A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből helyre (<) választo elemeet - a lehetséges sorrede száma: V = (-)(-)..(-+)= (! )! ismétléssel elem -ad osztályú ismétléses variációja - elemből helyre választo elemeet - a lehetséges sorrede száma: V,i = Kombiáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációja - elemből iválaszto elemet (<) a lehetséges iválasztáso száma a sorred figyelme ívül hagyása eseté:! C = ezt a ifejezést -val jelöljü és!( )! alatt a -a modju. ismétléssel: elem -ad osztályú ismétléses ombiációja -az elemből iválasztott elem özött többször előfordulhat ugyaaz az elem. A lehetséges iválasztáso száma a sorred figyelme ívül hagyása eseté: C,i ( + )! + = =!( )! Eseméyalgebra Fogalma: elemi eseméy ( i ) az i-di isérlet eredméye eseméytér H=,. az elemi eseméye halmaza összetett eseméy A H az eseméytér részhalmaza lehetetle eseméy-amely sohasem övetezhet be: biztos eseméy-mely a isérlet sorá biztosa beövetezi maga az eseméytér. H
Művelete eseméyeel omplemeter eseméy: Az A eseméy omplemetere vagy elletett eseméye a em A jele: A Eseméye összege: A+B vagy A B -az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A vagy B lesz. Eseméye szorzata A B vagy A B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A és B lesz. Eseméye ülöbsége A-B vagy A\B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A de B lesz. feáll, hogy: A B = A B Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt ha A B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A ból övetezi, hogy B is teljesül. Eseméye azoossága A=B ha az A B és B A egyidejűleg teljesül Műveleti tulajdoságo. A+A=A. A+B=B+A 3. (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C 4. A A=A 5. A B=B A 6. (A B) C=A(B C) 7. (A+B) C=A C+B C 8. (A B)+C=A C+B C. A + = A. A = 3. A+H=H 4. A H=A 5. A B = A + B 6. A + B = A + B 7. A = A 9. A + A = H 0. A A =
Egymást izáró eseméye, a- Legyee A és B eseméye ugyaaa az eseméytére részei. Ha A B= or A és B eseméye egymást izáró eseméye. Legyee A, A, A eseméye részei ugyaaa az eseméytére. Ha feáll,, A, A eseméyeet egymást páro- hogy A i A j = mide i j re, aor az A ét izáró eseméyee evezzü. Teljes eseméyredszer Legye H egy eseméytér és A i H (i=,,..); az A i (i=,,..) eseméye teljes eseméyredszert alota, ha: A i A i A j = ha i j A +A +A 3 +.A =H Legye T az eseméytér(h) részhalmazaiból álló halmaz -jelöljü ezt a halmazt T-velu. halmazalgebrát alot ha teljesül, hogy: H T A T és B T A+B T A T A T Ha T a H összes lehetséges részhalmazaiból áll, aor teljes halmazalgebráról beszélü. Ha H halmaz u. eseméytér, aor az eseméyalgebra elevezést haszálju. A valószíűség fogalma A relatív gyaoriság értelmezése: Egy isérletet -szer elvégezve -szor ( ) övetezi be az A eseméy. Az A A eseméy relatív gyaorisága: ra =. A ísérlete számáa övelésével r A értée stabilizálódi - egyre jobba özelít egy adott értéhez - ezt az (elméleti) értéet evezzü az A eseméy valószíűségée - P(A)-val jelöljü. Axiómá (Kolmogorov féle) Legye T a H eseméytére értelmezett eseméyalgebra (vagyis T olya halmaz, melye elemei a H részhalmazaiból származa és értelmezhető rá a halmazalgebra ritériumai) - a P:T R függvéyt valószíűsége evezzü, az A helye vett helyettesítési értéét P(A) az eseméy valószíűségée evezzü az alábbi axiómá szerit: I. A biztos eseméy valószíűsége. P(H)= II. Bármely A T-re 0 P(A) III. Bármely A, A,.A T eseté, ha A, A,.A eseméye egymást pároét izáró eseméye, aor P(A +A +.+A )=P(A )+P(A )+.+P(A ) 3
