Valószí ségszámítás gyaorlat Megoldáso, megoldásvázlato, végeredméye Matematia alapsza, matematiai elemz szairáy Programtervez iformatius alapsza, modellez iformatius szairáy Bármilye, a segédayaggal apcsolatos észrevételt hibáat, más megoldásoat, egyéb ötleteet örömmel váro a vargal@cs.elte.hu címre Varga László, ELTE TTK, Valószí ségelméleti és Statisztia Taszé.. Egy urába fehér, zöld és piros golyó va. Egymás utá iveszü golyót az urából. Mi lesze a ísérlet lehetséges imeetelei azaz az eseméytér elemei, ha a golyó ihúzásáa sorredjét a. gyelembe vesszü; b. em vesszü gyelembe. Határozzu meg az elemi eseméye valószí ségét! Jelölje FZ azt az eseméyt, amior els re fehéret és másodira zöldet húztu. Hasolóa jelöljü az összes többit. Sorszám ω i P ω i FF / FZ / FP / a. ZF / ZZ / ZP / 7 PF / 8 PZ / Sorszám ω i P ω i FF / b. FZ vagy ZF / FP vagy PF / ZZ / ZP vagy PZ /. számozott érmével dobu, majd még ayi érmével, aháy fejet az els ét érmével aptu. Mi lesze az eseméytér elemei? Határozzu meg az elemi eseméye valószí ségét! Jelölje I azt, hogy írást dobtu, F pedig a fejdobást. Ω II, F II, F IF, IF I, IF F, F F II, F F IF, F F F I, F F F F } P II /, P F II P F IF P IF I P IF F /8, P F F II P F F IF P F F F I P F F F F /. Tegyü fel, hogy egy irodába titár dolgozi. Jeletse A i azt az eseméyt, hogy az i-edi titár megbetegszi i,,. Fejezzü i az A i eseméye segítségével a övetez eseméye valószí ségét: a. az els titár megbetegszi; b. csa az els titár betegszi meg; c. midhárom titár megbetegszi; d. legalább titár megbetegszi; e. legalább titár megbetegszi. a. P A b. P A A A c. P A A A d. P A A A e. P A A A + P A A A + P A A A + P A A A. Aritmethiába az autó redszámai ötjegy számo és özött. Eze özül találomra választu egyet. Meyi a valószí sége, hogy a. va a jegye özött; b. mide számjegy ülöböz ; c. mide számjegy egyforma; d. csa ét számjegy egyezi meg; e. három, illetve ett számjegy megegyezi? a. Pva a jegye özött-pics öztü, b. 8 7 c. d. El ször válasszu i a redszám helyéb l azt a ett t, ahova az azoosaat helyezzü, majd sorba válasszu i ülöböz számjegyet! Így a eresett valószí ség 8 7. Mási megoldás: El ször válasszu i a -b l számjegyet, majd a -b l vegyü i -et, amelyi duplá lesz, végül a apott számból épezzü az összes lehetséges sorredet. Így a eresett valószí ség:!!!!!. e. Az el z feladatbeli godolatmeeteet övetve,, vagy!!! adódi.. A émet labdarúgó válogatott edzésée megezdése el tt, az edzése résztvev mez yjátéost ét csoportba osztjá. Mi aa a valószí sége, ha találomra törtéi a szétosztás a ét -es csoportba, hogy Schweisteiger és Özil egymás elle játszi?. megoldás: Rögzítsü le Özilt az egyi csapatba. Ezutá Schweisteiger már csa a mási csapatba erülhet, ahol hely va, összese pedig üres hely volt, így a eresett valószí ség.. megoldás: Összes eset:, mivel játéosból -et ell iválasztai, hogy egy csapatot összeraju, a sorred em számít. Jó esete: 8, mivel ha a ét egymás elle játszó játéost lerögzítjü, aor 8 játéosból ell még -et iválasztai, hogy meglegye egy csapat. Aztá még -vel be ell szorozi, mert a ét rögzítet játéost megcserélhetjü egymással.. Mitavétel. Adott N ülöböz termé, ami özött va M selejtes. Veszü elem mitát a. visszatevés élül; b. visszatevéssel.
Meyi a valószí sége, hogy az terméb l potosa selejtest sierült iválasztau, ameyibe számít a ihúzás sorredje? Mivel számít a sorred, ezért végig variációal számolu. a. M! N M! M! N M! N! N! b. M N M N M N M ; N M N M N, ahol M N a selejtaráy, ez helyett általába p-t íru. 7. Egy magyarártya-csomagból visszatevéssel húzu lapot. a. Írju fel az eseméyteret! b. Milye eséllyel húzu potosa egy piros szí lapot? c. Milye eséllyel húzu legalább egy piros szí lapot? Oldju meg az el z feladat alapjá: N összes lap, M8 pirosa,, a mitavétel visszatevéses. a. Ω ω, ω, ω : ω, ω, ω lapo halmaza}} b. a piroso aráya 8 így a eresett vsz.: c.. 8. Teitsü egy lottóhúzás -ös lottó eredméyét. a. Írju fel az eseméyteret! b. Milye eséllyel lesz ét találatom? c. Milye eséllyel lesz legalább ét találatom? A feladat ezelhet mitavételét: N, M,. a. Ω,,,, : < < < < } b. 8 c. 8. Adju meg aa a valószí ségét, hogy egy totószelvéyt vatába itöltve, a mér zés eredméye özül éppe -et találu el!. Bertrad-paradoo. Teitsü egy ört és válasszu i találomra az egyi húrját. Meyi aa a valószí sége, hogy a húr hosszabb, mit a örbe írt szabályos háromszög oldala? Legye a ör sugara. Eor a háromszögbe írt szabályos háromszög oldalaia távolsága a ör özéppotjától. Egy húrt az alábbbia özül midegyi egyértelm e meghatározza: a özéppotja; a ét végpotja; a húr iráya és potja.. modell: Válasszu i véletleül egy potot a ör belsejébe, legye ez a húru özéppotja. Az eze eresztül húzott egyees egyértelm e meghatároz egy húrt. Eor Ω, y : + y < }. A jó esetee megfelel halmaz: A, y : + y < }, mivel az sugarú örö belüli poto eseté lesz a húr hosszabb a szabályos háromszög oldaláál. Így P A π π.. modell: Rögzítsü a húr egyi végpotját, a másiat pedig válasszu i véletleszer e a örvoalo. Eor Ω, π, a jó esetee megfelel halmaz pedig A π, π, ami öye látszi, ha a rögzített potba va a szabályos háromszög egyi csúcsa. Így P A π π.. modell: Rögzítsü a ör egyi sugarát és válasszu i véletleszer e eze egy potot. Eze egyértelm e meghatároza egy húrt: a húr meje át a poto és legye mer leges a sugárra. Eor Ω, r, a jó esetee megfelel halmaz: A, r. Így P A r r. Külöböz megoldásoat aptu, mert ülöböz valószí ségi mez et teitettü.. Egy R sugarú örbe szabályos háromszöget íru. Mi a valószí sége, hogy a örlapo véletleül iválasztva egy potot, az a szabályos háromszög belsejébe fog esi? π, %. A, itervallumot felosztju ét véletleül rádobott pot segítségével részre. Meyi a valószí sége, hogy a. midhárom szaasz hossza rövidebb -él; b. a szaaszból háromszög alotható; c. a legrövidebb szaasz hossza rövidebb -él? Jelöljü midhárom feladatrészbe a eletezett szaaszo hosszát,y,zvel. Mivel a szaasz hosszú, z y. Oldju meg a feladatot geometriai vsz.-i mez! Ω, y :, y, + y < } A jó esetee megfelel potoat tartalmazó halmazt jelöljü A-val! a. A, y :, y, <, y <, y < }. Ábrázolju az összes pot halmazát és a jó poto halmazát! + y < y < az eseméytérb l y < y > y
