Németh Gé djunktus Tengelyek lehjlásánk sámítás Okttási segédlet iskolci Egyetem Gép és termékterveési Intéet iskolc, 4. március.
- - Tengelyek lehjlásánk sámítás A tengelyeket kéttámsú trtóként modelleve, és superpoíció elvét lklmv követkeő eseteket visgáljuk Tengely terhelése támsköben koncentrált erővel. ábr A támsköben terhelt trtó koordinát rendserrel Tengely terhelése konolon koncentrált erővel. ábr A konol végén terhelt trtó koordinát rendserrel indkét terhelési esetben. és. pontbn meghtárohtó trtó x irányú lehjlás és trtó sögelordulás, x, x, és, mint koordinát üggvénye. Eekből sámíthtó egy-egy kitüntetett pontbn tengely lehjlás és sögelordulás, így x_, _, _A és _B. H trtór egyidejűleg konolon és támsköben is ht erő, kkor eredő lehjlás üggvény superpoíció elve lpján enti két terhelési esetből nyert üggvények előjeles össege les. A továbbikbn tengely ruglms vonlát Cstiglino tétele serint sámítjuk. Sttikilg htároott serkeet és primtikus rúd esetén ugyn egyserűbb ruglms sál dierenciál egyenletének megoldásávl eredményre jutni, de Cstiglino tétel sokkl áltlánosbbn hsnálhtó, eért itt ennek módsernek hsnáltát muttjuk be. A hjlítás során külső erők munkáj és elhlmoódó lkváltoási energi megegyeik. Cstiglino tétele serint serkeet lkváltoási energiájánk egy dott erő vgy erőpár serinti prciális dierenciálj egyenlő serkeet dott pontjánk dott erő vgy nyomték irányú elmodulásávl illetve elordulásávl. U U u i, illetve i. () i i A serkeet tetsőleges pontjábn elmodulás vgy sögelordulás tetsőleges irányú vetületét sámíthtjuk, h keresett helyen keresett elmodulás iránybn elvesünk egy (tetsőleges ngyságú) Q erőt, vgy keresett sögelordulás iránybn elvesünk egy (tetsőleges ngyságú) Q nyomtékú erőpárt, és eel együtt állítjuk elő serkeet belső energiáját, mjd Q serint dierenciáljuk t, végén pedig Q= helyettesítéssel nyerjük keresett elmodulás vgy sögelordulás össetevőt. Q-t áltlánosított erőnek (erő vgy erőpár lehet), q-t pedig áltlánosított elmodulásnk (elmodulásnk vgy sögelordulásnk) neveük. H olyn pontbn kell kell elmodulást
- - vgy sögelordulást sámolnunk, hol eredetileg nem működött erő vgy erőpár, kkor beveetett áltlánosított erő és áltlánosított elmodulás segítségével Cstiglino-tétel U q () Q Q lkú les []. A igénybevételek rúdbn eredeti erőrendserből (nullás index jeli), és rúdr pótlólgosn ráhelyeett Q áltlánosított erőből (és támstó erőrendseréből) állnk. h h Q m, () hol hq m (4) Q visonyított igénybevétel (itt visonyított hjlítónyomték). A m mértékegysége mm, h Q erő, és mértékegység nélküli, h Q erőpár. H csk hjlításból sármó lkváltoási energiát tekintjük mértékdónk, lkváltoási energi h Q m U ds (5) I E lkbn írhtó. Ebből () serint áltlánosított elmodulás tehát U q Q Q h Q m m ds I E Q h m ds, I E h m q ds. (6) I E Primtikus és homogén iotrop rudk esetén A másodrendű nyomték és ruglmssági modulus kiemelhető integráljel elé, így követkeőkben hsnáltos q h m ds (7) lkot nyerjük. A. és. ábr jelöléseivel egyenes trtó elmodulását eredeti igénybevétel és visonyított igénybevétel sortánk serinti integrálj segítségével nyerjük, q h m d. (8) A támsköben koncentrált erővel terhelt egyenes rúd lkváltoás Tekintsük. ábr serinti trtót, és képeük (8) egyenlet nyomték üggvényeit. A. ábr muttj eredeti terheléshe trtoó h nyomték váltoását mentén, továbbá. és. jelű pontokbn htó Q áltlánosított erőkhö trtoó visonyított igénybevételeket. A mértékegység nélküliek erőpárho, hossúság [m] egységűek erőhö trtonk. A áltlánosított erő irányítottságát mindenhol x koordinát poitív iránybn, illetve jobbsodrású koordinát rendser poitív orgásirányábn vettük el, és ennek megelelően
- - rjoltuk meg eredeti terhelésű trtó igénybevételi ábráit, illetve visonyított igénybevételek ábráit.. ábr A tényleges erőrendser nyomték és visonyított igénybevételek, támsköben terhelt trtó esetén A támstó erőrendser sttiki egyenletekkel sámíthtó, nyomték és visonyított nyomték üggvények pedig egyenesek egyenletei. Egyenesek, hisen terhelések koncentrált erők vgy koncentrált erőpárok. A egyenes egyenlete, két pontjánk ismeretében x x x x (9) egyenlettel írhtó le, hol x helyére nyomték vgy visonyított nyomték (üggetlen váltoó) kerül, két ismert pontj pedig P és P. A A és B ponti támserőket, továbbá nyomték üggvények. és. sksink egyenleteit. táblátbn oglltuk össe. A lehjlás üggvényei támsköben terhelt trtón, (8) egyenlet és. táblát serint sámíthtók. A nyomték üggvények csk sksonként olytonosk, eért sksonként kell elvégeni integrálást. A sksok. ábr segítségével jelölhetőek ki. ás üggvény ogj leírni tengely lehjlást és tengely sögelordulást erőtől blr, és erőtől jobbr.