Ha az eseméyteret alotó számú elemi eseméye (E, E, E ) egyformá valószíűe, aor a hozzáju redelt valószíűség: P(E )= Az A=E +E + E összetett eseméy valószíűsége: P(A)= P(E +E + E )=P(E )+P(E )+ P(E )= Példa: A eseméy: egy ocával páros számot dobu Eseméytér: H=,, 3, 4, 5, 6 6 elemű halmaz Elemi eseméye: =, =, 3 =3, 4 =4, 5 =5, 6 =6 E = ;E =, ;E 3 = 3 ; E 4 = 4 ;E 5 = 5 ;E 6 = 6 P(E )= P(E )= P(E 3 )= P(E 4 )= P(E 5 )= P(E 6 )= 6 A=, 4, 6 =E +E 4 +E 6 P(A)= P(E +E 4 +E 6 )= P(E )+ P(E 4 )+ P(E 6 )= = 6 + 6 + 6 = 6 3 = Mitavételi problémá terméből S selejtes. elemű mitát veszü. Meora valószíűséggel lesz a mitába potosa db. selejtes termé? a)visszatevés élüli b)visszatevéses mitavételél. Midét mitavételél egy mita -es alot egy elemi eseméyt. Teljesül hogy az elemi eseméye egyformá valószíűe és véges számúa. Az összes lehetséges iválasztás alotja az eseméyteret, mely az a) esetbe (visszatevés élüli)- elemi eseméyből áll. Így aa a valószíűsége, hogy az elemű mitába db. selejtes lesz: S S P = 4
b) Ha u. visszatevéses mitavételt alalmazu, aor az elemi eseméye száma ;. A ( ) selejtet tartalmazó elemű mitá lehetséges száma pedig: S ( S) Igy aa a valószíűsége, hogy az egymás utá iválasztott elemből db. a selejtes: P = ( ) S ( S) Geometriai valószíűség Ha az eseméytér em véges számú elemi eseméyből áll, aor aalógiát eresü valamely geometriai alazat- szaasz, síidom, test- és az eseméytér özött, majd az elemi eseméyeet eze részhalmazaét értelmezzü. Pl. Egy tűt egy papírlapra ejtve, mi a valószíűsége, hogy egy adott égyzete belül szúrja i a papírt. T-e teitve a papírlap területét. A-a a égyzet területét- a valószíűség P(A) = A/T lesz. Az eseméy beövetezésée valószíűségét területaráyoal (szaasz- ill. térfogataráyoal) tudju megadi. Feltételes valószíűség Adott emberből álló soaság. Ebből F számú férfi és V számú magas véryomásba szevedő ember. Kérdés: Mi a valószíűsége aa, hogy az emberből találomra iválasztva egyet az magas véryomású férfi lesz? F Aa a valószíűsége, hogy az emberből egyet iválasztva, az férfi lesz: P(F)= Aa a valószíűsége, hogy az emberből egyet iválasztva, az magas véryomású lesz: V P(V)= A férfia özött a magas véryomásúa száma: FV Aa a valószíűsége, hogy egy iválasztott férfi magas véryomású lesz: Ee a jelölése (az egész számú soaságot figyelembe véve): P(V F) V eseméy beövetezésée valószíűsége, feltéve F eseméy beövetezését. FV P(V F)= P( F V ) FV = = F P( F ) F FV F 5
