Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Műszaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda 09. március. Európai Szociális Alap
i Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi és Informatikai Kar, Bolyai Intézet Lektorálta: Szabó Tamás Grafikai szerkesztő: Tekeli Tamás Jelen tananyag a Szegedi Tudományegyetemen készült az Európai Unió támogatásával. Projekt azonosító: EFOP-.4.-6-06-0004, A Szegedi Tudományegyetem oktatási és szolgáltatási teljesítményének innovatív fejlesztése a munkaerő-piaci és a nemzetközi verseny kihívásaira való felkészülés jegyében.
Tartalomjegyzék Tárgyleírás. Komplex számok, komplex sorozatok 6 Házi feladatok........................................ 6 Videók............................................ 4 Kvízek............................................ 8. Komplex sorok, görbék Házi feladatok........................................ Videók............................................ 0 Kvízek............................................ 4. Komplex függvények 8 Házi feladatok........................................ 8 Videók............................................ 49 Kvízek............................................ 5 4. Lineáris törtfüggvények 55 Házi feladatok........................................ 55 Videók............................................ 6 Kvízek............................................ 64 5. Derivált 68 Házi feladatok........................................ 68 Videók............................................ 7 Kvízek............................................ 74 6. Integrál 78 Házi feladatok........................................ 78 Videók............................................ 84 Kvízek............................................ 87 7. Laurent sor; Fourier sor 9 Házi feladatok........................................ 9 Videók............................................ 0 Kvízek............................................ 05 ii
Tartalomjegyzék iii 8. Események; kombinatorikus valószínűség Házi feladatok........................................ Videók............................................ 9 Kvízek............................................ 0 9. Geometriai valószínűség; feltételes valószínűség, függetlenség 6 Házi feladatok........................................ 6 Videók............................................ 46 Kvízek............................................ 5 0.Teljes valószínűség; véletlen változó 57 Házi feladatok........................................ 57 Videók............................................ 65 Kvízek............................................ 7.Nevezetes diszkrét eloszlások; kovariancia, korreláció 76 Házi feladatok........................................ 76 Videók............................................ 85 Kvízek............................................ 87.Folytonos eloszlások 9 Házi feladatok........................................ 9 Videók............................................ 00 Kvízek............................................ 0.Markov egyenlőtlenség; centrális határeloszlás tétel 08 Házi feladatok........................................ 08 Videók............................................ 6 Kvízek............................................ 8 Előismeretek Trigonometrikus függvények................................ Sorok............................................ Fourier sor......................................... 5 Halmazelmélet....................................... 5
Tárgyleírás Műszaki matematika. Kreditértéke: A tantárgy képzési karaktere: gyakorlat 90%, elmélet 0% A tanóra típusa: gyakorlat és óraszáma: 8 a tavaszi félévben. Az adott ismeret átadása elsősorban a hallgatók aktivitására épül az oktató hathatós irányításával. A számonkérés módja: gyakorlati jegy. Az ismeretellenőrzésben alkalmazandó további sajátos mód: minden gyakorlat kezdetén a hallgató röpdolgozat formájában számot ad az előző gyakorlaton elsajátított témakörben való jártasságáról. A tantárgy tantervi helye:. félév Előtanulmányi feltételek: Műszaki matematika. A tárgy célja, hogy a matematika alapvető módszereit, eszközeit és alkalmazási lehetőségeit bemutassa. Részletesen kitér a komplex függvények jellemzésére, tulajdonságaik megismerésére és a valószínűségszámítás felépítésére. További cél, hogy a hallgató a természetben megfigyelhető jelenségeket, időbeli folyamatokat komplex függvények és a valószínűségszámítás eszközeivel leírható modelljeit megismerje, és ezeket alkalmazza. Tematika. Komplex számok, sorozatok, sorok.. Komplex görbék, függvények.. Differenciálhatóság, harmonikus függvények. 4. Cauchy féle integrálformula. 5. Laurent sorok, Fourier sorok, reziduum számítás. 6. Eseményalgebra, klasszikus és geometriai valószínűség. 7. Feltételes valószínűség, események függetlensége. 8. Diszkrét valószínűségi változó, valószínűségeloszlás, eloszlásfüggvény, várható érték és szórás, nevezetes diszkrét eloszlások. 9. Folytonos valószínűségi változó, sűrűségfüggvény, exponenciális és normális eloszlás, Bernoulli, a Csebisev egyenlőtlenség. 0. A nagy számok törvénye, centrális határeloszlás tétel.
Tárgyleírás Kötelező irodalom: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda: Műszaki matematika. elektronikus példatár (ezen jegyzet) Ajánlott irodalom: Szabó Tamás: Kalkulus II. példatár mérnökinformatikusoknak, Polygon, Szeged, 0. Szőkefalvi Nagy Béla, Komplex függvénytan, Polygon,Szeged, 009. Viharos László: A sztochasztika alapjai, Polygon, Szeged, 00. Nagy-György Judit, Osztényiné Krauczi Éva, Székely László: Valószínűségszámítás és statisztika példatár, Polygon, Szeged, 007. A szakmai kompetenciák, kompetencia-elemek, amelyek kialakításához a tantárgy jellemzően, érdemben hozzájárul: a) Tudás Ismeri a komplex függvénytan, a valószínűségszámítás fogalmait. Megérti a mértékelméleti alapok absztrakt tárgyalását. Ismeri az elsajátítandó elméleti és gyakorlati matematikai módszereket. Felismeri az algoritmikusan kezelhető problémákat. b) Képesség c) Attitűd A hallgató a kurzus elvégzése után képes a természettudományokban és speciálisan az informatikában a matematikai modellek azonosítására, rendszerbe foglalására. Képes a matematika témakörében szakszerűen kifejezni magát. Képes a matematika tudományterületén a fogalmak, elméletek és tények közötti összefüggések megteremtésére, közvetítésére. Képes a matematikában elsajátított elméleti ismeretek gyakorlati alkalmazására. Belátja a mérhető halmazok absztrakt tárgyalásának szükségességét. Elfogadja a komplex sorozatok, függvények végtelenben vett határértékének definícióját. Belátja a Riemann gömb, a Riemann felület hasznosságát. Kritikusan szemléli az elsajátítandó elméleti és gyakorlati matematikai módszereket. Törekszik az absztrakt fogalmak pontos használatára. d) Autonómia és felelősség Önállóan kiválasztja egy összetett feladat megoldásához tartozó megfelelő módszereket. Képes feladatok önálló megalkotására és a megoldások elemzésére, a hibák önálló javítására. Önállóan megteremti a matematika tudományterületén a fogalmak, elméletek és tények közötti összefüggéseket. Kreatívan alkalmazza a matematikában elsajátított elméleti ismereteket a gyakorlatban.
Tárgyleírás A tantárggyal kialakítandó konkrét tanulási eredmények: Tudás Képesség Attitűd Autonómia-felelősség Ismeri a komplex számokkal végezhető műveleteket. Ismeri a komplex sorozatok határértékének fogalmát és meghatározásának módszereit. Tisztában van komplex sorok konvergenciáját illetően. Felírja mindhárom alakban a komplex számot. Kiszámolja tetszőleges komplex szám n edik gyökét. Megadja egy komplex sorozat határértékét. Meghatározza egy adott sor konvergenciatartományát. Belátja a különbséget és a hasonlóságot a valós és a komplex határérték között. Önállóan értelmezi a paraméteres sorok konvergencia típusait. Önállóan kiválasztja a feladathoz tartozó megfelelő megoldási módszert. Tudja a komplex görbék paraméterezését. Felidézi a görbék deriváltjának geometriai jelentését. Tisztában van a komplex függvények ábrázolási módjaival. Meghatározza a görbe deriváltját. Megadja néhány pontnak egy adott komplex függvény általi képpontjait. Belátja az elemi függvények definíciójának hasznosságát. Önállóan megad lineáris törtfüggvényeket a lehetséges eseteknek megfelelően. Tisztában van a komplex függvény deriváltjának definíciójával, tulajdonságaival. Tudja, hogy a harmonikus társ kifejezhető a z változó segítségével. Értelmezi a komplex függvény valós és képzetes része közötti Cauchy Riemann egyenleteket. Szem előtt tartja a fontosságát a parciális deriváltak folytonossági feltételének. Önállóan ellenőrzi, hogy egy adott függvény kielégíti e a Cauchy Riemann egyenleteket. Ismeri a görbementi integrál definícióját. Felidézi a Cauchy féle integrálformulákat. Tisztában van a Cauchy féle integrálformulák használatával. Kiszámolja egy adott görbementi integrál értékét.
