KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy. Háy ilye függvéy létezik?. Tudva azt, hogy az ) szigorúa pozitív tagú sorozatra ),. 4. ( N ( +, igazold, hogy < + (I. Bolyai Jáos emlékversey 99., Tuzso Zoltá) A szigorúa pozitív egész számok sorozatából töröljük az -et, továbbá a -vel vagy -mal osztható számokat. Így az 5, 7,,, 7,... sorozatot kapjuk. Határozd meg a sorozat általáos tagjáak képletét (II. NMMV, Vác, 99.) Az ( ) sorozatot a következőképpe értelmezzük:, = 6 és N. Igazold, hogy = [( + ) ] + = + 6 0 =, N és, hogy + ( ) teljes égyzet (III. Wildt József emlékversey, 99., Szász Róbert) 5. Adott az ( ) N sorozat, ahol 0 = és + = +. Határozd meg a sorozat általáos tagját (I. Bolyai Farkas emlékversey, 995., Becze Mihály) 6. Határozd meg azt az f: N N ijektiv függvéyt, amelyre ( + )( + ) f (0) + f () +... + f ( ), N ( = ). 6 (IV. NMMV, Paks, 995., Becze Mihály) 8 7. Bármely R eseté adottak az f k ( ) = k k + k + f k ( ) rekurzív 9 összefüggéssel értelmezett f k :R R függvéyek, ahol k {,,.., } és f 0 ( ) =. 9 Bizoyítsd be, hogy létezik a N és b Q úgy, hogy bármely N eseté 8. 9. f () = ( a + b) (IV. Székely Mikó versey, 996., Péter Adrás) Jelöljük f () -el aak a szorzatak a legagyobb lehetséges értékét, amelyek téyezői természetes számok és összegük. Határozd meg f () -et ( ) (V. NMMV., Székelyudvarhely, 996., Urbá Jáos) Létezik-e olya valós együtthatójú P, -ed fokú poliom ( ), amelyre a P ( P( P( ))) = 0 egyeletek va egy potosa ( + )-szeres gyöke? (V. NMMV., Székelyudvarhely, 996., Adrás Szilárd) 0. Határozd meg azokat az f:n N függvéyeket, amelyekre

8 Kitűzött feladatok a X. osztály számára f ( + ) = f ( ) + ( + )( + ) +, bármely N eseté (VI. Wildt József versey, 996., Tuzso Zoltá). Az f () másodfokú poliomot helyettesítjük az f + vagy ( ) f poliom közül az egyikkel. Az + 997 + 998 poliomból megkaphatjuk-e ilye műveletek segítségével az + 996 + 997 poliomot? (VI. NMMV, Kaposvár, 997., Kubatov Atal). Legye f a pozitív egész számoko értelmezett függvéy, értékei em egatív egészek. Az f mide pozitív egész és y eseté kielégíti a következő feltételeket: ) f ( y ) = + f ( y) ; ) f ( 0 + ) = 0 ; ) f ( 0 ) = 0. Határozd meg f-et (VI. NMMV, Kaposvár, 997., Szabó Magda). Adott az u + = + rekurziót teljesítő sorozat, ahol u + u. Bizoyítsd be, hogy < u < +, (VI. NMMV, Kaposvár, 997., Adrás Szilárd) 4. Az f R X ( )-ed fokú ( N ) poliom teljesíti a következő [ ] összefüggéseket: ( f a) ( + a) és ( f + a ) ( a) (a R rögzített). Bizoyítsd be, hogy (Iskolai olimpia, 986., Kostaca, Costati Caragea) 5. Az ( ) N sorozatot az >, + = + összefüggésekkel értelmezzük. Bizoyítsd be, hogy = és 0 < < + + + + (Helyi olimpia, 99., Kostaca, Gheorghe Bordea) 6. Bizoyítsd be, hogy -re az = + +... + egyeletek va 0 0 < <... legalább egy természetes megoldása, amelyre < (Megyei olimpia, 997., Fehér megye) 7. Az f: N N függvéy szigorúa övekvő, f ( ) = és f ( m ) = f ( m) f ( ), m, N, ( m, ) =. Számítsd ki f () -at és bizoyítsd be, hogy k f ( + ) = + k (Megyei olimpia, Brăila, 997.)