Redezés Defiíció: A reláció Valamely A halmaz eseté a AA részhalmazt az A halmazo értelmezett relációak evezzük. Azt modjuk, hogy az A halmaz a és b eleme a relációba va, ha (a,b). Rövide ezt így írjuk: ab.. Példa: Legye A=R, és a reláció a kisebb < jel. Az ab reláció azokat a számpárokat jeleti, amelyekre feáll az a<b összefüggés. Defiíció: A redezési reláció A relációt redezési relációak evezzük az A halmazo, ha. reflexív, azaz aa aa eseté;. ab és ba akkor és csak akkor áll fe, ha a=b. 3. trazitív, azaz ab és bc maga utá voja az ac teljesülését; 4. atiszimmetrikus, azaz vagy az ab, vagy a ba feáll a,ba eseté.. Példa: A valós számok közötti reláció redezési reláció. Redezésről olya adattípus eseté beszélhetük, amelyre értelmezve va egy redezési reláció. Tekitsük a sorozatot és aak is vegyük a tömbös realizációját. A redezés a sorozat elemeiek olya felsorolását jeleti, amelybe az egymást követő elemek a megadott relációba vaak. A tárgyalást valós számoko (legikább egészek) visszük végig és relációak a kisebb, egyelő relációt () tekitjük. ami em csökketi az általáosságot. A redezés mid a mai időkig fotos iformatikai probléma. Gyakra jeleik meg mit egy agyobb probléma része. A redezési algoritmusokkal kapcsolatba több szempot szeriti igéy léphet föl. Ilyeek például az alábbiak: a. Helybe redezés, azaz a redezés eredméye az eredeti helyé jeleje meg, legfeljebb kostas méretű többletmemória felhaszálása révé. b. Gyorsaság. A redezési idő legye miél rövidebb. c. Adaptivitás. Az algoritmus haszálja ki a kulcsok között már meglévő redezettséget. d. Stabilitás. A redezés őrizze meg az azoos kulcsú rekordok eseté a rekordok egymáshoz képesti eredeti sorredjét. (Például telefoszámlák készítésekor az azoos kulcsú előfizetői hívások időredi sorredje maradjo meg.) e. Az algoritmus csak a kulcsokat redezze a rekordokra mutató poiterekkel, vagy az összes rekordot mozgassa. f. Belső redezés legye (csak a belső memóriát vegye igéybe a redezéshez), vagy külső redezés legye (háttértárakat is igéybe vehet). g. Összehasolításo alapuljo a redezés, vagy azt e vegye igéybe az algoritmus. (Ez utóbbi esetbe a kulcsokra további megszorításokat kell tei.) h. Optimális legye a redezési algoritmus, vagy sem. (Nem biztos, hogy az adatok az optimális algoritmus által megkívát módo vaak megadva.) i. Az összes redezedő adatak redelkezésre kell-e állia a redezés teljes folyamata alatt, vagy sem. j. A redezések csak a befejeztével va eredméy, vagy meet közbe is a már redezett rész tovább em változik. Nem lehet kizári a em optimális algoritmusokat sem az alkalmazásokból, mert egy probléma megoldásába em csak a redezési algoritmus optimalitása az egyetle szempot a problémamegoldás hatékoyságára. (Hiába gyors az algoritmus, ha az adatok em a kívát formába állak redelkezésre, és a koverzió lerotja a hatékoyságot.)
