Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

ANALÍZIS FELADATGYŰJTEMÉNY I

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis feladatgyűjtemény I Analízis feladatgyűjtemény II Bevezetés az analízisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimalizálás Geometria Igazságos elosztások Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis Exercises I Mathematical Analysis Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás Operációkutatási példatár Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Pénzügyi matematika Szimmetrikus struktúrák Többváltozós adatelemzés Variációszámítás és optimális irányítás

Ge mes Margit, Szentmiklo ssy Zolta n ANALI ZIS FELADATGYU JTEME NY I Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar Typotex 04

c 04 09, Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Szerkesztők: Kós Géza és Szentmiklóssy Zoltán Lektorálta: Pach Péter Pál Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN 978 963 79 30 9 Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában Felelős vezető: Votisky Zsuzsa Műszaki szerkesztő: Gerner József Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-0045 számú, Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához című projekt keretében. KULCSSZAVAK: analízis, kalkulus, derivált, integrál, több-változó, komplex. ÖSSZEFOGLALÁS: Ez a feladatgyűjtemény elsősorban azon egyetemi hallgatók számára készült, akik matematikát, ezen belül kalkulust és analízist tanulnak. A könyv fő feladata bevezetni az olvasót a a differenciál és integrálszámításba és ezek alkalmazásaiba.

Tartalomjegyzék Alapfogalmak, valós számok 7.. Elemi feladatok.......................... 8.. Logikai alapfogalmak....................... 9.3. Bizonyítási módszerek...................... 4.4. Halmazok..............................5. A valós számok axiómarendszere.................6. A számegyenes.......................... 7 Számsorozatok konvergenciája 3.. Sorozatok határértéke...................... 3.. A határérték tulajdonságai................... 38.3. Monoton sorozatok........................ 4.4. A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium...... 44.5. Sorozatok nagyságrendje..................... 45.6. Vegyes feladatok......................... 47 Valós függvények határértéke, folytonossága 48 3.. Függvények globális tulajdonságai............... 50 3.. A határérték........................... 63 3.3. Folytonos függvények....................... 7 A differenciálszámítás és alkalmazásai 76 4.. A derivált fogalma........................ 79 4.. Deriválási szabályok....................... 8 4.3. Középértéktételek, L Hospital szabály............. 86 4.4. Szélsőértékkeresés......................... 88 4.5. Függvényvizsgálat........................ 90 4.6. Elemi függvények......................... 9 Az egyváltozós Riemann-integrál 98 5.. Határozatlan integrál....................... 0 5.. Határozott integrál........................ 09 5.3. A határozott integrál alkalmazásai............... 5 5.4. Improprius integrál........................ 8 Numerikus sorok 6.. Numerikus sorok konvergenciája................ 6.. Pozitív tagú sorok konvergenciakritériumai.......... 5 6.3. Feltételes és abszolút konvergencia............... 30

6 Függvénysorozatok és sorok 3 7.. Pontonkénti és egyenletes konvergencia............. 35 7.. Hatványsorok, Taylor-sor.................... 38 7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor............... 43 Többváltozós függvények differenciálása 47 8.. Topológiai alapfogalmak..................... 49 8.. Többváltozós függvények grafikonja.............. 5 8.3. Többváltozós határérték, folytonosság............. 56 8.4. Parciális és totális derivált.................... 58 8.5. Többváltozós szélsőérték..................... 64 Többváltozós Riemann-integrál 69 9.. Jordan-mérték.......................... 7 9.. Többváltozós Riemann-integrál................. 74 Vonalintegrál és primitív függvény 8 0.. Sík és térgörbék.......................... 84 0.. Skalár-, és vektormezők, differenciáloperátorok........ 87 0.3. Vonalintegrál........................... 88 Komplex függvények 96 Megoldások 04 Ajánlott irodalom 338

. fejezet Alapfogalmak, valós számok Biztatásul közlöm, hogy tévesnek bizonyult a cáfolata annak a híresztelésnek, mely szerint mégsem hazugság azt tagadni, hogy lesz olyan vizsgázó, akinek egy analízis tétel bizonyítását sem kell tudnia ahhoz, hogy ne bukjon meg. (Baranyai Zsolt).. Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha van olyan K R valós szám, hogy minden a A esetén a K. Az A R halmaz felülről korlátos, ha van olyan M R valós szám (felső korlát), amelyre minden a A esetén a M. Az A R halmaz alulról korlátos, ha van olyan m R valós szám (alsó korlát), amelyre minden a A esetén a m... Cantor-axióma: Egymásba skatulyázott korlátos zárt intervallumsorozat metszete nem üres..3. Felső határ, szuprémum: Ha az A halmaznak van legkisebb felső korlátja és ez a szám M, akkor ezt az M számot a halmaz felső határának vagy szuprémumának nevezzük és M = sup A-val jelöljük..4. Teljességi tétel: Ha A R felülről korlátos nem üres halmaz, akkor van legkisebb felső korlátja..5. Bernoulli-egyenlőtlenség: Ha n N és x >, akkor ( + x) n + n x. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha n = 0 vagy n = vagy x = 0.

. Alapfogalmak, valós számok 8.. Elemi feladatok Ábrázoljuk a számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát!.. x 5 < 3.. 5 x < 3.3. x 5 <.4. 5 x < 0. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!.5. 5x + 6.6. 6x + 7x 0 > 0.7. 0x + 7x + 3 0.8. 6x + 8x > 0.9. 8x 30x + 5 0.0. 4x + 4x 0.. 9x 4x + 7 0.. 6x + 4x < 0.3. Hol a hiba? log log és < 4 Összeszorozva a két egyenlőtlenséget: log < 4 log A logaritmus azonosságait használva: log ( ) ( ) 4 < log A log x függvény szigorúan monoton nő, tehát:

. Alapfogalmak, valós számok 9 4 < 6 Átszorozva az egyenlőtlenséget: 6 < 4. Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket!.4. x + + x.5. x + 3 + x 5 = 0.6. x + x +.7. x < x.8. x + 3 + x = 0.9. x + 3 + x 0.. Logikai alapfogalmak.0. Minél egyszerűbben mondjuk ki az alábbi állítások tagadását: (a) Minden egér szereti a sajtot. (b) Aki másnak vermet ás, maga esik bele. (c) Minden asszony életében van egy pillanat Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad. (d) Van olyan a, hogy minden b-hez egyetlen x tartozik, melyre a + x = b (e) 3 nem nagyobb, mint, vagy 5 osztója 0-nek. (f) Nem zörög a haraszt, ha a szél nem fújja. (g) Ha a nagynénémnek kerekei volnának, ő lenne a miskolci gyorsvonat... Egy udvarban van 5 kecske és 0 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amit minden bolha megcsípett. Következik-e ebből, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecskét megcsípett?.. Fogadjuk el igaznak a következő állításokat:

