Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Elméleti hidrodinamika Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011

TARTALOMJEGYZÉK 1. Hidrodinamika 7 1.0.1. Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye................ 7 1.0.. Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete........... 7 1.0.3. Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye............ 8 1.0.4. Hidrodinamikai egyenletek....................... 9. Hidrodinamika: részletesebb tárgyalásmód (Landau alapján) 11.1. A kontinuitási egyenlet............................. 11.. Az Euler-egyenlet................................ 1.3. Hidrosztatika.................................. 14.4. A Bernoulli-egyenlet.............................. 16.5. Az energiaáram................................. 17.6. Az impulzusáram................................ 19.7. A cirkuláció megmaradása........................... 0.8. Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei..................... 0.9. Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban............. 3.10. Áramlás csövekben............................... 4.11. A hang...................................... 6.11.1. Hanghullámok............................. 6

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. FEJEZET Hidrodinamika A hidrodinamika a uidumok mechanikája. Feltételezzük, hogy nem lép fel (reverzibilis) nyírófeszültség a közegben. Ennek következményeként közeli pontok egymástól távol kerülhetnek és mint ilyen a közeg nem tekinthet rugalmasnak. A rendszer dinamikáját a mérlegegyenleteken keresztül közelítjük meg. 1.0.1. Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye m ρ, j rev = 0, eltekintve a részecske diúziótól j irrev = 0 ρ + (vϕ) = 0 (1.1) ρ + ρ v + v ρ = 0 (1.) Szubsztanciális derivált: dρ = ρ v. dt (1.3) Összenyomhatatlan uidum esetén dρ dt = 0 1 v = 0. 1.0.. Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete p π impulzus s r ség, π i impulzus árams r ség Π ij 1 A fentiek megfogalmazhatóak a deformációtenzor segítségével is: π i + i(v i π i + Π ij ) = 0) (1.4) ρ ρ = V V = u kk = u, ahol úgy a u = v t deformáció mint a ρ = dρ/dt t s r ség változás ugyanazon t id alatt jön létre. Elosztva az egyenletet t-vel, megkapjuk a 1.3 egyenletet. 7

8 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA F Di = P D = d [ dt σ ij ds j = ] πdv = σij x j dv = Π ij = σ ij + σ ij Izotróp uidumban nincs nyírás és: σ ij = pδ ij π i + j(v j π i σ ij ) = 0 (1.5) π + j (v j π i ) = i p (1.6) Ideális folyadék mozgásegynlete (Euler egyenlet): π = ρv (1.7) ρv + j(v j v i ρ) = i p (1.8) v + (v )v = p ρ (1.9) ρ v i + ρ v i + v i( j v j ρ) + v j ρ j v i = i p (1.10) ρ v i + v i ( j v j ρ) = 0 = ρ v + ρ(v )v = p (1.11) 1.0.3. Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye Ezek s r ségei: e = π ρ + ɛ energias r ség Energiaárams r ség adiabatikus állapotváltozás (nincs h tágulás) Teljesítmény: W = F v, de dt = dl dt = W ; 1 V e + j e = 0 (1.1) j i e = v i e σ ij v j (1.13) dr = σ ij du ij (1.14) de dt = d dt ( ) E = F V V v = f v f i = σ ij x j (1.15) e + i(ev i + pv i ) = 0 (1.16) ( ) [( ) ] ρv ρv + ɛ + i + ω v i = 0 (1.17)

9 1.0.4. Hidrodinamikai egyenletek Tömegmegmaradás: Impulzusmegmaradás (Euler-egyenlet): ρ + (ρv) = 0 (1.18) v + (v )v = p ρ (1.19) Energiamegmaradás: ρ, v, p, ɛ 6 ismeretlen ( ) ρv + ɛ [( ) ] ρv + + ɛ v = (pv) (1.0) pv = νrt ν = m mu (1.1) ɛ = ɛ(p, ρ) (1.) Például ideális gázak esetén: ɛ = i p, ahol i a szabadsági fokok száma. E = ν i RT = i pv Hidrodinamika = megmaradási törvények + lokális egyensúly Lokális egyensúly megbomlását az intenzív mennyiségek er s térbeli és id beli változása okozza. A lokális egyensúly csökkenésével plusz irreverzibils áramok jelennek meg (transzport jelenségek) és az állapotegyenlet is egyre kevésbé lesz érvényes. Navier-Stokes egyenlet (viszkózus hidrodinamika): Π ij - impulzus árams r ség σ ij - feszültség tenzor (reverzibilis) Π ij = σ ij + σ ij (1.3) σ ij - viszkozitási tenzor (irreverzibils) σ ij v i x j σ ij = γ ijkl v i x j Hooke törvény levezetése alapján: σ ij = a v ( k vi δ ij + b + v ) j x j x i (1.4)

