Lineáris programozás. Ax b

Átírás

1 Feladatok és kiegészítések az elmélethez Lineáris programozás Standard modell (maximumprobléma) x 0 Ax b (1) c x = z max ahol x = (x 1,..., x n ) R n 1 a keresett n dimenziós oszlopmátrix/vektor 0 = (0,..., 0) R n 1, az n dimenziós oszlop zérusvektor, az x 0 egyenlőtlenség koordinátánként (elemenként) értendő, A = (a ij ) R k n egy k n típusú (adott) mátrix, b = (b 1,..., b k ) R k 1 adott k dimenziós oszlopmátrix/vektor c = (c 1,..., c n ) R n 1 egy n dimenziós adott sorvektor, c = (c 1,..., c n ) R 1 n. Az A 1 x b 1 feltételt ekvivalens módon A 1 x b 1 -ként írhatjuk át. Az A 2 x = b 2 egyenlőség típusú feltételt ekvivalens módon A 2 x b 2 és A 2 x b 2 illetve A 2 x b 2 és A 2 x b 2 feltételként írhatjuk át. A c x = z min minimumfeltételt c x = z max-ként írhatjuk át maximumfeltétellé. Az (1) standard modell kanonikus alakján a x 0, w 0 Ax + w = b (2) c x = z max alakot értjük, ahol w = (w 1,..., w k ) R k 1 egy k dimenziós oszlopmátrix/vektor. 1

2 2 Az (1) standard feladatot x 0 Ax b (3) c x max primál feladatnak nevezzük, az ennek megfelelő duál feladat u 0 vagy u 0 u A c u b min vagy A u c vagy b u min (4) ahol u = (u 1,..., u k ) R k 1 a keresett k dimenziós oszlopmátrix/vektor,0 = (0,..., 0) R k 1 a megfelelő zérusvektor. Dualitási eredmények: Ha x = (x 1,..., x n ) R n 1 a (3) primál feladat lehetséges megoldása és u = (u 1,..., u k ) R k 1 a (4) duál feladat lehetséges megoldása akkor b 1 u b k u k c 1 x c n x n azaz a duál feladat célfüggvénye legalább akkora mint a primál feladaté. Ha x = (x 1,..., x n) R n 1 az (3) primál feladat lehetséges megoldása és u = (u 1,..., u k ) R k 1 a (4) duál feladat lehetséges megoldása melyekre b 1 u b k u k = c 1 x c n x n akkor x optimális megoldása a primál feladatnak, u optimális megoldása a duál feladatnak.

3 Dualitási tétel. Tegyük fel, hogy az (3) primál feladatnak van (véges) optimális megoldása. Ekkor a (4) duál feladatnak szintén van (véges) optimális megoldása, és a két célfüggvény optimumértékei megegyeznek. Ha primál feladatnak nincs korlátos optimuma, akkor a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. 3

4 4 Feladatok (1) Oldja meg (grafikusan) az alábbi kétváltozós lineáris programozási feladatokat: (a) x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 5 3x 1 + 3x 2 9 x 1 + x 2 6 (b) x 1, x 2 0 x 1 + x 2 3 x 1 5 x 1 8 2x 2 z = 3x 1 max z = x 1 + 4x 2 max (c) x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 9 x 1 + x 2 = 3 x 1 + x 2 6 (d) x 1, x 2 0 x 1 + x 2 7 x 1 3 x 1 + 3x 2 9 z = 4x x 2 max z = 2x 1 + x 2 min (2) Oldja meg a WinQSB szoftverrel az alábbi lineáris programozási feladatokat: (a) x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 2x 2 x x 1 x 2 + 2x 3 60 x 2 + x 3 = 30 (b) x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 2x x 1 + 4x 2 = 55 2x 1 x 3 = 0 z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 min z = x 2 + 4x 3 min