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 9 8. Az f: N N szigorúa övekvő függvéy teljesíti az ( + f ( )) f ( ) f () + f () +... + f ( ) egyelőtleséget, N. Bizoyítsd be, hogy f ( ) =, N. (Megyei olimpia, Iaşi, 997., A. Aiţa) 9. Határozd meg az összes f: R függvéyeket, amelyekre a g : R R R +, ha R + \ Q g( ) = függvéy mooto log, ha R + Q (Megyei olimpia, Suceava, 997., Coreliu Romaşcu) 0. Határozd meg az f: N N függvéyt, ha f ( ) = és.. f ( ) + +... + =, N f () f () f () f () f ( ) f ( + ) f ( ) + (Megyei olimpia, Temes megye, 997.) Határozd meg az f: N N függvéyt, amelyre f () f () f ( ) + +... + = f () + f () +... + f ( ), N (Megyei olimpia, Vaslui, 997., Da Brâzei) P R poliomot, amelyre Határozd meg az összes olya [ ] P( ) = P ( ), R (Válogatóversey, 990., Gheorghe Eckstei). Az f: N R övekvő függvéy teljesíti az f ( y) = + f ( y) egyelőséget mide, y N -re. Bizoyítsd be, hogy ha f 0 akkor létezik olya a > szám, amelyre f () = log a, N 4. Határozd meg azokat az f: R R függvéyeket, amelyekre f ( 0) = és y a a + f ( y) + f ( y) =,, y R, y. ( a R + \ {} -rögzített) f ( y) (D.M. Bătieţu) 5. Határozd meg az összes f : R (0, ) függvéyt, amelyre f ( ) = a, R ( a ( 0, ) \ { } rögzített) (Traia Lalescu emlékversey, 995., M. Chiş) 6. Határozd meg az összes olya f : ( 0, ) R függvéyt, amely teljesíti a következő két egyelőtleséget: ) l, (0, ) ; ) f ( y) + f ( y),, y (0, ) (Helyi olimpia, Botoşai, 994.) 7. Határozd meg az összes f: Z Z függvéyt, amelyre f ( f ( )) + f ( ) = +, Z és f ( 0) = +

0 Kitűzött feladatok a X. osztály számára (Országos olimpia, 99., Gh. Eckstei) 8. Határozd meg azokat az f : N [, ) függvéyeket, amelyekre a) f ( ) = 4 ; b) ( + ) f ( ) f ( + ), N ; c) f ( m) = f ( ) f ( m),, m N. (Országos olimpia, 99., M. Chiriţă, M. Piticari) 9. Az ( a ) N sorozat teljesíti az a a a egyelőtleséget mide -re. Bizoyítsd be, hogy a + a +... + a + +... +, 4 eseté (Amerikai verseyfeladat, 995.) 0. Az ( a ) természetes számsorozat szigorúa övekvő és teljesíti az a = a + a N egyelőséget, bizoyítsd be, hogy =, N a N -re. Ha a, a és a 4 = 4,. Az a ) N sorozat teljesíti az a + feltételt és a = valamit a =. Bizoyítsd be, hogy 600 és 000 között ics egy tagja sem a sorozatak (Hollad verseyfeladat, 994.). Határozd meg az összes olya f Z[ ] poliomot, amelyek főegyütthatója és mid az gyöke a (0,) itervallumba va ( rögzített és grad f = ) (D. Miheţ és M. Moroşau). Határozd meg az összes f: N Z függvéyt, amelyre f ( ) + ( ) = 0, N (Helyi olimpia, 989., Gh. Ioescu) 4. Adottak az A és B halmazok úgy, hogy A = és B = m, valamit m. = ( { a,a a } Bizoyítsd be, hogy egy f: A B szürjektiv függvéyre legtöbb ( m + ) olya g: A B függvéy létezik, amelyre f g = f 5. Az ( a ) sorozatot az a és a = a + a N értelmezzük. Bizoyítsd be, hogy = a ) N + N, N -re = m+ (M. Chiriţă, E. Paltaea) összefüggésekkel 6. Határozd meg az ( a pozitív számsorozatot, ha ai = i= i= ai, N (Megyei olimpia, 977., Laureţiu Paaitopol)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7. Adott az + + = + + + és, összefüggéseket teljesítő 4 sorozat. Bizoyítsd be, hogy az f: N R, f ( ) = a + b (a, b R ) függvéy em ijektiv 8. Határozd meg az összes f R[ ] poliomot, amelyre f ( y) = f ( y),, y R P poliomra és a C számra, amelyekre P( a) = P( ), C (A.G. Ioachimescu) 40. Az f Z[] poliom,,,..., + -gyel