KIEGÉSZÍTŽ FELADATOK. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk Pécs Szomb Igény

Átírás

1 KIEGÉSZÍTŽ FELADATOK (Szállítási probléma) Árut kell elszállítani három telephelyr l (Kecskemét, Pécs, Szombathely) öt területi raktárba, melyek Budapesten, Kaposváron, Pápán, Sopronban és Veszprémben vannak. Az áruk bármely telephelyr l bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekr l az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se az ott lév készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk Pécs Szomb Igény Ha a szállított mennyiségek Kecskemétr l az egyes raktárakba, a felsorolt sorrendben x 11,..., x 15 Pécsr l x 21,..., x 25 Szombathelyr l x 31,..., x 35, akkor x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x Kecskemét készlete x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x Pécs készlete x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x Szombathely készlete x 11 + x 21 + x 31 = 220 Budapest igénye x 12 + x 22 + x 32 = 200 Kaposvár igénye x 13 + x 23 + x 33 = 80 Pápa igénye x 14 + x 24 + x 34 = 180 Sopron igénye x 15 + x 25 + x 35 = 160 Veszprém igénye z = (4x x x x x 15 )+ (6x x x x x 25 ) +(9x x x x x 35 ) min ahol a minimalizálandó háromszor öttagú összeg a három telephelyr l való szállítás összköltsége. A készletek összege 850q, az összigény 840q. Megjegyzések: 1. A feladat természetéhez jobban igazodna, ha pl a Kecskemétr l az egyes raktárakba szállított mennyiségeket x 11, x 12, x 13, x 14, x 15 -tel jelölnénk, hasonló 1

2 2 volna a x ik jelentése. Ekkor viszont a WinQSB-be LP problémaként való bevitel volna körülményes. 2. A WinQSB szoftver Network Modeling moduljában a szállítási probléma (Transportation Problem) adatai azonnal beírhatók, és a probléma megoldható anélkül, hogy átfogalmaznánk lin. prog. problémára. Oldja meg az alábbi szállítási problémát! Árut kell elszállítani három telephelyr l (T 1, T 2, T 3 ) négy területi raktárba (R 1, R 2, R 3, R 4 ). Az áruk bármely telephelyr l bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekr l az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se az ott lév készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet R 1 R 2 R 3 R 4 T T T Igény Munkafolyamatok beosztása, assignment problem. Egy üzemben 4 munkás dolgozik A 1 (Tibor), A 2 (Péter), A 3 (János), A 4 (Rudolf) és 4 különböz munkafolyamatot kell elvégezni (jobs): J 1, J 2, J 3, J 4. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes munkások mennyi id alatt képesek elvégezni a munkafolyamatokat. From/to J 1 J 2 J 3 J 4 A 1 (Tibor) A 2 (Péter) A 3 (János) A 4 (Rudolf) Melyik munkás melyik munkát kapja a J 1, J 2, J 3, J 4 közül, ha mindegyik munkát el kell végezni, minden munkás csak egyféle munkafolyamaton dolgozik, és az összid minimális legyen. Legyen x ij = 1 ha A i végzi a J j munkát, különben legyen x ij = 0. A célfüggvény (id =költség) z = 3x x x x x x x x x x x x x x x x 44 = minimum (1)

3 feltéve, hogy: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 A 1 a 4 munka közül egyet végez el A 2 a 4 munka közül egyet végez el A 3 a 4 munka közül egyet végez el A 4 a 4 munka közül egyet végez el a J 1 munkát a 4 dolgozó közül egy végzi el a J 2 munkát a 4 dolgozó közül egy végzi el a J 3 munkát a 4 dolgozó közül egy végzi el a J 4 munkát a 4 dolgozó közül egy végzi el A WinQSB menüben válasszuk a Network Modeling opciót, és az (ASSIGN.NET) csomagot. SHORTEST PATH PROBLEM, a legrövidebb út problémája A CMP nev gyár kamionjai az üzem és a kihelyezett gyártóegységek között szállítanak árut, melyek helye Nashville, Atlanta, Dallas, Miami and New York ld. az ábrát. 3 (2)

4 4 A tulajdonos tudni akarja a legrövidebb utat az gyártól Miamiba. Válasszuk a Network Modeling opciót a WinQSB menüben, majd a Shortest Path Problem csomagot. Cél: Minimalizáció. A csomópontok számozása Dallas (1), Nashville (2), CMP (3), NYC (4), Atlanta (5), Miami (6). (SHORTEST.NET) MAXIMAL FLOW PROBLEM Egy várost kell kiüriteni a legrövidebb id alatt. Az úthálózatot a következ ábra mutatja. Az utak kapacitása (átbocsájtó képessége) áthaladó járm / perc egységekben van megadva. WinQSB-ben válassza Network Modeling modult, majd a Maximal Flow Problem-et. A cél (default) Maximization. (EVACUATE.NET) Graphic solution. A NETWORK FLOW (TRANSSHIPMENT) PROBLEM Két raktárunk van (two supply points) S 1, S 2, három átrakodási pont (three transshipment points) T 1, T 2, T 3 és két célállomás (two demand points) D 1, D 2. A raktárak kapacitását, a célállomások igényeit és a megfelel szállítási költségeket az ábra mutatja. Cél a minimális költség, úgy, hogy a teljes szükségletet kielégítsük. Ez lehetséges, mert a készlet és az igény megegyezik (1200 egység).