A zöld voala által határolt,,,,, háromszög az A halmaz, ee területe öye láthatóa 8. Az Ω a é voal alatti,,,,, háromszög, ee területe. Így a eresett valószí ség 8. b. Aor szereszthet háromszög, ha teljesül a három hosszra a háromszögegyel tleség. Ez három egyeletet határoz meg. Így A, y :, y, + y > y, + y > y, y + y > }. Ábrázolju az összes pot halmazát és a jó poto halmazát! + y < y < az eseméytérb l + y > y y > + y > y y < y + y > < y A zöld voala által határolt,,,,, háromszög az A halmaz, ee területe öye láthatóa 8. Az Ω a é voal alatti,,,,, háromszög, ee területe. Így a eresett valószí ség 8. c. P mi, y, y < P mi, y, y P, y, y P, y, y Ha ábrázolju a valószí ség belsejébe lév eseméyt, aor egy olya háromszög adódi, amie a csúcsai: ;, ;, ;. Ezáltal a eresett valószí ség. Egy tagú osztályba a diáo agolt, émetet vagy fraciát taulhata. Tudju, hogy agolul -a taula, émetül -e, fraciául pedig -e. Agolul és émetül egyszerre -e, émetül és fraciául egyszerre -a, agolul és fraciául -e, és sei em taulja mid a három yelvet. Meora a valószí sége aa, hogy egy véletleszer e választott tauló legalább az egyi idege yelvet taulja? Legye B : egy diá agolul taul; B : egy diá émetül taul; B : egy diá fraciául taul. Kiszámítadó a P B B B valószí ség, haszálju a szita formulát. P B B B P B + P B + P B P B B P B B P B B + P B B B ++ +. Egy hattagú társaság az étterembe három pacalpöröltet, ét mátrai borzas csiremellet, és egy böllér tálat redel. A picér a megredelt ételeet véletleszer e osztja szét. Meyi a valószí sége, hogy a. midei azt apja, amit redelt; b. sei sem azt apja, amit redelt? a. b.. Gerie a Kider csooládéba lév új játéoat, 'Shali baba' guráat gy jt. ülöböz fajta ilye baba va, midegyi Kider csooládéba a gura özül véletleszer e erül egy. Gerie agymamája tudja, hogy ez a gyere álma, ezért arácsoyra a Jézusától -at redel a isúa. Tegyü fel, hogy Geriée még ics ottho Shali babája. Meyi a valószí sége, hogy Gerie mid a -féle Shali babát begy jti? Legye A i : a apott darab tojás egyiébe ott va az i. baba, i,...,. Legye p P darab tojás iyitása utá az összes baba meglett p P A A... A P A... A Alalmazzu a szita formulát! Ehhez P A i... A i P A... A P az els fajta babából egyi tojásba sics példáy S i <...<i Így már iszámítható a eresett valószí ség: p + S +. Meyi a valószí sége, hogy ember özül va olya hóap, amelyibe egyiü se született? Tegyü fel, hogy a hóapo aposa. Legye A i : született valai az i. hóapba i,,...,. Eor a iszámítadó valószí ség: p : P A A... A Alalmazzu a szita formulát! Ehhez S P A i... A i P A... A i <...<i P az els hóapba sei se született Így már iszámítható a eresett valószí ség: p + S + 7. Legye Ω, A, P valószí ségi mez, ahol Ω,,, } és A Ω. Redeljü az elemi eseméyehez olya valószí ségeet, hogy az A, }, B, }, C, }
eseméye pároét függetlee legyee, de e legyee teljese függetlee! P } P } P } P } 8. Egy gyerees családál a ú- és láygyere születésée valószí sége mide gyereél megegyezi. Teitsü a övetez eseméyeet: A : a családba legfeljebb láy va; B : mide gyere egyforma em ; C : legalább egy gyere ú. Milye -ra lesz a. A és B függetle; b. B és C függetle; c. A, B és C teljese függetle? a. és eseté b. eseté c. ics ilye. Milye >-re lesz függetle az a ét eseméy, hogy a. A: érmedobásból va fej és írás is, valamit B: legfeljebb egy írás va; b. A: érmedobásból va fej és írás is, valamit B: az els dobás fej? a. P A P va fej és írás is P csa az egyi va P csa fej va P B P legfeljebb írás va P potosa írás va + P potosa írás va + + P A B P potosa írás va -re megoldadó a P A B P AP B egyelet, amib l + lesz. Köye látható, hogy az egyel ség csa eseté lesz igaz. b. P A P B P az els fej P A B P az els fej, a többibe va írás függetlee P az els fejp a többibe va írás P fej -re megoldadó a P A B P AP B egyelet, amib l lesz, ez pedig azoosság mide > -re függetlee.. Két ocával dobu. Teitsü a övetez három eseméyt: A: dobtu -est; B: az összeg 7; C: dobtu -ost Mely eseméypáro függetlee? Igaz-e, hogy a három eseméy teljese függetle? Tegyü fel, hogy a ét ocát meg tudju ülöbözteti egymástól. Egyi eseméy se függetle egy másitól, ehhez számítsu i mide valószí séget. P A, mivel a jó esete:,,,,,,,,,, P B, mivel a jó esete:,,,,, P C, mivel a jó esete:,,,,,,,,,, P A B P A C P B C P A B C. Osztozodási probléma,. Hogya osztozzo az foritos téte ét játéos, ha :-es állásál félbeszaadt a gy zelemig tartó mér zésü? Tegyü fel, hogy az egyes játéo egymástól függetlee, az els játéos p valószí séggel yerhet az egyes játéoál. Oldju meg a feladatot a övetez esetebe: a. ; p / b. ; p / a. A játé meetét gráal is lehet ábrázoli. Piros jelöli azt az állást, amior az els játéos yer, és zöld, amior a másodi. Aor osztozoda "igazságosa", ha a tét ayiad részét apja az adott játéos, ameyi a yerési esélye. : : : : : Mivel az egyes mér zéseet egymástól függetleül játsszá le, ezért P a másodi játéos yer. Tehát úgy ossza fel a ét játéos a tétet, hogy az els játéos apja a tét 7 részét, azaz 7 Ft-ot; a másodi pedig a tét részét, azaz Ft-ot. b. Hasoló elve most is gráfot lehet észítei. : : : : : : : : : : : : : : : : : : Mivel az egyes mér zéseet egymástól függetleül játsszá le, ezért Pa másodi játéos yer 8 +. Tehát úgy ossza fel a ét játéos a tétet, hogy az els játéos apja a tét részét, azaz Ft-ot; a másodi pedig a tét részét, azaz Ft-ot.. Aladár és Béla pigpogoza. Mide labdameetet, egymástól függetleül, / valószí séggel Aladár, / valószí séggel Béla yer meg. A jelelegi állás : Béla javára. Meyi aa a valószí sége, hogy a meccset mégis Aladár yeri meg? Az :