. Alapfogalmak, valós számok 0 (a) Ha egy állat emlős, akkor vagy van farka, vagy van kopoltyúja. (b) Egyik állatnak sincs farka. (c) Minden állat vagy emlős, vagy van farka, vagy van kopoltyúja. Következik-e ebből, hogy minden állatnak van kopoltyúja?.3. Balkezes Bendegúz, aki valóban balkezes, a bal kezével csak igaz állításokat tud leírni, a jobb kezével pedig csak csak hamis állításokat. Melyik kezével írhatja le a következő mondatokat? (a) Balkezes vagyok. (b) Jobbkezes vagyok. (c) Balkezes vagyok és Bendegúz a nevem. (d) Jobbkezes vagyok és Bendegúz a nevem. (e) Balkezes vagyok vagy Bendegúz a nevem. (f) Jobbkezes vagyok vagy Bendegúz a nevem. (g) A 0 se nem páros, se nem páratlan..4. Azt mondják, a fekete macska szerencsétlenséget hoz. Melyik mondattal tagadhatjuk ezt? (a) A fekete macska szerencsét hoz. (b) Nem a fekete macska hoz szerencsétlenséget. (c) A fehér macska hoz szerencsétlenséget. (d) A fekete macska nem hoz szerencsétlenséget..5. Legyen A a pozitív egészek halmaza. Jelentse a b azt az állítást, hogy a osztója b-nek. Döntsük el, hogy mely állítások igazak az alábbiak közül: (a) a A b A a b (c) a A b A a b (b) a A b A a b (d) a A b A a b.6. Matematika országban a bíró csak a bizonyítékoknak hisz. Például, ha F azt állítja, hogy van fekete oroszlán, akkor állításának helyességéről meggyőzheti a bírót azzal, ha mutat neki egy fekete oroszlánt. (a) F azt állítja, hogy minden oroszlán fekete. Elég bizonyíték-e, ha mutat a bírónak egy fekete oroszlánt?

. Alapfogalmak, valós számok (b) F azt állítja, hogy minden oroszlán fekete, G pedig azt állítja, hogy F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását? (c) F azt állítja, hogy minden -re végződő négyzetszám osztható 3- mal. G szerint F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását? F-nek vagy G-nek van igaza? (d) F azt állítja, hogy ha egy derékszögű háromszög befogói a és b, átfogója c, akkor a + b = c. Hogyan bizonyíthatná F az állítását? (e) F azt állítja, hogy egy másodfokú egyenletnek lehetnek negatív gyökei. Hogyan bizonyíthatná F az állítását? (f) F azt állítja, hogy egy másodfokú egyenletnek lehet 3 gyöke. G szerint F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását?.7. : -) Minden mohikán hazudik, mondta az utolsó mohikán. Igazat mondott?.8. : -) ) A 3 prímszám. ) 4 osztható 3-mal. 3) Ebben a keretben pontosan igaz állítás van. Hány igaz állítás van a keretben?.9. Egy 3 jegyű kódszámban bármely 3 szomszédos számjegy összege. A kód második jegye 6, a tizenkettedik jegy pedig 4. Mi a 3-adik jegy?.30. Fogadjuk el igaznak, hogy ki korán kel, aranyat lel. Melyik állítás igazsága következik ebből? (a) Aki későn kel, nem lel aranyat. (b) Aki aranyat lelt, az korán kelt. (c) Aki nem lelt aranyat, az későn kelt..3. Ha kedd van, akkor Belgiumban vagyunk. Melyik állítás következik ebből? (a) Ha szerda van, akkor nem Belgiumban vagyunk. (b) Ha Belgiumban vagyunk, akkor kedd van. (c) Ha nem Belgiumban vagyunk, akkor nincs kedd. Mi a logikai kapcsolat az állítások között? (Melyikből következik a másik?)

. Alapfogalmak, valós számok.3. A: x > 5 B: x > 5.33. A: x 5 < 3 B: x 5 < 9.34. A: x 5 > 4 B: x 5 > 6.35. A: x x 6 = 0 B: x =.36. A: x x 6 > 0 B: x >.37. A: 7 = 8 B: 3 = 3.38. A: 7 = 8 B: 3 = 4.39. A: x < 7 és y < 3 B: x y < 4.40. A: x 5 < 0, és y 5 < 0, B: x y < 0, Tagadjuk a következő állításokat! Döntsük el, hogy igaz-e az állítás! Igaz-e a tagadása?.4. n N + n.4. k N + k.43. n N + k N + n k.44. k N + n N + n k.45. Pistike azt mondta reggel az anyukájának, hogy ha a hó miatt nem jár a busz, nem megy iskolába. A busz járt, Pistike mégsem ment iskolába. Hazudott-e reggel Pistike, amikor a már említett mondatot mondta? Hány olyan részhalmaza van a H = {,, 3,..., 00} halmaznak, amelyre igaz, és hány olyan, amelyre nem igaz, hogy.46. az benne van a részhalmazban;.47. az és a benne van a részhalmazban;

. Alapfogalmak, valós számok 3.48. az vagy a benne van a részhalmazban;.49. az benne van a részhalmazban vagy a nincs benne a részhalmazban;.50. ha az benne van a részhalmazban, akkor a benne van a részhalmazban? Hány olyan H részhalmaza van az A n = {,,..., n} halmaznak, amelyre teljesül, hogy.5. x < n (x H = x +.5. H) x (x H = x + / H).53. x (x H x + H = x + H) Írjuk le logikai jelekkel az alábbi állításokat!.54. Nem igaz, hogy P vagy Q..55. Sem Q, sem P..56. Nem P, ha nem Q..57. P pedig nem is Q..58. Csak akkor P, ha Q..59. Sem P, sem Q..60. Q, feltéve, hogy P..6. Nem P, mégis Q..6. P vagy Q, de nem mindkettő..63. Nem igaz, hogy ha P, akkor egyúttal Q is..64. Írjuk fel logikai kvantorokkal a következő mondatot: Minden tengerész ismer olyan kikötőt, ahol van olyan kocsma, ahol még nem járt. Írjuk fel a mondat tagadását szöveggel és logikai kvantorokkal is!

. Alapfogalmak, valós számok 4.65. Van egy zacskó cukorka és a tanulócsoport hallgatói. Melyik állításból következik a másik? (a) A csoport minden hallgatója szopogatott cukorkát (a zacskóból). (b) Van olyan cukorka (a zacskóból), amit minden hallgató szopogatott. (c) Van olyan hallgató, aki minden cukorkát szopogatott (a zacskóból). (d) Minden cukorkát (a zacskóból) szopogatta valamelyik hallgató..3. Bizonyítási módszerek Bizonyítsuk be, hogy.66. 3 irracionális;.67. 3 irracionális;.68. + + 3 + 5 irracionális! 4.69. Tudjuk, hogy x és y racionális számok. Bizonyítsuk be, hogy (a) x + y (c) xy (b) x y (d) y 0 esetén x y is racionális!.70. Tudjuk, hogy x racionális szám, y pedig irracionális. (a) Lehet-e x + y racionális? (c) Lehet-e xy racionális? (b) Lehet-e x y racionális? (d) Lehet-e x y racionális?.7. Tudjuk, hogy x és y irracionális.

