Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4. Kísérlet és eseméy 4 3.4.. Eseméyalgebra 4 3.5. A valószíűség fogalma 5 3.5.. Kolmogorov axiómá és övetezméyei 5 3.5.. Klasszius valószíűségi modell 6 3.5.3. Feltételes valószíűség 6 3.5.4. Nagyszámo gyege törvéye 7 3.5.5. Függetleség 7 3.5.6. Teljes valószíűség tétele 7 3.5.7. Bayes tétel 8 3.6. Valószíűségi változó jellemzése 9 3.6.. Diszrét valószíűségi változó 9 3.6.. Folytoos valószíűségi változó 9 3.6.3. Valószíűségi változó várható értée 0 3.6.4. Valószíűségi változó szórása 0 3.6.5. Nevezetes diszrét eloszláso 0 3.7. Nevezetes folytoos eloszláso 3.7.. Egyeletes eloszlás 3.7.. Expoeciális eloszlás 3.7.3. Normális eloszlás 3 3.8. Cetrális határeloszlás tétele 5 3.9. Szabadságfo fogalma 5 3.. Bevezetés A valószíűségszámítás a matematiáa egy öállóa fejlődő ága és erre a fogalomredszerre épül a matematiai statisztia (biometria) is. A moder valószíűségszámítás idolgozása Kolmogorov orosz matematius evéhez fűződi, ai ebbe 930-ba fetette le a valószíűségszámítás alapjait. A valószíűségszámítás csa egy eszöz a dötéseihez. Egy olya eszöz, mely számszerűsíti egy eseméy beövetezésée az esélyét, és eze érté alapjá dötei lehet az eseméyre beövetezésére vagy be em övetezésére voatozóa. A valószíűségszámítás a övetező fogalmara épül. 3.. Kombiatoria A ombiatória (apcsolásta) az eleme csoportosításával foglalozi. Elsődleges feladata az eleme csoportjaia előállítása, valamit a csoporto számáa meghatározása. Az eleme egy elredezését omplexióa evezzü. Az eleme elredezésée három legfotosabb fogalma a permutáció, a variáció és a ombiáció témaöréhez tartozi. 3... Permutáció Ha az elredezedő ( db) eleme mid ülöböző, aor ismétlés élüli, ha az eleme özött Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba azoosa is vaa, aor ismétléses permutációról beszélhetü. Megegyezés szerit az azoos eleme felcserélését em teitjü ülöböző sorrede. Az ismétlés élüli permutáció száma: P = 3... =! vagy rövide P =! Jelölésbe! (ejtsd: fatoriális), ami az elem fatoriális értéét jelöli. Megállapodás szerit 0! =. Ismétléses permutáció száma: p,, 3,..., =!!,!, 3!,...,! ahol,, 3,, az egymás özt megegyező eleme számát jelöli. Példá. Háy hatjegyű szám állítható elő a 0,, 4, 5, 6, 8 számjegyeből? : P 6 - P 5 = 6! - 5! = 70-0= 600. Háy hatjegyű számot épezhetü az,, 3, 3, 3, 6 számoból? : A számo ismétléses permutáció adja a megoldást,3 6! P = = 60 6!*3! 3... Variáció Ha számú ülöböző elemből iválasztu ( ) számú elemet úgy, hogy figyelembe vesszü eze sorredjét is, aor elem ad osztályú variációjáról beszélü. Az összes variáció számát a! V = = ( ) ( ) ( 3)... ( + ) ( )! ifejezés adja. Ha az elemből úgy választu elemet tartalmazó csoportoat, hogy a csoportba egy elem többször is szerepelhet és az eleme sorredje is fotos, aor az elem ad osztályú ismétléses variációját határozzu meg: V i, = A felső idexbe az i betű jelöli az ismétléses variációt. Példá. Négy sebész ettesével, felváltva haszálja a műtőt úgy, hogy az egyiü a vezető sebész legye. Adju meg a lehetséges beosztást. Legye A, B, C, D a égy sebész. A vezető midig az első helyre erül, amire 4 lehetőség adódi. A beosztott sebészt a maradó 3 fő özül választhatju i. Így a lehetősége száma 4*3 = A páro tehát: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. A METRO aluljárójába 4 ablaál lehet bérletet, jegyet vei. Az egyszerre odaérező 8 fő, háyféle módo ereshet ablaot magáa? Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Ugyaaál az ablaál való elhelyezedés is megegedett, tehát 4 elemből (ablaból) ell 8-as csoportoat épezi a sorred beszámításával. A csoporto számát az ismétléses variáció adja: 3..3. Kombiáció V 8 4, i = 4 8 = 65536 Ha az számú ülöböző elemből úgy választu i ( ) számút mide lehetséges módo, hogy a iválasztás sorá a csoportoo belül az eleme sorredje em fotos, aor elem ad osztályú ombiációjáról beszélü. Az összes lehetséges iválasztás száma: C! ( ) ( ) ( 3)... ( + ) = = =!( )! ( )... Az jelölést úgy olvassu, hogy alatt a. Ha a elem özött egy elem többször is előfordulhat, aor elem ad osztályú ismétléses ombiációjáról beszélü. Az összes iválasztási lehetősége száma: C i, + = Példá 3. Az egyetemi meza ét ételiadó ablaához 6 hallgató érezi. Háyféle módo választhatjá i magu özül az első ét hallgatót? A iválasztásál a sorred em fotos. A csoporto számát a 6 fő -od osztályú ombiációja adja 6 6! C6 = = = 5!*(6 )! 4. Egy öttagú családál a telefo 4-szer szólalt meg TV ézés özbe. Egy személy 3-szor is odamehetett a észüléhez. A sorredet em figyelve, háyféle módo vehetté fel a agylót? A csoporto száma 5 elem (fő) 3-ad osztályú ismétléses ombiációja 5 6 3, + 6 *5* 4 C i 5 = = = = 0 3 3 3* * 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai Az olya ifejezéseet amelye ét tagból álla biomiális ifejezésee evezzü, pl. (a+b) vagy (a b). Vegyü az (a + b) biom hatváyait sorba egésze a 3. hatváyig ( = 0,,,3): (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Ha az egyes tago együtthatóit egymás alá írju, aor az ú. Pascal háromszöget apju, ahol a ülső szára meté csa es áll. A háromszög belsejébe álló bármely szám a özvetle felette lévő és attól balra álló ét szám összege: 3 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 4 Vezessü be az 0 =, = jelöléseet és írju fel a Newto féle biomiális tételt: ( a b) a a b a b... ab b + = + + + + + = 0 = 0 a b ahol az együtthatóat biomiális együtthatóa evezzü. A tételt a ifejtett biomiális együtthatóal is felírhatju: ( ) ( a b) a a b + = + + a b +... + x!! A tétele egy övetezméye az alábbi ifejezés: (+x) +x (x özel va a 0 hoz) 3.4. Kísérlet és eseméy Kísérlete lehet teitei egyrészt mide olya tevéeységet, amit valamilye cél érdeébe hajtu végre. A ísérlet egyes lehetséges imeeteleit elemi eseméyee evezzü. Az eseméyeet az ABC yomtatott agybetűivel jelöljü. Két eseméyt azoosa teitü, ha egy ísérlet mide lehetséges imeetelét figyelembe véve vagy midettő beövetezi, vagy egyi sem. Ha ét eseméy A és B olya apcsolatba va egymással, hogy A csa aor övetezhet be, ha B is beövetezi, aor azt modju, az A eseméy maga utá voja a B eseméyt. Az ilye eseméyeet a övetező módo jelöljü: A B Egy ísérlet összes elemi eseméyeie a halmaza az eseméytér (Ω). Az elemi eseméyeel apcsolatos három további fogalom: a) lehetetle eseméy (Ο): sohasem övetezhet be a ísérlet folyamá, b) biztos eseméy (Ι): midig beövetezi, c) elletett (omplemeter) eseméy ( A ) csa aor övetezhet be, ha az A eseméy em övetezi be. 3.4.. Eseméyalgebra 3.4... Összeadás Az A és B eseméye összege az a C eseméy, amely aor övetezi be, ha az A és B eseméye özül legalább az egyi beövetezi: A + B = C 3.4... Kivoás Az A és