0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat. orvosi,

Átírás

1 0. BEVEZETÉS Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat Döntéselmélet néhány területe: orvosi, ogi, bírói, közgazdasági, műszaki, egyéb. Módszerek és a kapcsolódó fontosabb szoftverek AHP analytic hierarchy process (Saaty, 1980, EC expert choice) PROMETHEE preference ranking organization method for enrichment evaluation (Brans, 1982, Decision Lab) GAIA geometric analysis for interactive assistance (Marechal, Brans, 1988,Decision Lab) WINGDSS, Sztaki WinQSB (Quantitative System for Business) decision analysis (Yih-Long Chang, Georgia Institute of Technology) 1

2 2 1. ALAPFOGALMAK (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapai, 11-13) 1.1 Néhány ellemző döntési probléma Cselekvéseinket döntések irányíták. Nagyon gyakran kerülünk döntési (kényszer)- helyzetbe. Néha azonnal kell dönteni, máskor lehetőségünk van (sőt kényszerítve vagyunk) átgondolt, indokolt döntéseket hozni. 1. Termelési feladat: többféle termék előállításának mennyiségéről döntünk. Cél a maximális profit, vagy maximális profit minimális környezeti károsítással, vagy maximális profit minimális munkaerő felhasználásával. 2. Befektetési feladat: maximális hozamot biztosító portfolio kiválasztása. Korlátok: pénzügyi, szempontok: óvatosság vagy kockázat, befektetés időtartama. 3. Iskola választási probléma: ú lakóhelyre költözünk és keressük a legobb iskolát. Szempontok: lakástól való távolság, iskola színvonala, tandí, zsúfoltság, iskola felszereltsége: sport, számítógépes hálózat. 4. Szemétégető telepítése. Szempontok: technológia, helyi munkaerő, költségek, környezeti feltételek, lakossági hozzáállás. 5. Közbeszerzési pályázat kiértékelése. Pl. banki számítógépes tender értékelése. Szempontok: ár, hardver minősége, szolgáltatási feltételek, garanciális feltételek, betanítás. Minden esetben a cél egyetlen cselekvés (a legobb termelési terv, legobb befektetés, iskola stb.) kiválasztása.

3 1.2 Matematikai programozás, feltételes szélsőértékszámítás 3 Döntési változók: x = (x 1,..., x n ) R n egy n-dimenziós vektorba foglalva, Feltételek leírása: adott g i : R n R i = 1,..., k + l függvények segítségével g i (x) = 0 g (x) 0 (i = 1,..., k); k < n egyenlőség típusú feltételek ( = k + 1,..., k + l); egyenlőtlenség típusú feltételek Döntési halmaz: alternatívák halmaza X = { x R n : g i (x) = 0, i = 1,..., k, g (x) 0 = k + 1,..., k + l. } Egyetlen célfüggvény: f(x) = max ha, x X Mivel f(x) = min f(x) = max, ha, x X, ezért elegendő csak max keresésével foglalkozni. Megoldás: lineáris vagy egész programozás, feltételes szélsőértékszámítás. Példa lineáris programozásra (két változó, grafikus megoldás):(eload1.lpp) x 1, x 2 0, x 1 + 2x 2 6 x 2 x 1 3 x 1 + x x 1 3x 2 = z max vagy min

4 4 Megoldás: Az egyenlőtlenségrendszernek elegettevő pontok halmaza egy sokszög mely az ábrán színezve van. A 2x 1 3x 2 = z egyeneseket valamely z = konstans esetén ábrázolva párhuzamos egyeneseket kapunk (ábránkon a z = 20, 6, 12, 5 egyeneseket razoltuk be. z maximális értékét akkor kapuk, ha az egyenes átmegy a (10, 0) csúcsponton, minimális értékét pedig akkor kapuk, ha az egyenes átmegy a (3, 5, 6, 5) csúcsponton, z max = 20, z min = 12, 5.

