IV. A matematikai logika elemei

4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ; e) p ( p q) ; f) ( p q) r ; g) p ( q r) ; h) ( p q) r ; i) ( p q) r ; j) ( p q) ( q r) ; k) ( p r) ( q r) Megoldás a) f) p p ( p) p q r p q ( p q) r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Megjegyzés A táblázatból következik, 0 0 0 hogy ( p) p 0 0 b) 0 0 c) d) e) p q p q 0 0 0 0 0 0 0 p q p q 0 0 0 0 0 p q p q p ( p q) 0 0 0 0 0 0 0 p q p q p ( p q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g) p q r q r p ( q r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h) p q r p q ( p q) r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A matematikai logika elemei 5 i) j) p q r p q ( p q) r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p q r p q q r ( p q) ( q r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bizoyítsd be a következő összefüggéseket: a) p q q p; b) p q q p; c) p ( q r) ( p q) r ; d) p ( q r) ( p q) r ; e) p ( q r) ( p q) ( p r) ; f) p ( q r) ( p q) ( p r) Megoldás a) Elkészítjük a p q és q p kijeletések logikai értéktáblázatát: p q p q q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az értéktáblázat alapjá p q és q p egyidőbe igaz, tehát p q q p b) Hasolóa, az értéktáblázat: p q p q q p 0 0 0 0 0 0 Tehát p q q p

6 A matematikai logika elemei c) Az értéktáblázat: p q r q r p q p ( q r) ( p q) r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az értéktáblázatba az utolsó két oszlop azoos, tehát p ( q r) ( p q) r d) Az feladatba az f) és g) potokba már elkészítettük a ( p q) r és p ( q r) logikai kijeletések értéktáblázatát Ezek alapjá ( p q) r p ( q r) e) p q r q r p ( q r) p q p r ( p q) ( p r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az értéktáblázat kiemelt oszlopai megegyezek, tehát p ( q r) ( p q) ( p r) f) p q r q r p ( q r) p q p r ( p q) ( p r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A feti táblázat alapjá p ( q r) ( p q) ( p r) 3 Bizoyítsd be a következő összefüggéseket: a) p q q p ; b) ( p q) r / p ( q r) ; ( ( )) ( ) ( ) c) p q p q ; d) p q q p

A matematikai logika elemei 7 Megoldás A bizoyításokat értéktáblázatok segítségével végezzük el a) p q p q q p 0 0 0 0 0 0 0 0 Tehát p q q p b) p q r p q ( p q) r q r p ( q r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A kiemelt oszlopok em egyezek meg, tehát ( p q) r / p ( q r) c) p q p q q p q p q ( ) ( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( )) A táblázat alapjá p q p q d) p q p q p q ( q) ( p) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tehát p q ( q) ( p) 4 Bizoyítsd be, hogy az alábbi kijeletések logikai értéke, függetleül az őket alkotó kijeletések logikai értékétől a) p ( p q) ; b) ( p q) p; c) ( p ( p q) ) q ; d) (( p q) ( q r) ) ( p r) ; e) ( p q) ( ( q r) ( p r) );

8 A matematikai logika elemei ( ) g) p ( p) ; h) p ( p) ; Megoldás A logikai értéktáblázatokat haszáljuk a) b) p q p q p ( p q) p q p q p ( p q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tehát p ( p q) tautológia c) p q p q p ( p q) ( p ( p q) ) q 0 0 0 0 0 0 0 0 d) p q r p q q r ( p q) ( q r) p r (( p q) ( q r) ) ( p r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e) p q r q r p r ( q r) ( p r) p q ( p q) ( ( q r) ( p r) ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g) p p p ( p) 0 0 h) p p p ( p) ( p ( p) ) 0 0 0 0

A matematikai logika elemei 9 5 Háy külöböző módo lehet kitöltei az alábbi táblázat harmadik oszlopát, ha mide helyre 0 vagy kerülhet? Bizoyítsd be, hogy a,, műveletek segítségével midegyik oszlop kifejezhető p q (, pq ) 0 0 0 0 Megoldás Mide egyes kapott oszlopak feleltessük meg egy kettes számredszerbeli számot, a következőképpe: (, pq ) a a b oszlopak, ahol a, bcd,, {0,} felelje meg az ab cd () szám c d A feti megfeleltetés jól értelmezett (ab cd valóba egy -es számredszerbeli szám lesz), és egyértelmű, vagyis mide oszlopak egy és csakis egy szám felel meg Továbbá, ha tekitjük a -es számredszerbeli számokat 0000-tól -ig, akkor eze számok midegyike megfelel egy oszlopak, tehát ugyaayi oszlop va, mit aháy 3 0 -es számredszerbeli szám 0-tól -ig Viszot () = + + + = 4 4 =, és még em számoltuk bele a 0-t, tehát összese oszlop létezik Igazoluk kell, hogy mide ilye oszlop előállítható a p és q oszlopaiból az,, műveletek többszöri egymásutái alkalmazásával Először igazoljuk, hogy a 0000, 000 (), 000, 000 és 000 számokak megfelelő oszlopok előállíthatók: () p q p () ( p) () p p q ( ( p) q) ( p) q ( p) ( q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A feti logikai értéktáblázat alapjá a 0000, 000, 000, 000 és 000 számokak redre a ( p) p, p q, ( ) ), ( p) q, ( p) ( q) oszlopok felelek meg Azoal látható, hogy a fetebb kapott 5 szám valamilye összegéek megfelelő oszlop előállítható úgy, hogy az összegbe szereplő számokak megfelelő oszlopokra alkalmazzuk a műveletet, vagyis ha ez az öt szám x = 0000,, x =, akkor például x + x + x 5 = 00 és ez a szám előállítható az 3 000 5 () () ( p q () () () ) () () ()

30 A matematikai logika elemei x x x o o 3 o 5 az x, x, x, x, x számok összegével mide 0, közötti szám előállítható, 3 p o művelettel, ahol x -val jelöljük az 4 5 i számak megfelelő oszlopot Mivel következik, hogy mide oszlop előállítható a kért módo (+-ok helyett -okat íruk) Megjegyzés Általáosa igaz a következő kijeletés: A,,, kijeletésekből a ( p,, ) oszlop féleképpe tőlthető p p ki, és mide kitöltés előállítható az,, műveletek alkalmazásával 6 Az előbbi műveletek közül melyek kommutatívak és melyek asszociatívak? Megoldás A művelet uáris, tehát em beszélhetük kommutatívitásról vagy asszociatívitásról Az és műveletekre már láttuk a feladatál, hogy teljesülek a p q q p; p q q p; p ( q r) (p q) r ; p ( q r) ( p q) r ; azoosságok, vagyis az és műveletek kommutatívak és asszociatívak is 7 Valaki 4 kártyát tett ki elék Midegyikek az egyik oldalá egy betű áll, másik oldalá egy szám Legalább háy kártyát kell megfordítauk ahhoz, hogy elleőrizzük a következő kijeletéseket (külö-külö), ha a IV ábrá látható betűket és számokat látjuk: a) Ha az egyik oldalo agy betű áll, a másik oldalo páros szám áll b) Ha az egyik oldalo páratla szám áll, akkor a másik oldalo mássalhagzó va x i p a A IV ábra Megoldás a) Legalább egy kártyát meg kell fordítauk, mert a p = az egyik oldalo agy betű áll és q = a másik oldalo páros szám áll kifejezések lehetek igazak is és hamisak is, vagyis az értéktáblázatuk: p q p q 0 0 0 0 0 vagyis p q (ami éppe az a) kijeletés) lehet igaz is és hamis is Viszot ha egy kártyát megfordítuk, az elég mert ezáltal megkapuk egy (betű, szám) egy párt, és ebből következik, hogy mi va a másik kártyá b) Mivel a és A is magáhagzó, ezért a q = az oldalo mássalhagzó va kijeletés kiértékelése midig, tehát a p q kijeletés midig igaz, vagyis egyetle kártya megfordítása élkül megmodhatjuk, hogy a b) kijeletés igaz ( p q igaz) ()

