Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév
2
. fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a = 5n+4, n N b = (7 2n, n N) ( c = sin(n π ) 2 ), n N d = ( 2 n, n N).2. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε = 0,02 sugarú környezetébe! ( ) n+2 a = n+ ; n N ( ) 7n b = 2n ; n N ( ) 6n c = 2 n ; n N
4. FEJEZET. ELSŐ HÉT
2. fejezet Második hét 2.. Házi Feladatok 2.. Házi Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján számítsuk ki a következő határértékeket! n a) lim 2 2n +8 n 2n 2 7 b) lim n 2 n 5 2 2n+2 4 2 n +5 n+2 c) lim n ( n+ n ) d) lim n (n 9n 2 +n 2) e) lim 2 + 2 + +(2n ) 2 n n f) lim ( )n n n g) lim n h) lim n n i) lim n n j) lim n ( n+5 n ) 2n+ ( n 2 n+ n 2 +n+ 7+ n+2 n2 +5n n 7 ) n n ( n n+5 ) n 2 k) lim n n n +2 n n 2 4 n n+ 2 n n 2 5
6 2. FEJEZET. MÁSODIK HÉT
. fejezet Harmadik hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Az átviteli-elv segítségével igazoljuk a következő határértékeket. 7x 2 +x 2 a) lim = b) lim (5x+2) = c) lim x 2x x x x+ =.2. Házi Feladat. Határozzuk meg a műveleti tulajdonságok alapján következő határértékeket, ha léteznek! a) lim x (x+7)5 2x 2 x+5 b) lim x x 2 +2x x 4x 2 +2 c) lim x 5x 2 +7x d) lim x 2 x+ 4 x +2 x 2 2 2x + 2 x+ 4 x +2 e) lim x x 2 2 2x + j) lim x 2 x x 2 0x+24 x 4x 2 +x+6 2 k) lim x 2 x 2 l) lim x 2 2 (x 2) 2 tgx m) lim x 0 sin 4x f) lim (x 2 x 4 2x) x ( ) x 2x g) lim x 2x 2 ( ) x 2 2x 2x h) lim x x 2 + i) lim x x 2 2x+ x 7
8. FEJEZET. HARMADIK HÉT
4. fejezet Negyedik hét 4.. Házi Feladatok 4.. Házi Feladat. Jellemezzük az alábbi grafikonnal adott függvényt folytonosság szempontjából! Ahol a függvény nem folytonos, adjuk meg a szakadás típusát! Adjuk meg a kérdéses függvényhatárértékeket, ahol nem létezik a határérték, vizsgáljuk az egyoldali határértékeket: lim f(x) =?, lim x f(x) =?, lim x 4 f(x) =?, lim x f(x) =?, x 2 lim f(x) =?, lim f(x) =?, lim f(x) =?, lim f(x) =? x 0 x x 2 x 9
0 4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT 4.. Feladat. Adjuk meg a következő függvények inverzét. Ha a függvény nem invertálható, szűkítsük le egy olyan halmazra, amelyen már létezik inverze. Adjuk meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét. a) f(x) = log 2( x+)+ b) f(x) = 27x 2 6x+0 ( c) f(x) = sin x+ π ) +2 4 d) f(x) = 2x 5 2 e) f(x) = 2arctg( 2x+)+ π ( f) f(x) = tg 2 x+ π ) 5 2 4.2. Megoldások 4.2. Házi Feladat. Adjuk meg a következő függvények inverzét. Ha a függvény nem invertálható, szűkítsük le egy olyan halmazra, amelyen már létezik inverze. Adjuk meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét. a) f(x) = log 2( x+)+ Megoldás. Értelmezési tartomány meghatározása: x+ > 0 > x D f = {x R x < } Mivel f a log 2 x függvény lineáris transzformáltja, ezért minden valós értéket felvesz, azaz R f = R. Mivel f szigorúan monoton csökkenő (vagy mert a log 2 x függvény lineáris transzformáltja), ezért kölcsönösen egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományon invertálható: y = log 2( x+)+ (y ) = log 2 ( x+) 2 (y ) = x+ 2 (y ) + = x = f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f(x) = y = 2 (x ) +. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f = R f = R R f = D f = {x R x < }
