A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI
A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM AIPA AFÖDI IPARFEJESZÉSI NONPROFI KÖZHASZNÚ KF. Fővállalkoó: EVICE KF.
Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar Írta: VÖRÖS GÁBOR FORBERGER ÁRPÁD ektorálta: BORBÁS AJOS A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Egetemi tananag 0
COPYRIGH: 0-07 Dr. Vörös Gábor Forberger Árpád Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar EKORÁA: Dr. Borbás ajos Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A serő nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal sabadon másolható terjesthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. ISBN 978-963-79-653-6 KÉSZÜ: a pote Kiadó gondoásában FEEŐS VEZEŐ: Votisk Zsusa ÁMOGAÁS: Késült a ÁMOP-4...A/-0/-00-008 sámú Egségesített jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés című projekt keretében. KUCSSZAVAK: Rugalmasságtan alapegenletei virtuális munka elve alakváltoási energia végeselem módser merevségi mátri tömegmátri geometriai merevség rácsos serkeet rúdelemek másodrendű rúdelmélet síkfeladatok. ÖSSZEFOGAÁS: A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a mérnöki terveés modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A elméleti megalapoó beveető fejeetek röviden bemutatják a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét és végeselem módser elmodulás módser alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok leveetését. A jeget résletesen tárgalja a mérnöki gakorlatban fontos rúd véges elemeket a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemet és a hajlított gerenda elemet. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek statika dinamika stabilitás megismerését és megértését. A áró fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült végeselem softver felhasnálók kiképése.
artalom Beveetés... 7 Fontosabb menniségek jelölése...0 A rugalmasságtan alapegenletei.... okális egenletek..... Alakváltoások geometriai egenletek...3.. Fesültségi állapot egensúli egenletek...6..3 Anagtörvén...9..4 Peremfeltételek...0..5 okális egenletek össefoglalása.....6 Példa: Sík leme mogása.... Globális modell a virtuális munka elve...4.. Példa: Raklap terhelése...6.. Példa: Rugalmas kötél lehajlása...7..3 Példa: áncrendser mogásegenlete...8..4 Silárd test alakváltoási energia növekméne...30..5 A virtuális munka elve...3..6 A teljes potenciál sélsőérték elve...3..7 Kedeti fesültségi állapot...34 3 Rúdelemek egenletei... 36 3. A Euler Bernoulli rúdelmélet...37 3.. A virtuális munka elve...39 3.. A Raleigh-Rit módser...4 3..3 Példa: Rúd megosló terheléssel...43 3..4 Dinamikai feladatok sabad lengések...47 3..5 Példa: Hajlító lengés...48 3..6 Nomott rúdelemek kihajlása...5 3..7 Példa: Egenes rúd kihajlása...54 3..8 Példa: A másodrendű elmélet...57 3. A imoshenko féle rúdelmélet...59 3.. Példa: Nírási elmodulás...60 3.. A níró terület...6 3.3 A St Venant féle csavarási modell...63 3.3. Csavarási másodrendű nomaték...66 3.3. A csavaró/níró köéppont...66 3.3.3 A virtuális munka elve...67 4 A végeselem-módser egenletei... 69 4. Elemek mátriok...70 4.. Interpoláció...7 4.. Elem mátriok...7 4..3 Kinematikai peremfeltételek...73 4..4 ámaserők és belső erők sámítása...74 4. Végeselem analíis...75 4.. ineáris statika...75 Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4.. Másodrendű statika...76 4..3 Kritikus terhelés...76 4..4 Sabad lengések sajátfrekvenciák...77 4..5 Másodrendű dinamika...78 4..6 Gerjestett mogások...78 5 Rúdserkeetek végeselem modelljei... 