5 Több változó (szimplex módszer, megoldás komputerrel, szoftver pl WinQSB) (öt változó, megoldás WinQSB-vel ):(ELOAD1B.LPP) 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0, x 1 + 2x 3 2x 4 + 3x 5 60 x 1 + 3x 2 + x 3 + x 5 12 x 2 + x 3 + x x 1 + 2x x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 3x 4 2x 5 = z max vagy min Bevitel a WinQSB-be mátrixos formátumban: A megoldás táblázata:

6 6 Combined Report for eload1b 13:07:30 Sunday February Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c() Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min. c() Allowable Max. c() 1 X1 10,00 3,00 30,00 0 basic 2,00 M 2 X2 0,67 4,00 2,67 0 basic 3,00 12,00 3 X3 0 5,00 0-1,00 at bound -M 6,00 4 X4 9,33 3,00 28,00 0 basic 2,00 4,00 5 X5 0-2,00 0-2,33 at bound -M 0,33 Obective Function (Max.) = 60,67 Constraint Left Hand Side Direction Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price Allowable Min. RHS Allowable Max. RHS 1 C1-8,67 <= 60,00 68,67 0-8,67 M 2 C2 12,00 <= 12,00 0 0,33 10,00 40,00 3 C3 10,00 <= 10,00 0 3,00 0,67 M 4 C4 20,00 <= 20,00 0 1, ,00

7 A megoldás táblázatában a redukált költség nulla értékű célváltozóknál szerepel, és azt mutata, hogy hogyan változik a célfüggvény értéke, ha az illető célváltozóra pozitív értéket követelünk meg. Például, x 3 = 0-nál a redukált költség 1, ami azt elenti, hogy ha x 3 0 helyett x 3 a 3 (> 0)-t követelük meg, akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) a 3 -mal változik. Egy feltételnél szereplő árnyékár azt mutata meg, hogy a feltétel obboldalán álló konstans változása hogyan hat a célfüggvény értékére. Például, a C 3 feltételnél az árnyékár 3, ami azt elenti, hogy ha C 3 obboldalát b 3 -mal megnövelük, (esetünkben 10 + b 3 -ra) akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 3b 3 -mal nő. Az utolsó két oszlop felső 1-5 sorai azt mutaták, hogy a célfüggvényben az illető célváltozó együtthatóa milyen határok között változhat ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. Az utolsó két oszlop utolsó 4 sora azt mutata, hogy a korlátozó feltételek obboldalai milyen határok között változhatnak, ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. 7

8 8 További megegyzések: Előfordulhat az, hogy a lineáris programozási feladatnak több megoldása van. Példaként tekintsük a (ELOAD2.LPP) x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 x 2 + x 3 8 x 2 + x 3 x 4 11 x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 10 z = 6x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 7x 4 max feladatot. Ennek két bázismegoldása van (0, 0, 8, 18) és (0, 7, 15, 11) és nyilván ezek konvex kombinációa, azaz λ(0, 0, 8, 18) + (1 λ)(0, 7, 15, 11) bármely λ [0, 1] mellett is megoldás. Megtörténhet az is, hogy nincs megoldás, erre példa a (ELOAD3.LPP) x 1, x 2 0 x 1 + x x x x feladat. z = 14x 1 + 6x 2 max Így előfordulhat, hogy a döntési probléma megoldáshoz pótlólagos információra van szükségünk, vagy pedig a feltételeinken kell enyhítenünk. Ez vezetett el a célprogramozáshoz, ahol a célokat ket részre osztuk, egy részük szigorúan betartandó, a másik részü csak egy bizonyos szinten tartandó be. Egy másik lehetőség a többcélú programozás. Ha több célfüggvényünk van, melyeket egy vektorba foglalunk akkor a f(x) = (f 1 (x), )f 2 (x),..., f k (x)) max x X f(x) maximumprobléma megoldása egy un. Pareto-optimális megoldás ez olyan x vektort (vagy vektorokat) elent melyekhez nem tudunk megadni (nem létezik)