4.2. MEGOLDÁSOK b) f(x) = 27x 2 6x+0 Megoldás. Mivel f egy polinom, ezért D f = R. Az érték készlet és az invertálhatóság vizsgálatához alakítsuk a másodfokú kifejezést teljes-négyzetté: f(x) = 27x 2 6x+0 = ( 27x 8 27 ) 2 2+0 = ( x 8 ) 2 2 = Ekkor = ( ) 8 2 x 2 = ( ) 2 (x 2) 2 2 = (x 2) 2 2 9 α 2 0 α R (x 2) 2 0 x R / (x 2) 2 0 / 2 (x 2) 2 2 2 Ebből következik, hogy az értékkészlet: R f = {y y R, y 2}. Az f függvény a g(x) = x 2 függvény lineáris transzformációjával keletkezett. Mivel g páros függvény, ezért f több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. 4.. Megjegyzés. A fenti eszmefuttatás helyett elegendő lenne mutatni két olyan értelmezési tartománybeli elemet (x, x 2 ), ahol a függvény ugyazt az értéket veszi fel. (f(x ) = f(x 2 )). Például most x = 0 és x 2 = 4, mert ekkor f(x ) = ( 0 2) 2 2 = 0 = ( 4 2)2 2. Ekkor azonban nehezebben látható, hogy milyen szűkített értelmezési tartományt érdemes választani. Le kell szűkíteni az értelmezési tartományt. A függvény grafikonja egy parabola, melynek talppontja az x 0 = 2 helyen van. A leszűkített értelmezési tartomány tehát vagy ( ], 2 vagy [ 2, ). Legyen D fsz = {x x R, x 2 }, ekkor R fsz = R f. Az f függvény a D fsz halmazon szigorúan monoton csökkenő, így kölcsönösen egyértelmű. Ezen a halmazon már invertálható. 4.2. Megjegyzés. Igyekszünk olyan új értelmezési tartományt választani, melyen a függvény kölcsönösen egyértelmű és felveszi a teljes értékkészletét. Most már elvégezhető az invertálás: y = (x 2) 2 2 y +2 = (x 2) 2 y +2 ± = x 2
2 4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT Mivel minden x D fsz elem esetén x 2 negatív, ezért a fenti több-értelmű leképezés negatív ágát választjuk: y +2 2 y +2 = x 2 = x = f(y) Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: x+2 f(x) = y = 2 Az inverz függvény értelmezés tartománya és értékkészlet meghatározható önálló feladatként is, vagy származtathatók a D f = R fsz R f = D fsz összefüggések alapján: x+2 0 x 2 D f = {x x Rx 2} = R fsz α 0 α R+ x+2 x+2 2 x+2 0 0 2, R f = {y y R, y 2 } = D fsz. 4.. Megjegyzés. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az f függvényt és f inverzét. Az alábbi ábrán kék színnel látjuk az f azon ágát, melyen az inverziót végrehajtottuk (x 2) és sárgával az (x > 2 ) ágat, zölddel rajzoltuk az f függvényt és segítségül berajzoltuk az y = x egyenest is (pirossal).
4.2. MEGOLDÁSOK ( c) f(x) = sin x+ π ) +2 4 Megoldás. Mivel az f a sin x függvény lineáris transzformáltja, ezért minden valós helyen értelmezett, így D f = R. Az értékkészlet meghatározásakor a sin függvény ismert korlátaiból indulhatunk ki: Ebből következik, hogy az értékkészlet: sin α α R sin ( ) x+ π x R 4 sin ( ) x+ π 4 5 sin ( ) x+ π 4 +2. R f = {y y R, y 5}. Az f függvény periodikus függvény, ezért több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. A sin α függvényt a π 2 α π 2 feltétel mellett szűkítjük le: π 2 x+ π 4 π 2 4 π x π 4 4 π x π 4 Legyen tehát D fsz = ( π 4, 4 π). Ezen az intervallumon az f függvény szigorúan monoton növő és az eredeti értékkészletének minden elemét felveszi: R fsz = R f = (, 5).