10 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA

. FEJEZET Hidrodinamika: részletesebb tárgyalásmód (Landau alapján) A hidrodinamika a folyadékok mechanikája..1. A kontinuitási egyenlet A folyadék mechanika tárgya a folyadékok és gázok mozgásának vizsgálata. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg ek, a folyadékot folytonos közegnek tekintjük.ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend en sok molekulát tartalmaz.ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különálló molekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelem helyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk. Mozgó folyadék állapota matematikailag a folyadék sebességeloszlását leíró v(x, y, z, t) függvény és két tetsz leges termodinamikai mennyiségmondjuk a p(x, y, z, t) nyomás és a ρ(x, y, z, t) s r ségsegítségével adható meg.tudjuk, hogy két tetsz leges termodinamikai mennyiség ismeretében az összes többi meghatározható az anyag állapotegyenlete alapján, tehát öt mennyiség ( a v sebesség három komponense, a p(x, y, z, t) nyomás és a ρ(x, y, z, t) s r ség) megoldása a mozgó folyadék állapotát egyértelm en meghatározza. Mindezek a mennyiségek általában az x, y, z koordináták és a t id függvényei. Hangsúlyozzuk, hogy a v(x, y, z, t) a folyadék áramlásának sebessége a tér valamennyi (x, y, z) pontjában adott t id pillanatban vagyis nem az id múlásával helyet változtató folyadékrészecskére, hanem a tér egyes pontjaira vonatkozik. ugyanez igaz a p és ρ mennyiségekre is. Tekintsünk egy V 0 térfogatú tartományt.a benne lev folyadékmennyiség V 0 ρ dv.e térfogatot határoló felület df elemén egységnyi id alatt ρvdf folyadékmennyiség áramlik át;a df elemi vektor abszolút értéke a felület területével egyezik meg meg, df iránya pedig a felület külsó normálisának iránya.ez azt jelenti, hogy ρvdf a folyadék kiáramlása esetén pozitív, beáramláskor pedig negatív.az id egység alatt kiáramló folyadékmennyiség tehát ρv df, az integrálást a V 0 térfogat felületére végezzük. 11

1FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) Másrészt a folyadékmennyiség csökkenése a vizsgált tartományban így írható : ρ dv. E két mennyiséget egyenl né téve, azt kapjuk, hogy ρdv = ρv df. A felületre vonatkozó integrált a GaussOsztrogradszkij-tétel alkalmazásával térfogati integrálá alakíthatjuk : ρv df = (ρv)dv, amivel ( ) ρ + (ρv) dv = 0. Az egyenl ség tetsz leges V 0 térfogatra igaz, így fennáll ρ + (ρv) = 0 ami a kontinuitási egyenlet. Átírhatjuk az alábbi alakba is : A ρ + ρ v + v ρ = 0. j = ρv vektort (tömeg-)árams r ség-vektornak nevezzük. A kontinuitási egyenlet kifejezi az anyagmegmaradást. Megemlitjük, hogy bármely megmaradó mennyiségnek megfelel egy hasonló kontinuitási egyenlet. Ilyenkor ρ az illet mennyiség s r ségét fejezi ki... Az Euler-egyenlet Tekintsünk a folyadék belsejében egy tartományt. E térfogatra ható teljes er a nyomásnak a kiszemelt felületre vett p df integráltjaként számítható ki. Ezt térfogati integrállá alakíthatjuk : p df = p dv. Ez azt jelenti, hogy a folyadék minden dv térfogatelemére a folyadék szomszédos részei dv p er t fejtenek ki.más szóval, a folyadék egységnyi térfogatára p er hat. Felírhatjuk a folyadék egy térfogatelemének mozgásegyenletét : ρ dv dt = p.

.. AZ EULER-EGYENLET 13 ahol és dv = v v v dt + dx v + dy + dz x y z = v dt + (dr )v dv dt = v + (v )v. Visszahelyetteítve a mozgásegyenletbe, az adódik, hogy v + (v )v = 1 ρ p. Ez a folyadék keresett mozgásegyenlete, amelyet el ször L.Euler vezetett le 1755-ben. Az Euler egyenlet a folyadékmechanika egyik alapegyenlete. Ha a folyadék nehézségi er térben van, valamennyi térfogatelemére még ρg gravitációs er hat. A mozgásegyenlet ebben az esetben : v + (v )v = p ρ A mozgásegyenlet levezetése során nem vettük gyelembe az energiadisszipációt, amely mozgó folyadékban, a bels surlódás(viszkozitás) és a különböz részek közötti h csere miatt mindig felléphet.ennek következtében az itt levezetett egyenlet a folyadékok olyan mozgására vonatkozik, amelynek során a h vezetéssel és viszkozitássl kapcsolatos folyamatokat gyelmen kivul hagyjuk.ha ez a közelítés jogos, az áramló közeget ideális folyadéknak nevezzük. Ha a folyadék különböz részei között nincs h csere, a mozgás adiabatikus.az ideális folyadék áramlását tehát adiabatikus folyamatnak kell tekinteni.a folyadék egységnyi tömegének entrópiáját s-sel jelölve : A fenti derivált így írható : ds dt = 0 s + (v )s = 0. Kombinálva a tömeg-kontinuitási egyenlettel megkapjuk az entrópia-kontinuitás egyenletet : ρs + (ρsv) = 0. ahol ρsv az entrópia-árams r ség.ha, mint általában, egy kezdeti pillanatban az entrópia a folyadék minden pontjában azonos, a folyadék mozgása során mindenütt ugyanakkora és id nben állandó marad.az adiabaticitás egyenlete az s = const alakban írható.a következ kben ezt az egyenletet használjuk. Teljesülése estén a mozgást izentropikusnak nevezzük.a mozgás izentropikus jellegét kihasználva, a mozgásegyenletet átalakíhatjuk. E célból használjuk a következ jól ismert termodinamikai összefüggést: dw = T ds + V dp, + g

14FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) ahol w a folyadék egységnyi tömegének entalpiája, V = 1/ρ fajlagos térfogat.mivel s = const,egyszer en írhatjuk, hogy dw = V dp = 1 ρ dp, vagy p/ρ = w. A mozgásegyenletet írhatjuk : v + (v )v = w. Érdemes az Euler-egyenlet egy másik alakját is felírni.a vektoranalízis képletének alkalmazásával a következ 1 v = v ( v) + (v )v v + 1 v v ( v) = w alakra hozhatjuk. A rotáció operátort az egyenlet mindkét oldalára alkalmazva, a v = (v v) összefüggéshez jutunk, amely csak a sebességet tartalmazza. A fent levezetett mozgásegyenletekhez meg kell még adni a folyadékot határoló felületeken érvényes határfeltételeket. Ideális folyadék esetén ezek a határfeltételek azt az egyszer tényt tükrözik, hogy a folyadék nem áramlik át a szilárd falon.ez annyit jelent, hogy a sebesség normális komponense a rögzített fal mentén elt nik : v n = 0. Általános esetben, ha a határfelület mozgását megengedjük, v n a felület sebességének megfelel összetev jével egyezik meg. Két, egymással nem kevered folyadék elválasztó felületén egyrész a nyomások megegyeznek, másrészt az egyes folyadékok áramlási sebességének a közös határfelület normálisa irányába es komponensei egyenl k A hidrodinamikai egyenletek teljes rendszere öt egyenletb l áll(az öt mennyiségnek megfelel en (v, p, ρ). Ideális folyadék esetén az egyenletek : Euler-egyenletek, kontinuitási egyenlet valamint a mozgás adiabatikus jellegét kifejez egyenlet..3. Hidrosztatika A nyugvó folyadék Euler-egyenletei, homogén gravitációs er térben : p = ρg.

.3. HIDROSZTATIKA 15 Ez az egyenlet meghatározza a folyadék mechanikai egyensúlyát.ha a folyadék s r sége az egész vizsgált térfogatban állandónak tekinthet, a fenti egyenlet egyszerüen integrálható. A z tengelyt függ legesen irányítva, azt kapjuk, hogy : amib l p x = p y = 0, p = ρgz + const. p z = ρg, Ha a nyugvó, h magasságban elhelyezked, szabad felületére annak minden pontjában azonos, p 0 nagyságú nyomás hat, akkor : p = p 0 + ρg(h z). Nagy folyadéktömeg esetén a folyadék ρ s r sége nem tekinthet állandónak; ez különösen a gázok esetében bizonyul lényegesnek(pl. az atmoszféra). Tegyük fel, hogy a folyadék nemcsak mechanikai, hanem termikus egyensúlyban is van. Ez esetben a h mérséklet ugyanakkora a folyadék minden pontjában, így a fenti egyenlet az alábbi módon integrálható. Használjuk a jól ismert dφ = s dt + V dp termodinamikai összefüggést, ahol Φ a folyadék egységnyi tömegére vonatkozó termodinamikai potenciál. Állandó h mérsékleten dφ = V dp = 1 ρ dp. Ez azt mutatja, hogy az 1 ρ p kifejezés a vizsgált esetben Φ-vel helyettesíthet, tehát az egyensúlyi egyenlet a következ alakot ölti : Φ = g. A negatív z tengely irányába mutató állandó g er azonban alakban írható, tehát g = (gz) (Φ + gz) = 0 amib l azt kapjuk, hogy hogy a vizsgált folyadék egész térfogatában Φ + gz = const; Belátható hogy nehézségi er térben a nyomás csak z függvénye lehet, amiböl következik, hogy ρ is csak z-töl függ. Az el bbi kett miatt a h merséklet ugyancsak z függvénye.tehát nehézségi er térben egyensúlyi állapotban lev folyad nyomása, s r sége és h mérséklete csak a magasságtól függ.ha két egyenl magasságban lev pont között például h mérséklet-különbség lép fel, a mechanikai egyensúly lehet sége kizárt. Végül, származtassuk le egy, nehézségi er által összetartott igen nagy folyadéktömeg (csillag) egyensúlyi egyenleteit.legyen ϕ a folyadék által keltett nehézségi er tér potenciálja. Ez eleget tesz a következ egyenletnek : ϕ = 4 πgρ

16FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) itt G a Newton-féle gravitációs állandó. A gravitációs tér térer sége ϕ, így a ρ tömegre ható er ρ ϕ. Az egyensúlyi egyenlet : p = ρ ϕ. Ezt az egyenl séget ρ-val osztva, mindkét oldalt szorozva -val a következ alakban kapjuk az egyenletet : ( ) 1 ρ ϕ = 4πGρ. Itt csak mechanikai egyensúlyról van szó,az egyenlet származtatásakor a teljes termikus egyensúly fennállását sehol sem használtuk ki. Ha a test nem forog, az egyensúlyi alak gömb, a s r ség- és nyomáseloszlás gömbszimmetrikus.az egyenlet gömbi koordinátákban ekkor így írható : ( ) r 1 r d dr ρ dp dr = 4πGρ..4. A Bernoulli-egyenlet A folyadékmechanika egyenletei jelent sen egyszer södnek stacionárius áramlás esetén.az áramlást stacionáriusnak nevezzük, ha az áramlási sebesség a folyadék által elfoglalt térrész minden pontjában id ben állandó.más szóval, v csak a koordináták függvénye, tehát v = 0. Ekkor a mozgásegyenlet így módosul : 1 v v v = w. Az áramvonal olyan görbe, amelynek bármely pontjában vett érit je minden id pillanatban megadja a folyadék sebességének irányát az illet pontban.az áramvonalakat a következ dierenciálegyenlet-rendszer határozza meg : dx v x = dy v y = dz v z. Stacionárius áramlás esetén az áramvonalak id ben állandók, és egybeesnek a folyadékrészek pályájával. Szorozzuk meg a mozgásegyenletet az áramvonal érint egységvektorával;jelölje ezt a vektort l. Ismeretes, hogy a gradiensvektor egy adott irányú vetülete megegyezik a megfelel irány menti deriválttal. A w vektor érint irányú vetülete ennek megfelel en w l.minthogy a v v a v sebességre mer leges,l irányú vetülete elt nik. Az el bbi egyenlet tehát így alakul : ( ) v l + w = 0 Eredményünk, hogy a v + w mennyiség egy áramvonal mentén állandó : v + w = const.