yer, aie sierül legalább ét potos el y mellett legalább potot szerezi.. megoldás Az ábra mutatja a játé lehetséges imeeteleit, Aladár:Béla sorredbe. A piros imeete azt mutatjá, amior Aladár yert, a zöld azt, amior Béla. : : : : : : : : :... : Az egyes labdameete egymástól függetlee, így PAladár yer + + 7 +... 7 :.. megoldás Készítsü egy gráfot Aladár szemszögéb l, jelölje az i csúcs azt, hogy az atuális állás szerit Aladár i pottal vezet. Tehát a ezd :-es állás Aladár:Béla a -es csúcsa felel meg. Jelölje p i P az i. csúcsba vagyu és Aladár yer, ahol i,,,,. Nyilvá p és p. A feladat megoldása a p érté. A teljes valószí ség tételével fel tudu íri egyeleteet, ahol a teljes eseméyredszer midig egy atuális játé eredméye, tehát az, hogy Aladár gy z, illetve Aladár veszít, eze valószí sége, illetve. p p + p p p p p p + p p p + p p p + p p + p p Oldju meg az egyeletredszert, ehhez -ot beírju a mási ett be. p p + p p 7p p p p p p. Meyi a valószí sége, hogy ét ocadobásál mid a ét dobás -os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyi dobás -os? A feltétel gyelembe vételével olju meg: legalább az egyi -os összes eset:,,,,,,,,,, darab jó esete: darab így a eresett valószí ség.. Négye l e egymás utá egy céltáblára. A résztvev találati valószí ségei egymástól függetleül, sorredbe,, és. Kette ére el találatot. Mi a valószí sége, hogy a másodi hibázta el a lövést? 7. Három ülöböz ocával dobu. Meora a valószí sége, hogy az egyi ocával -ost dobu, feltéve, hogy a dobott számo összege? Legye A: egyiel -ost dobu; B: az összeg. Írju össze az összes lehetséges esetet, amior ocadobás eredméyée az összege : felbotása Esete száma Va-e -os ++! ige ++! ige! ++! ige! ++! em ++! em ++ em Összese Tehát a jó esete száma: ++, az összes eset száma pedig, így a eresett P A B valószí ség,.. Egy érmével ayiszor dobu, mit ameyi egy szabályos ocadobás eredméye. Mi a valószí sége, hogy em apu fejet? Legye A: em apu fejet; B i : i-t dobu a ocával i,...,. Eor B,..., B teljes eseméyredszert alota, P B i /. P A B i Pi darab érmedobásból em aptu fejet i Alalmazzu a teljes valószí ség tételét: P A j 8 P A B j P B j j 8, %. j + +... + 7. érme özül cielt, ezeél csa / a fejdobás valószí sége. Egy érmét iválasztva és azzal -szer dobva, fejet aptu,,...,. Eze feltétellel mi a valószí sége, hogy a hamis érmével dobtu? Legye A: dobásból fej; B : jó érmével dobtu; B : cielt érmével dobtu. P B P A B P B P A B Alalmazzu a Bayes-tételt:
P A B P B A P B P A B P B +P A B P B + 8 + 8 + 8. Egy diá a vizsgá p valószí séggel tudja a helyes választ. Ameyibe em tudja, aor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszü, hogy a diá tudása biztos azaz ha tudja a választ, aor az jó is. Határozd meg p értéét, ha / aa a valószí sége, hogy ameyibe helyese válaszolt, tudta is a helyes választ! Legye A: helyese válaszolt; B: tudta a választ. Haszálju i, hogy B, B teljes eseméyredszer. P B p P A B P B p P A B Alalmazzu a Bayes-tételt: P B A P A BP B p P A BP B+P A BP B p+ p p p+ Ezt átredezve, p.. Vádorlásai özbe Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyi út Athébe, a mási Spártába, a harmadi Müéébe vezet. Az athéie eresed épség, szereti ámítai a látogatóat, csa mide. alalommal modaa igazat. A müééie egy foal jobba: csa mide másodi alalommal hazuda. A szigorú spártai eveltetése öszöhet e a spártaia becsületese, midig igazat modaa. Odüsszeusza fogalma sics, melyi út merre vezet, így feldob egy ocát, egyel esélyt adva midegyi úta. Megérezve a városba, megérdez egy embert, meyi, mire özli vele, hogy. Mi a valószí sége, hogy Odüsszeusz Athéba jutott? Legye A: igazat modaa; B : Athéba jutott; B : Spártába jutott; B : Müéébe jutott. B, B, B teljes eseméyredszer. P B P A B P B P A B P B P A B Alalmazzu a Bayes-tételt: P B A P A B P B P A B P B +P A B P B +P A B P B + +.. Egy játéos ayiszor l het egy léggömbre, aháy hatost dobott egymás utá egy dobóocával. Például ha els re hatost, másodira ettest dob, aor egyszer l het. Meyi a valószí sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha mide lövésél / valószí séggel talál? Készítsü egy alalmas ábrát, ami leírja a feladat meetét. -ost dob [] szétlövi a léggömböt [] start [] mást dob [] A csúcsoat a jobb fels szögletes zárójelbe lév szám jelöli. Legye p i P az i. csúcsba va és szétlövi a léggömböt. A feladatba megfogalmazott érdésre adadó válasz a p valószí ség. Nyilvávalóa p, p. A teljes valósz ség tétele alapjá felírható a övetez egyeletredszer: p p + p p p + p p + p p p. Két érmét dobálu egyszerre, ezt addig ismételgetjü, amíg midett vel fejet em apu. Ameyibe tudju, hogy párosadi alalomra adódott el ször a dupla fej, aor mi a valószí sége, hogy a ísérlet befejezése el tt csupa írást aptu? Egy dupla ocadobás sorá P FF P II Legye A i : i. alalomra jött i el ször a dupla fej i,,...; B : az els dupla fej el tt csupa írást aptu A érdéses valószí ség: P B A A... P B A A... P B A+P B A+... P A +P A +... 7 7 P B A i i P A i i i i i i P A A... i i i i. Legye Ω ω, ω, ω, ω } eseméytér, A, Ω, ω }, ω, ω, ω }}. Az alábbi függvéye valószí ségi változó Ω, A-? a. Xω i } i + i,,, ; b. Xω } π, Xω } Xω } Xω } e; c. Xω i } i i,,, ; Ameyibe valamelyi em valószí ségi változó, határozd meg azt a legsz ebb F σ-algebrát, hogy Ω, F-e már valószí ségi változó legye! a. Nem valószí ségi változó, mert X } ω } / A. Az X valószí ségi változó által geerált σ-algebrába öye láthatóa bee ell leie mide egyelem halmaza, így σx Ω. b. Valószí ségi változó, mert X π} ω } és X e} ω, ω, ω }, ez a ét halmaz által geerált σ-algebra pedig éppe A. c. Nem valószí ségi változó, mert X } ω } / A. X } ω }, X } ω, ω }, így σx σω }, ω, ω }, ω }, Ω, ω }, ω }, ω, ω }, ω, ω }, ω, ω, ω }, ω, ω, ω }}.. Legyee A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból idulva sétál a tetraéder élei, mégpedig mide csúcsból véletleszer e választva a lehetséges három iráy özül. Jelölje X azt a valószí ségi változót, hogy A-ból idulva, háyadira érü vissza el ször A-ba. Írju fel X eloszlását! Mutassu meg, hogy ez valóba valószí ségi eloszlás!