A matematikai logika elemei 3 IV3 Gyakorlatok (88 oldal) Vizsgáljuk meg az alábbi kijeletések logikai értékét: a) : = ; b) x : x 0; c) : + = ; d) x y úgy hogy x + y = 0 ; e) x [, ] : x 3x + 0 Megodás a) Mivel = -re teljesül a = egyelőség és, következik, hogy a : = kijeletés igaz b) Mivel mide x -re x 0, a kijeletés igaz ± 5 c) Az + = + = 0 egyelet megoldásai = a, kijeletés em igaz d) A kijeletés em igaz, mert például x = 7 -re em létezik y úgy, hogy x + y = 0, vagyis 7+ y = 0 e) Az x 3x + = 0 egyelet gyökei x = és x =, és az x -es tag együttha- tója pozitív az [, ] itervallumba x 3x + 0, tehát a kijeletés igaz Írd fel kvatorok segítségével az alábbi modatokat, próbálj mide modatot kétféleképpe felíri, egyszer uiverzális és egyszer egziszteciális kvatorral a) Nicse rózsa tövis élkül b) Nem mid aray, ami féylik c) Nem mide papsajt Megoldás a) Uiverzális kvatorral: rózsá va tövis Egsziteciális kvatorral: / rózsa úgy, hogy ics rajta tövis b) Uiverzális kvatorral: féylő dolog em aray Egsziteciális kvatorral: olya féylő dolog, ami em aray c) Uiverzális kvatorral: dolog em papsajt Egsziteciális kvatorral: dolog, ami em papsajt 3 Tagadd a következő predikátumokat/modatokat: a) x [, ] : x > 0 ; b) Bármely erdőlakó tud tüzet raki c) Va olya diák, aki em tud puskázi d) Mide taár érti amit taít, kivéve a redőrtaárt e) Mide diákak legalább egy taár szimpatikus f) Mide héte legalább egyszer boldog vagyok g) Létezik olya tatárgy, amit em szívese taulok h) Létezik olya taár, aki mide őt kedvelő diákot kedvel Megoldás a) x [, ] : x 0 ; b) Létezik olya erdőlakó, amelyik em tud tüzet raki

3 A matematikai logika elemei c) Mide diák tud puskázi d) Va olya taár, aki em redőrtaár és em érti amit taít e) Létezik olya diák, akiek mide taár atipatikus f) Va olya hét, amelyike egyszer sem vagyok boldog g) Mide tatárgyat szívese taulok h) Nem létezik olya taár, aki mide őt kedvelő diákot kedvel IV4 Gyakorlatok és feladatok (90 oldal) A és B egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő A azt állítja, hogy Legalább az egyikük lókötő Lókötők-e vagy sem? Megoldás Két eset lehetséges: A vagy lókötő, vagy igazmodó Ha A igazmodó, akkor állítása igaz, mely alapjá B lókötő kell legye Ha A lókötő, akkor állítása hamis, vagyis egyikük sem lókötő, ami elletmodás (A lókötő), tehát A em lehet lókötő (lásd red ad abs módszer!) A fetiek alapjá A kijeletéséből egyértelműe el tudjuk dötei, hogy A igazmodó és B lókötő Meg lehet-e állapítai, hogy lókötők-e, ha A azt modja, hogy Lókötő vagyok vagy B igazmodó? Megoldás Ismét két esetet tárgyaluk: Ha A lókötő, akkor állítása hamis Viszot a p q állítás, mit láttuk, akkor és csak akkor lehet hamis, ha p is és q is hamis (em kizárolagos vagy), tehát A igazmodó és B lókötő, ami elletmod a feltételükek, hogy A lókötő Ha A igazmodó, akkor állítása igaz Ez csak oly módo törtéhet meg p q eseté, ha p is és q is igaz, vagy legalább egyikük igaz Viszot e feltétel szerit, ha p = lókötő vagyok és q = B igazmodó, p hamis, tehát q igaz Vagyis A és B is igazmodók A két eset alapjá egyértelműe A is és B is igazmodó 3 A, B és C egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő és a következőket modják: A : Midyája lókötők vagyuk B : Potosa egy igazmodó va közöttük Meg lehet-e állapítai, hogy ki lókötő és ki em? Megoldás A állítása alapjá biztosa lókötő Ha B lókötő lee, figyelembe véve, hogy A állítása hamis, egy eset lee lehetséges: két igazmodó va, ami elletmodás, mert sem A sem B em igazmodó Tehát B igazmodó kell legye, és így állítása szerit C lókötő Összegezve a fetieket, egyértelműe el lehet dötei, hogy A lókötő, B igazmodó és C lókötő 4 A és B egymástól függetleül igazmodó, lókötő vagy kiismerhetetle (ezek éha hazudak és éha igazat modaak) Az igazmodókat tartják felsőbb, a kiismerhetetleeket közép és a lókötőket alsóbb osztályak A következő két állítás alapjá el lehet-

A matematikai logika elemei 33 e dötei A vagy B osztályát? Hát azt, hogy az állítások közül melyik igaz és melyik hamis? A : Alacsoyabb osztálybeli vagyok mit B B : Ez em igaz! Megoldás A kijeletése alapjá em lehet igazmodó Ha A lókötő lee, akkor kijeletése hamis lee, és mivel a legalacsoyabb osztály a lókötőké, B is lókötő kellee legye, tehát állítása hamis Ez azt jeleti, hogy A állítása igaz, ami elletmodás, tehát A csak kiismerhetetle lehet () Ha A állítása igaz lee, akkor B feltétleül igazmodó kellee legye (hisz felsőbb osztályba tartozik), ami elletmodás, hisz B azt modja, hogy A állítása em igaz Tehát A állítása hamis () ()-ből következik, hogy B em lehet lókötő (ebbe az esetbe A állítása igaz kellee legye, mert B hazudik), tehát B is kiismerhetetle (3) Következik, hogy A és B ugyababba az osztályba tartozak, és ezért B állítása em lehet hamis (4) (), (), (3) és (4) alapjá midkét kérdésre igelő a válasz 5 A IV ábrá látható ládikák egyikébe egy koroa va Meg lehet-e állapítai, hogy melyikbe va a koroa, ha az egyik ládiká sics egyél több hamis állítás? A koroa em ebbe va A koroa Szet Istváé volt A koroa em az ládikába va A koroa II Lajos királyé volt IV ábra A koroa em ebbe va A koroa a ládikába va Megoldás A feltétel alapjá a koroa em lehet a 3-mas ládába Ha a koroa az ládikába lee, akkor a p = A koroa II Lajosé volt és q = A koroa Szet Istváé volt kijeletések egyszerre igazak kée legyeek Tehát a koroa a ládikába va és ez esetbe ha a koroa Szet Istváé volt, akkor teljesül a feltétel, hogy egyik ládiká se legye egyél több hamis állítás 6 A és B egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő A azt állítja, hogy Ha é igazmodó vagyok, akkor B is az Igazmodókkal vagy lókötőkkel va dolguk? Megoldás Vegyük észre, hogy A állítása tulajdoképpe egy implikáció, ami akkor és csak akkor hamis, ha az első része igaz és a második hamis Ha A igazmodó, akkor B is az a fetiek alapjá ( A állítása igaz kell legye, és ez csak akkor teljesülhet, ha az állítás második része igaz, vagyis B igazmodó) Ha A lókötő lee, akkor állítása hamis lee, tehát állításáak első része igaz kell legye, vagyis A igazmodó elletmodás Tehát A és B is igazmodó 7 Egy szultá, akiek két láya volt, azt modta egy vedégségbe érkezett hercegek: - Modaod kell egy állítást Ha igaz, hozzád adom a agyobbik láyomat, ha em, akkor em veheted őt feleségül Kevés godolkodás utá a herceg modott egy modatot és a szultá kéytele volt a kisebbik láyt feleségül adi a herceghez Mit modhatott a herceg?