.5. AZ ENERGIAÁRAM 17 Az állandó értéke minden áramvonal mentén más és más. Ez az összefüggés a Bernoulliegyenlet. Ha az áramlás nehézségi er térben jön létre a mozgásegyenlet jobb oldalához hozzá kell adni a g nehézségi gyorsulást.irányitsuk a z tengelyt függ legesen felfelé.a g és l irányok által bezárt szög cosinusa a dz deriválttal egyezik meg, vagyis g-nek l-re való vetülete : dl g dz dl. Ennek a felhasználásával azt kapjuk,hogy ( ) v l + w + gz = 0 Így a módosított Bernoulli-egyenlet szerint egy áramvonal mentén adódik. v + w + gz = const.5. Az energiaáram Tekintsü egy a térben rögzített térfogatelemet, és vizsgáljuk meg, hogyan változik az id ben e térfogatot kitölt folyadék energiája. A folyadék egységnyi térfogatának energiája : ρ v + ρε ahol az els tag a mozgási energia, a második pedig a bels energia ( ε az egységnyi tömeg folyadék bels energiája).az energia megváltozása ( ) ρv + ρε. Az els tag deriváltja : ρv = v ρ v + ρv, vagy a kontinuitási egyenlet és a mozgásegyenlet felhasználásával : ρv = v ρv v p ρv(v )v. Az utolsó tagba behelyettesítjük a v(v )v = 1 v v összefüggést, és a dw = T ds + 1 ρ dp termodinamikai képlet felhasználásával a nyomás gradiensét a ρ w ρt s kifejezéssel helyettesítjük;így adódik. ρv = v ρv ρv ) (w + v + ρt v s

18FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) A ρε derivált kiszámításához felhasnáljuk a dε = T ds pdv = T ds + p ρ dρ termodinamikai összefüggést. Mivel ε + p ρ = ε + pv az egységnyi tömeg w entalpiája,azt kapjuk, hogy d(ρε) = εdρ + ρdε = wdρ + ρt ds, amivel (ρε) = w ρ s + ρt = w ρv ρt v s. Az egyes tagokat megfelel en csoportosítva, az energia megváltozása így adódik : ( ) ) ) ρv + ρε = (w + v ρv ρ(v ) (w + v, amib l végül is kapjuk, hogy ( ) ρv + ρε { ( )} v = ρv + w. A kapott egyenl ség zikai jelentésének megállapítása céljából integráljuk valamilyen térfogatra, majd a jobb oldalon állót felületi integrálá alakítva : ) ( ) v ( ρv + ρε dv = ρv + w A bal oldalon kiszemelt, térben rögzített térfogatelem energiájának id egység alatti megváltozása áll.a jobb oldali felületi integrál tehát a vizsgált térfogatból az id egység alatt kimen energia mennyis;g;t adja meg. Ennek megfelel en a ( ) v ρv + w kifejezést energiaáram-s r ség vektornak nevezhetjük.ennek abszolút értéke megadja a sebességre mer legesen elhelyezked egységnyi felületen az id egység alatt átáramló energia mennyiségét.az energiaáram fogalmát N. Umov vezette be 1874-ben. Annak, hogy az energiaáram kifejezésében a w entalpia és nem az ε bels energia szerepel, egyszer zikai jelentése van.behelyettesítve a w = ε + p ρ kifejezést, a zárt felületen áthaladó teljes energiaáram így írható : ( ) v ρv + ε df pv df. df. Az els tag a felületen áthaladó folyadéktömeg által szálított (kinetikus plusz bels )energia. A második tag a zárt felület belsejében lev folyadék nyomóereje által végzett munka.

.6. AZ IMPULZUSÁRAM 19.6. Az impulzusáram A folyadék egységnyi térfogatának impulzusa ρv. Számítsuk ki ennek id egységre es megváltozását, a ρv mennyiséget.a számolást tenzorjelölések használatával végezzük el. Azt kapjuk, hogy Használjuk a kontinuitási egyenletet és az Euler-egyenletet a következ alakban : Ekkor az adódik, hogy ρv i = ρ v i + ρ v i. ρ = ρv k v i = v v i k 1 p. ρ x i ρv i = ρv k v i p x i v i ρv k Az utolsó kifejezés els tagját így írhatjuk : Ezzel adódik, és a P ik tenzor deniciója : p x i = δ ik p. ρv i = P ik P ik = pδ ik + ρv i v k. = p ρv i v k. x i P ik zikai jelentésének a megvilágítása céljából a fenti egyenletet integráljuk valamilyen térfogatra : Pik ρv i dv = dv. A jobb oldalon álló integrált a GaussOstrogradszkij-tétel felhasználásával felületi integrállá alakítjuk : ρv i dv = P ik df k. A jobb oldalon álló integrál a kiszemelt térfogatból id egység alatt kiáramló impulzust jelenti.következésképpen, P ik df k a df felületelemen átmen impulzus i-edik komponense.ha df k komponenst n k df alakba írjuk, azt kapjuk, hogy P ik n k az i-edik impulzuskomponens felületegységére es áramvektor. A P ik -t impulzusáram-s r ség tenzornak nevezzük.

0FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN).7. A cirkuláció megmaradása A zárt görbére vett Γ = v dl integrált az illet görbére vonatkozó sebességcirkulációnak (vagy egyszerüen cirkulációnak) nevezzük. Vizsgáljunk a folyadékban adott id pillanatban egy zárt görbét.ezt a görbét folyadékrészecskék együttesének tekintjük.ezek a részecskék id ben elmozdulnak, így az egész görbe változtatja a helyzetét. Nézzük meg, hogyan változik a cirkuláció.más szóval, számítsuk a d v dl dt id deriváltat.a circuláció megváltozását a folyadék áramlásban részt vev görbe mentén kivánjuk meghatározni.a koordináták szerinti deriválást δ-val jelöljük,d-t fenntartjuk az id derivált jelzésére.a görbe dl ívelemét e hosszuság két végpontja helyvektorának δr különbségeként is felírhatjuk.írjuk tehát a cirkulációt a következ alakba : v δr. Az integrál id szerinti dierenciálásakor gyelembe kell venni, hogy nemcsak a sebesség, hanem maga az integrációs görbeis változik. d dv v δr = dt dt δr + v dδr dt. A v sebesség azonban az r helyvektor id szerinti deriváltja, így v dδr dt = vδ dr dt = vδv = δ v. Minthogy a teljes dierenciál zárt görbére vett integrálja elt nik, a második integrál nem ad járulékot, ezért d dv v δr = dt dt δr. Az integrál kiszámításához felhasználjuk a dv dt dv dt = w. gyorsulásnak kifejezését : A sokes-tétel alkalmazásával (tekintetbe véve, hogy w = 0) : dv dt δr = dv δf = 0. dt.8. Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei Most rátérünk a mozgés során fellép energiadiszipációs folyamatok tanulmányozására. Ezek a folyamatok a mozgás termodinamikai irreverzibilitásának megnyilvánulásai,

.8. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK MOZGÁSEGYENLETEI 1 melyek a bels súrlódás (viszkozítás) és a h vezetés miatt mindig fellépnek.a súrlódó folyadékáramlását leíró egyenlethez úgy juthatunk, hogy az ideális folyadék mozgásegyenletébe új tagokat vezetünk be.a kontinuitási egyenlet bármilyen folyadék esetén érvényes. Az Euler-egyenlet azonban módosításra szorul. Az ideális folyadék impulzusáramával kapcsolatban láttuk, hogy ρv i = P ik aholp ik az ideálisimpulzusáram-s r ség tenzor.a súrlódó folyadék mozgásegyenletét úgy állíthatjuk el, hogy a fenti ideális impulzusáramhoz egy σ ik tagot adunk, amely a viszkózusirreverzibilis impulzusátadásnak felel meg.így tehát súrlódó folyadékokbvégül, származtassuk le egy, nan az impulzusáram-s r ség tenzort a következ alakban írjuk : Az itt szerepl P ik = pδ ik + ρv i v k σ ik = σ ik + ρv i v k. σ ik = pδ ik + σ ik tenzort feszültségtenzornak nevezzük,σ ik -neve viszkozitási feszültségtenzor. Aσ ik általános alakját a következ megfontolások segítségévelhatározhatjuk meg.egy folyadékban bels súrlódás csak akkor lép fel, ha a folyadék különböz részei különböz sebességgel mozognak, azaz a folyadék szomszédos tartományai egymáshoz képest mozognak.ennek következtében σ ik a sebességnek a koordináták szerinti deriváltjaitól függ.ha a sebességgradiensek nem túlságosan nagyok, feltehetjük,hogy a bels súrlódás miatti impulzusátadás csak a sebesség els deriváltjaitól függ. Ebben a küzelítésben σ ik -nak v i -tól való függése lineárisnak tekinthet. vi -töl független tagok nem szerepelhetnek σ ik kifejezésében,mert a viszkozitási feszültségtenzor komponenseinek v = const esetén el kell t nniük.megjegyezzük továbbá, hogy σ ik -nek akkor is nullává kell válnia, ha a folyadék mint egész forog, mert ekkor bels súrlódás nem léphet fel.ω szögsebesség homogén forgás esetén a v sebesség az Ω vecr vektorszorzattal egyenl. A v i + v k x i összegek a vi deriváltaknak olyan lineáris kombinációi, amelyek elt nnek, ha v = Ω r.ezért σ ik a vi deriváltaknak éppenezekb l a szimmetrikus kombinációiból épithet fel.. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg ek, a folyadékot folytonos közegnek tekintjük.ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend en sok molekulát tartalmaz.ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különálló molekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelem helyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk. A fenti követelményeknek eleget tev legáltalánosabb másodrend tenzor a következ : ( σ ik vi = a + v ) k + b v l δ ik, x i x l ahol a és b függetlenek a sebességt l(,ez az állitás csak izotróp folyadékokban igaz ahol a, b skalárok).célszer σ ik -t a következ alakban felírni : ( σ ik vi = η + v k ) x i 3 δ v l v l ik + ζδ ik x l x l.

FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) Az η és ζ mennyiségek a bels súrlódási együtthatók.bebizonyítható, hogy η > 0, ζ > 0. A súrlódó folyadék mozgásegyenlete most már úgy állítható el, hogy a ( ) vi ρ + v v i k = p x i Euler-egyenlet jobb oldalához hozzáadjuk a σ ik ( ) vi ρ + v v i k = p x i + { η ( vi + v k tagot. azt kapjuk, hogy x i 3 δ v l ik x l )} + x i ( ζ v ) l. x l Ez a súrlódó folyadék legáltalánosabb mozgásegyenlete,η és ζ általában a nyomás és a h mérséklet függvénye.az esetek többségében a bels súrlódási együtthatók változása a folyadékban jelentéktelen, tehát jó közelítéssel állandóknak tekinthet k. Ezért De σ ik ( v i = η x + v k v l k x i 3 x i x l ( + ζ + η 3 = η v i x k v l x l v, ) + ζ x i v l x l = (.1) ) x i v l x l. (.) v i x v i. k Súrlódó folyadék mozgásegyenletét tehát vektoralakban így írjuk : ρ [ v + (v )v ] = p + η v + ( ζ + η 3 ) ( v). Ha a folyadék összenyomhatatlannak tekinthet, v = 0, a mozgásegyenletét a következ képpen írhatjuk : v + (v )v = 1 ρ p + η ρ v. Ez a NavierStokes-egyenlet.Összenyomhatatlan folyadék feszültségi tenzora a következ egyszer alakot ölti : ( vi σ ik = pδ ik + η + v ) k. x i Látható, hogy összenyomhatatlan folyadék esetén a bels súrlódást egyetlen állandó írja le.minthogy egy folyadék igen sokszor összenyomhatatlannak tekinthet, gyakran csak ez az η, ún.dinamikai viszkozitás, együttható jut szerephez. A ν = η ρ hányadost kinematikai viszkozitásnak nevezzük. Megjegyezzük, hogy a gázok dinamikai viszkozitása adott h mérsékleten független a nyomástól. A nyomás épp úgy kiküszöbölhet a NavierStokes-egyenletb l mint korábbanaz Euler-egyenletb l.az egyenletre a rotáció operátort alkalmazva, azt kapjuk, hogy v = (v v) + ν v.

.9. ENERGIADISSZIPÁCIÓ ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKBAN 3 A peremfeltétellel kapcsolatban azt mondhatjuk, hogy a szilárd test felületével érintkez folyadék nem mozdul el, mintha oda lenne ragasztva.tehát a szilárd test mentén a folyadék sebességének eltünését követelik meg : v = 0. Mozgó felület esetében v a szilárd felület mozgássebességével egyezik meg.könnyen felírhatjuk a folyadékba merül szilárd test felületére ható er kifejezését. Egy felületelemre ható er az adott elemen átmen impulzusáram. A df felületelemen átmen impulzusáram : P ik df k = (ρv i v k σ ik )f k. Az egységnyi felületre ható P er így adódik : P i = σ ik n k = pn i σ ikn k, mivel a felületen v = 0. Az els tag a szokásos folyadéknyomás, a második a felületre ható súrlódási er. Hangsúlyoznunk kell, hogy az n vektor a folyadékfelület küls nortmális irányú egységvektora, azaz a szilárd test felületének bels normálisa..9. Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban A bels súrlódás energiadisszipációval jár, ami végül h vé alakul.az összenyomhatatlan folyadék teljes kinetikus energiája : E kin = ρ v dv. Számítsuk ki az energia id szerinti deriváltját. Írhatjuk, hogy ρv = ρv v i i, ahol a vi derivált a NavierStokes-egyenlet alapján : Végül azt kapjuk, hogy v i = v v i k 1 p + 1 σ ik. ρ x i ρ ρv = ρv(v )v v p + v σ ik i = (.3) x ( k v = ρ(v ) + p ) + (vσ ) σ v i ik. (.4) ρ Összenyomhatatlan folyadékban azonban v = 0, ezért a jobb oldal els tagját divergencia formájában írhatjuk: ρv = [ ( v ρv + p ) ] (vσ ) ρ σ ik v i.

4FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) ( ) v A divergencia alatti mennyiség a folyadékban haladó energiaáram. A ρv + p ρ tag a tömeg mozgásával kapcsolatos energiaáram, és megegyezik egy ideális folyadék energiaáramával. A második tag (vσ ) a bels súrlódással kapcsolatos energiaáram. Valóban a bels súrlódás σ ik impulzusáramot kelt; az impulzusátadás mindig energiamozgással járe, és az energiaáramot az impulzusáramot a sebességgel való szorzással kapjuk. Az el z egyenletet V térfogatra integrálva, azt kapjuk, hogy ρv [ ( v dv = ρv + p ) ] (vσ ) df σ v i ik dv. ρ Ha az integrált a folyadék egész térfogatára kiterjesztjük, a felületre való összegezés nullát ad(a sebesség a végtelenben elt nik),és a folyadékban az egységnyi id alatt disszipálódó energia kifejezése a következ : Ė kin = σ ik v i dv. Összenyomhatatlan folyadék esetén a σ ik tenzort az el z rész alapján deniálja, tehát σ ik v i = η v ( i vi + v ) k. x i Könnyen ellen rizhet, hogy ez a kifejezés felírható az alábbi alakban: ( η vi + v ) k. x i Az energiadisszipációt összenyomhatatlan folyadék esetén tehát így kapjuk : Ė kin = η ( vi + v ) k dv. x i A disszipáció a mechanikai energia csökkenését jelenti, azaz hogy az η együttható mindig pozitív. Ėkin < 0. Innen látható,.10. Áramlás csövekben Vizsgáljuk meg az összenyomhatatlan viszkózus folyadék áramlásának néhány egyszer esetét. 1. Tekintsünk két párhuzamos egymáshoz képest állandó u sebességgel mozgó síklap közé zárt folyadékot. Az x, z tengelyeket az egyik síkban vesszük fel úgy, hogy az x tengely mutasson az u sebesség irányába.nyilvánvalóan minden mennyiség csak az y koordinátától függ, és a folyadéksebessége mindenütt azonos irányú az x tengellyel.stacionárius mozgás esetén dp dy = 0, d v dy = 0. (Akontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)ebb l p = const,v = ay + b adódik.az y = 0 és y = h síkokon (h a két felület közötti távolság) rendre v = 0 és v = u.ebb l az adódik, hogy v = y h u.