B eseméye ülöbsége az a A B eseméy, amely aor övetezi be, amior az A eseméy teljesül, de a B eseméy em: A B = F = A B 4 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 5 3.4..3. Szorzás A G és H eseméye szorzatá azt az eseméyt (jelölésbe AG) értjü, amely csa aor övetezi be, ha a G és H eseméy is beövetezi: K = GH Ha a B és C eseméyre igaz, hogy szorzatu a lehetetle eseméyt adja aor a ét eseméy izárja egymást: BC = Ο Egy A eseméyre voatozóa az alábbi művelete végezhető el: Összeadás Szorzás Komplemeter művelet A + A = A A Ο = Ο I c = Ο A + A c = I A + I = I A A = A Ο c = I A A c = Ο A + Ο = A A I = A (A c ) c = A Az eseméyeel végezhető műveleteet összefoglalóa Boole algebráa hívjá. A gyaorlatba főleg a logiai áramöröbe fotosa az ú. de Morga azoosságo ( az eseméye fölött a voás a omplemeter jele): A + B = A B és A B = A + B Eze a ifejezése több tagra is érvéyese és iterjeszthető. 3.4..4. Összetett eseméy Egy A eseméy összetett vagy felbotható eseméy, ha legalább ét, tőle ülöböző eseméy összegeét egyértelműe előállítható. K = G + H K G és K H Egy elemi eseméy em állítható elő ilye alaba. 3.4..5. Teljes eseméyredszer Az A, A, A 3,..., A eseméye teljes eseméyredszert épeze ha igaza ráju az alábbi feltétele: a) A + A + A 3 +... + A = I b) A i A j = O ha i j (i =,, 3,..., és j =,, 3,..., ) 3.5. A valószíűség fogalma A mideapi életbe ige gyara haszálju ezt a fogalmat, amior egy eseméy beövetezési esélyét próbálju számszerűe meghatározi. A lehetetle eseméy valószíűsége 0, a biztos eseméy valószíűsége, és a ét szélső érté özött a valószíűségi sála egyéb értéei szerepele. Miél agyobb egy eseméy beövetezésée az esélye, valószíűsége aál iább özelíti az értéet. A valószíűségi értéeet p vel jelöljü. A valószíűség mási ismert megadási módja a százaléos forma, amior pl. p = 0.5 helyett 50 % os esélyt modu egy eseméy beövetezésére. Ha magát az A eseméyt is jelöljü a valószíűségével együtt, aor a A) jelölést haszálju. 3.5.. Kolmogorov axiómá és övetezméyei Egy eseméy valószíűségére az alábbia érvéyese: ) 0 A) 5 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 6 Egy eseméy valószíűsége csa 0 és özötti szám lehet. ) 0) = 0 A lehetetle eseméy valószíűsége 0. 3) I) = A biztos eseméy valószíűsége. 4) Ha az A és B egymást izáró eseméye (vagyis AB = 0) aor az A és B eseméyere igaz: A+B) = A) + B) Az axiómá övetezméyei: a.) Ha az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, aor a valószíűségeire teljesül, hogy: A) B) b) Az A eseméyre és elletétjére az A ra igaz, hogy: A)+ A ) = c) Két eseméy függetle egymástól, ha szorzatura igaz, hogy A B) = A) B) d) Ha az A,A,A 3,...,A eseméye pároét izárjá egymást, aor igaz az alábbi felbotás: A + A + A 3 +... + A ) = A )+ A )+ A 3 )+...+A ) Ee az additivitása egy fotos esete az, ha a A + A + A 3 +... + A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor: A )+ A )+ A 3 )+...+A ) = 3.5.. Klasszius valószíűségi modell A valószíűséget az egyes eseméye relatív gyaorisága alapjá határoztu meg, amit úgy számítu, hogy: PA ( ) = vagy A) = edvező esete száma összes eset száma Példa. Egy dobozba 5 piros, 3 fehér, é tabletta va. Mi a valószíűsége a é tabletta húzásáa? Az összes lehetősége száma = 0. A edvező lehetősége száma = A) = = = = 0. 