4 4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT Mivel a D fsz halmazon f kölcsönösen egyértelmű, ezért itt már invertálható: ( y = sin x+ π ) +2 4 y 2 = sin( x+ π 4 ) ( ) 2 y arcsin = x+ π 4 ( ) 2 y arcsin + π = x = f(y) 4 Formális betűcsere után megkapható a függvény inverze: ( ) 2 x f(x) = y = arcsin + π 4. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f = R fsz = (, 5) ( R f = D fsz = π ) 4, 4 π
5. fejezet Ötödik hét 5.. Házi Feladatok 5.. Házi Feladat. Adjuk meg az alábbi függvények deriváltfüggvényét..) f(x) = e x (sin x+cos x) 2.) f(x) = 5 x ln x+ 2 x.) f(x) = sin x+ x cos x+cos π 4 4.) f(x) = 5 sin x +cos x 5.) f(x) = sin x+cos x sin x cos x 6.) f(x) = ex cos x x e x 7.) f(x) = sin x 2 8.) f(x) = sin 2 x x 9.) f(x) = arctg +x 0.) f(x) = ctg +x 2.) f(x) = π cos 2 x e 2 sin 2 2.) f(x) = e sin(x+ π 2 ).) f(x) = log arctg x 2 4.) f(x) = ln ln 2 x 5.) f(x) = tgx (ln tgx) 7 6.) f(x) = (x 2 +)(x +2)(x 4 +) ( (x 7.) f(x) = 2 +x+2 ) ( + x 2 5x+6 ) ) 5 4 8.) f(x) = sin 7 x 7 9.) f(x) = e ex 20.) f(x) = sin x sin 2x sin x sin x+2 cos x 2.) f(x) = sin x 2 cos x ( 22.) f(x) = ln ) 7 sin x 2.) f(x) = cos ctg(x 2 +) 24.) f(x) = x arcsin x x 2 25.) f(x) = sin 2 x cos x 26.) f(x) = ln 2x 27.) f(x) = 5 + x 2 28.) f(x) = 4 x x+2 29.) f(x) = ( x+7 ) 6 0.) f(x) = tgx arctg x + 2 tg( x2 ) 5
6 5. FEJEZET. ÖTÖDIK HÉT.) f(x) = arcsin(cos x) 2.) f(x) = log ln x.) f(x) = ln 7 5x 2x +e x 4.) f(x) = ln e x 5.) f(x) = ( x ) ln x 6.) f(x) = x x 7.) f(x) = ( ) x x 8.) f(x) = sin (x cos x ) 5.2. Házi Feladat. Milyen szöget zár be az x-tengely pozitív felével az y = x cos x görbéhez az x 0 = 0 abszcisszájú pontjában húzott érintő? Írjuk fel az érintő egyenletét! 5.. Házi Feladat. Hol metszi az x-tengelyt az y = ln x+ görbe x 0 = e húzott érintője? Írjuk fel az érintő egyenletét, készítsünk ábrát! abszcisszájú pontjához 5.4. Házi Feladat. Keressük meg az y = sin x + cos x görbe azon pontjait, melyekben az érintő párhuzamos az x-tengellyel!
6. fejezet Hatodik hét 6.. Házi Feladatok 6.. Házi Feladat. A következő függvényeknek a) állapítsuk meg a monotonitási intervallumait és adjuk meg a szélsőértékeit b) állapítsuk meg a konvexitási intervallumait és adjuk meg az inflexiós pontokat. 6.. f(x) = ln x x 6..2 f(x) = x ln x 6.. f(x) = 2x 5x 2 +24x+7 6..4 f(x) = x 2 x 5 6.2. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket L Hospital szabály segítségével! a) lim x 0 sin 5x sin x sin x ln x 2 b) lim x x c) lim x ln 2 x x ln x d) lim x 0 + ctgx 2ctgx e) lim x 0 f) lim x 0 + 2x ctgx 2 x g) lim x x 2 sin x 7
8 6. FEJEZET. HATODIK HÉT ( h) lim x 0 x ) sin 2 x i) lim x 0 + xx j) lim x ( ) x 2 π arctgx 6.. Házi Feladat. Egy parabolaszelet alakú ablak szélessége és magassága egyaránt 6dm. Mekkora az a legnagyobb területű téglalap alakú mozaiklap, amely elhelyezhető úgy az ablakban, hogy szimmetria-tengelyük közös legyen? 6.4. Házi Feladat. Egy épülő atlétika pályán két párhuzamos egyenes szakaszból és az őket összekötő félkörívekből áll a futópálya. Hogyan kell kialakítani a pálya alakját, hogy a futópálya hossza 400m legyen és a lehető legnagyobb területű, téglalap alakú focipálya férjen el a belsejében? 6.5. Házi Feladat. Egy csatorna keresztmetszete 2m 2 kell, hogy legyen. Az alakja egy téglalap és egy ráhelyezett félkör. Hogyan válasszuk a csatorna méreteit, hogy a kerület minimális legyen? 6.6. Házi Feladat. Írjuk fel az alábbi függvények adott ponthoz tartozó megadott fokszámú Taylorpolinomját és a Lagrange-féle maradéktagot! a) Az f(x) = e x, n = 5, x 0 = 0 b) Az f(x) = sin 2 x, n = 4, x 0 = π 2 c) f(x) = ex e x, x 0 = 0, n = 5 2 6.7. Házi Feladat. Igazoljuk, hogy az f(x) = x + x 2 5x + függvény [0, 2] intervallumon teljesíti a Lagrange-tétel feltételeit, majd számoljuk ki a tételben szereplő ξ értéket!