80 5. Csuklós végpontú rúdelem...80 5.. Elem mátriok...8 5.. Síkbeli rácsos serkeet...8 5..3 Példa: Síkbeli rácsos serkeet...84 5. Hajlított rúdelem...87 5.. Elmodulás interpoláció...87 5.. Elem mátriok...89 5..3 A rúdelem igénbevételei...9 5..4 Példa: Statikus terhelés...93 5..5 Példa: Kritikus terhelés...95 5..6 Példa: Sabad lengések...97 5..7 Síkbeli rúdserkeet...99 5..8 Példa: Keret hőterhelése...0 5.3 A imoshenko rúdelem...05 5.4 A St Venant féle csavarási modell...06 5.5 érbeli keretserkeet...09 5.5. ransformációk... 6 Síkfeladatok... 4 6. Síkfesültségi állapot...4 6. Sík alakváltoási állapot...6 6.3 Síkfeladatok végeselem modelljei...7 6.3. ineáris háromsögelem...8 6.3. Példa: Sík leme peremterhelése...5 6.3.3 ineáris négsög elem...3 6.4 Magasabbrendű elemek...39 6.4. Háromsög elemek...39 6.4. Négsög elemek...40 7 A. Függelék Mátrisámítás... 43 www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
Beveetés A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban egetemi hallgatóknak sól de gakorló mérnököknek is hasnos és a lineáris mechanikai rendserekre alkalmaható módser egséges és résletes leírását adja. A rugalmasságtani alapelvek és a elméleti háttér ismertetésének célja a hog a olvasók nag bitonsággal hasnálják értékeljék és minősítsék a kereskedelmi forgalomban beserehető végeselem eljárást is alkalmaó programrendsereket. A elmúlt köel két évsáad során a klassikus mechanika területén több a mérnöki gakorlatban hasnálható numerikus eljárást dolgotak ki. Eek eg csoportja a lokális egenletek a kontinuum viselkedését leíró parciális differenciálegenlet rendserek követlen megoldására solgált mint például a véges differencia módser. A numerikus eljárások eg másik rése a globális elvek a energetikai sélsőérték - stacioner érték - elvek direkt megoldását een belül a Raleigh-Rit módser különböő válfajait alkalmata. Een módserek alkalmaása a bonolultabb alakú testek alkatrések esetén igen komol nehéségekbe ütköik. A végeselem eljárás alapgondolatát a foltonos rendsereknek a diskrét véges sabadságfokú elemek rendserével történő helettesítését már régóta hasnálják a fiikai és mérnöki feladatok numerikus megoldására. Erre jellemő példa a egenes rudakból álló tartóserkeetek visgálati módsere ami többek köött Mawell (864) Castigliano (879) vag Mohr (868) munkáságának rése. A legelső ismert publikáció ami a bonolult tartománok réstartománokra bontását aokon belül pedig lineáris interpolációt és a energetikai sélsőérték elveket egütt alkalmata Cuorant (943) nevéhe fűődik aki a nem kör kerestmetsetű rudak sabad csavarási feladatát a potenciális energia sélsőérték elve alapján visgálta úg hog a tetsőleges alakú kerestmetsetet olan háromsög réstartománokra bontotta meleken belül a megoldás lineárisan váltoik. A minőségi váltoás feltételeit a digitális sámítástechnikai esköök fejlődése és séleskörű elterjedése tette lehetővé. A végeselem módsert a ma ismert formájában Clough urner és serőtársaik [] publikálták. (956 Boeing and Bell Aerospace) Náluk jelentek meg elősör a végeselem (finite element) csomópont (node) és csomóponti váltoó fogalmak és kifejeések is. A első alkalmaás kifejlestésének célja repülőgép sárnserkeetek dinamikai és silárdsági visgálata volt. A módser nilvánvaló sikere és hatékonsága továbbá a sámítástechnikai esköök fejlődése intenív kutatásokat indított be aminek eredméneként ma már a végeselem eljárást a mérnöki fiika legkülönböőbb területein hasnálják alkalmas többek köött lineáris és nemlineáris mechanikai áramlástani hőtechnikai akustikai jelenségek modelleésére időben állandó vag traniens folamatok simulációjára. Matematikusok tistáták a eljárás konvergenciájával pontosságával kapcsolatos problémákat és eel egütt több ma már klassikusnak sámító könv jelent meg mint például Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Zienkiewic [8] és Premieniecki [5] művei amelek még ma is korserűnek és hasnosnak bionulnak. A 980-as években megjelentek a első magar nelvű [0] [4] [5] egetemi jegetek és sakkönvek is. Mindeek eredméneként napjainkra a mérnöki terveő - elemő munka résévé váltak a végeselem eljárást valamilen sinten alkalmaó softverek. Eek köött vannak a sok elemtípust és analíis lehetőséget tartalmaó általános célú végeselem programrendserek melek a legkülönböőbb mérnöki feladatok megoldására is alkalmasak (NASRAN ANSYS MARC COSMOS ABACUS stb.). Igen hasnosak a serkeettípusra orientált rendserek melekkel csak eg féle serkeetet például ipari csőveetékeket (CAEPIPE) vag acél vasbeton váserkeeteket (FemDesign AXIS) lehet terveni visgálni. A kereskedelmi forgalomban beserehető progranrendserek megbíható intelligens hasnálatáho és a kisámított eredmének értékeléséhe a rendser keelésének ismeretén túl alapos saktudásra is sükség van aminek hiánában a felhasnálónak a softver csak eg árt titokatos dobo. A végeselem eljárást eredetileg serkeetek mechanikai visgálatokho alkalmaták és ebben a jegetben is a lineáris rugalmasságtani feladatokon kerestül mutatjuk be a módser elemeit. A jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A beveetést követő első fejeet röviden bemutatja a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét. Ennek csak a a célja hog a előtanulmánok során megserett ismereteket egséges sóhasnálat és jelölésrendser alkalmaásával felidéük. A második fejeet résletesebben foglalkoik a járműserkeetekben fontos rúdelméletekkel a mérnöki gakorlatban általánosan hasnált Euler-Bernoulli elmélettel a nírás hatását pontosabban leíró imoshenko féle rúdmodellel. Ugane a fejeet résletei és több numerikus példával illustrálja a virtuális munka elvének egik köismert direkt numerikus megoldási módserét a Raleigh-Rit módsert. Eek a megoldott feladatok segíthetik a virtuális munka elvének és a direkt numerikus módserek - beleértve a végeselem eljárást is - matematikai hátterének megértését. A harmadik fejeet a virtuális munka elvére alapuló végeselem módser - elmodulás módser - alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok bemutatását és leveetését foglalja össe. A negedik fejeet a rúdserkeetek végeselem modelleését ismerteti. Résletes leírás található a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemről valamint a hajlított gerenda elemről. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek - statika dinamika stabilitás - megismerését. www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. BEVEZEÉS 9 A ötödik fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. öbb kidolgoott feladat és a sok ábra támogatja a bemutatott elméletek megértését és a alkalmaási késség fejlestését mivel eg jó ábra felér több sá magaráó sóval. E a jeget nem eg enciklopédia ami a végeselem módser keretében hasnálatos vag ismert technikákat résletesen ismerteti továbbá nem cél a végeselem programfejlestői ismeretek átadása. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült softver felhasnálók kiképése. Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Fontosabb menniségek jelölése A rúdelem kerestmetsete C rúd kerestmetset köéppontja C rugalmas anag jellemőinek mátria E rugalmassági modulus G csústató rugalmassági modulus G nag alakváltoások másodfokú rése H nag alakváltoások mátria I I rúd kerestmetset fő másodrendű nomatékok J csavarási másodrendű nomaték K rendser lineáris merevségi mátria k e K G M m e M t M M N N i N p P p p q elem lineáris merevségi mátria rendser geometriai merevségi mátria rúdelem hossa rendser tömegmátria elem tömegmátria rúd csavaró