. Alapfogalmak, valós számok 5 (a) Lehet-e x + y racionális? (b) Lehet-e xy racionális?.7. Igaz-e, hogy ha (a) a és b racionális számok, akkor a + b is racionális? (b) a és b irracionális számok, akkor a + b is irracionális? (c) a racionális szám, b pedig irracionális, akkor a + b racionális? (d) a racionális szám, b pedig irracionális, akkor a + b irracionális?.73. Ádámnak füle volt. Ha egy apának füle van, akkor a fiának is füle van. (a) Következik-e a fenti két állításból, hogy minden ma élő embernek füle van? (b) Kikről tudjuk biztosan állítani a fenti két állítás alapján, hogy fülük van? (c) Mire következtethetünk, ha a két állításból az elsőt elhagyjuk, és csak a másodikat használjuk fel? (d) Mire következtethetünk, ha a két állításból a másodikat elhagyjuk, és csak az elsőt használjuk fel?.74. Tétel: Az a legnagyobb szám. Bizonyítás: indirekt módszerrel. Tegyük fel, hogy nem a legnagyobb szám, hanem A. Ekkor A >. Mivel A >, ezért A > 0 is teljesül, tehát ha az A > egyenlőtlenséget megszorozzuk A-val, az A > A egyenlőtlenséget kapjuk. Ez az egyenlőtlenség viszont ellentmond annak, hogy A a legnagyobb szám. Tehát az a legnagyobb szám. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.75. Legyen A, A,... állítások egy sorozata. Mi következik az alábbiakból? (a) A igaz. Ha A, A,..., A n mind igaz, akkor A n+ is igaz. (b) A igaz. Ha A n és A n+ igaz, akkor A n+ is igaz. (c) Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. A n hamis minden n-re. (d) A 00 igaz. Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. (e) A 00 igaz. Ha A n hamis, akkor A n+ is hamis. (f) A hamis. Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. (g) A igaz. Ha A n hamis, akkor A n is hamis.

. Alapfogalmak, valós számok 6.76. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n N esetén 6 5 n+ 4n 5..77. Bizonyítsuk be, hogy tg irracionális. ( ) n n +.78. Bizonyítsuk be, hogy ha n N +, akkor n!..79. Legyen a = 0, 9, a n+ = a n a n. Igaz-e, hogy van olyan n, amelyre a n < 0 6?.80. Írjuk fel a következő kifejezéseket n =,, 3, 6, 7, k és k + esetén (a) n (b) + + 3 + + n (c) + + 3 + + n (d) + 3 + 3 4 + + (n ) n (e) 4 + 7 + 3 0 + + n(3n + ) (f) + 3 + 3 4 + + n(n + ).8. Az első néhány tag kiszámítása után sejtsük meg, milyen egyszerűbb kifejezéssel egyenlő az alábbi összeg, majd a sejtést bizonyítsuk be teljes indukcióval! (a) + 3 + + (n ) n (b) + 3 +... + (n ) Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számra igazak a következő azonosságok:.8. a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ).83. + + + n =.84. + + + n = n(n + ) n(n + )(n + ) 6

. Alapfogalmak, valós számok 7 ( n(n + ).85. 3 + 3 + + n 3 =.86. + 3 n = n + + n + + + n ) Fejezzük ki egyszerűbb alakban a következő kifejezéseket:.87..88. + 3 + + (n ) n 3 + 3 4 + + n (n + ) (n + ).89. + 3 + + n (n + ).90. 3 + 3 4 + + n (n + ) (n + ).9. Egy gazdának van egy pár nyula. Minden nyúlpár hónapos korától minden hónapban egy újabb párnak ad életet. Hány pár nyúl lesz a., 3., 4., 5. és 6. hónapban? Legyen (u n ) a Fibonacci-sorozat, azaz u 0 = 0, u = és n > esetén u n+ = u n + u n..9. Bizonyítsuk be, hogy u n és u n+ relatív prím számok..93. Bizonyítsuk be, hogy, 6n 3 < u n <, 7 n (n > 0)..94. Bizonyítsuk be a következő azonosságokat: (a) u + u + + u n = u n+ (b) u n u n u n+ = ( ) n+ (c) u + u + + u n = u n u n+.95. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket:

. Alapfogalmak, valós számok 8 (a) s n = u 0 + u + + u n (b) s n = u + u 3 + + u n+ (c) s n = u 0 + u 3 + + u 3n (d) s n = u u + u u 3 + + u n u n.96. Tétel: Minden ló egyszínű. Bizonyítás: Teljes indukcióval belátjuk, hogy bármely n ló egyszínű. n = -re az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy igaz n-re, és ebből fogjuk n + -re belátni: adott n + ló közül az indukciós feltevés miatt az.,.,..., n. is egyszínű és a.,..., n., (n+). is egyszínű, tehát mind az n + egyszínű. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.97. Tétel: Nincs józan tengerész. Bizonyítás: Teljes indukcióval. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n tengerészre, és ebből fogjuk n + tengerészre belátni. Adott n + tengerész közül az indukciós feltevés miatt az.,.,..., n. tengerész nem józan, és a.,..., n., (n + ). tengerész sem józan, tehát mind az n + részeg. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.98. Bizonyítsuk be a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget az n = speciális esetben!.99. Bizonyítsuk be, hogy az a, a,... a n pozitív számok számtani, mértani és harmonikus közepe a számok legkisebbike és legnagyobbika közé esik! Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és a + b + c = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke maximális legyen:.00. abc.0. a bc.0. a 3 b c.03. abc ab + bc + ac Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és abc = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke minimális legyen:

. Alapfogalmak, valós számok 9.04. a + b + c.05. a + b + c.06. 3a + b + c.07. a + b + c.08. Tudjuk, hogy három pozitív szám szorzata. (a) Legalább mennyi lehet az összegük? (b) Legfeljebb mennyi lehet az összegük? (c) Legalább mennyi lehet a reciprokösszegük? (d) Legfeljebb mennyi lehet a reciprokösszegük?.09. Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0, akkor a + a..0. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor a b + b c + c a 3... Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re ( + n) n 4... Egy motorcsónak motorja a csónakot állóvízben v sebességgel hajtja. A csónak az u sebességű folyóban s utat tesz meg a folyás irányában, majd visszamegy a kiindulási helyéhez. Mennyi lesz az átlagsebessége a teljes úton v-hez képest: v-vel egyenlő, v-nél nagyobb vagy v-nél kisebb?.3. Egy kereskedőnek nem pontos a kétkarú mérlege, mert a karok hossza nem egyenlő. Miután tudja ezt, minden vásárlónál az áru egyik felét a mérleg egyik serpenyőjében, a másik felét a mérleg másik serpenyőjében méri, gondolván, hogy ezzel kiküszöböli a mérleg pontatlanságát. Valóban ez a helyzet?.4. Határozzuk meg az f(x) = x( x) függvény legnagyobb értékét a [0, ] zárt intervallumon! Hol van és mennyi a minimuma az alábbi függvényeknek, ha x > 0?

