Foglalkoztatásoltka és Munkaügy Mnsztérum Humánrőforrás-fjlsztés Oratív Program Dr. Páczlt István Dr. Nándor Frgys - Dr. Sárköz László - Dr. Szabó Tamás - Dr. Baksa Attla - Dluh Kornél A végslms modllzés kontnuummchanka alaja Szakmérnök jgyzt Készült A flsőoktatás szrkzt és tartalm fjlsztés CAD/CAM/FEM komtnca kurzusok rojkt krtébn Mskolc Egytm Mskolc 006.
TARTALOMJEGYZÉK. A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.. Alafogalmak 7.. Rugalmasságtan összfoglaló 9.3. Komatbls lmozdulás lmmodll 8.4. Elmk llsztés, a rndszr mrvség mátrxa, rdukált trhlés vktora, knmatka rmfltétl fgylmbvétl.5. Egyváltozós fladatok 5.6. Kétváltozós rugalmasságtan fladatok vzsgálata zoaramtrkus lmkkl 37.7. Térbl lmk 58. A MEGOLDÁS ÉS ANNAK HIBÁJA 65.. Az gyüttható Mátrx szrkzt 65.. Hbaanalízs 67 3. MODELLEZÉSI KÉRDÉSEK 7 3.. Alszrkzttchnka 7 3.. Adott lmozdulások fgylmbvétl 73 3.3. Adott lmozdulásmzőbn fnnálló szakadás, kzdt hézag fgylmbvétl 73 3.4. Excntrkus csatlakozás 75 3.5. Frdhatásvonalú támasz fgylmbvétl 76 3.6. Pródkus szrkzt 79 3.7. Rugalmas ágyazás 79 4. I-DEAS RENDSZER HASZNÁLATA 8 4.. Általános jllmzők: 8 4.. Rajzolás az I-DEAS-ban 83 4.3. Végslms analízs 85 5. C ÁLLVÁNY VIZSGÁLATA 87 5.. Gomtra létrhozása 88 5.. Végslms modll 88 5.3. A fladat mgoldása 90 5.4. Számítás rdményk 9 6. TENGELYSZIMMETRIKUS FELADAT ELEMZÉSE 93 6.. A rmértékfladat 93 6.. A gomtra létrhozása 93 6.3. Végslms hálózás 94 6.4. rmfltétlk lőírása 95 6.5. A fladat mgoldása 96 6.6. Az rdményk kértéklés 96 7. TENGELYSZIMMETRIKUS FELADAT ELEMZÉSE 99 7.. A rmértékfladat smrttés 99 7.. A gomtra fléítés 00 7.3. Végslms hálózás 0 7.4. Prmfltétlk lőírása 0 7.5. A fladat mgoldása 0 7.6. Az rdményk szmlélttés 03 8. TÉRBELI FELADAT ELEMZÉSE 05 8.. A gomtra lőállítása 05 8.. Prmfltétlk mgadása 06 8.3. Végslms háló gnrálása 07 8.4. Fladat mgoldása, rdményk kértéklés 08 8.5. A háló fnomítása 09 9. TÉRBELI FELADAT ELEMZÉSE 9.. A gomtra módosítása 9.. Prmfltétlk 9.3. Végslms háló 3 9.4. Erdményk 3 0. IRODALOMJEGYZÉK 7 3
4
ELŐSZÓ A jgyzt flsőfokú végzttségű, lsősorban mérnökök számára készült, akk tanulmányak során mgsmrkdtk a szlárdságtan és a lnárs rugalmasságtan alafogalmaval. Jártasságot szrztk a vktor és tnzorszámítás, lltv a mátrx algbra trültén. A jgyzt célul tűz k bonyolult gomtrával és trhléssl rndlkző géészt szrkztk szlárdságtan analízsét. A mgoldás a végslm-módszr alkalmazásával történk. Ennk mgfllőn a jgyzt rövd összfoglalókra éítv áttkntést ad a módszr általános kérdésről, majd sorra vsz a mérnök gyakorlatban lgnkább ltrjdt végslms ljárásokat: gyváltozós (rúd) fladatokat, kétváltozós (síkbl, forgásszmmtrkus, lltv hajlított lmz) fladatokat és térbl fladatokat. A módszr tárgyalása során külön hangsúlyt kanak az zoaramtrkus lmcsalád alkalmazása, lltv a modllzés scáls roblémá (alszrkzttchnka, frd görgő, xcntrkus csatlakozás, lmozdulás-mzőbl szakadás stb.). Végül bmutatjuk az I-DEAS rogramrndszr végslms alkalmazását néhány alafladat mgoldásán krsztül. Érdms tt s kmln, hogy a vktor és tnzor jllgű mnnységk kétfél jlöléssl s lőfordulnak. Ennk mgfllőn jlöléskor a vktor vastagon szdtt dőlt ksbtű (a, b), míg a tnzor vastagon szdtt dőlt nagybtű (A, T). Ezn mnnységknk mgfllő mátrxos jlölésbn vastagon szdtt álló ks, lltv nagy btű szrl (a, b, A, T). A szrzők az alábbakban osztották szét a munkát a fjztk mgírásával kacsolatosan..-.4. fjzt Nándor Frgys,.5, 3. fjzt: Páczlt István,.6 fjzt: Sárköz László, Nándor Frgys,.7,, 6, 7. fjzt: Szabó Tamás, 4, 5. fjzt Baksa Attla, 8, 9. fjzt Dluh Kornél. Mskolc, 006. novmbr Skrs tanulmányokat kvánnak A szrzők
. A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI.. Alafogalmak A végslm-módszr (továbbakban VEM) több mnt 30 év szrl a géészmérnökkézés tananyagában []. A módszr kalakulását a Courant által a csavarás fladat közlítő mgoldásánál használatos szakaszonként (háromszögltű tartományok fltt) csavarás fszültségfüggvény aroxmácója jlnttt 943-ban. 956-ban Turnr és társa síkrugalmasságtan fladatot oldottak mg az lmozdulásmző négyszögltű altartományok fltt közlítésévl, a hagyományos Rtz-fél módszr lokáls közlítő függvénykn krsztül alkalmazásával. Clough 960-ban nnk az ljárásnak a végslm-módszr nvt adta. Az lmúlt ötvn évbn a módszr látványos fjlődésénk vagyunk szmtanú. A 60-as évkr a rugalmasságtan fladatanak mgoldását szolgáló lmcsaládok kfjlsztés, sokoldalú modllzés lhtőségt nyújtó végslm-rogramok (ASKA, NASTRAN, SAP) mgjlnés a jllmző. A 70-s évkbn lkzdődk a számítás hbák analízsénk kutatása Babuska ckkénk mgjlnésévl. Elndul 973-bn Szabó Barna javaslatára, az un. - vrzójú számítás a hozzátartozó lmk kdolgozásával. Sorra krülnk a nmlnárs fladatok vzsgálatára alkalmas módszrk kdolgozása, számítógé rogramok alkalmazásba vétl (NONSAP, ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, FEAP, MARC, SYSTUS stb.). Mgjlnnk a -vrzójú lmkt hordozó rogramok, PROBE, StrssChck, RASNA. A CAD rndszrkkl összkacsolt rndszrk alakulnak k az 980-as évkbn, amlyknk a fjlődés mnd a ma nag tart (CATIA, I-DEAS, MSC/NASTRAN, Patran, Pro/Engnr, SoldWorks, stb.). A kacsolt fladatokra (szlárdságtan, hőtan, áramlástan, vllamosságtan stb.) rogramok nyrnk kdolgozást a 990-s évk óta (FLUENT, ProCast, SysWld, DEFORM stb.) A módszrnk a géészt trvzés folyamatában való lhlyzéséről tájékoztat a kövtkző. ábra. Itt a lgutolsó rublkába ső különböző varácós lvk és a számítástchnka fjlődés alaozta mg a módszr ltrjdését. Equaton Chatr Scton.. ábra. Végslm-módszr lhlyzés A továbbak rövdn összfoglalják a későbbkbn flhasználásra krülő matmatka fogalmakat és összfüggéskt [4].