5 5 (c) 0 x 1 10, 0 x x 3, 2 x 4 8 2x 1 x 2 + x 4 10 x 1 + x 2 2x 3 + x 4 0 (d) 0 x 1, x 2, x 3, x 4 10 x 1 x 2 x 3 + x x 1 + x 3 + 2x x 3 + x 4 15 z = 2x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 max z = 4x 2 + 5x 3 min (3) (Termelési feladat) (ld. Varga J.: Gyakorlati programozás, Tankönyvkiadó, Bp. 1985, ) 1. Döntés előkészítése m 3 tölgyrönköt kell fűrészáruvá feldolgozni 4 üzemben, melyek közel azonos technikai felszereltségűek. Mindegyikben 6 féle terméket tudnak előállítani: I, II, III-adosztályú szelvényárut, dongát, parkettalécet, bányaszéldeszkát és közben fürészpor és darabos hulladék keletkezik. 2. Technológiák számszerűsítése. E termékek előállítására öt technológia van. E technológiák kihozatali mutatói próbavágások alapján az alábbiak, 1m 3 rönkre vonatkozóan, %-ban Technológiák I II III IV V I. o. szelv.áru II. o. szelv.áru III. o. szelv.áru Donga Parkettaléc Bányaszéldeszka Darabos hulladék Fürészpor

6 6 3. Technikai korlátok. Az üzemek kapacitása messzemeghaladja a feldolgozandó mennyiséget, csupán a parkettagyártó gépsor kapacitása korlátozott évi 10000m 3 -re. 4. Keresleti korlátok. Az egyes termékekből az évi kereslet/terv I.o legalább 1000m 3, II. o. legalább 5000m 3, donga legfeljebb 20000m 3, parkettaléc legalább 5000m 3 -t kell előállítani, és a hulladék (fürészpor és darabos hulladék) nem haladhatja meg a 45%-ot. 5. A célt befolyásoló adatok, a késztermékek árai: Késztermék Ft/m3 I. o. szelv.áru 3000 II. o. szelv.áru 2400 III. o. szelv.áru 1400 Donga 3500 Parkettaléc 3100 Bányaszéldeszka 1000 Darabos hulladék 500 Fürészpor 100 Így 1m 3 rönk feldolgozásával az árbevétel: Techn. Árbevételek (Ft) Össz.(Ft) I. 0, , , , , II. 0, , , , III. 0, , , IV. 0, , , , , , V. 0, , , , , , Matematikai modell.

7 Legyen x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 az egyes technológiák szerint felvágandó rönk mennyisége m 3 -ben, akkor 7 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 nemnegativitás 0, 1x 1 + 0, 1x 4 + 0, 05x I.oszt. terv 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x II.oszt. terv 0, 4x 2 + 0, 15x donga tervkorl. 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x park.léc terv 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x park.léc kapac. 0, 4x 1 + 0, 5x 2 + 0, 5x 3 + 0, 41x 4 + 0, 43x hulladék x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = teljes készlet Az árbevétel maximalizálása a cél, azaz a célfüggvény: 1440x x x x x 5 = z max Megoldás: Bevitel a WinQSB programba:(fauzem.lpp)

8 8 A megoldás a program segítségével:

9 9 Combined Report for fauzem5 13:40:22 Sunday February Decision Solution Unit Cost or Variable Value Profit c(j) Total Reduced Basis Allowable Allowable Contribution Cost Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 12, , ,454, basic -M 1, X2 27, , ,363, basic 1, , X3 0 1, at bound -M 2, X4 0 1, at bound -M 1, X5 60, , ,212, basic 1, , Objective Function (Max.) = 179,030,300. Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Price Min. RHS Max. Surplus RHS 1 C1 4, >= 1,000. 3, M 4, C2 18, >= 5, , M 18, C3 20, <= 20, , , C4 10, >= 5,000. 5, M 10, C5 10, <= 10, , , , C6 44, <= 45, , M 7 C7 100, = 100, , , ,136.4