. Alapfogalmak, valós számok 0.5. f(x) = x + 4 x.6. g(x) = x 3x + 5 x.7. Határozzuk meg az x ( x) függvény legnagyobb értékét a [0, ] zárt intervallumon..8. Mennyi a maximuma a g(x) = x( x) 3 függvénynek a [0, ] intervallumon?.9. Mennyi a minimuma az f(x) = x + 3 x + + 5 függvénynek?.0. Az y = 4 x parabola melyik pontja van a legközelebb a (0, 5) ponthoz?.. Melyik az egységkörbe írható maximális területű téglalap?.. Melyik az egyenes körkúpba írható maximális térfogatú henger?.3. Melyik az egységgömbbe írható maximális térfogatú egyenes körhenger?.4. Legyen egy téglalap két éle a és b, átlója pedig c. Ekkor a téglalap területe T = ab, és a téglalap kerülete K = (a + b). Tehát: Így: Mivel 0 < a < c, ezért: T K ( T a K = ab (a + b) T K c = ab a + b c ) ( ab < c a + b c c ) Beszorzás után: T a K ac < abc a + b c T és K helyébe írjunk ab-t és (a+b)-t: a b (a + b) ac < abc a + b c Rendezés után: a b (a + b) abc a + b < ac c

. Alapfogalmak, valós számok Kiemelés után: Osztunk (a c)-vel, de a c < 0: Négyzet esetén b = a és c = a : ab (a c) < c (a c) a + b ab a + b > c a a > a Egyszerűsítés és rendezés után: > Hol a hiba?.4. Halmazok.5. Melyik állítás nem igaz? (a) A \ B = {x : x A x B} (b) A \ B = A B (c) A \ B = (A B) \ B (d) A \ B = A \ (A B).6. Melyik halmazzal egyenlő A B? (a) {x : x A x B} (b) {x : x A x B} (c) {x : x A x B} (d) {x : x A x B}.7. Melyik halmazzal egyenlő A (B C)? (a) A (B C) (b) (A B) C (c) (A B) C (d) (A B) (A C) Állapítsuk meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak. Ha egy állítás igaz, bizonyítsuk be, ha hamis, adjunk ellenpéldát!

. Alapfogalmak, valós számok.8. A \ B = A B.9. (A B) \ B = A.30. (A \ B) (A B) = A.3. A \ B = A \ B?.3. (A B) \ A = B.33. (A B) \ C = A (B \ C).34. (A \ B) C = (A C) \ B.35. A \ B = A \ (A B) Legyenek A, B, C halmazok. Írjuk fel A, B, C és a halmazműveletek segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például (A\B) C, az alábbi halmazokat!.36. Azon elemek halmaza, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben és C- ben nincsenek benne..37. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan egyben vannak benne..38. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan kettőben vannak benne..39. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan háromban vannak benne..40. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A, B halmazokra A B = A B..4. Bizonyítsuk be a De Morgan azonosságokat: n n A i = i= i= A i és n n A i = i= i= A i.5. A valós számok axiómarendszere.4. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós számokra

. Alapfogalmak, valós számok 3 (a) a + b a + b (b) a b a b a + b.43. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, a,..., a n valós számokra igaz, hogy a + a + + a n a + a + + a n..44. Igaz-e, hogy ha (a) x < A, akkor x < A (b) x < A, akkor x < A.45. Igaz-e minden a, a,... a n valós számra, hogy (a) a + a + + a n a + a + + a n (b) a + a + + a n a + a + + a n (c) a + a + + a n < a + a + + a n (d) a + a + + a n > a + a + + a n.46. Igaz-e minden a, b valós számra, hogy (a) a + b a b (c) a b < a b (b) a + b a b (d) a b a b.47. Legyen H a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mit jelentenek a következő állítások? (a) x H y H (y < x) (b) y H x H (y < x) (c) x H y H (y x) (d) y H x H (y x).48. Legyen H = {h R : 3 < h } és H = {h R : 3 h < }. Melyik állítás igaz, ha H = H vagy H = H? (a) x H y H (y < x) (b) y H x H (y < x) (c) x H y H (y x) (d) y H x H (y x).49. Legyen A = {a R : 3 < a } és B = {b R : 3 < b < }. Melyik állítás igaz?

. Alapfogalmak, valós számok 4 (a) a A b B b < a (c) b B a A b < a (b) b B a A b < a (d) a A b B b < a Legyen H R. Írjuk fel az alábbi állításokat logikai formulákkal, írjuk föl a tagadásukat, továbbá adjunk példát (ha van) olyan H-ra amelyikre teljesül, és olyanra is amelyikre nem!.50. H-nak van legkisebb eleme..5. H bármely két (különböző) eleme között van (mindkettőtől különböző) H-beli elem. Határozzuk meg a következő számhalmaz-sorozatok metszetét!.5. A n = {a Q : n < a < n }.53. B n = {b R\Q : n < b < n }.54. C n = {c Q : n < c < + n }.55. D n = {d N : n < d < n}.56. E n = {e R : n < e < n}.57. Legyen H R. Írjuk fel a következő állítás tagadását: x H y H (x > = y < x ) Határozzuk meg a következő intervallumsorozatok metszetét! (Például rajz segítségével sejtsük meg a metszetet! Ha a sejtés szerint a metszet M, akkor bizonyítsuk be, hogy x M esetén teljesül, hogy n x I n, továbbá ha y / M akkor k y / I k. ( Itt k és n pozitív egész számok.)

. Alapfogalmak, valós számok 5.58. I n = [ /n, /n].59. I n = ( /n, /n).60. I n = [ /n, 3 + /n].6. I n = ( /n, 3 + /n).6. I n = [0, /n].63. I n = (0, /n).64. I n = [0, /n).65. I n = (0, /n].66. Melyik állítás igaz? (A választ mindig indokoljuk!) (a) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok zártak. (b) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor az intervallumok nyíltak. (c) Egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont. (d) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nyílt. (e) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nem zárt. (f) Ha egy zárt intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok egymásba vannak skatulyázva. A következő feladatokban is indokoljuk meg a válaszokat!.67. Lehet-e egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres?.68. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete üres?.69. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont?.70. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete nem üres?

. Alapfogalmak, valós számok 6.7. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete üres?.7. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi intervallum (nem csak egy pont)?.73. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi intervallum?.74. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?.75. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?.76. A valós számok axiómái közül melyek teljesülnek és melyek nem a racionális számok halmazára (a szokásos műveletekkel és rendezéssel)?.77. Bizonyítsuk be az Archimédeszi axiómából, hogy ( b, c < 0) ( n N) nb < c!.78. Bizonyítsuk be, hogy bármely két valós szám között van véges tizedes tört!.79. Bizonyítsuk be, hogy bármely két valós szám között van racionális szám!.80. Mi a kapcsolat a véges tizedestört alakban felírható számok halmaza és a racionális számok halmaza között?.8. Bizonyítsuk be, hogy egy valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racionális..8. Fordítsuk le a végtelen tizedestörtekről tanultakat kettes számrendszerre, azaz definiáljuk a véges és végtelen bináris (kettedes) törteket és mondjuk ki a tételeink megfelelőit!.83. Ellenőrizzük, hogy a Cantor-axióma állítása nem marad igaz, ha bármelyik feltételét elhagyjuk..84. Igazoljuk a testaxiómák segítségével a következő azonosságokat:

