NUMERIKUS MÓDSZEREK A DIÁKKÖRI MUNKÁBAN NUMERICAL METHODS IN A HIGH SCHOOL WORKSHOP

Átírás

1 NUMERIKUS MÓDSZEREK A DIÁKKÖRI MUNKÁBAN NUMERICAL METHODS IN A HIGH SCHOOL WORKSHOP Jaloveczi József Szet László Általáos Művelődési Közpot Gimáziuma, Baja ÖSSZEFOGLALÁS Középisolába diáörös foglalozásoo fiziai jelesége leírására 999 óta alalmazu matematiai modelleet, szimulációat. Ismertetem az általu haszált 3 umerius módszer léegét, orét fiziai példáal. A szemléltető programoat eg diáörös tauló írta. Az első példa ejtőerős mozgása özegelleállással. A mozgásegelet megoldását Eulermódszerrel és aalitiusa is elvégeztü. Az asztalról lecsúszó lác mozgása súrlódással aalitiusa már boolultabb, leírásába Euler és Fema módszerét hasolítottu össze. A fiziai iga mozgását 4-ed redű Ruge-Kutta módszerrel ábrázoltu csaúg, mit Lorez híres pillagó effetusáa attratorát. ABSTRACT I our high school worshop we have bee studig differet pheomea i phsics sice 999 applig mathematics ad simulatios to characterise them. I ll itroduce our three umerical methods i practical phsics examples. The computer programs have bee developed b a studet of mie. The equatio of the fallig parachute has bee wored out both aalticall ad umericall. The slidig chai from a horizotal surface is a more complicated aaltical problem for the frictio. We applied Euler s ad Fema s methods ad compared their graphs. We displaed the trajector of the phsical pedulum with the fourth order Ruge-Kutta method as well as with the well-ow Butterfl Effect of Lorez. KULCSSZAVAK/KEYWORDS Numerius,módszere,mozgásegelet Numerical, methods, equatio DIÁKKÖRÜNK Diáörü 999-be alault a bajai Szet László ÁMK-ba, Madelbrot Tudomáos Diáör éve. Első tervei özé tartozott a fratálo megismerése. Később a program ibővült a fiziai jelesége számítógépes modellezésével. Elsősorba a természettudomáoat, matematiát, számítógépes programozást edvelő tauló jeleteze. Hetete óra redszeres mua, ami gara ottho foltatódi. A diáör létszáma változó eg taévbe átlagosa 7-0 fő. A végzett diáörösei ag része műszai, tudomáos pálát választ. MIÉRT HASZNÁLUNK NUMERIKUS MÓDSZEREKET? A özépisolába tault természettudomáos tárga, öztü elsősorba a fizia gara haszál differeciálegeleteet a mozgáso, jelesége időbeli változásáa leírására. Ha valós problémáal szereté szaörö, diáörö foglalozi, aor az elméleti leírás, de főleg aa egzat megoldása meghaladja a özépisolába elsajátítható matematiát. Még a

