Feladatok és kiegészítések az elmélethez Lineáris programozás Standard modell (maximumprobléma) x 0 Ax b (1) c x = z max ahol x = (x 1,..., x n ) R n 1 a keresett n dimenziós oszlopmátrix/vektor 0 = (0,..., 0) R n 1, az n dimenziós oszlop zérusvektor, az x 0 egyenlőtlenség koordinátánként (elemenként) értendő, A = (a ij ) R k n egy k n típusú (adott) mátrix, b = (b 1,..., b k ) R k 1 adott k dimenziós oszlopmátrix/vektor c = (c 1,..., c n ) R n 1 egy n dimenziós adott sorvektor, c = (c 1,..., c n ) R 1 n. Az A 1 x b 1 feltételt ekvivalens módon A 1 x b 1 -ként írhatjuk át. Az A 2 x = b 2 egyenlőség típusú feltételt ekvivalens módon A 2 x b 2 és A 2 x b 2 illetve A 2 x b 2 és A 2 x b 2 feltételként írhatjuk át. A c x = z min minimumfeltételt c x = z max-ként írhatjuk át maximumfeltétellé. Az (1) standard modell kanonikus alakján a x 0, w 0 Ax + w = b (2) c x = z max alakot értjük, ahol w = (w 1,..., w k ) R k 1 egy k dimenziós oszlopmátrix/vektor. 1
2 Az (1) standard feladatot x 0 Ax b (3) c x max primál feladatnak nevezzük, az ennek megfelelő duál feladat u 0 vagy u 0 u A c u b min vagy A u c vagy b u min (4) ahol u = (u 1,..., u k ) R k 1 a keresett k dimenziós oszlopmátrix/vektor,0 = (0,..., 0) R k 1 a megfelelő zérusvektor. Dualitási eredmények: Ha x = (x 1,..., x n ) R n 1 a (3) primál feladat lehetséges megoldása és u = (u 1,..., u k ) R k 1 a (4) duál feladat lehetséges megoldása akkor b 1 u 1 + + b k u k c 1 x 1 + + c n x n azaz a duál feladat célfüggvénye legalább akkora mint a primál feladaté. Ha x = (x 1,..., x n) R n 1 az (3) primál feladat lehetséges megoldása és u = (u 1,..., u k ) R k 1 a (4) duál feladat lehetséges megoldása melyekre b 1 u 1 + + b k u k = c 1 x 1 + + c n x n akkor x optimális megoldása a primál feladatnak, u optimális megoldása a duál feladatnak.
Dualitási tétel. Tegyük fel, hogy az (3) primál feladatnak van (véges) optimális megoldása. Ekkor a (4) duál feladatnak szintén van (véges) optimális megoldása, és a két célfüggvény optimumértékei megegyeznek. Ha primál feladatnak nincs korlátos optimuma, akkor a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. 3