. Alapfogalmak, valós számok 7 (a) a = ( ) a (b) (a b) c = a (b + c) (c) ( a) b = (a b) (e) a b c d = a c b d (d) a/b = b a.6. A számegyenes Szemléltessük a következő számhalmazokat számegyenesen! Döntsük el, hogy melyik intervallum, és melyik nem az! Az intervallumok esetében döntsük el, hogy melyik zárt, melyik nyílt, és melyik se nem zárt, se nem nyílt!.85. A = {,, 3}.86. B = {.6}.87. C = {x R : < x < 6}.88. D = {x N : x 6}.89. E = {x R : x 6}.90. F = {x R : < x 6}.9. G = {x R : x < 6}.9. H = {x Q : x 6} Döntsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy van-e legkisebb illetve legnagyobb elemük?.93. prímszámok halmaza.94. pozitív számok halmaza.95. [ 5, ).96. { } n : n N+.97. {x R : x 73}.98. {x Q : x 73}.99. {x R : x }.00. {x Q : x }.0. {n N : n prímszám n + prímszám}

. Alapfogalmak, valós számok 8.0. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmaz véges (azaz véges sok eleme van). Q: Az A halmaz korlátos..03. Van-e olyan a, a,... számsorozat, amelyre az {a, a,...} halmaz korlátos, de nincs se maximuma, se minimuma? Írjuk fel logikai jelekkel az alábbi állításokat!.04. Az A halmaz korlátos..05. Az A halmaz alulról nem korlátos..06. Az A halmaznak nincs legkisebb eleme..07. Egy számhalmaznak hány maximuma, illetve felső korlátja lehet?.08. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmaznak van legkisebb eleme. Q: Az A halmaz alulról korlátos..09. Legyen A B. Mit tudunk mondani sup A, sup B, sup(a B), sup(a B) és sup(a \ B) kapcsolatáról?.0. Legyen A = (0, ), B = [, { ] és C = n + } : n, m N+. m Határozzuk meg - amennyiben léteznek - a fenti halmazok szuprémumát, infimumát, maximumát és minimumát... Legyen A egy tetszőleges számhalmaz, továbbá { } B = { a : a A}, C = a : a A, a 0. Milyen kapcsolat van a felső és alsó határok között? Határozzuk meg a következő halmazok minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát, ha vannak!

. Alapfogalmak, valós számok 9.. [, ].3. (, ).4..6. { n : n N+ } { n + } : n N + n.5. Q.7..8. {x : x (0, ) Q}.9. { n 3 : n N + } { n + } : n, k N+ k.0..... { } n + n : n, k N + {n + n } : n N+ { n } : n N +.3. { n n n : n N }.4. Legyen H a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mi a következő állítások logikai kapcsolata? (a) H alulról nem korlátos. (c) x H y H (y < x). (b) H-nak nincs legkisebb eleme. (d) y H x H (y < x)..5. Tudjuk, hogy c felső korlátja H-nak. Következik-e ebből, hogy sup H = c?.6. Tudjuk, hogy H-nak nincs c-nél kisebb felső korlátja. Következik-e ebből, hogy sup H = c?.7. Legyenek A és B a valós számok nem üres részhalmazai. Bizonyítsuk be, hogy ha a A b B(a b), akkor sup A sup B..8. Bizonyítsuk be, hogy alulról korlátos, nem üres halmaznak van alsó határa!

. Alapfogalmak, valós számok 30 Legyenek x, y, A, B tetszőleges valós számok, ε pedig pozitív valós szám. Mi a P és Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.9. P: x A < ε Q: A ε < x < A + ε.30. P: x y < ε Q: x A < ε és y A < ε.3. P: x < A és y < B Q: x y < A B.3. P: x < A és y < B Q: x + y < A + B.33. P: x < A és y < B Q: x y < A + B.34. Adjunk példát olyan nem üres valós számhalmazra, amelyik korlátos, de nincs legkisebb eleme!.35. Tegyük fel, hogy a H R halmaz nem üres. Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: H-nak nincs minimuma. Q: a R + b H b < a

. fejezet Számsorozatok konvergenciája.. Az (a n ) sorozat konvergens és tart a b R számhoz, ha ε > 0 n 0 n n 0 ( a n b < ε). Egy adott ε-hoz tartozó n 0 természetes számot küszöbindexnek nevezzük. Ha az (a n ) sorozat tart a b számhoz, ezt a következőképpen jelölhetjük: lim a n = b vagy lim a n = b vagy a n b, ha n vagy a n b. n Ha az (a n ) sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat divergens... Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke, vagy (a n ) tart végtelenhez, ha P R n 0 n n 0 (a n > P ). Ennek jele lim a n = vagy lim a n = vagy a n, ha n vagy a n. n.3. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke -, vagy (a n ) tart mínusz végtelenhez, ha Ennek jele P R n 0 n n 0 (a n < P ). lim a n = vagy lim a n = vagy a n, n ha n vagy a n..4. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat oszcillálva divergens, ha nincs sem véges, sem végtelen határértéke.

. Számsorozatok konvergenciája 3.5. Rendőr-szabály. Ha valahonnan kezdve a n b n c n, létezik az (a n ) és a (c n ) sorozat határértéke és lim a n = lim c n, n n akkor a (b n ) sorozatnak is létezik a határértéke és lim a n = lim b n = lim c n, n n n.. Sorozatok határértéke Legyen az (a n ) sorozat a következőképp megadva: a n = + n. A feladatokban szereplő n és n 0 jelek pozitív egész számokat jelölnek... Adjunk meg olyan n 0 számot, hogy n > n 0 esetén teljesüljön, hogy (a) a n < 0, (b) a n < 0, 0.. Van-e olyan n 0 szám, hogy n > n 0 esetén teljesül, hogy a n < 0, 00?.3. Igaz-e, hogy (a) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n < ε) (b) n 0 ε > 0 n > n 0 ( a n < ε) (c) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n < ε) (d) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n > ε) (e) ε > 0 n 0 n n 0 ( a n < ε) (f) ε > 0 n 0 n n 0 ( a n > ε) Adjunk meg olyan N küszöbindexet, ahonnan kezdve az egyik sorozat nagyobb, mint a másik!.4. a n = 0n + 5 b n = n 3.5. a n = 4n 5 3n 7 b n = 0n + 30

. Számsorozatok konvergenciája 33.6. a n = 3 n n b n = n + n.7. a n = n + 3 n b n = 4 n.8. a n = n b n = n!.9. a n = n! b n = n n.0. a n = n + n b n = n.. a n = n b n = n 3.. a n = 0, 999 n b n = n.3. a n = 0 n b n = n! Keressünk olyan N számot, hogy n > N esetén teljesüljön, hogy.4., 0 n > 000;.5. 0, 9 n < 00 ;.6. n <, 0..7. n n <, 000..8. n > 6n + 5.9. n 3 > 6n + 5n + 37.0. n 3 4n + > 6n 5n + 37.. n 5 4n + > 6n 3 5n + 37 Mutassuk meg, hogy van olyan n 0 szám, amire igaz, hogy minden n > n 0 esetén.. n + n < 0, 0.3. n + 3 n < 0, 0.4. n + 5 n + < 0, 0.5. n + 5 n < 0, 0 Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenségeket!