0 0 5 3.5.3. Feltételes valószíűség Legye A és B ét eseméy és B) 0. Az A eseméye a B eseméy melletti feltételes valószíűsége az A eseméy beövetezésée a valószíűségét jeleti, ha a B eseméy mit 6 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 7 feltétele az A eseméye beövetezett: A B) = PAB ( ) PB ( ) Követezméy: AB) = A B) B) Ezt az egyelőséget felhaszálva, az A,A,A 3,...,A eseméye szorzatára apju, hogy: A A A 3... A ) = A A A A 3...A ) A A A A 3...A )... A A ) A ) Példa Meyi aa a valószíűsége, hogy egy étgyermees családba midét gyerme fiú, ha a) az idősebb gyerme fiú b) legalább az egyiü fiú (A fiú és leáy születésée valószíűsége azoos.) Legye A az az eseméy, hogy az idősebb gyerme fiú, B a fiatalabb gyerme fiú. Eor a eresett feltételes valószíűsége ABA) AB) a) AB A) = = = A) A) ABA + ABB) AB) b) AB A+B)= = = A + B) A + B) 4 3.5.4. Nagyszámo gyege törvéye A ísérlet sorá az A eseméy beövetezési valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy ( A ) valószíűsége: A )= p= q Legye ε>0 tetszőleges valós szám, eor a agy számo gyege törvéye szerit: P N p p q ε ε N A törvéyt Beroulli féle törvéye is evezi. A törvéy azt fejezi i, hogy a ísérletszám (N) övelésével egyre isebb lesz aa valószíűsége, hogy valamely eseméy relatív gyaorisága és valószíűsége özött agy a ülöbség. 3.5.5. Függetleség AB)=A)B) 3.5.6. Teljes valószíűség tétele Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0,aor tetszőleges A eseméy valószíűségére igaz az alábbi ifejezés: A) = A B ) B i= i i ) 7 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 8 vagyis az A eseméy valószíűsége a B i eseméye feltétele mellett meghatározható. Példa Az aatómia vizsgá az A csoport hallgatóia 60% -a, a B csoport hallgatóia 80%-a sierrel szerepel. Az A csoport az évfolyam 5%-át teszi i. Mi a valószíűsége aa, hogy egy véletleül iválasztott hallgató sierese vizsgázi? Eseméye: a) Legye A a vizsgált eseméy. b) Legye C az az eseméy, hogy a iválasztott egyé A csoport beli. Ee iválasztására az esély 5 C ) = = 0.5% 00 c) Legye C az az eseméy, hogy a B csoportból választottu. Erre az esély 85 C ) = = 0.85% 00 A sieres vizsgázás valószíűsége csoportoét A csoport: A C ) = 60 = 0. 6 % 00 B csoport: A C ) = 80 = 0. 8 % 00 A teljes valószíűség tétele szerit A) = A C )C ) + A C )C ) = = 0.6*0.5 + 0.8*0.85 = 0.77 3.5.7. Bayes tétel Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0 és egy tetszőleges A eseméyre A) 0,aor a B i eseméyere igaz az alábbi ifejezés: B A) = i = 0 A B ) B ) i A B ) B ) i Tehát a B i eseméye valószíűsége az A eseméy beövetezése eseté mit feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. A ifejezésbe a B i ) valószíűséget priori valószíűségee evezzü. A Bayes tétel fotos alalmazási területe a szaértői redszere világa. Pl. egy diagosztius folyamat leírása eze az úto valósulhat meg. Példa Atomrobbaás öryezetébe három zóát ülöböztete meg. Ezebe a túlélő laossága 5, 40, 45 százaléa lai. Az első zóába mide túlélő sugársérülést szeved, a másodi illetve a harmadi zóába 60 illetve 5 százalé ez az aráy. Mi a valószíűsége aa, hogy véletleszerűe iválasztva egy sugársérülést szevedett egyét, az az első zóából való? Eseméye A : első zóából való A : másodi zóából való A 3 : harmadi zóából való B : az illető sugársérült Bayes tétele szerit 8 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 9 A B) = B A) A) 3 B A ) i= 3.6. Valószíűségi