Írju fel a megoldást a valószí ség lasszius éplete alapjá: P X,,..., ugyais legalább lépésre va szüség, hogy visszaérjü A-ba mide lépésbe összese iráyba haladhatu, így az összes eset jó lépése: els ét helyre mehetü, utáa alalommal helyre, végül vissza ell lépi A-ba Ez valószí ségi eloszlás, mivel P X. Egyébét öye látható, hogy X d +Geo.. Adju meg aa a valószí ségi változóa az eloszlását, ami egy hatgyermees családba a ú számát adja meg. Tegyü fel, hogy midig - a ú, ill. a láyo születési valószí sége, és az egyes születése függetlee egymástól. Legye X: ú száma. A feladat visszatevéses mitavételét ezelhet : p ; a mita mérete X Bi,. Határozd meg X eloszlását, ha X: hagyomáyos lottóhúzásál / a a. találato száma; b. -mal osztható száma; c. legagyobb ihúzott szám; d. -adi legagyobb ihúzott szám,...,. Mutassu meg, hogy eze valóba valószí ségi eloszláso! a. X HipGeo,, b. X HipGeo,, c. P X, ahol,,..., ugyais i ell választau számot az els -ból, viszot em lesz a legagyobb, ameyibe az els - b l választottu i et, így ezeet a rossz eseteet le ell voi. Ez valószí ségi eloszlás, ugyais p + + 7 +...+ 8 d. P X l l l, ahol l,,,,. A számláló idolása: álju le az l. számot, ez lesz a. legagyobb. El tte va még l szám, eze özül ell -t iválasztai. Utáa va l szám, eze özül pedig -et ell iválasztai.. Háromszor olya valószí, hogy egy évbe ét ember öli magát a Duába, mit az, hogy öt. Mi a valószí sége, hogy egy évbe legfeljebb egy ember lesz így ögyilos? Legye X: egy év alatt háya öli maguat a Duába. Az ögyilosságo tipiusa rita eseméye teithet, így X Poiλ. A feladat els modata alapjá P X P X λ e λ λ! e λ λ! λ P legfeljebb egy ember lesz ögyilos a Duába P X P X + P X e +. 7. Egy sportlöv p valószí séggel talál el egy léggömböt. a. Az els ; b. az ötödi találatig l. Mi lövései számáa eloszlása? a. Geop b. NegBi, p 8. Számítsu i a ocadobás várható értéét és szórását, ha a. a oca szabályos; b. a oca szabálytala: ét -es, három -es, egy -os va rajta. Legye X a ocadobás eredméye. a. P X i, így EX i ++...+ 7 7, EX i i i 7 D X 8 7 DX b. P X ; P X ; P X, így EX + + EX + + +8+ 8 DX. Egy sorsjátéo darab Ft-os, db Ft-os, és db Ft-os yereméy va. A játéhoz db sorsjegyet adta i. Meyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a yereméy várható értée megegyezi a sorsjegy árával? Legye X a yereméyü, ami most értéet vehet fel ülöböz valószí ségeel, amit a övetez táblázat foglal össze: i Ft Darab p i..... 88 88 ++ Ft.. Jelölje X az ötöslottó ihúzott lottószámoál a párosa számát. Adju meg X várható értéét és szórását! Eor visszatevés élüli mitavételezésr l va szó, számból páros EX... +. +. va, és elem mitát veszü. Tehát X Hipgeo,,, így EX,.. Két ocával dobu. Egy ilye dobást sierese evezü, ha va -os a apott számo özött. Várhatóa háy sieres dobásu lesz próbálozásból? P sieres dobás Legye X: -b l a sieres dobáso száma Eor yilvávaló, hogy X Bi, 7
EX. Egy oldalas öyvbe sajtóliba található véletleszer e elszórva. a. Meyi a valószí sége, hogy a. oldalo több, mit egy ajtóhiba va? b. Háy sajtóhuba a legvalószí bb a. oldalo? c. Meyi a valószí sége, hogy a. és a. oldalo együtt több, mit ét hajtóhiba va? Jelölje X i valószí ségi változó a öyv i. oldalá a sajtóhibá számát. Eor X i - függetlee, és mivel egy öyvbe a sajtóhibá redszerit ritáa modható, ezer l feltehet, hogy Poisso eloszlásúa. Ha a teljes öyvbe hiba va, aor egy oldalo átlagosa, sajtóhiba szerepel, így a Poisso eloszlás várható értéée éplete alapjá λ,. a. P X > P X P X e,, e,, e,, % b. p P X -t ell maimalizáli szerit. Nézzü a p + p háyadosoat. Egy övev sorozatál ez agyobb -él, egy csöe él pedig isebb -él. Keressü meg azt a potot, ahol ez egyel -gyel, aztá vizsgálju meg, hogy mely egész értée özött va és eze özül melyiél veszi fel a maimumot. p + p, + +! e,,,! e, +, +, A maimum vagy -be, vagy -ba va, de mivel X em vesz fel pozitív valószí séggel értéet, ezért -ba va a maimum. c. Feltehet, hogy az egyes oldalao lév hibá száma függetle egymástól. P X + X > P X + X P X + X P X + X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X e, e,, e, e, e,, e,, e, e,,, e e,, e,, e, e, +, +, +, +, +,, e,, %. darab dobóocát egyszerre feldobu. a. Háy dobóoca eseté lesz a legagyobb aa a valószí sége, hogy a apott számo özött potosa egy hatos va? b. Várhatóa meyi lesz a dobott számo összege? a. p : P dobásból egy -os ma p + p + Ezt -re redezve adódi, hogy vagy eseté lesz maimális a valószí ség. b.,. Átlagosa háyat ell dobu a. egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobáso özött? b. egy ocával, amíg mide szám ijö? c. egy ocával, amíg mide páros szám ijö? Jelöljü a szüséges dobáso számát X-szel. a. Az. dobás vagy F, vagy I. Az els esetbe az a érdés, hogy utáa háyadira fordul el el ször, hogy I-t apu, míg a másodi esetbe ugyaez a érdés F-jel. Ezáltal X felbotható a övetez módo X +Y, ahol Y Geo/ szabályos érme eseté. Ezáltal EX + EY + b. X felbotható a övetez módo X + Y + Y + Y + Y + Y, ahol Y i : dobáso száma, míg az i. ülöböz szám ijö. Eor Y Geo, Y Geo,..., Y Geo. Ezáltal EX + + + + +, 7 c. X felbotható a övetez módo X Y + Y + Y, ahol Y i : dobáso száma, míg az i. ülöböz páros szám ijö. Eor Y Geo, Y Geo és Y Geo. Ezáltal + +. Legye X biomiális eloszlású valószí ségi változó, amir l ismerte: EX 8, DX. Határozd meg a P X < valószí séget! 8 p p p Els t másodiba téve 8 p p és adódi P X < P X P X.. Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvéyt, ha X a. idiátorváltozó p / paraméterrel; b. egy olya ocadobás eredméye, ahol a ocá egy -es, ét -es és három -ös va. a. F < > b. F < + < > 7. Lehete-e egy X valószí ségi változó eloszlásfüggvéyei a övetez függvéye? Ha ige, aor va X-e s r ségfüggvéye? Jelölje [] az szám egészrészét. ha a. F tg ha < π ha π < 8