igénbevételei rúd hajlító igénbevételei rúd húó igénbevétele interpolációs (forma) függvének interpolációs (forma) függvénmátri felületi terhelés rendser csomóponti terhelések mátria megosló terhelés térfogati megosló terhelés kerestmetset níró/csavaró köéppontja transformáció mátria www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. BEVEZEÉS U alakváltoási energia u elmodulás mátri u v w rúd tengel elmodulásai u u u elmodulás koordináták V V rúd níró igénbevételei W k külső erők munkája csavaró/níró köéppont koordináták kritikus (stabilitásvestési) terhelés soró níró fesültségek 0 σ kedeti fesültségek mátria γ γ γ Δ i Δ Δ G ε ε * ε ε ε θ θ θ ξ Π ρ σ σ σ σ Φ j ω j fajlagos sögváltoások csomóponti sabadságfokok mátria hőmérséklet váltoása Hőmérsékletváltoás gradiense kis alakváltoások mátria nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás fajlagos núlások forgás koordináták dimeniótlan hoss koordináta teljes potenciál tömegsűrűség fesültségek mátria normál fesültségek sajátvektorok (lengéskép stabilitásvestés alakja) sajátfrekvenciák Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
A rugalmasságtan alapegenletei Ebben a fejeetben bemutatjuk a lineáris rugalmasságtan alapvető menniségeit és röviden össefoglaljuk a alapegenleteket. A klassikus rugalmasságtannal résletesen foglalkoó könvekből további fontos résleteket lehet megismerni érdemes megemlíteni például a jól ismert imoshenko - Goodier [6] vag a magar nelvű [0] [3] könveket. A külső terhelés hatására a silárd test moog és megváltotatja a alakját et jellemi a elmodulás vektor és a alakváltoások. Uganakkor kialakul a belső erőrendser a fesültségi állapot. A mechanikai sámítások célja hog meghatároa een menniségek a terhelések és a elmodulás alakváltoás és fesültségi állapot kapcsolatát. A külső terhelés lehet statikus időben állandó vag nagon lassan váltoó kváistatikus. Gorsan váltoó terhelés hatására a serkeeti válasok - mogás fesültségek stb. - is időben váltonak et neveük dinamikai hatásnak. A test mogása a alakváltoás mértéke jellege függ a anagi tulajdonságoktól. A test rugalmas ha a külső terhelések megsüntetése után aonnal vissaneri eredeti alakját és lineárisan rugalmas ha terhelés és a alakváltoás visona eg lineáris aránossággal írható le. A képléken alakváltoások jellemője hog a serkeet tehermentesítése után maradó alakváltoásokat éslelhetünk. ovábbi fontos anagtulajdonság a aniotrópia. A test aniotrop ha eg pontban a anagjellemők különböő iránokban mérve váltonak. A kompoit sálerősítésű anagok a fa jellemően aniotrop tulajdonságúak. A iotóp testeknél a anagjellemők irántól függetlenek. Ha a anagjellemők a test különböő pontjaiban aonosak akkor a test homogén ellenkeő estben inhomogén. Eg kontinuummechanikai feladat matematikai modelljét két módon lehet megfogalmani: parciális differenciálegenletekkel vag globális érvénű határoott integrál formájú elvek alakjában. A előbbit lokális (angolul strong form) a másodikat globális (angolul weak form) matematikai modellnek nevehetjük. A globális modell alapvető fontosságú a numerikus módserek een belül a végeselem módser alkalmaásánál. E a jeget a lineárisan rugalmas homogén és iotrop anagú kismértékű mogásokat és kis alakváltoásokat végő serkeetekkel foglalkoik.. okális egenletek Ebben a fejeetben röviden áttekintjük a silárd test mogásának leírására alkalmas lokális formájú egenleteket. A lokális egenletek algebrai és parciális differenciál egenletek melek eg anagi pont kis körneetének mechanikai viselkedését alakváltoását fesültségi állapotát írják le. www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 0 t A p t A u r V P q p u P. ábra. A silárd test terhelései