Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Görbék, felületek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 20

TARTALOMJEGYZÉK 0.0.. Serret-Frenet képletek......................... 0.. Feladatok.................................... 2 0.2. Felületek..................................... 3 0.2.. Els alapforma............................. 4 0.2.2. Második alapforma........................... 6 0.2.3. Euler-Monge ábrázolás......................... 6 0.2.4. Görbületek............................... 7 0.3. Feladatok.................................... 8

6 TARTALOMJEGYZÉK A háromdimenziós euklideszi térben egy P pont helyzetét egy rögzített O ponthoz viszonyítva az OP = r helyvektorral adhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy a vektor folytonosan függ egy w valós skalár paramétert l, ami a w és w 2 között vesz fel értékeket. Az r : [w, w 2 ] R R 3. Descartes-i koordináta rendszerben r(w) = x(w)e x + y(w)e y + z(w)e z = (x(w), y(w), z(w)), ahol e x, e y és e z a megfelel tengelyek menti egységvektorok. A vektorfüggvény deriváltja egy adott P pontban ṙ(w) dr(w) dw = lim r(w) w 0 w = lim r(w + w) r(w) = ẋ(w)e x + ẏ(w)e y + ż(w)e z w 0 w A derivált is egy vektor, mely érint a görbéhez a P pontban. A vektorfüggvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályai azonosak a közönséges függvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályaival. 2. 3. d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (ϕa) = ϕa + ϕȧ dw ahol ϕ = ϕ(w) egy skalár függvény. A görbe mentén történ innitezimális elmozdulás (dw 0) esetén és a megfelel dl elemi ívhossz : dr = ṙdw = dxe x + dye y + dze z dl 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) dw 2 = ṙ 2 dw 2. () tehát ṙ = dl dw A görbe P (w ) és P (w 2 ) pontjai közötti szakasz ívhossza (2) l = w2 w dl = w2 w ṙ dw (3) Amennyiben létezik egy w = φ(u) bijektív megfeleltetés, akkor a görbét az u változóval szerint is átparaméterezhetjük: dr dw = r (u) φ (u) dl 2 = ṙ 2 dw 2 = r 2 du 2 (4) ahol kihasználtuk, hogy dw = φ (u)du. Következésképpen a (3) felírása az ívhossznak bármely paraméterezés esetén azonos alakú.

TARTALOMJEGYZÉK 7 Kiemelt jelent ség az ún. természetes paraméterezés mely során a paraméter a görbe egy adott pontjától számított ívhossz. u l esetén (4)-b l: dl 2 = r (l) 2 dl 2 ahonnan tehát r (l) = dr(l) dl =, e t r (l) (5) az érint irányába mutató (tangenciális) egységvektor. Vizsgáljuk az e t egységvektor az ívhossztól való függését. Mivel nagysága állandó, e 2 t =, ezért mer leges deriváltjára: de 2 t dl = 2e te t = 0. Bevezetve a e t irányába mutató e n egységvektort fennáll, hogy: Az ABRAXXXXXX alapjan görbe 2 e t e n = 0. e e t (l) e t (l) θ t = lim = e n lim = e n lim l 0 l l 0 l l 0 l = e n R, ahol R annak a körnek a sugara, amely a legjobban illeszkedik a görbéhez a P pontban. Tehát e n = Re t = Rr, (6) ahol R G = lim e t (l) l 0 l a görbe görbülete és R a megfelel görbületi sugara.a görbe P pontjához rendelt kör R sugara annak görbületi sugara, annak C középponja a görbületi középpont ( P C = Ren ). Például az egyenesnek nincsen görbülete (G = 0 R = ), az R sugarú kör görbülete annak minden pontjában G = /R=állandó és görbületi középpontja a kör középpontja. Egy görbe pontjaihoz tartozó görbületi középpontok mértani helyét r C = r P + P C = rp + Re n a görbe evolutájának nevezzük.deriválva az egyenletet a görbe l ívhosszának függvényében, gyelembe véve, hogy az evoluta ívhossza l c és érnt egységvektora e tc, l ce tc = d dl (r + Re n) = r + Re n + R e n = R e n Felhasználtuk még, hogy síkgörbék esetén e n = R e t. Mivel e tc ezért következik, hogy l c = ±R és e tc = ±e n ; és e n egységvektorok

8 TARTALOMJEGYZÉK az evoluta C pontjához huzott érint egyenes megegyezik az eredeti görbe P pontjának normálvektora által meghatározott egyenessel.ezért az evolutát, amelyet a görbületi középpontok mértani helyeként deniáltunk, ugyanolyan joggal a görbe normálissainak burkolójaként is deniálhattuk volna. A dl c = ±dr dierenciálegyenletet integrálva azt találjuk, hogy valamilyen a állandóra l c = a ± R. (ABRA)(Coxeter 37 old.)ha a P C egyenes szakaszt olyan merev rúdnak tekintjük, amely (csúszásmenetesen) gördül az evolután, akkor azt látjuk, hogy a rúd P vége az eredeti görbét rajzolja le.máskép kifejezve a P pontok mértani helye a C pontok egy evolvense(involutája). Helyesebb azt mondani, hogy egy evolvense, mint azt, hogy evolvense, ugyanis ha a rúdon különböz helyeken vesszük fel azt a pontot, amely a görbét rajzolja akkor különböz, egymással párhuzamos görbéket kapunk, amelyek mindegyike egy evolvens.(abra) Ha a jelölést megváltoztatjuk(r c, l c, e tc helyett r-et,l-et,e t -t írunk), akkor azt mondhatjuk, hogy adott görbe evolvensét leíró pont helyvektora r + (a l)e t. Bevezethetünk egy, az e t és e n egységvektorok által kifeszített síkra mer leges, újabb binormálisnak nevezett e b egységvektort: e b = e t e n (7) A három egységvektor a görbe adott pontjához kötött lokális koordinátarendszert, az ún. Frenet-féle triédert alkotják. Páronként a következ síkokat határozzák meg:. e t, e n : a görbe adott pontjának simuló síkja. Síkgörbék minden pontjának simulósíkja azonos. 2. e n, e b : a görbére mer leges normálsík. 3. e b, e t : rektikáló sík. A görbületi sugár kiszámításához szorozzuk be vektoriálisan a (6) egyenletet e t -vel. A (5) és (7) felhasználásával: e b = Rr r, ahonnan Mivel r = ṙ dw dl ahonnan a görbület Kifejtést követ en R = r r. (8) és r = d ( ṙ dw ) ( ) 2 dw dw dw dl dl = r + ṙ d dl 2 dw R ṙ r = 3. dl dw (ẋ2 R 2 + ẏ 2 + ż 2) 3 = (ẏ z ÿż) 2 + (żẍ zẋ) 2 + (ẋÿ ẍẏ) 2 ( ) 2 dw, dl

TARTALOMJEGYZÉK 9 Gyakran találkozunk a z =állandó, y = y(x) típusú síkgörbékkel. Ebben az esetben R 2 = ( + ẏ 2 ) 3 Alkalmazás: anyagi pont kinematikája A mozgástörvényt r = r(t), t [t, t 2 ] alakban adjuk meg, ahol t az id t jelöli. Az anyagi pont sebességvektora () és (2) felhasználásával ÿ 2 v ṙ = dr dt, (9) v = ve t, ahol v v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = dl dt. Az anyagi pont gyorsulása (9) alapján Mivel ezért a = a t + a n, ahol a dv dt = v = d2 r = r (0) dt2 a = ve t + ve t = ė t = de t dl dl dt = e n R v, a t = ve t, és a n = v2 R e n. a pont érint - illetve normál gyorsulása. Míg a t a sebesség nagyságának változását, addig a n az irányváltozás miatti gyorsulást jellemzi. Az utóbbit centripetális gyorsulásnak is nevezzük. A teljes gyorsulás nagysága a = a = v 2 + v4 R 2. Síkmozgás esetén gyakran használjuk az x, y Descartes-i koordinátarendszer helyett a ρ, ϕ polárkoordinátákat. A két rendszer az alábbi módon kapcsolódnak: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. azaz ρ = x 2 + y 2 = r, tan ϕ = y x. Tehát r = xe x + ye y = r(cos ϕe x + sin ϕe y ) re r A sebesség polárkoordinátákban v = ṙe r + rė r v r e r + v ϕ e ϕ,

0 TARTALOMJEGYZÉK ahol ugyanakkor e r = cos ϕe x + sin ϕe y, ė r = ϕe ϕ, e 2 r = e 2 ϕ = azaz a két új egységvektor is ortogonális. A gyorsulás ahol a () összefüggésekb l v r = ṙ, és v ϕ = ϕr, e ϕ = sin ϕe x + cos ϕe y, ė ϕ = ϕe r, e ϕ = 0. a = v = v r e r + v r e r + v ϕ e ϕ + v ϕ e ϕ = a r e r + a ϕ e ϕ, a r = r r ϕ 2, a ϕ = r ϕ + 2ṙ ϕ = r d ( r2 ϕ ) dt () A v r és a r mennyiségeket radiális sebességnek illetve gyorsulásnak nevezzük, a v ϕ és a ϕ pedig azimutális megfelel ik. A mozgástörvényt az (0) másodrend dierenciálegyenletrendszer (három egyenlet) megoldásaként kapjuk valamely r(t 0 ) = r 0 és v(t 0 ) = v 0 kezdeti feltételek ismeretében. Amennyiben adott az a(t) gyorsulás id beli változása a mozgástörvény egyszer en kiszámolható: t τ r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ) + dτ dτ a(τ ). t 0 t 0 A gyakorlati esetek többségében a gyorsulás a helyzett l és akár a sebességt l is függhet explicit módon. Ilyenkor az r = a(t, r, v), típusú általános alakú másodrend dierenciálegyenletrendszer megoldása valamely, a problémára szabott, analitikus vagy numerikus módszer révén kapható meg. A pont helyzetvektora a dr elemi elmozdulás során egy felületet súrol. Az df = 2 r dr Ḟ = 2 r v, (2) vektormennyiséget területi sebességnek nevezzük. Az xoy síkban történ mozgás esetén a területi sebesség nagysága F = 2 (xẏ yẋ) = 2 r2 ϕ (3) Mivel d (r v) = r a, dt radiális gyorsulás esetén (r a) az r v vektormennyiség, és ezáltal a (2) területi sebesség állandó. (3) alapján egy egyszer en összetett D tartomány területe kifejezhet a pereme mentén végzett integrállal: F (D) = xdy ydx. 2 D

TARTALOMJEGYZÉK 0.0.. Serret-Frenet képletek Serret(85),Frenet(852); Jean Frederic Frenet(86-900) Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. Mivel e n e n = ezért e n e n = 0 azaz az e n vektor és ívhossz szerinti deriváltja ortogonálisak. Következésképpen a e n = αe t + βe n + γe b Frenet-féle triéder szerinti felbontásban β = 0. Az egyenletet beszorozva skalárisan e t -vel és felhasználva a vektorok ortogonalitásából következ e n e t = e n e t illetve a (6) összefüggéseket, azt kapjuk, hogy α = /R. Ugyanakkor e b = (e t e n ) = e t e n = γe t e b = γe n. A T = /τ = γ együtthatót a görbe torziójának (csavarodásának ) nevezzük míg a τ a torzió (csavarodás) sugara. Segítségével a Serret-Frenet képletekben foglalható össze az egységvektorok ívhossz szerinti deriváltjai: e t = e n R, (4) e n = e t R + e b τ, (5) e b = e n τ. (6) A torzió a binormális vektor és egyúttal a simulósík elfordulásának szögsebességét jellemzi. Síkgörbe esetén T /τ = 0. Könnyen igazolható, hogy a Frenet-képletek felírhatók egységesen a D = Ge b + T e t,darboux-vektor,jean Gaston Darboux (842-97) segítségével,mivel az a = D a (7) összefüggés igaz az a = e t, a = e n és a a = e b esetekben, és ezért bármely olyan a vektorra, amely a mozgó triéderhez mereven kapcsolódik. Ha egy a vektort dϑ szöggel elforgatunk annak változása da = dϑ a vagy másként a = dϑ a. Összehasonlítva az el z kifejezést (7)-al azt kapjuk, hogy dl vagy mozgás esetén dϑ dl = dϑ dt dt dl = ω v D = dϑ dl,, ahol ω a forgás szögsebességének vektora ω = vd = v( e b R + e t τ ), nagysága ω = v G 2 + T 2 = v R + ( ) 2 T. G

2 TARTALOMJEGYZÉK A torzió kifejezhet közvetlenül a helyzetvektor deriváltjaival: (5) r = e t, (4) r = e n R, (5) r = e t R 2 + ( ) e n + e b R Rτ, (8) Képezzük a három derivált vegyes szorzatát: (r, r, r ) = (e t, e n, e b ) R 2 τ, ahonnan, az (e t, e n, e b ) = összefüggés és (8) gyelembevételével: τ = (r, r, r... ) (ṙ, r, r ) (r r = ) 2 (ṙ r) 2. Kinematikában a mozgás pályájának torziója: τ = (v, a, ȧ) (v a) 2 Az l természetes (ívhossz) paraméter δ növekménye a helyzetvektor r = r(l + δ) r(l) változását eredményezi. Az r(l) vektorfüggvény Taylor-sorába behelyettesítve a (8) összefüggéseket, a Frenet-triéder segítségével harmadrendig megközelíthet a r: r = r δ δ2 δ3 + r + r! 2! 3! + O(δ4 ) = ( ) ) = e t G2 6 δ δ + e n (G G δ 2 3 δ 2 + e G b 6τ δ3 + O(δ 4 ) (9) A fenti képletb l látható, hogy els rendben az érint irányú elmozdulás jelentkezik, míg a normálirányú elmozdulás csak másodrendben jut szerephez. A torzió egy tisztán harmadrend hatás. 0.. Feladatok Számítsuk ki az alábbi görbék gürbületét és csavarodását a megadott pontban:. r(u) = (u 3 2u 2 )e x +(3u+2)e y +(u 2 5)e z, u 0 =, G() = 3 3 7 4, τ() = 3. 2. r(u) = cosh ue x + sinh ue y + u(e) z, u 0 = τ; G(τ) = τ(τ) = 2 cosh 2 τ. Igazoljuk, hogy az alábbi görbék görbülete és csavarodása között fennáll, hogy: 3. r(u) = e u cos ue x + e u sin ue y + e u e z, G(u) = 2τ(u). 4. r(u) = e u e x + 2ue y + e u e z, G(u) = τ(u). Számítsuk ki az alábbi felületi görbedarabok ívhosszát:

0.2. FELÜLETEK 3 5. r(u, v) = au u2 + v 2 e x + e t, 0 t τ. l = τ a 2 + b 2 ; av u2 + v 2 e y + b arctan v u e z, u = e t cos t, v = 6. a cos u cos ve x + a cos u sin ve y + a sin ue z, u = t, v = log tan ( t 2 + ) π 4, 0 t τ. l = 2aτ; 7. A légcsavarra vonatkozóan adjuk meg a paraméter szerinti változását a következ mennyiségeknek: Frenet triédert ívhosszat görbületi sugarat torziót az elemi elmozdulás vektort harmad rendig Használjunk természetes paraméterezést. 0.2. Felületek Egy háromdimenziós térbeli felület egy kétdimenziós sokaság, melyet megadhatunk különböz formában: implicit: explicit: f(x, y, z) = 0, vagy f(r) = 0. z = z(x, y) Példa parametrikus:. Sík: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), vagy r = r(u, v) Implicit alak: Ax + By + Cz + D = 0. Az r 0 pontra illeszked és m vektorra mer leges sík: (r r 0 ) m = 0, (20) Az r 0 pontra illeszked valamint az a és b vektorokkal párhuzamos sík parametrikus alakja: r(u, v) = r 0 + ua + vb.

4 TARTALOMJEGYZÉK 2. Gömb: x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z = ± R 2 x 2 y 2, x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos v u [0, π), v [0, 2π) 3. Hengerfelület: Az r (u) vezérgörbéj és a alkotó-irányú hengerfelület parametrikus alakja: r(u, v) = r (u) + va 4. Kúpfelület : Az r (u) vezérgörbéj és r 0 csúcspontú kúpfelület felületegyenlete : r(u, v) = r 0 + v(r (u) r 0 ). 5. Csavarfelület: z = b arctan y x, y x tan z b = 0, x = av cos u, y = av sin u, z = bu. u R, v R +. 6. A e z tengelyirányú és ρ(z) meridiángörbéj forgásfelület: r(u, v) = e x ρ(u) cos v + e y ρ(u) sin v + e z u. 7. Az r (u) vezérgörbéj és r 2 (u) irányhatározójú vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vr 2 (u). 8. Az r (u) vezérgörbéj és ennek érint i képezte, tehát ṙ (u) irányhatározójú kifejthet vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vṙ (u). Az explicit felírási mód nem minden esetben alkalmazható. Például egy olyan zárt felület esetén mint a gömb 0.2.. Els alapforma Az r(u, v) felületen meghatározható egy görbe az u és v paraméterekre kiszabott újabb feltétellel. A legegyszer bb esetben az egyik paramétert rögzítve megkapjuk az r(u, c) vagy r(c, v), c=állandó, ún. paramétervonalakat. Meghatározható tetsz leges felületi görbe az u és v parametrikus kapcsolása révén: r = r[u(t), v(t)]. Ha a felületen elhelyezked r(u, v) pontból elmozdulunk egy tetsz legesen közel elhelyezked r(u + du, v + dv) másik pontba, akkor a megfelel elmozdulásvektor dr = r u du + r v dv, ahol r u r u, r v r v, (2)

0.2. FELÜLETEK 5 r u és r v a megfelel paramétervonalak és ugyanakkor a sík érint vektorai. A két érint vektor lineárisan független ezért kifeszítik a felület r u r v irányra mer leges érint síkját. (20) alapján a sík egyenlete: (R r) (r u r v ) = 0. A fenti vegyesszorzat koordinátás alakja: X x Y y Z z x u y u z u x v y v z v = 0 A dr elemi elmozduláshoz tartozó ívhossznégyzet: dl 2 = dr 2 = r 2 udu 2 + 2r u r v dudv + r 2 vdv 2 ahonnan ahol dl 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2, (22) E(u, v) = r 2 u, F (u, v) = r u r v, G(u, v) = r 2 v (23) A (22) egyenletet a felület els alapformájának az E, F és G függvényeket pedig Gaussféle els rend f mennyiségeknek nevezzük. A (22) bal oldala pozitív tehát jobboldala is egy pozitív denit bilineáris forma (pozitív tetsz leges du és dv-re). Ezért Sylvester-tétele alapján a megfelel mátrixra fennáll, hogy E F F G = EG F 2 > 0. Az érint síkra mer leges r u r v irány a felületi normális vektor. Nagysága r u r v 2 = r 2 ur 2 v (r u r v ) 2 = EG F 2. A felületi normális egységvektor tehát m = r u r v EG F 2. Az elemi felületvektor ds = r u r v dudv = m EG F 2 dudv. A paramétertérbeli D tartományhoz tartozó felület területe: S(D) = EG F 2 dudv. D Két változó esetén a fenti egyenl tlenséghez juthatunk úgy is, hogy a jobboldalon du -ben kialakított dv másodfokú polinom el jeltartását azaz F 2 EG diszkriminánsának negatív voltát követeljük meg.

6 TARTALOMJEGYZÉK 0.2.2. Második alapforma A (22) els alapforma a (2) els rend sorfejtésb l lett származtatva. Mint ilyen nem alkalmas olyan másodrend jellemz k leírására mint a görbület. A görbültség fogalmának egyértelm meghatározását adtuk a görbék esetén az e n normális egységvektor bevezetése kapcsán. Ennek segítségével közelítsünk most a felületekhez is. A felület egy adott P (u, v) pontjához egyértelm hozzárendelhet egy m normális egységvektor. Az illet ponton keresztülhaladó, de a felületen maradó, bármely r(l) görbe esetén értelmezett annak, az illet pontban vett e n normális vektora. Lokálisan a görbét úgy tekinthetjük, mint a felület és a görbe simulósíkjának metszetét. Az görbe R görbületi sugara nem jellemzi egyértelm en a felületet mivel végtelen sok síkkal metszhetjük azt. Ha viszont adott az nemezért a sorfejtésben vegyük gyelembe a másodrend tagokat is. A felületvektor növekményét az r = P (u, v) ponthoz képest r = r u du + r v dv + 2 ( ruu du 2 + 2r uv dudv + r vv dv 2) A felület metszése egy síkkal mely magába foglalja a P pontot egy felületi görbét határoz meg. Ha fenti r elmozdulás a görbe mentén történik, akkor a (9) egyenlet jobboldalának δ = dl-ben másodrend megközelítése ( ) r = e t G2 6 dl dl + e n G dl2 2. Ez, a felülethez a P pontban illeszked érint síkhoz képest, r m mérték elmozdulást jelent. Vessük össze a fenti két egyenlet jobboldalainak az m felületi normális egységvektorral képezett skaláris szorzatát. Ugyanakkor vegyük gyelembe, hogy az r u, r v és e t vektorok az m-re mer leges érint síkban helyezkednek el. ϕ-vel jelölve a görbe e n normális vektora és az m felületi normális közötti szöget megkapjuk a felület második alapformáját: cos ϕ R = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv 2 Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2. ahol, a Gauss-féle másodrend f mennyiségek kifejezhet k mint: L = r uu m = (r uu, r u, r v ) EG F 2, M = r uv m = (r uv, r u, r v ) EG F 2, N = r vv m = (r vv, r u, r v ) EG F 2. Vegyük észre, hogy a du és dv paramétertérbeli elemi elmozdulások nem függetlenek, hanem össze vannak kapcsolva a felületi görbén keresztül, mely 0.2.3. Euler-Monge ábrázolás Ha a felületet az explicit z = z(x, y) alakban adjuk meg akkor ez a parametrikus felírásban az u = x, v = y esetnek felel meg. Ebben az esetben r = (x, y, z(x, y)) és r u r x = (, 0, p), r v r y = (0,, q), p z x, q z y.

0.2. FELÜLETEK 7 ahonnan az els rend f mennyiségek E = r 2 x = + p 2, F = r x r y = pq, G = r 2 y = + q 2. Az felület els alapformája tehát míg a felületelem területe Bevezetve a dl 2 = ( + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + ( + q 2 )dy 2. ds = EG F 2 dxdy = + p 2 + q 2 dxdy. r z xx = p x, s z xy = p y = q x, t z yy = q y. jelöléseket, a másodrend f mennyiségek L = r + p2 + q, M = s 2 + p2 + q, N = t 2 + p2 + q. 2 Ha felületet az f(x, y, z) = 0 implicit alakban írjuk fel, akkor f x + f z z x = 0, f y + f z z y = 0, ahonnan p = f x f z, q = f y f z, 0.2.4. Görbületek A felület egy P pontjának m normálvektorát tartalmazó sík a felületet egy görbében metszi, amelyet normálmetszetnek nevezzük.vizsgáljuk meg a P ponton átmen normálmetszet görbületének változását, mid n a metsz sík a P -beli felületi normális körül forog. Mivel cos ϕ = ± ahonnan ± R = L du2 + 2M dudv + N dv 2 E du 2 + 2F dudv + G dv 2 Lξ 2 + 2Mξη + Nη 2 = ±, = L ( du dl ) 2 + 2M du dv dl dl + N ξ R du dl, η R dv dl. ( ) 2 dv = dl A fenti egyenlet Dupin-féle indikátrixként ismert kúpszeleteket határoz meg. Ennek geometriai értlemezéséért fejtsük Taylor-sorba az r = r(u, v) felületi vektort egy adott pont körül. r(u + u, v + v) = r + r u u + r v v+ F görbületek: R = Lh2 + 2Mh + N Eh 2 + 2F h + G = f(h), f (h) = 0. h = u v másodfokú polinomiális egyenlet

8 TARTALOMJEGYZÉK R 2 2H R + K = 0. H = ( + ) = EN 2F M + GL 2 R R 2 2 EG F 2 közép görbület K = = LN M 2 R R 2 EG F 2 Gauss-féle görbület 0.3. Feladatok Határozzuk meg az alábbi felületek megjelölt pontjához tartozó Gauss-féle els és másodrend f mennyiségeket és a két f görbületet:. r(u, v) = e u e x + e v e y + (u v)e z, u = v = 0. E(0, 0) = 2, F (0, 0) =, G(0, 0) = 2, L(0, 0) = 3, M(0, 0) = 0, N(0, 0) = 3 ; 2. r(u, v) = (u 2 3v 2 )e x + (uv v 3 )e y + (u 4 2v)e z, u =, v = ; E(, ) = 2, F (, ) = 6, G(, ) = 56, L(, ) = 32 920, M(, ) = 20 920, N(, ) = 2 920.