8 b. F ha > ülöbe ha [] c. F ha < ha < ep } ha d. F ha < a. F eloszlásfüggvéy, de em létezi s r ségfüggvéye, mivel tg π, így F em folytoos π -ba. b. F eloszlásfüggvéy, és létezi s r ségfüggvéye: 8 8 f ha > ülöbe c. F em eloszlásfüggvéy, mivel -be és -be em balról folytoos de jobbról folytoos. d. F eloszlásfüggvéy, és létezi s r ségfüggvéye: ep } ha f egyébét ha 8. Legye F c ha <, ahol c valós paraméter. ha < a. Mely c értée eseté lesz F eloszlásfüggvéy? b. P < X <? P X? c. Mely c-re létezi s r ségfüggvéy? Határozd meg! EX? DX? a. F -e mooto öv e ell leie, ami csa aor teljesül, ha c. További orlátozást jelet c értéére, hogy az eloszlásfüggvéy maimum lehet, amit az -ba vesz fel a özéps tartomáyo: ma,] c c 7c c 7 Tehát F eloszlásfüggvéy, ha c 7 b. P < X < P < X < F c P X P X < F 7c c. c 7 eseté va csa s r ségfüggvéye: f ha < < ülöbe EX d EX d 7 7 DX 8 7 8 ha. Legye F a + b ha <, ahol a és b valós paramétere. ha < a. A paramétere mely értéeire lehet F az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye? b. P 8 < X <? P X <? P X? c. A paramétere mely értéeire lesz F abszolút folytoos? Határozd meg eor a s r ségfüggvéyt, valamit X várható értéét és szórását! a. Kizárólag a mootoitást ell garatáli, a többi automatiusa teljesül. El ször is, mivel / mooto csöe a érdéses itervallumo, a -ra va szüség. Másrészt, -be és -ba is ügyeli ell, hogy a függvéy e legye -ál isebb, illetve -él agyobb, ami - egyel tleséget jelet: a + b és /a + b. b. P 8 < X < F F 8 a/ + b P X < F P X F + a + b c. Abszolút folytoossághoz ell: a + b és /a + b a ; b. A s r ségfüggvéy: f / I < < EX DX. Mely c-re lesz s r ségfüggvéy f c si ha, π egyébét A si függvéy el jelet vált a π helye, így ics olya c, amire a feti f s r - ségfüggvéy lee hiába érhet el megfelel ostassal, hogy az itegrál legye.. Legye X s r ségfüggvéye a övetez : f a. Határozd meg a c értéét és X eloszlásfüggvéyét! b. P X <,? P X <,? P X <,? c. D X? [ ] a. c d c c c ha F P X < t dt ha < ha > b. P X <. F, P X <. F,, P X <. F, c. EX d? c ha < < ülöbe
EX d 7 7 D X 7. ha < <. Legye X s r ségfüggvéye a övetez : f ha < < c ülöbe a. c? F? P X >? P X e? b. EX? DX? c a. d + + c c t dt < F + + < > t b. EX dt + t 7 dt EX t dt + t dt DX 7. Véletleszer e választu egy potot az + y < ör belsejébe. Jelölje Z a távolságát a özéppottól. Adju meg Z eloszlás- és s r ségfüggvéyét, valamit várható értéét! ha z z F Z z P Z < z π π z ha < z ha z > z ha < z f Z z EZ ülöbe [ z z ]. Legyee X N, és X N, függetlee. a. P X <? b. Számítsu i b értéét, hogy P X b, 7 teljesüljö! c. P X X >? Φ Φ Φ Φ,, Φ b, b Φ, + a. P X < P N, < Φ b., 7 P X b Φ b Φ, Φ, 7,, így b, +, 8 c. X X X + X N ; + N ; X X N ;, így P X X > Φ Φ,. Tegyü fel, hogy az egyetemistá IQ teszte elért eredméye ormális eloszlású várható értéel és szórással. Mi a valószí sége, hogy valai -ál több potot ér el a teszte? Legye X: egy egyetemista IQ-potja X N, P X > P X < P X < Φ,,, 8%.. Meyi garaciát adju, ha azt szereté, hogy terméei legfeljebb %-át ellje garaciaid belül javítai, ha a észülé élettartama év várható érté és év szórású ormális eloszlással özelíthet? Legye X: a termée élettartama X N, Jelölje a garaciaid t t A feladat szövege alapjá, P X < t P X < t P X < t Φ t Átredezve t-re: t Φ, + Φ, +, 8 + 7, Tehát legfeljebb 7 év garaciát ell adu ha a garaciaid csa egész szám lehet. 7. Egy vállalatál a szellemi foglalozásúa teszi i a dolgozó %-át, az zetésü eloszlása ezer Ft-ba Z +, ahol Z Ep ; a ziai dolgozóé pedig Y +, ahol Y Ep. a. Mi az esélye, hogy egy véletleszer e iválasztott szellemi foglalozású többet eres ezer Ft-ál? b. Egy véletleszer e iválasztott dolgozó átlagosa meyit eres? a. P Z + > P Z > e e /, % b. E[, Z + +, Y + ], + +, + 8. Legye X diszrét valószí ségi változó az alábbi eloszlással: P X i, ahol i,,,,,. a. Határozd meg Y X eloszlását és várható értéét! Igaz-e, hogy EX EX? b. Igaz-e, hogy E X EX? a. Y eloszlása: P Y ; P Y ; P Y ; P Y. EY EX +8+ EX b. E X + + + + + 7 7 /. Határozd meg Y logx s r ségfüggvéyét, ha X valószí ségi változó a. epoeciális eloszlású; b. egyeletes eloszlású az a, b itervallumo.
Vezessü le általáosa a s r ségfüggvéyt arra az esetre, amior a s r ségfüggvéy em ulla. Hogy hol em ulla a s r ségfüggvéy, azt eloszlásoét ell ülö-ülö megvizsgáli. Y : logx F Y y P Y < y P logx < y P X > e y F X e y Ha X abszolút folytoos, aor f Y y d dy F Y y e y f X e y λe λ ha > a. f X ha X s r ségfüggvéye em, ha > log R y log R Így a eresett s r ségfüggvéy: f Y y e y λe λe y y R b. f X b a ha a < < b ülöbe X s r ségfüggvéye em, ha a < < b loga < log < logb loga > y log > logb Így a eresett s r ségfüggvéy: e y f Y y b a ha logb < y < loga a >. ülöbe. Legye X E, és Y X. Határozd meg Y s r ségfüggvéyét és várható értéét! Igaz-e, hogy E X EX? f X < < egyébét F Y y P X < y P X log < log y F X log y log f Y y y log f log y X log X s r ségfüggvéye em, ha < < < y < Tehát Y s r ségfüggvéye: f Y y E X y log < y < egyébét d [ ] log log log EX. Legye X N, és Y X. Határozd meg Y s r ségfüggvéyét és várható értéét! f X π e R F Y y P X < y F X y / f Y y y / f X y / X s r ségfüggvéye em, ha R y R Tehát Y s r ségfüggvéye: f Y y y / π e y/ y R A várható értéhez haszálju fel, hogy X N, eloszlású, amie a pozitív egész mometumait ismerjü. EX EX + EX + EX + EX + EX 8 + EX + +!! + + 8 + +. Legye X N,. Adju meg a. Y σx + m, ahol σ > és m valós számo; b. Y X. s r ségfüggvéyét és várható értéét. P Y <? f X π e R a. F Y y P σx + m < y P y m σ y m FX σ f Y y σ f X X sfve em, ha R y σ + m R y m σ y m σ π e πσ e y m Tehát Y s r ségfüggvéye: F Y y σ σ, azaz Y Nm, σ EY m P Y < P Y m σ < m σ m FX σ Φ m σ. b. F Y y P X < y P y < X < y F X y F X y F X y f Y y y / f X y y f X y X s r ségfüggvéye em, ha R y [, f Y y πy e y y y < EY EX D X + E X + P Y < Φ.. Egy egységégyzetb l válasszu i egy tetsz leges potot, jelölje X és Y a iválasztott pot ét oordiátáját. a. U X + Y b. U logxy Határozd meg U eloszlás-, s r ségfüggvéyét és várható értéét! a. Mivel X, Y és özötti számo, ezért X + Y és özött lesz. F Z z P Z < z P X + Y < z P Y < z X. Ábrázolva az y z egyeest az egységégyzetbe, az alatta lév térrész felel meg a jó esetee. Látható, hogy a jó esete valószí ségée iszámítását etté ell botai aszerit, hogy z < vagy z >. z < eseté P Y < z X z z z z > eseté P Y < z X z z, ugyais a omplemeter egyel szárú derészög háromszög oldala: z z.
