Nyújtás. Ismétlés. Hooke-törvény. Harántösszehúzódás: nyújtásnál/összenyomásnál a térfogat növekszik/csökken

Átírás

1 Ismétlés Mozgó vonatkoztatási rendszerek Szilárd testek rugalmassága. (nyújtás és összenyomás, hajlítás, nyírás, csavarás) A rugalmassági állandók közötti összefüggések. Szilárd testek viselkedése az arányossági határon kívül. Nyújtás Hooke-törvény E: rugalmassági, nyújtási, vagy Young-féle modulus l 1 F ε 1 σ l E q E ahol l ε l F σ q relatív megnyúlás húzófeszültség Harántösszehúzódás: µ d d l l µ: Poisson-féle szám, vagy harántösszehúzódási együttható nyújtásnál/összenyomásnál a térfogat növekszik/csökken Egyenletes nyomás (folyadékokban, gázokban) V V κ p κ: kompresszibilitás, vagy összenyomhatósági együttható

2 Rugalmas állandók összefüggése l p l p l Az összenyomás mindig térfogatcsökkenéssel jár! 0 <µ < µ κ 3 E Szintén megmutatható: G E (1+ µ ) Az izotróp testek rugalmas viselkedése független állandóval jellemezhető. Fluidumok mechanikája Fluidum: folyadékok és gázok Tárgyalásuk mikroszkópikus szinten igen bonyolult -> fenomenologikus modell A fluidum-modell alapfeltevése: nyugvó fluidumban nincs nyírófeszültség. (surlódásmentes, vagy ideális egy folyadék: ha mozgás közben sincs nyírófeszültség) Következmény: a nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a rá ható erők eredőjére.

3 Pascal törvény Edénybe zárt, súlytalan, nyugvó fluidumban a nyomás 1) mindenütt ugyanakkora és ) nem függ a felület irányától (izotróp). vizi buzogány hidraulikus sajtó Hidrosztatika A fluidumok közül a folyadékokat összenyomhatatlannak, azaz állandó sűrűségűnek, míg a gázokat teljesen összenyomhatónak, azaz változó sűrűségűnek tekintjük. A nehézségi erő hatása alatt álló folyadékban nyomáseloszlás tart egyensúlyt a folyadék súlyából származó erőkkel. hidrosztatikai nyomás: p hidrosztatikai ρgh vérnyomásmérés, elviselhető max. gyorsulás (4-5g)

4 Hidrosztatikai paradoxon 1 3 h A Pascal vázái Közlekedőedények (artézi kút) Arkhimédész törvénye 1. Egy folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, amely nagyságra nézve megegyezik a test bemerülő részével azonos térfogatú folyadék súlyával. A felhajtóerő támadáspontja egybeesik a kiszorított folyedékrész súlypontjával. Ffelhajtó ρ folyadék V g Ahhoz, hogy Arkhimédész törvénye érvényes legyen szükség van arra, hogy a testet minden irányból folytonos folyadékréteg vegye körül! II. Hierón

5 Arkhimédész törvénye. arkhimédeszi hengerpár gázokban is jelentős lehet Cartesius-búvár (tengeralattjárók) areométer Aerosztatika, légnyomás Evangelista Torricelli 1643 Vincenzo Viviani Pascal kísérletei a Torricelli űr mibenlétének tisztázására Otto von Guericke magdeburgi féltekéi

6 Gázok nyomása Boyle-Mariotte törvény: Adott hőmérsékletű és tömegű gáz térfogatának és nyomásának szorzata állandó. Barometrikus magasságképlet: p( h) Nyomásmérők és szivattyúk (egyéni feldolgozás) p 0 0 e ρ( h) ρ e ρ0gh p 0 ρ0gh p 0 kémény huzat Molekuláris erők folyadékokban Adhéziós erő, kohéziós erő illeszkedési szög felületi feszültség: a folyadék szabad felszínének egységnyi megnöveléséhez szükséges munka (dimenziótól eltekintve) Minimálfelületek:

7 Eötvös törvény A felületi feszültség hőmérsékletfüggése: ahol α V T 0 ( T T) /3 αv ke 0 felületi feszültség moláris térfogat kritikus hőmérséklet k E 10 7 JK 1 mol /3 meleg vizes mosás Görbületi nyomás, kapillaritás p görbületi α r kicsi a bors de erős Kapilláris emelkedés: h α cosϑ ρrg víz higany