Tárgyleírás 4 Tudás Képesség Attitűd Autonómia-felelősség Tudja a Laurent sorok előállításának módszereit. Ismeri a residuum tétel állítását. Megadja egy függvény Laurent sorait. Meghatározza egy függvény adott görbementi integráljának értékét a függvény Laurent sorainak segítségével. Szem előtt tartja a görbementi integrál meghatározására tanut módszerek lehetőségeit, illetve korlátait. Önállóan beazonosítja a függvény szinguláris pontjait. Felidézi a mértékelméleti alapfogalmakat. Ismeri a klasszikus valószínűség tulajdonságait. Tisztában van az egyenletességi hipotézissel. Alkalmazza a halmazelméleti műveleteket. Kiszámolja adott események valószínűségét. Törekszik az absztrakt fogalmak pontos használatára. Önállóan kiválasztja a feladat megoldásához tartozó megfelelő módszereket. Önállóan képes feladatok megalkotására és a megoldásának elemzésére. Ismeri a függetlenség fogalmát. Tisztában van a feltételes valószínűség definíciójával. Meghatározza az adott események közötti kapcsolatot, kizáróak, függetlenek, az egyik maga után vonja a másikat. Megnevezi a diszkrét valószínűségű változó tulajdonságait. Tisztában van a várhatóérték, a szórás fogalmával. Ismeri a nevezetes diszkrét valószínűségű változókat. Kiszámolja egy diszkrét valószínűségű változó várhatóértékét, szórását. Párhuzamot von a nevezetes diszkrét valószínűségű változók között. Önállóan azonosítja a diszkrét valószínűségű változó családját. Ismeri a sűrűségfüggvény fogalmát. Tisztában van a nevezetes folytonos valószínűségű változókkal. Tudja a Bernoulli, a Csebisev egyenlőtlenséget. Megbecsüli egy esemény valószínűségét a Bernoulli, és a Csebisev egyenlőtlenség segítségével. Figyelembe veszi a becslések használatának korlátait.
Tárgyleírás 5 Tudás Képesség Attitűd Autonómia-felelősség Ismeri nagy számok törvényét, a centrális határeloszlás tételt. Kiszámolja egy adott eseményhez tartozó konfidencia intervallumot. Tantárgy felelőse: Dr. Szabó Tamás Zoltán, egyetemi docens Tantárgy oktatásába bevont oktatók: Képes feladatok önálló megalkotására, az eredmények értelmezésére. Önállóan dönt a megbízhatósági szintről. Dr. Fülöp Vanda, egyetemi adjunktus; Bogya Norbert, tudományos segédmunkatárs Ezt a jegyzetet az elmúlt években tartott régi Műszaki matematika kurzus anyaga alapján, a teljesség igényével állítottuk össze a műszaki informatikus hallgatóknak tartott új Műszaki matematika. tárgy gyakorlati részéhez. Az első fejezetet a gyakorlati óráknak megfelelően alakítottuk ki. Minden egyes részben alfejezetben Házi feladat, Videók, Kvízek ismételjük át, egészítjük ki, mélyítjük el, majd kérjük számon az adott gyakorlat anyagát. Részletes megoldások ismertetésével kezdünk, ezt követően további példákon keresztül, több mint 50 videó segítségével fejlesztjük a hallgatók megoldási készségét, végezetül lehetőséget biztosítunk az önértékelésre, a felkészültségük ellenőrzésére. Az utolsó fejezetben Előismeretek foglaltuk össze a kurzus előfeltételének, a Műszaki matematika. tárgy gyakorlati anyagának azon részeit, melyek ismerete elengedhetetlenül szükséges az új anyag sikeres elsajátításához. Biztosak vagyunk abban, hogy a gyakorlaton való aktív részvétel és ezen jegyzet feladatainak megoldása után a hallgató képes matematikai modellek azonosítására, rendszerbe foglalására, emlékezetébe vési és így felismeri a feladattípusokat, felidézi a lehetséges megoldásokat, meghatározza a helyes eljárást és megvalósítja azt. Készségeinek fejlesztése mellett olyan képesség birtokába kerül, melyek segítségével tisztán és egyértelműen elmagyarázza, kifejti eredményét. A jegyzetben szereplő nevek mindegyike az MTA által jóváhagyott, anyakönyvezhető keresztnév. A készítők
. fejezet Komplex számok, komplex sorozatok Házi feladatok Komplex számok Egy z komplex szám Im z algebrai alakja: z = x+iy, ahol x, y R; valós része: Re z = x; képzetes része: Im z = y; abszolút értéke: z = r = x + y ; argumentuma: Arg z = ϕ, ahol π < ϕ π; arg z = Arg z + kπ, ahol k Z; trigonometrikus alakja: z = r(cos ϕ + i sin ϕ); exponenciális alakja: z = re iϕ ; konjugáltja: z = x iy = r(cos( ϕ) + i sin( ϕ)) = re iϕ. y y ϕ ϕ z = r z = x + iy x z = x iy Re z Megjegyzés. A z = 0 komplex szám argumentuma nem értelmezett, és definíció szerint mindhárom alakja z = 0.. Feladat. A z = + i és z = 4i komplex számok esetén határozzuk meg a következő kifejezések értékét (k =, ). (a) Re z k (b) Im z k (c) z k (d) z k (a) Re( + i) =, Re( 4i) = (b) Im( + i) =, Im( 4i) = 4 (c) + i = i, 4i = + 4i, (d) + i = + 4 = 5, 4i = 9 + 6 = 5 = 5 6
Komplex számok, komplex sorozatok 7. Feladat. Határozzuk meg a következő komplex számok argumentumát, Arg z-t. (a) i (b) + i (c) i (d) i (a) Az i szám a képzetes tengely pozitív felén található, így i Arg(i) = π. ϕ Megjegyzés. Hasonlóan kapjuk, hogy Arg() = 0, Arg( ) = π és Arg( i) = π. (b) Vegyük fel a pontot és rajzoljuk be a piros háromszöget. Ekkor így tg α =, azaz α = arctg, α ϕ Arg( + i) = α = ϕ = arctg. + i (c) A piros háromszög alapján tg α = =, α = arctg = π, α ϕ és ekkor Arg ( ) i = ϕ = α = π. i (d) Ebben az esetben tg α =, α = arctg, α ϕ ezért ( π ) Arg( i) = ϕ = + α = π arctg. i
Komplex számok, komplex sorozatok 8. Feladat. Írjuk át a következő komplex számokat a másik két alakba: (a) z = + i és z, (b) z = e π i, (c) z = ( cos π + i sin π ). (a) A z szám az algebrai alakban adott. Az ábra alapján r = z =, + i továbbá ϕ = α és r tg α =, arctg = π 4 miatt Arg z = ϕ = π 4. Tehát z másik két alakja: z = ( cos π 4 + i sin π ) = e π 4 i. 4 α ϕ Innen a konjugált szám alakjai: z = i = ( ( cos π ) ( + i sin π )) = e π 4 i. 4 4 (b) Az exponenciális alak ismert, ebből az r = és ϕ = π ( ( z = e π i = cos π ) ( + i sin π )) ( ( π ) ( π )) = cos i sin = ( i (c) A trigonometrikus alakból, a (b) rész alapján kapjuk, hogy ( z = cos π + i sin π ) = e πi ( ) = e (π π )i = e πi e π i = ( ) i értékek leolvashatóak, továbbá ) = i. = + i. 4. Feladat. A z = + 4i és z = 5 i komplex számok esetén adjuk meg az alábbi értékeket algebrai alakban: (a) z + z, (b) z z, (c) z, (d) z ( z Im z ), (e) z z. Algebrai alakban megadott komplex számok összeadását és szorzását úgy végezzük el, ahogy azt betűs kifejezéseknél megtanultuk, figyelve arra, hogy i =. Ezek alapján
Komplex számok, komplex sorozatok 9 (a) (b) z + z = ( + 4i) + 5 i = 6 + 8i + 5 i = (6 + 5) + (8 )i = + 6i, z z = ( + 4i)(5 i) = 5 6i + 0i 8i = 5 + 4i + 8 = + 4i. (c) A pozitív egész kitevős hatványozás is szorzás, így (d) z = (5 i) = (5 i)(5 i) = 5 0i 0i + 4i = 5 0i 4 = 0i. Megjegyzés. Magasabb hatványok meghatározása meglehetősen hosszadalmas számolással jár. z ( z Im z ) = (5 i) (5 + i 4) = (5 i)( + i) = 5 + 0i + 6i 4i = 5 + 6i + 4 = + 6i (e) Ha a tört nevezőjében komplex szám szerepel, akkor bővítünk a nevező konjugáltjával. Egyszerű számolással kapjuk, hogy z = 5 i z + 4i = 5 i + 4i 4i 4i = 7 6i 5 = 7 5 6 5 i. 5. Feladat. A z = i és z = + i komplex számok exponenciális alakjának segítségével határozzuk meg a következő műveletek eredményét: (a) z z, (b) z 7, Először meghatározzuk a két komplex szám exponenciális alakját. Jól láthatóan z = és z =. Mivel tg α = és tg β = =, (c) z4. z z amiből α = π 6 és β = π 4, ezért β ϕ α ϕ ϕ = α = π 6 és ϕ = π + β = 4 π. Tehát az exponenciális alakok a következők: z z = e π 6 i és z = e 4 πi. A műveleteket a hatványozás jól ismert azonosságai alapján végezzük el. Ugyanakkor figyeljünk arra, hogy a végeredmény re iϕ alakjában a ϕ szögnek π és π közé kell esnie.