és mogása A visgált silárd test - kontinuum - a tér V rését foglalja el. Külső A felületének A p résén a felületi p megosló terhelések a A u jelű résén pedig a mogás kénserfeltételek adottak. A mechanikai terhelések - a p felületi és a q térfogaton megosló terhelések valamint egéb külső hatások (pl. hőmérsékletváltoás) követketében a test pontjai elmodulnak alakja megváltoik és belső erők jönnek létre... Alakváltoások geometriai egenletek Eg P anagi pont elmodulását a eredeti heletéhe visonítva a u elmodulás vektorral adhatjuk meg aminek a koordináta tengelek iránába mutató komponensei u u és u (. ábra). Általában eek a koordináták a anagi pont eredeti heletét megadó térkoordináták és a idő függvénei: u(t): u u u u (0.) A áttekinthetőség kedvéért kedjük a alakváltoások visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A.. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A alakváltoás a somsédos anagi pontok köötti távolságok és a sögek váltoását jelenti. A mérnöki gakorlatban hasnálatos fajlagos núlás definíciója hossváltoás ds d ds (0.) ere det i hoss d d Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d C O B A u d d u α O C u d d u d α A B u d u d. ábra. Elemi kocka alakváltoása A γ fajlagos sögváltoás a eredetileg merőleges ds és ds anagi vonalelemek köötti sög megváltoása (a. ábrán γ = α + α ) ami poitív ha a deformált alakaton a sög hegessög les. A áttekinthetőség kedvéért kedjük a elmodulások és a alakváltoás jellemők visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A eredetileg d hossúságú O A sakas hossa: u u u ds u u ds d d d d majd felhasnálva a fajlagos núlás (0.) definícióját u u u Ha a fajlagos núlás kicsi akkor a baloldalon a másodrendű tag nagságrendi megfontolás alapján elhagható és ekkor u u u.. www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 Ha a elmodulás vektor koordinátái és a deriváltjai is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u. Most sámítsuk ki a eredetileg merőleges d és d iránok köötti deréksög megváltoását! A. ábra jelöléseivel: sin sin sin cos sin cos u d u d u d u d ds ds. ds ds Ismét felhasnálva a fajlagos núlás (0.) és a fajlagos sögváltoás definícióit átrendeés után: sin u u u u u u. Ha a fajlagos núlások és a sögváltoások is kicsik akkor a másodrendű tagok a egenlet bal oldalán elhanagolhatóak u u u u u u továbbá ha a elmodulás koordináták és deriváltjaik is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u u. Eek után ha a.. ábrán a síkra merőleges u elmodulással is sámolunk belátható hog a hat alakváltoási jellemő - három iránú núlás és három sögváltoás - a úgneveett Green-agrange féle H alakváltoások tenorának koordinátái a követkeő formában írhatók fel: ahol ε a alakváltoások lineáris H ε G (0.3) Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ε u u u u u u u u u és G a quadratikus rése: (0.4) G G G G G G G G G G u u u u u u u u u G u u u u u u u u u G (0.5) u u u u u u G u u u Mérnöki serkeeteknél ha a fajlagos núlások nagságrendje 0-3 vag még kisebb akkor a (0.3) geometriai egenletekből a másodfokú tagok elhaghatók H ε (0.6) A (0.3) H és a (0.4) ε alakváltoási jellemők fontos tulajdonsága hog értékük érus ha a test ugan moog de alakja köben nem váltoik. Et neveük merevtest (serű) mogásnak. A (0.) definícióval a alakváltoási jellemőket a kedeti állapotho (konfigurációho) tartoó és térkoordinátákkal és a kedeti méretekhe visonítva határouk meg. Et a kontinuummechanika agrange féle a leírás módjának neveik semben a Euler féle leírással ahol a alakváltoásokat a anagi pont pillanatni heletét megadó koordinátákkal és a deformált méretekhe visonítva adjuk meg. E utóbbi eljárás elsősorban a foladékmechanikában