9 olyan ˆx X, hogy f(ˆx) f(x ) és f(ˆx) f(x ) telesül (vektorok egyenlőtlensége koordinánként értendő). Mivel a Pareto optimális megoldások halmaza gyakran végtelen, így annak megkeresése nem ada meg a döntési probléma megoldását. Ezért egy un. kompromisszumos megoldást keresünk súlyozásos módszerrel, lexikográfikus módszerrel, korlátok módszerével, kompromisszumprogramozás elvével. Súlyozásnál az egyes célfüggvényeket fontossági súlyokkal látuk el, és pl. súlyozott átlagként vagy összegként egyetlen célfüggvényt alkotunk. Lexikográfikus módszernél először a legfontosabb cél szerint értékelünk, ha egy megoldás van akkor készen is vagyunk, ha több akkor ezeket a fontosságban következő szempont szerint értékelük, és így tovább. A korlátok módszerénél egy kivételével az összes többi célt valamely kívánatos korlát segítségével beépítük a feltételi rendszerbe. A kompromisszumprogramozásban olyan döntést választunk, mely az ideális (minden cél szerint a legobb, és általában nem létező) változathoz legközelebb esik. 1.3 Alapfogalmak (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapai, 18-20) Alternatívák: a különböző döntési lehetőségek, ezek halmaza a döntési tér. Leírásuk: explicit (pl. felsorolás), vagy implicit. Jellemzőik: számosság, számszerűsíthetőség, kölcsönkapcsolatok (függetlenség), bizonytalanság (véletlentől való függés). Célok (kritériumok,értékelési tényezők): azok az irányok, amerre a rendszert vinni szeretnénk. Ezek sok esetben nem feltétlenül elérhető, vagy számszerűsíthető kívánságokat elentenek. Hierarchikusan elrendezve őket, a legmagasabb szinten levők általában kevésbé operácionálisak, az alacsonyabban lévő kritériumok már kezelhetők, míg a legalacsonyabb szinten lévők, mint számszerű értékelési tényezők elennek meg. 9

10 10 Az értékelési tényezőknek rendelkezniük kell az alábbi tuladonságokkal: telesség (egyetlen fontos tényező se maradon ki), operácionalizálhatóság (elemzésre alkalmas legyen), felbonthatóság (az alternatívákat az adott tényező szerint külön is vizsgálhassuk), redundancia kiszűrése (felesleges, ismétlődő szempont elhagyása), minimalitás (ne legyen ugyanolyan ó, de kisebb elemszámú tényezőhalmaz), Döntéshozók: azok a személyek, akik felelősek az információk megadásáért, az alternatívák meghatározásáért, kiértékeléséért, a megoldás realizálásáért. Döntéshozó magatartása: racionális (optimalizálásra törekszik), vagy irracionális. A döntéshozó a problémák egy részét obektíven láta (együtthatók, mérések eredményei, számított értékek), másik részét preferenciák adák. Magatartástudomány: a döntéshozókra a korlátozott racionalitás elve érvényesül. Döntési folyamat: döntési szituáció keletkezése (konfliktus feloldása), döntési probléma megfogalmazása, döntési probléma formalizálása (pl. matematikailag), döntési probléma módszerének megválasztása, megoldás: egyetlen cselekvés kiválasztása, adaptálás, értékelés, elemzés: helyes volt-e a döntés, vagy úra kell kezdeni.

11 2. Néhány elemi döntési módszer 11 (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapai, 23-30) Szakértők szempontai: 2.1 Harci repülőgép vásárlása S 1 = max. sebesség km /ó, S 2 = rakfelület m 2, S 3 = max. terhelhetőség kg, S 4 = beszerzési költség millió dollár, S 5 = megbízhatóság, S 6 = manőverezési képesség. S 5, S 6 -ot egy ötfokozatú skálán értékelük: na=nagyon alacsony, a=alacsony, á=átlagos, =ó, n=nagyon ó. Az aánlatok táblázata: A 1 A 2 A 3 A 4 S S S S 4 5, 5 6, 5 4, 5 5, 0 S 5 á a S 6 n á á 2.2 Kvalitatív szempontok számszerűsítése

12 12 na=nagyon alacsony =1 pont a=alacsony =3 pont á=átlagos =5 pont =ó =7 pont n=nagyon ó =9 pont 2.3 Mértékegységtől független adatok előállítása Ideális érték meghatározása: szakértők adák meg, vagy táblázatból vesszük Táblázat eredeti adatai: x i az i-edik sor, -edik oszlop adata (egy 6 4 típusú mátrix elemei) Ideális érték a i-edik sorban: max x i, (ahol a maximumot minden indexre vesszük) ha a legnagyobb érték az ideális, és ha a legkisebb érték az ideális. A transzformált érték ha a legnagyobb érték az ideális, és r i = r i = min x i, x i max x i, min x i, x i ha a legkisebb érték az ideális.. Igy, ha i = 1 akkor max x 1 = 1250, r 1 = x 1 ( = 1, 2, 3, 4) 1250 i = 2 akkor max x 2 = 270, r 2 = x 2 ( = 1, 2, 3, 4) 270 i = 3 akkor max x 3 = 21000, r 3 = x 3 ( = 1, 2, 3, 4) i = 4 akkor min x 4 = 4, 5,!!! r 4 = 4, 5 ( = 1, 2, 3, 4) x 4 i = 5 akkor max i = 6 akkor max x 5 = 7, x 6 = 9, r 5 = x 5 7 r 6 = x 6 9 ( = 1, 2, 3, 4) ( = 1, 2, 3, 4)