Komplex számok, komplex sorozatok 0 (a) (b) z z = e π 6 i e 4 πi = e π 6 i e 4 πi = 4e ( π 6 + 4 π)i = 4e πi a végső alak, mert π < π π. z 7 = ( e 4 πi ) 7 = 7 ( e 4 πi ) 7 = 7 e 7 4 πi = 7 e 4 πi = 7 e (6π 4 π)i = 7 e 4 πi (c) z 4 z = ( e π 6 i) 4 e 4 πi = 4 e 4 6 πi e 4 πi = e 7 πi = (4π e π)i = e πi Az exponenciális alakban adott z = re iϕ komplex szám n edik gyökei: ω k = n re ϕ+kπ n i, k = 0,,..., n, ahol n r a szokásos, valós számokon értelmezett gyökvonás. Megjegyzés. Egy nem nulla komplex számnak n darab különböző n edik gyöke van. 6. Feladat. A z = i és z = + i exponenciális alakjának segítségével határozzuk meg: (a) z négyzetgyökeit, (b) z köbgyökeit. A gyökök meghatározásához írjuk át exponenciális alakba a komplex számokat. Az előző feladat alapján z = e π 6 i és z = e 4 πi. (a) A fenti összefüggést n = re alkalmazva kapjuk z négyzetgyökeit: ω ω k = e π 6 +kπ i = e ( π +kπ)i, ahol k = 0,, azaz ϕ ϕ ω 0 k = 0 : ω 0 = e π i, k = : ω = e ( π +π)i = e πi. z (b) Hasonlóan a z = e 4 πi köbgyökei z ω k = 4 e π+kπ i = e ( π 4 + πk)i, ω 0 ahol k = 0,,, tehát ω 0 = e π 4 i, ω = e ( π 4 + π)i = e πi, ω ϕ ϕ ω = e ( π 4 + 4 π)i = e 9 πi = e 5 πi. ω
Komplex számok, komplex sorozatok 7. Feladat. Írjuk fel gyöktényezős alakban a z + i kifejezést. Első lépésben meghatározzuk a z + i = 0 ω egyenlet gyökeit. Átrendezve: z = i. ϕ ϕ Tehát i = e π i ω ω 0 köbgyökeit keressük, amelyek i ω k = e π +kπ i, k = 0,,. Így a három gyök: ω 0 = e π 6 i = i, ω = e ( π 6 + π)i = e π i = i, ω = e ( π 6 + 4 π)i = e 7 6 πi = e 5 6 πi = i. Ekkor a keresett gyöktényezős alak (z ω 0 )(z ω )(z ω ), azaz ( ) ( z + i = z + ) i (z i) z + + i. Komplex sorozatok A komplex z n sorozat határértéke vagy egy z 0 komplex szám, vagy végtelen, vagy nem létezik. A komplex z n sorozat határértéke végtelen, ha a valós z n sorozat határértéke végtelen. 8. Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét. (a) z n = (b) z n = 4 n i n ni ( 4 + 4 i ) n (c) z n = i n n + ni (d) z n = n i n + n i A komplex sorozatok határértékét hasonlóan vizsgájuk, mint a valós sorozatokét. (a) A domináns tagok kiemelésével kapjuk, hogy z n konvergens: z n = 4 n i n ni = n n 4 i n i n = 4 n i n i i = i.
Komplex számok, komplex sorozatok z z z (b) A hatványozás miatt áttérünk az exponenciális alakra: ( ) n ( ) n ( ) n z n = 4 + 4 i = e π ( i π = e i) ( ) n n = e π ni 0, mivel ( ) n 0, a második tényező pedig π e ni = alapján korlátos. z e π ni z z Megjegyzés. Az e π ni kifejezés az egységsugarú körvonal hat pontját, a z 6 = gyökeit adja meg. Így a d n = e π ni sorozatnak hat torlódási pontja van, ezért d n határértéke nem létezik. (c) A domináns tagokat kiemelve kapjuk, hogy z n = i n n + ni = n n i i n + i = n n n + i. n Az első tényező végtelenhez tart, a második pedig hez. Komplex sorozat határértéke azonban nem lehet. Ekkor a z n valós sorozatot kell vizsgálnunk: i z n = n i n + i = n + n n + i = n n 6 =, n 4 + n tehát a z n sorozat határértéke.
Komplex számok, komplex sorozatok z n z z z (d) A (b) feladathoz hasonlóan a sorozat második szorzótényezője nem konvergens, négy torlódási pontja van: i n + n i, i,, i. Ugyanakkor z n = n i n + i = n i n n + i = n = n 4 + n alapján lim n z n =. z 5 z 6 z z z 4 z z 7
Komplex számok, komplex sorozatok 4 Videók Komplex számok. Feladat. Legyen z = + i és z = i. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét. (a) Re z i (b) Im z i (c) z i (d) z i (e) z + z (f) z Im z (g) z z (h) Im z z (i) i z z (j) Re z z (a) Re z =, Re z = (b) Im z =, Im z = (c) z = i, (d) z =, z = + i z = 0 (e) i (f) i (g) 7 9i (h) 5 i (i) (j) + i 9 0 + 0 i. Feladat. Adjuk meg a következő komplex számokat trigonometrikus és exponenciális alakban is. (a) z = + i (b) z = + i (c) z (a) (cos 0, 58 + i sin 0, 58) = e 0,58i ( (b) cos π + i sin π ) = e π i ( (c) cos π i sin π ) = e π i. Feladat. Adjuk meg a következő komplex számokat a másik két alakban. ( ( (a) z = cos π ) ( + i sin π )), (b) z 4 = e πi 4 4 z (a) e π 4 i = i, e π 4 i = ) (b) i ( = cos π i sin π ( cos π 4 + i sin π ) 4 A következő feladatokban adott z i kifejezések értékét. komplex számok esetén határozzuk meg a következő 4. Feladat. z = + i, z = i.
Komplex számok, komplex sorozatok 5 (a) z z (b) z (c) z (a) 6 + ( 6 + ) i (b) 8 (c) 4 4 i 5. Feladat. z = + i, z = i. (a) z z (b) z Im z (c) i z (a) 4 e 7 πi (b) 8 e π 4 i (c) e 5 6 πi 6. Feladat. z = + i, z = + i, z = + i és z 4 = i. (a) z (b) z (c) z 4 (d) z (e) z (f) z 4 (a) 4e πi (b) 8e πi (c) 6e 4 πi (d) i (e) i (f) i 7. Feladat. z = 4 + 4 i, z = i. (a) z (b) z (a) w 0 = e π i, w = e πi (b) w 0 = e π 4 i, w = e 4 πi 8. Feladat. z = + i, z = 5. (a) z (b) 4 z (a) w 0 = 6 e π 4 i, w = 6 e πi, w = 6 e 5 πi (b) w 0 = 4 5e π 4 i, w = 4 5e 4 πi, w = 4 5e 4 πi, w = 4 5e 4 πi 9. Feladat. Írjuk fel szorzat alakban a következő kifejezéseket.