Függvény: u( x ) ahol u a függő, x a függtln változó. Funkconál: F( x, u, u ) gy olyan függvény, mlynk a függtln változó között függvényk stlg drváltjak s szrlnk. Pl. F( x, u, u`) = c u dx + c u`dx Varácó: δ u az u függvény varácója, lásd.. ábra, értlmzés szrnt δ u =α v( x) ahol α: aramétr, amly a különböző varácóknál más és más, v(x): gy másk függvény. ( δu dv ) α = δu`.. ábra. Varácó értlmzés d =, azaz a drválás és a varácó kézés sorrndj flcsrélhtő. dx dx A funkconál lső varácója a fnt F funkconál stén dfncó szrnt: F F F = u + u u u δ δ δ F F F df = dx + du + du x u u Fu ( δu) Fu ( ) δf δ F + = + + + A varácókézés azonossága közül érdms az alábbakra flhívn a fgylmt: ( ) δ F F = δf F + F δf δ δ δ ( F ) = ( F ) F F F δf F n n ( F ) = n δ ( F ) δ u( xdx ) = δuxdx ( ) ( L) ( L) Intgrál átalakítás tétlk közül az alábbakra lsz szükség: V B dv = B nda A Gauss-Osztograszkj tétl L L L L dw d dv v dx v w dx wdx v w v wdx dx dx dx L = ( ) = [ ] 0 0 0 0 0 A vktor és tnzor jllgű mchanka jllmzők jlölésér gyaránt használjuk a szmbólkus és a mátrxos (általában (x,y,z) koordnátarndszrbn kaott koordnátákból alkotott) jlölést. A vktor és tnzor jl vastagon szdtt dőlt ks lltv nagybtű. Mátrxos jlölésnél dg álló hlyztű ks- lltv nagybtű. Lgyn A és B az (x,y,z) koordnátarndszrbn adott 3 sorú és 3 oszloú, azaz (3,3)-as tnzor: 8
axx axy a xz bxx bxy b xz Α = ayx ayy ayz, B = byx byy byz azx azy a zz bzx bzy b zz A két tnzor kétszrs skalárs szorzása az alább módon értlmztt: A B = a b + a b + + a b xx xx xy xy zz zz T T Ha A = A akkor a tnzor szmmtrkus, ha dg B = B akkor a tnzor aszmmtrkus, T ha A = A és B = c d, azaz a c és d vktorok általános szorzata cxdx cxdy cxdz B = cd y x.. cd z x.. akkor A B=A ( cod ) =c A d... Rugalmasságtan összfoglaló Tkntsünk gy V térfogatú lnársan rugalmas térbl tstt, mlyt A határoló flült vsz körül. Az A flült flbontható gy A - mlyn az lmozdulás lő van írva - és gy A flültrészr, ahol dg a trhlés lőírt. ( A Au A ) mutató hlyvktor r = xx + yy + z z. Lásd.3 ábrát. u =. A tst gy ttszőlgs ontjába.3. ábra. Rugalmas tst A lnárs rugalmasságtan smrtln változó rndr az lmozdulás vktor, az alakváltozás-, lltv fszültség tnzor. Skalárs koordnátá az alább módon értlmzhtők: lmozdulás: (3 db smrtln) ( ) = u x + v y + w z u r (.) alakváltozás tnzor: (6 db smrtln) 9
εx γ xy γ xz u u v Ar ( ) = γ yx ε y γ yz, εx =,, γ xy = +, (.) x y x γ zx γzy ε z mlybn az ε, γ j: fajlagos nyúlások és szögtorzulások dmnzótlan mnnységk. A fszültség tnzor: (6 db smrtln) σx τxy τ xz T( r ) = τ yx σ y τ yz (.3) τzx τzy σ z a σ és τ normál és nyíró fszültségkt jlöl. A rugalmasságtan lnarzált lmélt ks lmozdulás (az lmozdulás lénygsn kssbb mnt a tst mért), lltv ks alakváltozás (az alakváltozás jllmző lénygsn kssbbk mnt ) stén alkalmazható. Ekkor az smrtlnk mghatározására szolgáló gynltk az alábbak: A= ( u + u) r V - knmatka gynlt T = D A r V - anyaggynlt (.4) lltv a ν T = G A+ AI I r V - Hook-törvény ν T + ρ k = 0 - gynsúly gynlt (.5) Prmfltétlk: u= u 0 r A u - knmatka rmfltétl (.6) T n= r A - dnamka rmfltétl (.7) Itt G az anyag csúsztató rugalmasság modulusa, ν - a Posson tényző, ρ a tömgsűrűség, k dg a tömgn mgoszló trhlés ntnztás vktora. A I az alakváltozás tnzor lső skalár nvaránsa, D az anyagjllmzők később részltztt mátrxa. A rugalmasságtan fladata a fnt dffrncálgynlt-rndszr mgoldása. Közlítő számítás stén: lmozdulásra alaozva a számítást a fnt gynltkt kll gymást kövtv klégítn. Ha dg közlítő fszültségkből ndulunk k, akkor a knmatka gynltk hlytt a vl gynértékű komatbltás gynltt kll bztosítan, amly a kövtkző alakban írható: A = 0 (.8)... Enrga lvk, varácós módszrk A továbbak lőször a fnt dffrncálgynlt-rndszr néhány gynltét klégítő, scáls mzőkt értlmznk. Knmatkalag lhtségs lmozdulásmző alatt olyan lmozdulást értünk, amly klégít a knmatka rmfltétlt, folytonos és drválható. Jl: * u. Származtatható blől gy knmatkalag lhtségs alakváltozás: A 0
A= u + u, A = 0 r A u (.9) azaz A knmatkalag lhtségs alakváltozás a gomtra gynltt klégít és gyúttal komatbls. Statkalag lhtségs fszültségmző alatt olyan T jlű fszültségt értünk, amly klégít az gynsúly gynltt és a dnamka rmfltétlt, azaz: T n= r A, T + ρ k = 0 r V (.0) Származtatható blől gy statkalag lhtségs alakváltozás: A= D T d z általában nm komatbls, és a knmatka rmfltétl sm bztosított. Azaz: A 0 r V (.) u u0 r Au. (.)... Vrtuáls munka lv: A fntkbn bvzttt statkalag lltv knmatkalag lhtségs fszültség- és lmozdulásmzőből kndulva, az alább átalakítások thtők: Az gynsúly gynltt a knmatkalag lhtségs lmozdulásmzővl mgszorozva, majd a kaott skalárs mnnységt térfogaton ntgrálva T + ρ k = 0 u, V ( ) u T dv + u ρ kdv = 0 V V a kövtkző szorzat drválás szabály és az lmozdulásmző drvált tnzora flbontás lhtőségénk fgylmbvétlévl ( ) u T = u T u T, u = u + u + u u, A T = ( ), Ψ 0 u T = u T A T T = Ψ Ψ a Gauss-Osztograszkj tétl alkalmazásával, nyrjük a vrtuáls munka lv lgáltalánosabb alakját: AT dv = ut nda+ u ρ k dv (.3) V A= Au+ A V A vrtáls munka lv varácós alakjának flírásához lőször értlmzzük az lmozdulás mző varácóját (vrtuáls lmozdulást), mlynk jl: δ u
δ u= u u, u : gzakt lmozdulás (.4) Nylvánvalóan tljsül: δ u = 0, ha r Au. Hasonlóan értlmzhtő az alakváltozás varácója: A= A ( δ ) δ u = A u+ u = ( δ ) u+ u + u+ u = = ( u + u) + ( δu + δu) Azaz: A δ A A= A+δ A (.5) A vrtuáls munka lv gzakt u lmozdulással a kövtkző alakú: ut nda+ u ρ kdv = A T dv A V V Ezt kvonva az (.3) gynltből kadódk a vrtuáls munka lv varácós alakja: δa T dv = δu ρ kdv + δu da. (.6) V V A A baloldal, az ú.n. blsőrők alakváltozás munkájának varácója mggyzk a jobboldalon flírt ú.n. külső rők vrtuáls munkájával. A T mző hlytt szabad (nm föltétln statkalag lhtségs) mzőt fltétlzv az lv az alább alakban s mgfogalmazható: Ha az (.6) ttszőlgs knmatkalag lhtségs lmozdulásmző varácója mlltt fnnáll, akkor T fszültség tnzormzőmző statkalag lhtségs.... Potncáls nrga mnmuma lv származtatása: Egy u knmatkalag lhtségs lmozdulásmzőből kndulva a mgfllő gynltk sgítségévl származtatható az A alakváltozás és a T fszültség tnzormző. A otncáls nrga értlmzés a kövtkző: Π u =Π = dv ρ dv da A T u k u (.7) V V A U : alakváltozás nrga W k : külső rők (vrtuáls ) munkája A otncáls nrga mnmuma lv szrnt a knmatkalag lhtségs lmozdulás mzőkhöz tartozó otncáls nrgák az gzakt mgoldásnál mnmummal rndlkznk, azaz: Π u Π( u ) (.8) gynlőség akkor áll fnn, ha u u. Az lv az alább léésk és átalakítások alaján bzonyítható.