.10. ÁRAMLÁS CSÖVEKBEN 5 A sebességeloszlás a folyadékban tehát lineáris.a folyadék átlagsebességét így deniáljuk : esetünkben v = 1 h h 0 v = 1 u. Az érint irányú er pedig (azy = 0 síkban) : v dy, σ xy = η dv dy = ηu h..tekintsünk ezután két rögzített, párhuzamos sík között nyomáskülönbség hatására végbemen áramlást.koordináta-rendszerünket válasszuk ugyanúgy mint az el bbi esetben.a NavierStokes-egyenletb l azt kapjuk, hogy(asebesség nyilvánvalóan csak az y koordinátától függ) v y = 1 p η x, p y = 0. Az els egyenlet jobb oldala csak x-t l függ,bal oldala pedig csak y-tól.ebb l következik, hogy mindkét oldal állandó.tehát dp dx = const, azaz a nyomás az áramlás irányába fektetett x koordináta lineáris függvénye.a sebességre az adódik, hogy v = 1 dp η dx y + ay + b. Az a és b állandók a v = 0, ha y = 0 vagy y = h határfeltételekb l határozhatók meg. Végeredményként azt kapjuk, hogy a sebesség értéke : v = 1 dp η dx [ h 4 ( y h ) ]. A sebességeloszlás a folyadékrétegre mer leges irányban parabolikus, maximuma a réteg közepén van. Az áramlás átlagsebességét a v = 1 h h 0 v dy összefüggés alapján számítjuk : v = h p 1η x. képlet alap- Számítsuk ki a rögzített síkokra ható súrlódási er t aσ xy ján.behelyettesítés után σ xy = h dp dx adódik. = η v y y=0

6FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) 3. Végül vizsgáljuk meg a folyadék stacionárius áramlását egy tetsz leges (de végig azonos) keresztmetszet cs ben. Az x koordinátát mérjük a cs tengelye mentén. Nyilvánvaló, hogy a folyadék v sebessége mindenütt x irányú, és csak y és z függvénye. A kontinuitási egyenlet azonosan teljesül, és a NavierStokes-egyenletek y és z komponensei megint a p y = p z = 0 összefüggére vezetnek, azaz a nyomás a cs keresztmetszete mentén állandó. A stacionárius egyenlet x komponense : v y + v z = 1 dp η dx. Ebb l ismét dp p dx = const következik;ezért a nyomásgradienst l alakban írhatjuk, ahol p a cs végei közötti nyomáskülönbség, l a cs hossza. A folyadék sebességeloszlása a cs ben egy kétdimenziós v = const típusú egyenletb l határozható meg. Ezt az egyenletet a keresztmetszet kerületén teljesül v = 0 határfeltétel gyelembevételével kell megoldani. Foglalkozunk egy kör keresztmetszet cs vel. Vezessünk be polárkoordinátákat, az origót helyezzük a kör középpontjába. Szimmetriaokokból v = v(r). A Laplace-operátor polárkoordinátás alakjának használatával azt kapjuk, hogy ( 1 d r dv ) = p r dr dr ηl. Integrálás után v = p 4ηl r + a ln r + b adódik.az a állandót nullának kell választani, minthogy a sebesség minden pontban, a középpontot is beleértve, véges.a b állandót a v = 0, ha r = R feltételb l határozhatjuk meg.végeredményünk : v = p 4ηl (R r ). A sebességeloszlás ismétn parabolikus.könnyen meghatározhatjuk a cs egy síkmetszetén id egység alatt átáramló Q folyadékmennyiséget (ezt nevezzük hozamnak). A πr dr gy r alakú felületelemen egy másodperc alatt ρ πrv dr folyadékmennyiség halad át. Ezért a fenti összefüggés felhasználásával Q = πρ R 0 rv dr. Q = π p 8νl R4 adódik.látjuk, hogy az egységnyi id alatt átáramló folyadékmennyiség a cs sugarának negyedik hatványával arányos (ez a Poiseuille-törvény)..11. A hang.11.1. Hanghullámok Most rátérünk az összenyomható folyadék áramlásának vizsgálatára.az összenyomható folyadék kis amplitúdójú rezg mozgását hanghullámnak nevezzük.a hanghullám váltokozva s r södést és ritkulást okoz a folyadék minden pontjában.

.11. A HANG 7 Minthogy az oszcillácviók kicsik, a v sebesség is kicsi, úgyhogy az Euler-egyenletben a (v )v tag elhanyagolható.a p és ρ változókat p = p 0 + p, ρ = ρ 0 + ρ alakba írhatjuk,ahol a ρ 0 és a p 0 állandóaz egyensúlyi s r ség és nyomás,ρ és p ezek megváltozása a hanghullámban (ρ ρ 0, p p 0 ).A ρ + ρv = 0 kontinuitási egyenletbe beírva, a másodrendben kicsiny tagok(ρ, p, v els rendben kicsik)elhagyásával azt kapjuk, hogy Hasonlóan a ρ + ρ 0 v = 0. v Euler egyenlet a fenti közelítésben a + (v )v = p ρ v + p ρ 0 = 0 egyenletre redukálódik. A fenti linearizált mozgásegyenletek csak akkor alkalmazhatók hanghullámok leírására, ha teljesül a v c feltétel, azaz a folyadékrészecskék sebessége a hanghullámban kicsi a hangsebességhez képest.ezt a feltételt például ρ ρ 0 feltételb l kaphatjuk.az el z két egyenletben a v, p és ρ ismeretlen függvények szerepelnek.ezek közzül egyet kiküszöbölhetünk mivel az ideális folyadékban terjed handhullám adiabatikus állapotváltozást eredményez.ezért a kis p nyomásváltozás és a kis ρ s r ségváltozás kapcsolata így írható : ( ) p p = ρ ρ. s Ebb l az egyenletb l ρ alakját a fenti egyenletbe írva, azt kapjuk, hogy p ( ) p + ρ 0 div v = 0. ρ 0 A v és p ismeretleneket tartalmazó egyenletrendszer a hanghullámot teljesen meghatározza. Valamennyi ismeretlen mennyiséget leírhatjuk egyetlen függvény segítségével, ha bevezetjük a v = ϕ sebességpotenciált.azt kapjuk, hogy p = ρ ϕ, ami összekapcsolja p -t és ϕ-t (itt és az alábbiakban a rövidség kedvéért elhagyjuk p 0 és ρ 0 indexét).a fenti egyenletekb l a ϕ potenciálra vonatkozó ϕ c ϕ = 0