10 10 A megoldás táblázatában a redukált költség nulla értékű célváltozóknál szerepel, és azt mutatja, hogy hogyan változik a célfüggvény értéke, ha az illető célváltozóra pozitív értéket követelünk meg. Például, x 3 = 0-nál a redukált költség 823, 03, ami azt jelenti, hogy ha x 3 0 helyett x 3 a 3 (> 0)-t követeljük meg, akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 823, 03a 3 -mal változik. Egy feltételnél szereplő árnyékár azt mutatja meg, hogy a feltétel jobboldalán álló konstans változása hogyan hat a célfüggvény értékére. Például, a C 3 feltételnél az árnyékár 648, 48, ami azt jelenti, hogy ha C 3 jobboldalát b 3 -mal megnöveljük, (esetünkben b 3 - ra) akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 648, 48b 3 -mal nő. Az utolsó két oszlop 1-5 sorai azt mutatják, hogy a célfüggvényben az illető célváltozó együtthatója milyen határok között változhat ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. Az utolsó két oszlop utolsó 7 sora azt mutatja, hogy a korlátozó feltétel jobboldala milyen határok között változhat, ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. A megoldás értelmezése: x 1 = első technológiával felvágandó x 2 = második technológiával felvágandó x 3 = 0 harmadik technológiával felvágandó x 4 = 0 negyedik technológiával felvágandó x 5 = ötödik technológiával felvágandó Árbevétel Ft Gyártott termékek: I.oszt. 0, , , = 4242 = 1000+többlet, II.oszt. 0, , , = 18787, 8 = többlet, III.oszt. 0, = 2424, 2,

11 Donga 0, , = 20000, Parkettaléc 0, , , , = = többlet, Bányaszéldeszka 0, 04 0 = 0, Hulladék 0, , , , , = 44545, 48 = hiány. Túlteljesítések: I.oszt II. oszt Dongából a megengedett t termeljük Parkettalécből 5000-rel túlteljesítjük a tervet, és a teljes kapacitást kihasználjuk. A hulladék 45% alatt van. 1m 3 rönköt 1790,30 Ft áron értéksítjük. 11 A modell módosításai: 1. Ha a II. oszt. árúból 13788m 3 eladhatatlan, csak adható el, akkor módosítani kell a problémát, egy új feltétel közbeiktatásával: 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x Az új probléma lehet megoldhatatlan, kaphatunk új optimumot. 2. Ha pl. bányaszéldeszkából 1000m 3 -re van igény, akkor az új feltétel 0, 04x Ha a hulladékra nem teszünk kikötést akkor eggyel kevesebb feltételünk lesz, az optimális megoldás magasabb célértéket eredményezhet. 4. Az is előfordulhat, hogy az egyes fűrészüzemek technikai színvonala különböző, ekkor szét kell osztanunk a gyártandó

12 12 termékeket az üzemek között, feltéve, hogy az összkapacitásuk meghaladja a feldolgozandó nyersanyagot. (4) (Szállítási probléma) Árut kell elszállítani három telephelyről (Kecskemét, Pécs, Szombathely) öt területi raktárba, melyek Budapesten, Kaposváron, Pápán, Sopronban és Veszprémben vannak. Az áruk bármely telephelyről bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. Kecsk Pécs Szomb Igény Ha a szállított mennyiségek Kecskemétről az egyes raktárakba, a felsorolt sorrendben x 1,..., x 5 Pécsről x 6,..., x 10 Szombathelyről x 11,..., x 15, akkor