. A beszúró redezés A beszúró redezés alapelve agyo egyszerű. A sorozat második elemétől kezdve (az első ömagába már redezett) egyekét a kulcsokat a sorozat eleje felé haladva a megfelelő helyre mozgatjuk összehasolítások révé. A sorozatak a vizsgált kulcsot megelőző elemei midig redezettek az algoritmus sorá.. Példa: Az alábbi kulcsok eseté yíl mutatja a mozgatadó kulcsot és a beszúrás helyét. 8 4 3 6 5 9 7 4 8 3 6 5 9 7 4 8 3 6 5 9 7 3 4 8 6 5 9 7 3 4 8 6 5 9 7 3 4 6 8 5 9 7 3 4 5 6 8 9 7 3 4 5 6 8 9 7 3 4 5 6 7 8 9. algoritmus Beszúró redezés // T BESZÚRÓ_RENDEZÉS ( A ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 3 // Output paraméter: A - a redezett tömb 4 // 5 FOR j TO hossz [ A ] DO 6 kulcs A j 7 Beszúrás az A...j redezett sorozatba 8 i j 9 WHILE i > 0 és A i > kulcs DO 0 A i + A i DEC(i) A i + kulcs 3 RETURN (A)
. A miimum kiválasztásos redezés Hossz[A]- -szer végigmegyük a tömbö. Mide alkalommal eggyel magasabb idexű elemtől iduluk. Megkeressük a miimális elemet, és azt az aktuális meet kezdő elemével felcseréljük.. algoritmus Miimum kiválasztásos redezés T // MINIMUM_KIVÁLASZTÁSOS_RENDEZÉS( A ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 3 // Output paraméter: A - a redezett tömb 4 // 5 FOR i TO hossz[a]- DO 6 // miimumkeresés 7 k i 8 x A i 9 FOR j i + TO hossz[a] DO 0 IF A j < x THEN k j x A j 3 // az i. elem és a miimum felcserélése 4 A k A i 5 A i x 6 RETURN ( A )
3. A buborékredezés A buborékredezésél az egymás mellett álló elemeket hasolítjuk össze, és szükség eseté sorredjüket felcseréljük. Ezt midaddig folytatjuk, míg szükség va cserére. 3. algoritmus Buborékredezés (Bubble Sort) T // BUBORÉKRENDEZÉS( A ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 3 // Output paraméter: A - a redezett tömb 4 // 5 j 6 REPEAT emvoltcsere IGAZ 7 FOR i hossz[a] DOWNTO j DO 8 IF A i < A i 9 THEN csere A i A i 0 emvoltcsere HAMIS INC( j ) UNTIL Nemvoltcsere 3 RETURN ( A ) Időigéy a legrosszabb esetbe: T Az algoritmusra jellemző a sok csere, az elem lassa kerül a helyére.
4. A Shell redezés (redezés fogyó övekméyel) A Shell redezés a buborékredezésél tapasztalt lassú helyrekerülést igyekszik felgyorsítai azáltal, hogy egymástól távol álló elemeket hasolít és cserél fel. A távolságot (itt övekméyek evezik) fokozatosa csökketi, míg az em lesz. Mide övekméy eseté beszúrásos redezést végez az adott övekméyek megfelelő távolságra álló elemekre. Mire a övekméy lesz, sok elem már majdem a helyére kerül. A övekméyek felépítése. Haszáljuk t számú övekméyt. Legyeek ezek A követelméy: h t, és hi hi, i, t. A szakirodalomba javasolt övekméyadatok: t log h t. h i h i, 3, 6, 8, 4,, h i 3hi, 40, 3, 4, h h 3, 5, 7, 3, i i 4. algoritmus Shell redezés //,5 T SHELL_RENDEZÉS( A ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 3 // Output paraméter: A - a redezett tömb 4 // 5 FOR s TO t DO 6 m h s 8 FOR j m + TO hossz[a] DO 9 i j - m 0 k kulcs[a j ] r A j WHILE i>0 és k < A j DO 3 A i+m A i 4 i i m 5 A i + m r 6 RETURN ( A ) Megjegyzés: A hossz[a] a redezedő elemek számát jelöli. Példa: Shell redezésre,5 Időigéy: alkalmas övekméy választással leszorítható T -re.