y y z y z z y z z z ha z z Tehát F Z z ha < z z z ha < z ha < z z ha < z Ebb l f Z z z ha < z ülöbe EZ z dz + z dz. b. Mivel X, Y és özötti számo, ezért logxy és özött lesz. F Z z P Z < z P logxy < z P Y > e z X. Ábrázolva az y e z egyeest az egységégyzetbe, a felette lév térrész felel meg a jó esetee. y y e z e z A érdéses terület itegrálással számítható i: e z d [ e z log] e z e z e z e z z e z ze z ha z Tehát F Z z Ebb l f Z z EZ e z ze z ha < z ha z e z e z + ze z ze z ha < z z e z dz [ z e z] + ze z dz.. Egy dobozba az,,, feliratú cédula va. Addig húzu visszatevéssel a dobozból, míg -es em erül a ezübe. Határozzu meg a ihúzott számo összegée a várható értéét és szórását! A várható érté iszámítására megoldást is íru, a szóráséra egyet, a harmadi megoldásba.. megoldás Legye X: a húzott számo összege. Legye Y : húzáso száma, míg -est apu, eor yilvávalóa Y Geo. Alalmazzu a teljes várható érté tételt: EX EX Y ip Y i i Vizsgálju meg az X Y i} eseméyt! Eor az utolsó, i.-e ihúzott céduláa -ese ell leie, az el z, i ihúzott cédula pedig bármi lehet a -ese ívül. Eze az -es, -es és -aso, azoos valószí séggel aphatju meg et. Jelöljü Z j - vel azoat a valószí ségi változóat, ami azoos, valószí séggel veszi fel eze értéeet, azaz P Z j,,, j,,..., i, ami a feladat szövege miatt egymástól függetlee. Eze özös várható értée EZ, segítségüel pedig felírható a eresett feltételes várható érté. Így EX [EZ + EZ +... + EZ i + ] P Y i i [i + ] i [i + ] i i i ip Y i + P Y i EY + 8 + i i. megoldás Legye U: az els e húzott cédula. Haszálju a teljes várható érté tételt. EX EX U P U +EX U P U +EX UP U + +EX U P U + EX + + EX + + EX + Ez egy egyelet EX-re, amit megoldva, EX adódi.. megoldás Haszálju a Wald-lemmát! Ehhez vegyü észre, hogy X egy véletle tagszámú összegét írható fel a övetez éppe: X Y Z i +, ahol Y és Z i - az. megoldásba i deiált valószí ségi változó. Így EX EZ EY + + Y Y DX D Z i + D Z i i i D Z EY + D Y E Z + + 8. Egy dobozba cédula va, rajtu az,, számo. Addig húzu visszatevéssel a dobozból, míg -est em apu. Határozzu meg a ihúzott számo szorzatáa
várható értéét! Legye X: a húzott számo szorzata. megoldás Legye Y : húzáso száma, míg -est apu, eor Y Geo Eor az utolsó, Y.-a ihúzott céduláa -ese ell leie, az el z, Y ihúzott cédula pedig bármi lehet az -ese ívül. Eze az,, azoos valószí séggel aphatju meg et. Jelöljü Z j -vel azoat a valószí ségi változóat, ami azoos, valószí séggel veszi fel eze értéeet, azaz P Z j P Z j j,,..., ami a feladat szövege miatt egymástól függetlee. Eze özös várható értée EZ 8. Vegyü észre, hogy X egy véletle tagszámú szorzatét írható fel a övetez éppe: X Y Z i i Y Haszálju a teljes várható érté tételt! EX E Z i Y E Z i Y P Y i i E Z i P Y EZ P Y i 8. megoldás Legye U: az els e húzott cédula. Haszálju a teljes várható érté tételt. EX EX U P U +EX U P U +EX U P U + EX + EX Ez egy egyelet EX-re: EX + EX + EX, amib l EX adódi.. Egy báyász a báya egyi termébe reedt, ahoa öt út yíli. Az egyi egy három perces út végé a szabadba vezet. A többi égy özül ett út eseté öt, mási ett eseté pedig hét percyi séta utá visszatér ugyaebbe a terembe. A báyász teljese össze va zavarodva, mide alalommal a többi választásától függetleül egyel valószí séggel választ egyet az uta özül. Legye X a szabadba jutáshoz szüséges id. Meyi X várható értée? Legye U: az els e választott út száma. Legye az -es út a szabadba vezet, eze percet ell mei. Legye a -es és -as út az, amelyie percet haladva, visszaérü a báya termébe. Legye a -es és -ös út az, amelyie 7 percet haladva, visszaérü a terembe. Haszálju a teljes várható érté tételt! EX EX U P U + EX U P U + EX UP U + EX UP U + EX UP U + + EX + + EX + 7 + EX + 7 + EX Ez egy egyelet EX-re: EX 7 + EX, amib l EX 7 perc adódi. 7. Egy szabályos ocát addig dobálu, amíg a és számot em apju ét egymás utái dobás eredméyeét. Adju meg a szüséges dobáso számáa várható értéét! Készítsü egy gráfot, ami a ísérlet meetét szemlélteti! start [] vagy [] vége [] A csúcso számát a jobb fels szögletes zárójelbe lév szám jelöli. Jelölje m i : az i. csúcsból idulva, várhatóa meddig ell vári addig, míg a és számo egymás utá ijöe, ahol i,,. Nyilvá m. A teljes várható érté tétel alapjá az alábbi egyeleteet írhatju fel a -s és az -es csúcsora: m + m + + m m + m + + m + A feladat megoldása az m érté, amire az egyeletredszert megoldva, adódi. Emellett m 8. 8. Egy érmével addig dobu, amíg az FF sorozat megjelei. Átlagosa meyit háy dobásyit ell erre váru?. megoldás Készítsü megfelel gráfot, ami a játé meetét leírja. A csúcso jobb fels sarába a apcsos zárójelbe lév szám a csúcs sorszámát jelöli. start [] F [] F F [] Legye m i : átlagosa meyit ell vári FF megjeleéséig, ha az i. csúcsba vagyu. Nyivávalóa m. A teljes várható tétele alapjá a és sorszámú csúcsora a övetez egyelete írható fel: m + m + + m m + m + A feladat megoldása az m érté, amire az egyeletredszert megoldva, adódi. A mási érté: m.. megoldás Legye X: háyadi dobásra jö i els re egymás utá ét fej. Haszálju most is a teljes várható érté tételt, de az alapjá, hogy mit dobtu az els ét alalommal. Így a teljes eseméyredszer a övetez : F F, F I, IF, II}. Vegyü észre, hogy eor az EX IF felírása problémát fog jeletei. Trü: csöetsü a teljes eseméyredszert a övetez eseméyre: F F, F I, I}. Eor a teljes várható érté tétellel EX EX F F P F F + EX F IP F I + P X IP I + + EX + + EX EX + Ezt EX-re redezve, -ot apu megoldása.