Komplex számok, komplex sorozatok 6 (a) z (b) z + (c) z + i (d) z + i z (e) z 6z + 0 ( (a) z ) ( z + ) ( (b) z ) ( i z + ) i ( ) ( (c) z + i z + (d) z(z + i) (e) (z i)(z + i) ) i 0. Feladat. Oldjuk meg a következő egyenleteket. (a) z + 8 = 0 (b) z 4 + = 0 (c) z i = 0 (a) w 0 = ( ) ( + i, w =, w = ) i (b) w 0 = (c) w 0 = + i, w = + i, w = + i, w = + i, w = i i, w = i Komplex sorozatok A következő feladatokban adjuk meg a z n sorozat határértékét.. Feladat. z n = n + i n i
Komplex számok, komplex sorozatok 7. Feladat. (a) z n = + ni n + 5i (a) i. Feladat. (a) z n = 5n + n i n n + ni (b) z n = (b) i i (b) z n = ni n n + ni 5n + nin n + ni (c) z n = n πi n n i (c) 0 (c) z n = 5n + n i n n + ni (a) (b) 0 (c) 4. Feladat. ( ) n + i (a) z n = (b) z n = ( i) n (a) 0 (b) 5. Feladat. z n = ( + i ) n n e i
Komplex számok, komplex sorozatok 8 Kvízek A csoport. Feladat. Adjuk meg a z n = n n i n 5n ni sorozat határértékét.. Feladat. Algebrai alakban adjuk meg a z = i egyenlet megoldásait. B csoport ( ) 4. Feladat. Algebrai alakban adjuk meg a + i számot.. Feladat. Exponenciális alakban adjuk meg a z = + i komplex szám köbgyökeit. C csoport Feladat. Algebrai alakban adjuk meg az ( + i) 4 ( i ) számot. D csoport n (5n + )i Feladat. Határozzuk meg a z n = n ni algebrai és exponenciális alakját is. sorozat határérték. Adjuk meg a határérték
Komplex számok, komplex sorozatok 9 Kvízek megoldása A csoport. Feladat megoldása. z n = n n i n 5n ni = n n n in 5 i n 8/ = A ( ) n sorozat felváltva vesz fel és + értékeket. Tehát n ( )n 5 i n 8/ z n = n 5 i 5, valamint z n+ = n 8/ Ezért a z n sorozatnak nincs határértéke.. Feladat megoldása. Mivel i = e π i, így alapján a megoldások azaz z = i = e π i ( ) n 5 i n 8/ ω k = π +kπ e i = e ( π 6 + πk)i, k = 0,,, ( ) 5 = 5. pt pt ω 0 = e π 6 i = cos π 6 + i sin π 6 = + i, ω = e ( π 6 + π )i = e 5 6 πi = e πi π 6 i = e πi e π 6 i = ω = e ( π 6 + π )i = e πi = e π i = i. ( ) i = + i pt
Komplex számok, komplex sorozatok 0 B csoport. Feladat megoldása. Az ábra alapján r = ( ) + i = + = 4 = Im z + i és r tg α =, amiből ϕ = α = π 6, α ϕ Re z tehát z = re ϕi = e π 6 i. Így pt ( + i ) 4 = ( e π 6 i) 4 = 4 e 4π 6 i = 4 e (π+ π )i = 4 e π i ( = 4 cos π + i sin π ) ( = 4 + i ) = + i.. Feladat megoldása. Az ábra alapján Im z és így r = + = 8, ϕ = π 4 z = re ϕi = 8e π 4 i. Felhasználva, hogy r + i pt ω k = 8e π 4 +kπ i, k = 0,, ; azt kapjuk, hogy ϕ Re z ω 0 = 8e π 4 i = 6 8e π i, ω = 8e π 4 +π i = 6 8e 9 πi, ω = 8e π 4 +4π i = 6 8e 7 πi = 6 8e (π 7 π)i = 6 8e 7 πi. pt
Komplex számok, komplex sorozatok C csoport Feladat megoldása. A Im z z = + i = r e iϕ és z = i = r e iϕ jelölésekkel élve, az ábra alapján kapjuk, hogy r = + = ( ), r = + = r ϕ ϕ α z β Re z valamint tg α = és tg β =. r z pt Ezek alapján ϕ = α = π 4 és ϕ = β = π 6. Így tehát z 4 = z = e π 4 i és z = e π 6 i, ( e π 4 i ) 4 = ( ) 4 e 4 π 4 i = 4e πi és z = ( e π 6 i) = e ( π 6 )i = 4e π i. pt Ezért z 4 z 4e = π π i e(π+ )i = e πi e π i = = 4eπi ( ) + i = i. pt
Komplex számok, komplex sorozatok D csoport Feladat megoldása. z n = n (5n + )i n ni = n n ( ) 5 + n i i = ( ) 5 + n i i 5i i pt Az algebrai alak: z = 5i i = 5i i + i + i Az exponenciális alak: r = z = 5 + 49 70 5 = 5 = 70, 5 = 6 + i 0i + 5 4 ( ) Im z = ϕ 7i 5 α = 5 7 5 i. 5 Re z pt valamint az ábra alapján és tg α = 7 5 5 = 7 ϕ = Arg(z) = α = arctg 7. 7 5 5 7 5 i Tehát z = re iϕ = 70 e i arctg 7. 5 pt
. fejezet Komplex sorok, görbék Házi feladatok Komplex sorok. Feladat. Abszolút konvergens e a ( i ) n n (n + n) számsor? A z n sor egy pozitív tagú valós számsor. Az általános tag határértékére kapjuk, hogy z n = i n n (n + n) = n n (n + n) = n + n = n + 0, n tehát további vizsgálat szükséges. Az összehasonlító kritérium alapján zn n. Mivel n konvergens, ezért z n is az, így az eredeti sor abszolút konvergens.. Feladat. Tekintsük a paraméteres számsort. n= (i) n n (z + n i)n (a) Határozzuk meg és ábrázoljuk is azon z paraméterek halmazát, melyek esetén a sor abszolút konvergens. (b) Hogyan viselkedik a sor a z = paraméter érték esetén? (c) Hogyan viselkedik a sor a z = i pontban?
Komplex sorok, görbék 4 (a) A sorozat első néhány tagját kiírva kapjuk, hogy (i) n n n (z + i)n = 8i (z + i) + 8i 8 + 4 4i 4 (z + i) +..., 5 n= ezért z + i = 0, azaz z = i esetén a sor nincs értelmezve, tehát a paraméter értéke nem lehet ez a szám. Az abszolút konvergenciához vizsgáljuk a z n sort. Ekkor z n = (i) n n (z + n i)n = n n n z + i n, és z n+ z n = z n+ z n = n+ (n + ) (n + ) z + i n n n n z + i n n = (n + ) n + z + i n = n n n ( + n ) n n n + n Így, a hányados kritérium alapján a sor abszolút konvergens, ha z + i < z + i z + i. z + i < ( z ) i < 6, azaz az i középpontú sugarú körlap 6 belsejében, kivéve a kör középpontját, ahol a sor nincs értelmezve. A sor ezen a körlapon kívül divergens. 6 i A körvonalon, azaz z + i = zn = n n n esetén további vizsgálat szükséges. Ekkor ( ) n = n n n ( ) n ( ) = n n, és z n = n n = n 0. n n Innen, az összehasonlító teszt alapján kapjuk, hogy zn n. A sor divergens, ezért a vizsgált sor nem abszolút konvergens a körvonalon. n
Komplex sorok, görbék 5 (b) A z = pont jól láthatóan a körön kívül található, így itt a sor divergens. (c) A z = i pont távolsága a kör középpontjától ( ) ( i ) i = 6 i = 6, ami pontosan a kör sugara. Tehát ez a pont a körvonalon van, ahol tudjuk, hogy a sor nem abszolút konvergens. Így vizsgálnunk kell a z n sor konvergenciáját. i A paraméter értékét behelyettesítve kapjuk, hogy zn = ( ( (i) n n n = n i n n n in n ) i ( ) i = n (i ) n n ) n + i = n i n n n ( i = n ( ) n n 7i = 7i ( ) n n n. A ( ) n n n ) ( ) n i sor egy valós alternáló sor. Ellenőrizzük a Leibniz kritérium feltételeit. Az a n = sorozat pozitív és Továbbá f(x) = a n = n n x x deriváltja = n 0. n n f (x) = x x x (x ) = x (x ) < 0, n n ezért a n monoton csökkenő. Emiatt az alternáló sor, és így az 7i szerese is konvergens. Tehát a körvonalon elhelyezkedő z = i pontban a sor feltételesen konvergens.