. Számsorozatok konvergenciája 34.6. n > 0 esetén n > n 3 ;.7. n + +... + n < n..8. Melyik állításból következik a másik? P: Az (a n ) sorozatban van legnagyobb és legkisebb tag. Q: Az (a n ) sorozat korlátos..9. Igaz-e, hogy b pontosan akkor határértéke az (a n ) sorozatnak, ha (a) bármely ε > 0-ra az a n sorozatnak végtelen sok tagja van ε-nál közelebb b-hez? (b) bármely ε > 0-ra az a n sorozatnak csak véges sok tagja van b-től legalább ε távolságban? (c) van olyan ε > 0, amelyre az a n sorozatnak végtelen sok tagja van ε-nál közelebb b-hez? (d) van olyan ε > 0, amelyre az a n sorozatnak végtelen sok tagja van b-től legalább ε távolságban? Mit mondhatunk a ( a n ) sorozat határértékéről, ha.30. lim n a n = a (a R);.3. lim n a n = ;.3. lim n a n =?.33. a n oszcillálva divergens?.34. Mi az alábbi két állítás logikai kapcsolata? P: lim n a n = Q: (a n ) alulról korlátos, de felülről nem korlátos. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét, és adjunk meg egy ε-tól függő küszöbindexet:

. Számsorozatok konvergenciája 35.35. ( ) n n.36. n.37..39. + n n 5n 7n +.38..40. n n + n 6 + 3n 5 7n 6.4..43..45. n + n n +.4. n + n n + n.44. n n + + n n.46. ( ) n + n.47. n + + n n.48. 3 n + 3 n.49. Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! (a) a n = (c) a n = { 3, ha n páros 4, ha n páratlan (b) a n = { 3, ha n 00 4, ha n > 00 { { 3n, ha n páros 4n, ha n páratlan (d) a n, ha n páros n = 0, ha n páratlan.50. Bizonyítsuk be, hogy az n sorozat nem tart 7-hez!.5. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n n sorozat nem tart 7-hez!.5. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n sorozat nem tart 7-hez!.53. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n sorozat divergens!.54. Bizonyítsuk be, hogy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.

. Számsorozatok konvergenciája 36.55. Adjunk példát arra, hogy a n b n 0 de a n b n.56. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ) konvergens, akkor ( a n ) is. Igaz-e az állítás megfordítása?.57. Abból, hogy a n a következik-e, hogy a n a? És abból, hogy a 3 n a 3 következik-e, hogy a n a?.58. Bizonyítsuk be, hogy ha a n a > 0, akkor a n a. Melyik állításból következik, hogy a n?.59. K esetén a (K, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van..60. K eseten a (K, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van..6. Tegyük fel, hogy lim n a n =. Melyik állítás igaz erre a sorozatra? Melyik állításból következik, hogy lim n a n =? (a) Az a n sorozatnak nincs legnagyobb tagja. (b) Az a n sorozatnak van legkisebb tagja. (c) A (3, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van. (d) K esetén a (K, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van. (e) A (3, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van. (f) K eseten a (K, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van..6. Igaz-e, hogy ha egy sorozatnak van (véges vagy végtelen) határértéke, akkor a sorozat alulról vagy felülről korlátos?.63. Mi az A és a B állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: Az (a n ) sorozat szigorúan monoton nő. Q: Az (a n ) sorozat tart a végtelenhez.

. Számsorozatok konvergenciája 37 Lehet-e az a n sorozat határértéke, vagy egy valós szám, ha.64. a sorozatnak végtelen sok 3-nál nagyobb tagja van?.65. a sorozatnak végtelen sok 3-nál kisebb tagja van?.66. a sorozatnak van legnagyobb tagja?.67. a sorozatnak van legkisebb tagja?.68. a sorozatnak nincs legkisebb tagja?.69. a sorozatnak nincs legnagyobb tagja?.70. Van-e olyan oszcillálva divergens sorozat, amelyik (a) korlátos (b) nem korlátos?.7. Egy sorozatnak végtelen sok pozitív és végtelen sok negatív tagja van. Lehet-e a sorozat konvergens? A következő, végtelenbe tartó sorozatokhoz keressünk küszöbindexet:.7. n + + + n n.73. n + + + n n.74..75. 0n n 0n + 00.76. n n.77. n! n.78. Tetszőleges a valós szám esetén határozzuk meg n + an határértékét. n +.79. Tetszőleges a valós szám esetén határozzuk meg n n + an határértékét.

. Számsorozatok konvergenciája 38.80. Tetszőleges a, b valós számok esetén határozzuk meg (n + a)(n + b) n határértékét..8. Bizonyítsuk be, hogy ha a n+ a n c > 0, akkor a n..8. Bizonyítsuk be, hogy ha a n > 0, a n+ a n c >, akkor a n..83. Melyek azok az x valós számok, amelyekre a tizedestört jegyeiből álló sorozat oszcillálva divergens?.. A határérték tulajdonságai Meg lehet-e mondani az adott egyenlőtlenségek alapján, hogy a b n sorozatnak van-e határértéke, illetve meg lehet-e határozni a határértéket, ha van? Ha igen, határozzuk meg b n határértékét!.84..86. n < b n < n.85. n b n n n < b n < n.87. n b n.88. b n <, 0 n.89. b n < n.90. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs végtelenhez tartó részsorozata, akkor a sorozat felülről korlátos..9. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ), (a n+ ), (a 3n ) konvergensek, akkor (a n ) is az..9. Lehetséges-e, hogy az (a n ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, de ( a n ) konvergens? Legyen a egy valós szám és a n a. Bizonyítsuk be, hogy

. Számsorozatok konvergenciája 39.93. ha a >, akkor a n n..94. ha a <, akkor a n n 0..95. ha a > 0, akkor n a n..96. ha a <, akkor a n n divergens..97. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n + b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) divergens..98. Igaz-e, hogy ha (a n b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) is divergens?.99. Igaz-e, hogy ha (a n /b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) is divergens?.00. Bizonyítsuk be, hogy ha lim a n a n + = 0, akkor (a n) konvergens és lim a n =..0. Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozatra teljesül, hogy a n 5 a n + 3 5 3. Bizonyítsuk be, hogy a n 0..0. Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozatra n a n 0, 3. Bizonyítandó, hogy a n 0..03. Legyen p(x) egy polinom. Bizonyítsuk be, hogy p(n + ) p(n). Tegyük fel, hogy az a n sorozatnak van határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?.04. P: Minden elég nagy n-re n < a n Q: lim n a n > 0.05. P: Minden elég nagy n-re n a n Q: lim n a n 0.06. P: Minden elég nagy n-re n < a n Q: lim n a n 0.07. P: Minden elég nagy n-re n a n Q: lim n a n > 0 Tegyük fel, hogy az a n és b n sorozatnak van határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?

