. (c) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki a határérték. Így 6 +(6) 0 5 = 6 5. (d) A határérték ( ) 0 típusú. Egy egyszerű átalakítás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így ln 0+0 sin = 0+0 sin = 0+0 cos = (sin ) cos = 0+0 sin 0+0 cos sin sin = 0. cos =
76 6. A differenciálszámítás alkalmazásai (e) A határérték 0 0 típusú. Végezzük el a 0+0 sin = sin eln 0+0 átalakítást. Az előző feladat és az eponenciális függvény folytonosságának felhasználásával a határérték -nek adódik. (f) A határérték típusú. Egy egyszerű átalakítás után alkalmazzuk a l Hospital szabályt, és így 5 = e 5 ln = e 5. +0 +0 (g) A határérték 0 típusú. Egy egyszerű átalakítás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt: sin + = + = + cos = +. ( ) ( ) cos 3 = cos + Érdemes megemlíteni a feladat megoldásának egy másik lehetséges útját is, ami azért érdekes, mert megmutatja számunkra, hogy a l Hospital-szabály mellőzésével is célba érhetünk. Végezzük el a t := helyettesítést. Ekkor = sin + = sin + sin t = = +. t 0+0 t t 3. (a) A határérték típusú. Közös nevezőre hozás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így e e 0+0 e = 0+0 e = 0.
Megoldások 77 (b) A határérték típusú. Közös nevezőre hozás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így cos sin 0 = 0 =. (c) A határérték típusú. Az azonos alapú logaritmusokra vonatkozó azonosságok miatt ln e ln ( + ) e = ln +. Ebben az esetben a l Hospital-szabály kétszeri alkalmazásával és a természetes alapú logaritmusfüggvény tulajdonságainak felhasználásával érhetünk célba. Így és + e + + = e + = ( ln e ln ( + )) = + ln e + = +, e + = +. (d) A határérték típusú. Az azonos alapú logaritmusokra vonatkozó azonosságok miatt ln e ln ( + e ) = ln e. +e A l Hospital-szabály háromszori alkalmazásával és a logaritmusfüggvény tulajdonságainak felhasználásával kapjuk meg az eredményt. Így és + + e + e = 8e + e 4 + e = = + e = + 8e = +, ( ln e ln ( + e )) = +. + 4e 4 + e = (e) A határérték típusú, a l Hospital-szabály háromszori alkalmazásával számítható ki a határérték. Így 3 (ln ) + = 6 + (ln ) = 3 + ln = 6 + = 0. (ln ) = 3 + =