hasnálatos. Kis alakváltoások estén a kedeti és a pillanatni konfiguráció jó köelítéssel egbeesik és a (0.5) lineáris geometriai egenletet hasnálhatjuk... Fesültségi állapot egensúli egenletek A külső terhelések hatására a testben belső erőrendser fesültségi állápot alakul ki amit eg anagi pont körneetében kilenc - amiből hat különböő - fesültség komponens ad meg. A.3. ábrán láthatóak eg elemi méretű kiskocka három koor- www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 7 dináta síkokkal párhuamos oldallapjaira ható fesültségek a síkra merőleges normál és a páronként aonos síkban lévő níró fesültségek..3 ábra. Fesültségi állapot koordinátái A testből bármilen módon kivágott elemi résre a egensúl feltétel teljesül. A.3 ábrán látható kiskocka köepén átmenő tengelekre felírható nomatéki egensúli feltételek követkeméne a níró fesültségek dualitása: = = =. A kilenc fesültség koordináta köül a hat különböőt írjuk fel a követkeő mátri formában: σ (0.7) A iránú vetületi egensúli egenlet a.4 ábra jelöléseivel ahol a d d és d oldalméretű elemi test oldallapjaira csak a iránú fesültség komponenseket és a q térfogati erőhatást rajoltuk be a követkeő formában írható fel: ddd d dd d dd qddd 0 q 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d d τ σ d d q d τ d.4 ábra. Elemi kocka egensúla A másik két vetületi egenlet hasonló módon írható fel. Végül a három vetületi egensúli egenlet a q térfogaton megosló erővel egütt a követkeő les: q 0 q 0 q 0. (0.8) Gorsan mogó testek visgálatánál a terhelések köött figelembe kell venni a tehetetlenségi erőket is. A d Alambert elv serint a statikai egensúli feltételek formálisan érvénesek maradnak ha a testre ható erőrendsert kiegésítjük a tehetetlenségi erőkkel. Például eg mogó m tömegű pontserű testre F ma = 0 a formális egensúli egenlet ahol a jelöli a gorsulást. Ennek megfelelően dinamikai feladatokho a (0.8)egenletben a testre ható erőrendsert ki kell egésíteni a térfogaton megosló tehetetlenségi erővel: q u qu q u (0.9) q u ahol ρ a test tömegsűrűsége és ü a elmodulás idő serinti második deriváltja a gorsulás vektor. Mogás köben a test mérete váltoik. A kedeti alakváltoás előtti felületekre vonatkotatott fesültségek a úgneveett II. Piola-Kirchhoff féle fesültségtenor koordinátái ami általában eltér a mogás köben váltoó felületre vonatkotatott www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 9 valódi fesültségektől. Aonban ha a mogások és a alakváltoások kicsik és a (0.5) köelítés alkalmaható a kétféle fesültség értelmeés köötti eltérés is elhanagolható. A alakváltoási és fesültségi állapot pontos leírásának módjairól résletesebb leírás található a [6] [0] [] és [3] könvekben...3 Anagtörvén A anagtörvén a fesültségek és a alakváltoások köötti kapcsolatot adja meg. Rugalmas testre e a kapcsolat egértékű. ineárisan rugalmas testek anagtörvéne a Hooke törvén ami a kis alakváltoások esetén a követkeő lineáris mátri egenlet formájában írható fel: * * * * * σ Cεε Cεσ C * (0.0) * * A C eg simmetrikus 66 méretű mátri ami at jelenti hog a legáltalánosabb aniotrop tulajdonságú rugalmas testnek anagjellemője lehet. A iotóp rugalmas testnek csak két független anagjellemője van és ekkor a C anagjellemő mátri is egserűbb serkeetű: c c c 0 0 0 E c c c c 0 0 0 c c c 0 0 0 E C c 0 0 0 c3 0 0 (0.) 