34 A matematikai logika elemei Megoldás A herceg a következő kijeletést tehette: Egyik láyod sem lesz a feleségem 8 Mit modhatott a herceg, ha a szultá midkét láyát hozzá kellett adja feleségül? Megoldás A válasz a következő lehetett: Ha a agyobbik láyod a feleségem lesz, akkor a kisebb is IV Gyakorlatok és feladatok (9 oldal) Bizoyítsd be, hogy mide természetes szám -él agyobb egész kitevőjű hatváyáak kettős számredszerbeli alakjába előfordul zérus számjegy Bizoyítás A kettes számredszerbe felírt egész számok közül csak azokba em fordul elő zérus számjegy, amelyekbe mide jegy -es, tehát amelyek -gyel kisebbek -ek valamely (pozitív egész kitevős) hatváyáál, azaz s alakúak, ahol s =, 3, (az -es jegyek száma, az s = esetet azoba kizárjuk) Eszerit a bizoyítadó állítást így is kimodhatjuk: semilye a ( > ) egész számak ( >, egész) kitevőjű hatváya em lehet egyelő s -gyel s Az a = egyelőséget csak páratla a -kra kell megcáfoluk, hisze a jobb oldal páratla, páros szám vizsgáladó hatváyai viszot maguk is párosak α) Páratla eseté az egyelőség így alakítható: s a ( a )( a = + = + a + + a a + ) Itt a jobb oldali második zárójelbe tag áll, midegyikük páratla, tehát a zárójelbe páratla szám áll, és az az egyelőség szerit osztója -ek s -ek viszot s ics más páratla osztója mit az, csak az lehete tehát az tagú zárójel értéke Ámde a zárójelbeli kifejezés így írható: 3 4 ( a a ) + ( a a ) + + ( a a) + >, hisze a kéttagúak száma legalább és midegyik kéttagú pozitív Elletmodásra jutottuk a föltevésből β) Páros eseté = m jelöléssel m m a + = (b + ) + = [(b + ) ] + = {(b + ) } A+ = 4B +, ahol A az egyelő kitevőjű hatváyok külöbségére ismert azoosság alapjá egész szám, és B = ( b + b)a ugyacsak egész Eszerit a bal oldal már 4-gyel sem osztható maradék élkül s Midezek szerit a = a tett föltevések mellett lehetetle, az állítás helyes Képzeljük el leírva valamilye sorredbe egymás utá a természetes számokat Karikázzuk be azokat, amelyek legalább akkorák, mit aháyadik helye állak a sorba Bizoyítsuk be, hogy így végtele sok számot kell bekarikázi Bizoyítás Feltételezzük, hogy csak véges sok számot lehet bekarikázi Ha az utolsó bekarikázott szám a, M = max{ a i =, k }, akkor k i a M, ha i =,k és i a M, ha j = k +, M + j

A matematikai logika elemei 35 (mivel az a = k +, M + számokat em karikáztuk be) Így találtuk M + j darab ullától és egymástól külöböző természetes számt, amelyek M -él em agyobbak Ez elletmodás, tehát végtele sok számot lehet bekarikázi 3 Bizoyítsd be, hogy az, 3 + 3 itervallum egyetle eseté sem tartalmaz egész számot Bizoyítás Ha az itervallum tartalmazza a k egész számot, akkor k 3 < < + 3, ahoa következik, hogy + k 9 3 < < + 9 + 3 Mivel < 3, az előbbi egyelőtleségek alapjá < k < + De a (, + ) itervallum egyetle egész számot tartalmaz a -et és így k = Ez viszot elletmodás, mert, és így a vizsgált itervallum em tartalmaz egész számot 4 Bizoyítsd be, hogy a + 4 tört egyetle eseté sem egyszerűsíthető 4 + 3 Bizoyítás Ha d osztja a tört számlálóját és evezőjét, akkor d 3(4 + 3) ( + 4), vagyis d Ez csak akkor lehetséges, ha d =, tehát a tört irreducibilis 5 Bizoyítsd be, hogy ha hét szám közül bármely égy összege agyobb a többi három összegéél, akkor a számok pozitívak Bizoyítás Feltételezzük, hogy a és tekitjük az 0 a + a + a + a > a + a + a 7, 3 4 5 6 a + a + a + a > a + a + a 5 5 7 3 4 egyelőtleségeket Ha a megfelelő oldalakat összeadjuk az a > egyelőtleséghez jutuk, ami elletmod a feltételezések, tehát a választottuk, a számok mid pozitívak 0 > 0 Mivel a -et tetszőlegese 6 Bizoyítsd be, hogy ha a, b és c páratla természetes számok, akkor az ax + bx + c = 0 egyeletek ics egész gyöke Bizoyítás Ha x páros, akkor ax + bx + c páratla (mert ax +bx páros és c páratla) és ha x páratla, akkor ax + bx + c páratla mert három páratla szám összege Így egyetle x szám sem lehet gyöke az ax + bx + c = 0 egyeletek

36 A matematikai logika elemei m m 7 Bizoyítsd be, hogy ha, akkor ( m,, 0) Bizoyítás Ha m, akkor m, tehát a p q q p tautológia alapjá igaz az állítás m m 8 Bizoyítsd be, hogy ha, akkor ( m,, 0) Bizoyítás Ha m, akkor létezik a, b, (, ) úgy, hogy ab = m a = és b m a b { ± } Tehát = és (, m a b ) =, b, vagyis b A [ p q q p tautológia alapjá igaz a feladat állítása 9 Bizoyítsd be, hogy égy egymás utái ullától külöböző természetes szám szorzata em lehet teljes égyzet Bizoyítás ( + )( + )( + 3) = ( + 3 )( + 3 + ) = = ( + 3 ) + ( + 3 ) + = ( + 3 + ) Két teljes égyzet közötti külöbség csak akkor, ha ezek a számok az és 0, tehát ( + 3 + ) csak akkor teljes égyzet, ha ( + 3 + ) = 0 Ez viszot elletmod aak, hogy a számok külöbözek 0-tól IV Gyakorlatok és feladatok (96 oldal) Bizoyítsuk be, hogy a) + + + + = ; 3 3 4 ( + ) + ( + )( + ) b) + 3+ 3 4 + + ( + ) = ; 3 + 4 8 c) ( + )( + )( + )( + ) ( + ) = ; d) + = 3 4 ; ( + ) e) + 3 + ( ) = ( ) ; ( + ) f) + + + = 3 5 3 5 7 ( )( + )( + 3) 3( + )( + 3)