8 Az áramlási tér leírása: Áramlástan Áramvonalak és szemléltetésük (Pohl-készülék) A tér minden egyes pontjában a sebesség az áramvonal érintőjének irányába mutat, nagyságát pedig a felületegységre jutó éramvonalak száma adja meg. Az áramvonalak a nulla sebességű pontok kivéte-lével nem metszhetik egymást. Áramlási cső: áramvonalak által határolt térrész a cső falán nem lép át fluidum Kontinuitási egyenlet (az anyagmegmaradást fejezi ki): ρa v állandó összenyomhatatlan esetben: ρ ( r, t ), p( r, t), v( r, t) A v állandó A gázok áramlástani szempontból általában a folyadékokhoz hasonlóan összenyomhatatlan közegként viselkednek! A kontinuitási egyenlet a beszűkült keresztmetszetnél az áramvonalsűrűség nagyobb

9 Bernoulli-törvény Összenyomhatatlan, surlódásmentes (ún. ideális) folyadék stacionárius áramlására fennáll, hogy 1 p + ρv + ρgh állandó A Bernoulli-törvény alkalmazásai Pitot-cső (teljes nyomás) Venturi-cső (sztatikai nyomás) Prandtl-cső (torlónyomás) Toricelli törvény v gh

10 Források és nyelők Az áramvonalak vagy zárt görbéket alkotnak, vagy forrásból indulnak és nyelőben végződnek. Pontszerű forrást jellemzi a Q forráserősség: V Q t mely gömbszimmetrikus áramlási teret hoz létre: v Q r 4r π r a folyadék mennyiségének változási gyorsasága az áramlás sebessége Örvényes áramlások Akkor jön létre, ha a fluidum valamely része haladó mozgása mellett forgó mozgást is végez (ω). Örvénytér, örvényvonal (a sebességtér ás az áramvonal analógiái) Homogén örvénytér, záródó örvényvonalak Cirkuláció: Γ ds v s Egy áramlási tér valamely tartománya akkor és csak akkor örvénymentes, ha a tartományban felvett bármely zárt görbe mentén a cirkuláció nulla. A B a parabolikus sebességprofillal leírt áramlási tér örvényes! D C v max

11 Surlódó, viszkózus folyadék Tapadási feltétel: a fallal érintkező részecskék falhoz képesti relatív sebessége zérus. Newton-féle viszkozitási törvény: η F A viszkozitási együttható, dinamikai viszkozitás erősen függ T-től dv F ηa dz és függhet a nyírófeszültségtől is! σ nyíró η dv dz Nyírófeszültség z v A ideális Bingham (fogkrém, pudding) dilatáns (folyékony golyóálló mellény?) newtoni pszeudoplasztikus (pl. vér, tej, fejték) F 0 Sebességgradiens Parabolikus sebességprofil A hengeres csőben áramló viszkózus folyadékban olyan hengerszimmetrikus sebességeloszlás alakul ki, amelyben a sebesség a tengely mentén maximális, a tengelytől kifelé haladva a sugár négyzetével csökken. v 0 v v max

12 Hagen-Poiseuille-törvény Egy cső keresztmetszetén időegység alatt átáramló folyadék mennyisége: Q pπ R 8lη 4 p: nyomásgradiens l: a cső hossza R: a cső sugara Reynolds-szám Az áramlástan legalapvetőbb dimenzió nélküli jellemzője: Re ρvl η L: jellemző lineáris méret, pl. csősugár Hidrodinamikai hasonlóság: két áramlási tér hidrodinamikailag hasonló, ha a geometriai hasonlóság mellett a Reynolds számok is megegyeznek.

13 Lamináris, turbulens áramlás Lamináris: stacionárius áramlás szabályos áramvonalakkal Re< néhányszor 10 Turbulens: időben rendszertelenül változó áramlás, felismerhetetlen áramvonalak Re > néhány 1000 Közegellenállás 5 4 C d Re F ρv L η F ρvl ηvl F ρv L c 0 F c0ρv L lineáris (Stokes-féle) közegellenállás négyzetes ellenállási törvény F 6πηRv F c 1 ρ Av e

14 A c e közegellenállási együttható Gömb 0,47 Gömbhéj (domború) 0,4 Gömbhéj (homorú) 1,4 Kúp 0,5 Kocka 1,05 Kocka (elforgatva) 0,81 Áramvonalas test 0,04 Dinamikai felhajtóerő, repülés A közegellenállási erő függ az állásszögtől is. A testre ható erő felbontható áramlással párhuzamos és arra merőleges komponensekre. Míg az előző a közegellenállási erő, addig az utóbbi a ún. dinamikai felhajtóerő, mely egy olyan fajta felhajtóerő, mely csak akkor lép fel, ha a közeg áramlik. F ke 1 1 ce ρ v A F c v df f ρ A siklószám, átbukás

15 Magnus-effektus Áramlásba helyezett forgó hengerre a Bernoulli-egyenlet értelmében felhajtóerő hat: F f Jó tanulást kívánok!