való osztási maradékai oszthatók -el. Bizoyítsd be, hogy f-ek ( k) -val való osztási maradéka mide k Z -re osztható -el (Gh. Iva) 4. Határozd meg az összes f: Q Q függvéyt, ha f ( P( )) = P( ), Q mide egész együtthatójú P poliom eseté (M. Diacoescu) 4. Határozd meg az összes olya P N[ ] poliomot, amelyből elhagyva a szabadtagot és a domiás tagot, olya poliomot kapuk, amely égyzetéek mide együtthatója páratla (G. M. verseye, 988., Marcel Ţea) 9. Adjál példát olya em kostas C[ ] 4. Az f: R R övekvő függvéyre f ( ) =, R. Bizoyítsd be, hogy létezik olya 0 R, amelyre f ( 0 ) < 0 (Megyei olimpia, 985., M. Chiriţă, M. Piticari) 44. Az f: N C f () f () f () függvéy teljesíti az = = =... egyelőségeket f () f () f (4) és létezik olya N,, amelyre f ( ) + f () +... + f ( ) = ( f () + f () +... + f ( )). Bizoyítsd be, hogy f periodikus (Helyi olimpia, 988.) 45. Az ( a ) szigorúa övekvő természetes számsorozat teljesíti az 46. 47. a = a N + egyelőséget mide N -ra és ha prímszám, akkor is az. Bizoyítsd be, hogy =, N a Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R ijektiv függvéy, amelyre f ( ) + f ( ) =, R (Jeică Crâgau) Bizoyítsd be, hogy ics olya f: R R függvéy, amelyre 4 f ( ) + ( f ( ) + ) = f ( )( f ( ) + ), a R

Kitűzött feladatok a X. osztály számára (D.M. Bătieţu) 48. Határozd meg az összes f: R R mooto függvéyt, amelyre f ( ) =, R (Jeică Crâgau) 49. P C poliomot, amelyre Határozd meg az összes [ ] P( z) + z, z C (Jeică Crâgau) 50. Határozd meg az ( ) N sorozat általáos tagját, ha = és + ( + )( + )...( + ) + + +... + = ( + ),... + N 5. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya szigorúa pozitív egész számokból álló a ) sorozat, amelyre a ( a a ) a, ( N + (Válogatóversey, 985., L. Paaitopol) 5. Igaz-e az alábbi állítás? f Z[] és k, l Z úgy, hogy f ( k + l) = k + l valamit f ( l k) = k + l. (C. Ursu) P Z poliomot, amely 5. Határozd meg az összes olya -ed fokú [ ] P ( ) = ( + ) 5 +... + a alakú és az,,..., gyökeire k, k +, k [ ] k =, (C. Ursu) 54. Bizoyítsd be, hogy mide f: R R, = + a + b alakú függvéyre [ ) létezik c, úgy, hogy f ( c) (Traia Lalescu emlékversey, 986., Dorel Miheţ) 55. Adjál példát olya f: N N függvéyre, amely teljesíti az f ( ) = és f ( + ) = + f () + f () +... + f ( ) egyelőségeket, N -re (Traia Lalescu emlékversey, 994.) 56. Az f: N + f ( ) R függvéy teljesíti az f ( ) = és f ( + ) =, N f ( ) 57. összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy Határozd meg az összes em kostas [ ] f () 0, N és, hogy f ijektiv (Megyei olimpia, Suceava, 994.) P R poliomot, amelyre P( ) = P( ) P( ), C. (Országos verseytábor, 995.) 58. Az ( sorozatra = a és ) N =, = ( + ) ( ), ( a N rögzített). Az a milye értékére teljesül az feltétel bármely i j -re? i j (Válogatóversey 995.)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 59. Legye a ) egy külöböző pozitív egész számokból álló számsorozat. ( i i N 7 7 7 a) Igazold, hogy ( a + a +... + a ) + ( a + a +... + a ) ( a + a +... + a) bármely természetes számra b) Melyek azok a számsorozatok, amelyekre éppe egyelőség áll fe? (Válogatóversey, 995.) 