A matematikai logika elemei 37 Bizoyítás a) Ha =, akkor =, tehát = eseté az egyelőség teljesül Ha + + + + = valamilye eseté, akkor 3 3 4 ( + ) + + + + + + = + = 3 3 4 ( + ) ( + )( + ) + ( + )( + ) =, + tehát az egyelőség teljesül ( + ) -re is Így a matematikai idukció elve alapjá + + + + =, 3 3 4 ( + ) + 3 3 4 b) Ha =, akkor = és ha =, akkor + 3 = 8 = 3 3 ( + )( + ) Ha kk ( + ) =, akkor k= 3 + ( + )( + ) kk ( + ) = kk ( + ) + ( + )( + ) = + ( + )( + ) = k= k= 3 ( + )( + )( + 3) =, 3 tehát az egyelőség teljesül ( + ) -re is Így a matematikai idukció alapjá ( + )( + ) kk ( + ) =, 3 k= c) + = és ( + )( + ) = 5 =, tehát az egyelőség teljesül = és = eseté 4 8 Ha ( + )( + )( + )( + ) ( + ) =, akkor 4 ( + )( + )( + ) ( + )( + ) = ( ) + + + + + + = ( )( + ) = = A matematikai idukció elve alapjá + ( + )( + ) ( + ) =, + 3 d) = eseté = = 4 4 Ha az egyelőség teljesül -re, akkor ( ) + + 3 = = ( ) + ( + )

38 A matematikai logika elemei ( + ) + = = ( + ) ( + ) tehát teljesül ( + ) -re is Így a matematikai idukció elve alapjá + = 3 0 e) = eseté = ( ) = ( + ) Ha eseté + 3 + ( ) = ( ), akkor ( + ) + 3 + ( ) + ( ) ( + ) = ( ) + ( ) ( + ) = + ( )( ( ) [( ) ] ( ) + + ) = + =, tehát a bizoyítadó egyelőség teljesül ( + ) -re is Így a matematikai idukció elve alapjá ( + ) + 3 + ( ) = ( ), 3 f) = eseté az = egyelőség igaz 3 5 3 3 5 Ha az egyelőség teljesül -re, akkor + + + + = 3 5 3 5 7 ( )( + )( + 3) ( + )( + 3)( + 5) ( + ) = + 3( + )( + 3) ( + )( + 3)( + 5) = 3 ( )( )( 3) = ( + ) + = + + + = 3( + )( + 3) + 5 3( + )( + 3) ( + 5) ( + )( + 3) = 3( + 3)( + 5), tehát teljesül ( + ) -re is Így a matematikai idukció elve alapjá teljesül bármely eseté Megjegyzés Ha az eredméyek em adottak, akkor az = ; kk ( + ) = k + k; kk ( + ) k k+ és k ( k )( k ) + ( k )( k + ) + = ; = ; k k = (k )(k + )(k + 3) 4 (k )(k ) (k )(k 3) + + +

A matematikai logika elemei 39 összefüggéseket haszálhatjuk a kiszámításukhoz Számítsd ki az alábbi összegeket, majd bizoyítsd a kapott eredméyt a matematikai idukció módszerével: a) 3+ 3 4 + + ( + )( + ) ; b) 3 + 5+ 3 7 + + ( + ) ; c) 4 + 7 + 3 0 + (3 + ) ; d) + + + ; e) + + + ; 3 3 5 ( )( + ) 4 4 7 (3 )(3 + ) f) 4k 4 k= 4k + ; g) k= ( k + ) k + k k + Megoldás a) 3 3 ( )( ) ( 3 ) 3 kk+ k+ = k + k + k = k + k + k= k= k= k= k= ( + ) ( + )( + ) ( )( )( 3) ( ) + + + = + + + = 4 Más ötlet: 4 kk ( + )( k+ ) = kk ( + )( k+ )( k+ 3) ( k ) kk ( + )( k+ ) tehát 4 kk ( + )( k+ ) = ( + )( + )( + 3) 0 k(k + ) = ( k + k) = k + k = b) k= k= k= ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( )(4 5 ( ( ) 3) + + ) = + = + + = 3 6 6 c) k= k= k= k= k(3k + ) = (3 k + k) = 3 k + k = ( + )(+ ) ( + ) = + = ( + ) (k + ) (k ) d) = = (k )(k + ) (k )(k + ) k k +, tehát = = k= (k )(k + ) + + (3k + ) (3k ) e) = = (3k )(3k + ) 3 (3k )(3k + ) 3 3 k 3k +, tehát = = (3k )(3k + ) 3 3 + 3 + k= 4 4 f) 4k + = 4k + 4k + 4 k = (k + ) ( k) = (k k + )(k + k + ) és 4k (k + k + ) (k k + ) = = 4 4k + (k + k + )(k k + ) k k + k + k= k= k +

40 A matematikai logika elemei Másrészt ( k + ) ( k + ) + = k + k +, tehát az összeg közbeeső tagjai egyszerűsödek és így 4k ( + ) = = 4k + + + + + k= k + k g) = = = ( k + ) k + k k + kk ( + )( k+ + k) kk ( + ) k k +, tehát = ( k + ) k + k k + + k= Az idukciós bizoyítások az feladathoz hasolóa elvégezhetők, de a godolatmeet mide esetbe bizoyítássá is alakítható 3 Számítsd ki a következő összegeket: 3 a) + x + x + x + + x ; 3 b) x + x + 3x + + x ; 4 x x x x c) + + + + 4 8 x x x x 3 Megoldás a) Ha S = + x + x + x + + x, akkor 3 x S = x + x + x + + x + x +, + x tehát S x S = x + és így S = x + x, ha x 3 Tehát + x + x + x + + x = x +, ha x = b) Ha S = x + x + + x, akkor 3 x S = x + x + + ( ) x + x + és + 3 + x + ( x) S = x + x + x + + x x = x = x + + x ( + ) x + x =, ha x x ( + ), ha x = Tehát S = + + x ( + ) x + x,ha x ( x)

A matematikai logika elemei 4 c) x x x( + x ) + x x + x + x + = = 4 4 4 x x x x + + ( x + x + x )( + x ) + x + + + + + + + = = 4 8 8 8 x x + x x 3 4 3 4 4 3 4 5 6 7 x x x x x x x x x x x Az előbbiek alapjá az sejthetjük, hogy 3 x x x x + x + x + + x + + + 4 = x x x x x x x x = = x ( x ) x 3 ( ) Ezt idukcióval igazolhatjuk {,, 3} eseté az egyelőség teljesül Ha 4 x x x x x x + + + + = x x x x ( x )( x 4 8 ), akkor 4 x x x x x x x x + + + + 4 8 + + = + + = x x x x x ( x )( x ) x + ( x x)( + x ) + ( x ) x x x = + = +, ( x )( x ) ( x )( x ) tehát, az egyelőség ( + ) -re is igaz A matematikai idukció elve alapjá 4 x x x x x x + + + +, 4 8 = és x eseté x x x x ( x )( x ) 4 Bizoyítsd be a következő egyelőtleségeket: k k a), 4; b) + +, k, ; c) ( ) + x + x (Beroulli egyelőtleség), ha és x > 0; d) ( ) 3 + ; e) 3 5 <, 4 6 3 + > ; f) + <, 3 4 ; 3 g) + + + + < ; h) 3 3 4; + k + 3 4 i) > + 4 + 5, 7; j) < k! < 6 4 k= =