4 Feladatok (1) Oldja meg (grafikusan) az alábbi kétváltozós lineáris programozási feladatokat: (a) x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 5 3x 1 + 3x 2 9 x 1 + x 2 6 (b) x 1, x 2 0 x 1 + x 2 3 x 1 5 x 1 8 2x 2 z = 3x 1 max z = x 1 + 4x 2 max (c) x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 9 x 1 + x 2 = 3 x 1 + x 2 6 (d) x 1, x 2 0 x 1 + x 2 7 x 1 3 x 1 + 3x 2 9 z = 4x 1 + 10x 2 max z = 2x 1 + x 2 min (2) Oldja meg a WinQSB szoftverrel az alábbi lineáris programozási feladatokat: (a) x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 2x 2 x 3 26 3x 1 x 2 + 2x 3 60 x 2 + x 3 = 30 (b) x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 2x 2 20 3x 1 + 4x 2 = 55 2x 1 x 3 = 0 z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 min z = x 2 + 4x 3 min
5 (c) 0 x 1 10, 0 x 2 3 5 x 3, 2 x 4 8 2x 1 x 2 + x 4 10 x 1 + x 2 2x 3 + x 4 0 (d) 0 x 1, x 2, x 3, x 4 10 x 1 x 2 x 3 + x 4 10 2x 1 + x 3 + 2x 4 30 2x 3 + x 4 15 z = 2x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 max z = 4x 2 + 5x 3 min (3) (Termelési feladat) (ld. Varga J.: Gyakorlati programozás, Tankönyvkiadó, Bp. 1985, 262-268) 1. Döntés előkészítése. 100000m 3 tölgyrönköt kell fűrészáruvá feldolgozni 4 üzemben, melyek közel azonos technikai felszereltségűek. Mindegyikben 6 féle terméket tudnak előállítani: I, II, III-adosztályú szelvényárut, dongát, parkettalécet, bányaszéldeszkát és közben fürészpor és darabos hulladék keletkezik. 2. Technológiák számszerűsítése. E termékek előállítására öt technológia van. E technológiák kihozatali mutatói próbavágások alapján az alábbiak, 1m 3 rönkre vonatkozóan, %-ban Technológiák I II III IV V I. o. szelv.áru 10 - - 10 5 II. o. szelv.áru 30 - - 30 25 III. o. szelv.áru 20 - - - - Donga - 40 - - 15 Parkettaléc - 10 50 15 12 Bányaszéldeszka - - - 4 - Darabos hulladék 25 40 30 25 28 Fürészpor 15 10 20 16 15
6 3. Technikai korlátok. Az üzemek kapacitása messzemeghaladja a feldolgozandó mennyiséget, csupán a parkettagyártó gépsor kapacitása korlátozott évi 10000m 3 -re. 4. Keresleti korlátok. Az egyes termékekből az évi kereslet/terv I.o legalább 1000m 3, II. o. legalább 5000m 3, donga legfeljebb 20000m 3, parkettaléc legalább 5000m 3 -t kell előállítani, és a hulladék (fürészpor és darabos hulladék) nem haladhatja meg a 45%-ot. 5. A célt befolyásoló adatok, a késztermékek árai: Késztermék Ft/m3 I. o. szelv.áru 3000 II. o. szelv.áru 2400 III. o. szelv.áru 1400 Donga 3500 Parkettaléc 3100 Bányaszéldeszka 1000 Darabos hulladék 500 Fürészpor 100 Így 1m 3 rönk feldolgozásával az árbevétel: Techn. Árbevételek (Ft) Össz.(Ft) I. 0,1 3000+0,3 2400+0,2 1400+0,15 100 1440 +0,25 500 II. 0,4 3500+0,1 3100+0,4 500+0,1 100 1920 III. 0,5 3100+0,3 500+0,2 100 1720 IV. 0,1 3000+0,3 2400+0,15 3100+0,04 1000 1666 +0,16 100+0,25 500 V. 0,05 3000+0,25 2400+0,15 3500+0,12 3100 1802 +0,15 100+0,28 500 6. Matematikai modell.