0 0 0 0 c3 0 E c3 G. 0 0 0 0 0 c3 ahol E a rugalmassági modulus G a csústató rugalmassági modulus és ν a Poisson vag kontrakciós téneő. Érdemes megemlíteni hog össenomhatatlan testekre ν = 05 és ilenkor mindig (ε + ε + ε ) = 0. A (0.0) anagtörvén invere: Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI * ε C σ ε ν ν 0 0 0 ν ν 0 0 0 ν ν 0 0 0 b ν E 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 b C Egserűen ellenőríhető hog C - C = I ahol I a 66 méretű egségmátri. (0.) A (0.0) anagtörvénben ε * a nem követlen mechanikai hatások követketében kialakuló alakváltoások mátria. Ilen lehet például a hőmérsékletváltoásból vag valamilen más technológiai okból - sáradás fáisátalakulás stb. - bekövetkeő alakváltoás. Iotrop minden iránban aonos hőtágulási tulajdonság esetén * ε 0 0 0 (0.3) ahol α a lineáris hőtágulási egüttható és Δ a test hőmérsékletének váltoása...4 Peremfeltételek A mechanikai egenletek fontos elemei a peremfeltételek. A testet határoló külső A felület minden pontjában meg kell adni vag a mogások vag a felületi terhelések értékét. A peremfeltételek heles megadása a modellalkotás egik legfontosabb rése. A kinematikai peremfeltételekkel a A felület A u résén a test megtámastását esetleg a eges felületrések előírt mogását adjuk meg: u u u u u u u u P A. (0.4) u A felüljelés előírt mogás értéket jelent. Rögített pontokban vag felületréseken a előírt értékek érusok. A dinamikai peremfeltételek a test külső A felületének A p résére működő terhelések és a belső erőrendser a fesültségi állapot kapcsolódásának törvénserűséget írják le. www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI c n -τ p a -τ -σ.5 ábra. etraéder egensúla A.5 ábrán a A p felületen lévő anagi pont körneetét ábráoltuk ahol a tetraéder ferde oldallapja a A p felület rése. Jelölje a koordinátatengelekre merőleges oldalak és a negedik oldal területét n pedig a negedik oldal kifelé mutató normális egségvektorát: bc ac ab n / n n / n =. n / Eek a össefüggések egserű geometriai sámításokkal igaolhatóak. A tetraédernek a test belsejében lévő felületeire a fesültség komponensek a A p felületen lévő oldalára pedig a p felületi terhelés működik. Írjuk fel a iránú erőhatások egensúlát kifejeő vetületi egenletet: p 0. Átrendeés után figelembe véve a n normális vektor koordinátáira felírt eredméneket is megkapjuk a alábbi három dinamikai peremfeltétel köül a elsőt ahol a további két feltételt - a és iránú egensúli egenletekből - hasonló módon írhatjuk fel: b n n n p n n n p n n n p. (0.5) A test terheletlen sabad felsíne a A p felület rése ahol a előírt külső terhelés p = 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI..5 okális egenletek össefoglalása Amint at a előőekben láthattuk a kontinuummechanika és een belül a lineáris rugalmasságtan lokális egenleteit három csoportba sorolhatjuk: a (0.4) geometriai egenletek a alakváltoások és a test mogásának kapcsolatát adják meg a Newton aiómából követkeő (0.7) egensúli egenletek vag mogásegenletek a külső és belső erők kapcsolatát írják le és a harmadik egenlet csoport a fesültségek és alakváltoások kapcsolata a anagtörvén (0.9). Eekhe tartonak még a (0.) és (0.3) peremfeltételek. Általában eg serkeetmechanikai feladat megoldásáho mind a három egenletcsoportot fel kell hasnálni. (Kivételnek sámítanak a statikailag határoott feladatok ahol a egensúli egenletek önmagukban elegendőek a külső és belső erők köötti össefüggések felírásáho) A alábbi tábláatból látsik hog a lokális megfogalmaásban a ismeretlenek és egenletek darabsáma aonos. Egenletek sáma Ismeretlenek sáma Geometriai egenletek 6 Elmodulás vektor u u u Alakváltoási tenor ε ε ε γ γ γ 3 6 Egensúli egenletek 3 Fesültségi tenor 6 Anagtörvén 6 Össesen 5 5 A pontos megoldást amel a össes egenletet és peremfeltételt kielégíti a mérnöki gakorlatban előforduló esetek döntő résénél nem lehet meghatároni. Ilenkor van sükség a köelítő numerikus módserekre amelek többnire a globális integrál formában kifejeett elvekre például a virtuális munka elvére épülnek...6 Példa: Sík leme mogása Ismerjük