4 A matematikai logika elemei 4 5 Bizoyítás a) = 4 eseté = 4 = 6, = 5 -re pedig = 3> 5 = 5 - Ha, akkor + és így a egyelőtleség alapjá 4 ( + ) + ( ) + ( + ) A matematikai idukció elve alapjá így b) k szeriti idukciót haszáluk k = eseté egyelőség áll fe Ha rögzített k k k eseté + +, akkor k + k k k k + + + + = + + + +, tehát, az egyelőtleség ( k + ) -re is igaz A matematikai idukció elve alapjá tehtát k k + +, k, c) Ha =, az egyelőség teljesül Ha ( + x) + x, akkor + ( + x) ( + x)( + x) = + x + x + x + ( + ) x x > és eseté A matematikai idukció elve alapjá ( + x) + x, és x > d) = -re a ( ) < < egyelőséget kell megvizsgáli Ez igaz, mert < 3 és < Ha az egyelőtleségek teljesülek -re, akkor ( + ) + < + + + + < + + + + ( ) Megvizsgáljuk a + + < + () és ( + ) + > ( + ) () + egyelőtleségeket 4 () 4 + 4 4 4 ( ) 4 4 + < + + + < + + + 6 + 6 < 6 + 4 + 9 és ez igaz mert () + + 4 4 4 4 8 > + + + + > + + + és ez igaz mert > 0 +

A matematikai logika elemei 43 (), () és () alapjá az egyelőtleség igaz ( + ) -re Így a matematikai idukció alapjá az egyelőtlesség igaz eseté 3 3 e) = eseté = < mivel 9 7 = 63 < 64 = 8 4 8 7 Ha az egyelőtleség teljesül -re, akkor 3 5 + + < 4 6 + 3 + + Ha igazoli tudjuk, hogy + 3 + + 3 + () akkor következik, hogy az egyelőtleség ( + ) -re is igaz, tehát a matematikai idukció elve alapjá bármely eseté is igaz () (3 )( ) (3 )( ) 0 8 9 + + + + + + Mivel az utolsó egyelőtleség igaz eseté, a bizoyítás teljes 3 f) = eseté a < + < egyelőtleséghez jutuk és ez igaz Ha az egyelőtleségek teljesülek -re, akkor írhatjuk, hogy + + = + k k k Ha k= k= k= + k, akkor < + + k, tehát + + k= k + tehát + + és így + k= k k= k A matematikai idukció elve alapjű az egyelőtleség igaz mide eseté g) Az + + + < egyelőtleséget direkt módo idukcióval em tudjuk igazoli, ezért szigorítai fogjuk az egyelőtleséget Igazoljuk, hogy +, + + = eseté az egyelőtleség teljesül Ha az egyelőtleség igaz -ra, akkor + = + + k= k k= k ( + ) ( + ), tehát elégséges igazoli, hogy () + < ( + ) ( + ),

44 A matematikai logika elemei Mivel az utolsó egyelőség igaz, elve alapjá () ( + ) < ( + ) < + + és így a matematikai idukció + k= k <, k= k Megjegyzés Az < egyelőtleség alapjá k k( k ) + < + = + = < k k( k + ) k k k= k= k= 4 3 4 3 h) Ha = 4, akkor 3 = 8 és 4 = 64, tehát 3 > 4 3 Ha rögzített eseté 3, akkor 3 + 3 3 3 > + 3 + 3 +, mert 3 4 eseté 4 3 + 4 3 + 3 + 3 A matematikai idukció elve alapjá 3 4 7 i) = 7 eseté = 8 és + 4 + 4 = 8, tehát az egyelőtleség teljesül Ha + 4 + 5, akkor + + 8 + 0> + 6 + 0, tehát az egyelőtleség ( + ) -re is teljesül A matematikai idukció elve alapjá > + 4 + 5, 7 j) Ha az egyelőtleséget teljes idukcióval akarjuk bizoyítai, azt kell elleőrizük, teljesül-e az legkisebb szóba jövő értékére, és azt, hogy az egyes odalak megváltozása em változtat-e az egyelőtleség iráyá, ha ( ) -ről áttérük -re Ha =, < <, 5, tehát az egyelőtleség teljesül Ha ( ) -ről áttérük -re, a bal oldal megváltozása: + ( ) + ( ) + B B = =, 6 6 6 az egyelőtleséglác középső tagjáak a megváltozása: K K =,! végül a jobb oldal megváltozása: + 3 4 ( ) + 3( ) 4 + J J = = 4 4 Elég tehát a + + <! <, 6 vagy a kicsit többet modó! () < < 3 +

A matematikai logika elemei 45 egyelőtleséget bizoyítai az 3 egészekre Alkalmazzuk a számtai és mértai közép közötti egyelőtleségeket az,,, számokra Ezekek a számokak a mértai közepe M =!, számtai közepe pedig + + + + S = = Az M < S egyelőtleségből épp () jobb oldalát kapjuk Az! = ( )! összefüggés alapjá alakítsuk az () közepé álló kifejezés - edik hatváyát szorzattá:!! ( )! = = = = ( + ) ( + ) ( + ) + Ez egy -téyezős szorzat, elég belátuk, hogy midegyik tagja agyobb 3 -ál: j j () > ( j =,, ) j + 3 Ismét a számtai és mértai közép közti egyelőtleséget akarjuk felhaszáli: veszük j számot, melyek midegyike + -vel egyelő, és veszük k egymással j egyelő pozitív számot, amelyek szorzata -dal egyelő Ezek m mértai közepéek 3 ( j + k) -adik hatváya j j+ k j + m = 3 j, számtai közepe pedig j + + k a j s =, j + k ahol a k = Eszerit késze vagyuk, ha sikerül k -t úgy megválasztai, hogy s = 3 legye, hisze ekkor m <, ami ekvivales a bizoyítadó ()-vel Az s egyelőtleség feltétele ami teljesül például k = 6 mellett: j + + k a j + k, azaz k k k = a 3 k, 3 6 6 6 5 = =, 78 < 3 5, tehát > 5 6 3

46 A matematikai logika elemei 5 Bizoyítsd be a következő egyelőtleségeket: a) a b a b, ha a b ; k k k k, k k k= k= k= a + a + + a a + a + + a, ha a, k =, ; b) a + b ) ( a + b), + > 0 c) (, ha ab és a b ; d) Ha x + x + + x és x 0 j =,, akkor j ( x )( x ) ( x ) ; e) + + < ( x + )( x + ) x + x + x + x + <, ha x > 0, x + x + + k k f) Ha k, és 0 x, akkor [ ( x) ] ( x ) Bizoyítás a) = eseté ab ( ab) ha a, b, tehát ebbe az esetbe az egyelőtleség teljesül Ha és tetszőleges ( a ),( b ) valós számokra teljesül a i i=, i i=, a b a b k k k k k= k= k= egyelőtleség, akkor írhatjuk, hogy: + + + a b ab = a + a b + b ab + a b = k k k k k + k + k k + + k= k= k= k= k= k= a b a b b a a b k a b a b k + k + k k k + + k k k= k= k= k= k= k= = + + = = a b a b + ( a b b a ) 0 k k k k + k + k k= k= k= k= A matematikai idukció elve alapjá a b a b k k k k,, a, b k k k =, k= k= k= b) a + a a + a Egyelőség potosa akkor teljesül, ha a számok azoos előjelűek Ha -re teljesül az egyelőtleség, akkor a + a + + a + a a + a + + a + a a + a = a + + + i i i= i= k +

