4 85 Impliit Euler módszer A diszretizáiós elöléseet szálv z impliit Euler módszer l: dott : Motiváió: A derivált özelítésére gr szálu dierei ádost: Felszálv z egeletbe: Ie átredezve vgis eg impliit ormulát pu Ezt z impliit egeletet ell megoldi egszerû iteráióvl Megegzés Mide lépésbe eg impliit egeletet ell megoldi egszerû iteráióvl Az impliit módszert orretor módszere z epliit módszert preditor módszere evezzü A orretor módszerez szüséges ezdõértéet eg preditor módszerrel du meg Áltláb zoos redûeet szoás párb llmzi Az impliit módszer stbil -r tett eltétel élül Pl z epliit Euler módszerél < L eltétele telesülie ell stbilitásoz 8 Módosított Euler módszer A diszretizáiós elöléseet szálv módosított Euler módszer l: dott N Motiváió: Az epliit Euler módszerez épest em z potbeli meredeséggel lépü tovább em z potbeli meredeséggel A lor ormulát elszálv íg 85 étel A módosított Euler módszer loális ibá O globális ibá O
87 rpéz módszer A diszretizáiós elöléseet szálv trpéz módszer impliit módszer l: : dott Motiváió: A diereiálegeletet z [ ] itervllumo z t t számításár elírv z itegrál özelítésél tult trpéz ormulát övetezõ impliit egeletet pu: itegrálegelettel elettesítü Az dt Péld A Példáb elírt ÉP-r solítsu össze z epliit- impliit- módosított Euler és trpéz módszer eg-eg lépését! Megoldás Az epliit Euler módszerrel A loális ib: d e O b A módosított Euler módszerrel A loális ib: d e O Az epliit Euler módszerrel pott özelítésre llmzzu z impliit Euler módszert mit orretor módszert d Az epliit Euler módszerrel pott özelítésre llmzzu trpéz módszert mit orretor módszert Láttu og eg lépés z epliit Euler módszerrel md utá trpéz módszer eg lépését llmzv ugzt ptu mit módosított Euler módszerrel eg lépés utá 5
88 Ruge-utt típusú eglépéses módszere A ÉP-t itegrálv z [ ] itervllumo és z : t elettesítést elszálv d t t Az itegrált eg vdrtúr ormulávl özelítü ol [ ] m -re vdrtúr ormul egütttói Mivel z b dt b - z lppoto és b b m értéeet em ismerü ezeet ξ -vel özelítü Lege b eor ξ ismert A többi ξ -t z és már iszámolt ξ b ξ b ξ értée lieáris ombiáióiból állítu elõ ξ ξ ξ M ξm Deiíió Az A m i i m ξ ξ b ξ ξ b ξ mm m m b m ξ - mátriot Ruge-utt mátri evezzü H i -re or epliit Ruge-utt módszert pu A módszer súli b b módszer szite b A Jelölés b m vetor elemei Ruge-utt vetor elemei Ruge-utt módszer módusi és m Megegzése Az m esetbe b és válsztássl z epliit Euler módszert pu b A Az m esetbe válsztás eseté ξ ξ ξ Vgis módosított Euler módszert ptu: m i
7 Az 4 m esetbe övetezõ válsztássl egedredû lsszius Ruge-utt módszert pu A b A módszer l: 4 és 4 89 Algebri lieáris többlépéses módszere A Adms-Bsort módszere Lege N I A ÉP-t itegrálv z [ ] itervllumo d Jelöle Ρ P z potoo iterpoláló poliomot d l d P A ieezésbe szereplõ itegrál em ügg -tõl s z lppototól Lege : d l β és : Az ezdeti értée ismeretébe övetezõ -lépéses módszert pu β N Megegzése A iázó ezdeti értéeet például eglépéses módszerrel tároztu meg eseté z epliit Euler módszert pu
8 étel A lépéses Adms-Bsort módszer loális ibá O O továbbá overges és overgei rede globális ibá B Adms-Moulto módszere Az Adms-Bsort módszereez épest z potot is ozzáveszi z iterpoláióoz íg -doú poliomml özelíti üggvét P d l A ieezésbe szereplõ itegrál em ügg -tõl s z lppototól Lege Az β : l d és : ezdeti értée ismeretébe övetezõ impliit egeletet pu β β Megegzése Eg epliit módszersládot állítottu elõ eti ostruióvl Mide lépésbe eg impliit egeletet ell megoldi -re A iázó értéeet például eglépéses módszerrel tároztu meg β d β eseté z impliit Euler módszert pu eseté trpéz módszert pu 87 étel A lépéses Adms-Moulto módszer loális ibá O O továbbá overges és overgei rede globális ibá 8