Komplex sorok, görbék 6. Feladat. A geometriai sor ismeretében adjuk meg a következő sorok összegét, továbbá határozzuk meg és ábrázoljuk is a konvergencia tartományok belsejét. (a) n=0 ( 4i) n+ (z + i)n (b) n= ( 4i) n (z + i) n (a) n=0 ( 4i) n+ (z + i)n = 4i = ( z + i 4i n=0 ) n = 4i 4i (z + i) = z + i, z+ i 4i ha z + i 4i < z + i < 5 z ( + i) < 5, + i 5 (a) (b) azaz a + i középpontú 5 sugarú körön belül. (b) n= ( 4i) n (z + i) = ( 4i) n n (z + i) = n+ z + i = n=0 z + i 4i z+ i = n=0 ( 4i ) n z + i z + i ( 4i) = z + i, ha 4i z + i < z + i 4i > z ( + i) > 5, ami éppen az előző + i középpontú 5 sugarú körön kívül eső rész. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a két különböző (a) és (b) sor összegképlete azonos.
Komplex sorok, görbék 7 A geometriai sor összegképlete alapján érvényes az alábbi összefüggés: ζ = ζ n, ha ζ <, n=0 n=, ha ζ >. ζn 4. Feladat. A fenti összefüggés segítségével adjuk meg az kitevős hatványainak összegeként. z + + i Első lépésben a nevezőben kialakítjuk a (z + i) t majd a maradékot kiemeljük z + + i = + i azaz kialakítottuk az ζ összefüggést, kapjuk, hogy z + + i = (z + i) + i, z+ i +i + = + i alakot, ahol ζ = z + i + i Ha ζ <, azaz a + i középpontú, 0 sugarú körön belül z + + i = + i = n=0 n=0 ( ) n z + i = i ( i) n+ (z + i)n. ( z+ i +i kifejezést z + i egész ), = z + i. Alkalmazva a fenti i ( i) Ha ζ >, azaz a + i középpontú, 0 sugarú körön kívül pedig z + + i = + i = = n= n= n= ) n = ( z+ i i ( i) n= n=0 (z + i) n ( i) n ( i) n (z + i) n ( i) n (z + i) = ( i) n (z + i) n n n= ( i) n+ (z + i)n.
Komplex sorok, görbék 8 Komplex görbék Szakasz paraméterezése Az A pontból B pontba mutató szakasz egy lehetséges paraméterezése γ(t) = [A, B] = A + t(b A), 0 t. A γ(t) B Körív paraméterezése Az O középpontú, r sugarú körvonal egy paraméterezése, pozitív irányítás esetén t = π t = π + γ + O, r = O + reit, π < t π, t = π O r t = 0 negatív irányítás esetén γ O, r = O + re it, π < t π. t = π t = π 5. Feladat. Paraméterezzük a γ görbét, (a) ahol γ a i pontból a + i pontba mutató szakasz, (b) ahol γ a γ0, körvonal i pontjából az pontba, majd a γ + +i, + i be megy. körvonal pontjából a (a) A szakasz kezdőpontja i, végpontja pedig + i, így a paraméterezés γ(t) = [ i, + i] = i + t( + i ( i)) = i + t( + i), 0 t. (b) Most γ(t) = γ (t) γ (t) és a két rész egymástól függetlenül paraméterezhető. A γ görbe középpontja O, az origó, sugara r = és negatív az irányítása, ezért a paraméterezés γ (t) = γ 0, (t) = 0 + e it = e it, O + i ahol az ábra alapján π t 0. Hasonlóan, γ esetén O = + i, r = és pozitív az irányítás, így γ (t) = γ + +i, (t) = + i + eit, ahol π t 0. O γ(t) γ (t)
Komplex sorok, görbék 9 6. Feladat. Határozzuk meg a γ(t) = i + t( i) t e it görbe deriváltját a t 0 = 0 helyen. A megoldást a valós függvényeknél megszokott t változó szerinti deriválással kapjuk. γ (t) = ( i + t( i) t e it) = ( i) 6t e it t ie it A t = 0 helyettesítéssel élve γ (0) = i. 7. Feladat. Határozzuk meg a következő integrálok értékét algebrai alakban. (a) 0 i + t( i) dt (b) π 0 e it dt (c) π 0 ie it dt A görbe deriválásához hasonlóan, az integrálást is a valós függvényeknél megszokott módon végezzük el. (a) (b) π 0 0 i + t( i) dt = [ e e it it dt = i ] π 0 [ ] it + ( i) t ( i) = i + 0 = + i = [ ie it] π 0 = ie i π ie i 0 = i ( i) i = i (c) Mivel rögzített t esetén e it az origó középpontú egységsugarú körvonal egy pontja, így π 0 π ie it dt = 0 dt = [ t ] π/ 0 = π. Megjegyzés. Míg a (b) rész végeredménye egy komplex szám, addig a (c) részben egy valós számot kapunk, ami éppen a γ(t) = e it, 0 t π görbe ívhossza.
Komplex sorok, görbék 0 Videók Komplex sorok. Feladat. Vizsgáljuk a n i n + számsor konvergenciáját. Konvergens.. Feladat. Vizsgáljuk a következő számsorok konvergenciáját. (a) ( ) n n 5i (b) n n + 5 n + 5 ( ) n 5i (a) Divergens. (b) Konvergens.. Feladat. Határozzuk meg és ábrázoljuk azon z paraméter értékek halmazát, melyek esetén a következő sor konvergens lesz, és adjuk is meg e pontok esetén a sor összegét. ( z + i ) n n=0 + i A sor konvergens, ha z ( i) <, és z i, összege: ( ) z + i + i z +i. +i i 4. Feladat. Ábrázoljuk azon z értékek halmazát, melyek esetén a sor konvergens. n=0 n n + (z + 5 n i)n
Komplex sorok, görbék 5 5. Feladat. Ábrázoljuk azon z értékek halmazát, melyek esetén a (z + i) n n= 5 n n sor konvergens. Hogyan viselkedik a sor a z = 4 + i és a z = + i pontokban? A z = 4 + i pontban feltételesen konvergens, a z = + i pontban pedig divergens. 5 4 + i + i 6. Feladat. Ábrázoljuk azon z értékek halmazát, melyek esetén a következő sor konvergens. n + n + (z + n i)n + (z + n i) n 5 n=0 n=
Komplex sorok, görbék 7. Feladat. Ábrázoljuk azon z értékek halmazát, melyek esetén a Határozzuk meg a sor összegét is ezen z értékek esetén. n= sor konvergens lesz. zn A sor összege: z, ha z > 8. Feladat. Adjuk meg a kifejezést z++i egész kitevős hatványainak összegeként. z + i ( ) n z + i = ( 5i) (z + + n+ i)n, ha z ( i) < 6 n=0 ( ) n ( 5i) n (z + + i) n, ha z ( i) > 6 n= 9. Feladat. Adjuk meg a Ha α = β, akkor Ha α β, z + α z + α = (z + β). z + α = n=0 n= kifejezést z + β egész kitevős hatványainak összegeként. (β α) n+ (z + β)n, ha z ( β) < β α, (β α) n, ha z ( β) > β α (z + β) n
Komplex sorok, görbék Komplex görbék 0. Feladat. Paraméterezzük a következő görbéket. (a) A pontból az i pontba, majd az i pontból az i pontba mutató tört szakasz. (b) A γ és γ negyedkörívek csatlakoztatásával keletkező görbét, ahol γ a γ0, körvonal pontjából az i pontba megy, és γ a γ +i, körvonal i pontjából a + i pontba megy. (a) γ (t) = + t( + i), 0 t γ (t) = i + t( i), 0 t (b) γ (t) = e it, π t π γ (t) = + i + e it, π t π. Feladat. Határozzuk meg a következő görbék deriváltját a megadott helyen. (a) γ(t) = + 5i + ( i)t, γ () ( π (b) γ(t) = it + e it, γ (0), γ ( π ) (c) γ(t) = te it, γ 4 ) (a) i (b) i, πi (c) i π. Feladat. Határozzuk meg a következő integrálokat. (a) 0 + 5i + ( i)t dt (b) π π te it dt (a) + 5i + ( i) (b) π 4 i
Komplex sorok, görbék 4 Kvízek A csoport Feladat. Határozzuk meg és ábrázoljuk is azon z értékek halmazát, melyek esetén a következő sor abszolút konvergens. n5 (z + i) n n n n= B csoport. Feladat. Határozzuk meg és ábrázoljuk is azon z paraméter értékek halmazát, melyek esetén a következő sor abszolút konvergens. n= (z ) n (n + i) n. Feladat. Adjuk meg az ábrán látható γ görbe paraméterezését. C csoport. Feladat. Határozzuk meg a γ(t) = ite it görbe. Feladat. Írjuk fel az z + i π 0 γ(t) dt integrálját algebrai alakban. kifejezést z + + i egész kitevős hatványainak összegeként.