változó jellemzése i Ai ) = 0.99 0.3 A biometriai vizsgálato sorá megfigyelt vagy mért értée véletletől függő meyisége, amelyehez számértéeet redelü. Ezeet a véletle által befolyásolt értéeet özös éve valószíűségi változóa (radom variable) evezzü. A változó év oa származi, hogy az értée megfigyelési egyedeét más és más értéet vehet fel, vagyis az érté egyedeét változi. Ezeet az értéeet bizoyos valószíűsége mellett veszi fel a változó, ezért haszálhatju a valószíűségi változó elevezést. A valószíűségi változóa ét formáját ismerjü: diszrét és folytoos valószíűségi változóat. 3.6.. Diszrét valószíűségi változó Ha a ξ valószíűségi változó értéészlete véges vagy megszámlálhatóa végtele x számsorozat, aor magát a ξ t diszrét valószíűségi változóa evezzü. Ha az A Ω olya részhalmaz, amelye elemi eseméyeihez a ξ hozzáredeli az x számsorozat értéeit, aor az egyes eseméye valószíűségeit (p ) a: p = A ) = ξ = x ) formulával lehet megadi. Az így meghatározott valószíűségeet a ξ változó eloszlásáa evezzü. A éplet azt fejezi i, hogy a ξ valószíűségi változó az egyes x értéeet milye valószíűséggel veszi fel. Egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét (distributio fuctio) F(x) jelöljü és aa valószíűségét adja meg, hogy a ξ milye valószíűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéél isebb értéet. Jelölésbe: F(x) = ξ < x) Megjegyzedő, hogy a diszrét valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéye lépcsős alaú függvéy. Az F(x) eloszlásfüggvéy tulajdoságai az ábráról is leolvasható: balról folytoos, mooto öveedő, értée 0 és l özötti. 3.6.. Folytoos valószíűségi változó A valószíűségi változó azo csoportját, amelye értéészlete véges vagy em megszámlálhatóa végtele, folytoos valószíűségi változóa evezzü. Az ilye típusú változó eloszlásfüggvéyée meghatározása éppe a végtele értéészlete miatt ehezebb mit diszrét változó esetébe. Az egyes tartomáyo (szaaszo) valószíűségée megadása ugyais özvetleül em lehetséges. Ezért erült bevezetésre a sűrűségfüggvéy (f(x)) haszálata, amelye révé mide szaasz valószíűsége megadható a szaaszhoz tartozó függvéygörbe alatti terület (itegráljáa) agyságával. Az is modható, hogy az eloszlásfüggvéy (F(x)) a sűrűségfüggvéy f(x) itegrálja. Folytoos valószíűségi változó esetébe midig létezi a ξ valószíűségi változóa sűrűségfüggvéye. A sűrűségfüggvéy tulajdosága, hogy értée 0 (hisze a valószíűség em lehet egatív értéű), a függvéy görbe alatti területe = l (a valószíűség max. értée csa lehet). 9 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 0 Némely esetbe a sűrűségfüggvéy meghatározása em egyszerű, mert ha ismerjü is, em öyű elvégezi a függvéy itegrálását. Ezért a biometriába leggyarabba haszált folytoos függvéyere mit pl.χ eloszlás, ormális eloszlás, F eloszlás, t eloszlás, stb. eloszlástáblázatoat észítette éppe a gyaorlati mua megöyítése miatt. Ezeből a táblázatoból a ívát valószíűségeet egyszerű módo i lehet olvasi. 3.6.3. Valószíűségi változó várható értée Ha egy ísérletet soszor megismétlü és midegyi ísérletet egymástól függetleül hajtju végre, aor a valószíűségi változóa az egyes ísérlete sorá felvett értéei egy jól meghatározott érté örül igadoza. Ezt az értéet várható értée evezzü. Diszrét valószíűségi változó eseté a várható érté véges eseté: M( ξ) = Folytoos eloszlású valószíűségi változó eseté az f(x) függvéy től + ig itegrálja adja a várható értéet. Ee meghatározása az esete többségébe em öyű feladat. 