Rezgések és hullámok; hngtn Rezgéstn Hullámtn Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámtn és optik Ajánlott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tnkönyvkidó, 99) Demény-Erostyák-Szbó-Trócsányi: Fizik I, III. (Nemzeti Tnkönykidó, 005) Trnóczy T.: Fiziki kusztik (Akdémii Kidó, 963) Trnóczy T.: Hngnyomás, hngosság, zjosság (Akdémii Kidó, 984) Ábrhám Gy.: Optik (Pnem- McGrw-Hill, 998) Sin M.: A fény birodlm (Gondolt, 980) Bernolák K.: A fény (Műszki Könyvkidó, 98) Mátri T., Csillg L.: Kísérleti spektroszkópi (Tnkönyvkidó, 990)
Rezgéstn A rezgések típusi Rezgés: Rezgés: f fiziki mennyiség z időnek periodikus függvényeként változik: megdhtó olyn T mennyiség, melyre f ( t + T ) = f ( t) t - re teljesül. T rezgésidő, vgy periódus ν = /T rezgésszám, vgy frekvenci Rezgésről beszélünk kkor is, h vlmilyen fiziki mennyiség egy dott érték körül ingdozik nem feltétlenül periodikusn (pl: csillpodó rezgés). Vgyis rezgés foglm nem teljesen egyértelmű. Hrmonikus rezgés: f ( t) = A sin( ω t + α) T = π ω, ω = πν A rezgés mplitúdój, ω rezgés körfrekvenciáj, α rezgés kezdőfázis, φ = ωt + α rezgés fázis. Anhrmonikus rezgés: Minden olyn rezgést, mely nem hrmonikus rezgés, nhrmonikus rezgésnek nevezünk.
A rezgéstn szempontjából sokszor nem lényeges, hogy milyen fiziki mennyiség rezeg! Ennek ok: fiziki mennyiségek, és ezek időbeli lefolyását meghtározó fiziki törvények különböznek, törvények zonos időbeli változást leíró mtemtiki egyenletre vezetnek! Rezgésekkel tlálkozhtunk: mechnikábn, elektromosságtnbn, csillgásztbn (pl. Jupiter holdjink látszólgos mozgás, változó csillgok, npfoltok), tom- és molekul fizikábn, stb. A rezgések néhány fontos lklmzás: Időmérés. Épületek, hidk, járművek tervezése. Földrengések (rezgések) regisztrálás. Hngtn (hngszerek, hngterjedés, stb.) Telekommunikáció (telefon, rádió, televízió, stb.) Orvosi lklmzások (ultrhng, CT, PET, stb.) Űrkuttás (pl. tömegmérés!)
Néhány péld rezgést végző fiziki rendszerre rugós ing rugó-tömeg rendszer mtemtiki ing fiziki ing ingór
torziós ing hngvill Pohl-féle készülék Az előbbi rendszerek mindegyike péld lehet hrmonikus és nhrmonikus rezgésre is! A rezgés többnyire kis kitérésekre jó közelítéssel hrmonikus, ngyobb kitérésekre nhrmonikus. Az nhrmonikus rezgések periódus ideje függ z mplitúdótól!
A hrmonikus rezgés z egyenletes körmozgás vetülete x( t) = x0 sin( ωt + α) Következmény: egy hrmonikus rezgés egy egyenletesen forgó vektorrl szemléltethető!