Legyen x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 az egyes technológiák szerint felvágandó rönk mennyisége m 3 -ben, akkor 7 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 nemnegativitás 0, 1x 1 + 0, 1x 4 + 0, 05x 5 1000 I.oszt. terv 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x 5 5000 II.oszt. terv 0, 4x 2 + 0, 15x 5 20000 donga tervkorl. 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x 5 5000 park.léc terv 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x 5 10000 park.léc kapac. 0, 4x 1 + 0, 5x 2 + 0, 5x 3 + 0, 41x 4 + 0, 43x 5 45000 hulladék x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 100000 teljes készlet Az árbevétel maximalizálása a cél, azaz a célfüggvény: 1440x 1 + 1920x 2 + 1720x 3 + 1666x 4 + 1802x 5 = z max Megoldás: Bevitel a WinQSB programba:(fauzem.lpp)
8 A megoldás a program segítségével:
9 Combined Report for fauzem5 13:40:22 Sunday February 15 2009 Decision Solution Unit Cost or Variable Value Profit c(j) Total Reduced Basis Allowable Allowable Contribution Cost Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 12,121.21 1,440. 17,454,550. 0 basic -M 1,731.2 2 X2 27,272.72 1,920. 52,363,630. 0 basic 1,741.667 2,073.867 3 X3 0 1,720. 0 - at bound -M 2,543.03 823.0303 4 X4 0 1,666. 0 - at bound -M 1,770.909 104.9091 5 X5 60,606.06 1,802. 109,212,100. 0 basic 1,744.3 2,016.00 Objective Function (Max.) = 179,030,300. Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Price Min. RHS Max. Surplus RHS 1 C1 4,242.424 >= 1,000. 3,242.424 0 -M 4,242.424 2 C2 18,787.88 >= 5,000. 13,787.88 0 -M 18,787.88 3 C3 20,000.00 <= 20,000. 0 648.4848 12,500. 21,666.67 4 C4 10,000.00 >= 5,000. 5,000.00 0 -M 10,000.00 5 C5 10,000.00 <= 10,000. 0 2,206.061 5,000.002 11,600.00 6 C6 44,545.45 <= 45,000. 454.5451 0 44,545.45 M 7 C7 100,000.00 = 100,000. 0 1,440.00 87,878.79 101,136.4
10 A megoldás táblázatában a redukált költség nulla értékű célváltozóknál szerepel, és azt mutatja, hogy hogyan változik a célfüggvény értéke, ha az illető célváltozóra pozitív értéket követelünk meg. Például, x 3 = 0-nál a redukált költség 823, 03, ami azt jelenti, hogy ha x 3 0 helyett x 3 a 3 (> 0)-t követeljük meg, akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 823, 03a 3 -mal változik. Egy feltételnél szereplő árnyékár azt mutatja meg, hogy a feltétel jobboldalán álló konstans változása hogyan hat a célfüggvény értékére. Például, a C 3 feltételnél az árnyékár 648, 48, ami azt jelenti, hogy ha C 3 jobboldalát b 3 -mal megnöveljük, (esetünkben 20000 + b 3 - ra) akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 648, 48b 3 -mal nő. Az utolsó két oszlop 1-5 sorai azt mutatják, hogy a célfüggvényben az illető célváltozó együtthatója milyen határok között változhat ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. Az utolsó két oszlop utolsó 7 sora azt mutatja, hogy a korlátozó feltétel jobboldala milyen határok között változhat, ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. A megoldás értelmezése: x 1 = 12121 első technológiával felvágandó x 2 = 27273 második technológiával felvágandó x 3 = 0 harmadik technológiával felvágandó x 4 = 0 negyedik technológiával felvágandó x 5 = 60606 ötödik technológiával felvágandó Árbevétel 179 030 412 Ft Gyártott termékek: I.oszt. 0, 1 12121 + 0, 1 0 + 0, 05 60606 = 4242 = 1000+többlet, II.oszt. 0, 3 12121 + 0, 3 0 + 0, 25 60606 = 18787, 8 = 5000+ többlet, III.oszt. 0, 2 12121 = 2424, 2,