60. Az = a + a + a +... + a poliom együtthatói em egatív egészek és a p 0 5 5 p p f (0), f (),..., f ( k),... számok racioálisak. ( p ) Bizoyítsd [ ] be, hogy létezik olya g Z poliom, hogy = g ( ), N (UNESCO versey, 995., Mihai Băluă) 6. Határozd meg az összes + a +... + a + a alakú poliomot, = { } amelyek mide gyöke valós és a i,, ha i =, (Grigore Moisil emlékversey, 989., Liviu Vlaicu) 6. Határozd meg azokat az,,..., számokat, amelyekre ( + )( + ) + +... + ( + + +... + ) = 4 (Grigore Moisil emlékversey, 99., C. Taru) 6. a) Bizoyítsd be, hogy f R[ ] poliom felírható ( ) ( )...( + ) = a0 + a + a +... + a alakba, ahol N, ai R, i = 0, b) Határozd meg az összes olya f R[] poliomot, amelyre f ( k) Z, k Z (Grigore Moisil emlékversey, 994., V. Pop) 64. Az f: N N szigorúa mooto függvéy teljesíti az f ( ) = és f ( ) = f ( ) +, N összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy f ( ) =, N. (Grigore Moisil emlékversey, 997.) S, T : 0,, S( ) = és T ( ) = függvéyek. Létezik-e 999 olya f = g g... g alakú függvéy, amelyre f =, ha 999 65. Adottak az [ ] R { S T }, i =, g i, 66. Határozd meg az ) sorozat általáos tagját, ha ( 0 + =, N valamit = 4 és = 5 67. Melyek azok az ( a ) N egész számokból álló sorozatok, amelyekre a + a+ =, N a + p 5

4 Kitűzött feladatok a X. osztály számára P R poliomot, amelyre 68. Határozd meg azt a [ ] P( + + ) = P ( ) + P( ) +, R és P ( 0) = 0. (Mircea Lascu) 69. Adjál példát olya szigorúa övekvő f: N N függvéyre, hogy f ( ) = és f ( f ( )) +,. (Megyei olimpia, Arad, 994., Sori Dumitrică) 70. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre + y f ( + y) f ( y),, y R 7. Bizoyítsd be, hogy mide poliomfüggvéy felírható két szigorúa övekvő poliomfüggvéy külöbségekét 7. Létezik-e olya P ( ) = + a +... + a + ( ) alakú poliom, amelyek gyökei egyelő modulusúak és P ( ) C \ R? 7. Melyek azok az f: R R függvéyek, amelyekre teljesül az alábbi két feltétel valamelyike: a) f ( + y) = f ( y) +, R ; b) f ( + y) = f ( y), R. 74. A P Q[] -ed fokú poliom teljesíti a ( k = 0, ) Számítsd ki P( +) -et k P ( k) = egyelőségeket. k + 75. Az ( ) N sorozatra teljesülek az =, = 7, + = egyelőségek, N \. Bizoyítsd be, hogy a sorozat periodikus {} 76. Létezik-e olya f: R R ijektiv függvéy, amelyre 4 f ( a ) + f ( a ) + f ( a ) = b, ahol a, b R és a >? 77. Határozd meg azokat az f: N N ijektiv függvéyeket, amelyekre m f ( m) f (C ) = C, m, N, m f ( ) (RMT /997., Aleadru Blaga) 78. Az f poliom legalább elsőfokú és együtthatói egész számok. Bizoyítsd be, hogy az M = { p N p - prím és N úgy, hogy p f ( ) } halmaz végtele (Országos verseytábor, 996.) 79. Határozd meg az összes f : R [ 0, ) függvéyt, amelyre teljesülek az alábbi feltételek: ), R ; ) f ( + y) f ( y),, y R. (RMT /997., Flori Rotaru)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 5 80. Az A R halmaz zárt a szorzásra ézve (, y A y A ) és az f: A R függvéyre igaz az + f ( y) f ( y) egyelőtleség,, y A. Bizoyítsd be, hogy f ( i ) f i, i A, i =,, N \ {0,, } i= i= (RMT /997.) 8. Határozd meg az összes olya P R[ ] poliomokat, amelyek grafikoja redelkezik egy, az OY tegellyel em párhuzamos szimmetria-tegellyel (RMT /998., Io Raşa) 8. Határozd meg az összes g:n N szigorúa övekvő függvéyt, amelyre létezik olya f: N N, hogy f () páros, N, f szigorúa övekvő és f ( g( ) ) f ( ) g( ), N. (Cardial -/997.,998., D.M. Bătieţu) 8. Az ( ) N sorozat teljesíti az 0 = és + ( + + ) = összefüggéseket mide N -re. Számítsd ki a sorozat általáos tagját (Cardial -/997.