Általáosa: Legye A, B egyazo eseméytér ét eseméye és P(B)>0. Eor az A eseméy B-re voatozó feltételes valószíűségé a P( AB) P(A B)= értéet értjü. P( B) [Az eseméyteret leszűítjü a B-hez tartozó eseméyere] Tétel: Ha A, A és B egyazo eseméytér eseméyei és P(B)>0, aor P((A +A ) B)= P(A B)+P(A B)-P(A A B) A valószíűsége szorzási szabálya A és B ét tetszőleges eseméy, P(A)>0 és P(B)>0 Egymásra voatoztatott feltételes valószíűsége: P( A B) P(A B)= P( B) P(A B)=P(A B) P(B) P( B A) P(B A)= P( A) P(B A)= P(B A) P(A) Pl: Egy áruház összes látogatója özül átlagba 5% eresi fel a műszai osztályt. Eze özül 64% vásárol ott valamit. Meora a valószíűsége, hogy egy látogató műszai ciet vásárol? A eseméy: a látogató feleresi a műszai osztályt. P(A)=0,5 B eseméy: vásárol a műszai osztályo: P(B A)=0,64 P(A B)= P(A) P(B A)=0,5 0,64=0,6 vagyis 6% a valószíűsége aa, hogy egy tetszőleges látogató műszai ciet fog vásároli. A szorzási szabály általáosa: P(A A A )=P(A ) P(A A ) P(A 3 A A ) P(A 4 A A A 3 ) P(A A A A 3 A - ) Eseméye függetlesége: A és B eseméyt aor teitjü (sztochasztiusa) függetlee, ha P(A B)=P(A) P(B) Ez azt jeleti, hogy P(A B)=P(A) vagyis B eseméy semmilye befolyással em bír az A eseméy beövetezésére. 6
Valószíűségi változó Ha az eseméytér (H) elemi eseméyeihez valós számoat tudu redeli, aor értelmezhető a H R valós függvéy. Vagyis egy adott ísérlet véletletől függő imeetelét egy ξ (olv.: szí) valós meyiség jellemzi. Pl. egy telefoözpotba apoét a 3-4 óra özött befutó híváso száma. háy fej lesz, ha az érmét 80-szor feldobju? Háyas találatu lesz a Lottó? 0 muadarab özött meyi lesz a selejtes? Milye hosszú lesz a találomra ihúzott hajszálu? Meyi lesz jövő év március 5-é Keszthelye a api maximum hőmérsélet? Eze olya számo, melye orét értée a véletletől függ. Az olya meyiségeet, melye értée a véletletől függ valószíűségi változóa evezzü. Jelölésü görög is betű: ξ, η, μ stb. A valószíűségi változó potos értéét em tudju, de tudju, hogy milye értéei lehetségese (elméletileg vagy tapasztalat alapjá) A valószíűségi változó tehát az elemi eseméye teré értelmezett függvéy. Ha a valószíűségi változó csa egymástól ülöálló meghatározott értéeet vehet fel, aor diszrét valószíűségi változóról beszélü. (híváso száma, feje száma, selejt száma stb.) Ha a valószíűségi változó egy megadott itervallum összes értéét felveheti, aor folytoos valószíűségi változóról beszélü. (hajszál hossza, a maximum hőmérsélet értée stb.) Ha a megadott isérlet sorá a i elemi eseméy övetezett be és a valószíűségi változó defiíciója szerit ehhez az x i értéet redeltü, aor azt modju, hogy a valószíűségi változó az x i értéet vette fel: ξ=x i A ξ=x i eseméy valószíűségét a P(ξ=x i ) szimbólummal jelöljü. Pl. Két ocával dobu. Elemi eseméye: a ét oca felső lapjá lévő poto összege. ξ értéei x i 3 4 5 6 7 8 9 0 háyféleéppe dobható P(ξ=x i ) 3 4 5 6 5 4 3 3 4 5 6 5 4 3 7