A matematikai logika elemei 47 c) = eseté egyelőség va = -re ( a + b ) ( a + b), mert ( a b) 0 Ha az egyelőtleség teljesül -re, akkor ( a + b ) ( a + b) és így Vizsgáljuk meg a ( a + b )( a + b) ( a + b) + + + ( a + b ) ( a + b )( a + b) egyelőtleséget Ez ekvivales az ( a b )( a b) 0 egyelőtleséggel és ez igaz d) Ha =, akkor egyelőség áll fe Ha =, akkor ( x)( x) = x x + xx + xx Feltételezzük, hogy létezik olya, amelyre tetszőleges x, x,, x számokra, ha x + x + + x +, akkor ( x )( x ) ( x ) Ha y, y,, y, és y y + y + + y + + + y +, akkor az ( y )( y ) y y > 0 egyelőtleség alapjá írhatjuk, hogy ( y )( y ) ( y )( ) ( )( ) ( ) y y y y y + 3 + mert az x = y,, + y x = y k k k+ =, számokra alkalmazzuk az idukciós feltételt A matematikai idukció elve alapjá a tulajdoság bármely eseté igaz e) Ha =, akkor az ( x + )( x + ) x + x + 5 x + ( x + ) egyelőtleséget kell igazoluk Az első egyelőtleségbe egyelőség va, míg a második teljesül mert 5 < Feltételezzük, hogy -re teljesül és midhárom 4 kifejezéshez hozzáaduk x + + x + + -t Elégséges igazoluk, hogy + + ( x + )( x + ) x + + x + + ( x + )( x + + ) és + + x x x + + x + + x + + + + x + + + Az első egyelőtleség ekvivales az ( x + )( x + + ) x( x + ) egyelőtleséggel és a második az x x + + + + + ( x + + )( x + + )

48 A matematikai logika elemei egyelőtleséggel Mivel midkét egyelőtleség igaz, a bizoyítadó egyelőtleség ( + )-re is igaz és így a matematikai idukció alapjá igaz mide eseté f) Két egymásba ágyazott idukciót haszáluk Ahhoz, hogy a k szeriti idukció működjö az k+ k k ( x ) + ( x ) ( x) ( x) + ( x ) x [0, ], k, egyelőtleségre vola szükség Az x = a és x k = b jelöléssel ez ( ab) + ( a) ( b) ( a) + ( b) alakba írható Ezt az egyelőtleséget szeriti idukcióval igazoljuk ( ab) ( a) + ( b) ( a) ( b) / ( ab) Elégséges igazoli, hogy ( a) + ( b) ( a) ( b) ab( a) ab( b) + ab( a) ( b) + + + + ( + a) + ( b) ( a) ( b) Ez ekvivales az ( ) ( )[ ( ) ] ( ) a a b b + b b [ ( a) ] 0 egyelőtleséggel és ez igaz 6 Bizoyítsd be a következő oszthatóságokat: + a) 4 (5 + 3 ); b) 9 (6 6 ) ; 4 3 + 3+ c) 7 (5 + 9 ); d) 7 (3 5 + ); 3 ( + ) + + 7 3 4 + e) 3 ; f) 3 ( + + 3 + 5 ) ; Bizoyítás a) = eseté 5 + 3 = 4 4 + + Ha 5 + 3 = 4M, akkor 5 3 + 3 = 4 3M és így 3 + = 4 3M 5 3, + + + tehát 5 + 3 = 5 5 3 + 4 3M = 5 + M 4 b) = eseté 6 6 értéke 9 Ha (6 6 ) 9, akkor 6 = 9M + 6 +, tehát 6 + = 6 9M + 96 + 6 és így 6 + 6( + ) = 6 9M + 90 + 9 és ez osztható 9-cel A matematikai idukció elve alapjá 9 (6 6 ), 4 3 c) = eseté 5 + 9 értéke 4 és ez osztható 7-tel 4 3 4 3 4+ Ha 5 + 9 = 7M, akkor 5 = 4M 9, vagyis 5 + 9 = 4 3 4 4 = 4M + 9 (9 ) és ez osztható 7-tel mert ( 9 ) = 8 8 = 6559 és ez osztható 7-tel + 3+ d) = 0 eseté 3 5 + értéke 7 + 3+ + 3 3+ Ha 3 5 + = 7M, akkor 3 5 = 7 5M 5, tehát + 3 3+ 4 3+ 3 5 + = 7 5M 7 és ez osztható 7 -tel + + e) = 0 eseté + értéke 33 + + + 3 + Ha + = 33M, akkor = 33M és így

A matematikai logika elemei 49 + 3 + 3 + + = 33M + 33 A matematikai idukció elve alapjá + + 33 ( + ) 7+ 3 + 4+ f) = 0 eseté + 3 5 értéke 3 7+ 3 + 4+ 7+ 3 + 4+ Ha + 3 5 = 3M, akkor = 3M 3 5, tehát 7+ 0 7 7 + 4+ = 3M 3 5 Ebből következik, hogy 7+ 0 + 3 4+ 5 7 + 4+ 4 7 + 3 5 = 3M + 3 4 (3 5 ) 4 7 7 Mivel 3 5 = 3 39 következik, hogy ( + 0 3 4 3 + 5 + + ) 3 és így a 7+ 3 + 4+ matematikai idukció alapjá ( + 3 5 ) 3 7 Bizoyítsd be, hogy mide háromszög felbotható darab hozzá hasoló háromszögre, ha 6 Bizoyítás Ha egy háromszögbe felvesszük az oldalak felezőpotjait és meghúzzuk a középvoalakat, égy darab az eredetivel hasoló háromszög keletkezik Ez azt jeleti, hogy ha egy háromszöget felbotottuk darab vele hasoló háromszögre, akkor a felbotás valamelyik háromszögét égy háromszögre botva, ( + 3) háromszögre is felbothatjuk A mellékelt ábráko látható egy-egy felbotás 6 illetve 8 háromszögre Mivel 7 = 4+ 3, 7 háromszögre is felbothatjuk és így az első észrevétel és a teljes idukció elve alapjá szerkeszthetük mide 6 eseté olya felbotást, amely darab az eredetivel hasoló háromszöget tartalmaz 8 Feldarabolható-e egy általáos háromszög darab egyelő szárú háromszögre, ha 4? Bizoyítás Ha egy derékszögű háromszögbe meghúzzuk a derékszöghöz tartozó oldalfelezőt, két egyelő szárú háromszög keletkezik Mivel mide háromszögek va legalább egy olya magassága, amely a háromszög belsejébe va, mide háromszög felbotható 4 egyelő szárú háromszögre Ez egybe azt is jeleti, hogy ha va felbotás háromszögre, akkor va + 4 háromszögre is Ugyaakkor ha előbb leváguk egy vagy két egyelő szárú háromszöget, akkor kaphatuk 5 illetve 6 háromszöget