5. Az összefésülő redezés Az összefésülő redezés alapelve az összefésülés műveleté alapszik, amely két redezett tömbből egy új redezett tömböt állít elő. Az összefésülés folyamata: Midkét tömbek megvizsgáljuk az első elemét. A két elem közül a kisebbiket beírjuk az eredméytömb első szabad eleme helyére. A felszabaduló helyre újabb elemet veszük abból a tömbből, ahoa előzőleg a kisebbik elem jött. Ezt a tevékeységet folytatjuk midaddig, míg valamelyik kiiduló tömbük ki em ürül. Ezutá a még vizsgálat alatt lévő elemet, valamit a megmaradt másik tömb további elemeit sorba az eredméytömbhöz hozzáírjuk a végé. Az eredméytömb em lehet azoos egyik bemeeti tömbbel sem, vagyis az eljárás em helybe végzi az összefésülést. Legye ÖSSZEFÉSÜL ( A, p, q, r ) az az eljárás, amely összefésüli az A p.. q és az A q +.. r résztömböket, majd az eredméyt az eredeti A p.. r helyre másolja vissza. Az eljárás lieáris méretű további segédmemóriát igéyel. Az összefésülés időigéye, ha összese elemük va. (Egy meetbe elvégezhető és az kell is hozzá.) Defiíció: Az oszd meg és uralkodj elv Az oszd meg és uralkodj elv egy algoritmus tervezési stratégia A problémát olya kisebb méretű, azoos részproblémákra osztjuk föl, amelyek rekurzíva megoldhatók. Ezutá egyesítjük a megoldásokat. Az összefésülő redezés oszd meg és uralkodj típusú algoritmus, melyek az egyes fázisai: Felosztás: A tömböt két elemű részre osztjuk Uralkodás: Rekurzív összefésüléses módo midkettőt redezzük.(az elemű már redezett) Egyesítés: A két részsorozatot összefésüljük. 5. algoritmus Összefésülő redezés (Merge Sort) T // log ÖSSZEFÉSÜLŐ_RENDEZÉS ( A, p, r ) // Iput paraméter: A - a tömb, melyek egy részét redezei kell 3 // p - a redezedő rész kezdőidexe 4 // r - a redezedő rész végidexe 5 // Output paraméter: A - a redezett résszel redelkező tömb 6 // 7 IF p < r 8 THEN p r q 9 ÖSSZEFÉSÜLŐ_RENDEZÉS ( A, p, q ) 0 ÖSSZEFÉSÜLŐ_RENDEZÉS ( A, q +, r ) ÖSSZEFÉSÜL ( A, p, q, r ) RETURN (A) A teljes tömb redezését megoldó utasítás: ÖSSZEFÉSÜLŐ_RENDEZÉS(A,,hossz[A]).
Az összefésülő redezés időigéye Felosztás: Uralkodás: Egyesítés: T T, T, ha ha Az algoritmus időigéye megkapható a mester tétel. potja alapjá: T log. 5.. A Batcher-féle páros-páratla összefésülés Az eljárás csak az összefésülést teszi hatékoyabbá. Nem öálló redező módszer. Nagy előye, hogy párhuzamosíthatók a lépései. Legye két redezett sorozatuk, az elemű A sorozat és az m elemű B sorozat. A = {a,,a } B = {b,,b m } A két sorozat összefésülése adja a C = {c,,c +m } sorozatot. Az összefésülés módja a következő: Midkét kiiduló sorozatból kettőt képezük, a páratla idexű és a páros idexű elemek sorozatait: A = {a,a 3,a 5, } A = {a,a 4,a 6, } B = {b,b 3,b 5, } B = {b,b 4,b 6, } Összefésüljük az A,B sorozatokat, eredméye az U sorozat. Összefésüljük az A,B sorozatokat, eredméye a V sorozat. Összefésüljük az U és V sorozatokat, eredméy a C sorozat. Példa: Batcher összefésülésre Tétel: A Batcher-féle összefésülés tétele A Batcher összefésülés sorá mi u i v i és c maxu, v, c, i i i i m i Bizoyítás Fogadjuk el kiiduláskét igazak azt a feltevést, hogy C elejéből páros számú elemet véve azok között azoos számú U és V elem va. Ekkor c, c u,, u v, v c, c u,, u v,, v és, i i i Ebből viszot c, i i, i c i, c i u, v i c, ahoa i i miatt adódik a tétel állítása. A feltételezésük bizoyítása: c,, c a,, a b, b. k k, k s Legye s Ezek közül U-ba kerül elem az A-ból (az A páratla idexű elemei) és
s k elem a B-ből (a B páros idexű elemei), Valamit V-be kerül s elem az A-ból (az A páros idexű elemei) és s k elem a B-ből (a B páratla idexű elemei). Ie az U-beliek száma k s k s és a V-beliek száma k s k s