. Számsorozatok konvergenciája 40.08. P: Minden elég nagy n-re a n < b n Q: lim n a n < lim n b n.09. P: Minden elég nagy n-re a n b n Q: lim n a n lim n b n Melyik állításokból következik, hogy az a n sorozatnak van határértéke? Melyik állításokból következik, hogy a n konvergens? Melyik állításokból következik, hogy a n divergens?.0. b n konvergens és a n > b n minden elég nagy n-re... lim n b n = és a n > b n minden elég nagy n-re... lim n b n = és a n > b n minden elég nagy n-re..3. b n és c n konvergens és b n a n c n minden elég nagy n-re..4. lim n b n = és a n < b n minden elég nagy n-re. Korlátosak-e felülről a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! + + + n + + + n.5..6. n n + + + n + + + n.7..8. n n Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak!.9. n n + 3 n.0. n 3 n n.. n 7 + ( ) n.. n n n.3. n n + n.4. n n n

. Számsorozatok konvergenciája 4.5. + 3 n n +.6. ( n 3n ) n.7. n 3 n + n6 + + 00n + n +.8. n n3 n + n 6 + 00n + n +.9..3. n n + n + 3 n + n 3 + ( + ) n n.30..3. n + ( ) n 3n + n n +.33..35..37..39. n 3.34. n n + n + /n n + 3n 7 + 4 5n +.36..38..40. 5n 7n + n 6 + 3n 5 7n 6 7n 5 + 5n n + 3 n 4 n + ( 7) n.4. 3n 5/3 + n n n /4 + 5 n.4. 7n n 3 3n 3 + 8n 9 Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata?.43. P: a n konvergens és b n konvergens Q: a n + b n konvergens.44. P: a n + b n Q: a n és b n.45. P: a n + b n Q: a n vagy b n.46. P: a n b n 0 Q: a n 0 vagy b n 0.47. P: a n és b n korlátos Q: a n + b n korlátos.48. P: a n és b n korlátos Q: a n b n korlátos

. Számsorozatok konvergenciája 4.49. Mutassunk példákat az a n + b n sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a n = és lim b n =. n n.50. Mutassunk példákat az a n b n sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a n = 0 és lim b n =. n n.5. Mutassunk példákat az a n b n lim a n = 0 és lim b n = 0. n n.5. Mutassunk példákat az a n b n lim a n = és lim b n =. n n sorozat lehetséges viselkedésére, ha sorozat lehetséges viselkedésére, ha.53. Tegyük fel, hogy a b n sorozat egyetlen tagja sem 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: b n Q: 0 b n.54. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n 0.55. Tegyük fel, hogy a n és b n. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n 0.56. Tegyük fel, hogy a n 0 és b n 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n 0.3. Monoton sorozatok Legyen (a n ) és (b n ) két monoton sorozat. Mit tudunk mondani a monotonitás szempontjából a következő sorozatokról? Milyen további feltételek mellett lesznek monotonok?

. Számsorozatok konvergenciája 43.57. (a n + b n ).58. (a n b n ).59. (a n b n ).60. ( an b n ).6. Legyen a =, és n esetén a n+ = a n. Bizonyítsuk be, hogy az a n sorozat monoton növő!.6. Legyen a =, és n esetén a n+ = a n. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat monoton csökkenő!.63. Legyen a = 0, 9, és n esetén a n+ = a n a n. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat monoton csökkenő! Mutassuk meg, hogy van olyan n N +, amelyre igaz, hogy a n < 0 6, és adjunk példát ilyen n számra!.64. Legyen a > 0, és minden n N + esetén a n+ a n >,. Mutassuk meg, hogy van olyan n N +, amelyre igaz, hogy a n > 0 6, és adjunk példát ilyen n számra! Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.65. P: Az a n sorozat monoton nő. Q: Az a n sorozat végtelenhez tart..66. P: Az a n sorozat monoton csökken. Q: Az a n sorozat mínusz végtelenhez tart..67. Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozat tagjai n > esetén kielégítik a a n a n + a n+ egyenlőtlenséget. Bizonyítsuk be, hogy az (a n ) sorozat nem lehet oszcillálva divergens..68. Legyen a = a > 0 tetszőleges, a n+ = ( a n + a ). Mutassuk meg, a n hogy a n a.

. Számsorozatok konvergenciája 44 Határozzuk meg a következő rekurzív sorozatok határértékét, ha van! A rekurzív képletekben n..69. a =, a n+ = a n + a n.7. a = 3, a n+ = a n + 5 a n.70. a =, 5, a n+ = a n +.7. a = 6, a n+ = a n + 5 a n.73. a = 0, a n+ = + a n.74. a = 0, a n+ = a n.75. a = 0, a n+ = 4 a n.76. a = 0, a n+ = + a n.77. a =, a n+ = a n + a n.78. a = 0, 9, a n+ = a n a n.79. a =, a n+ = a n.80. a =, a n+ = a n + a 3 n + Hatá- Korlátosak-e, illetve monotonok-e a következő sorozatok? rozzuk meg a határértékeket, ha vannak! (.8. + n) n (.8. + ) n+ n.83. ( n) n.84. ( + ) n n.4. A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium.85. Írjuk fel a Cauchy-kritérium tagadását egy (a n ) sorozatra! Mi a felírt állítás logikai kapcsolata az (a n ) divergens állítással? Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata?.86. P: a n és a n+ konvergens Q: a n konvergens

. Számsorozatok konvergenciája 45.87. P: a n, a n+ és a 3n konvergens Q: a n konvergens.88. P: a n 5 Q: a n 5 Következik-e valamelyik állításból, hogy a sorozat konvergens?.89. a n+ a n 0, ha n.90. a n a m < n + m minden n, m-re Döntsük el az alábbi sorozatokról, hogy van-e konvergens részsorozatuk!.9. ( ) n.9. n.93. n.94. ( ) n n.95. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, akkor a n..96. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ) korlátos és minden konvergens részsorozata a-hoz tart, akkor a n a..97. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs két, különböző határértékhez tartó részsorozata, akkor a sorozatnak van határértéke..98. Bizonyítsuk be, hogy ha a n+ a n n minden n-re, akkor az (a n ) sorozat konvergens..99. Tegyük fel, hogy a n+ a n 0. Következik-e ebből, hogy a n a n 0?.5. Sorozatok nagyságrendje.00. Bizonyítsuk be, hogy n! n n igaz!

. Számsorozatok konvergenciája 46.0. Tegyük az alábbi sorozatokat nagyságrend szerint sorba! (n 7 ), (n + n ), (00 ( ) n! n), 0.0. Illesszük be az n n n 3 n 3 n n! n n sorba a megfelelő helyre n-et, 3 n-et,..., k n-et!.03. Keressük meg az alábbi sorozatok között az összes aszimptotikusan egyenlő párt! (n!), (n n ), (n! + n n ), ( n), ( n n), ( n + ), ( n ).04. Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! n 3 n.05..06. (, ) n.07. 3 n n ( 4 5 ) n.08..0....4..6..8..0... (, ) n +.09. 3, 0 n n + 3 n.. 3 n n + n 0 n n n + n! 0 n n!.3. n! 3 n n 0 n.7. n + n 3 n 3 n ( 3) n n 00 00 n.5. 0, 99 n n, 0 n n 3.9. n n + n, n 3 n+6 + n n+3 4 n + 5 n 6 n + ( 7) n n