Ez a ξ valószíűségi változó eloszlása: 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 0 A feti diagramot elméleti meggodoláso alapjá állítottu elő. agy számú megfigyelés eseté előállíthatju tapasztalati úto az egyes eseméyehez tartozó relatív gyaoriságoat is. Eze az elméleti értétől többé-evésbé eltérőe lesze, de övelve a megfigyelése számát egyre jobba özelíti azt. Számos olya feladat va, amior a megfigyelt relatív gyaoriságoból aaru az elméleti valószíűségre övetezteti. (pl. adott ap maximum hőmérsélete) Defiiálhatu egy függvéyt úgy. hogy F(x)=P(ξ<x) -vagyis a valószíűségi változó által felvehető értéehez (x) hozzáredeljü aa a valószíűségét, hogy ξ eél isebb. Ezt evezzü a valószíűségi változó eloszlásfüggvéyée: Diszrét valószíűségi változóál a valószíűségi változó által felvehető értée véges halmazt alota vagy végtele, de megszámlálható soaságú halmazt alota, aor összegezzü midazo valószíűségeet, melye az x i <x: F(x)= x i < x P (ξ < x) Ábrázolva a ét ocával való dobás valószíűségi eloszlásfüggvéyét: 0,9 0,8 lépcsős függvéyt apu, melye értéészlete [0, ] mooto öveszi 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 8
Folytoos valószíűségi változóál a valószíűségi változó által felvehető értée összefüggő itervallumo helyezede el, aor is értelmezhetjü az eloszlásfüggvéyt az alábbia szerit: F(x)=P(ξ<x) Aa a valószíűsége, hogy a valószíűségi változó az [a,b] itervallumba esi: P(a>ξ<b)=F(b)-F(a) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 F(x) 0,4 0,3 0, 0, 0 - a valószíűségi változó lehetséges értéei+ lim F ( x) = 0 lim F( x) = A valószíűségi változó sűrűségfüggvéye: Ha az F(x) eloszlásfüggvéyhez létezi f(x) 0 függvéy, úgy hogy F(x)= x f ( t) dt az f(x) függvéyt a valószíűségi változó sűrűségfüggvéyée evezzü. [F(x)] =f(x) Ha deriválju az F(x) eloszlásfüggvéyt, aor megapju a sűrűségfüggvéyt. Ha a sűrűségfüggvéyt itegrálju, aor megapju az eloszlásfüggvéyt, feltéve ha F(x) differeciálható ill. f(x) itegrálható. + A valószíűségi változó várható értée és szórása A várható érté: A várható érté az átlaggal aalóg fogalom. (súlyozott átlag) Legye ξ diszrét valószíűségi változó; amelye lehetséges értéei {x, x,.x }, amelyeet p, p,.p valószíűséggel vesz fel. Szorozzu meg (súlyozzu) az adott x i értéet a hozzá tartozó p i valószíűséggel: p i x i. A p i x i értée összegét a ξ valószíűségi változó várható értéée evezzü. 9
formulázva: M(ξ)= p i x i= i Ha mide egyes x i -hez azoos p i tartozi, amely így szüségéppe p i =, aor a várható érté megegyezi az x i változó (i=..) számtai átlagával. Pl. egy ocával dobu. ξ a dobott poto értée x i ={,,3,4,5,6} Midegyi egyformá valószíű: p i = 6 A várható érté: M(ξ)= 6 + 6 + 6 3+ 6 4+ 6 5+ 6 6=3,5 Ez megegyezi az + + 3 + 4 + 5 + 6 x = számtai átlaggal. 6 (A várható érté lehet olya szám, amelyet a valószíűségi változó em is vehet fel) Pl. Két ocával dobu. Valószíűségi változó a dobott poto összege. ξ értéei x i 3 4 5 6 7 8 9 0 p i p i x i 6 3 4 0 5 30 6 4 5 40 4 3 30 Várható érté: M(ξ)= p x 5 i i = =7 i = Ez is megegyezi az x i változó számtai átlagával. A várható érté aor em egyezi az átlaggal, ha az eloszlás em szimmetrius. 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 3 4 5 6 Ebbe az esetbe a számtai átlag: 3,5 A várható érté:m(ξ)= p ixi =3,0 0