2 matematiába jelesedő tauló sem juta tovább a éhá egszerű, szeparálható özöséges differeciálegelet aalitius megoldásáál. A differeciál-és itegrálszámítás alapjaia elsajátítása utá a felsőbb éves érdelődő diáo elegedő matematiai- és iformatiai tudással bíra ahhoz, hog éhá umerius módszer alalmazásával oldjaa meg a valós életből vett természettudomáos problémát. A apott eredméeet, grafiooat célszerű összeveti a téleges megfigeléssel, méréssel apott adatoal. MILYEN MÓDSZEREKET HASZNÁLUNK? Közöséges, első-és másodredű lieáris (időét emlieáris differeciálegelete megoldására ülöféle umerius módszere léteze. A diáörö eze özül három módszert alalmazu. EULER-MÓDSZER Ismerve az értéét az x potba (vag t pillaatba, eressü az + értéét az x + = x + h potba (vag t + = t + dt pillaatba, ahol h illetve dt ismert. Mivel a mechaiai problémá többségéél valamel jellemző (út, sebesség stb. időbeli alaulását szereté vizsgáli, a továbbiaba az időbeli változásoal írju le a módszereet. Legegszerűbb megoldása a Talor sorfejtést választhatju és + -et sorba fejtjü a t pillaat örül és az első ét tagot teitjü: && ( t + = ( t + dt = ( t + dt & ( t + dt +... ( = + = dt + Ο( dt & + m ahol O ( dt ola hibatagot jelet, mel dt-be m-ed redű. Megállapodás szerit m-redűe evezzü a módszert, ameibe a hiba tag m+ O( dt típusú. Ee értelmébe az Euler módszer elsőredű. Az eg lépésbe elövetett hiba dt redű. Íg az időbeli változásoat leíró meiségre apott reurziós formula: & 0 : = ( t = = & : = + dt && ( t + dt & ( t Példa : ejtőerős mozgása a gravitációs erő és a sebességgel aráos féező erő hatására:, &, ΣF = m a = F grav F fé c a = & = g & (5 m Aalitius megoldás & -ra, vagis az ejtőerős sebességére: c mg t = = m v( t & e c (6 A megfelelő paramétere (c,m és a ezdeti feltétel megadásával a sebesség Euler módszerrel és aalitiusa is ábrázolható. Euler módszerrel (3 szerit ábrázolva (.ábra, ha a paramétere c = 0,5; m = ; ( t = 0 = 00; & ( t = 0 = 0 SI egségbe : ( (3 (4

3 . ábra : ejtőerős sebessége Euler -módszerrel, dt =0,0005s Mivel az aalitius módo apott sebesség az adott paramétere mellett csa evéssé tér el az Euler-módszerrel ábrázolt görbétől, feltütettü, hoga változi a ét módo apott sebessége maximális eltérése az időlépés öveedésével (. ábra.. ábra: az ejtőerős sebességée maximális eltérése az aalitius megoldás és az Eulermódszerrel törtét számolás özött, az időöz övelésével FEYNMAN MÓDSZERE (MÓDOSÍTOTT EULER-MÓDSZER Az Euler-módszerbe a test mozgását úg írju le, hog az új heloordiáta a régie és a sebesség dt-szeresée az összege. A sebességet az itervallum elejé lévő értéél álladóa vettü. Ehhez épest potosabb a módszer, ha az itervallum özepé vett értéel, azaz az időözre vett átlagsebességgel számolu []. x( t + dt = x( t + dt x& ( t + dt / x& ( t + dt / = x& ( t dt / + dt && x( t A számolás első és utolsó lépéseét Euler módszerét alalmazzu. Példa : Lác lecsúszása vízszites asztalról [] Eg sima vízszites asztalról l hosszú lác csúszi le. A mozgás ezdeteor a láca már x hosszú része csúszott le az asztalról. A lácra mide időpotba az asztalról addig a (7

4 pillaatig lecsúszott x hosszúságú lácdarab súlával egelő F erő hat. Ha az egész lác súla G, a övetező arát apju: F x = (8 G l Eze ívül hat az asztallal való súrlódási erő, ami az asztalo lévő rész súlával aráos: mg F s = ( l x (9 l Newto II. törvéével álladó egütthatós, másodredű (lieáris differeciálegeletet apu (8 és (9 alapjá: g & x& ( + x + g = 0 (0 l A (0 mozgásegeletet megoldottu Euler (3 és a Fema (módosított Euler módszer (7 szerit is. A lác asztalo lévő hosszáa változását a 3.ábrá, a lecsúszás sebességée időbeli alaulását a 4. ábrá láthatju Fema módszerével számolva. A ét módszer özötti ülöbség az alalmazott dt időlépésél em feltűő, ezért az 5. ábrá ábrázoltu a övevő időlépéssel alauló eltérésüet. 3. ábra: láchossz az asztalo (dt =0,000065s; =0,05; l = 4m; x =0,5m 4. ábra: a lecsúszás sebessége (dt =0,000065s; v0 =0m/s; = 0,05; x =0,5m