6. Gyorsredezés Felosztás: Az A p.. r tömböt két emüres A p... q és A q +... r részre osztjuk úgy, hogy A p... q mide eleme kisebb egyelő legye, mit A q +... r bármely eleme. (A megfelelő q meghatározadó.) Uralkodás: Az A p... q és A q +... r résztömböket rekurzív gyorsredezéssel redezzük. Egyesítés: Nics rá szükség, mivel a tömb már redezett. (A saját helyé redeztük.) 6. algoritmus Gyorsredezés (Quick Sort) T T //, átlagos: log GYORSRENDEZÉS( A,p,r ) // Iput paraméter: A a tömb, melyek egy részét redezei kell 3 // p - a redezedő rész kezdőidexe 4 // r - a redezedő rész végidexe 5 // Output paraméter: A - a redezett résszel redelkező tömb 6 // 7 IF p < r 8 THEN FELOSZT ( A, p, r, A p, q ) 9 GYORSRENDEZÉS ( A, p, q ) 0 GYORSRENDEZÉS ( A, q+, r ) RETURN (A) A gyorsredezés időigéye: A legrosszabb eset: a felosztás mide lépésbe, elemű T, T T T T T T k A legjobb eset:, a felosztás, ekkor T, T T, ha > Ez megegyezik az összefésülő módszer formulájával, tehát T log k Megjegyzés: ha a felosztás aráya álladó pl. T T 9 0 T 0 Bizoyítható, hogy ekkor is T log T log adódik.. 9,, akkor a rekurziós formula: 0 0. Eze túlmeőe az átlagos értékre is
Felosztjuk az elemű A tömböt (közel) 7. Négyzetes redezés számú részre (alcsoportra). Midegyikbe (közel) elemet helyezük el, majd midegyikből kiemeljük (eltávolítjuk) a legkisebbet. A kiemeltekből egy főcsoportot képzük. Kiválasztjuk a főcsoport legkisebb elemét és azt az eredméytömbbe írjuk, a főcsoportból pedig eltávolítjuk ( töröljük ). Helyére abból az alcsoportból ahoa ő származott újabb legkisebbiket emelük be a főcsoportba. Az eljárást folytatjuk, míg az elemek el em fogyak a főcsoportból.,5 Időigéy: összehasolításszám T. Továbbfejlesztett változat, amikor 3 számú elem va egy fő-főcsoportba és 3 számú főcsoport va, midegyikbe 3 számú elemmel, melyek midegyikéhez egy 3 elemszámú alcsoport tartozik. A redezés elve az előző algoritmuséhoz hasoló. 4 Időigéy: 3 3 T A Stirlig formula és az Alsó korlát összehasolító redezésre tétel Tétel: Bizoyítás A Stirlig formula Igaz az alábbi összefüggés az!-ra: e! e, =3,4,5, Az egyelőtleséget a logaritmusra látjuk be. A logaritmus függvéy kokáv és emiatt írható: l l l l! l l 3 l 4 l! l x dx l x dx x l x! l l l x l l 3 l l x dx x l! l x dx l x dx x l x x ( ) l ( ) ( ) l ( ) 4 l ()
Az összehasolító módszerek dötési fája a a? ige em a a 3? a a 3? ige em ige em,, 3 a a 3?,, 3 a a 3? ige em ige em, 3,, 3, 3,, 3,, Tétel: Bizoyítás Alsó korlát összehasolító redezésre Bármely elemet redező dötési fa magassága T log Egy h magasságú dötési fa leveleiek száma legfeljebb h. Mivel mide permutációt redezi kell tudia az algoritmusak, és összese! permutáció lehetséges, ezért a dötései fáak h legalább! levele kell legye. Tehát h log!. A! feáll. Logaritmálva: Stirlig formula szerit!. Behelyettesítve: e h log log log e. e h log Tehát:
Lieáris idejű redezők 8. A leszámláló redezés A lieáris idejű redezők em haszálják az összehasolítást. A leszámláló redezés ( = bisort, ládaredezés) bemeete és k közötti egész szám. Időigéy: T k. Ha k, akkor a redezési idő is T, ahol =hossz[a]. Az elemeket az A.. tömbbe helyezzük el. Szükség va további két tömbre: B.. az eredméyt tárolja majd, C..k segédtömb. A redezés léyege, hogy A mide elemére meghatározza a ála kisebb elemek számát. Ez alapjá tudja az elemet a kimeeti tömb megfelelő helyére tei. Stabil eljárás: az azoos értékűek sorredje megegyezik az eredetivel 8. algoritmus Leszámláló redezés // T LESZÁMLÁLÓ_RENDEZÉS ( A, k, B ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 3 // k kulcs felső korlát, pozitív egész 4 // Output paraméter: B - a redezett tömb 5 // 6 FOR i TO k DO 7 C i 0 8 FOR j TO hossz[a] DO 9 INC ( C ) A j 0 // C i azt mutatja, hogy háy i értékű számuk va FOR i TO k DO C i Ci Ci 3 // C i most azt mutatja, hogy háy i-től em agyobb számuk va 4 FOR j hossz[a] DOWNTO DO 5 B C Aj A j 6 DEC ( C ) 7 RETURN (B) A j