a.6 A ábrán váolt aa méretű és t vastagságú lemeben a (0.) u elmodulás vektor koordinátáit: u k u k / u k 6 0 0 mm 5 00 mm 5 mm 0 MPa ν 05. a t E Rajoljuk meg a leme deformálódott alakját és sámítsuk ki a oldallapokra és a leme térfogatára ható erőrendsert ami et a alakatot létrehota. www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 A.6 B ábra mutatja a leme deformálódott alakját ahol a = a = a koordinátájú sarokpont elmodulásai: u ka 0 0 mm u ka / 0 0 mm u 0. A: B: ka a ka / a a.6 ábra. Sík leme alakváltoása (nem arános válat) A terhelések meghatároásáho előbb a alakváltoásokat majd a fesültségeket kell kisámítani. A geometriai egenletekből: u u u u k -k k 0 és a (0.0) Hooke törvénből a érustól különböő fesültség koordináták: E E c c k c c k E Gk k. A (0.5) dinamikai peremfeltételekből meghatárohatjuk a leme oldallapjaira ható felületi nomásterheléseket. A = a oldallap kifelé mutató normális egségvektorának koordinátái: n = 0 n = n = 0 és a (0.5) peremfeltételből een a lapon: Ek Ek p 0 6 p a3 MPa p 0. Hasonló módon a = 0 lapon n = 0 n = - n = 0 Ek p 0 6 p 0 p 0 a = a lapon n = n = 0 n = 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu
4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ek Ek p 0 3 p a6 MPa p 0 és végül a = -a lapon n = - n = 0 n = 0 0 3 Ek p 6 MPa 0 p a p. Eek a perem terhelések láthatóak a.7 ábrán. A lemere ható térfogati erőt a (0.8) egensúli egenletekből sámíthatjuk ki: q 0 0 q 0 Ek Ek q 0 q 0 q 0 0 q 0. Ebből a térfogati erőhatás egetlen nem érus koordinátája: Ek 3 q 06 N/mm. -6 MPa 6 MPa -3 MPa -3 MPa 3 MPa 06 N/mm 3 6 MPa 6 MPa -6 MPa 6 MPa.7 ábra. Sík leme terhelése Végeetül ellenőrihetjük hog a.7 ábrán megadott erőrendser valóban egensúli.. Globális modell a virtuális munka elve Eg erő munkája a erő és a iránába eső elmodulás sorata. Pontosabban eg F erő a vele párhuamos ds mogás köben dw Fds munkát vége. Ha e a F mint eg külső erő terhelés valamilen mechanikai rendserre működik akkor a rendser mogása alakváltoása köben a belső erők is végenek munkát ami www.tankonvtar.hu Forberger Árpád Vörös Gábor BME
. A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 munkavégő képesség energia formájában tárolódik a rendserben. Et a energiát gakran alakváltoási energiának is neveik. s δs F.8. ábra. Húóerő munkája belső energia A külső erő munkája és a energia váltoásának visonát visgáljuk elősör a.8. ábrán látható igen egserű mechanikai rendseren. A rúdra a F erő működik és ismerjük a egensúli heletet megadó megoldást: a belső erő (rúderő) R = F és a megnúlás s = kr. Ebből a egensúli heletből - képeletben - modítsuk ki a rendsert eg kicsi ds elmodulással. Et a kis elmodulást virtuális elmodulásnak neveük. A külső erőnek a virtuális elmoduláson végett dw k = Fds virtuális munkája megegeik a rugóerő virtuális munkájával ami a belső vag alakváltoási energia du = Rds megváltoása aa du - dw k = 0. E nílván csak akkor iga ha a eredeti állapot egensúli volt aa R = F. ehát a egensúli heletre jellemő hog 0 dπ d U W Π s etrémum k (0.6) más sóval a Π(s) teljes potenciál a s elmodulás függvéne és a egensúli heletben sélsőértéke van: dπ dπ dπ ds 0 0 ds ds. A (0.6) a virtuális munka elve amit most a követkeő formában lehet megfogalman: a a elmodulás aminél a teljes potenciál megváltoása érus teljesíti a egensúli feltételeket. Fontos megjegeni hog e a megállapítás akkor is iga ha rugó nemlineáris k = k(s) vag a s eredő megnúlásnak van maradó núlás rése is. Ha a.8. ábra serinti rugó lineárisan rugalmas akkor a k értéke állandó és akkor a belső erő virtuális munkája vag más sóval a alakváltoási energia megváltoása s du Rdsksdsdk. Forberger Árpád Vörös Gábor BME www.tankonvtar.hu