13 13 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x Kecskemét készlete x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x Pécs készlete x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x Szombathely készlete x 1 + x 6 + x 11 = 220 Budapest igénye x 2 + x 7 + x 12 = 200 Kaposvár igénye x 3 + x 8 + x 13 = 80 Pápa igénye x 4 + x 9 + x 14 = 180 Sopron igénye x 5 + x 10 + x 15 = 160 Veszprém igénye z = (4x 1 + 6x 2 + 8x x 4 + 5x 5 )+ (6x 6 + 4x 7 + 5x 8 + 6x 9 + 3x 10 ) +(9x x x x x 15 ) min ahol a minimalizálandó háromszor öttagú összeg a három telephelyről való szállítás összköltsége. A készletek összege 850q, az összigény 840q. Megjegyzések: 1. A feladat természetéhez jobban igazodna, ha pl a Kecskemétről az egyes raktárakba szállított mennyiségeket x 11, x 12, x 13, x 14, x 15 -tel jelölnénk, hasonló volna a x ik jelentése. Ekkor viszont a WinQSB-be LP problémaként való bevitel volna körülményes. 2. A WinQSB szoftver Network Modeling moduljában a szállítási probléma (Transportation Problem) adatai azonnal beírhatók, és a probléma megoldható anélkül, hogy átfogalmaznánk lin. prog. problémára. (5) Oldja meg az alábbi szállítási problémát! Árut kell elszállítani három telephelyről (T 1, T 2, T 3 ) négy területi raktárba (R 1, R 2, R 3, R 4 ). Az áruk bármely telephelyről bármelyik raktárba elszállíthatók, de természetesen a távolabbi raktárba való szállítás többe kerül. A feladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállítani az egyes telephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen, a szükségleteket kielégítsük, és ne akarjunk sehonnan se

14 14 az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket (mázsában) a szállítási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázat adja. Készlet R 1 R 2 R 3 R 4 T T T Igény (6) (Optimális munkarend) Dolgozók munkarendjének kialakítása egy vidámparkban. Minden dolgozó öt egymás utáni napon dolgozik, majd két pihenőnap következik. A dolgozók napi bére azonos (a hétvégi napokra is!). Ismert, hogy a hét egyes napjain hány dolgozónak kell jelen lennie. Cél: meghatározni egy olyan munkarendet, amely esetén a hetente kifizetendő összes bér a lehető legkisebb. A jelenlegi állapotot és a napi létszámigényt az alábbi táblázat mutatja: M.rend Szabadnapok Dolgozók H K Sze Cs P Szo V I Hétfő, kedd II Kedd, szerda III Szerda, csütörtök IV Csütörtök, péntek V Péntek, szombat VI Szombat, vasárnap VII Vasárnap, hétfő Beosztva összesen: Létszámigény: A dolgozók száma 32, egy dolgozó napi bére 800 Ft, napi összbér = Ft/munkanap, heti bér (öt munkanapra számítva) = Ft. A feladat az, hogy a dolgozók létszámát és munkarendjét úgy alakítsuk ki, hogy mindig legyen elég ember, de a költség a lehető legkisebb legyen.

15 Megoldás: Jelölje rendre x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 az I, II, III, IV,V,VI,VII munkarend szerint dolgozók számát. Ekkor létszámigénynek megfelelő feltételek, és a célfüggvény: 15 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 17 hétfő x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 13 kedd x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 14 szerda x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 15 csütörtök x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 18 péntek x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 24 szombat x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 22 vasárnap 800(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) = z min célfüggvény Ez egy egészértékű lineáris programozási feladat, melyet a WinQSB szoftverrel oldunk meg. Bevitel a WinQSB programba:(munkar.lpp) A megoldás a program segítségével:

16 16 Combined Report for munkarend 10:52:47 Saturday February Decision Solution Unit Cost Total Reduced Basis or Variable Value Profit c(j) Contribution Cost Status 1 X at bound 2 X at bound 3 X basic 4 X basic 5 X basic 6 X at bound 7 X basic Objective Function (Min.) = Left Hand Right Hand Slack Shadow Constraint Side Direction Side or Surplus Price 1 C1 18 >= C2 13 >= C3 14 >= C4 15 >= C5 18 >= C6 24 >= C7 23 >=