. Egy érmével addig dobu, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelei. Meyi a valószí sége, hogy FFI jö el bb? Meyit dobu átlagosa? Készítsü megfelel gráfot, ami a játé meetét leírja. A csúcso jobb fels sarába a apcsos zárójelbe lév szám a csúcs sorszámát jelöli. start [] F [] F F [] F F I [] F I [] F IF [] Legye p i P FFI el bb jö i, ha az i. csúcsba vagyu. Nyivávalóa p és p. A teljes valószí ség tétele alapjá a,, és sorszámú csúcsora a övetez egyelete írható fel: p p + p p p + p p + p p p + Ee megoldása: p, p, p, p, tehát az els érdésre adadó válasz p. Legye m i : átlagosa meyit ell vári FFI megjeleéséig, ha az i. csúcsba vagyu. Nyivávalóa m m. A teljes várható tétele alapjá a,, és sorszámú csúcsora a övetez egyelete írható fel: m + m + + m m + m + + m m + + m m + m + A feladat megoldása az m érté, amire az egyeletredszert megoldva, adódi. A többi érté: m, m, m. 7. Az Y és X valószí ségi változó együttes eloszlását a övetez táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása.................. Y peremeloszlása......... a. Töltsd i a táblázatot, ha EX 7 és EY! b. X és Y függetlee egymástól? Ameyibe em, határozd meg a orrelációjuat! c. Add meg X, Y T valószí ségi vetorváltozó ovariacia mátriát és orrelációs mátriát! d. P X < 7 Y <? e. EY X? a. A megadott plusz iformációból a peremvalószí sége itölthet?, az együttes valószí sége pedig ivoásoal már triviálisa adódi foga. Mivel X csa ét értéet vehet fel, ezért X felfogható egy idiátorváltozó lieáris traszformáltjaét. Köye látható, hogy X d U +, ahol U Idp. Az ismeretle p a várható értéb l adódi: 7 EX EU + p+ p EY P Y + P Y +, továbbá a valószí sége összege : P Y +P Y +, így az egyeletredszer megoldásával adódi, hogy P Y és P Y. A itöltött táblázat: X\Y X peremeloszlása Y peremeloszlása b. Nem függetlee egymástól, ugyais például P X, Y P X P Y D X D U DX EY + + EY + + 7 D Y 7 c. DY EXY + +... + CovX, Y 7 RX, Y R, 8 tehát gyege egatív apcsolat va X és Y özött. és d. P X < 7 Y < e. P Y X P X<7,Y < P Y < P Y X P Y X EY X + + +++++ 7. Az X és Y valószí ségi változó együttes eloszlását a övetez táblázat mutatja. Y \X Y peremeloszlása 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 X peremeloszlása Határozd meg X és Y eloszlását, várható értéét, szóráségyzetét! egymástól? Ameyibe em, határozd meg a orrelációjuat! Függetlee-e
Y \X Y peremeloszlása 7 7 7 X peremeloszlása 7 EX 7 + 7 + EX 7 + 7 + 7 D X DX EY 7 + 8 7 + 7 7 EY 7 + 8 7 + D Y 7 DY 7 EXY 7 + 7 7 7 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 +... + 7 Nem függetlee egymástól, ugyais például P X, Y 7 7 7 P X P Y CovX, Y 7 7 7 8 8 RX, Y R, 8 7 7 +8++++ 7 7 7 tehát gyege pozitív apcsolat va X és Y özött. 7. Legye X és Y függetle, azoos eloszlású. Tegyü fel azt is, hogy véges szórásúa. RX, ax + by? RX, ax + by CovX,aX+bY DXDaX+bY CovX,aX+CovX,bY DX D ax+d by +CovaX,bY ad X+bCovX,Y DX a D X+b D Y +abcovx,y ad X+ DX a D X+b D X+ ad X DX a +b DX a a +b 7. Egy dobozba piros, fehér, zöld, é cédula va, midegyi -t l -ig számozva. Visszatevéssel húzu étszer. Legye X a pirosa száma a ihúzotta özött; Y a ée száma; Z a -ese száma. Határozd meg a. X és Y ; b. X és Z együttes eloszlását és orrelációját! a. X és Y együttes eloszlása és a peremeloszláso: Y \X Y peremeloszlása X peremeloszlása A táblázat itöltésée meete például törtéhet így: A pereme eloszlása ismert: X és Y midett Bi, eloszlást övet, így a széleet i lehet töltei. P X, Y P X, Y P X, Y ivoással P X, Y, hasolóa P X, Y P X, Y P midét cédula zöld vagy é a maradé három rubriát ivoással megaphatju EX EY DX DY 8 EXY 8 RX, Y 8 8 b. X és Z együttes eloszlása és a peremeloszláso: Z\X Z peremeloszlása 7 8 8 8 8 8 8 88 X peremeloszlása A táblázat itöltésée meete például törtéhet így: A pereme eloszlása ismert: X Bi, és Z Bi, így a széleet i lehet töltei. P X, Z P midét cédula a piros -es P X, Z P midét cédula piros, de em -es 8 P X, Z P midét cédula -es, de em piros P X, Z P midét cédula se em piros, se em -es 7 7 a maradé öt rubriát ivoással megaphatju A táblázatba lév együttes valószí séget megvizsgálva megállapíthatju, hogy azo a megfelel peremvalószí sége szorzatai, így X és Z függetle egymástól R 7. Egy szabályos ocával dobu. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milye maradéot ad. RX, Y? Készítsü el az együttes és a peremeloszlásoat tartalmazó táblázatot! X és Y együttes eloszlása és a peremeloszláso: Y \X Y peremeloszlása X peremeloszlása EX 7 D X ocadobásál már iszámoltu EY EY + D Y EXY +++ RX, Y 7 R, Tehát X és Y özött gyege egatív apcsolat va.
7. Egy szabályos érmét étszer feldobu. Legye X értée, ha az els dobás fej, és, ha írás. Legye Y értée, ha a másodi dobás fej, és, ha írás. Mutassu meg, hogy X + Y és X Y orrelálatlao, de em függetlee! Készítsü el az együttes és a peremeloszlásoat tartalmazó táblázatot! X + Y és X Y együttes eloszlása és a peremeloszláso: X Y \X + Y X Y peremeloszlása X + Y peremeloszlása Vegyü észre, hogy X + Y Bi, és X Y Id EX + Y D X + Y E X Y D Y EXY covx, Y X + Y és X Y orrelálatlao Viszot em függetlee, mert például a bal alsó együttes valószí?séget teitve. 7. Egy dobozba piros és é golyó va, amib l -szor húzu visszatevéssel. Jelölje X az els, Y az els 7, Z pedig az utolsó húzásból a pirosa számát. Határozzu meg X + Z és Y orrelációs együtthatóját! Az X-et, Y -t és Z-t fel lehet botai függetle, azoos eloszlású val. változó összegére. Legye U i : aa az idiátora, hogy az i. húzás piros lett. Eor U i Id függetlee. Ee féyébe X U i Bi,, Y 7 i U i Bi 7, RX + Z, Y covx+z,y DX+Z DY és Z 7 covu 7 i,u j+ covu i,u j i j i j7 D X+D Z+covX,Z 7 8 + + U i Bi,. i7 covx,y +covz,y D X+Z DY D U +D U + + i j7 i covu i,u j 77. -szor húzu visszatevéssel egy olya dobozból, amelybe piros és fehér golyó va. X jeletse a ihúzott piros golyó számát az els, Y pedig az els ísérletbe. RX, Y? Az X-et és Y -t fel lehet botai függetle, azoos eloszlású val. változó összegére. Legye U i : aa az idiátora, hogy az i. húzás piros lett. Eor U i Id i U i Bi,. függetlee. Ee féyébe X U i Bi, és Y i RX, Y covx,y DX DY covu i,u j i j D U 78. Egy ocát -szer feldobu. X a dobott -oso száma, Y a dobott páratla számo száma. Határozzu meg X és Y orrelációs együtthatóját! Az X-et és Y -t fel lehet botai függetle, azoos eloszlású val. változó összegére. Legye U i : aa az idiátora, hogy az i. húzás -os lett. Legye V i : aa az idiátora, hogy az i. húzás páratla lett. Eor U i Id i,..., függetlee és V i Id és Y i i,..., függetlee. Ee féyébe X U i Bi, V i Bi,. RX, Y covx,y covu i,v j DX DY i j Nézzü meg, hogy mi lesz az egye U i - és V j özötti ovariacia! Ehhez meg ell godoli, milye eloszlású az U i V j valószí ségi változó. Mivel midét téyez? ömagába idiátorváltozó, ezért a szorzatu is az lesz, ha i j P U i V j P U i, V j ha i j Így covu i, V j ha i j db i ha i j db Ezt felhaszálva már iszámítható a eresett orreláció: RX, Y covu,v 7. Egy tízemeletes ház földszitjé ember száll be a liftbe. Midei a többiet l függetleül / eséllyel száll i az egyes emeletee. Meyi a megálláso számáa várható értée és szórása? Legye X : háy emelete áll meg a lift. eloszlású valószí ségi változó összegére: X Ezt fel lehet botai függetle, azoos U i, ahol U i : aa az idiátora, hogy az i. emelete megáll a lift. Eze azoos eloszlásúa, de em lesze függetlee. P U P az. emelete megáll a lift P az. emelete sei se száll i U i Id,, i,..., EX E U i EU, 7, i D X D U i D U + covu, U i,, + [EU U EU EU ],, + [P U, U, ] Aa a valószí ségét, hogy ét emelete is megáll a lift, a övetez épp lehet iszámítai: i