Komplex sorok, görbék 5 Kvízek megoldása A csoport Feladat megoldása. A sor első pár tagja n= n5 n n (z + i) n = (z + i)0 + 94 4 8 (z + i) +... azaz a sor minden z-re értelmezve van. Vizsgáljuk a z n sort, ekkor z n = n5 (z + i) n n n = n5 z + i n, n n és z n+ z n = (n + )5 z + i n n+ (n + ) = n n (n + n+ (n + ) )5 n5 = n n ( + n ) n 5 n 5 n n n5 z + i n z + i n z + i n ( + n) 5 n 5 z + i z + i. n 5 pt A sor abszolút konvergens, ha z + i < z ( + i) < ( z + i ) <. Divergens, ha ( z + i ) >. A körvonalon z + i =, azaz n5 z n = n n5 = = n n n n 5 n n 5 = 0. n Így az összehasonlító kritérium alapján z n, ami divergens, tehát a függvénysor a körvonalon nem abszolút konvergens. n n 5 pt pt
Komplex sorok, görbék 6 B csoport. Feladat megoldása. A sorozat első pár tagja: z n = n= n= így a sor minden z re értelmezett. (z ) n (n + i) n = ( + i) (4 + i) (z ) + (z ) +... z n+ z n = z n+ z n = z n+ (n + ) + i (n + ) n 4(n + = (n + ) ) + z n+ 4n + z n = n n n ) n ( + n n z n n + i 4 ( + n) + n 4 + n z z pt miatt a sor abszolút konvergens, ha és divergens, ha z <, D AK AK z >. A körvonalon, azaz z = esetén z n = n n + i 4n + = n n = n 4 + n n = n 4 + n 0, pt továbbá zn n. Mivel a sor konvergens, ezért a sor abszolút konvergens a körvonalon is. n. Feladat megoldása. A görbét két részre bontjuk: γ = γ γ. γ (t) = + i + e it, π t 0. γ (t) = ( + i) + t ( + i i) = + i + ( + i)t, 0 t. pt
Komplex sorok, görbék 7 C csoport. Feladat megoldása. Parciális integrálással kapjuk, hogy γ(t) dt = it e it dt = it e it i e it dt = te it + i i f g f f g g e it dt = te it + e it i, amiből π 0 γ(t) dt =. Feladat megoldása. z + i = ] π [ te it + e it = ( π ) ) π i e i + e π i (0 + e0 0 i i = π i ( i) + i i = π i + + i = π ( π ) i + i = + i. = z + i = 5 i Ha z + + i 5 + i <, akkor z + i = 5 4i Ha z + + i 5 + i >, akkor z + i = 5 4i z + + i 5 i = ( ) = z++i 5 i ( ) n z + + i 5 + i = n=0 n= 5 4i 5 4i ( ) n = z++i 5 4i 5 +i n= 5 i z++i 5 +i n=0 z++i 5 i + ( 5 + i) n (z + + i) n. ( ) n 5 + i (z + + i) n. pt pt pt
. fejezet Komplex függvények Házi feladatok Komplex függvények Az f(z) komplex függvény felírható az f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) alakban, ahol az u = u(x, y) és v = v(x, y) valós értékű kétváltozós függvények a komplex f(z) függvény valós, illetve képzetes részét jelölik. Továbbá z := z e i Arg z, a többértékű z / reláció főértéke, e z = e x+iy := e x e iy, Log z := ln z + i Arg z, a többértékű log z reláció főértéke, cos z := eiz + e iz, sin z := eiz e iz, i ch z := ez + e z, sh z := ez e z.. Feladat. Az f(z) = z függvény esetén adjuk meg (a) a z = + i, z = ( cos π ) π + i sin, z = e π 6 i pontok képeit algebrai alakban 4 4 és ábrázoljuk is azokat; (b) a z 4 = i és z 5 = ( cos π + i sin π ) pontokat összekötő γ b szakasz képét; (c) a z 6 = 4 e 8 πi kezdő- és z 7 = 4 e 5 8 πi végpontú, origó középpontú, irányítású γ c körív képét és ábrázoljuk is; (d) a függvény valós és képzetes részét. 4 sugarú, pozitív 8
Komplex függvények 9 (a) Mindhárom alak esetén egyszerűen meghatározható a képpont: ω = f(z ) = ( + i) = i, ( ω = f(z ) = cos π ω = f(z ) = 4 e π i = 4 ) π + i sin = i, ( ) + i = + i. y v z z z f ω ω ω x u z ω Megjegyzés. A z i pontok egy egyenesre esnek, és ennek az egyenesnek a képe egy fekvő parabola. y v z z f ω ω x u z ω (b) Szakasz paraméterezéséhez ( az algebrai alakot használjuk; z 4 már ebben az alakban van, z 5 öt pedig átírjuk: z 5 = cos π + i sin π ) = i. Tehát a γ b = [i, i] szakasz képét kell meghatározni. Ennek egy lehetséges paraméterezése γ b (t) = i + (i i)t = i + it, ahol 0 t.
Komplex függvények 40 Így f(γ b (t)) = (i + it) = i ( + t) = ( + t), ahol 0 t. Megjegyzés. A kapott görbe a [, 4] irányított szakasz egy lehetséges paraméterezése. (c) A körív egy paraméterezése γ c (t) = 4 e it, ahol 8 π t 5 8 π. Így azaz ( ) 4 f(γ c (t)) = e it, f(γ c (s)) = e is, ahol ahol 8 π t 5 8 π, 4 π s 5 4 π, az origó középpontú, sugarú negyedkörív az ω 6 = e 4 πi kezdőponttal és az ω 7 = e 5 4 πi = e 4 πi végponttal. y v γ c z 7 z 6 f ω 6 x f(γ c ) u ω 7 (d) Az f(x + iy) = (x + iy) = x y + ixy összefüggés alapján u(x, y) = x y és v(x, y) = xy.. Feladat. A g(z) = z függvény esetén adjuk meg (a) a z = + i, z = ( cos π ) π + i sin, z = e π 6 i pontok képeit; 4 4 (b) a + i kezdő- és i végpontú, origó középpontú γ negyedkörív képét és ábrázoljuk is. (a) A képpontok megadásához az exponenciális alakot használjuk. Ezért z = + i = e π 4 i alapján ω = g(z ) = z = 4 e π 8 i ;
Komplex függvények 4 z = ( cos π π + i sin 4 4 z = e π 6 i esetén ω = ) = e π 4 i, így ω = 4 e π 8 i ; 4 e π i. Megjegyzés. A három ponton áthaladó egyenes z melletti képe egy hiperbola. y v z g z x ω ω u ω z (b) A z függvény definíciója miatt a γ görbét két részre kell bontani a negatív valós tengely mentén például a γ (t) = e it, ahol 4 π t π, valamint a γ (t) = e it, ahol 4 π t < π görbére. Ekkor γ képe a γ képe pedig g(γ (t)) = 4 e i t, ahol 4 π t π = 4 e is = g (s), ahol 8 π s π, g(γ (t)) = 4 e i t, ahol 4 π t < π = 4 e is = g (s), ahol 8 π s < π.