50 A matematikai logika elemei tartalmazó felbotást is Így tetszőleges 4 eseté szerkeszthetük darab egyelő szárú háromszöget tartalmazó felbotást (Ha ez a háromszög egyelő szárú, akkor az előbbi feladatot is haszálhatjuk) 9 Bizoyítsd be, hogy ha 6, akkor egy tetszőleges égyzet feldarabolható darab égyzetre Bizoyítás Ha egy égyzetbe összekötjük a szembefekvőoldalak felezőpotjait, égy kisebb égyzetet kapuk, tehát = 4 -re va felbotásuk és ha va -re, akkor va ( + 3) -ra is A mellékelt ábrá láthatók = 6, = 7 és = 8 eseté a felbotások A matematikai idukció elve alapjá tetszőleges 6 eseté felbothatjuk a égyzetet darab kisebb égyzetre 0 Bizoyítsd be, hogy az ( + )( + ) ( ) szorzatba a kitevője potosa Bizoyítás Ha =, akkor az szorzat prímtéyezős felbotásába a kitevője Ha valamilye -re az ( + )( + ) () szorzatba a kitevője, akkor az ( + )( + ) ( + )( + 3) ( )( + )( + ) = ( + )( + ) ( ) + szorzatba a kitevője ( + ), mert ( + ) Így a matematikai idukció elve alapjá ( + )( + ) () felbotásába a kitevője, Bizoyítsd be, hogy mide eseté -ek létezik olya egész számú többszöröse, amely csak az és számjegyekből áll Bizoyítás = és = eseté a és megfelel Ha az N szám számjegyű és mide számjegye vagy és N, akkor az N = 0 + N és 0 + N = + N számok közül az egyik osztható -el ( 5 k k + x vagy 5 + x páros, x eseté), tehát létezik ( + ) számjegyű + -el osztható szám, amelyek mide számjegye vagy Így a matematikai idukció elve alapjá a bizoyítás teljes

A matematikai logika elemei 5 Bizoyítsd be, hogy + + + < bármely eseté Bizoyítás Igazoljuk, hogy k + k + + k + < k +, k, Ha = 0, akkor a k < k + k + k + > 0 k Ha az egyelőtleség mide mert k egyelőtleséget kell igazoli és ez igaz mert eseté igaz egy rögzített -re, akkor k + ( k + ) + + k + + = k + ( k + ) + + ( k + ) + < < k + k + < k + k Így a matematikai idukció elve alapjá az egyelőtleség mide eseté igaz k = -re a kért egyelőtleséget kapjuk IV3 Gyakorlatok és feladatok (99 oldal) Va-e ullától külöböző természetes megoldása az u = 7v egyeletek? Megoldás Ha vola ( u, v megoldás, akkor ezek közt lee olya is, o o ) amelyre u miimális (de em 0!) Az u = 7v egyelet alapjá u 7, tehát u és így létezik u úgy, hogy u = 7u, azaz 7u = v Hasoló godolatmeet alapjá v 7, tehát létezik v úgy, hogy v = 7v Ha ezt visszahelyettesítjük, az u = 7v egyelethez jutuk Mivel u < u, szerkesztettük olya ( u, v ) megoldást, amelyre u < Ez elletmod u megválasztásáak, tehát az egyeletek ics u ullától külöböző megoldása Bizoyítsd be, hogy ha x + y + = xyz, akkor z = 3 7 Bizoyítás Ha x = y, akkor x + = x z, tehát x és így z = 3, x = y = A továbbiakba feltételezzük, hogy x < y (a szimmetria alapjá feltételezhetjük) és tekitjük az ( x, y megoldást, amelyre y a lehető legkisebb Ha 0 0 ) és y =, akkor y ( x z y ) x = x z y x > 0, tehát x és 0 = x + 0 0 0 0 0 x + y + = x y z A végtele leszállás elve alapjá ilye ( x, y ) megoldás em 0 0 létezhet, tehát csak az (,, 3) megoldás teljesíti az egyeletet 3 Határozd meg az összes olya természetes számot, amelyre mide oldalú sokszög felbotható egymás belső potjait em metsző átlók segítségével háromszögekre úgy, hogy mide csúcsból páros számú átló iduljo ki 0

5 A matematikai logika elemei Megoldás Ha -re lehetséges akkor ( + 3) -ra is lehetséges, a felbotás A mellékelt ábráak megfelelő toldás segítségével (az AB átlóvá változik) A legkisebb m, amelyre lehetséges a kért felbotás az = 6, tehát {3k k } eseté az oldalú sokszögek felbothatók a feltételek megfelelőe 3 k 4 Az természetes számból kiidulva a következő lépéseket végezzük: a) ha a szám páros, osztjuk -vel; B b) ha a szám páratla hozzáaduk -et Bizoyítsd be, hogy midig eljutuk -hez Bizoyítás Ha = a a a a az szám reprezetása a kettes számredszerbe, akkor a 0 eseté az -ből kapott szám, ( aaa ) eggyel kevesebb = a k 3 k számjegyet tartalmaz Ha a =, akkor az + szám vagy k számjegyet tartalmaz k és az utolsó számjegye 0, vagy ( k + ) számjegyet tartalmaz és az utolsó k számjegye 0 Ezért legtöbb két lépés utá csökketjük a kettes számredszerbeli számjegyek számát Így el kell jutuk az -hez is 5 Négy tetszőleges a, bcd,, természetes számból kiidulva a következő lépéseket ismételjük: a meglevő ( a, bcd,, ) számégyest helyettesítjük a ( a b, b c, c d, d a) számégyessel Bizoyítsuk be, hogy egy idő utá csupa 0-t kapuk Bizoyítás A lépések sorá a számok maximuma em övekedhet Ha a számok mid oszthatók d -vel, akkor ez a tulajdoság megörződik Másrészt elleőrizhető, hogy tetszőleges kofiguráció eseté -ek egyre agyobb hatváyával oszthatók a számok Jelöljük -gyel a páratla és 0-val a páros számokat Például, ha 0 0 0 -ből iduluk 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tehát 4 lépés utá mide szám osztható -vel A C IV4 Gyakorlatok és feladatok (0 oldal) Egy tasakba 60 darab cukorka va, 0 áfoyás, 0 almás, 5 aracsos és 5 sárgadiyés Egy bekötött szemű gyerekek háy cukorkát kell kiemeli ahhoz, hogy biztosa legye közöttük: a) egy áfoyás; b) két áfoyás és két almás;

A matematikai logika elemei 53 c) két aracsos, egy sárgadiyés és egy almás; d) midegyikből egy-egy; e) valamelyikből három egyforma Megoldás a) Legalább 4 darabot kell kivei, mert előfordulhat, hogy előbb kiveszi az almás, a aracsos és a sárgaiyés cukorkákat (ez 40 darab) és csak azutá vesz ki áfoyásat b) 5; c) 5; d) 5; e) 9 Egy zsákba 0 pár azoos férfi- és 5 pár ői kesztyű va Legalább háy kesztyűt kell kiveük ahhoz, hogy a) legye egy pár a kivett kesztyük között; b) legye egy pár ői kesztyű a kivettek között; c) legye két azoos pár? Megoldás a) 6; b) 6; c) 8 3 Igaz-e, hogy egy 5-ös létszámú osztályba va legalább három diák, aki ugyaabba a hóapba született? Megoldás Ha mide hóapba legfeljebb két születésap vola, akkor ez legfeljebb = 4 születésapot jeletee Mivel 5 diák va, valamelyik hóapba legalább három születésap esik 4 Egy építkezéshez 50 kőtömböt kell elszállítai, amelyek tömege 370 kg, 37 kg, 374 kg, 466 kg El lehet-e ezekez szállítai egy maximum 3 toát szállító teherautóval 7 út alkalmával? Megoldás Ha 50 kőtömböt 7 út alkalmával szállítuk, legalább egy alkalmommal legalább 8 kőtömböt kell szállítai De 370 + 37 + 374 + 376 + 378 + 380 + 38 + 384 = 306 Így ez a szállítmáy több vola mit 3 toa, tehát em lehetséges 5 Bizoyítsd be, hogy darab -él kisebb és -től külöböző természetes szám közül kiválasztható kettő, amelyek összege Bizoyítás A számokat ( x, x) alakú párokba redezzük Mivel ( + ) ilye pár létezik, legalább az egyik pár az adott számok között va 6 Bizoyítsd be, hogy öt, 0-él agyobb prímszám közül kiválasztható kettő, melyek külöbsége osztható 0-zel! Bizoyítás A 0-él agyobb prímszámok 0-zel való osztási maradéka, 3, 7 vagy 9 lehet, így öt ilye prímszám közt midig va kettő, amelyek ugyaazt a maradékot adják 0-zel való osztáskor A külöbségük osztható 0-zel 7 Bizoyítsd be, hogy 7 egész szám közül kiválasztható kettő, amelyek összege vagy külöbsége osztható -gyel Bizoyítás A teljes égyzetek -gyel való osztási maradékai 0,, 4, 9, 5 és 3, tehát hét szám közül va kettő, x és y, amelyre x és y -gyel való osztási maradéka egyelő Így x y = ( x y) ( x + y) és mivel prímszám, az összeg vagy a külöbség osztható -gyel