9. A számjegyes redezés (radix redezés) Azoos hosszúságú szavak, strigek redezésére haszálhatjuk. (Dátumok, számjegyekből álló számok, kártyák, stb.) Legye d a szó hossza, k pedig az egy karaktere, mezőbe előforduló lehetséges jegyek, jelek száma, pedig az adatok száma. Időigéy: T d k 9. algoritmus Számjegyes redezés // T d k SZÁMJEGYES_RENDEZÉS ( A ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb 4 // Output paraméter: A - a redezett tömb 4 // 5 FOR i d DOWNTO DO 6 Stabil módszerrel redezzük az A tömböt az i. számjegyre 7 RETURN (A) 0. Edéyredezés Feltételezzük, hogy a bemeet a [0, ) itervallumo egyeletes eloszlású számok sorozata. Felosztjuk a [0, ) itervallumot egyelő részre (edéyek). A bemeetet szétosztjuk az edéyek között, mide edéybe egy listát kezelve. Az azoos edéybe esőket beszúrásos módo redezzük. A végé a listákat egybefűzzük az elsővel kezdve. Várható időigéy: T 0. algoritmus Edéyredezés // T EDÉNYRENDEZÉS ( A, L ) // Iput paraméter: A - a redezedő tömb, elemű 3 // Output paraméter: L - a redezett elemek listája 4 // Meet közbe szükség va egy elemű B tömbre, mely listafejeket tárol. Idexelése 0-val idul. 5 hossz[a] 6 FOR i TO DO 7 Beszúrjuk az A i elemet a B A i listába 8 FOR i 0 TO - DO 9 Redezzük a B i listát beszúrásos redezéssel 0 Sorba összefűzzük a B 0, B,, B - listákat. képezve az L listát RETURN (L)
. Külső tárak redezése Külső tárak redezéséél az elérési és a mozgatási idő szerepe drasztikusa megő. Az összefésüléses módszerek jöek elsősorba számításba. Defiíció: A k hosszúságú futam file-ba Egy file k szomszédos rekordjából álló részét k hosszúságú futamak evezzük, ha bee a rekordkulcsok redezettek (pl.: övekedő sorredűek). Először alkalmas k-val (k= midig megfelel) a redezedő file-t két másik file-ba átmásoljuk úgy, hogy ott k hosszúságú futamok jöjjeek létre. Ezutá a két file-t összefésüljük egy-egy elemet véve midkét file-ból. Az eredméyfile-ba már k lesz a futamhossz.(esetleg a legutolsó rövidebb lehet). Ezt ismételgetjük a teljes redezettségig midig duplázva k értékét. Legye a rekordok száma. Egy meetbe rekordmozgás va a szétdobásál és az összefésülésél. A meetek száma legfeljebb log. Az időigéy: T log. Külső tárak redezéséek gyorsítása Az log em javítható az összehasolítások miatt. A szorzó kostasokat lehet csökketei. Változó futamhosszak: a file-ba meglévő természetes módo kialakult futamhosszakat vesszük figyelembe. A futamhatárok figyeléséek admiisztrálása bejö, mit további költség. Több részfile haszálata eseté a szétdobás em két, haem több részre törtéik. Külö admiisztráció összefésülésél a kiürült file-ok figyelése. Polifázisú összefésülés alkalmazásakor em folytatjuk végig mide meetbe az összefésüléseket, haem a célfile szerepét midig a kiürült file veszi át és ide kezdjük összefésüli a többit Egy eset polifázisú összefésülésre, amikor kíosa lassú a módszer. A tábla belsejébe a fileok futamszáma szerepel, zárójelbe a futamok mérete. Kezdetbe az első file rekordból áll és egy a futamhossz, a második file 5 rekordból áll és szité egy a futamhossz. meet és futamszám File 3 4 5 6 () 0 (3) 0 (5) 0 5() 4() 3() () () 0 3 0 () 0 (4) 0 (6)