8FEJEZET. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAU ALAPJÁN) egyenletet kapjuk;itt bevezettük a c = ( ) p ρ s jelölést.a fenti lineáris homogén másodrend parciális dierenciálegyenletet hullámegyenletnek szokás nevezni.erre a gradiens operátort alkalmazva, azt kapjuk, hogy a vecv sebesség mindhárom komponense kielégíti a hullámegyenletet,id szerinti deriválásáv pedig beláthatjuk, hogy a p nyomás (és vele ρ is ) szintén eleget tesz a hullámegyenletnek. Tekintsünk egy olyan hanghullámot, amelyben minden mennyiség egyetlen koordinátától, mondjuk x-t l függ. Ez azt jelenti, hogy az áramlás teljesen homogén az yz síkban. Az ilyen hullámot síkhullámnak nevezzük. A hullámegyenlet ekkor így írható : ϕ x 1 ϕ c = 0. Az egyenlet megoldása céljából x és t helyett bevezetjük az új ξ = x ct, η = x + ct változókat. Az egyenlet a ϕ η ξ = 0 alakot ölti. Két egymásutánni integrálás után ϕ = f 1 (ξ) + f (η) = f 1 (x ct) + f (x + ct). A többi mennyiség (p, ρ, v) oszlását egy síkhullámban hasonló alakú függvények írják le.az f 1 (x ct) függvé egy úgynevezett haladö síkhullámot ír le, amely a pozitív x tengely irányában terjed. Az f (x + ct) nyilvánvalóan ellenkez irányban terjed hullámot ír le. A v = ϕ sebesség három összetev je közül csak v x = ϕ x különbözik nullától.tehát a hanghullámban a folyadék sebessége a terjedés irányába mutat. Ezxért a folyadékban terjed hanghullámokat longitudinálisnak mondjuk.a haladó síkhullámban a v x = v sebesség egyszer kapcsolatban áll a p nyomással és a ρ s r séggel. ϕ = f(x ct)-t írva, v = ϕ x = f (x ct) és p = ρ ϕ = ρcf (x ct). A két kifejezést összevetve, azt találjuk, hogy v = p ρc. Felhasználva a p = c ρ egyenletet következik, hogy v = cρ ρ. Az adiabatikus és az izotermikus kompresszibilitás kapcsolata ( ) p = c ( ) p p. ρ c v ρ Határozzuk meg a handsebességet ideális gázban. Az állapotegyenlet : s pv = p ρ = RT µ, T

.11. A HANG 9 ahol R a gázállandó, µ pedig a molekulasúly. A hangsebességre az alábbi kifejezést kapjuk : c = γ RT µ, ahol γ = cp c V.A hangsebesség gázokban nagyságrendileg megegyezik a molekulák h mozgásának átlagsebességével.adott h mérsékleten c független a nyomástól. Rendkivül fontos az úgynevezett monokromatikus hullámok esete,amikor minden mennyiség az id egyszer periodikus (harmonikus) függvénye. Az ilyen függvényt általában célszer egy komplex mennyiség valós részeként felírni.a sebességpotenciál például ϕ = Re{ϕ 0 (x, y, z)e iωt } alakba írjuk, ahol ω a hullám frekvenciája. A ϕ 0 függvény kielégíti a ϕ 0 + ω c ϕ 0 = 0 egyenletet. Tekintsünk egy, a pozitív x tengely irányában terjed monokromatikus haladó síkhullámot. Ilyen hullámban minden mennyiség csak (x ct)-t l függ, úgyhogy a potenciál ϕ = Re{Ae iω(t x c ) } alakú, ahol A egy állandó, az ún. komplex amplitudó. Ezt A = ae iα alakba írva, ahol a és α valós állandók, azt kapjuk, hogy ( ω ) ϕ = a cos c x ωt + α. Az a állandó a hullám amlitudója, a cosinus argumentumát pedig fázisnak nevezzük. A k = ω c n = π λ n vektor neve hullámvektor, n-nel a terjedés irányába mutató egységvektort jelöljük.ezzel így is írható : ϕ = Re{Ae i(kr ωt) }. A monokromatikus hullámok tanulmányozása nagyon fontos, mert bármilyen hullám felírható különböz hullámvektorú és frekvenciájú monokromatikus síkhullámok súlyozott összegeként. Egy hullám monokromatikus hullámokra való felbontása egyszer en egy Fourier-sorba vagy -integrálba történ kifejtés (úgynevezett spektrálfelbontás). E kiejtés egyes tagjai a hullám monokromatikus komponensei vagy Fourier-komponensei.