Π =Π u =Π ( u+ δ u ), ahol A= A+ δ A, T = D A Π ( u+ δu) = ( + δ ) ( + δ ) dv ( + δ ) ρ dv ( + δ ) da= A A D A A u u k u u V V A T = A D AdV u ρ kdv u da+ V V A Π( u) : gzakt értékhz tartozó T + δa D AdV δu ρ kdv δu da+ V V A δπ : a otncáls nrga lső varácója δt + δ δ dv V A D A δ Π 0, = 0 ( δ ) ( ) δ δ Π u+ u =Π u + Π + Π (.9) Az (.6) vrtuáls munka lv szrnt: δ Π = 0, vagys valóban fnnáll az (.8) alatt gynlőtlnség. A varácó zérus lőírását a varácószámítás staconartás fltétlénk nvzzük....3. Lagrang-fél varácós lv A Lagrang-fél varácós lv szrnt a tljs otncáls nrga varácója a mgoldásnál zérus. Ennk gazolására nduljunk k a varácó értlmzéséből! továbbá az δ Π = δa T dv δu ρ kdv δu da = 0 (.0) V V A δu= ( δu+ δu ) + ( δu δu ) Mután δψ = δψ δa ( δu) T = ( T δu) δu ( T ) = δa T nt δuda δu ( T ) dv δuρ kdv δu da = 0 δψ A= A+ Au V V A A flültn δ u= 0 így az lőző gynlt formalag a kövtkző alakra hozható: u ( ) dv ( ) δ u + ρ + δ da = 0 T k u n T (.) V A = 0: gynsúly gynlt = 0: dnamka rmfltétl Az lv thát ttszőlgs varácó stén bztosítja az gynsúly gynlt és a dnamka rmfltétl tljsülését. Általában u -t közlítjük úgy, hogy adott függvényk és smrtln aramétrk kombnácóját vsszük, majd így írjuk lő a varácó ltűnését. Ez a fltétl mndg ad gy lhtségs lgjobb mgoldást. A módszr célja olyan mző kválasztása, amly az gynsúly gynltt, lltv a dnamka rmfltétlt a lhtő lgjobban bztosítja []. T 3
...4. Rtz-fél módszr A otncás nrga mnmuma lvt alkalmazva, lgyn a knmatkalag lhtségs lmozdulás a kövtkző: N N N 0 c ϕ( ) x cn+ jψ j( ) y c N+ kχk ( ) z = j= k= u= u + r + r + r (.) ahol u 0 klégít a knmatka rmfltétlt, a választott folytonos koordnátafüggvénykr az gyszrs végs-mértékű drválhatóságon kívül áll az alább mgkötés ϕ = ψ = χ = 0, r Au, =,, N (.3) Ezzl otncáls nrga kfjzés gy többváltozós valós függvény. ( c, c,, c ) Π =Π (.4) 3N A varácó ltűnésénk fltétl az alább alakban írható Π Π Π δπ = δc+ δc + + δc3n = 0 (.5) c c c3n Itt δ c ttszőlgs kll, hogy lgyn! Ezáltal kaunk gy lnárs gynltrndszrt a aramétrkr nézv. Bvztv az smrtlnk oszlovktorát [ c c c ] T c = 3N (.6) a staconartás fltétl tömör formában s írható: Π= c = 0 T Π δ δ c Π c Π Π Π T Π = c 0,, 3 c c = 0 = = N (.7) 3N c Példa. Rtz-módszr bmutatására gyváltozós fladatot vzsgálunk. P.-. ábra. Húzott rúd A P.-. ábrán látható húzott-nyomott rúd trhlés hosszmntén mgoszló súlytrhlés, és F L koncntrált rő. A rúd ontjanak rúdrányú lmozdulása u ( x ), csak a krsztmtszt x koordnátájától függ. A rugalmasságtan általános gynlt bbn az gyváltozós stbn az alább alakra gyszrűsödnk: u du ε x = = = u x dx - knmatka gynlt (a) σ = E ε = E u - Hook-törvény (b) x x 4
dn 0 - gynsúly gynlt dx + = (c) Knmatka rmfltétl: u( x = 0) = 0. A dnamka rmfltétl a rúdvég koncntrált trhlésénk és rugós mgtámasztásának mgfllőn: N = A σ azaz, ( ) L L c L L x N x = L = A E u = F + F = F c u (d) A otncáls nrga bbn az stbn: A rúd blső alakváltozás nrgája A külső trhlésk munkája rugónrga L ( u) εx σx dv u dx ul FL c ul Adx V 0 Π = + L Π = + L ( ) A E u dx u dx u F c u () L L L 0 0 Ennk kézv a varácóját kajuk, hogy L L L L L L 0 0 N L L ( A E u ) udx ( A E u ) ( FL c ul) L 0 = 0: gynsúly gy. ul = 0 ( ( ) ) δπ = A Eu δu dx δu dx+ c u δu δu F = 0 δ u = u δu δπ = + δ + δ = 0 : dnamka rmfltétl Közlítő mgoldás krséséhz nduljunk k az alább másodfokú olnomból: ( ) u x c c x c x = 0 + + (g) Knmatkalag lhtségs, ha folytonos és drválható, továbbá ha klégít a knmatka rmfltétlt, azaz u(0)=0, amből kövtkzk, hogy c 0 = 0 azaz u x c x c x ( ) = + (h) Bhlyttsítés után a otncáls nrga L L L L 0 0 Π u = A E u dx u dx + c u u FL = L ( ) L = ( ) ( ) ( ) A E c + c x dx cx+ c x dx+ c cl+ c L cl+ c L FL = 0 0 3 3 L L L L = AEc L+ 4cc + 4c c + c + 3 3 3 4 + ccl + ccl + cl ( cl + cl ) FL A varácókézéssl: Π Π Π Π δ Π = δc+ δc = 0 = 0, = 0 c c c c azaz kfjtv: Π L = 3 AELc + AEL c + cl c + cl c LFL = 0 c 3 Π 4 3 L = 3 4 AEL c + AEL c + ccl + cl c L FL = 0 c 3 3 ugyanzt mátrxos formában flírva: (f) 5
L L c L L c AE + LF 3 L L 4 3 c 3 4 3 L L c + = L 3 L L c + LF 3 L Scáls stként lőször vzsgáljuk mg azt az stt, amkor csak koncntrált rővl trhlt a rúd: () Ekkor az () gynlt mgoldása: P.-. ábra. Konctrált trhlés F L c = 0, és c =. A E Ebbn az stbn a lhtségs lmozdulás a kövtkző alakban adódk F L u = x (j) AE mlyből látható, hogy a Π mnmum lv érvénybn van hszn tljsül: N = AEu = F L dnamka rmfltétl dn = 0 N = áll. NL = FL gynsúly gynlt dx Másk scáls stként vzsgáljuk mg azt az stt, amkor csak mgoszló trhléssl trhlt a rúd P.-3. ábra. Mgoszló trhlés Ekkor a () gynlt az alább alakban írható L c+ Lc = AE 4 L c+ Lc = 3 3AE mlyből: L c =, c = A E A E Ebbn az stbn a lhtségs lmozdulás a kövtkző alakban adódk L u = x x AE A E A kaott mgoldás gzakt, mvl az gynsúly gynltt, lltv a dnamka rmfltétlt klégít. (k) ( ) N = AE u = L x = L x Hasonló módon blátható, hogy a lgáltalánosabb stbn, amkor rugalmas mgtámasztású a rúd vég szntén gzakt mgoldást kaunk. Ha vszont a mgoszló trhlés jllg mgváltozk nm konstans, vagy szakaszonként különböző állandó- akkor a fnt másodfokú közlítés már nm vzt gzakt mgoldásra. 6
...5. Több tstből álló rndszr.4. ábra. Kétlmű rndszr Tkntsük az.4. ábrán vázolt és jlű tstkből álló szrkztt. Az gys lmkhz tartozó mnnységkt flső ndxb ttt sorszám jlöl. Mndkét lmr gydjűlg az flső ndxszl hvatkozunk. A V térfogatú lmt az A flült határolja. A V térfogaton a ρ k sűrűségű mgoszló trhlés, az A flültn a sűrűségű flült trhlés működk, míg az A u flültn smrt az u 0 lmozdulás. Az A flült mgmaradó A c részén az lm a szomszédos lmml érntkzk. Mndkét tstr érvénysk a rugalmasságtan gynlt, azaz A = ( u + u ) r V - knmatka gynlt (.8) T = D A r V - anyaggynlt (.9) T + ρk = 0 r V gynsúly gynlt (.30) mnt mzőgynlt, továbbá érvénysk a rmfltétlk []: u = u0 r Au knmatkarmfltétl (.3) T u = r A dnamkarmfltétl lltv az A c flültn az llsztés fltétlk: u = u knmatka (.3) T n = T n dnamka A dnamka llsztés fltétl a közös érntkzés flült ontjanak kölcsönhatását fjz k. Ennk értlmébn az gymásra átadódó fszültségk gymással llntétsk. Itt n és n a tstkből kflé mutató normálvktorok. Vzsgáljuk mg hogy bbn az stbn hogyan használható a otncáls nrga mnmuma lv, lltv a mgfllő varácós lv. Tétlzzük fl, hogy az u lmozdulásmző knmatkalag lhtségs, lltv tljsít a knmatka llsztés fltétlt 7