Donga 0, 4 27273 + 0, 15 60606 = 20000, Parkettaléc 0, 1 27273 + 0, 5 0 + 0, 15 0 + 0, 12 60606 = 10000 = 5000+ többlet, Bányaszéldeszka 0, 04 0 = 0, Hulladék 0, 4 12121+0, 5 27273+0, 05 0+0, 41 0+0, 43 60606 = 44545, 48 = 45000-hiány. Túlteljesítések: I.oszt. 3242 II. oszt. 13788 Dongából a megengedett 20000-t termeljük Parkettalécből 5000-rel túlteljesítjük a tervet, és a teljes kapacitást kihasználjuk. A hulladék 45% alatt van. 1m 3 rönköt 1790,30 Ft áron értéksítjük. 11 A modell módosításai: 1. Ha a II. oszt. árúból 13788m 3 eladhatatlan, csak 11000 adható el, akkor módosítani kell a problémát, egy új feltétel közbeiktatásával: 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x 5 11000 Az új probléma lehet megoldhatatlan, kaphatunk új optimumot. 2. Ha pl. bányaszéldeszkából 1000m 3 -re van igény, akkor az új feltétel 0, 04x 4 1000 3. Ha a hulladékra nem teszünk kikötést akkor eggyel kevesebb feltételünk lesz, az optimális megoldás magasabb célértéket eredményezhet. 4. Az is előfordulhat, hogy az egyes fűrészüzemek technikai színvonala különböző, ekkor szét kell osztanunk a gyártandó
12 termékeket az üzemek között, feltéve, hogy az összkapacitásuk meghaladja a feldolgozandó nyersanyagot. (4) (Szállítási probléma) Árut kell elszállítani három telephelyről (Kecskemét, Pécs, Szombathely) öt területi raktárba, melyek Budapesten, Kaposváron, Pápán, Sopronban és Veszprémben vannak. Az áruk bármely telephelyről bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk. 310 4 6 8 10 5 Pécs 260 6 4 5 6 3 Szomb. 280 9 5 4 3 5 Igény 220 200 80 180 160 Ha a szállított mennyiségek Kecskemétről az egyes raktárakba, a felsorolt sorrendben x 1,..., x 5 Pécsről x 6,..., x 10 Szombathelyről x 11,..., x 15, akkor
13 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 310 Kecskemét készlete x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 260 Pécs készlete x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 280 Szombathely készlete x 1 + x 6 + x 11 = 220 Budapest igénye x 2 + x 7 + x 12 = 200 Kaposvár igénye x 3 + x 8 + x 13 = 80 Pápa igénye x 4 + x 9 + x 14 = 180 Sopron igénye x 5 + x 10 + x 15 = 160 Veszprém igénye z = (4x 1 + 6x 2 + 8x 3 + 10x 4 + 5x 5 )+ (6x 6 + 4x 7 + 5x 8 + 6x 9 + 3x 10 ) +(9x 11 + 5x 12 + 4x 13 + 3x 14 + 5x 15 ) min ahol a minimalizálandó háromszor öttagú összeg a három telephelyről való szállítás összköltsége. A készletek összege 850q, az összigény 840q. Megjegyzések: 1. A feladat természetéhez jobban igazodna, ha pl a Kecskemétről az egyes raktárakba szállított mennyiségeket x 11, x 12, x 13, x 14, x 15 -tel jelölnénk, hasonló volna a x ik jelentése. Ekkor viszont a WinQSB-be LP problémaként való bevitel volna körülményes. 2. A WinQSB szoftver Network Modeling moduljában a szállítási probléma (Transportation Problem) adatai azonnal beírhatók, és a probléma megoldható anélkül, hogy átfogalmaznánk lin. prog. problémára. (5) Oldja meg az alábbi szállítási problémát! Árut kell elszállítani három telephelyről (T 1, T 2, T 3 ) négy területi raktárba (R 1, R 2, R 3, R 4 ). Az áruk bármely telephelyről bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se
14 az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet R 1 R 2 R 3 R 4 T 1 400 4 6 8 10 T 2 500 7 5 3 3 T 3 300 11 5 6 4 Igény 300 420 180 200 (6) (Optimális munkarend) Dolgozók munkarendjének kialakítása egy vidámparkban. Minden dolgozó öt egymás utáni napon dolgozik, majd két pihenőnap következik. A dolgozók napi bére azonos (a hétvégi napokra is!). Ismert, hogy a hét egyes napjain hány dolgozónak kell jelen lennie. Cél: meghatározni egy olyan munkarendet, amely esetén a hetente kifizetendő összes bér a lehető legkisebb. A jelenlegi állapotot és a napi létszámigényt az alábbi táblázat mutatja: M.rend Szabadnapok Dolgozók H K Sze Cs P Szo V I Hétfő, kedd 4 0 0 1 1 1 1 1 II Kedd, szerda 4 1 0 0 1 1 1 1 III Szerda, csütörtök 6 1 1 0 0 1 1 1 IV Csütörtök, péntek 6 1 1 1 0 0 1 1 V Péntek, szombat 4 1 1 1 1 0 0 1 VI Szombat, vasárnap 4 1 1 1 1 1 0 0 VII Vasárnap, hétfő 4 0 1 1 1 1 1 0 Beosztva összesen: 32 24 24 22 20 22 24 24 Létszámigény: 17 13 14 15 18 24 22 A dolgozók száma 32, egy dolgozó napi bére 800 Ft, napi összbér 32 800 = 25600 Ft/munkanap, heti bér (öt munkanapra számítva) 5 25600 = 128000 Ft. A feladat az, hogy a dolgozók létszámát és munkarendjét úgy alakítsuk ki, hogy mindig legyen elég ember, de a költség a lehető legkisebb legyen.