7. fejezet Hetedik hét 7.. Házi Feladatok 7.. Házi Feladat. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat. a) tgxdx b) sin 2 2x dx (x 2 +)(x 2) c) 2 dx x 2 d) tg 2 xdx e) f) g) h) i) j) k) l) +x x x + +x dx x (x 2 +5 ) 8 dx x cos 2π 2 x dx 5 x +25 dx x e x dx x sin xdx ln xdx sin xdx 9
20 7. FEJEZET. HETEDIK HÉT
2
22 8. FEJEZET. TIZEDIK HÉT 8. fejezet Tizedik hét 8.. Házi Feladatok 8.. Házi Feladat. Végezzük el a kijelölt határozatlan integrálokat! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 2x 4 +6x +9x 2 + dx (x+) 8x 6x 2 +29x+ (2x+) 2 (x 2 4x+5) dx x 2x+5 dx x (x ) dx 2 5 x 2 +x 6 dx (x 2 +x+2) (x 2 +4x+5) dx 2x (x 2 +6x+0) dx sin 2x cos x dx ctg x dx sin 2 x cos 5 x dx sin 7 x cos x dx sin 4 x dx sin 5 2x dx n) sin 2 x cos 6 x dx ctg x+tg x o) 2+tg 2 x dx p) dx. Adjunk több megoldást! sin x q) sin 2 x+2 cos 2 x 4 dx r) +sin x cos x dx s) x 2x+ + 2x++2x dx t) 2+ x 6 x+ x+ x+ dx u) v) 6x+x 2 dx x2 +6x+8 dx x 2 w) x dx x) (x +) x dx 2 2 x2 y) 2x dx
9. fejezet Tizenegyedik hét 9.. Házi Feladatok 9.. Házi Feladat. Legyen f(x) = x 2. Osszuk a [0, 6] intervallumot 6 egyenlő részre. Legyen τ 6 a fenti felosztás osztópontjaiból álló felosztás. Legyen ξ R 6 és ξ i az i-edik részintervallum felezőpontja. a) Számoljuk ki az s(f, τ 6 ) alsó- és S(f, τ 6 ) felső Darboux-közelítő összeget! b) Számoljuk ki az σ(f, τ 6, ξ) Riemann-féle közelítő összeget! c) Írjuk fel a fenti mennyiségeket általánosan, ha a [0, 6] intervallumot n egyenlő részre osztjuk. (Számoljuk ki a határértékeiket ha n.) 9.2. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! a) e2 e dx x ln x π c) x sin 5xdx π b) 4 0 + x dx d) π 0 e x sin xdx 9.. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi improprius integrálokat, ha konvergensek! a) b) c) 2 (x ) dx 2+x 2 dx +x+x 2 dx d) e) x 2 dx x dx 2
24 9. FEJEZET. TIZENEGYEDIK HÉT
Irodalomjegyzék [] Bárczi Barnabás: Integrálszámítás [2] Császár Ákos: Valós Analízis I. [] Eisner Tímea: Bevezetés az analízisbe II. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/anal2et.pdf [4] Fekete Zoltán, Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise [5] Gádor Endréné et al.: Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából / Zöld összefoglaló feladatgyűjtemény / [6] Kovács József - Takács Gábor - Takács Miklós: Analízis [7] Németh József: Analízis példatár I. [8] Németh József: Analízis példatár II. [9] Németh József: Integrálszámítás példatár [0] Pap Margit: Integrálszámítás [] Pethőné Vendel Teréz: Fejezetek a matematikai analízis köréből [2] Schipp Ferenc: Analízis I. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/anal_p.pdf [] Schipp Ferenc: Analízis II. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/anal_p2.pdf [4] Szabó Tamás: Kalkulus I. példatár [5] Szabó Tamás: Kalkulus II. példatár 25