54 A matematikai logika elemei 8 Bizoyítsd be, hogy 7 darab 00-ál em agyobb és 0-tól külöböző természetes szám között va kettő, amelyek relatív prímek Bizoyítás Ha felsoroljuk a számok prímosztóit, legalább 7-et kellee kapjuk, ha ics köztük olya, amely em relatív prím Ez em lehetséges, mert ics 7 darab 00-ál kisebb prímszám 9 Bizoyítsd be, hogy bármely páratla számhoz létezik olya k tetszőleges szám, k amelyre ( ) 3 Bizoyítás Az,,,,, számok közt va kettő, amelyekek -el való a b a osztási maradéka egyelő Így ( ), tehát ( b ) 0 Bizoyítsd be, hogy 6 irracioális szám között midig va három, amelyek közül bármely kettő összege irracioális Bizoyítás Ha x, y, z irracioálisak, akkor em lehet az x + y, y + z és z + x egyarát racioális mert x y = ( x + z) ( z + y) és x + y -ból következik, hogy x, y Helyezzük el az adott számokat egy szabályos hatszög csúcsaiba és az átlókat illetve oldalakat szíezzük kékre, ha a végpotokba levő számok összege racioális illetve pirosra, ha irracioális Az így kapott ábrá va egyszíű háromszög, mert egy csúcsból kiidul legalább három azoos szíű voal és ha ezek másik végpotjait összekötő szakaszok közt va ezekkel megegyezző szíű, akkor megva a háromszög, ellekező esetbe ezek a végpotok határozak meg ilye háromszöget Az egyszíű háromszög az első észrevétel alapjá em lehet kék, tehát va 3 olya szám, amely teljesíti a feltételt Egy egységoldalú égyzet belsejébe felvettük 5 potot Bizoyítsd be, hogy kiválasztható közülük 3, amelyek által meghatározott háromszög köré írható kör sugara kisebb mit 7 Bizoyítás A égyzetet osszuk fel 5 darab 5 oldalhosszúságú égyzetre Így va legalább egy kis égyzetecske, amely 3 potot tartalmaz Másrészt az általuk meghatározott háromszög köré írható kör sugara em agyobb mit < 0 7 Bizoyítsd be, hogy mide oldalú sokszögbe va két átló, amelyek által bezárt szög mértéke kisebb mit Bizoyítás A sík egy tetszőleges P potjá át húzzuk párhuzamost mide 8 átlóhoz Így = 89 egyeest kapuk és 378 szöget Ha ezek midegyike - ál agyobb lee, akkor a P körül legalább 378 -os szög keletkeze Ez elletmodás, mert a P körüli teljes szög 360, tehát létezik két átló, amelyek -ál kisebb szöget zárak be

A matematikai logika elemei 55 3 Egy 3 4-es téglalapba felvettük 6 potot Bizoyítsd be, hogy va köztük kettő, amelyek távolsága legfeljebb 5 Bizoyítás Ha két egymásmelletti -es égyzetbe va pot, akkor ezek távolsága legfeljebb 5, tehát az állítás igaz Ha viszot egymásmelletti -es égyzetbe ics pot, akkor valamelyik ábrá látható égyzetekbe kerül pot Midkét esetbe va olya 3 3-as része a tábláak, amelye 5 pot va Így a 3 égy 3 -es égyzet közül legalább egybe két pot va Ezek távolsága em több mit 3 és 3 < 5, mert 8 < 0 4 A sík mide potját kékre vagy pirosra szíezzük Bizoyítsd be, hogy va két azoos szíű pot, amelyek távolsága Bizoyítás Tekitsük egy egységyi oldalhosszúságú egyelő oldalú háromszöget Két csúcsát ugyaazzal a szíel szíeztük, tehát létezik két azoos szíű pot, amelyek távolsága 5 Egy egységoldalú égyzet belsejébe egy kovex sokszöget íruk, amelyek területe agyobb mit Bizoyítsd be, hogy va olya d egyees, amely párhuzamos a égyzet valamelyik oldalával és a sokszögből -él hosszab szakaszt metsz ki Bizoyítás A beírt sokszöget az egyik oldallal párhuzamos egyeesek segítségével két háromszögre és éháy trapázra bothatjuk Ha mide d egyees, amely párhuzamos a égyzet valamelyik oldalával - él em hosszabb szakaszt metsz ki, akkor egy-egy trapéz területére a a + b h T = h h t b }h és a háromszögek területére b h h T = < h Így a sokszög területe h T < i < Ez elletmodás, tehát létezik olya d egyees, amely párhuzamos valamelyik oldallal és legalább hosszúságú szakaszt metsz ki a sokszögből

56 A matematikai logika elemei IV5 Gyakorlatok és feladatok (0 oldal) Egy táblára felírtuk a számokat -től 00-ig majd egy alkalommal a táblá levő számok közül éháyat helyettesítük a számjegyeik összegével Ezt a lépést addig ismételjük, amíg egy szám marad a táblá Melyik ez a szám? Megoldás Egy lépés sorá az összeg 9-cel való osztási maradéka em változik 00 00 + + + 00 = = 00 00 és eek a 9-cel való osztási maradéka 6, tehát a végé a 6-os marad a táblá Egy táblára az x + 7x + 8 kifejezést írtuk és egy-egy alkalommal valamelyik együtthatót eggyel övelhetjük vagy csökkethetjük Bizoyítsd be, hogy ha egy idő utá az x 7x 8 kifejezés áll a táblá, akkor volt olya másodfokú kifejezés a táblá, amelyek va egész gyöke Bizoyítás A táblá levő kifejezés -be számolt behelyettesítési értéke -gyel változhat Mivel ez kezdetbe 6 és a végé 4, va olya állapot, amikor 0 Tehát volt olya másodfokú kifejezés, amelyek az gyöke 3 Egy asztalo 6 pohár áll Egy-egy alkalommal 5 poharat fordítuk meg Elérhetjük-e, hogy mide pohár az eredeti helyzetéhez képest fordítva álljo? Hát akkor, ha 5 pohár va és mide lépésbe 4-et fordítuk meg? Megoldás A k -adik fordításál a k -adik poharat hagyjuk változatlaul k =, 6 Így hat forgatás utá mide pohár fordítva áll Ha mide lépésbe 4 poharat fordítuk meg, akkor összese 4k poharat fordítuk meg k fordítás alatt Másrészt ha ezutá mide pohár fordítva áll, akkor a fordítások száma páratla Ez elletmodás, tehát 5 pohár eseté em lehet megfordítai a poharakat