Fltsszük továbbá, hogy δu u r (.33) = δ A c A két tstr vonatkozó varácós lv fléítéséhz nduljunk k a tljs otncáls nrgák varácójából [3]: { δu δwk } = = 0 { } δa.. T dv δu ρ kdv δu da = 0 (.34) = V V A δu δw k Az lső ntgrál az alább átalakítások alaján átírható: nnn ahol ( ) ( ) ( ).. δu T dv = δu T dv δu T dv = V V V δa+ δψ = δu T n da δa.. T A V A V V ( ) dv δa T dv = δu T n da δu T dv A = A + A + A u c δ u= 0 A kaott formulákat vsszaírva és a tagokat átrndzv: δu [ T + ρk] dv δu ( T n ) da = V A δ u T n + T n da = 0 Ac ( ) (.35) Ennk alaján a varácós lv bztosítja az gynsúly gynlt, a dnamka rm-, és llsztés fltétl tljsülését.3. Komatbls lmozdulás lmmodll.3.. Az lmozdulásmző közlítésénk fléítés, csomóont lmozdulás vktor Végslm-módszr alkalmazásakor lső léésbn a tartományt végs ktrjdésű részkr u.n. lmkr bontjuk. Az lmkt sorszámozzuk. Elmnként külön külön közlítjük az lmozdulást úgy, hogy az a tljs tstr knmatkalag lhtségs lmozdulássá lgyn llszthtő. Ez azt jlnt, hogy knmatkalag lhtségs lmozdulás közlítésből ndulunk k, azaz tljsül az lmk határán az llsztés vagy knmatka rmfltétl, továbbá a drváltak szakaszonként (lmnként) folytonosak. Ebbn a szakaszban fltétlzzük, hogy az lmozdulásmző lmnként a hly (x,y,z)=x vonatkoztatás koordnátarndszr függvényként áll lő. Később látn fogjuk, hogy gyakran érdms az lmhz kötött hly koordnáta rndszrt alkalmazn. Illsztés céljából az lmk határán jlöljünk k ontokat 8
u.n. csomóontokat. Ezkt s sorszámozzuk. Az gymáshoz kacsolódó lmk gybső csomóontjanak lmozdulásat fogjuk azonossá tnn. A csomóontok számát és a közlítés tíusát úgy kll mgválasztan, hogy a csomóont lmozdulások azonossága bztosítsa a tljs érntkzés tartományon a folytonosságot. Az így fléíttt lmt komatbls lmozdulás lmnk fogjuk nvzn []. Az lőzőkkl összhangban gy jlű lm x rndszrbl u lmozdulás-mzőjét u = u ( x) = Φ ( x) c = Φ c (.36) alakban közlítjük, ahol T T T ϕ 0 0 T T T Φ = 0 ϕ 0 (.37) T T T 0 0 ϕ az alafüggvénymátrx, c az smrtln aramétrk vktora, ϕ T ( x) dg rndszrnt hatványfüggvénykt tartalmazó sorvktor: T ϕ ( x ) (.38) = x y z x y A továbbakban az a cél hogy az állandók hlytt áttérjünk a csomóontok lmozdulásara. Lgyn az jlű, j, k, csomóontokkal rndlkző lm csomóont lmozdulásanak vktora a kövtkző: q q u q j =, q = v q k w (.39) Fltév, hogy a csomóont lmozdulások koordnátának száma mggyzk a közlítésbn flvtt aramétrk számával a c vktor kfjzhtő q vktorral az alábbak szrnt: - Φ ( x ) c = q = G q V q - (.40) tt a flsőndxbn szrlő - az nvrtálásra utal. Trmésztsn lhtőség van arra s, hogy az smrtln aramétrk száma nagyobb lgyn mnt a csomóont lmozdulás koordnáták száma. Ekkor más tchnkára (u.n. ótlólagos állandók kjlölés, vagy blső csomóontok értlmzés) van szükség. Ebbn a fjztbn ttől ltkntünk. (.40) alaján a (.36) közlítés az alább alakban írható: u = u ( x) = Φ ( xvq ) N ( xq ) = Nq (.4) ahol az N mátrxot az lm aroxmácós mátrxának nvzzük. Nylvánvaló, hogy N a csomóontok szrnt artconálható: N N N j N k (.4) = Vzsgáljuk mg, hogy az N mátrxnak mlyn fltétlkt kll klégítn. Nylvánvaló, hogy az lmozdulásnak a csomóontban mg kll gyzn a csomóont lmozdulásvktorral, azaz N ( x ) = E, N ( x ) = 0 (.43) j 9
tt E az gységmátrx, 0 dg a nullmátrx. Trmészts lvárás, hogy az lmozdulás közlítés tartalmazza az un. mrvtstszrű mozgást, azaz az ltolásra és a forgásra zérus alakváltozás nrgát adjon. Tovább lvárás, hogy az lm térfogat és torzulás nrgáját külön-külön lhssn számoln. Mvl a közlítő lmozdulásnak knmatkalag lhtségsnk kll lnn z azt jlnt, hogy az adott lőírásokat a csomóont aramétrk mgválasztásával kll bztosítan (a drválhatóság a fnt olnomokra mndg tljsül). Az lmozdulásmző közlítéséből kndulva származtathatók az lm tovább szlárdság jllmző..3.. Alakváltozás-, fszültség vktor, trhlés vktorok Az alakváltozás tnzor szmmtráját flhasználva a tnzor lmből 6 mértű vktor állítható lő: A u ε 0 0 x x x v y 0 ε y 0 y w u ε 0 0 z z z ε = u v v = = γ 0 = xy y + x y x w γ v w yz z y 0 + z y γ xz w u x z x 0 + z u ahol a = ε N q = B q (.44) B B mátrx s flbontható a csomóontok szrnt: B = B B j B k Fszültségmző lírására hasonlóan értlmzhtő a 6 mértű fszültségvktor: T (.45) T σ = σx σ y σz τxy τ yz τxz lltv a Hook törvény alaján flírható csomóont lmozdulásvktorral s: σ = D ε ε = D B q (.46) ahol D az anyagjllmzők mátrxa. Térbl zotró rugalmas anyagra: c c c 0 0 0 c c c 0 0 0 c c c 0 0 0 D = (.47) 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 0 c3 szrkztű, ahol ν ν E c = E c = E c = = G ( + ν)( ν) ( + ν)( ν) ( + ν) 3 0
A későbbk matt érdms a trhlés vktorokat s oszlovktorba rndzn. A rmn és a térfogaton mgoszló trhlésk oszlovktora a kövtkzők: x ρkx = y, ρk ρ k = ρk y (.48) z ρk z.3.3. Az lm otncáls nrgája A végslm-módszr másk fontos léés gy hbalv mgválasztása, amly lhtővé tsz az állandók mghatározását. Hbalvként a otncáls nrga mnmuma lvhz tartozó varácós lvt választjuk. A továbbakban lőállítjuk az lm otncáls nrgáját a közlítő mzők flhasználásával. Az lőző fjztbn bvzttt vktorokkal az jlű lmr: T T T Π = ε D ε dv u da u ρk dv (.49) V A V majd a csomóont lmozdulásokat bvztv a végsdmnzóban flírt otncáls nrga: T T T T T T Π = q B D B q dv q B da q B ρk dv V A V végül a csomóont lmozdulásvktort kmlv az alább tömör alak írható []: T T Π = q K q -q f (.50) Ebbn a kfjzésbn lőforduló K lm mrvség mátrx és f lm trhlés vktor az alább szrkztű: T B K Kj T T K = B D B dv = B j D B B dv = K j K jj V V f =f +f ρk T T = da, ρk = ρ A V (.5) f N f N k da (.5) Nylvánvaló, hogy a mrvség mátrx szmmtrkus, továbbá a mrvség és trhlés mátrx csomóontok szrnt artconálható. Az lm mrvség mátrxa az lm alakváltozás nrgájával kacsolatos. Ezért ha a q az lm mrvtstszrű mozgását írja l, akkor az alakváltozás nrga zérus, gyébként dg oztív: T q K q 0 (.53) amből az kövtkzk, hogy a mátrx lfajuló.
.4. Elmk llsztés, a rndszr mrvség mátrxa, rdukált trhlés vktora, knmatka rmfltétl fgylmbvétl Elmk llsztését a közös csomóontba ső lmozdulások azonosságával bztosítjuk. Lgyn éldaként az jlű csomóontokba bfutó lmk jl rndr, + lltv k, s. Ekkor az llsztés szrnt []: q = q = q = q = q (.54) + k s vagys azt s mondhatjuk, hogy a mgkülönbözttő flső ndx lhagyható. A vzsgált rndszr tljs otncáls nrgája az lmk nrgának összgéből ( N.az lmk száma) lltv a W k koncntrált csomóont rők munkájából áll lő: N T T k T T Π = W = = q Kq q f q K q q f (.55) Ez a kfjzés értlmz a szrkzt q csomóont lmozdulás vktorát, trhlés vktorát, valamnt a szrkzt K mrvség mátrxát. A szrkzt csomóont trhlés és lmozdulás vktora az llsztés fltétl alaján azaz N = q f = + q f + q f + q f + q f = T T + T + T st s T k T + k s + T = + q f + f f + f = q f f f = f (.56) thát az összgzést mndazon lmkr l kll végzn, amlyk az - jlű csomóontot tartalmazzák. Itt T T T T q = q q qncs (.57) T T T T f = f f fncs (.58) ncs dg a szrkzt csomóontjanak száma. A szrkzt mrvség mátrxa az nrgával kacsolatos: ahol N q K q = = q Kq T K = [ K ], j =,, ncs K = K (.59) j j j, j Az összgzés alaján j ndxű blokk mndazon lmknél szrl, amlyk tartalmazzák gydjűlg az és a j jlű csomóontot. A csomóont lmozdulások számítása a otncáls nrga varácójának ltűnés alaján történk. Ennk mgfllőn