- 4 -. táblát A támsköben terhelt trtó nyomték üggvényei Terhelés és igénybevétele + [Nm] +Q m m +Q m +Q m m +Q m Támserők A nyomték, illetve visonyított nyomtékok üggvényei A B legngyobb érték. skson. skson b b b A erőtől blr q q h m d m d m d m d A () össeüggés q áltlánosított elmodulás egyránt megdj x irányú tengelylehjlást illetve y tengely körüli y sögelordulást, h. táblátból. sor nyomtékit és. illetve. sor visonyított nyomtékit helyettesítjük be képletbe. A így nyert össeüggések x x x x x x x b 6b d b d 6b d d d 6 d b b b b b b b b b b b b b b b b b ()
- 5 - x x b b b b b b b () Innen x már sámíthtó. A többi elmodulást (lehjlást) hsonlón sámíthtjuk. Például ugyncsk erőtől blr eső skson y tengely körüli sögelordulás () össeüggésből kiindulv. táblát. és. soránk elhsnálásávl y y y b d b b y y y y y b d d b b d d d d d b b b b b b b b b b b b b b b b 6 y b b b b d Innen y már sámíthtó. A többi sögelordulást hsonlón sámíthtjuk. A erőtől jobbr q m d m d m d egyenlet írj le tengelylehjlást illetve sögelordulást, h. táblátból 4. illetve 5. sorokból helyettesítjük be visonyított nyomtékokt. A így nyert össeüggések x b b (4) () () 6 y b b (5)
- 6 - A konolon koncentrált erővel terhelt egyenes rúd lkváltoás 4. ábr A tényleges erőrendser nyomték és visonyított igénybevételek, konol végén terhelt trtó esetén A lehjlás üggvényei konolon terhelt trtón, (8) egyenlet és. táblát serint sámíthtók. A nyomték üggvények csk sksonként olytonosk, eért sksonként kell elvégeni integrálást. A sksok 4. ábr segítségével jelölhetőek ki. ás üggvény ogj leírni tengely lehjlást és tengely sögelordulást erőtől blr, és erőtől jobbr. A erőtől blr q m d m d A (6) össeüggés q áltlánosított elmodulás egyránt megdj x irányú tengelylehjlást illetve y tengely körüli y sögelordulást, h. táblátból. sor nyomtékit és. illetve. sor visonyított nyomtékit helyettesítjük be képletbe. A így nyert össeüggések (6) x (7) y 6 (8)
- 7 - Terhelés és igénybevétele + [Nm] +Q m m +Q m +Q m m +Q m. táblát A konolon terhelt trtó nyomték üggvényei Támserők A nyomték, illetve visonyított nyomtékok üggvényei A B legngyobb. skson. skson érték A erőtől jobbr q m d m d egyenlet írj le tengely lehjlást illetve sögelordulást, h. táblátból 4. illetve 5. sorokból helyettesítjük be visonyított nyomtékokt. A így nyert össeüggések (9) x () y 6 () A tengely x irányú lehjlás superpoíció elve serint két helyes össege les. H y síkbn is htnk erők, kkor ott két x lehjlás üggvény előjel y lehjlásüggvényt össegeünk előjelhelyesen, mjd teljes lehjlást egy dott helyen (pl. egy ogskerék koordinátájú helyén ( ) ( ) () x y serint sámíthtjuk. Adott tengelypont sögelordulását hsonlón, ) ( ) () x ( y képlettel sámítjuk. Irodlom [] Pácelt István, Rudk és rúdserkeetek lkváltoás, in Silárdságtn II.(kéirt) (J4-, Tnkönyvkidó, Budpest, 98., 7p. [] Drobni Jóse, Gépelemek III. (kéirt) (J4-458), Tnkönyvkidó, Budpest, 988., p.