Megoldás: Jelölje rendre x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 az I, II, III, IV,V,VI,VII munkarend szerint dolgozók számát. Ekkor létszámigénynek megfelelő feltételek, és a célfüggvény: 15 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 17 hétfő x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 13 kedd x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 14 szerda x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 15 csütörtök x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 18 péntek x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 24 szombat x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 22 vasárnap 800(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) = z min célfüggvény Ez egy egészértékű lineáris programozási feladat, melyet a WinQSB szoftverrel oldunk meg. Bevitel a WinQSB programba:(munkar.lpp) A megoldás a program segítségével:
16 Combined Report for munkarend 10:52:47 Saturday February 28 2009 Decision Solution Unit Cost Total Reduced Basis or Variable Value Profit c(j) Contribution Cost Status 1 X1 5 800 4000 800 at bound 2 X2 7 800 5600 800 at bound 3 X3 4 800 3200 0 basic 4 X4 6 800 4800 0 basic 5 X5 1 800 800 0 basic 6 X6 0 800 0 0 at bound 7 X7 2 800 1600 0 basic Objective Function (Min.) = 20000 Left Hand Right Hand Slack Shadow Constraint Side Direction Side or Surplus Price 1 C1 18 >= 17 1 0 2 C2 13 >= 13 0 800 3 C3 14 >= 14 0 0 4 C4 15 >= 15 0 0 5 C5 18 >= 18 0 0 6 C6 24 >= 24 0 0 7 C7 23 >= 22 1 0
A megoldás értelmezése: az I, II, stb. beosztás szerint dolgozók optimális száma rendre 5, 7, 4, 6, 1, 0, 2 összesen 25 dolgozóra van szükség a működtetéshez, a többieket más munkakörbe lehet helyezni. Az optimális napi bérköltség 20000 Ft. Hogyan módosul a feladat, ha a szombati munkabér 1200 Ft-ra, a vasárnapi 1600Ft-ra nő, és mi ekkor a megoldás? (7) (Vállalati szabad pénzeszközök optimális befektetése) Ha pénzügyi vagy vezető beosztásban dolgozunk, akkor egyik legfontosabb feladatunk az, hogy a készpénzt és a rövid lejáratú befektetéseket úgy kezeljük, hogy maximalizáljuk a kamatbevételeket, miközben mindig elegendő pénz áll rendelkezésre a folyó kiadásokra. Meg kell találnunk a nagyobb kamatot kínáló hosszú távú befektetések és a rugalmasabb kezelést lehetővé tevő, de kisebb kamathozamú rövid távú befektetések között a megfelelő középutat. 1. A probléma megfogalmazása. Egy vállalatnak 40 millió készpénze felöl kell döntenünk. Az elmúlt félévben ez az összeg 1, 3 és 6 hónapos futamidejű letéti jegyekbe volt befektetve, ezek vásárlási feltételeit és kamathozamait az alábbi táblázat mutatja: Hozam Futamidő A letéti jegy vásárolható: 1 havi letéti jegy: 1.0% 1 1., 2., 3., 4., 5., 6. hónapban 3 havi letéti jegy: 4.0% 3 1. és 4. hónapban 6 havi letéti jegy: 9.0% 6 1. hónapban A jelenlegi befektetések 6 hónap folyamán, és a készpénzigények: 17
18 Hónapok: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. hó eleje Kezdő kp.: 40000 20500 21600 23700 15840 10940 12540 Lejárati kifiz.: 10000 10000 11000 10000 10000 12000 Kamat: 100 100 140 100 100 230 1 havi l.jegy: 10000 10000 10000 10000 10000 10000 3 havi l.jegy: 1000 1000 6 havi l.jegy: 1000 Készpénzigény: -7500 1000 2000-8000 -5000 1500 Záró készpénz: 20500 21600 23700 15840 10940 12540 24770 A készpénzigény rovaton lévő összeget minden hónapban elköltjük, a + előjellel szereplő összeg bevételt jelent. Minden adat ezer Ftos egységekben szerepel. Jelenleg hat hónap alatt a kamatbevétel 770 eft, a kifizetések és bevételek egyenlege:-7500+1000+2000-8000- 5000+1500=-16000Ft Hogyan módosítanánk a befektetéseket (mikor mennyi 1, 3 és 6 hónapos futamidejű letéti jegyet veszünk) ahhoz, hogy a kamatnyereség a lehető legnagyobb legyen, de időközben a vállalat készpénzigényét (ill. a biztonsági tartalékot) mindig biztosítani tudjuk. 2. Matematikai modell. Összesen 9 összegről kell dönteni: az egy hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről az első hat hónapban,x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 a három hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről az első és a negyedik hónapban,x 7, x 8 továbbá az első hónapban hat hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről x 9.
19 Hónapok: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. hó eleje Kezdő kp.: t z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 1 havi l.jegy: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 3 havi l.jegy: x 7 x 8 6 havi l.jegy: x 9 Lejár.+kamat: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 Kp.igény: k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 Záró kp.: z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 A modell matematikai leírása: t = 40000, kezdőösszeg x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 nemnegativitás z 1 = t x 1 x 7 x 9 + k 1 1. hóvégi záróösszeg z 2 = z 1 x 2 + 1, 01x 1 + k 2 2. hóvégi záróösszeg z 3 = z 2 x 3 + 1, 01x 2 + k 3 3. hóvégi záróösszeg z 4 = z 3 x 4 x 8 + 1, 01x 3 + 1, 04x 7 + k 4 4. hóvégi záróösszeg z 5 = z 4 x 5 + 1, 01x 4 + k 5 5. hóvégi záróösszeg z 6 = z 5 x 6 + 1, 01x 5 + k 6 6. hóvégi záróösszeg z 7 = z 6 + 1, 01x 6 + 1, 04x 8 + 1, 09x 9 7. hó elején készpénz z i 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) havi záróösszeg nemnegatív z = 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04 (x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 max Az első; első és második; első, második és harmadik; stb. egyenletek összeadásával kapott új egyenletek:
20 t = 40000 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 z 1 = t x 1 x 7 x 9 + k 1 z 2 = t + 0, 01x 1 x 2 x 7 x 9 + k 1 + k 2 z 3 = t + 0, 01(x 1 + x 2 ) x 3 x 7 x 9 + k 1 + k 2 + k 3 z 4 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 ) + 0, 04x 7 x 4 x 9 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 z 5 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 0, 04x 7 x 9 x 8 x 5 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 z 6 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + 0, 04x 7 x 6 x 9 x 8 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k 6 z 7 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k 6 z i 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) z = 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 max 3. A lineáris programozási probléma: a t = 40000, k 1 = 7500, k 2 = 1000, k 3 = 2000, k 4 = 8000, k 5 = 5000, k 6 = 1500 értékeket beírva, az egyenlőtlenségeket átrendezve adódik: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 x 1 + x 7 + x 9 32500 0, 01x 1 + x 2 + x 7 + x 9 33500 0, 01(x 1 + x 2 ) + x 3 + x 7 + x 9 35500 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 04x 7 + x 4 + x 8 + x 9 27500 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0, 04x 7 + x 5 + x 8 + x 9 22500 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 04x 7 + x 6 + x 8 + x 9 24000 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 = z max