5 5. ábra : az asztalo lévő láchosszra apott maximális eltérése alaulása az itervallum övelésével Euler - és a módosított Euler (Fema módszere özött NEGYEDRENDŰ RUNGE-KUTTA-MÓDSZER Az eljárás léege segédváltozóal: 3 4, dt +, dt +, + dt, = + ( ( 6 5 Az eg lépésbe elövetett hiba dt redű.[3]. Eg N-ed redű eljárásba a hiba özelítőleg N + dt. A hibá időbe halmozóda, de ez a halmozódás em feltétleül lieáris. A Talorsorfejtés véges számú taggal való özelítéséből adódó hiba mellett eg mási hibaforrás a ereítési, számábrázolási hiba. Ee teljes járuléa ő a lépése számával, ezért a dt időlépést túlságosa icsie sem érdemes választai.[4] Példa : fiziai (rúd iga, a szögsebességgel aráos súrlódással. A ( eljárásba szereplő vetor ompoesei a szög, szögsebesség és szöggorsuláso. A mozgásegelet: 3g & ϕ = si ϕ & ϕ ( l 3 6. ábra: az iga szögitérése RK4 módszerrel (l=m; φ 0 =60 0 ; =;dt =0,0008s

6 7. ábra: a fiziai iga fázissíja (l=m; φ 0 =60 0 ; =;dt =0,0008s Összehasolítottu a három módszerrel apott szögitéréseet ülöböző övevő időözzel, ugaola paramétere és ezdeti feltétele eseté (8.ábra. 8. ábra: a ülöböző módszere maximális eltérése övevő lépésöz szerit ábrázolva ÉRDEKESSÉG: LORENZ-ATTRAKTOR Edward Lorez ameriai meteorológus 963-ba fedezte fel, hog az azóta róla elevezett x& = σ ( x & = r x x z z& = b z + x (3 légöri modellbe,az r = 8 ; σ = 0; b = 8/ 3paramétere mellett, apró ezdeti ülöbsége eseté is az eltérés az idő expoeciális függvéeét öveszi, és ez a gors hibaöveedés hiúsít meg mide előrejelzést.. Itt a (-be szereplő vetor ompoeseit redre az x,,z változóal helettesítettü és a apott egi (x-z síbeli attratort ábrázoltu (9.ábra

7 9. ábra: Lorez modelljée lepeszárara emléeztető attratora Ez volt az első példa az előrejelezhetetleség megjeleésére is szabadságfoú autoóm redszerbe. A Lorez-modell azóta a foltoos idejű aotius redszere alappéldája lett. (Pillagóhatás.[5] KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Köszöettel tartozom Eichhardt Ivá Madelbrot diáörös taulóa, ai a umerius szimulációat észítette. Köszööm témavezetőm, Dr. Tél Tamás (ELTE, Elméleti Fizia Taszé professzor úr haszos taácsait, útmutatásait. IRODALOMJEGYZÉK. Richard P.Fema: Mai Fizia (., 6.o.Műszai iadó Bp.,969.. K.K.Poomarjov: Differeciálegelete felállítása és megoldása (5.o., Taöviadó, Bp., Tél T-Gruiz M: Kaotius diamia, (9.o.Nemzeti Taöviadó,Bp Tél T-Gruiz M:Kaotius diamia, (93.o NTK Tél T-Gruiz M:Kaotius diamia, (3.o NTK 00. SZERZŐ Jaloveczi József, fizia taár, Szet László ÁMK, Baja Cím: 6500 Baja, Katoa J.u.3. Bács-Kisu mege; PhD-hallgató ELTE TTK, Fizia Taítása Dotori Isola; cím: jalo@fre .hu