Komplex függvények 4 y v g(γ ) g γ γ x u g(γ ) Megjegyzés. Jól láthatóan a g(z) = z függvény nem folytonos a negatív valós tengely mentén, hiszen a γ görbe képe szétesik két részre. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a γ görbe megegyezik az. feladat (c) részében szereplő γ c görbe f(z) = z melletti képével, azonban a g(γ) és a γ c különböznek. Ha a γ c görbére egymás után végrehajtjuk a z és a z leképezést, akkor nem az eredeti görbét kapjuk vissza. y γ c f(z) = z v g(z) = z g(γ) y x f(γ c ) = γ u x g(γ). Feladat. Az f(z) = e iz esetén adjuk meg (a) a z = + i, z = ( cos π ) π + i sin, z = e π 6 i pontok képéit; 4 4 (b) a z 4 = πi, z 5 = π πi pontokat összekötő szakasz képét és ábrázoljuk is; (c) a függvény valós és képzetes részét. A képpontok meghatározásához az e iz = e i(x+iy) = e y+ix = e y e ix összefüggés miatt az algebrai alakot használjuk. (a) A z = + i képe ω = f(z ) = e e i.
Komplex függvények 4 A z = ( cos π ) π + i sin = i képe ω = e e i. 4 4 A z = e π 6 i = + i képe pedig ω = e e i. Megjegyzés. A három ponton áthaladó egyenes e iz melletti képe egy origóból induló félegyenes. y v z f ω z x ω z ω u (b) A z 4 = πi, z 5 = π πi pontokat összekötő szakasz egy lehetséges paraméterezése: Így γ(t) = πt πi, ahol 0 t. f(γ(t)) = e i πt e i( πi) = e π e πti, ahol 0 t, ami egy origó középpontú, e π sugarú háromnegyed körív. y v f π x f(γ) e π ω 4 u π z4 z 5 ω 5 (c) Az f(x + iy) = e y e ix = e y (cos x + i sin x)
Komplex függvények 44 összefüggés alapján u(x, y) = e y cos x és v(x, y) = e y sin x. 4. Feladat. Az f(z) = Log z függvény esetén adjuk meg (a) a z = + i, z = ( cos π ) π + i sin, z = e π 6 i pontok képeit; 4 4 (b) a z 4 = e π kezdő és z 5 = e π+ πi végpontú, origó középpontú háromnegyed körív képét és ábrázoljuk is. (a) A képpontok megadásához az exponenciális alakot használjuk, mivel ezekből jól látszik z és Arg z értéke. A z = + i = e π 4 i pont képe ω = ln + π 4 i ; a z = ( cos π ) π + i sin = e π 4 i képe ω = ln π 4 4 4 i ; a z = e π 6 i képe pedig ω = ln + π 6 i. Megjegyzés. A három pont és a képpontok: y v z f π z x ω ω ω u z π (b) A Log z függvény definíciója miatt a görbét két részre kell bontani a negatív valós tengely mentén például a γ (t) = e π e it, ahol 0 t π ; valamint a görbére. Ekkor γ képe γ (t) = e π e it, ahol π t < π Log(γ (t)) = π + it, ahol 0 t π,
Komplex függvények 45 a γ képe pedig Log(γ (t)) = π it, amelyek egy-egy szakasz paraméterezései. ahol π t < π, y π v γ f(z) f(γ ) e π x π u γ e π π f(γ ) Megjegyzés. Tehát a Log z függvény nem folytonos a negatív valós tengely mentén, hiszen az adott görbe képe szétesik két részre. 5. Feladat. Adjuk meg a következő kifejezések algebrai alakját. (a) sin i (b) log( + i) (c) i i (a) A definíció alapján sin i = ei e i i = e e i = i e e = i sh. (b) Mivel + i = 5e i arctg, ezért Log( + i) = ln 5 + i arctg, tehát log( + i) = Log( + i) + kπi = ln 5 + i (arctg ) + kπ, k Z. (c) Tetszőleges b és tetszőleges, nem nulla a komplex szám esetén az a b := e b log a összefüggéssel definiáljuk a hatványozást. Ezért i i = e i log i.
Komplex függvények 46 Mivel i = e π i, ezért log i = ln + π i + kπi = π i + kπi, és így i i = e i(k+ )πi = e (k+ )π, k Z. Megjegyzés. Jól láthatóan az i i kifejezés végtelen sok valós értéket jelöl. 6. Feladat. Írjuk fel gyöktényezős alakban a z + ( i)z i kifejezést. Először meghatározzuk a z + ( i)z i = 0 másodfokú egyenlet megoldásait. A megoldóképlet alapján z, = + ( ) i ± i 4 i = + i ± + i, melyben a gyökfüggvény definíciója alapján + i = 4e πi = e π i = + i. Tehát a keresett gyökök z = + i + + i = i = i, valamint Így a gyöktényezős alak z = + i ( + i ) z + ( i)z i = (z i) = =. ( z + ) ( ) = (z i) z +. 7. Feladat. Oldjuk meg a sin z = i egyenletet (a) a definíció alapján, (b) a sin(x + iy) = sin x ch y + i sh y cos x trigonometrikus összefüggés alapján.
Komplex függvények 47 (a) A sin z := eiz e iz i definícióból kiindulva, a p = e iz helyettesítéssel kapjuk, hogy p p i = i p p = i p = p p + p = 0, ahonnan a gyökök: p = + és p =. A p = e iz összefüggésből kapjuk, hogy iz = log p. A p = + = > 0 esetben ( ) iz = ln + kπi, k Z, azaz ( ) z = kπ i ln, k Z. A p = = ( + ) esetben ( ) iz = ln + + (π + kπ)i, k Z, azaz ( ) z = (k + )π i ln +, k Z. (b) A sin(x + iy) = sin x ch y + i sh y cos x trigonometrikus összefüggés alapján azaz sin x ch y + i sh y cos x = i, sin x ch y = 0 és sh y cos x =. Az első egyenletből, a ch y függvény pozitivitása miatt kapjuk, hogy sin x = 0, azaz x = nπ, n Z. Ezen pontokban cos x = ( ) n, ezért a második egyenletben az esetek szétválasztásával dolgozunk. Ha n páros, azaz x = kπ, akkor cos x =, így a második egyenletből kapjuk, hogy sh y =. Az A = e y helyettesítéssel adódik, hogy ahonnan = sh y = ey e y A A = 0. = A A,
Komplex függvények 48 Az egyenlet megoldásai A = ±. Mivel A = e y > 0, így csak a pozitív megoldással számolunk tovább. e y = + ( y = ln + ) Azaz ( z = kπ + i ln + ), k Z. Ha n páratlan, azaz x = (k + )π, akkor cos x =, így sh y =. Ekkor = A A, és az A + A = 0 egyenlet egyetlen pozitív megoldása A = +, így ( y = ln + ). Tehát ( z = (k + )π + i ln + ), k Z. Megjegyzés. A feladat megoldása során az (a) részben azt kaptuk, hogy ( ) z = kπ i ln, k Z vagy a (b) részben pedig vagy ( ) z = (k + )π i ln +, k Z ; ( z = kπ + i ln + ), k Z ( z = (k + )π + i ln + ), k Z. Természetesen a két megoldáshalmaz megegyezik, hiszen ( ) ( ) + ( ln = ln = ln = ln ( ) ( ) = ln + ). + A megoldáshalmaz néhány eleme a komplex számsíkon:
Komplex függvények 49 Videók Komplex függvények. Feladat. Határozzuk meg a következő pontok f(z) = e z melletti képét. ( π ) (a) z = i (b) z = π (c) + 4 i + kπ i, k Z (a) e e i (b) e e π 4 i (c) e e π i. Feladat. Határozzuk meg a következő görbék f(z) = e z melletti képét. (a) A = {z x R, y = 0} { B = z x R, y = π } 4 { C = z x R, y = π } D = {z x R, y = } π (b) A = {z x = 0, π y π} B = {z x =, π y π} C = {z x =, π y π} (c) A = {z x = y, π x π} (a) A : e x B : e x e i π 4 C : e x e π i D : e x e πi (b) (c) A : e iy B : e e iy C : e e iy A : e x e ix. Feladat. (a) Oldjuk meg az e z = + i egyenletet. (b) Határozzuk meg log( 5i) összes lehetséges értékét. (c) Határozzuk meg ( ) i összes lehetséges értékét. (a) z = log( + i) = ln 5 + (b) ln 6 + ( arctan 5 + kπ) i, k Z (c) e π+kπ, k Z (π arctan + kπ ) i, k Z
Komplex függvények 50 4. Feladat. Az a b := e b log a ( a 0) definíció alapján határozzuk meg a következő kifejezések összes lehetséges értékét. (a) (b) (a) 8 (b) ± 5. Feladat. A sin z := eiz e iz i f(z) = sin z melletti képét. definíció alapján határozzuk meg a következő halmazok (a) A = {x 0, y = 0} (b) B = {x = 0, y 0} (c) C = {x = π }, y 0 (a) sin x (b) i sh y (c) ch y 6. Feladat. Oldjuk meg a cos z = egyenletet. z = π + kπ + i ln ( ± ), k Z 7. Feladat. Oldjuk meg a következő egyenleteket és ábrázoljuk is a megoldáshalmazokat. (a) ch z = i (b) ch z = i ( (a) z = ln + ) ( π ) + + kπ ( (b) z = ln + ) ( i, z = ln ( π kπ ) i, z = ln + ) ( π ) kπ i, k Z ( + ) ( π ) + + kπ i, k Z
Komplex függvények 5 Kvízek A csoport. Feladat. Oldjuk meg a ch z = egyenletet.. Feladat. Határozzuk meg az A = π + πi kezdőpontú, B = π f(z) = melletti képét, és ábrázoljuk is. eiz + πi végpontú szakasz B csoport. Feladat. Adjuk meg a i komplex hatvány azon értékét, melynek abszolút értéke.. Feladat. Adjuk meg és ábrázoljuk az origó középpontú, i kezdőpontú és végpontú negatív irányítású körívet, valamint a körív f(z) = iz függvény melletti képét. C csoport Feladat. Adjuk meg és ábrázoljuk az origó középpontú, negatív irányítású egységkörvonal + i kezdőpontú és végpontú γ körív képét az f(z) = ( + i) Log( z) függvény mellett.