-998., Becze Mihály) 84. Az egész együtthatós P poliomak va legalább külöböző egész gyöke. Bizoyítsd be, hogy ha Z és P ( ) 0, akkor P( ) 7 (6), majd adjál példát olya poliomra, amelyre létezik 0 N úgy, hogy az előbbi egyelőtleségbe egyelőség legye. (Országos versey, Görögország, 997.) 85. Az f : ( 0, ) R függvéy teljesíti a következő feltételeket: a) szigorúa csökkeő; b) >, > 0 ; c) f + =, > 0. Számítsd ki f () -et (Országos versey, Görögország, 997.) 86. P R poliomot, amelyre Határozd meg az összes olya [ ] P ( z) = P( z), z C, ha z = (G.M. 0/996., Costati Caragea) 87. A P C[ ] páros fokszámú poliom mide gyökéek modulusza és egyik sem valós. Bizoyítsd be, hogy P () potosa akkor valós, ha P ( ) is az (G.M. /996., Cristiel Mortici) 88. Határozd meg az összes olya f: N N függvéyt, amelyre f ( + ) > f ( f ( )), N (Megyei olimpia, Dolj, 997.)

6 Kitűzött feladatok a X. osztály számára 89. Határozd meg az ( a ) szigorúa pozitív számsorozatot, amely teljesíti az a N a + a + ( ) a = a + a +... +... a egyelőséget, mide N -ra (Megyei olimpia, Giurgiu, 997., Laureţiu Paaitopol) 90. Határozd meg az összes olya f : ( 0, ) R függvéyt, amelyre: y l( y) y + f ( y) f ( y),, y > 0 (G.M. /998., Maria Ursărescu) 9. Határozd meg az ) sorozat általáos tagját, ha = és + ( = + +, (G.M. 0-/997., Maria Ursărescu) 9. Határozd meg az ( a ) sorozat általáos tagját, ha a0 [, ] és 9. 94. a = + a, N (G.M. 0-/997., Maria Tetiva) f : N 0, függvéyt, ha f ( ) = és + Határozd meg az ( ) f () + f () +... + f ( ) = f ( ) f ( + ), N 4 (G.M. 4/998., Aurel Doboşa) Az f: R R ijektiv függvéy teljesíti az f ( ) = egyelőséget, R eseté. Bizoyítsd be, hogy létezik olya R, hogy f ( f ( f ( 0 ))) = 0 (G.M. 5-6/998., Romeo Ilie) 95. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre 998 f ( y) f ( y),, y R (G.M. 5-6/998., Maria Bacoş) 96. Va-e olya egész együtthatós P poliom, amelyek ics egész gyöke, de tetszőleges pozitív egész -re va olya N, hogy P( )? (Kömal, 6/995.) 97. Keresd meg az összes olya P poliomot, amelyre P( + ) = P( ) + +, R. (Kömal, 6/995.) 98. Adott egy változós poliom. Tudjuk, hogy ha midegyik változója helyébe vagy -et vagy (-)-et helyettesítük, értéke pozitív lesz, ameyibe a (-)-ek száma páros, és egatív, ha a (-)-ek száma páratla. Igazoljuk, hogy a poliom legalább -ed fokú. (va olya tagja, amelyikbe a változók kitevőiek összege legalább ). (Kürschák József versey, 995.) 99. Az ) sorozatot a következőképpe defiiáljuk: =, = ( számból áll ( ) ( =,,... ). Bizoyítsd be, hogy a sorozat csupa egész 0