. Számsorozatok konvergenciája 47.6. Vegyes feladatok.. Legyen a n = n + n + + (n tagú az összeg). Mivel a tagokat alkotó n sorozatok 0-hoz tartanak, ezért az a n sorozat tart 0-hoz. Másrészt minden n-re a n = n n =, ezért a n. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba benne?.3. Tudjuk, hogy + ( n, továbbá n =, ezért + n) n. Másrészt ( a Bernoulli-egyenlőtlenség felhasználásával bizonyíthatjuk, hogy + n) n (, tehát + n) n határértéke nem lehet kisebb -nél. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba benne?.4. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim n a n határértékről?.5. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim a n határértékről? n.6. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim n a n határértékről?.7. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről?.8. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről?.9. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről? Mutassunk példát olyan a n sorozatra, amelyre igaz, hogy lim n a n+ a n =, és.30. lim n a n =.3. lim n a n =.3. lim n a n = 0.33. lim n a n = 7

3. fejezet Valós függvények határértéke, folytonossága 3.. Jensen-egyenlőtlenség. Az f függvény akkor és csak akkor konvex az (a, b) intervallumon, ha bárhogy megadva véges sok x, x,..., x n (a, b) n számot és t, t,..., t n 0 súlyokat úgy, hogy t i = ( n ) f t i x i i= i= n t i f(x i ), más szóval a súlyozott középen vett függvényérték kisebb vagy egyenlő a függvényértékek súlyozott közepénél. i= 3.. Határérték és egyenlőtlenségek kapcsolata. Ha a egy környezetében f(x) g(x), f-nek és g-nek létezik a határértéke a-ban, akkor lim f(x) lim g(x). x a x a Ha f-nek és g-nek létezik a határértéke a-ban és lim f(x) < lim g(x), x a x a akkor a egy környezetében f(x) < g(x). Rendőr-szabály. Ha f(x) g(x) h(x) a egy környezetében, f-nek és h-nak létezik a határértéke a-ban, lim f(x) = lim h(x), x a x a akkor a g függvénynek is létezik a határértéke a-ban és lim f(x) = lim g(x) = lim h(x). x a x a x a

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 49 0-szor korlátos az 0. Ha lim x a f(x) = 0 és g(x) korlátos, akkor lim f(x)g(x) = 0. x a 3.3. Folytonosság és határérték kapcsolata. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos jobbról az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény jobboldali határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos balról az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény baloldali határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel. 3.4. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények. Weierstrass tétele: Korlátos zárt intervallumon folytonos függvénynek van legnagyobb értéke, azaz maximuma, és van legkisebb értéke, azaz minimuma. Bolzano tétele: Ha az f(x) függvény folytonos az [a, b] korlátos zárt intervallumon, akkor a függvény f(a) és f(b) között minden értéket felvesz. Inverz függvény folytonossága: Korlátos zárt intervallumon folytonos és invertálható függvény értékkészlete egy korlátos zárt intervallum, és ezen a függvény inverze folytonos. 3.5. Egyenletes folytonosság. Heine-Borel tétele: Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény egyenletesen folytonos. Az f(x) függvény akkor és csak akkor egyenletesen folytonos a korlátos nyílt (a, b) intervallumon, ha folytonos (a, b)-n és léteznek és végesek a lim f(x), lim f(x) határértékek. x a + x b Ha f(x) folytonos az [a, )-en, deriválható (a, )-en és a derivált korlátos, akkor f(x) egyenletesen folytonos [a, )-en.

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 50 3.. Függvények globális tulajdonságai 3.. Jelölje [x] az x szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot, amelyik nem nagyobb, mint x. Ábrázoljuk a következő függvényeket! (a) [x] (c) [x + 0, 5] (b) [ x] (d) [x] 3.. Jelölje {x} az x szám törtrészét: {x} = x [x]. függvényeket! Ábrázoljuk a következő (a) {x} (c) {x + 0, 5} (b) { x} (d) {x} 3.3. Függvényt ad-e meg a következő képlet? ha x Q D(x) = 0 ha x / Q 3.4. Adjuk meg a következő függvények képleteit a grafikonjaik alapján! (a) (b)

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 5 (c) (d) Határozzuk meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol a következő függvények értelmezve lehetnek! 3.5. log x 3.6. x 6 3.7. sin x 3.8. log ( x) x 3.9. Párosítsuk a függvényeket és a függvénygrafikonokat! (a) (x ) 4 (b) (x ) + (c) (x + ) + (d) (x + 3) (A) 6 (B) 6 5 5 4 4 3 3 0 3 4 K4 K3 K K 0

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 5 (C) (D) K 0 3 K K5 K4 K3 K K 0 K K K3 K K4 3.0. Az alábbi ábrákon az y = x függvény négy eltoltjának a grafikonját ábrázoltuk. Írjuk fel a grafikonoknak megfelelő képleteket! (a) 4 (b) 3 3 K4 K3 K K 0 K 0 3 K (c) 0 3 4 (d) K3 K K 0 K K K K K3 K3 K4 K4 K5 3.. Vannak-e egyenlők a következő függvények között?

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 53 (a) f (x) = x (b) f (x) = x (c) f 3 (x) = ( x ) (d) f 4 (x) = ln e x (e) f 5 (x) = e ln x (f) f 6 (x) = ( x ) 3.. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f(x) = x + 5 és g(x) = x 3. (a) f(g(0)) (c) f(g(x)) (e) f(f( 5)) (g) f(f(x)) (b) g(f(0)) (d) g(f(x)) (f) g(g()) (h) g(g(x)) 3.3. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f(x) = x és g(x) = x +. (a) f(g(/)) (b) g(f(/)) (c) f(g(x)) (e) f(f()) (g) f(f(x)) (d) g(f(x)) (f) g(g()) (h) g(g(x)) Melyik függvény páros, melyik páratlan, melyik se nem páros, se nem páratlan, melyik páros is, és páratlan is? 3.4. 3 x 3.5. x4 3.6. sin x 3.7. cos x 3.8. + sin x 3.9. + cos x 3.0. 3 3.. (x + )

3. Valós függvények határértéke, folytonossága 54 3.. 0 3.3. x 3 3.4. [x] 3.5. {x} Tegyük fel, hogy f és g mindenütt értelmezett valós függvények. Döntsük el az alábbi következtetésekről, hogy igazak-e. A válaszokat indokoljuk! 3.6. Ha f páratlan, akkor f(0) = 0. 3.7. Ha f(0) = 0, akkor f páratlan. 3.8. Ha f páros, akkor f( 5) = f(5). 3.9. Ha f( 5) = f(5), akkor f páros. 3.30. Ha f és g páros, akkor fg páros. 3.3. Ha f( 5) f(5), akkor f nem páratlan. 3.3. Ha f és g páratlan, akkor fg páros. 3.33. Ha f és g páratlan, akkor fg páratlan. 3.34. Ábrázoljuk a következő függvények grafikonját! Színezzük be pirossal az x-tengelyen azokat az intervallumokat, ahol a függvény monoton csökken. Van-e olyan függvény ezek között, amelyik az egész értelmezési tartományán monoton csökken? (a) sin x (c) x (e) x (b) cos x (d) x (f) x