Komplex függvények 5 Kvízek megoldása A csoport. Feladat megoldása. A ch z := ez + e z definícióban a p = e z helyettesítéssel p + p = p + p = 4 p + = 4p p + 4p + = 0 p, = 4 ± 6 4 = 4 ± = ±. Ha p = +, azaz e z = +, akkor ( z = log + ) ( = Log + ) ( + kπi = ln ) + πi + kπi, k Z. Ha p =, azaz e z =, akkor ( z = log ) ( = Log ) ( + kπi = ln + ) + πi + kπi, k Z. pt pt. Feladat megoldása. A γ(t) = [A, B] szakasz egy paraméterezése γ(t) = A + (B A)t = π ( π ( + πi + + πi π )) + πi t = π + πi + πt, (0 t ). Ekkor f(z) = e iz miatt f(γ(t)) = e i( π +πi+πt) = e π i+π πti = e π e i( π πt), (0 t ). Ez az origó középpontú, e π sugarú, negatív irányítású körvonal f(γ(0)) = e π e π i = e π i és f(γ()) = e π e π i = e π i pontjait összekötő ív. f(a) e π f(b) f(γ) pt
Komplex függvények 5 B csoport. Feladat megoldása. Mivel és ezért i ( i) log = e log = Log + kπi = ln + kπi, k Z i = e ( i)(ln +kπi) ln +kπi i ln +kπ = e = e ln +kπ e ikπ e i ln = e kπ e i ln, k Z. pt Így i = e kπ, k Z, ami pontosan akkor lesz, ha k = 0, és ekkor i = e i ln.. Feladat megoldása. A körív paraméterezése γ(t) = e it, π t 0. f(γ) pt Ezért γ f(γ(t)) = ie it = = e π i e it e ( π t)i = e i π t = e i π t 4, π t 0, ami az origó középpontú, sugarú, negatív irányítású körvonal pontjait összekötő ív. f(γ( π/)) = e π i, f(γ(0)) = e π 4 i pt
Komplex függvények 54 C csoport Feladat megoldása. Az f(z) függvény összetett, a belső függvény a ( ) gyel való szorzás, ami egy origó középpontú 80 os forgatás. + i γ(t) γ(t) i A γ(t) görbét két részre bontjuk a pont mentén, mert a Log z függvény nem folytonos a negatív valós tengely mentén: és Ebből l (t) = e it, π 4 t < π l (t) = e it, π t 0. f(l (t)) = ( + i) Log(l (t)) = ( + i) Log ( e it) = ( + i)( it) = t it, ez egy szakasz, kezdőpontja π 4 π i, végpontja π πi, ami nyitott. 4 Illetve f(l (t)) = t it, π t 0 is egy szakasz, kezdőpontja π + πi, végpontja 0. π 4 t < π, pt pt π f(l (t)) π π π f(l (t)) pt
4. fejezet Lineáris törtfüggvények Házi feladatok Lineáris törtfüggvények Lineáris törtfüggvénynek nevezzük az alakú függvényeket, ahol ad bc 0. f(z) = az + b cz + d Amennyiben c = 0, akkor a függvény lineáris és az alakba írható. Amennyiben c 0, akkor a függvény az alakra hozható. f(z) = αz + β, α 0 f(z) = α z + γ + β, α 0. Feladat. Az f(z) = ( i)z + i lineáris függvény esetén határozzuk meg a z = + i pont képét, majd vizsgáljuk, hogy milyen síkbeli transzformációnak felel meg a függvény. A z = + i pont képe az pont. ω = f(z) = ( i)( + i) + i = 5 + i + i = + i Ahogy azt láttuk, egy komplex számmal való szorzás a szám hosszával, azaz egy pozitív valós számmal vett szorzásnak, tehát egy origó középpontú nyújtásnak/kicsinyítésnek, és a szám szögével vett origó középpontú forgatásnak felel meg. Ezen transzformációk tetszőleges sorrendben elvégezhetők. Esetünkben i = e iπ/4, azaz 55
Lineáris törtfüggvények 56 a > miatt ez nyújtást és π szöggel történő forgatást jelent. 4 A komplex számok körében az összeadás egy eltolásnak felel meg, esetünkben ez a + i vektorral történik.. Feladat. Az f(z) = függvény esetén határozzuk meg a z = + i pont képét, majd z vizsgáljuk, hogy milyen síkbeli transzformációnak felel meg a függvény. A + i pont képe ω = f( + i) = + i = i 5 A z = re iϕ exponenciális alak használatával alapján kapjuk, hogy a reciprok függvény = 5 ( i) = 5 5 i. f(z) = z = re iϕ = r e iϕ = r re iϕ = r z egy x tengelyre való tengelyes tükrözést és egy origó középpontú egységkörre való inverziót jelent, melyeket tetszőleges sorrendben végezhetünk el. z z r z r r ω ω z Megjegyzés. Jól látható, hogy az inverzió és a tükrözés sorrendje felcserélhető.. Feladat. Az f(z) = z i függvény esetén határozzuk meg a z = i pont képét, iz + i majd adjuk meg, hogy milyen síkbeli transzformációnak felel meg a függvény. Az i komplex szám képe ω = f( i) = = ( i) i i( i) + i = 5i + i ( 5i)( i) 5 = + i 5 = 5 + 5 i.
Lineáris törtfüggvények 57 A síkbeli transzformációk meghatározásához, c = i 0 miatt a függvényt az alakra hozzuk: f(z) = α z + γ + β f(z) = z i iz + i = i z i z + = i z i z + i + i ( = i + 7i ) 7 + i = z + + i z + + i i. Ez a következő transzformációk sorozatát jelenti: az + i vektorral való eltolás (z ), reciprokképzés, ami az x tengelyre való tükrözés ( z ), és inverzió az egységkörre (z ), a 7 + i komplex számmal való szorzás, ami egy origó középpontú α = π arctg 7 szögű forgatás (z ), és egy origó középpontú 5-szoros nyújtás (z 4 ), végül a i vektorral való eltolás (z 5 ). z 4 z z 5 = ω z α z z z 4. Feladat. Adjuk meg azt a lineáris törtfüggvényt amely a 0, és i pontokat rendre az i, és pontokba viszi. Ekkor a 0 i,, i hozzárendelések alapján a függvényre az f(0) = i, f( ) = és az f( i) = összefüggések érvényesek.