Π T δπ = δq = 0 q azaz ( ) 0 q K q f (.60) T δ = ahol δq a knmatka rmfltétlt klégítő csomóont lmozdulásvktor varácója. Lgyn q j = q ju adott csomóont lmozdulás, mly azt jlnt, hogy δ q j = 0 Ekkor a (.60) gynltbn a j-dk blokksor 0-val szorzódk. Csréljük k a j-dk csomóont lmozdulását az smrtln R külső trhléssl, amly nylván rakcó rő: j K j q K jj q ju f j R j smrt smrtln Az smrt és az smrtln mnnységk csréjévl kajuk, hogy (.6) K 0 q f K jq ju = (.6) K E -R j fj K jjq ju ahol E gységmátrx. Az gynltrndszr mért mgmarad, vszont a szmmtra lromlk. Ha a támasztórő nm érdks, akkor a j-dk blokksor főátlón kívül lm s nullázhatók, s így az gyütthatómátrx szmmtrája hlyráll. Hasonló rdményr vzt a knmatka lőírás rugalmas mgtámasztással való bztosítása. Ekkor mgfllőn nagy rugóállandót kll alkalmazn. A Κ rangját mgkajuk ha kézzük az összs smrtln és a mrvtstszrű mozgás szabadságfokának a különbségét. A csomóont aramétrk mgkötés révén lvégzv a knmatka lőírásokat, mgszűnk a mrvtstszrű mozgás lhtőség. A mgoldandó gynltrndszrt kkor s Kq = f (.63) alakban szokás írn. Az gyüttható mátrx és trhlés vktor azonban már tartalmazza a knmatka lőírásokat s. Az gynltrndszr jllmző közül a nagy mértk matt fontos az gyüttható mátrx zérustól különböző lmnk lhlyzkdés. Az gynltrndszr szalagszrkztű, amlyt az alább ábra szmléltt:.5. ábra. K szrkzt 3
Ez azt jlnt, hogy a zérustól különböző blokkok gy adott sávba snk, amlyt az lmn lévő sorszámkülönbség maxmáls érték határoz mg. Nagysága alavtőn a sorszámozástól függ. Példaként tkntsük a kövtkző végslm flosztást és konstruáljuk mg a hozzá tartozó smatkus mrvség mátrxot.6. ábra. Téglala flosztása 3 lmr.7. ábra. K mátrx szrkzt Itt látható, hogy a sávszélsség: főátló +5 lm. Ennél van kdvzőbb számozás s, mly gyúttal otmáls számozást jlnt..8. ábra. Otmáls számozás.9. ábra. K otmáls szrkzt Az gynltrndszr mgoldása az un. drkt vagy trácós ljárás alaján történk. 4
.5. Egyváltozós fladatok Sok stbn a 3 dmnzós térbn lhlyzkdő tstt, a mchanka vslkdés szmontjából, knmatka és fszültség hotézsk flhasználásával gy, ll. kétváltozós fladatokká lht áttranszformáln, vagys rdukáln. Ezzl a fladatok mgoldhatóság körülmény gyszrűsödnk. A flvtt hotézsk alkalmazását a gyakorlat vsszagazolja. Ign lénygs osztályát jlnt az lyn tíusú szrkztknk, a rúdként tárgyalható modllk. A vzsgálatankat síkbl szrkztkkl kzdjük..5.. Síkbl rúdszrkztk Rúdnak nvzzük azokat a tstkt, amlyknél a tst gy ktüntttt térgörbér mrőlgs gomtra mért lénygsn ksbbk a térgörb rányában mérthz kést. Ha a térgörb gyns, akkor gyns rudakról bszélünk. A tst mrőlgs mtszt a rúd krsztmtsztét jlölk k. Fltétlzésünk szrnt a krsztmtszt súlyontja a térgörbén hlyzkdk l, amt tömörn közévonalnak nvzünk. Elöljáróban síkbl gyns közévonalú és állandó krsztmtsztű (rzmatkus) húzottnyomott, hajlított-nyírt rudakat fogunk vzsgáln. A nyírás nrga lhanyagolásával az. u. n. Brnoull hotézsű rudakhoz jutunk []. A rúdszrkztk modlljvl számos gyakorlat robléma szlárdságtan lmzés kénylmsn és nagy mgbízhatósággal mgoldható. A géésztbn az rőátvtl hajtóművk tnglynk mértzés, a géállványok lső durva mértnk mghatározása, csarnokszrkztk trvzés stb. fladatorntáltan lkészíttt végslms rogramok révén a mndnnaos trvző analízs szköz. A bmutatott lmélt az lmélyültbb munkát, a mchanka szmléltmód rősítését szolgálja..5... Brnoull fél hotézs, varácós gynltk A vzsgált x z síkban fkvő rúdszrkzt gy ttszőlgs jlű lmét a végn lhlyzkdő és j csomóontokkal jllmzzük. A rúdhoz kötött hly koordnátarndszrt az, j csomóontokon átmnő ξ tngly és a rúdkrsztmtsztbn lhlyzkdő η, ζ főtnglyk alkotják. A rúd tngly az x tngllyl β szögt zár b, hossza L. A rúd lmozdulásánál fltétlzzük, hogy a rúd krsztmtszt mrőlgs marad a mggörbült közévonalra, azaz érvénys a Brnoull-fél hotézs. Ekkor, szlárdságtan smrtnk alaján mondhatjuk, hogy a rúdban alakváltozás nrgát csak rúdrányú fszültségk adnak. A krsztmtszt mntén húzás-nyomásból állandó, hajlításból lnársan mgoszló lfutású fszültség kltkzk. Ehhz tartozóan a rúdrányú lmozdulás a krsztmtszt gy ttszőlgs P ontjában (lásd az.0.ábrát) a kövtkzőké írható fl: P P (,, ) ( ) ( ) u = u ξ η ζ = u ξ w ξ ζ, (.64) d ahol () = (), u( ξ), w( ξ) a ξ ll. ζ rányú lmozdulás. dξ Az (.64) összfüggés flhasználásával a tnglyrányú fajlagos nyúlás ξ ( ) = ( ) = u ( ξ) w ( ) ε ξ ε ξ ξ ζ, (.65) míg az gyszrű Hook-fél anyaggynlt alaján a normál fszültség ( ) E ε ( ξ ), σ ξ = (.66) 5
ahol E a Young modulus..0. ábra. Síkbl rúd lmozdulása, trhlés Jlölj a rúdon ható mgoszló trhlést, hosszrányban ξ, krsztrányban ζ, mlyknk mértékgység [N/mm]. A rúd végn F, ξ0 FξL rúdrő, F, ζ 0 FζL nyírórő és M, η 0 MηL hajlítónyomaték hat. A fnt trhléskt fgylmbvév, továbbá tkntttl, hogy az alakváltozás nrga csak a σ ( ξ ) fszültségből származk, a rúd tljs otncáls nrgája két ntgrálon krsztül és a rúdvégkn ható koncntrált rők és nyomatékok trhlés munkájából áll össz. Π = ( ) εξ E εξ da dξ u ξ + w ζ dξ L A L + ( u( L) FξL u( 0) Fξ0 w( L) FζL w( 0) Fζ 0 ) ( w ( L) M w ( 0) M ) + ηl η 0 (.67) A mnmum fltétlt kjlölő δ Π = 0 staconartás fltétlből a δ u és δ w mzők függtlnség matt - az u rúdrányú lmozdulás vonatkozásában részltztt módon -, az alább mzőgynltk és rmfltétlk vzthtők l: δ Π = 0 = δu E ( u w ζ) dadξ δu dξ u L A L ( ( ) L ( 0) 0 ) ( δu( L) FξL δu( 0) Fξ0 ) δu L F δu F = δu AE u dξ δu dξ ξ ξ ξ L L = AEu F δu δu AEu + dξ L ( ) ( ) ξ 0 ξ L ξ (.68) AEu + = 0, (.69) ξ 6