17 A megoldás értelmezése: az I, II, stb. beosztás szerint dolgozók optimális száma rendre 5, 7, 4, 6, 1, 0, 2 összesen 25 dolgozóra van szükség a működtetéshez, a többieket más munkakörbe lehet helyezni. Az optimális napi bérköltség Ft. Hogyan módosul a feladat, ha a szombati munkabér 1200 Ft-ra, a vasárnapi 1600Ft-ra nő, és mi ekkor a megoldás? (7) (Vállalati szabad pénzeszközök optimális befektetése) Ha pénzügyi vagy vezető beosztásban dolgozunk, akkor egyik legfontosabb feladatunk az, hogy a készpénzt és a rövid lejáratú befektetéseket úgy kezeljük, hogy maximalizáljuk a kamatbevételeket, miközben mindig elegendő pénz áll rendelkezésre a folyó kiadásokra. Meg kell találnunk a nagyobb kamatot kínáló hosszú távú befektetések és a rugalmasabb kezelést lehetővé tevő, de kisebb kamathozamú rövid távú befektetések között a megfelelő középutat. 1. A probléma megfogalmazása. Egy vállalatnak 40 millió készpénze felöl kell döntenünk. Az elmúlt félévben ez az összeg 1, 3 és 6 hónapos futamidejű letéti jegyekbe volt befektetve, ezek vásárlási feltételeit és kamathozamait az alábbi táblázat mutatja: Hozam Futamidő A letéti jegy vásárolható: 1 havi letéti jegy: 1.0% 1 1., 2., 3., 4., 5., 6. hónapban 3 havi letéti jegy: 4.0% 3 1. és 4. hónapban 6 havi letéti jegy: 9.0% 6 1. hónapban A jelenlegi befektetések 6 hónap folyamán, és a készpénzigények: 17

18 18 Hónapok: hó eleje Kezdő kp.: Lejárati kifiz.: Kamat: havi l.jegy: havi l.jegy: havi l.jegy: 1000 Készpénzigény: Záró készpénz: A készpénzigény rovaton lévő összeget minden hónapban elköltjük, a + előjellel szereplő összeg bevételt jelent. Minden adat ezer Ftos egységekben szerepel. Jelenleg hat hónap alatt a kamatbevétel 770 eft, a kifizetések és bevételek egyenlege: =-16000Ft Hogyan módosítanánk a befektetéseket (mikor mennyi 1, 3 és 6 hónapos futamidejű letéti jegyet veszünk) ahhoz, hogy a kamatnyereség a lehető legnagyobb legyen, de időközben a vállalat készpénzigényét (ill. a biztonsági tartalékot) mindig biztosítani tudjuk. 2. Matematikai modell. Összesen 9 összegről kell dönteni: az egy hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről az első hat hónapban,x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 a három hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről az első és a negyedik hónapban,x 7, x 8 továbbá az első hónapban hat hónapos futamidejű letéti jegyekbe fektetendő összegről x 9.

19 19 Hónapok: hó eleje Kezdő kp.: t z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 1 havi l.jegy: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 3 havi l.jegy: x 7 x 8 6 havi l.jegy: x 9 Lejár.+kamat: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 Kp.igény: k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 Záró kp.: z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 A modell matematikai leírása: t = 40000, kezdőösszeg x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 nemnegativitás z 1 = t x 1 x 7 x 9 + k 1 1. hóvégi záróösszeg z 2 = z 1 x 2 + 1, 01x 1 + k 2 2. hóvégi záróösszeg z 3 = z 2 x 3 + 1, 01x 2 + k 3 3. hóvégi záróösszeg z 4 = z 3 x 4 x 8 + 1, 01x 3 + 1, 04x 7 + k 4 4. hóvégi záróösszeg z 5 = z 4 x 5 + 1, 01x 4 + k 5 5. hóvégi záróösszeg z 6 = z 5 x 6 + 1, 01x 5 + k 6 6. hóvégi záróösszeg z 7 = z 6 + 1, 01x 6 + 1, 04x 8 + 1, 09x 9 7. hó elején készpénz z i 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) havi záróösszeg nemnegatív z = 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04 (x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 max Az első; első és második; első, második és harmadik; stb. egyenletek összeadásával kapott új egyenletek:

20 20 t = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 z 1 = t x 1 x 7 x 9 + k 1 z 2 = t + 0, 01x 1 x 2 x 7 x 9 + k 1 + k 2 z 3 = t + 0, 01(x 1 + x 2 ) x 3 x 7 x 9 + k 1 + k 2 + k 3 z 4 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 ) + 0, 04x 7 x 4 x 9 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 z 5 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 0, 04x 7 x 9 x 8 x 5 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 z 6 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + 0, 04x 7 x 6 x 9 x 8 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k 6 z 7 = t + 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 +k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k 6 z i 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) z = 0, 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 max 3. A lineáris programozási probléma: a t = 40000, k 1 = 7500, k 2 = 1000, k 3 = 2000, k 4 = 8000, k 5 = 5000, k 6 = 1500 értékeket beírva, az egyenlőtlenségeket átrendezve adódik: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 x 1 + x 7 + x , 01x 1 + x 2 + x 7 + x , 01(x 1 + x 2 ) + x 3 + x 7 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 04x 7 + x 4 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 0, 04x 7 + x 5 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 0, 04x 7 + x 6 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 = z max

21 A következő alakba átírt feltételrendszer jobban mutatja e feltételek származását 21 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 x 1 + x 7 + x x 2 + x 7 + x , 01x 1 x 3 + x 7 + x , 01(x 1 + x 2 ) x 4 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 ) + 0, 04x 7 x 5 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 0, 04x 7 x 6 + x 8 + x , 01(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + 0, 04x 7 0, 01(x 1 + x 2 +x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 0, 04(x 7 + x 8 ) + 0, 09x 9 = z max 4. Megoldás a Win QSB szoftverrel (BEFEKTETES.LPP) Bevitel a WinQSB programba:(befektetes.lpp)

22 22

23 A megoldás a program segítségével: 23 Combined Report for befektet 18:48:06 Sunday March Decision Variable Solution Value Unit Cost or Profit c(j) Total Reduced Basis Allowable Allowable Contributi on Cost Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X at bound -M X2 1, basic X3 3, basic X4 4, basic X at bound -M X6 1, basic X7 9, basic X at bound -M X9 22, , basic M Objectiv e Constrai nt Function (Max.) = 2, Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Side Direction Side or Price Min. RHS Max. RHS Surplus 1 C1 32, <= 32, , , C2 33, <= 33, , ,014, C3 35, <= 35, , ,026, C4 27, <= 27, , ,028, C5 22, <= 22, , , C6 24, <= 24, , M A kamatjövedelem 2553 eft-ra nőtt, a 7. hónap elején =26553 eft a vállalat készpénze. Ez annak köszönhető, hogy

24 24 az első hónapban eft-ért hathavi befektetési jegyet, 9579 eftért háromhavi befektetési jegyet vásárolunk, és minden hónapban a lehetséges teljes összeget befektettük. Hogyan módosul a feladat, és a megoldás, ha a 7. hónap elején (a kamatjövedelmek realizálása után) a vállalatnak eft készpénzre van szüksége? (8) Oldja meg a következő döntési problémát az (a) maximin, (b) maximax módszerrel, és ha több megoldás adódik akkor azt a szempontok X 3, X 4, X 1, X 2, X 5, X 6 fontossági sorrendjével tegye egyértelművé. Az alternatívák (ajánlatok A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 ) és szempontok X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 táblázata a következő: X 3 -nál a legkisebb érték az ideális, az X 1, X 2, X 4 sorokban a maximális érték az ideális. Az ajánlatok táblázata: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 X X X X 4 7, 5 9, 5 5, 5 5, 0 5, 0 X 5 á a nj j á X 6 j á j á nj ahol na=nagyon alacsony =1 pont, a=alacsony =3 pont, á=átlagos =5 pont, j=jó =7 pont, nj=nagyon jó =9 pont veendő az utolsó két szempontban lévő adatok számszerűsítéséhez.