3.6.4. Valószíűségi változó szórása = p x Egy valószíűségi változó értéeie a várható értée örüli elhelyezedését, szóródását evezzü a változó szórásáa. Jelölve D(ξ). Ee égyzete a variacia ami a ξ változó és várható értée ülöbségée a égyzete, illetve ee várható értée: Var(ξ) = D (ξ) = M[(ξ M(ξ)) ] = M(ξ) [M(ξ) ] A szórás yilvá csa aor va értelmezve, ha a várható érté is létezi. Diszrét valószíűségi változó eseté a szóráségyzet (variacia): Var(ξ) = D (ξ) = = p x p = x Folytoos valószíűségi változó eseté a Var(ξ) étszeri itegrálással határozható meg. 3.6.5. Nevezetes diszrét eloszláso 3.6.5.. Biomiális eloszlás Végezzü el egy ísérletet szer egymástól függetleül. A ísérlet sorá egy A eseméy beövetezésée valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy valószíűsége pedig PA ( ) = q = p. A p ről feltesszü, hogy ostas a ísérlet folyamá. A ξ valószíűségi változó az A eseméy beövetezéseie a számát jeleti. Eor aa valószíűsége, hogy a ísérlet sorá az A eseméy szor övetezi be a övetező alaba adható meg: p = ξ = ) = p q ( = 0,,,..., ) A ξ valószíűségi változó eloszlását biomiális eloszlása evezzü, amelye várható értée: M(ξ) = p és szórása: D(ξ) = p q 0 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba formába határozható meg. Példa. Egy bizoyos betegség a hagyomáyos terápiával az esete egyegyed részébe gyógyítható. Új ezelést aara bevezeti, melyet előzőleg 0 betege ipróbála. Ha legalább hete meggyógyula, aor az új ezelést bevezeti. Ha legfeljebb hárma gyógyula meg, aor az új eljárást elveti. Ha 4, 5, vagy 6 beteg gyógyul meg, aor az eljárást tovább vizsgáljá. A ezelés hatása a régi terápiás eljárással azoos. Határozzu meg a három esethez tartozó valószíűségeet. Jelöljü a vizsgált eseméyeet A, B, C betűel. Az eseméye biomiális eloszlást övete, így 0 A)= 0 0.5 0.75 0 = 0. 0035 = 7 3 B)= 0 0.5 0.75 0 = 0. 7759 = 0 C)=-(A)+B)=-(0.0035 + 0.7759) = 0.06 3.6.5.. Poisso eloszlás A p = ξ = ) = λ! e λ ( = 0,,,...) eloszlást a ξ valószíűségi változó Poisso eloszlásáa evezzü, ahol λ>0 egy tetszőleges valós szám. Poisso eloszlást övete pl. a alácsba egy adott területre eső mazsolá száma, a lehulló hópelyhe száma egy adott tartomáyo, batériumo, sejte száma.egy adott téfogatba, balesete száma egy időitervallumba, stb. A Poisso eloszlás és a biomiális eloszlás özött szoros a apcsolat. Ha a biomiális eloszlásba agy és a vizsgált eseméy valószíűsége a p értée 0 hoz özeli érté (az p szorzat értée < 5), ilyeor a λ = p választással a biomiális eloszlás jól özelíthető a Poisso eloszlással: pq λ! e λ A Poisso eloszlás várható értée: M(ξ) = λ szórása: D(ξ) = λ Példa Egy vizsgálat imutatta, hogy egy adott tóba a batériumo batérium/cm 3 sűrűséggel fordula elő, és Poisso-típusú eloszlást övete. Mi a valószíűsége, hogy egy cm 3 agyságú mita a) batériummetes b) legalább ét batériumot tartalmaz? Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba A mitába 4 batérium va, így λ=4 paraméterű Poisso-eloszlással va dolgu. a) =0)=e -4 =0.083 b) -(=0)+=))=-5e -4 =0.9080 3.7. Nevezetes folytoos eloszláso 3.7.. Egyeletes eloszlás Az egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye és grafioja: Eloszlásfüggvéye: f(x) = 0 ha x a ha a < x b b a 0 ha x > b F(x) = ξ<x) = 0 ha x a x a ha a < x b b a ha x >b A várható érté és szórás: M(ξ) = a+ b és D(ξ) = b a 3.7.. Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye: 0 ha x 0 f(x) = x λe λ ha x> 0 ahol x>0 tetszőleges pozitív szám. Az expoeciális eloszlásfüggvéy alaja F(x) = ξ<x) = 0 ha x 0 λ e x ha x> 0 A várható érté és szórás: M(ξ) = λ és D(ξ) = λ Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Expoeciális eloszlást övete pl. a radioatív bomlási folyamato, az alatrésze élettartamai stb. Az expoeciális eloszlás általáosított alaja a Weibull eloszlás, amelye sűrűségfüggvéye (c > 0 és α > 0 álladó): Eloszlásfüggvéye: f(x) = c α x 0 α α c x e ha ha x 0 x > 0 F(x) = e 0 α c x ha ha x 0 x < 0 A Weibull eloszlás egyi sajátságos felhaszálási területe a gyógyszerietiai vizsgálato. 3.7.3. Normális eloszlás A statisztiai vizsgálato szempotjából az egyi legfotosabb eloszlás a ormális eloszlás. Közpoti helyet foglal el a vizsgálato özött mivel számos statisztiai eljárás eze az eloszlástípuso alapszi. Maga az elevezés is arra utal, hogy a mért adataitól az várju, hogy ilye módo viseledjee, mert az a természetes, a ormális viseledése az adatoa. Az eloszlás többféle elevezéssel is haszálatos: Gauss eloszlás, harag görbe elevezése szioimái a ormális jelzőe. Egy tetszőleges ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéyére igaz az alábbi ifejezés: f(x) = σ (x µ) σ e π A ifejezésbe a µ és σ az eloszlás ét paramétere, ahol µ tetszőleges valós szám, a σ tetszőleges pozitív szám. Ez a ét paraméter határozza meg, hogy a végtele so eloszlást tartalmazó ú. ormális eloszláscsaláda éppe melyi tagját vizsgálju. Az ilye típusú eloszláso szimmetrius, egycsúcsú eloszláso, amelye szárai a és + hez tartoza. A függvéye az X tegelyt csa aszimptótiusa özelíti, de azt soha em ériti. A görbe maximum helye az X tegelye a µ értéél va. A σ paraméter a görbe szélességét, vagyis az adato elhelyezedését határozza meg. Az eloszlás várható értée és szórása: M(ξ) = µ és D(ξ) = σ A harag görbe csúcsa az eloszlás várható értééél a µ értéél található. Bármely ormális eloszlásra igaz, hogy az adato 68 % a a várható értétől a µ σ és µ+σ távolságo belül helyezede el, vagyis az adato a várható érté örül tömörüle. További jellegzetessége az eloszlása, hogy az adato 95 % a a µ σ és µ+σ értée özt va és az adato 5 % a helyezedi el eze távolságoo ívül. Ez a rész az ú. faro rész (tail) a szigifiacia vizsgálatoba ap ige fotos szerepet. Ebbe a részbe csa is valószíűséggel ese adato, s ezt a tulajdoságot haszálju fel dötéseihez. Mivel a ormális eloszláso átszámolható az egyiből a másiba, mide eloszlás azoos alara hozható az ú. stadardizálási eljárással. Az így apott ormális eloszlást stadard ormális 3 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 4 eloszlása evezzü, és igaz rá, hogy az eloszlás várható értée a µ= 0, szórása σ =. A stadardizálási formula, amellyel bármelyi ξ ormális eloszlású változót egy új z változóba stadardizálhatju: x u z i = i σ A ifejezés azt jeleti, hogy mide mért x i értéből levoju az eredeti ormális eloszlás várható értéét és a ülöbséget osztju a szórással. Az így apott z i értée eloszlása stadard ormális eloszlású lesz. Az eljárás eredméyeéppe az eloszlás szimmetria tegelye az Y tegely lesz és a szóráso egységyi távolságba helyezede