A következő alakba átírt feltételrendszer jobban mutatja e feltételek származását 21 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 x 1 + x 7 + x 9 32500 x 2 + x 7 + x 9 33500 + 0, 01x 1 x 3 + x 7 + x 9 35500 + 0, 01(x 1 + x 2 ) x 4 + x 8 + x 9 27500 + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 ) + 0, 04x 7 x 5 + x 8 + x 9 22500 + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 0, 04x 7 x 6 + x 8 + x 9 24000 + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + 0, 04x 7 0, 01(x 1 + x 2 +x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 = z max 4. Megoldás a Win QSB szoftverrel (BEFEKTETES.LPP) Bevitel a WinQSB programba:(befektetes.lpp)
22
A megoldás a program segítségével: 23 Combined Report for befektet 18:48:06 Sunday March 01 2009 Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Reduced Basis Allowable Allowable Contributi on Cost Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 0 0.0100 0-0.0102 at bound -M 0.0202 2 X2 1,000.000 0.0100 10.0000 0 basic -0.0006 0.0201 3 X3 3,010.000 0.0100 30.1000 0 basic -0.0005 0.0200 4 X4 4,950.495 0.0100 49.5050 0 basic -0.0005 0.0278 5 X5 0 0.0100 0-0.0176 at bound -M 0.0276 6 X6 1,500.000 0.0100 15.0000 0 basic 0 0.0274 7 X7 9,529.226 0.0400 381.1690 0 basic 0.0297 0.0484 8 X8 0 0.0400 0-0.0081 at bound -M 0.0481 9 X9 22,970.77 0.0900 2,067.370 0 basic 0.0816 M Objectiv e Constrai nt Function (Max.) = 2,553.144 Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Side Direction Side or Price Min. RHS Max. RHS Surplus 1 C1 32,500.00 <= 32,500.00 0 0.0209 22,784.88 33,500.00 2 C2 33,500.00 <= 33,500.00 0 0.0106 32,500.00 1,014,727. 3 C3 35,500.00 <= 35,500.00 0 0.0105 32,490.00 1,026,540. 4 C4 27,500.00 <= 27,500.00 0 0.0104 22,500.00 1,028,450. 5 C5 22,500.00 <= 22,500.00 0 0.0277-1,628.500 24,000.00 6 C6 24,000.00 <= 24,000.00 0 0.0100 22,500.00 M A kamatjövedelem 2553 eft-ra nőtt, a 7. hónap elején 40000+2553-16000=26553 eft a vállalat készpénze. Ez annak köszönhető, hogy
24 az első hónapban 22970 eft-ért hathavi befektetési jegyet, 9579 eftért háromhavi befektetési jegyet vásárolunk, és minden hónapban a lehetséges teljes összeget befektettük. Hogyan módosul a feladat, és a megoldás, ha a 7. hónap elején (a kamatjövedelmek realizálása után) a vállalatnak 30000 eft készpénzre van szüksége? (8) Oldja meg a következő döntési problémát az (a) maximin, (b) maximax módszerrel, és ha több megoldás adódik akkor azt a szempontok X 3, X 4, X 1, X 2, X 5, X 6 fontossági sorrendjével tegye egyértelművé. Az alternatívák (ajánlatok A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 ) és szempontok X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 táblázata a következő: X 3 -nál a legkisebb érték az ideális, az X 1, X 2, X 4 sorokban a maximális érték az ideális. Az ajánlatok táblázata: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 X 1 800 1450 900 1000 850 X 2 250 210 230 170 240 X 3 22000 19000 20000 23000 25000 X 4 7, 5 9, 5 5, 5 5, 0 5, 0 X 5 á a nj j á X 6 j á j á nj ahol na=nagyon alacsony =1 pont, a=alacsony =3 pont, á=átlagos =5 pont, j=jó =7 pont, nj=nagyon jó =9 pont veendő az utolsó két szempontban lévő adatok számszerűsítéséhez.