Folytoos valószíűségi változó eseté is defiiálju a várható értéet: M(ξ)= + xf ( x) dx ahol f(x) a valószíűségi változó sűrűségfüggvéye Ha ez az itegrál érté em véges, aor az adott valószíűségi változóa ics várható értée. A várható érté tulajdoságai: Kostas valószíűségi változó várható értée: M(c)=c Valószíűségi változó salárszorosáa várható értée: M(c ξ)=c M(ξ) Az η= ξ+a (a salár ostas) valószíűségi változó várható értée: M(η)=M(ξ+a)=M(ξ)+a Valószíűségi változó összegée várható értée: M(η+ξ)=M(η)+M(ξ) Szórás (szóráségyzet) A várható érté örüli igadozásról ad iformációt a szórás ill. szóráségyzet. (A sűrűségfüggvéy lapultságát méri) D (ξ) =M{[x-M(ξ)] } ill. D(ξ)=+ M{[x - M( ξ ] } Diszrét esetbe: Pl. Két ocával dobu. Valószíűségi változó a dobott poto összege. ξ értéei x i 3 4 5 6 7 8 9 0 p i 3 4 5 6 5 4 3 p i x i 6 0 30 4 40 30 M(ξ)=7 [x i - M(ξ)] 5 6 9 4 0 4 9 6 5 p i [x i - M(ξ)] 5 3 7 6 5 0 5 6 7 6 5 0 D (ξ)= Σ p i [x i - M(ξ)]= D(ξ)= D ( ξ ),4
Folytoos valószíűségi változó szóráségyzete ill. szórása + D (ξ)= [ x M ( ξ )] f ( x) dx D(ξ) = + + [ x M ( ξ )] f ( x) dx evezetes eloszláso Biomiális eloszlás A megfigyelésü étféle eredméyt adhat: egy A eseméy beövetezi vagy em övetezi be. számú (egymástól függetle) megfigyelést végzü. Az A eseméy valószíűsége: p. A valószíűségi változó: megfigyelésből az A eseméy szor övetezi be (ξ=). (Ez a visszatevéses mitavétel tipius esete, ahol láttu, hogy aa a valószíűsége, hogy az egymás utá iválasztott elemből db. a selejtes: P = ( ) S ( S) Ez megfelel az alábbiaa: Aa a valószíűsége, hogy az A eseméy számú megfigyelésből -szor övetezi be: P(ξ=)= p (-p) - A biomiális eloszlásba az és a p u. paramétere Hipergeometrius eloszlás A visszatevés élüli mitavételél elem özött S redelezett egy adott tulajdosággal. Az S adott tulajdoságú elem iválasztásáa valószíűsége: p=. elemből választottu i számú elemet. A valószíűségi változó: -ből db. felel meg valamilye tulajdosága: ξ=
Aa a valószíűsége, hogy a iválasztott elemből potosa számú elem redelezi az adott tulajdosággal: S S P(ξ=)= A hipergeometrius eloszlás paraméterei:, S, S Várható értée: M(ξ)= S = =p (p= ) 0 Szórása: D(ξ)= p ( p) Példa: 0 üveg borból 3 iváló miőségű. Kérdés: legalább háy üveg bort ell iválasztai, hogy özöttü 50%-ál agyobb eséllyel legye legalább egy iváló? A valószíűségi változó ξ: aa a valószíűsége, hogy az elemű mitába db iváló lesz? ξ hipergeometrius eloszlású valószíűségi változó. Paraméterei: =0, S=3 és. A P(ξ )>0,5 legye. értéét eressü. 3 0 3 P(ξ )= >0,5 0 = eseté: P( )=P(ξ=)= 0 3 evés 3 = eseté: P( )=P(ξ=)+P(ξ=)= + >0,5 elég 45 45 Vagyis a 0 üvegből ettőt találomra iválasztva, már 50%-ál agyobb valószíűséggel lesz bee iváló. 3
Poisso eloszlás A rita eseméye valószíűségi eloszlása. Teithető a biomiális eloszlás speciális határértéée, amior is (a megfigyelése száma) agyo agy és p=p(a) agyo icsi. Eor az P(ξ=)= q p ifejezés jól özelíthető aa határértéével, ha eléggé agy és p viszoylag icsi. itt: q=(-p) Bevezetve az p=λ jelölést lim p ( p) = λ λ e! Vagyis a Poisso eloszlás eloszlásfüggvéye: λ λ P(ξ=)= e! (Ezzel soszor öyebb számoli, mit a biomiális eloszlás épletével.) Paramétere: λ ahol: λ=p Várható értée: M(ξ)=λ Szórása:D(ξ)= λ Példa: Tipiusa Poisso eloszlású Az adott tömegű radioatív elemél bizoyos időtartam alatt elbomló atomo száma Egy üzletbe adott