L ( ) 0, 0 N Fξ δ u = N = AEu (.70) A részltk mllőzésévl a krsztrányú w lmozdulás vonatkozásában, az gynsúlyt kfjző alagynlt I E w η IV = 0, (.7) ζ és a dnamka rmfltétlt adó varácós gynltk L ( ζ ζ ) ( η η) L 0 0 F F δw = 0, M M δ w = 0, (.7) azaz Fζ = Iη E w, és Mη = Iη E w (.73) Látható, hogy mgoszló trhlés hányában az (.69) és (.7) mzőgynltk lnárs u, ll. harmadfokú w olnommal légíthtők k. Amnnybn a rúd hossza mntén mgoszló trhlésk lnársan változnak, akkor a mzőgynltk artkulárs mgoldását harmadfokú ll. ötödfokú olnom szolgáltatja. Ebbn az stbn a végslm közlítő mző gyúttal ontos mgoldások, vagys jln stbn a tljs otncáls nrga mnmuma lv gzakt mgoldást szolgáltat a rúdszrkzt vonatkozásában. Nagy lőny a módszrnk, hogy ks lmozdulások és alakváltozások fltétlzés mlltt, a statkalag többszörösn határozatlan szrkztk mndn nhézség nélkül vzsgálhatók. Fgylmt a knmatka rm- és llsztés fltétlk klégítésér kll csak összontosítan. A fnt (.69)-(.73) alatt varácós gynltkből, rmfltétlkből kövtkzk, hogy az 0 lmk között mzők folytonosság fltétlk u mzőnél C osztályú azaz a függvény folytonos, a w mzőnél C osztályú folytonosságot azaz a drvált folytonosságát s mgkövtljük. A síkban lhlyzkdő különböző rányítottságú lmk matt a ξ ζ hly koordnátarndszrbn értlmztt, csomóontonként mgjlnő u, w, ϕ η = w lmozdulás aramétrk transzformácójára lsz majd szükség..5... Elmozdulásmző közlítés A fnt lvztésből kövtkzk, hogy az lmn blül lmozdulásmző u, w. Ezkt olnomok sgítségévl közlítjük. A olnomok tagjanak gy részénél az gyütthatókat csomóontonként flvtt két lmozdulás és gy szöglfordulás értékkl tudjuk kfjzn, ll. az nhomogén dffrncálgynltk artkulárs mgoldásahoz tartozó tagokat ótlólagos állandóként, aramétrként fogjuk a továbbakban szrlttn. Dfnálva az lm hly koordnátarndszrbn értlmztt q általánosított csomóont vktorát, az a ótlólagos állandók vktorát, a flsorolt művltk végrhajtása után az alább aroxmácóhoz jutunk. Vagys az lmn blül lmozdulásvktor u u ( ξ ) = = ( ξ) + ( ξ) w N q N a, (.74) ahol a csomóont lmozdulásvktorhoz tartozó aroxmácós mátrx ( ξ) ( ξ) ( ξ) N N N j, (.75) ahol ( ξ ) = ξ 0 0 N =, 3 3 0 3ξ + ξ L( ξ ξ + ξ ) 7
ξ 0 0 N j ( ξ ) =, ξ = ξ / L. 3 3 0 3ξ ξ L( ξ ξ ) A ótlólagos állandókkal mgszorzott aroxmácós mátrx N ( ξ ) L ( ξ ξ ) L ( ξ ξ ) 3 3 = 4 4 3 5 5 3 0 0 ( ξ ξ + ξ ) L ( ξ ξ + ξ ) 0 0 L 3 T, T T T, T T q = q q j, a = a u aw T,, = [ u, w, w ] q. (.76).5..3. Mrvség mátrx, rdukált trhlés vktorok Az (.67) dszkrtzálása után végs dmnzójú fladatot kaunk, azaz a dszkrtzált tljs otncáls nrga, T K, qq K qa T q f q( ) Π =Π ( q, a ) = ( ) q a (.77) K K a f aq aa a( ) ξ ξ T, T, ahol fq ( ) = N () ξ dξ, fa ( ) = ( ) d ζ N ξ ξ (.78) L ζ L AE 0 T, qq () ξ AE 0 T, K = B () ξ dξ 0 IE B, aa ( ξ) K = ( ξ) dξ L η B 0 IE B. L η Itt 0 0 0 0 L L B ( ξ) = (.79) ξ 6 4 6ξ 6 ξ 6ξ 0 0 L L L L ξ L 3ξ L 0 0 B ( ξ) = 3 3. (.80) 0 0 ( ξ ξl) + L 0ξ 8ξL + 4L A otncáls nrgában szrlő, a hly koordnátarndszrbn értlmztt vgys ndxű, T mrvség mátrx, jln stbn Kaq = Kqa = 0. Az a aramétrkhz tartozó K aa mrvség mátrx és annak nvrz zárt alakban flírható és így a / Π a = Kaa a fa( ) = 0 mnmum fltétlből az a kszámolható. A számítások lvégzés után a ótlólagos állandók vktora a két mző vonatkozásában T, ξ a u = ( ξ ξ j), (.8) AE 6AEL, T ζ a w = ( ζ j ζ ). (.8) 4IE η 0IEL η 8
A szmmtrkus K qq K qq mrvség mátrx az alább AE / L 0 0 AE / L 0 0 3 3 0 IE η / L 6 IE η / L 0 IE η / L 6 IE η / L 0 6 IE/ L 4 IE/ L 0 6 IE/ L IE/ L η η η η = AE / L 0 0 AE / L 0 0 3 3 0 IE η / L 6 IE η / L 0 IE η / L 6 IE η / L 0 6 IηE/ L IηE/ L 0 6 IηE/ L 4 IηE/ L A rdukált csomóont trhlés vktor az (.78) alatt ntgrál kszámítása után a kövtkző összfüggésk révén számolható, (az áttknthtőség érdkébn a mátrx lmkt vsszővl választjuk l): T, ξ ζ 3 fq( ) = [ L[ + ( ξ j ξ ) ], L[ + ( ζ j ζ ) ], 6 0 ζ ξ L [ + ( ζ j ζ ) ], L[ + ( ξ j ξ ) ], 30 3 ζ 7 ζ L[ + ( ζ j ζ ) ], L [ + ( ζ j ζ ) ] ] 0 0 A hly koordnátarndszrbn flírt dszkrtzált otncáls nrgát az lmk között lmozdulásmző folytonosságának bztosítása érdkébn az x z globáls koordnátarndszrbn értlmztt U, W lmozdulásokkal és a síkra mrőlgs ϕ y szöglforduláson krsztül lht kfjzn. A hly, rúdhoz kötött koordnátarndszrbn lévő csomóont általánosított lmozdulást a globálbl értékkn krsztül az alább összfüggés révén fjzhtjük k: u cos β sn β 0 U q = w sn β cos β 0 W = T0 q, (.83) ϕη w = 0 0 ϕ Y vagys az lm csomóont általánosított lmozdulásvktora q T0 0 q = = T q q j 0 T0 q j q, (.84) ahol T az lm transzformácós mátrxa. Ezk után az lm tljs otncáls nrgája T, T, T, Π =Π ( q, a ) =Π ( q, a ) = q ( T KqqT q T f ( ) ) +... q (.85) T, T, = q Kqq q q f ( ) +..., q ahol K = T K T (.86) T, qq qq a globáls rndszrbl mrvség mátrx, 9
f = T f (.87) T, q ( ) q( ) a globáls rndszrbl rdukált csomóont általánosított trhlés vktor. Ezk smrtébn az lmk csatolása az smrt szabályok alaján már könnyn lvégzhtő..5..4. A hőhatás fgylmbvétl A rúdban a hőmérséklt-mgoszlást a θ θ( ξζ, ) = függvényn krsztül adjuk mg, α -a fajlagos hőtágulás gyüttható. Fltétlzzük, hogy a rúdban a hőmérsékltmző az alább összfüggés alaján lnársan változk (, ) ( ) / L ( ( ) / L ) θθξζ = = θ+ θ θξ + ζ θ+ θ θξ (.88) j j ahol θ az -dk krsztmtszt súlyontjának hőmérsékltét, krsztmtsztbl ζ mnt lnárs változását jllmz. Hőhatás stén a kltkző normálfszültség { ξ } ( ) E ( ) (, ) θ dg a hőmérséklt -dk σ ξ = ε ξ αθ ξζ. (.89) A kélt szrnt látható, ha l. gy rúd mg van akadályozva a mgnyúlásában (két vég mrv laokra támaszkodk), akkor gynltsn mlgítv a rudat θ ( ξζ, ) = θáll, alakváltozás nm lé fl, d a krsztmtszt mnt állandó nyomó fszültség jön létr σ ( ξ ) = Eαθáll. Ha a rúd gyk végét mozgásában nm akadályozzuk, akkor a hőmérséklt mlkdésből származó fajlagos nyúlás ε ( ) L áll / L ξ ξ = αθ azonos lsz az αθ áll értékkl, vagys a rúdban nm lé fl hőfszültség. Általánosan mondható, ha a tst homogén, zotró, és a tstbn a hőmérséklt lnársan változk, továbbá a tst szabadon tud trjszkdn, akkor a tstbn a hőhatásból nm származnak fszültségk, annak llnér, hogy a tstbn lmozdulások fllétk. A hőhatásból adódóan a tljs otncáls nrga módosul. Szmmtrkusan flírva Π = + L A L majd a dszkrtzálást lvégzv a rdukált hőtrhlés vktor: f q ( ε αθ ) E( ε αθ ) dad ξ ξ ξ ( u ξ w ζ ) d ξ..., (.90) AEα I Eα = θ + θ j, θ θ j, Iη E α θ, L AE α I Eα θ θ θ θ α θ L T, η ( θ ) [ ( ) ( ) η ( + j), ( j ), Iη E j ] ll. a hőmérséklthz tartozó ótlólagos állandók vktora ( θ ) (.9) θ, j θ T a α, 0, 0, 0. (.9) = L.5..5. Rugalmas ágyazás hatása Érntkzésbn álló tstk gykét gyakran un. Wnklr tíusú közggl szokásos hlyttsítn. A vasút sín, az utak btonburkolata, szrszámgék szánrndszrénk 30