el az origó örül. A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye: ϕ(x) = π e X A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyére a ϕ(x), az eloszlás függvéyére a φ(x) jelöléseet haszálju. A függvéy tulajdoságai az alábbia szerit foglalható össze: a) szimmetrius függvéy az y tegelyre (az y tegely a szimmetria tegelye) ϕ(x) = ϕ( x) és φ( x) = φ(x) b) a függvéy legmagasabb potjáa oordiátái: (0, 04 π. ) értée c) a függvéy görbe alatti területe =, ami azt jeleti, hogy egy stadard ormál eloszlású valószíűségi változó értéei valószíűséggel a (, + ) tartomáyból származa f) az a) és e) poto értelmébe az y tegelytől jobbra és balra első területe agysága: g) egy tetszőleges (µ,σ) paraméterű ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűség és eloszlásfüggvéye ifejezhető a stadard ormális eloszlás hasoló függvéyeivel: sűrűségfüggvéy: f(x) = σ ϕ x µ σ eloszlásfüggvéy: F(x) = φ x µ σ h) a biomiális eloszlás tagjait jó megözelítéssel meghatározhatju a stadard ormális eloszlás segítségével, ha az agy és a p, q értée icsee szorosa a 0 özelébe, aor: p q ϕ p q p q p a özelítés aor jó, ha az p>5 és q>5 egyelőtleség teljesül. Hasoló apcsolat va a Poisso eloszlás és stadard ormális eloszlás özött is, ha a λ elég agy, aor a Poisso eloszlás jól özelíthető a stadard ormális eloszlással: 4 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 5 λ! e λ λ ϕ x λ λ Példa. Tegyü fel, hogy a sorozáso megjeleő férfia örébe a systoles véryomásérté várható értée 30 Hgmm és a szórása Hgmm. Várhatóa a férfiaa háy % a esi a 40 50 Hgmm tartomáyba, ha a véryomás értée eloszlása ormális eloszlást övet?. A feladat értelmébe a µ = 30 és a σ =. Traszformálju át az értéeet z eloszlásba, hogy a stadard ormális eloszlás táblázatát tudju haszáli. z = x µ = σ 40 30 0 = = 083. z = x µ = σ 50 30 0 = = 67. A eresett aráyt a z és z értée özötti terület agysága adja meg: A terület megállapításához haszálju az I. táblázatot: T = z.67 z 0.83 = 0.4554 0.88 = 0.673 vagyis 40 x 50) = 0.673 Tehát várhatóa a férfiaa 6.7 % a esi az eyhe hipertóiás ategóriába. 3.8. Cetrális határeloszlás tétele A statisztiába oly fotos ormális eloszlást a valószíűség számítás egyi alapvető tétele a özpoti (cetrális) határeloszlás tétele biztosítja. A tétel szerit szabad megfogalmazásba egymástól függetle so apró hatás együttes eredméyeét eletezett értée eloszlása ormális eloszlást övet függetleül az összetevő eloszlásától. Külööse fotos a tétel alalmazhatósága az élettai folyamato eseté, hisze itt egy egy jeleség számos függetle hatás eredőjeét alaul i. 3.9. Szabadságfo fogalma A szabadságfo fogalmát Sir R.A. Fisher vezette be. Egy statisztia szabadságfoát amelyet df el (degrees of freedom) jelölü a továbbiaba, úgy defiiálju, hogy az N mitaszámból levoju az adott statisztia iszámításhoz szüséges, az adatoból már meghatározott paramétere számát. df = N A példa edvéért az alább bemutatott statisztiá a ésőbbi fejezetebe részletese tárgyalásra erüle. Példa. Az számú mita adatból számított számtai átlag szabadságfoa, mivel az átlag iszámításához csa a mita adatoat haszálju fel, a épletbe ics olya paraméter, amit az adatoból számolá i: 5 Dr. Diya Ele
Biometria az orvosi gyaorlatba 6 x i = = x i = x + x + x 3 +... + x A számlálóba csa a mita adatai, a evezőbe a mita száma szerepel. 6 Dr. Diya Ele