5 5 Legyenek x 11, x 12 az S1-b l T1, T2-be szállított mennyiségek, és x 22, x 23 az S2-b l T2, T3-be szállított mennyiségek. Továbbá by y 11 a T1-b l D1-be szállított mennyiség, y 21, y 22 a T2-b l D1, D2-be szállított mennyiségek, y 32 pedig a T3-ból, D2-be szállított mennyiség. A költség z = 4x x x x y y y y 32 (3) minimalizálandó, feltéve, hogy x 11 + x készlet korlátozás S1-nél x 22 + x készlet korlátozás S2-nél y 11 + y 21 = 800 az igényt D1-nél ki kell elégíteni y 22 + y 32 = 400 az igényt D2-nél ki kell elégíteni és az összes változó x ij, y ki nemnegatív kell, hogy legyen. Ha a készlet nem fedezi az igényt, akkor a D1, D2 igényére vonatkozó egyenletekben egyenl ség helyett kisebb vagy egyenl jel írandó. WinQSB-ben válassza a Network Modeling-et, majd a Problem Type-nál a Network Flow, TRSSHIPM.NET-et. Cél Minimalizálás. Matrix Form az adatbevitelre. Név: Transshipment Problem. Hét csomópontunk van, adatbevitel, megoldás. (4)

6 6 TRAVELING SALESMAN PROBLEM CMP has sales representatives visiting between headquarters, the manufacturing facilities, and their customers. A sales representative starts the sales call from headquarters and must visit all the locations without revisiting them and then return to headquarters. This is the classical traveling salesman problem. The next gure displays the location of all the facilities and their distances. In WinQSB select Network Modeling, then click on TRVSALES.NET Problem. The Objective Criterion is to minimize the total distance a sales representative has to travel in visiting all of the places. We will use Spreadsheet Matrix form for data input. Enter the name of the problem in the Problem Title space. There are all together six places, hence enter Number of Nodes equal to six. Click OK. In input form edit the node variables from the Edit menu in the Toolbar and enter the names of nodes. Enter the distance data in appropriate cells. Click on Solve and Analyze. From popup menu, select appropriate solution method (here we have selected Branch and Bound Method) and click Solve. The computer will display the solution on the screen. The

7 sales person should travel from CMP headquarters to New York and from New York to Atlanta, from Atlanta to to Miami, from Miami to Dallas, from Dallas to Nashville, from Nashville to CMP, with a total of 5330 miles traveled. There is also a graphical solution option output. A MINIMAL SPANNING TREE PROBLEM (minimális feszít fa) CMP egy t zvédelmi rendszert akar kiépítani (t z esetén viz permetez alkalmas helyeken elhelyezett szórófejekb l= sprinkler system). A hivatal elrendezését az alábbi ábra mutatja. 7 Minimalizálni akarjuk a beépitend csövezeték hosszát. A WinQSB-ben válasszuk a Network Modeling men t, majd a problématípusnál a Minimal Spanning Tree-t. A cél minimalizáció (default). 9 csomópont van: Entrance, Lobby, Oce, Control Room, Computer Room, Shop 1, Shop 2, Restroom, and Storage. Írja be a megfelel távolságokat a megfelel cellákba, majd Solve and Analyze. A következö ábra mutatja

8 8 a megoldást. A minimális cs hossz 507 feet. A graphical solution opció mutatja a csomopontok összekötéseit és a távolságokat.(sprinkler.net) (symmetric arcs) TERMELÉSI FELADAT BU egy kis bútorüzem mely székeket és asztalokat gyárt, speciális anyagokból, melyek mennyisége korlátozott. Minden héten 100 tábla cseresznyefát tudnak szállítani az üzembe. Egy székhez 4 tábla fa, egy asztalhoz 8 táblányi fa szükséges. Székekre korlátlan a kereslet, de asztalokból legfeljebb 10 darabot tudnak értékesíteni. Az üzemben hetente 120 munkaórát tudnak a termelésre fordítani. Egy széket 6 óra alatt, egy asztalt 4 óra alatt készítenek el. Székenként 2000 Ft a haszon, asztalonként 3000 Ft a haszon. Melyik termékb l hány darabot gyártsunk, ha maximális haszon a célunk? Megoldás: tegyük fel hogy a gyártott székek ill. asztalok száma x 1 ill. x 2, akkor a faanyag korlát: 4x 1 + 8x 2 100, (5) eladási korlát: x 2 10, (6) munkaer korlát: 6x 1 + 4x (7) Nyilvánvalóan x 1 0, x 2 0. A heti haszon Summarizing: 2000x x 2 forint. (8) z = 2000x x 2 maximum, feltéve, hogy 4x 1 + 8x x 2 10 x 1 0, x x 1 + 4x Megoldás grakusan vagy Win QSB-vel: x 1 = 17.5, x 2 = 3.75, z max = Mivel a célváltozók csak egészek lehetnek, így az ILP ezekre egész (integer) opciót kell beállítani, ekkor megváltozik az optimum: x 1 = 17, x 2 = 4, z max = (9)