vzték stb. zzl a modlll jól mgközlíthtők. A szóban forgó modllnél a tstt gymástól függtlnül álló rugókkal hlyttsítjük. A rugókban kltkző rő arányos az lmozdulással. Estünkbn a mgoszló trhlés ntnztása w = cζ w, ahol c ζ un. rugóállandó, ágyazás tényző. Az gységny hosszra ső fajlagos alakváltozás nrga 0.5 w = 0.5 c w. Ily módon a tartó mnt rugalmas ágyazásból származó nrga w ζ U rug = wcζ w dξ. (.93) L A ζ tngly rányú w lmozdulás (.74) alatt közlítésévl, a bhlyttsítés és ntgrálás után, L= L fgylmbvétlévl ahol U, K, qq K qa q w = U ( q, a ) = q a, (.94) Kaq Kaa aw T T rug rug w w T, T, q q q, q = [ w w ], = [ a, a ] = T, T, T, w w, w, j w,, a, w w rug 56 L 54 3L cl ζ 4L 3L 3L K qq, rug =, (.95) 40 szmm. 56 L 4L / 60 L/ 80 / 60 L/ 80 5 K aq, rug = cl 0L, 09 3 ζ (.96) L L L 50 60 50 50 / 630 L / 5 9 K aa, rug = cl 3 ζ. (.97) L / 5 L 30 A flírásból kövtkzk, hogy bbn az stbn mvl K aq kacsoló mátrx nm zérus, a ótlólagos állandók hatásának lmnálása a 3. részbn smrttésr krülő alszrkzttchnkánál smrtttt ljárás révén oldható mg. Ennk értlmébn a rdukált mrvség mátrx ( ( ) ) Kqq, rug, rd = Kqq Kqa Kaa K aq. rug A rugalmas ágyazású tartóhoz rndlhtő tljs otncáls nrga ( ) Π =... IEw η dξ + cw ζ dξ wζ dξ. (.98) L L L Kézv a Π lső varácóját, a rugalmas ágyazású rzmatkus tartók dffrncálgynltér a kövtkzőt kajuk: IV IηEw cζw ζ Ennk mgoldása a + =. (.99) 3
c 4 ζ 4 α = (.00) IE η tag bvztésévl 4 ξ 4 α w = av ξ + V ξ τ τ dτ, (.0) ( ) ( ) ( ) = cζ 0 ahol a V ( ξ ) Krülov függvényk 4 ζ V = ch( αξ ) cos ( αξ ), V = ch( αξ ) sn ( αξ ) + sh( αξ ) cos ( αξ ), V3 = sh( αξ ) sn ( αξ ), V4 = ch( αξ ) sn ( αξ ) sh( αξ ) cos ( αξ ), alakban számolhatók. Ily módon a rugalmas ágyazású tartó w lmozdulásának olnomos közlítés már nm ad ontos mgoldást. A végslms mgoldás ontosítható gyrészt a ótlólagos állandók, másrészt a végslmk számának mlésévl. A fnt végslmnél a flvtt ótlólagos állandók száma kttő..5.. Térbl rúdszrkztk Az lőző fjztbn bmutatott lvk sgítségévl a térbl rudak lmozdulásmzőn alauló közlítés könnyn lvégzhtő []. M ζ F ζ ζ η Fη M η ξ j F ξ M ξ.. ábra. Térbl rúd génybvétl A.. ábra szrnt húzás-nyomás, két tnglykörül hajlítás-nyírás, továbbá csavarás jlnt az génybvétlkt. A Brnoull-fél hotézs és a St. Vnant-fél szabad csavarás fltétlzés mlltt, az alakváltozás nrga számításánál a nyírást és a krsztmtszt öblösödését mgakadályozó gátlások hatását lhanyagoljuk. Nyírás fgylmbvétlkor az un. Tmoshnko-fél rúdlmélt alaján szokás számoln, míg gátolt csavarás stén a 3
vékonyfalú szlvénykr kdolgozott lméltk jönnk számításba. Ezk végslms tárgyalása az [] rodalomban részltsn mgtalálható. ζ ϕ ζ z w ζ v η ϕ η η x y ξ j u ϕ ξ ξ.. ábra. Térbl rúd trhlés, lmozdulása A fnt mlíttt lmozdulásra vonatkozó hotézsk alaján a tst ttszőlgs P ontjának lmozdulása up up( ξ, η, ζ ) u( ξ) v ( ξ) η w ( ξ) ζ ϕ ξ ( ξ) ( η, ζ ) vp vp( ξ, η, ζ ) v( ξ) ϕξ ( ξ) ζ wp wp( ξ, η, ζ ) w( ξ) ϕξ ( ξ) η ahol ( ηζ, ) = = + Φ, (.0) = =, (.03) = = +, (.04) Φ=Φ dlanácós függvény, amlynk érték végslm-módszr révén s mghatározható [Páczlt I. Szabó T.: Estmaton of torsonal rgdty by mans of th fnt lmnt mthod, Acta Tchnca Acad. Sc. Hung., 04(-3), 99/9,. -36.] A kltkző alakváltozások, az (.0)alaján (,, ) u ( ) v ( ) w ( ) ( ) (, ) ε = ε ξ η ζ = ξ ξ η ξ ζ + ϕ ξ Φ η ζ, (.05) ξ ξ ξ Φ γηξ = γηξ ( ξ, η, ζ ) = ζ ϕ ξ ( ξ), (.06) η Φ γζξ = γζξ ( ξ, η, ζ ) = + η ϕ ξ ( ξ). (.07) ζ A csavarásnál értlmzést nyr a krsztmtszt I c csavarás krsztmtszt jllmző, amly az Φ Φ Ic = { + η + ζ ζ η A } da (.08) ntgrál sgítségévl számolható k. 33
ξ ξ krsztmtszt mrvtstszrű szöglfordulás mzőjét, hasonlóan a rúdrányú lmozduláshoz C 0 osztályú függvénnyl kll közlítn. Az η ξ síkbl hajlításnál a v lmozdulásnak és annak ξ szrnt drváltjának s folytonosnak kll lnn. Ily módon az lm blül lmozdulásmző A csavarást jllmző ϕ ( ) u ϕ ( ) ξ ξ u = = N ( ξ) q + N ( ξ) a, (.09) v w ahol a csomóont lmozdulásvktor T, T T q = q q j = u, vw,, ϕ ξ, w, v, (.0) továbbá a lnársan mgoszló trhlés hatását ontosan fgylmbvvő ótlólagos állandók vktora T, T T T a = a u av aw. (.) A síkbl stbn bmutatott aroxmácós mátrx rdményt flhasználva a térbl str a közlítés függvény könnyn flírhatók. A otncáls nrga rzmatkus rudat fltétlzv Π = c ( ) εξ Eεξ dadξ + I Gϕξ dξ u ξ vη w ζ dξ + + L A L L + + ( u( L) FξL u( 0) Fξ0 v( L) FηL v( 0) Fη0 w( L) FζL w( 0) Fζ 0 ) ( ϕ ( L) M ϕ ( 0) M v ( L) M v ( 0) M w ( L) M w ( 0) M ) + + ξ ξl ξ ξ0 ζ L ζ 0 ηl η 0 Dszkrtzálás után smét azt kajuk, hogy K = aq 0, továbbá a ótlólagos állandók zárt alakban kszámolhatók. A (,) mértű K qq mátrx és csomóont trhlés vktor az alábbak szrnt számítható k: K Kj T Kqq =, ( K j ) = ( Kj ), qq qq K j K jj qq (.4) 34
ahol ( K ) ( K j ) ( K jj ) qq qq qq AE / L 0 0 0 0 0 3 0 IζE/ L 0 0 0 6 IζE/ L 3 0 0 IE η / L 0 6 IE/ L 0 η = 0 0 0 IG c / L 0 0 0 0 6 IE η / L 0 4 IE η / L 0 0 6 Iζ E/ L 0 0 0 4 Iζ E/ L AE / L 0 0 0 0 0 3 0 IζE/ L 0 0 0 6 IζE/ L 3 0 0 IE η / L 0 6 IE/ L 0 η = 0 0 0 IG c / L 0 0 0 0 6 IE η / L 0 IE η / L 0 0 6 Iζ E/ L 0 0 0 Iζ E/ L AE / L 0 0 0 0 0 3 0 IζE/ L 0 0 0 6 IζE/ L 3 0 0 IE/ L 0 6 IE/ L 0 η η = 0 0 0 IG c / L 0 0 0 0 6 IE η / L 0 4 IE η / L 0 0 6 Iζ E/ L 0 0 0 4 Iζ E/ L Ezk ntgrálásánál flhasználtuk a B ( ξ) = ( ξ) j ( ξ) B B mátrxot, ahol 0 0 0 0 0 L 0 0 0 0 0 L B ( ξ) =, 0 ( ξ 6) 0 0 0 ( 6ξ 4 )/ L L 0 0 ( 6 ξ) 0 ( 6ξ 4 )/ L 0 L B j 0 0 0 0 0 L 0 0 0 0 0 L ( ξ) =. 0 ( 6 ξ) 0 0 0 ( 6ξ )/ L L 0 0 ( 6 ξ) 0 ( 6ξ )/ L 0 L A rdukált csomóont trhlés vktor: qq qq,. qq, 35
ξ L[ + ( ξ j ξ ) ] 6 η 3 L[ + ( η j η ) ] 0 ζ 3 L[ + ( ζ j ζ ) ] 0 0 ζ L [ + ( ζ j ) ] ζ 30 η L [ + ( η j ) ] η 30 fq( ) = ξ L[ + ( ξ j ) ] ξ 3 7 η L[ + ( η j η ) ] 0 ζ 7 L[ + ( ζ j ζ ) ] 0 0 ζ L [ + ( ζ j. (.5) ζ ) ] 0 η L [ + ( η j η ) ] 0 Az a u és a w ótlólagos állandók vktora azonos a síkbl stnél kaottal, az η rányú v lmozduláshoz tartozóan, T η a v = ( η j η ). (.6) 4IζE 0IζEL Hőhatás stén hasonló rdményk írhatók fl. A lokáls rndszrbl mnnységk az alább ortogonáls transzformácó sgítségévl nyrnk átszámítást. Jlölj a rúdhoz kötött koordnátarndszr tnglynk rányába mutató gységvktorokat ξ, η, ζ. A globáls rndszrbl Dscarts tnglyk rányába mutató gységvktorok lgynk x, y, z. Ekkor áll U x ξ x η x ζ u T, V y ξ y η y ζ v = = T 0 qlm,. (.7) W w z ξ z η z ζ Hasonló összfüggés gaz a szöglfordulás aramétrkr s. Thát az -dk csomóont vonatkozásában fnnáll, hogy 36
U u V v W T = = ϕ x 0 ϕ y ϕ η ϕ ϕ ζ T 0 0 w, T T T 0 T ϕξ 0 z Az gész lm vonatkozásában a transzformácó q. (.8) azaz T q T0 0 q T, q = = = T T q, (.9) q j 0 T0 q j q 0 q T 0 q = = = T q. (.0) q j 0 T0 q j Vagys a globáls rndszrbl mrvség mátrx K = T K T, (.) T, qq qq míg a rdukált csomóont trhlés vktor f = T f (.) T, q ( ) q( ) gyszrű szorzással a lokáls rndszrbl értékkből kszámolható..6. Kétváltozós rugalmasságtan fladatok vzsgálata zoaramtrkus lmkkl.6.. Fladattíusok.6... Síkalakváltozás (SA) Amnnybn a vzsgált tst gomtrája és trhlés kövtkztébn létzk gy olyan rány, amly mntén a tst ontja nm mozdulnak l, valamnt zn ktüntttt rányhoz tartozó hlykoordnátától a rá mrőlgs síkban flléő lmozdulásvktor koordnátá függtlnk, síkalakváltozásról szokás bszéln. Ez az st áll fnn éldául gy hosszú, nm fltétlnűl körgyűrű krsztmtsztű, nagynyomású cső stén, mkor s a csőtst ontja csak a tnglyr mrőlgs mtsztbn mozdulnak l. Lgyn a ktüntttt rány z. Ekkor a szóbanforgó állaot kalakulásához az szükségs, hogy a térfogaton mgoszló ρk trhlésnk és az A flültn mgoszló trhlésnk n lgyn z rányú össztvőj. Igy azután az lmozdulásmző és a trhlés függvényk u= u( xy) = ux + vy ρk = ρk( xy, ) = ρ( kxx + kyy) (.3) = ( xy, ) = + x x y y 37