Hrmonikus rezgések összetevése Gykori, hogy egy dott fiziki mennyiség két (vgy több) htás következtében rezeg. Az együttes htás következtében kilkult rezgés megegyezik htások áltl egyenként létrehozott rezgések összegével. Ez z un. szuperpozíció elve, mely lényeges szerepet játszik fizik számos területén! Két fontos lesetet különböztetünk meg: zonos irányú hrmonikus rezgések összetevése, egymásr merőleges irányú hrmonikus rezgések összetevése. Azonos irányú hrmonikus rezgések összetevése y ( t) = sin( ωt + ) y t) = sin( ω t + ) α ( α Egyenlő frekvenciájú eset, zz ω = ω = ω. y t) = y ( t) + y ( ) milyen rezgés? ( t y ( t) = sin( ωt + α), hol = + + cos( α α) tg α = sin α cosα + + sin α cosα
Két zonos irányú és zonos frekvenciájú hrmonikus rezgés összege szintén ugynolyn frekvenciájú hrmonikus rezgés, melynek mplitúdóját és kezdőfázisát két összedott rezgés mplitúdój és kezdőfázis htározz meg z előző formulákkl leírt módon. Szemléltetés: oszcilloszkóppl Igzolás: forgó vektorokkl I. y( t) = sin( ω t + α) II. y( t) = sin( ω t + α ) I+II III együtthtóiból III. y( t) = sin( ω t + α) I +II III együtthtóiból = + + cos( α Adott mplitúdók esetén mikor mximális és minimális z eredő rezgés mplitúdój? rögzített és esetén z mplitúdó értékét két rezgés δ = α α htározz meg, ugynis = + + cosδ + fáziskülönbsége cosδ = cos δ = A mximális erősítés feltétele: δ = 0, ±π, ±4π,, mπ,, vgyis rezgések fázis zonos! A mximális gyengítés feltétele: δ = ±π, ±3π, ±5π,, (m+)π,, vgyis rezgések fázis ellentétes! m = 0, ±, ±, ± 3, K tg α = sin α cosα + + α sin α cosα )
Különböző frekvenciájú eset ( ω ω) x = cosω t + cos( ωt + δ ) A frekvenciák rány rcionális szám, zz ω n =, hol n ω n és n pozitív, reltív prím egészek. Beláthtó, hogy két rezgés összege olyn periodikus folymtot eredményez, melynek ω = π körfrekvenciáj T = nt = nt T periódus ideje. x = cos nω t + cos( nωt + δ ) z mplitudój A frekvenciák rány irrcionális szám. Beláthtó, hogy két rezgés összege nem periodikus folymt. Lebegés: Szemléltetés hngvillákkl A két rezgés frekvenciáink eltérése sokkl kisebb, mint z összegük: Az mplitudók megegyeznek: Az eredő mplitudó: x = ω ω δ ω + ω δ cos t cos t + A lebegés frekvenciáj z mplitudó ingdozások frekvenciáj: ω ω ωl = Igzolás Excell szimulációvl ν = l = = [ cosω t + cos( ω t + δ )] ν ν = ω «ω ω + ω
Egymásr merőleges hrmonikus rezgések összetevése x( t) = sin( ωt + α) y( t) = bsin( ωt + α) Egyenlő frekvenciájú eset, (ω = ω = ω). x( t) = cos( ωt) y( t) = b cos( ω t + δ ) y b = cosωt cosδ sinωt sinδ = y b x cosδ η x = B b O b y sin A δ x cosδ ξ x x + x y b ξ A sinδ xy cosδ = sin b η + B = δ ellipszis egyenlete! A két rezgés összege ellipszisben poláros rezgés. Speciális esetek lineárisn poláros rezgés (δ = 0; π) körben poláros rezgés ( = b és δ = π/; 3π/)
Különböző frekvenciájú eset A pont z un. Lissjous-féle görbéken mozog. Közeli frekvenciák esetében: x = cosω t, y = b cos( ω t + δ ) = bcos( ωt + εt + δ H frekvenciák rány rcionális szám, görbe záródik (periodikus mozgás). H frekvenciák rány irrcionális szám, görbe nem záródik (nem periodikus). ) Rezgések felbontás hrmonikus rezgésekre Az olyn egyirányú hrmonikus rezgések összege, melyek körfrekvenciái egy ω körfrekvenci egész számú többszörösei, periodikus folymtot eredményeznek. A rezgés periódus legkisebb frekvenciájú hrmonikus rezgés periódusávl egyezik meg. Igz-e z állítás megfordítás? Fourier tétele Áltlábn bármilyen periodikus folymt ( f(t) = f(t+t) t-re ) egyértelműen előállíthtó olyn, megfelelő mplitúdójú és fázisú hrmonikus rezgések összegeként, melyek körfrekvenciái rezgés körfrekvenciáj és ennek egész számú többszörösei: f ( t) = A + A sin( ωt + α) + A sin(ωt + α ) + K + A sin( nωt + α ) +K 0 n n, hol ω = π T
A mtemtikusok sokszor következő lkbn szokták felírni: f ( t) = 0 + ( cosωt + b sin ωt) + ( cos ωt + b sin ωt) + K + ( cos nωt + b sin nω ) +K t n n A rezgés színképének foglm A rezgés Fourier-féle felbontásábn szereplő összetevők mplitúdóink és fázisink grfikus ábrázolás frekvenci függvényében. A α π A A A A A α 3 4 A 5 0 A 6 A α α α 3 4 α 5 7 α 6 α 7 ν ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvenci 0 ν ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvenci