Kapitola X. Základní pojmy Karta X.0. ( úvodem ). struktura matematického textu: axióm; definice; věta; tvrzení; lemma; důsledek; {z } poznámka; příklad důkaz. postulát: (i) Zápisem a 6= b rozumíme, že a i b existují a nerovnají se. (alternativn interpretace... nen pravda, ze se rovnaj... pripoust i neexistenci) (ii) Hovoříme-li o množině, vždy máme na mysli množinu neprázdnou... není-li řečeno jinak. (iii) Hovoříme-li o vybírámí prvků x 1, x 2, x 3, : : : z množiny, tak je vždy z čeho vybírat. (iv) Rozlišujeme mezi pojmy načrtnutý a sestrojený (nakreslený, namalovaný, narýsovaný) graf sestrojený graf: vypoctene hodnoty, tabulka a presne vynesen do grafu. načrtnutý graf: je otazkou citu; mus respektovat vyznamne hodnoty, zaroven ale poskytuje informaci o monotonii, diferencovatelnosti, extremech, periodicite, chovan v nekonecnu atd.... proste informuje o vsem co nas zajma... tj. 'z nacrtnuteho grafu je videt...' ;)
Karta X.0. ( výroky ). výrok: pro nás jakékoli tvrzení, u kterého má smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé (podle toho pak vyrok budeme nazyvat pravdivym nebo nepravdivym). výroková forma: je jakékoli tvrzení V (x) obsahující jednu nebo více proměnných x, které se po dosazení přípustných hodnot stává výrokem.. logické spojky: A; :A negace cteme: negace A... A ^ B konjunkce A a zaroven B... A _ B disjunkce A nebo B... A ) B implikace z A plyne B..., nebo jestlize A, pak B... A, B ekvivalence A je ekvivalentn s B..., nebo A prave tehdy kdyz B.... podmínky: A je nutnou podmínkou pro B, pokud B nemůže platit, aniž by platilo A A ( B A je postačující podmínkou pro B, pokud B platí vždy, když platí A A ) B A je nutnou a postačující podmínkou pro B, pokud B platí právě tehdy, když platí A A, B. kvantifikátory: 8 obecný kvantifikátor cteme: pro kazde..., nebo pro vsechna... 9 existenční kvantifikátor existuje..., nebo existuje alespon jeden... 9! existuje prave jeden... @ neexistuje..., nebo nen pravda, ze existuje.... kvantifikované výroky: 8x 2 D : V (x) cteme: pro kazde x z D plat V (x) 9x 2 D : V (x) existuje x z D takove, ze plat V (x) 9!x 2 D : V (x) existuje prave jedno x z D takove, ze plat V (x)
Karta X.0. ( množiny ). množina: pojem nedefinujeme, pouze citujeme: Mnozina je souhrn objektu, ktere jsou presne urcene " a rozlisitelne a tvor soucast sveta nasich predstav a myslenek; tyto objekty nazyvame prvky mnoziny.\ Georg Cantor. operace s možinami: x 2 A; x =2 A : : : x je prvkem resp. x nen prvkem mnoziny A A B, 8x : x 2 A ) x 2 B cteme: A je podmnozinou B, A = B, 8x : x 2 A, x 2 B A je rovno B, n o A [ B = x : x 2 A _ x 2 B A sjednoceno s B, n o A \ B = x : x 2 A ^ x 2 B A prunik B, n o A B = x : x 2 A ^ x =2 B A mnus B.. množina všech reálných čísel: R = ( 1; +1) tj. 1 =2 R; +1 =2 R; existuje take rozsrena mnozina vsech realnych csel: R = h 1; +1i, kde 1 2 R. podmnožiny R: N množina všech přirozených čísel, 1; 2; 3; : : :, N 0 množina všech přirozených čísel a nuly, 0; 1; 2; 3; : : :, Z množina všech celých čísel, 0; 1; 2; 3 : : :, 1 Q množina všech racionálních čísel, ; 22 ; 8; 12 2 7 R n Q množina všech iracionálních čísel, ; p 2; sin 3; : : : N N 0 Z Q R (a; b) otevřený interval (a; bi zleva otevřený, zprava uzavřený ha; b) zleva uzavřený, zprava otevřený ha; bi uzavřený interval (a; +1) ha; +1) ( 1; bi ( 1; b) (a; +1i ha; +1i h 1; bi h 1; b) X X X X okoĺı bodu c U (c) = (c ; c + ) prstencové okoĺı bodu c P (c) = (c ; c) [ (c; c + ). zajímavé množiny: TRIAL! POMŮCKY! HERBÁŘE! MNOŽINY
Karta X.0. ( axiómy oboru reálných čísel ) Axiómy operací: A1 8 x; y; z 2 R : (x + y) + z = x + (y + z) (x y) z = x (y z) A2 8 x; y 2 R : x + y = y + x x y = y x ) ) asociativita komutativita A3 8 x; y; z 2 R : x (y + z) = x y + x z distributivita Axiómy existenční: A4 9 0 2 R 8 x 2 R : A5 9 1 2 R f0g 8 x 2 R : x + 0 = x x 1 = x A6 8 x 2 R 9 y 2 R : x + y = 0 A7 8 x 2 R f0g 9 y 2 R : x y = 1 ) ) neutraln prvek opacny prvek Axiómy uspořádání: A8 8 x; y 2 R : x < y _ x = y _ x > y trichotomie A9 8 x; y; z 2 R : (x < y ^ y < z) ) x < z tranzitivita A10 8 x; y; z 2 R : x < y ) x + z < y + z A11 8 x; y 2 R : (0 < x ^ 0 < y) ) 0 < x y ) monotonie Axióm úplnosti: A12 8 X; Y R : 8 x 2 X 8 y 2 Y : x y ) 9 c 2 R : 8 x 2 X 8 y 2 Y : x c y
Definice X.1. ( vnitřní, izolovaný, hromadný a hraniční bod množiny ) Mějme neprázdnou množinu A R. Řekneme, že i) bod c 2 A je vnitřní bod A, jestliže existuje jeho okoĺı takové, že U (c) A, ii) bod c 2 A je izolovaný bod A, jestliže existuje jeho prstencové okoĺı takové, že P (c) \ A = ;, iii) bod c 2 R je hromadný bod A, jestliže pro každé jeho prstencové okoĺı platí P (c) \ A 6= ;, iv) bod c 2 R je hraniční bod A, jestliže pro každé jeho okoĺı platí U (c) 6 A ^ U (c) \ A 6= ;. uzávěr množiny: vnitřek množiny... množina všech vnitřních bodů A = Int A [ @A hranice množiny... množina všech hraničních bodů
Definice X.2. ( spočetná a nespočetná množina ) Řekneme, že neprázdná množina A R je: i) konečná, jestliže má konečný počet prvků, ii) nekonečná, jestliže není konečná (a) spočetná, pokud není konečná, ale každému jejímu prvku lze přiřadit právě jeden prvek množiny N. (b) nespočetná, pokud není konečná ani spočetná. o mnozine, ktera je bud' konecna nebo spocetna hovorme jako o mnozine nejvyse spocetne.
Definice X.3. ( omezená množina ) Řekneme, že neprázdná množina A R je i) omezená zdola, jestliže existuje číslo m 2 R takové, že 8x 2 A : x m, ii) omezená shora, jestliže existuje číslo M 2 R takové, že 8x 2 A : x M. Konečně A je omezená množina, pokud je omezená zdola i shora.
Definice X.4. ( minimum a maximum množiny ) Řekneme, že neprázdná množina A R má i) minimum, jestliže existuje číslo a 2 A takové, že 8x 2 A : x a ii) maximum, jestliže existuje číslo b 2 A takové, že 8x 2 A : x b pseme: min A = a; max A = b
Definice X.5. ( infimum a supremum množiny ) Řekneme, že neprázdná množina A R má i) infimum, jestliže existuje číslo 2 R takové, že 8x 2 A : x a zároveň platí: 8x 1 2 R : x 1 > ) 9x 2 2 A : x 2 < x 1 ii) supremum, jestliže existuje číslo 2 R takové, že 8x 2 A : x a zároveň platí: 8x 1 2 R : x 1 < ) 9x 2 2 A : x 2 > x 1 pseme: inf A = ; sup A =
Věta X.6. ( vlastnosti infima, suprema, minima a maxima množiny ) Mějme neprázdné množiny A; B R. i) A má vždy právě jedno ( infimum.......................... 9! inf A supremum.......................... 9! sup A ii)............................................................ iii) pokud A B, potom.............................. iv) pokud A má minimum a maximum, potom......... v) A není omezená 8 < : 8 < : inf A sup A inf A inf B sup A sup B min A = inf A max A = sup A ( zdola právě tehdy, když................ inf A = 1 shora právě tehdy, když................ sup A = +1 0 @ v prpade neexistence minima nebo maxima pseme: X X X X X X @ min A; @ max A; min A = 1; max A = +1; 1 A
Definice X.7. ( absolutní hodnota ) Absolutní hodnota reálného čísla x 2 R je větší z čísel x a x, tj. jxj := ( x pro x 0; x pro x < 0:
Věta X.8. ( vlastnosti absolutní hodnoty ) 1. 8a 2 R : j aj = jaj, 2. 8a 2 R : p a 2 = jaj, 3. 8a; b 2 R : ja + bj jaj + jbj (trojúhelníková nerovnost).
Definice X.9. ( systém do sebe vložených intervalů ) Množina uzavřených intervalů fha n ; b n i : n 2 N; a n 2 R; b n 2 R; a n b n g se nazývá systém do sebe vložených intervalů, jestliže pro každé n 2 N platí ha n+1 ; b n+1 i ha n ; b n i :
Věta X.10. ( princip do sebe vložených intervalů ) Libovolný systém do sebe vložených intervalů má neprázdný průnik.
Kapitola 1. Posloupnosti Karta 1.0. ( aritmetika a neurčité výrazy na R* ) Usporadan na rozsrene mnozine realnych csel R = h 1; +1i a absolutn hodnota: 1 < +1 1 < c < +1 pro kazde c 2 R j 1j = j + 1j = +1 Strucne o aritmetice R : ( 1) = 1 c + ( 1) = 1 pro c 6= 1 ( 1 pro c > 0 c ( 1) = 1 pro c < 0 c = 0 pro c 2 R 1 (+1) c = c +1 = c 1 = ( ( ( 0 +1 0 +1 +1 0 pro c < 0 pro c > 0 pro 0 < c < 1 pro c > 1 pro 0 < c < 1 pro c > 1 odkud je vsak na prvn (druhy, tret,...) pohled zrejme, ze existuje 7 problematickych operac: " 1 1 " "cokoli " "0 1" "1 1" "1 1 " "0 0 " "1 0 " 0 Souhrne je nazyvame neurčité výrazy a snadno se s nimi muzeme setkat pri vypoctu limit: Okol nevlastnch csel 1: a n lim limita typu " 1 n!+1 b n 1 " resp. "0 0 " lim a n b n limita typu "0 1" n!+1 lim (a n b n ) limita typu "1 1" n!+1 lim n!+1 abn n limita typu "1 1 " resp. "0 0 " resp. "1 0 " okoĺı plus nekonečna U (+1) = (1=; +1i prstencové okoĺı plus nekonečna P (+1) = (1=; +1) okoĺı mínus nekonečna U ( 1) = h 1; 1=) prstencové okoĺı mínus nekonečna P ( 1) = ( 1; 1=)
Karta 1.0. ( limity posloupností ) ln n p n n n 2 n 3 n k e n n! n n. lim n!+1 qn = n k. lim n!+1 a = n 8 >< >: 8 >< >: 0 pro 1 < q < 1 1 pro q = 1 +1 pro 1 < q @ pro q 1 0 pro jaj > 1 +1 pro 0 < a 1 @ pro 1 a < 0 k 2 N ln n. lim n!+1 n = 0 n!+1 lim log a n = 0 pro a > 0; a 6= 1; k 2 N n k. lim n!+1. lim n!+1 e n n! = 0 lim n!+1 n! a n n n = 0 jaj>1 z } { n! = 0 pro a 2 R log a n n k a n n! n n {z } a>0; a6=1 {z } a2r k 2 N. lim n!+1 np n = 1 lim n!+1 np a = 1 pro a > 0. lim n!+1 1 + 1 n! n! = e lim n!+1 1 1 n = 1 n e
Definice 1.1. ( posloupnost reálných čísel ) Posloupnost reálných čísel je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot množina H R. pseme: (a n ) ; (a n ) +1 n=1 ; (a 1; a 2 ; a 3 ; : : : ) ; (a n ) n2n Číslu n říkáme index prvku a číslu a n n-tý člen posloupnosti.
Definice 1.2. ( algebra posloupností ) Posloupnosti 8 >< >: (a n + b n ) (a n b n ) (a n b n ) a n bn nazýváme 8 >< >: součtem rozdílem součinem podílem posloupností (a n ) a (b n ). ( v prpade podlu predpokladame b n 6= 0 pro vsechna n 2 N )
Definice 1.3. ( omezená posloupnost ) Řekneme, že posloupnost (a n ) je i) omezená zdola, jestliže existuje číslo m 2 R takové, že 8n 2 N : a n m, ii) omezená shora, jestliže existuje číslo M 2 R takové, že 8n 2 N : a n M. Konečně (a n ) je omezená posloupnost, pokud je omezená zdola i shora. pro omezene posloupnosti se casto pouzva zapis 9K > 0 8n 2 N : ja n j K
Definice 1.4. ( monotónní posloupnost ) Posloupnost (a n ) se nazývá: klesající; platí-li 8n 2 N : a n a n+1 ; rostoucí; platí-li 8n 2 N : a n a n+1 ; 9 = ; monotónní, ostře klesající; platí-li 8n 2 N : a n > a n+1 ; ostře rostoucí; platí-li 8n 2 N : a n < a n+1 ; 9 = ; ostře monotónní:
Definice 1.5. ( minimum, maximum, infimum a supremum posloupnosti ) Minimem Maximem Infimem Supremem 9 >= >; posloupnosti a n, rozumíme minimum maximum infimum supremum 9 >= >; množiny na n o. korektne mnozina fa n g = fa 2 R; 9 n 2 N : a = a n g je oborem hodnot posloupnosti
Definice 1.6. ( podposloupnost ) Necht je dána posloupnost (a n ) a necht (k1 ; k 2 ; k 3 ; : : :) je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost (a k n ) se nazývá posloupnost vybraná z posloupnosti (a n) nebo také podposloupnost posl. (a n ).
Věta 1.7. ( monotónní podposloupnost ) Z každé posloupnosti v R lze vybrat monotónní podposloupnost (tj. rostoucí nebo klesající podposloupnost).
Definice 1.8. ( limita posloupnosti ) Řekneme, že posloupnost (a n ) má limitu, jestliže existuje a 2 R takové, že 8 " > 0 9 n 0 2 N 8 n 2 N : n > n 0 ) a n 2 U " (a) pseme: lim a n = a lim a n = a a n! a n!+1 Rozlišujeme: limitu vlastní : : : a 2 R limitu nevlastní : : : a = 1 Posloupnost (a n ) nazveme: konvergentní pokud má vlastní limitu, divergentní pokud má limitu nevlastní a nebo limita neexistuje.
Věta 1.9. ( o limitách posloupností ) i) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. ii) Každá konvergentní posloupnost je omezená konvergentn ) omezena iii) Každá omezená a monotónní posloupnost je konvergentní. konvergentn ( omezena + monotonn lim an = inffang lim an = supfang klesajc rostouc X X X omezena =) konvergentn monotonn =) konvergentn konvergentn =) monotonn
Věta 1.10. ( Bolzano-Weierstrassova věta ) Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
Věta 1.11. ( algebra limit posloupností ) Mějme dvě posloupnosti, které mají limitu: 8 < : a n! a; b n! b: Potom má limitu i jejich součet, rozdíl, součin a podíl, přičemž platí: lim (a n b n ) = lim a n lim b n = a b n!+1 n!+1 n!+1 lim a n b n = lim a n lim b n = a b n!+1 n!+1 n!+1 a n lim = n!+1 b n lim n!+1 a n lim n!+1 b n = a b 0 B @ pokud na prave strane nen neurcity vyraz
Věta 1.12. ( o nerovnostech ) Mějme dvě posloupnosti, které mají limitu Pokud ( an! a; b n! b: i) pro skoro všechna n je a n b n, potom lim a n lim b n: n!+1 n!+1 ii) je lim a n > lim b n, potom n!+1 n!+1 a n > b n pro skoro všechna n.
Věta 1.13. ( o sevření ) Mějme tři posloupnosti (a n ), (b n ), (c n ) a předpokládejme, že: i) pro skoro všechna n platí.................................. a n b n c n ii) posloupnosti (a n ), (c n ) mají stejnou limitu.................... & #. a Potom má posloupnost (b n ) také limitu a platí: lim b n = a n!+1
Definice 1.14. ( Eulerovo číslo ) Eulerovo číslo definujeme vztahem e = lim n!+1 1 + 1 n n : =
Definice 1.15. ( cauchyovská posloupnost ) Reálná posloupnost (a n ) se nazývá cauchyovská v R (fundamentální v R), jestliže: 8 " > 0 9 n 0 2 N 8 n; m 2 N : n > n 0 ^ m > n 0 ) ja n a m j < ":
Věta 1.16. ( cauchyovskost a omezenost ) Je-li posloupnost (a n ) cauchyovská v R, potom je omezená.
Věta 1.17. ( Bolzano-Cauchyovo kritérium ) Posloupnost (a n ) je konvergentní v R právě tehdy, když je cauchyovská v R.
Definice 1.18. ( horní a dolní limita ) Číslo c 2 R je hromadný bod posloupnosti (a n ), pokud existuje podposloupnost (a k n ) posloupnosti (a n), pro kterou platí lim a n!+1 kn = c: n o Označme: M = c 2 R : c je hromadný bod posloupnosti (an ) Supremum (infimum) množiny M nazveme horní (dolní) limitou posloupnosti (a n ): lim a n = sup M ( = lim sup n!+1 n!+1 lim n!+1 a n tzv. limes superior ) a n = inf M ( = lim inf n!+1 a n tzv. limes inferior )
Věta 1.19. ( nutná a postačující podmínka existence limity ) Posloupnost (a n ) má limitu právě tehdy, když její horní a dolní limita jsou si rovny.
Kapitola 2. Řady Karta 2.0. ( číselné řady ). některé konvergentní řady: +1X n=1 1 n 2 ; +1X n=1 1 2 n ; +1X n=1 1 n! ; +1X n=1 1 n n ; +1X n=1 0 = 0;. některé divergentní řady: +1X n=2 1 ln n ; +1X n=1 1 p n ; +1X n=1 1 n ; +1X n=2 1 n ln n ; +1X n=1 1 = +1; +1X n=1 ( 1) n ;. geometrická řada: +1X n=1 q n 1 = 1 + q + q 2 + q 3 + : : : 8>< >: = 1 1 q pro jqj < 1; = +1 pro q 1; diverguje pro q 1; nx k=1 q k 1 = 8>< >: n pro q = 1; 1 q n 1 q pro q 6= 1:. a další... +1X 1 n n=1 8< : konverguje pro > 1; diverguje pro 1:
Definice 2.1. ( číselná řada ) Mějme posloupnost reálných čísel (a n ). Nekonečná řada je symbol +1X n=1 a n ; kterým označujeme výraz: a 1 + a 2 + a 3 + : : :. Posloupnost částečných součtů řady je posloupnost (s n ), kde s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 =. a 1 + a 2 + a 3 s n =. a 1 + a 2 + a 3 + : : : + a n Čísla a n jsou členy řady, čísla s n jsou částečné součty řady. nemuze-li dojt k zamene, pripoustme zapis X a n
Definice 2.2. ( konvergentní a divergentní řada ) Řadu X a n nazveme konvergentní, je-li konvergentní její posloupnost částečných součtů (s n ). pseme: +1X n=1 a n = lim n!+1 s n = S; kde S nazyvame soucet rady Řadu X a n nazveme divergentní, je-li divergentní její posloupnost částečných součtů (s n ). pseme: +1X a n diverguje, prpadne +1X n=1 n=1 a n = 1
Věta 2.3. ( operace s řadami ) X Je-li a n = a, X b n = b, a; b 2 R, ; 2 R, potom X a n + b n = X a n + X b n = a + b; pokud výraz a + b není neurčitým výrazem.
Věta 2.4. ( Bolzano-Cauchyovo kritérium ) Řada X a n je konvergentní právě tehdy, když 8 " > 0 9 n 0 2 N 8 n 2 N 8 p 2 N : n > n 0 ) ja n+1 + a n+2 + + a n+p j < ":
Věta 2.5. ( nutná podmínka konvergence ) Je-li řada X a n konvergentní, potom lim n!+1 a n = 0.
Věta 2.6. ( postačující podmínka konvergence ) Jestliže řada X ja n j konverguje, potom konverguje také řada X a n.
Definice 2.7. ( absolutně konvergentní řada ) Řada X a n se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada X ja n j. Řada X a n se nazývá relativně (neabsolutně) konvergentní, pokud X a n konverguje, ale X ja n j diverguje.
Věta 2.8. ( srovnávací kritérium ) Mějme dvě řady X a n, X b n takové, že 8n 2 N : 0 a n b n : Potom X X i) když konverguje X b n, konverguje také X a n, ii) když diverguje a n, diverguje také b n. X X X X Řadě b n říkáme majoranta řady a n, řadě a n říkáme minoranta řady b n.
Věta 2.9. ( limitní srovnávací kritérium ) Mějme dvě řady X a n, X b n takové, že 8n 2 N : a n 0 a b n > 0: Pokud existuje vlastní limita a n lim > 0; potom n!+1 b n X a n konverguje, X b n konverguje, X a n diverguje, X b n diverguje.
Věta 2.10. ( d Alembertovo kritérium ) Mějme řadu X a n s kladnými členy. i) Jestliže existuje q 2 (0; 1) takové, že 8 n 2 N : a n+1 a n q < 1, potom řada X a n konverguje. ii) Jestliže 8 n 2 N : a n+1 a n 1, potom řada X a n diverguje.
Věta 2.11. ( limitní d Alembertovo kritérium ) X a n+1 Mějme řadu a n s kladnými členy a necht existuje limita lim : n!+1 a n Potom i) je-li lim a n+1 a n < 1; řada X a n konverguje, X ii) je-li lim a n+1 > 1; řada a n diverguje. a n
Věta 2.12. ( Cauchyovo kritérium ) Mějme řadu X a n s nezápornými členy. i) Jestliže existuje q 2 (0; 1) takové, že 8 n 2 N : n p a n q < 1, potom řada X a n konverguje. ii) Jestliže 8 n 2 N : n p a n 1, potom řada X a n diverguje.
Věta 2.13. ( limitní Cauchyovo kritérium ) Mějme řadu X a n s nezápornými členy a necht existuje limita lim n!+1 Potom i) je-li lim np a n < 1; řada X a n konverguje, ii) je-li lim np a n > 1; řada X a n diverguje. np an :
Definice 2.14. ( alternující řada ) Necht (an ) je posloupnost kladných čísel. Řada se nazývá alternující řada. +1X n=1 ( 1) n+1 a n = a 1 a 2 + a 3 : : :
Věta 2.15. ( Leibnizovo kritérium ) Necht 8 n 2 N : a n a n+1 > 0 a lim n!+1 a n = 0. Potom alternující řada konverguje. +1X n=1 ( 1) n+1 a n
Kapitola 3. Funkce Karta 3.0. ( tabulka základních funkcí ) 1. lineární funkce: 2. kvadratická funkce: 3. racionální lomená funkce: 4. exponenciální funkce: 5. logaritmická funkce: 6. funkce goniometrické y = ax + b; a; b 2 R: y = ax 2 + bx + c; a; b; c 2 R; a 6= 0: y = ax + b ; a; b; c; d 2 R; c 6= 0: cx + d y = e x ; obecne: y = a x ; a > 0; a 6= 1 y = ln x; obecne: y = log a x; a > 0; a 6= 1 : y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = cotg x: : 7. funkce cyklometrické y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arccotg x: 8. funkce hyperbolické y = sinh x; y = cosh x; y = tgh x; y = cotgh x: 9. funkce hyperbolometrické y = argsinh x; y = argcosh x; y = argtgh x; y = argcotgh x: 10. funkce celé části argumentu y = [x] = 11. funkce absolutní hodnoty 12. funkce signum 13. Dirichletova funkce 8 >< >: dxe = min fz 2 Z; z xg pro x < 0; (horn cela cast) 0 pro x = 0; bxc = max fz 2 Z; z xg pro x > 0; (doln cela cast) y = jxj = y = sgn x = D(x) = 8 >< >: 8 >< >: x pro x > 0; 0 pro x = 0; x pro x < 0: 1 pro x > 0; 0 pro x = 0; 1 pro x < 0: ( 1 pro x 2 Q; 0 pro x 62 Q:
Definice 3.1. ( funkce reálné proměnné ) Zobrazení f, které zobrazí množinu D R na množinu H R nazveme funkcí jedné reálné proměnné. zapisujeme: f : D! R; nebo f : D! H; nebo y = f(x); x 2 D Množinu D = D(f) nazýváme definičním oborem a x 2 D(f) je nezávislou proměnnou. Množinu H = H(f) nazýváme oborem hodnot a y 2 H(f) je funkční hodnotou.
Definice 3.2. ( restrikce funkce ) Funkci g nazveme restrikcí (zúžením) funkce f, pokud i) D(g) D(f); ii) 8 x 2 D(g) : g(x) = f(x):
Definice 3.3. ( rovnost funkcí ) Funkce f a g jsou si rovny jestliže i) D(f) = D(g); ii) 8 x 2 D(f) : f(x) = g(x): pseme f = g
Definice 3.4. ( algebraické operace s funkcemi ) Mějme funkce f a g se stejným definičním oborem D. Funkce 8 >< >: f(x) + g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) nazýváme 8 >< >: součtem rozdílem součinem podílem funkcí f a g. ( v prpade podlu predpokladame g(x) 6= 0 pro vsechna x 2 D )
Definice 3.5. ( vlasntnosti funkcí ) Mějme funkci f, množinu M D(f) a interval I D(f). Funkce f se nazývá 1. rostoucí na M, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 M : x 1 < x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 2. klesající na M, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 M : x 1 < x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 3. ostře rostoucí na M, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 M : x 1 < x 2 ) f(x 1 ) < f(x 2 ) 4. ostře klesající na M, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 M : x 1 < x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) ) ) monotónní ostře monotónní 5. konvexní na I, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 I 8 2 h0; 1i : f(x 1 + (1 )x 2 ) f (x 1 ) + (1 )f(x 2 ) 6. konkávní na I, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 I 8 2 h0; 1i : f(x 1 + (1 )x 2 ) f (x 1 ) + (1 )f(x 2 ) 7. ostře konvexní na I, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 I 8 2 (0; 1) : x 1 6= x 2 ) f(x 1 + (1 )x 2 ) < f (x 1 ) + (1 )f(x 2 ) 8. ostře konkávní na I, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 I 8 2 (0; 1) : x 1 6= x 2 ) f(x 1 + (1 )x 2 ) > f (x 1 ) + (1 )f(x 2 ) 9. sudá na symetricke množině M, platí-li 8 x 2 M : f( x) = f(x) 10. lichá na symetricke množině M, platí-li 8 x 2 M : f( x) = f(x) 11. periodická na M, když existuje T > 0 tak, že i) 8 x 2 M : x + T 2 M ^ x T 2 M ii) 8 x 2 M : f(x + T ) = f(x) 12. omezená na M, když existuje K > 0 tak, že 8 x 2 M : jf(x)j K 13. zdola omezená na M, když existuje K 2 R tak, že 8 x 2 M : K f(x) 14. shora omezená na M, když existuje K 2 R tak, že 8 x 2 M : f(x) K 15. prostá na M, platí-li 8 x 1 ; x 2 2 M : x 1 6= x 2 ) f(x 1 ) 6= f(x 2 )
Věta 3.6. ( postačující podmínka prosté funkce ) Je-li funkce f ostře monotónní, potom je prostá.
Definice 3.7. ( rovnice o jedné neznámé ) Mějme funkci f a reálné číslo b. Úloha najít x 0 2 D(f) takové, že f(x 0 ) = b, se nazývá rovnice o jedné neznámé a zapisuje se f(x) = b: Číslo x 0 je řešení, nebo také kořen rovnice.
Věta 3.8. ( řešitelnost rovnice ) Mějme rovnici f(x) = b. i) Pokud je b 2 H(f), má rovnice alespoň jedno řešení. ii) Pokud je funkce f prostá na D(f), má rovnice nejvýše jedno řešení. iii) Pokud je splněno i) a ii), má rovnice právě jedno řešení.
Definice 3.9. ( inverzní funkce ) Mějme prostou funkci f : D(f)! H(f). Funkci, která každému y 2 H(f) přiřazuje to jediné x 2 D(f), pro které je f(x) = y, nazýváme inverzní funkcí k funkci f a značíme f 1 : H(f)! D(f): pseme y = f(x) a x = f 1 (y)
Věta 3.10. ( postačující podmínka existence inverzní funkce ) Je-li funkce f : D(f)! H(f) ostře monotónní, potom existuje inverzní funkce f 1 : H(f)! D(f).
Definice 3.11. ( složená funkce ) Mějme funkce f(x) a g(x) takové, že: f : D(f)! H(f); g : D(g)! H(g); kde H(g) D(f). Funkce h(x) definovaná předpisem h(x) = f( g(x) ) je složená funkce funkcí f a g a platí: h : D(g)! H(f):
Kapitola 4. Limity Karta 4.0. ( limity funkcí ). pro x! 0 platí x sin x tg x sinh x tgh x arcsin x arctg x argsinh x argtgh x ln(1 + x) e x 1. lim x!+1 1 + a x x = e a ; lim x! 1 ln(1 + x) lim x!0 x lim x!0 e x 1 x lim x!+1 ax = log = 1; a (1 + x) lim x!0 x = 1; a x 1 lim x!0 x 8 0; >< 0 a < 1; 1; a = 1; >: +1; a > 1; lim a x = 1; a > 0; x!0 lim x!+1 x ln x lim x!+1 x e x = 0; lim x!+1 lim x ln x = 0: x!0+ 1 + a x x = e a ; a 2 R; lim x! 1 ax = x n = 1 ; a > 0; a 6= 1; ln a = ln a; a > 0; 8 +1; 0 a < 1; >< 1; a = 1; >: 0; a > 1; e ax = 0; a > 0; n 2 N; (ln x) n = 0; lim = 0; a > 0; n 2 N; x!+1 x a
Definice 4.1. ( částečná limita ) Číslo c 2 R je částečná limita funkce f pro x! x 0, pokud existuje posloupnost (x n ), x n 2 D(f), x n 6= x 0, taková, že lim x n = x 0 a lim f(x n) = c: n!+1 n!+1
Definice 4.2. ( horní a dolní limita ) Supremum (infimum) množiny všech částečných limit funkce f v bodě x 0 nazveme horní (dolní) limitou funkce f: lim x!x0 f(x) = sup M ( = lim sup x!x0 f(x) tzv. limes superior ) kde lim x!x0 f(x) = inf M ( = lim inf x!x0 n M = c 2 R : c je částečná limita funkce f v bodě x 0 o: f(x) tzv. limes inferior )
Definice 4.3. ( Heineho definice limity ) Mějme funkci f : D(f)! R a bod x 0 2 R, který je hromadným bodem definičního oboru D(f). Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 limitu b 2 R, jestliže pro každou posloupnost (x n ), x n 2 D(f), x n 6= x 0, která má limitu x 0, posloupnost funkčních hodnot f(x n ) má limitu b. pseme: Rozlišujeme: limitu vlastní : : : b 2 R limitu nevlastní : : : b = 1 lim f(x) = b resp. f(x)! b pro x! x 0 x!x0 limitu ve vlastním bodě : : : x 0 2 R limitu v nevlastním bodě : : : x 0 = 1
Definice 4.4. ( topologická definice limity ) Mějme funkci f : D(f)! R a bod x 0 2 R, který je hromadným bodem definičního oboru D(f). Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 limitu b 2 R, jestliže 8 " > 0 9 > 0 8 x 2 D(f) : x 2 P (x 0 ; ) ) f(x) 2 U (b; "):
Věta 4.5. ( jednoznačnost limity ) Funkce má v bodě nejvýše jednu limitu.
Věta 4.6. ( algebra limit funkcí ) Mějme dvě funkce, které mají v bodě x 0 2 R limitu: 8 >< >: lim f(x) = b 2 R ; x!x0 lim g(x) = c 2 R : x!x0 Potom má limitu i jejich součet, rozdíl, součin a podíl, přičemž platí: lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) = b c x!x0 x!x0 x!x0 lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) = b c x!x0 x!x0 x!x0 f(x) lim x!x0 g(x) = lim f(x) x!x0 lim g(x) x!x0 = b c 0 B @ pokud na prave strane nen neurcity vyraz
Věta 4.7. ( o nerovnosti limit a o sevření ) Necht funkce f, g, h mají společný definiční obor D. i) Když 8x 2 D : f(x) g(x) a existují limity lim f(x) a lim g(x), potom platí x!x0 x!x0 lim f(x) lim g(x): x!x0 x!x0 ii) Když 8x 2 D : f(x) h(x) g(x) a existují limity lim f(x), lim g(x) a jsou si rovny, potom existuje x!x0 x!x0 také lim h(x) a platí x!x0 lim f(x) = lim h(x) = lim g(x): x!x0 x!x0 x!x0
Věta 4.8. ( omezenost a limita ) Jestliže má funkce f v bodě x 0 konečnou limitu, potom existuje prstencové okoĺı P (x 0 ), na kterém je f omezená.
Definice 4.9. ( jednostranné limity ) i) Funkce f má v hromadném bodě x 0 definičního oboru D(f) limitu zprava b 2 R, když pro každou posloupnost (x n ), x n 2 D(f), x n > x 0, x n! x 0, je lim f(x n) = b. Píšeme n!+1 b = lim f(x) = f(x 0+): x!x0+ ii) Funkce f má v hromadném bodě x 0 definičního oboru D(f) limitu zleva b 2 R, když pro každou posloupnost (x n ), x n 2 D(f), x n < x 0, x n! x 0, je lim f(x n) = b. Píšeme n!+1 b = lim x!x0 f(x) = f(x 0 ):
Věta 4.10. ( nutná a postačující podmínka existence limity ) Funkce f má v bodě x 0 2 R limitu b 2 R právě tehdy, když má v bodě x 0 limitu zleva i limitu zprava a platí f(x 0 ) = f(x 0 +) = b:
Věta 4.11. ( limita složené funkce ) Mějme funkci h(x) = g(f(x)), x 2 D(f), kde f : D(f)! R, g : H! R, H(f) H, a necht existují lim f(x) = y 0 ; x!x0 lim g(y) = b: y!y0 Je-li splněna alespoň jedna z podmínek: 1. existuje prstencové okoĺı P (x 0 ; ) bodu x 0 tak, že f(x) 6= y 0 pro všechna x 2 P (x 0 ; ) \ D(f), 2. b = g(y 0 ), potom existuje lim g(f(x)) a platí lim g(f(x)) = b. x!x0 x!x0
Definice 4.12. ( funkce omezená ve srovnání ) Říkáme, že 1. funkce f je v okoĺı bodu x 0 řádu O(g), jestliže funkce f(x) g(x) je pro všechny body z nějakého prstencového okoĺı bodu x 0 omezená pseme: f(x) = O(g(x)); x! x 0 2. funkce f a g jsou v bodě x 0 stejného řádu, jestliže f(x) = O(g(x)) a g(x) = O(f(x)) pro x! x 0. 3. funkce f je v okoĺı bodu x 0 řádu o(g), jestliže lim x!x0 f(x) g(x) = 0. pseme: f(x) = o(g(x)); x! x 0 4. funkce f a g jsou si v bodě x 0 asymptoticky rovny, jestliže lim x!x0 f(x) g(x) pseme: f(x) g(x); x! x 0 = 1.
Kapitola 5. Spojitost
Definice 5.1. ( spojitá, zleva, zprava, polospojitá ) Řekneme, že funkce f je v bodě c 2 D(f): spojitá, jestliže lim f(x) = f(c), x!c spojitá zleva, jestliže spojitá zprava, jestliže lim x!c f(x) = f(c), lim f(x) = f(c), x!c+ polospojitá zdola, jestliže lim f(x) f(c), x!c a polospojitá shora, jestliže lim f(x) f(c). x!c
Věta 5.2. ( kritéria spojitosti ) 1. Heineho kritérium: Funkce f je spojitá v bodě x 0 2 D(f) právě tehdy, když pro každou posloupnost (x n ); x n 2 D(f); x n 6= x 0 ; x n! x 0 posloupnost (f(x n )) konverguje k f(x 0 ). 2. Cauchyovo kritérium: Funkce f je spojitá v bodě x 0 2 D(f) právě tehdy, když 8" > 0; 9 = (") > 0; 8x 2 D(f) : 0 < jx x 0 j < (") ) jf(x) f(x 0 )j < ": 3. Topologické kritérium: Funkce f je spojitá v bodě x 0 2 D(f) právě tehdy, když 8U (f(x 0 ); "); 9U (x 0 ; ); 8x 2 D(f) : x 2 U (x 0 ; ) ) f(x) 2 U (f(x 0 ); "): 4. Nutná a postačující podmínka: Funkce f je spojitá ve vnitřním bodě x 0 2 D(f) právě tehdy, když existují konečné limity f(x 0 ), f(x 0 +) a platí f(x 0 ) = f(x 0 ) = f(x 0 +).
Definice 5.3. ( body nespojitosti ) Bod x 0 nazveme bodem nespojitosti funkce f, jestliže je funkce f definovaná alespoň v prstencovém okoĺı tohoto bodu a není v něm spojitá. Navíc můžeme rozlišit následující případy, kdy je bod x 0 : 1. bodem odstranitelné nespojitosti: existují vlastní limity f(x 0 ) a platí f(x 0 +) = f(x 0 ) 6= f(x 0 ) 2. bodem nespojitosti I. druhu: existují vlastní limity f(x 0 ) a platí 3. bodem nespojitosti II. druhu: f(x 0 +) 6= f(x 0 ) neexistuje vlastn f(x 0 +) nebo neexistuje vlastn f(x 0 )
Věta 5.4. ( algebra spojitých funkcí ) Pokud jsou funkce f a g spojité v bodě x 0, jsou spojité také funkce f g ; f g ; jfj a pokud navíc 8x 2 U (x 0 ) platí g(x) 6= 0, je spojitá také funkce f g.
Věta 5.5. ( spojitost složené funkce ) Pokud je funkce f spojitá v bodě x 0 a funkce g spojitá v bodě t 0 = f(x 0 ), potom je složená funkce h(x) = g f(x) také spojitá v bodě x0.
Věta 5.6. ( lokální omezenost spojité funkce ) Je-li funkce f spojitá v bodě x 0 2 D(f), potom existuje okoĺı U (x 0 ) bodu x 0, v němž je funkce f omezená.
Věta 5.7. ( o zachování znaménka ) Necht funkce f je spojitá v bodě x 0 2 D(f) a necht f(x 0 ) 6= 0. Potom existuje okoĺı bodu x 0 takové, že sgn f(x) = sgn f(x 0 ) pro všechna x z tohoto okoĺı.
Definice 5.8. ( spojitá na množině ) V bodě x 0, který je izolovaným bodem D(f) považujeme funkci f za spojitou. Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě x 2 (a; b). Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha; bi, jestliže je spojitá v každém bodě x 2 (a; b), přičemž v bobě a je spojitá zprava a v bodě b zleva. Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě množiny M, přičemž v každém hraničním bodě, který je prvkem množiny M, je spojitá zleva resp. zprava.
Věta 5.9. ( Cauchyova věta ) Pokud f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu ha; bi a platí: f(a) f(b) < 0 potom existuje takové 2 (a; b), že f() = 0:
Důsledek 5.9. ( řešitelnost rovnice ) Alespoň jedno řešení na intervalu ha; bi má rovnice pokud f(x) = p funkce f je spojita na ha; bi a f(a) p f(b) nebo f(a) p f(b):
Věta 5.10. ( Weierstrassova věta ) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu zde nabývá svého globálního minima a maxima.
Definice 5.11. ( stejnoměrná spojitost ) Funkce f : D(f)! R je stejnoměrně spojitá na množině A D(f), když 8" > 0; 9(") > 0; 8x 2 A; 8x 0 2 A : jx 0 xj < (") ) jf(x 0 ) f(x)j < ":
Definice 5.12. ( lipschitzovská spojitost ) Řekneme, že funkce f je lipschitzovsky spojitá (lipschitzovská), pokud je spojitá a existuje konstanta L > 0 taková, že pro každé x 1, x 2 2 D(f) platí: jf(x 2 ) f(x 1 )j L jx 2 x 1 j
Věta 5.13. ( spojitost a stejnoměrná spojitost ) Je-li funkce f stejnoměrně spojitá na množině A, pak je na množině A spojitá.
Věta 5.14. ( Cantorova věta ) Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu ha; bi D(f), potom je stejnoměrně spojitá na tomto intervalu.
Kapitola 6. Derivace Karta 6.0. ( tabulka základních derivací ) f(x) f 0 (x) podmínky k (konst:) 0 k 2 R; x 2 R e x e x x 2 R a x a x ln a a > 0; a 6= 1; x 2 R ln x log a x 1 x 1 x ln a x 2 (0; +1) x n nx n 1 n 2 N; x 2 R a > 0; a 6= 1; x 2 (0; +1) x :x 1 2 R; x 2 (0; +1) sin x cos x x 2 R cos x sin x x 2 R tg x cotg x arcsin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 p 1 x 2 x 6= (2k + 1) 2 ; k 2 Z x 6= k; k 2 Z x 2 ( 1; 1) arccos x 1 p 1 x 2 x 2 ( 1; 1) arctg x arccotg x 1 1 + x 2 x 2 R 1 1 + x 2 x 2 R sinh x cosh x x 2 R cosh x sinh x x 2 R tgh x cotgh x argsinh x 1 cosh 2 x 1 sinh 2 x 1 p x 2 + 1 x 2 R x 6= 0 x 2 R argcosh x 1 p x 2 1 x 2 (1; +1) argtgh x argcotgh x 1 1 x 2 x 2 ( 1; 1) 1 1 x 2 x 2 ( 1; 1) [ (1; +1)
Definice 6.1. ( derivace a diferenciál ) Funkce f má v bodě c derivaci, jestliže existuje limita Tuto limitu značíme: f 0 (c); f 0 (x)j x=c; lim x!c f(x) f(c) : x c df dx (c); nebo d f(x)j x=c: dx Jestliže je limita vlastní, potom hovoříme o vlastní derivaci funkce f v bodě c. Zobrazení, které bodu x přiřazuje vlastní derivaci f 0 (x), se nazývá derivace funkce f a značí se f 0 nebo df dx. Funkce f je diferencovatelná v bodě c, jestliže existuje A 2 R a funkce! : R! R taková, že platí i) f(c + h) f(c) = Ah +!(h) pro každé h 2 R, ii)!(h) lim h!0 h = 0. Zobrazení, které přírůstku h přiřazuje číslo Ah, se nazývá diferenciál funkce f v bodě c a značí df(c; ).
Věta 6.2. ( diferenciál a vlastní derivace ) Funkce f je diferencovatelná v bodě x0 právě tehdy, když má v tomto bodě vlastní derivaci.
Věta 6.3. ( diferencovatelnost a spojitost ) Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0, je v tomto bodě spojitá.
Věta 6.4. ( pravidla derivování ) Jestliže existuje vlastní f 0 (c) i g 0 (c), potom 1: (f ) 0 (c) = f 0 (c); kde 2 R je libovolná konstanta; 2: (f g) 0 (c) = f 0 (c) g 0 (c); 3: (fg) 0 (c) = f 0 (c)g(c) + f(c)g 0 (c); 4: f g! 0 (c) = f 0 (c)g(c) f(c)g 0 (c) [g(c)] 2 ; pokud g(c) 6= 0:
Věta 6.5. ( derivace složené funkce ) Necht F (x) = g(f(x)). Jestliže existují vlastní derivace f 0 (c) a g 0 (f(c)), potom F 0 (c) = g 0 (f(c))f 0 (c):
Věta 6.6. ( derivace inverzní funkce ) Necht f je spojitá a prostá na okoĺı bodu c a existuje vlastní f 0 (c) 6= 0. Jestliže d = f(c), potom f 1 0 (d) = 1 f 0 (c) = 1 f 0 (f 1 (d)) :
Definice 6.7. ( lokální extrémy ) Funkce f má v bodě c lokální minimum ( resp. lokální maximum ), když existuje okoĺı U (c) D(f) takové, že pro všechna x 2 U (c) je f(c) f(x) ( resp. f(c) f(x) ) Funkce f má v bodě c ostré lokální minimum ( resp. ostré lokální maximum ), když pro všechna x 6= c z U (c) je f(c) < f(x) ( resp. f(c) > f(x) ) Lokální minima a maxima se souhrnně nazývají lokální extrémy.
Definice 6.8. ( globální extrémy ) Funkce f má v bodě c globální minimum ( resp. globální maximum ), když pro všechna x 2 D(f) je f(c) f(x) ( resp. f(c) f(x) ) Funkce f má v bodě c ostré globální minimum ( resp. ostré globální maximum ), když pro všechna x 6= c z D(f) je f(c) < f(x) ( resp. f(c) > f(x) ) Globální minima a maxima se souhrnně nazývají globální extrémy.
Věta 6.9. ( Fermatova nutná a podmínka extrému ) Jestliže f nabývá lokálního extrému v bodě, ve kterém existuje derivace, potom musí být derivace rovna nule. 9 f 0 (c) 6= 0 ) f(c) 6= min f(x) f(c) = min f(x) =) 9f 0 (c) X
Věta 6.10. ( Rolleova věta o střední hodnotě ) Necht i) f je spojitá na ha; bi, ii) f 0 (x) existuje v každém bodě x 2 (a; b), iii) f(a) = f(b). Potom existuje bod 2 (a; b) takový, že f 0 () = 0.
Věta 6.11. ( Lagrangeova věta o střední hodnotě ) Necht i) f je spojitá na ha; bi, ii) f 0 (x) existuje v každém bodě x 2 (a; b). Potom existuje bod 2 (a; b) takový, že platí f(b) f(a) = f 0 ()(b a):
Věta 6.12. ( Cauchyova věta o střední hodnotě ) Necht 1. f a g jsou spojité na ha; bi, 2. v každém bodě x 2 (a; b) existuje f 0 (x) a g 0 (x) je vlastní a nenulová. Potom existuje bod 2 (a; b) takový, že platí f(b) f(a) g(b) g(a) = f 0 () g 0 () :
Věta 6.13. ( l Hospitalovo pravidlo ) Necht pro f a g platí, že i) existuje lim f 0 (x) g 0 (x) =: L, ii) lim f(x) g(x) je typu " 0 0 " nebo " 1 1 ". Potom lim f(x) g(x) = L. 9 lim f 0 (x) g 0 (x) ) 9 lim f(x) g(x) = lim f 0 (x) g 0 (x) @ lim f 0 (x) g 0 (x) X f(x) =) @ lim g(x)
Věta 6.14. ( derivace a monotónie ) Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu I a má derivaci v každém bodě tohoto intervalu I. i) Je-li f 0 (x) = 0 pro všechna x 2 I, potom f je konstantní na I. ii) Je-li f 0 (x) 0 pro všechna x 2 I, potom f je rostoucí na I. iii) Je-li f 0 (x) 0 pro všechna x 2 I, potom f je klesající na I. Ostré nerovnosti implikují ostrou monotónii.
Věta 6.15. ( derivace a lipschitzovskost ) Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu I a má derivaci v každém bodě tohoto intervalu I. Funkce f je lipschitzovsky spojitá na I právě tehdy, když f 0 je omezená na I.
Definice 6.16. ( derivace druhého řádu ) Funkce f má v bodě c druhou derivaci, jestliže existuje Tuto limitu značíme: f 0 (x) f 0 (c) lim : x!c x c f 00 (c); f 00 d 2 f (x)j x=c; dx 2 (c); nebo d 2 dx 2 f(x)j x=c: Zobrazení, které bodu x přiřazuje vlastní druhou derivaci f 00 (x), se nazývá druhá derivace funkce f a značí se f 00 nebo d2 f dx 2.
Definice 6.17. ( množina spojitých a spojitě diferencovatelných funkcí ) C(a; b) C 1 (a; b) C n (a; b) C 1 (a; b) je množina všech funkcí, které jsou spojité na intervalu (a; b), je množina všech funkcí, jejichž derivace je spojitá na (a; b), je množina všech funkcí, jejichž n-tá derivace je spojitá na (a; b), je množina všech funkcí, jejichž derivace libovolného řádu je spojitá na (a; b). Uvažujeme-li v krajích bodech spojitost i derivace jednostranně, píšeme C ha; bi, C n ha; bi, apod.
Kapitola 7. Integrály - neurčité Karta 7.0. ( tabulka základních integrálů ) 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 100: 101: Z x a dx = xa+1 + 1 + C; 8 >< Z 1 dx = ln jxj + C; x 6= 0; x Z e x dx = e x + C; x 2 R; Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z a x dx = >: x 2 R; a 2 N; x 6= 0; a 2 Z; a 6= 1; x > 0; a 2 R; a 6= 1; ax + C; x 2 R; a 6= 1; a > 0; ln a sin x dx = cos x + C; x 2 R; cos x dx = sin x + C; x 2 R; 1 cos 2 x dx = tg x + C; x 6= (2k + 1) 2 ; k 2 Z; 1 dx sin 2 = cotg x + C; x 6= k; k 2 Z; x 1 dx = arcsin x + C; x 2 ( 1; 1); 2 p1 x 1 dx = arctg x + C; x 2 R; 2 1 + x sinh x dx = cosh x + C; x 2 R; cosh x dx = sinh x + C; x 2 R; 1 dx cosh 2 = tgh x + C; x 2 R; x 1 dx sinh 2 = cotgh x + C; x x 2 Rnf0g; 1 p dx = argcosh x + C; x 2 (1; +1); x 2 1 1 dx = argsinh x + C; x 2 R; 2 p1 + x f 0 (x) dx = ln jf (x)j + C; x 2 R n fx : f (x) = 0g; f (x) Z f 0 (x) dx = f (x) + C; Z 0 f (x) dx = f (x):
Definice 7.1. ( primitivní funkce ) Necht jsou funkce f a F definované na intervalu (a; b). Řekneme, že F je primitivní funkcí k funkci f, jestliže F 0 (x) = f (x); 8x 2 (a; b):
Věta 7.2. ( postačující podmínka existence primitivní funkce ) Ke každé funkci f, spojité na intervalu (a; b), existuje na tomto intervalu primitivní funkce F.
Věta 7.3. ( vlastnosti primitivní funkce ) Necht F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a; b). Potom: 1. Funkce F je na (a; b) spojitá. (dokonce diferencovalena ;) 2. Každá funkce G(x) = F (x) + C, kde C je reálná konstanta, je také primitivní funkcí k f na (a; b). 3. Každou primitivní funkci k f na (a; b) lze zapsat ve tvaru F (x) + C, kde C je reálná konstanta.
Definice 7.4. ( neurčitý integrál ) Neurčitým integrálem funkce f na intervalu (a; b) nazveme množinu všech primitivních funkcí k funkci f na (a; b), kterou značíme Z f (x) dx = F (x) + C; C 2 R; F (x) je primitivní funkce k f (x) : proces hledan F nazyvame integrovan a pripoustme zapis: Z f (x) dx = F (x) + C; C 2 R
Věta 7.5. ( integrace součtu, rozdílu a násobku ) Necht jsou funkce f a g spojité na intervalu (a; b). Potom na tomto intervalu platí: Z f (x) g(x) dx = Z f (x) dx Z g(x) dx Z Z f (x) dx = f (x) dx ( kde 6= 0 je realna konstanta )
Věta 7.6. ( integrace součinu (per partes) ) Pro funkce u a v, které mají na intervalu (a; b) spojité první derivace u 0 a v 0, platí: Z Z u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) u 0 (x)v(x) dx:
Věta 7.7. ( integrace substitucí ) Necht a) funkce f je spojitá na intervalu (a; b) b) funkce ' má spojitou první derivaci ' 0 na intervalu (; ) c) H(') (a; b). Potom pro x 2 (a; b) a t 2 (; ) platí: Z f (x) dx = x = '(t) dx = ' 0 (t) dt Z = f '(t) ' 0 (t) dt
Věta 7.8. ( integrace substitucí - II ) Necht a) funkce f je spojitá na intervalu (a; b) b) funkce ' má spojitou první derivaci ' 0 na intervalu (; ) a ' 0 (t) 6= 0 pro všechna t 2 (; ) c) H(') = (a; b). Potom pro x 2 (a; b) a t 2 (; ) platí: Z f (x) dx = x = '(t) dx = ' 0 (t) dt Z = f '(t) ' 0 (t) dt = S ' 1 (x) + C; C 2 R; kde S je primitivní funkce k funkci f ('(t)) ' 0 (t) na intervalu (; ).
Karta 7.9. ( integrály typu R() ) Formálně uvažujme racionální lomené funkce (podíl polynomů) Z Integrály typu R( x ) dx Funkci R(x) rozložíme na součet parciálnách zlomků: P R(x) = (x) P (x; y) ; resp. R(x; y) = Q(x) Q(x; y) A x x 0 ; A (x x 0 ) k ; Ax + B x 2 + px + q ; Ax + B (x 2 + px + q) k ; kde A, B, x 0, p, q jsou reálná čísla ( p 2 4q < 0 ) a k = 2; 3; 4; : : :. Z Integrály typu R( e x ) dx voĺıme substituci: t = e x, dt = e x dx. Z Integrály typu R( ln x dx ) x voĺıme substituci: t = ln x, dt = 1 dx. x Z Integrály typu R ( sin x; cos x ) dx voĺıme bud pracnou za to však univerzální substituci: x tg 2 = t, kde nahrazujeme: cos x = 1 t2 2t ; sin x = 2 1 + t 1 + t ; dx = 2 2 1 + t dt; 2 nebo méně pracné, ale také méně univerzální substituce: a) t = tg x () R ( sin x; cos x ) = R ( sin x; cos x ) b) t = cos x () R ( sin x; cos x ) = R ( sin x; cos x ) c) t = sin x () R ( sin x; cos x ) = R ( sin x; cos x ) 0 s 1 Z Integrály typu R @ x; n ax + b A dx cx + d voĺıme substituci: t n ax = + b dtn b, čili x = cx + d a ct. 2
Karta 7.9. ( integrace racionální lomené funkce ) Integrujeme Z Pm (x) Q n (x) dx = : : : kde ( Pm (x) je polynom stupně m; Q n (x) je polynom stupně n: 1. Pokud je m n, děĺıme polynom P m (x) polynomem Q n (x) 2. M (x) je polynom, který snadno integrujeme. P m (x) Q n (x) = M (x) + R k(x) Q n (x) 3. Protože k < n, rozložíme R k(x) Q m(x) na parciální zlomky. Existují právě 4 typy parciálních zlomků (tj. žádné jiné) A x x 0 ; A (x x 0 ) k ; Ax + B x 2 + px + q ; Ax + B (x 2 + px + q) k ; kde A, B, x 0, p, q jsou reálná čísla ( p 2 4q < 0 ) a k = 2; 3; 4; : : :. (a) reálný kořen x 0 násobnosti jedna: Z A x x 0 dx = A ln jx x 0 j + C; C 2 R: (b) reálný kořen x 0 násobnosti k: Z A (x x dx A 0 ) k = 1 k 1 + C; C 2 R: (x x 0 ) k 1 (c) komplexně sdružené kořeny násobnosti jedna: Z Ax + B x 2 + px + q dx A = 2 ln jx2 + px + qj 2B Ap + p arctg 4q p 2! 2x + p p + C; C 2 R 4q p 2 (d) komplexně sdružené kořeny násobnosti k: (s vyuzitm rekurentnch vzorcu) Ax + B A 2x (x 2 + px + q) k = + p Ap 2 (x 2 + px + q) k + 1 B 2 (x 2 + px + q) k a tedy: Z 2x + p (x 2 + px dx + q) k = 1 Z 1 (x 2 + px + q) k dx = 1 (k 1)(4q p 2 ) 1 + C; C 2 R: 1 k (x 2 + px + q) k 1 Z 2x + p + (4k 6) x 2 + px + q! 1 (x 2 + px dx + q) k 1 0 B @ 1 symbolicky lze strukturu vypoctu naznacit takto... R Pm(x) Q n(x) dx = R M (x) + R k(x) Q n(x) dx = = R M (x) dx + R A + A x x 0 (x x 0) k + Ax+B x 2 +px+q + Ax+B (x 2 +px+q) k dx = = R M (x) dx + R A x x 0 dx + R A (x x 0) k dx + R Ax+B x 2 +px+q dx + R Ax+B (x 2 +px+q) k dx C A... pricemz clem bylo problem osvetlit a zaroven nikoho nevydesit ;)
Karta 7.9. ( různé integrály ) zajímavá užití per partes 1. K hledání primitivních funkcí k funkcím typu: x n e kx ; x n ln x; x n cos!x; x n sin!x; x n arcsin x; x n arccos x; : : : Lze odvodit i takové krásné (inzenyrske) vzorce jako: Z Z e x cos!x dx e x sin!x dx = ex (! sin!x + cos!x) 2 +! 2 + C; = ex ( sin!x! cos!x) 2 +! 2 + C; C 2 R: 2. Odvození rekurentních formuĺı integrováním per partes pro n 1: Z 1 J n+2 = n+2 cosn+1 x sin x + n+1 J n+2 n; kde J n = Z 1 J n+2 = n+2 sinn+1 x cos x + n+1 J n+2 n; kde J n = J n+1 = 1 2n x (1+x 2 ) n + (2n 1)J n ; kde J n = Z Z Z Integrály typu cos mx cos nx dx; sin mx cos nx dx; sin mx sin nx dx: S využitím známých součtových vzorců: Z cos n x dx; sin n x dx; dx (1 + x 2 ) n : Z cos mx cos nx dx = 1 Z cos(m + n)x + cos(m n)x dx; Z 2 sin mx cos nx dx = 1 Z sin(m + n)x + sin(m n)x dx; Z 2 sin mx sin nx dx = 1 Z cos(m + n)x + cos(m n)x dx: 2 Z Z Integrály typu cos 2 x dx; sin 2 x dx Jinak nezajímavé, ale právě zde mimořádně užitečné součtové vzorce: sin 2 x = 1 2 cos 2x ; cos 2 x = 1 2 2 cos 2x + : 2
Kapitola 8. Integrály - určité Definice 8.1. ( dělení intervalu ) Dělením intervalu ha; bi nazveme konečnou posloupnost bodů z tohoto intervalu, které splňují podmínku: a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b: Tuto posloupnost značíme symbolem D n = (x 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ).
Definice 8.2. ( integrální součty ) Necht D n je dělení intervalu I = ha; bi a necht f je funkce omezená na tomto intervalu. Označme x k = x k x k 1 a I k = hx k 1 ; x k i. Dolním integrálním součtem nazveme číslo: s(f; D n ) = Horním integrálním součtem nazveme číslo: S(f; D n ) = nx k=1 nx k=1 inf ff(x)g x k x2ik supff(x)g x k x2ik
Definice 8.3. ( Riemannův integrál ) Necht f je funkce definovaná a omezená na intervalu ha; bi. Uvažujme všechna dělení intervalu ha; bi a s jejich pomocí sestrojme množinu hodnot všech dolních integrálních součtů. množinu hodnot všech horních integrálních součtů. Jestliže se supremum množiny dolních integrálních součtů rovná infimu množiny horních integrálních součtů, říkáme jejich společné hodnotě Riemannův integrál funkce f na intervalu ha; bi a píšeme sup s(f; D n ) = Dn Z b a f(x) dx = inf S(f; D n ): Dn Funkci f nazveme Riemannovsky integrovatelnou (integrovatelnou) na ha; bi a píšeme f 2 R(ha; bi). Číslo a nazveme dolní mez integrálu. Číslo b nazveme horní mez integrálu. Chceme-li zdůraznit, že uvažujeme integrál ve smylu Riemannovy definice, píšeme: (R) Z b a f(x) dx.
Definice 8.3. ( Riemannův integrál ) Pro integrovatelnou funkci f na intervalu ha; bi, kde a < b, definujeme: Z a a f(x) dx = 0 a Z a b f(x) dx = Z b a f(x) dx:
Věta 8.4. ( podmínky integrovatelnosti ) Necht f a g jsou funkce definované na intervalu ha; bi. 1. Jestliže f je spojitá na ha; bi, potom je zde integrovatelná. 2. Jestliže f je omezená na ha; bi a obsahuje nejvýše konečný počet bodů nespojitosti, potom je na ha; bi integrovatelná. v obou prpadech pak pseme f 2 R ( ha; bi i 3. Jestliže f a g jsou integrovatelné, potom jsou integrovatelné také funkce f f; jfj; f + g; fg; kde je realna konstanta; g ; pokud 0 < m g(x); kde m je kladna konstanta; nebo 0 > m g(x); kde m je zaporna konstanta:
Věta 8.5. ( Newtonova-Leibnizova věta ) Necht F je primitivní funkcí k funkci f a necht jsou obě funkce spojité na ha; bi. Potom Z b b f(x) dx = F (x) = F (b) F (a): a vypocet nezavis na vyberu primitivn funkce a
Věta 8.6. ( linearita a aditivita integrálu ) Pro integrovatelné funkce f a g na ha; bi platí: i) Z b a f(x) dx = Z b a f(x) dx; kde je realna konstanta; ii) Z b a Z b Z b f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx; a a iii) Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx; kde a < c < b:
Věta 8.7. ( per partes v určitém integrálu ) Pro funkce u a v, které mají na ha; bi spojité první derivace u 0 a v 0, platí: Z b b Z b u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) u 0 (x)v(x)dx: a a a
Věta 8.8. ( substituce v určitém integrálu ) Necht a) funkce '(t) má spojitou první derivaci ' 0 (t) na intervalu (; ) b) funkce f(x) je spojitá na H(') c) a = '() a b = '(). Potom pro x 2 (a; b) a t 2 (; ) platí: Z b a f(x) dx = x = '(t) dx = ' 0 (t) dt a = '() b = '() = Z f('(t)) ' 0 (t) dt
Věta 8.9. ( věta o střední hodnotě ) Necht f(x) je spojitá funkce na ha; bi. Potom existuje 2 (a; b) takové, že platí Z f() = 1 b f(x) dx; b a a resp. Z b a f(x) dx = f()(b a):
8.10. a její důsledky
Věta 8.10.A. ( pozitivnost integrálu ) Necht f(x) 0 je spojitá funkce na ha; bi. Potom Z b a f(x) dx 0: Jestliže navíc existuje x 2 ha; bi takové, že f(x) > 0, platí pro výše uvedený integrál ostrá nerovnost.
Věta 8.10.B. ( porovnání integrálů ) Necht f(x) g(x) jsou spojité funkce na ha; bi. Potom Z b a f(x) dx Z b a g(x) dx: Jestliže navíc existuje x 2 ha; bi takové, že f(x) > g(x), platí pro výše uvedené integrály ostrá nerovnost.
Věta 8.10.C. ( sevření integrálu ) Necht m f(x) M, kde f(x) je spojitá funkce na ha; bi. Potom m (b a) Z b a f(x) dx M (b a):
Věta 8.10.D. ( integrál z absolutní hodnoty ) Necht f(x) je spojitá funkce na ha; bi. Potom Z b a f(x) dx Z b a jf(x)j dx: Jestliže navíc funkce f(x) mění na ha; bi znaménko, platí pro výše uvedený integrál ostrá nerovnost.
Věta 8.11. ( obecná věta o střední hodnotě ) Necht funkce f je spojitá v ha; bi a funkce g integrovatelná v ha; bi a taková, že g(x) 0 pro všechna x 2 ha; bi. Potom existuje 2 (a; b) takové, že Z b a f(x)g(x) dx = f() Z b a g(x) dx:
Věta 8.12. ( integrál a obsah plochy ) Necht f(x) 0 je spojitá funkce na ha; bi. Potom je integrál Z b a f(x) dx číselně roven obsahu plochy obrazce, jehož obvod tvoří: osa x, graf funkce y = f(x); rovnoběžky s osou y o rovnicích x = a a x = b.
Věta 8.13. ( integrál s proměnnou horní mezí ) Necht je funkce f(x) integrovatelná na ha; bi. Potom je funkce definovaná předpisem: spojitou funkcí na intervalu ha; bi. G(x) = Z x a f(t) dt; Navíc v každém bodě x, ve kterém je funkce f(x) spojitá, je G(x) diferencovatelná a platí: G 0 (x) = d dx Z x a f(t) dt = f(x): Analogicky pro H(x) = Z b x f(t) dt, plat: H 0 (x) = d dx Z b x f(t) dt = f(x).
8.14. nevlastní integrály
Definice 8.14.A. ( nevlastní integrál vlivem funkce I. ) Necht f(x) je integrovatelná v každém intervalu ha; ci, kde a < c < b a necht f(x) není omezená na ha; bi. Nevlastní interál vlivem funkce je integrál o kterém řekneme, že: Z b a f(x) dx; 1. konverguje (je konvergentní), jestliže existuje vlastní limita lim c!b Z c a f(x) dx; a píšeme: Z b a f(x) dx = lim c!b Z c a f(x) dx: 2. diverguje (je divergentní), jestliže neexistuje vlastní limita lim c!b Z c a f(x) dx: Pokud je příslušná limita +1 (resp. 1) a píšeme: Z b a f(x) dx = +1 (resp. 1).
Definice 8.14.B. ( nevlastní integrál vlivem funkce II. ) Necht f(x) není omezená v okoĺı bodu c, kde a < c < b. Nevlastní interál vlivem funkce je integrál o kterém řekneme, že: Z b a f(x) dx; 1. konverguje (je konvergentní), jestliže konvergují oba integrály Z c a f(x) dx; Z b c f(x) dx: 2. diverguje (je divergentní), jestliže diverguje alespoň jeden z výše uvedených integrálů.
Definice 8.14.C. ( nevlastní integrál vlivem meze I. ) Necht f(x) je integrovatelná v každém intervalu ha; bi. Nevlastní interál vlivem meze je integrál o kterém řekneme, že: Z +1 f(x) dx; a 1. konverguje (je konvergentní), jestliže existuje vlastní limita Z b lim b!+1 a f(x) dx; a píšeme: Z +1 Z b f(x) dx = lim a b!+1 a f(x) dx: 2. diverguje (je divergentní), jestliže neexistuje vlastní limita Z b lim b!+1 a Pokud je příslušná limita +1 (resp. 1) a píšeme: f(x) dx: Z +1 a f(x) dx = +1 (resp. 1).
Definice 8.14.D. ( nevlastní integrál vlivem meze II. ) Necht f(x) je integrovatelná v každém intervalu ha; bi. Nevlastní interál vlivem meze je integrál o kterém řekneme, že: Z +1 f(x) dx; 1 1. konverguje (je konvergentní), jestliže pro nějaké x 0 2 R konvergují oba integrály Z +1 f(x) dx; x 0 Z x0 f(x) dx: 1 2. diverguje (je divergentní), jestliže diverguje alespoň jeden z výše uvedených integrálů.
Definice 8.14.E. ( valeur principale ) Necht f(x) je integrovatelná v každém intervalu h a; ai. Hlavní hodnotou ( valeur principale ) nevlastního integrálu je integrál: (pokud limita existuje) Z +1 Z a v.p. f(x) dx = lim f(x) dx: a!+1 a 1