alakban írhatók. Az A alakváltozás tnzor fntkből adódóan εx γ xy 0 ε x A= A ( xy, ) = γ yx εy 0 ε = εy (.4) γ 0 0 0 xy míg a T fszültség tnzor σx τxy 0 T = T ( xy, ) = τ yx σ y 0 0 0 σ z ahol σz = ν ( σ x+ σ y) Az ε z 0 matt az alakváltozás nrga számításánál csak a T tnzor síkbl részévl kll dolgozn, thát σz τxy T = τ yx σ (.5) y Így végül s síkalakváltozás stén, homogén zotró anyagot fltétlv az anyagtörvény σ x ν ν 0 ε x E T σ = σ y = ν ν 0 εy ( ν)( ν) Dε (.6) + τ xy ν γ xy 0 0.6... Síkfszültség állaot (SF) A síkfszültség állaotot az jllmz, hogy most a ktüntttt z rányra mrőlgs síkokon nm kltkzk σz = τxz = τ yz = 0 fszültség. Ehhz az szükségs, hogy a ρk és trhlés függvényknk n lgyn z rányú össztvőj. A vékony tárcsa közéflültér, ahol s z = 0, a trhlésnk, mlyt az oldalrmn írunk lő, négyzts függvényként kll változn. Fntk alaján a fszültség tnzornak csak a síkbl rész lht zérustól különböző σx τxy 0 T = τ yx σ y 0 = T ( x, y) (.7) 0 0 0 Ismét homogén, zotró anyagot tétlzünk fl, így a z rányú fajlagos nyúlás εz = ν ( εx + εy) ν míg az A alakváltozás tnzor 38
εx γ xy 0 ε x A= γ yx εy 0 = A ( xy, ) ε = εy (.8) γ 0 0 ε xy z Tkntttl mgnt az alakváltozás nrga kszámítás módjára lgndő csak a tnzorok síkbl részét mgtartan: σ x ν 0 ε x E T σ = σ = ν 0 ε = Dε (.9) y y ν τ xy ν γ xy 0 0.6..3. Általános Síkfszültség állaot (ÁSF) A SF állaot szgorú kndulás fltétlnk nyhítés céljából z stbn fltétlzzük, hogy a σ z mndnhol zérus, a σx, σ y, τ xy a z nk áros függvény, a τ xz és a τ zy dg a z nk áratlan függvény úgy, hogy közbn a tárcsa alsó és flsőlajan zérus értékűk. Itt jgyzzük mg, hogy gys munkákban az SF lltv ÁSF fladatokat saját síkjukban trhlt lmzfladatoknak s nvzk. Fnt fszültség koordnátákra vonatkozó fltétlk tljsüléséhz a trhlés függvényk a térfogaton gyrészt ρk( xyz,, ) = ρk( xy,, z) 0 (.30) másrészt a aláston = xx + yy + zz x( xyz,, ) = x( xy,, z), y( xyz,, ) = y( xy,, z) (.3) ( x, y, z) = ( x, y, z) z z alakúak kll, hogy lgynk. Az így mgoldott trhlés fltétlk mlltt az gys mchanka mnnységkt a b vastagság mntén ntgrálva átlagértékkt kaunk. Így értlmzhtő az átlagos fszültség és alakváltozás tnzor T = dz, ( ) b T T A (.3) ( b) valamnt az átlagos lmozdulás és trhlés vktor u= dz b u (.33) ( b) = dz = x x + y y b (.34) ( b) Így az ntgrálás lvégzésévl az ÁSF állaotot s kétváltozósként lht kzln. A későbbkbn az átlagolásra utaló flülvonást lhagyjuk. 39
.6..4. Tnglyszmmtrkus alakváltozás (TSZ) Ez stbn a.3.ábrán látható z tnglyű forgástst trhlés és mgfogása függtln a krült rányban mért ϕ koordnátától.3. ábra. Egy forgásszmmtrkus tst gomtrája és gy ttszőlgs mrdánmtszt mntén jlntkző lmozdulás koordnáták Így az alkalmasan választott hngr-koordnáta-rndszrbn a tst ttszőlgs ontjának lmozdulás vktora u= u( RZ, ) R + wrz (, ) z (.35) alakú, azaz a vzsgálatokat gy ttszőlgs mrdánmtszt mntén az Rz síkban kétdmnzós fladatként lht lvégzn. Az alakváltozás és fszültség vktorok u R εr u σr ε ϕ R σ ϕ ε= =, σ = (.36) ε z w σ z γ z Rz τ Rz u w + z R között homogén zotró anyagra az anyagállandók mátrxa ν ν ν 0 ν ν ν 0 E D = ν ν ν 0 (.37) ( + ν)( ν) ν 0 0 0 trmt kacsolatot. σ = Dε (.38) 40
.6.. Síkbl lmk A valóságos mérnök, szlárdságtan fladatok mndg a térbl, háromdmnzós ukldsz térhz köthtők. Mégs, számos stbn a vzsgált tst gomtra alakja, az anyagjllmzők és a tstr működő külső rőrndszr tulajdonsága lhtővé tszk, hogy matmatkalag a roblémát kétváltozósként lhssn kzln. A szlárdságtan tkus kétváltozós fladattíusat a kövtkző fjzt tárgyalja és az ott bmutatott formalzmusból látható majd, hogy a különböző fladattíusokhoz alavtőn azonos lmtíusokat lht alkalmazn. A gyakorlat fladatok mgoldásában különösn jól használhatók a lnárs és kvadratkus, három lltv négyszög gomtrájú zoaramtrkus lmk. Ez utóbb, általános dfncó szrnt azt jlnt, hogy az lm gomtra ontjat és az lm mnt lmozdulás mzőt ugyanolyan, trmészts koordnáta-rndszrbn adott ntrolácós függvénykkl közlítjük [], []..6... Négycsomóontú lm A.4.a.ábra gy konvx gynsoldalú, négycsomóontú lmt mutat az xy globáls koordnáta-rndszrbn, amlyt gy két gység élű négyzt-tartományra kívánunk lkézn. y ξ, η lkéző függvénykt blnárs alakban írjuk fl: Ennk érdkébn az (, ) x ξ η és ( ) 3 4 T [ ] a ϕ x( ξ, η) = a + aξ + aη + aξη = ξ η ξη = ( ξ, η) a T y( ξ, η) = b + bξ + bη + bξη = ϕ ( ξ, η) b (.39) 3 4.4. ábra. Négyszög alakú végslm a/ lkézés két gység élű négyzttartományra b, c/ nm konvx lmk amlyk nm bztosítják az gyértlmű lkézést( dt J 0) (.39) -bn az a és b állandókat a csomóontok, azaz a sarokontok x( ξ, η ) = x, y( ξ, η ) = y koordnátá alaján lht mghatározn. Az.4 b. ábrából kolvashatóan a négy ont, ξ η koordnátájának bhlyttsítésévl 4
x a x a = x 3 a 3 x a 4 4 ugyanz tömörbbn x= Ga, a= G x Hasonlókén y-ra y = Gb b= G y Az állandókat vsszaírva (.39)-b a lkézés (.40) 4 (, ) T ξ η = ( ξ, η) G x= ( ξ, η) = x ϕ N x ( x y) (.4) alakban áll lő, ahol az N (, ) ξ η un. alakfüggvényk fléítés a kövtkző: N = ( ξ )( η ) N3 = ( + ξ )( + η ) 4 4 N = ( + ξ )( η ) N4 = ( ξ )( + η ) 4 4 Könnyn llnőrzhtő, hogy a (.4) függvényk összg: (.4) 4 N ( ξη, ) = (.43) = Mármost tkntttl az zoaramtrkus lmk dfnícójára a (.4) függvényk brtokában gyértlmű, hogy az lmk mntén az x rányú u és az y rányú v lmozduláskoordnátákat az 4 4 (.44) u = N ( ξ, η) u és v= N ( ξ, η) v = = formulákkal közlítjük, ahol u, v konkrétn az -dk csomóontbl x és y rányú lmozduláskoordnátákat jlnt. Végül onton blül néhány mgjgyzés: A (.4) formulákkal adott alakfüggvényk lsőrndű folytonos drváltakkal rndlkznk. Ahhoz azonban, hogy z bztosítsa a (.44) lmozdulásmző folytonosságát az lm mntén, nyílván gy-gyértlmű lkézés szükségs az x,y és a ξ, η koordnáta-rndszrk között, mlyhz tljsüln kll a x y ξ ξ dt J = dt > 0, x y η η azaz a J Jacob mátrx dtrmnánsnak oztívnak kll lnn. Ez azonban csak akkor lhtségs, ha a négyszög konvx, vagys valamnny blső szög 80 o nál ksbb (ld..4..ábrák). Egyszrűn bzonyítható az lm tljsség 4