13 13 Az ú táblázat: A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0, , 72 0, 88 S 2 0, , 74 0, 67 S 3 0, 95 0, , 95 S 4 0, 82 0, , 90 S 5 0, 71 0, , 71 S 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 Az oszloponkénti minimumokat vastagon írtuk ki. A mátrix minden eleme 0 és 1 között van, és minden sorban lesz 1-es (ti. a legobb aánlati érték(ek). Az aánlati oszlopokban a legobb az 1, és a legkisebb érték a legrosszabb. Egy másik lehetőség a transzformációra az, hogy a minimális és maximális értékek közé szorítuk be az adatokat, az alábbi módon: r i = max x i min x i x i min x i, ha a legnagyobb érték az ideális, és r i = max max x i x i, x i min x i ha a legkisebb érték az ideális. Ennél a transzformációnál táblázatunk az alábbi alakú

14 14 A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0, , 572 S , 417 0, 250 S 3 0, , 667 S 4 0, , 500 S 5 0, , 500 S , Minden sorban van 0 és 1, a többi érték 0 és 1 közötti. Ezt a transzformációt használa az ELECTRE módszer. 2.4 Eliminációs elárások: az alternatívák leszűkítése (a) Kielégítésre törekvő módszer: minden szemponthoz tartozik egy kielégítési szint, mely alatt (fölött) az alternatíva már nem elfogadható. Ez gyakran életszerű, pl. egyetemen 2 egy a minimális

15 Ha példánkban ez a szint (1000, 150, 20000, 6,0, á, á), akkor a vastagon szedettek elfogadhatatlanok, és csak két alternatívánk marad: A 1, A 4. A 1 A 2 A 3 A 4 15 S S S S 4 5, 5 6, 5 4, 5 5, 0 S 5 á a S 6 n á á (b) Diszunktív módszer: a kiválóságot utalmazza (pl. sport, tudomány, művészet). Ha egy szempont szerint az alternatíva egy szintnél obb (nem rosszabb) akkor már elfogadható. Ha ez a szint (1200, 250, 21000, 4,5,, n) akkor csak A 4 esik ki, mert az első szempont szerint A 2 kiváló, így marad, a második szempont szerint A 2 kiváló, így marad, a harmadik szempont szerint A 3 kiváló, így marad, a negyedik szempont szerint A 3 kiváló, így marad, az ötödik szempont szerint A 3 kiváló, így marad, a hatodik szempont szerint A 1 kiváló, így marad. (c) Dominancia. Dominált alternatíva az, mely minden szempontból alatta marad (esetleg azonos) egy másikkal. Racionális döntéshozó nem választ dominált alternatívát. 2.5 Lexikográfikus módszer Ez a módszer fontossági sorrendbe állíta az alternatívákat adott szempontok szerint. Például ha az ár a legfontosabb, akkor A 3 -t választuk, ha az megbízhatóság a legfontosabb, akkor ismét A 3 -t válaszuk,

16 16 ha az sebesség a legfontosabb, akkor A 4 -t válaszuk, stb. 2.6 Pesszimista és optimista döntéshozó A pesszimista döntéshozó úgy választ, hogy az A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0, , 72 0, 88 S 2 0, , 74 0, 67 S 3 0, 95 0, , 95 S 4 0, 82 0, , 90 S 5 0, 71 0, , 71 S 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 táblázat minden oszlopában a legrosszabb értéket kiválaszta, és ezekből a legobbat választva kapa a döntési alternatívát, (a rossz elkerülése) : maximin módszer, a max ( ) min x i = 0, 72 i értékhez tartozó döntés, ami éppen A 3. Az optimista döntéshozó úgy választ, hogy az

17 17 A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0, , 72 0, 88 S 2 0, , 74 0, 67 S 3 0, 95 0, , 95 S 4 0, 82 0, , 90 S 5 0, 71 0, , 71 S 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 táblázat minden oszlopában a legobb értéket kiválaszta, és ezekből a legobbhoz tartozó alternatíva a döntése : ez a maximax módszer, a max ( ) max x i = 1 i érték(ek)hez tartozó döntés: az A 1, A 2, A 3 alternatívák, melyek egyenértékűek.