idősza alatt betérő vásárló száma (sorbaállási probléma) Miroszóp alatt adott mm -e leszámolható batériumo száma Mazsolás süteméybe egy levágott szeletbe található mazsolá száma. Számpélda: Egy észülé meghibásodásáa átlagos száma 0 000 muaóra alatt 0. A meghibásodáso eloszlása csa a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzu meg aa a valószíűségét, hogy a észülé 00 műödési óra alatt elromli. Megoldás: 0 000 óra alatt 0 meghibásodás va átlagosa. Aa a valószíűsége, hogy óra alatt 0 meghibásodi: =p 0000 0 =00 óra λ=p=00 0000 =0, 4
Legye ξ valószíűségi változó a 00 óra alatt beövetező meghibásodáso száma: P(ξ=)= 0, 0,! e Aa a valószíűsége, hogy a észülé em romli el (=0) 0 0, 0, 0, P(=0)= e = e 0! Tehát aa a valószíűsége, hogy a 00 óra alatt legalább egyszer elromli: -P(=0)=-e -0, =0,8 azaz 8% Folytoos valószíűségi változó evezetes eloszlásai Folytoos valószíűségi változóál az eloszlást az u. sűrűségfüggvéy adja meg. Ee a formulája alapjá a legülöfélébb eloszláso lehetségese. Midegyie azoba + az a tulajdosága, hogy f ( x) dx = Egyeletes eloszlás: Ha egy valószíűségi változó az [a,b] itervallum valameyi értéét azoos valószíűséggel veszi fel, aor egyeletes eloszlású: Sűrűségfüggvéye: Eloszlásfüggvéye: 0 f(x)= b a 0 ha ha ha x < a a x b x > b 0 x a F(x)= b a 0 ha ha ha x < a a x b x > b Várható értée: M(ξ)= a + b b a Szórása: D(ξ)= 3 5
ormális eloszlású valószíűségi változó A valószíűségi változó eloszlása ormális, ha sűrűségfüggvéye szimmetrius haraggörbe. Formulája: f(x)= σ ( x m) σ e π Ee maximuma az x=m helye va. A σ érté a lapultságra jellemző szám A ormális eloszlás tehát az m és σ paramétereel jellemezhető. Eloszlásfüggvéye: F(x)= σ x ( t m) σ π e dt Várható értée: M(ξ)=m Szórása: D(ξ)=σ Mivel az eloszlásfüggvéy eheze számolható i, ezért ezt táblázatból vagy számítógéppel szotá meghatározi. Az eloszlásfüggvéy visszavezethetõ a stadard ormális eloszlásra. Alalmazás: Mérési hiba eloszlása, egy,,gyártósoro'' észült alatrésze méreteloszlása, azoos orú gyeree magasság-eloszlása általába ormális eloszlású. Stadard ormális eloszlásúa evezzü a ormális eloszlású valószíűségi változót, ha m=0 és σ= (Ee az értéeit tartalmazzá a taöyvebe található táblázato) 6
Stadard ormális eloszlás 0 0,5 0,0 0,508 0,05 0,50 0, 0,539 0, 0,579 0,3 0,68 0,4 0,656 0,5 0,69 0,6 0,76 0,7 0,758 0,8 0,788 0,9 0,86 0,84,3 0,903,5 0,933 0,977,3 0,989,5 0,994 Összefüggése a ormális és a stadard ormális eloszlás özött Példa a lehetséges alalmazásra: Egy ládába az almá tömege ormális eloszlású 5 dg átlaggal és dg szórással. Háy százaléa lesz az almáa 3 dg-ál isebb tömegű? Az eloszlásfüggvéy azt mutatja meg, hogy mi a valószíűsége, hogy egy valószíűségi változó - (itt az egyes almá tömege)- isebb lesz x-él (3 dg). Előállítju a stadard ormális eloszlásfüggvéy megfelelő argumetumát a megadott paramétere x m 3 5 alapjá: m=5, σ= = = σ Kieressü az -hez tartozó valószíűséget a táblázatból. Ez 0,84. Ha az argumetum egatív itt (-), aor az ehhez tartozó valószíűség (-p), azaz -0,84=0,59. Vagyis mitegy 6 %-a lesz az almáa 3 dg-ál isebb tömegű 7