P U, U P U } U } P U } U } P U + P U, U, +, 8 Így a szórás a övetez lesz: DX,, + [, +, 8, ], 8. Mely c valós paraméter eseté lesze étdimeziós s r ségfüggvéye az alábbia? Adju meg az együttes eloszlásfüggvéyt, valamit a perems r ségfüggvéyeet! P X >, Y <? Függetle X és Y? RX, Y? cy ha, y, a. f, y ülöbe c + y ha, b. f, y ülöbe a. c meghatározása: f X,Y, y d dy c y ddy c [ ] y c. f, yce +y, ; y R d. f, y e y < < c és < y ülöbe y d dy c dy c y dy c c y dy ha < < f X y ülöbe A szimmetria miatt y ha < y < f Y y ülöbe Tehát X és Y azoos eloszlásúa és függetlee. R P [ ] [ ] X >, Y < y ddy y / / Az együttes eloszlásfüggvéy az együttes s r ségfüggvéyb l: ha < vagy y < y uv dudv y ha < < és < y < F X,Y, y y ha < és < y < ha < < és < y ha < és < y [ ] b. c + y d dy c d dy c 8c c 8 Mivel em lehet et szétbotai -t l és y-tól függ szorzatára, ezért láthatóa em függetlee. A s r ségfüggvéy szimmetriája miatt elég csa X s r ségfüggvéyét, várható értéét és szórását iszámítai. + 8 + y dy < < f X egyébét EX + d 7 EY EX + d D X D Y EXY y 8 + y d dy [ y d dy ] [ ] y RX, Y R, Tehát X és Y özött gyege egatív lieáris apcsolat va. P X >, Y < 8 / + y dyd 8 / + d 8 8 + c. Vegyü észre, hogy a s r ségfüggvéy szétbotható csa -t l és csa y-tól függ tago szorzatára, így a orreláció biztosa ; illetve midét szétbotott tag er se "hasolít" a ormális eloszlás s r ségfüggvéyére. Az -t l függ tag e /, ami majdem az N, eloszlás s r ségfüggvéye. A hiáyzó ostas az π. Az y-tól függ tag e y / e az N, eloszlás s r ségfüggvéye. A hiáyzó ostas az π tehát c π. P X >, Y < P X > P Y < Φ Φ a d. e y ddy [ ] a [ e y ] a a y, ami majdem π. Így Az eddigieb l yilvávaló, hogy X és Y függetlee, így a orreláció, valamit Y Ep P X >, Y < P Y < e 8. Megadható-e olya várható érté és szórású valószí ségi változó, amelyre P X,? Nem, mivel a Csebisev-egyel tleség miatt P X D X. 8. U és V valószí ségi változóról a övetez et tudju: RU, V, 7; EU ; EV ; DU DV. Becsüld alulról a P 7 < U + V < valószí séget! X : U + V Eor EX EU + EV + covu, V RU, V DU DV 8 D X D U + D V + CovU, V + + 8 P 7 < X < P < X < P < X < P X < P X }} D X ε ε 7
. 8. Hamis érmével dobu, a fej valószí sége,. a. Becsüljü meg a Csebisev-egyel tleséggel, majd a cetrális határértététel segítségével is aa a valószí ségét, hogy ezer dobásból legalább fej! b. Háyszor ell dobi, hogy a feje relatív gyaorisága legalább 7, %-os valószí séggel több legye, mit,? a. Legye X i valószí ségi változó, ami értéet vesz fel, ha fejet dobu, és -t, amior írást. Eor yilvávalóa X i Id, Legye Y : meyi fejet aptu dobásból, azaz Y X i Bi;,. i Eor EY és D Y. A becsüled valószí ség: P Y Csebisev-egyel tleséggel: P Y P Y D Y Haszálju a cetrális határeloszlás-tételt: Y P Φ Φ, 87 X i i b. Legye X a feje relatív gyaorisága, eor EX, és D X,, A becsüled valószí ség: P X >, Haszálju a Csebisev-egyel tleséget: P X >, P X, >, P X,, P X EX, D X,,, A feladat szövege alapjá ee ell legalább,7-e leie:, 7 ezt megoldva 8 jö i: legalább 8-szer ell dobu. Cetrális határérté-tétellel: X P X >, P,, >,, Φ,,, Φ Φ A feladat szövege alapjá ee ell legalább,7-, e leie: Φ, 7 Φ, 7, tehát 8, adódi: legalább 8-szor ell dobu. 8. Egy életbiztosító társasága biztosítottja va, tegyü fel, hogy egyforma orúa és egészség e. % aa a valószí sége, hogy egy ilye személy az év folyamá meghal. Mide biztosított az év elejé ezer Ft-ot zet be, halála eseté pedig hozzátartozói millió Ft-ot apa a biztosítótól. Mi a valószí sége, hogy a biztosító egy évbe eze biztosításra voatozóa em lesz veszteséges? Legye X i : a biztosító bevétele e Ft-ba az adott biztosított személyt l, i,,...,. Eor P X i, és P X i 8, d X i Id, 8 A eresett valószí ség a cetrális határeloszlás-tétellel özelíthet P X +... + X P X i EX i DX <, 8,, Φ Φ Φ, 8 8. Legalább háy embert ell megérdezi egy özvéleméyutatásál, ha egy adott párt támogatottságát az eltérést a várható támogatottságtól legalább %-os valószí séggel,él isebb eltéréssel szereté megbecsüli? a. Számolju a Csebisev-egyel tleséggel. b. Számolju a ormális eloszlással. X i i,..., legye az a valószí ségi változó, amely az értéet veszi fel, ha az i. ember a pártra szavaz ismeretle p valószí séggel, és értéet vesz fel, ameyibe em Így X i Idp EX i p, D X i p p Becsüljü a támogatottságot X-gal Így EX EX p és D X D X p p a. P ε }} X EX <, P X EX, D X ε p p p p és ee ell agyobba leie,-él: p p,, p p p p. Például ha p,, aor az 8 becslést apju. b. Feltesszü, hogy X N p, p p, P X EX <, P, < X p <, P Φ, p p p p < X p p p Φ <, p p p p Φ p p p p Φ, 7, p p Például ha p,, aor az 7 becslést apju. 8. Egy dobóocát 7-szor feldobu. A cetrális határeloszlástétel alalmazásával határozzu meg aa a valószí ségét, hogy a dobott -oso száma legalább, de -él isebb! Legye X i : aa az idiátora, hogy az i. dobás -os. Eor X i Id függetlee, i,,..., 7. 7 dobásból a -oso száma: Y 7 X i Bi 7, i 8
EY 7 D Y 7 A iszámítadó valószí ség: P Y < P Y < Φ Φ Φ Φ Φ + Φ, 88 87. Egy dobozba cédula va, rajtu a -,,, számo. -szer húzu visszatevéssel a dobozból. A cetrális határeloszlástétel alalmazásával határozzu meg aa a valószí ségét, hogy a ihúzott számo összege legalább 8, de -él isebb! Legye X i : az i. húzás sorá apott szám. Eor X,..., X függetlee és azoos eloszlásúa, P X P X és P X. A húzáso összege: Y EX + EX +8 DX 7 EY EX X i i D Y 7 7 8 A iszámítadó valószí ség: P 8 Y < P 8 8 Y 8 < 8 Φ Φ Φ Φ Φ + Φ, 88 88. X i - i,,... függetle val. változó Hova overgál és hogya? X a. X i Idp +...+X X +...+X b. X i : az i-edi ocadobás eredméye e c. X i Ep X +...+e X Midegyi feladatrészbe a agy számo er s törvéyét fogju alalmazi, így a overgecia midehol valószí ség lesz. a. X +...+X EX p + p p b. X i - özös eloszlása: P X i,,,..., EX X +...+X c. ex +...+e X Ee X 7 8. Számítsu i a övetez meyiséget: lim e e d e d [e ] e Látszólag a feladata ics valószí ségszámítási öt dése, viszot ha icsit gyelmesebbe ráézü a szummára, láthatju, hogy belül az e! éppe aa a valószí sége, hogy egy paraméter, Poisso-eloszlású valószí ségi változó értéet vesz fel. Legye tehát X Poi, ami tudju, hogy felbotható darab függetle Poi eloszlású valószí ségi változó összegére. Ez alapjá: lim e! lim P X lim P X! A felbotás miatt pedig haszálható a cetális határeloszlástétel, tehát a eresett valószí ség lim P X EX DX Φ