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 (Kömal, /996.) 00. Egy 0-ed fokú, egész együtthatós poliomak az legalább yolcszoros gyöke. Bizoyítsd be, hogy az együtthatók között va olya, amelyek abszolút értéke agyobb, mit 7 (Kömal, /996.) 0. Létezik-e olya P(, y) legfeljebb másodfokú poliom, amely az {,,} {,, } halmazo a,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 értékeket veszi fel, midegyiket potosa egyszer? (Kömal, /997., Blázsik Zoltá) 0. Legye z egységyi abszolút értékű komple szám. Igazoljuk, hogy létezik olya 995.-öd fokú P poliom, amelyek mide együtthatója + vagy, továbbá kielégíti az P ( z) egyelőtleséget. (Kömal, /997.) 0. Igazold, hogy végtele sok -re létezik olya -ed fokú egész együtthatós poliom, amelyek főegyütthatója kisebb -él (abszolút értékbe), továbbá darab külöböző gyöke va a (0,) itervallumba (Kömal, /997.) 04. Bizoyítsd be, hogy mide pozitív egész -hez létezik olya legfeljebb 8-ed fokú P poliom, amelyre: P (0) > P() + P() +... + P( ) (Kömal, /997.) 05. Ha P egész együtthatós poliom, akkor tetszőleges m, egész számok mellett osztója a P( m + ) P( m) külöbségek. Va-e olya P:Z Z függvéy, amely em egész együtthatós poliom, mégis redelkezik az előbbi tulajdosággal? (Kömal, /997.) 06. Határozd meg az f N R függvéyeket, amelyekre f ( 4) = 4 és 07. 08. : + f ( ) =, N k = f ( k) f ( k + ) f ( + ) (Országos olimpia, 98., D.M. Bătieţu) Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R függvéy, amelyre f ( ) + f ( ) + = 0, R (Megyei olimpia, 979., I.V. Maftei, Sori Rădulescu) Határozd meg az összes R + R övekvő függvéyt, amelyre f f : + y y ( ) = [ ],, y R+ 09. Határozd meg az összes f: R R függvéyt, amelyre f ( a y + a ) = f ( + y),, y R ( a > rögzített) (M.L. /986., Maria Tetiva) 0. A g,h: N N függvéyek bijektivek és f: N N, f ( ) = g( ) h( ) jól értelmezett. Bizoyítsd be, hogy f ( ) = 0, N (Országos olimpia, 979.)

8 Kitűzött feladatok a X. osztály számára. Bizoyítsd be, hogy egyetle P Z[] poliomra sem létezek olya,,..., Z külöböző számok ( ), hogy P( i ) = i +, i =, és P( ) =. Bizoyítsd be, hogy létezik olya f: N N függvéy, amelyre f ( f ( )) =, N (Válogatóversey, 978., Da Voiculescu). Határozd meg az összes olya P poliomfüggvéyt, amelyre P( 0) = 0 és 4. létezik f: R R úgy, hogy >, R valamit P( ) = f ( P( )), R Létezik-e olya N és P R[] poliomfüggvéy, hogy P ( ) = + + +... + 5. Háy megoldása va az f ( f ( f...( )...) = egyeletek, ha =? [ ] R 6. Az f : 0, függvéy teljesíti az f ( 0) = f () = 0 () és + y f + f ( y) () összefüggéseket,, y [ 0,]. Bizoyítsd be, hogy: a) 0, 0, ; [ ] b) f-ek végtele sok zérus helye va a [,] 0 itervallumba; c) létezek em idetikusa ulla függvéyek is, amelyek teljesítik a feltételeket 7. Az f: N R függvéy teljesíti az f ( ) + f ( + ) = és f ( ) = összefüggéseket. Számítsd ki f (0) -et 8. Határozd meg azo f: X X függvéyek számát, amelyekre ( f f )( ) = a, X, ha X egy elemű halmaz és a X egy rögzített elem ( ). (Válogatóversey, 98.) 9. Az f : N N N függvéy teljesíti az f ( 0, y) = y +, f ( +,0) = f (,) és f ( +, y + ) = f (, f ( +, y)) összefüggéseket, mide, y N -re. a) Számítsd ki f (4,98) -et (Nemzetközi olimpia 98.) b) Számítsd ki f (,997) -et (Országos olimpia, 997., Căli Burduşel) 0. Szerkesszél f : A A bijekciót, amelyre f ( m +, ) > f ( m, ) és f ( m, + ) > f ( m, ), m, A,ha A = N és ha A = Z. Határozd meg az A halmaz elemeiek miimális számát, úgy, hogy létezze f: N A függvéy, amelyre f ( i) f ( j), ha i j prímszám?

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 9 (Balká olimpia, 990., Ioa Tomescu). Az f, g: N N szigorúa mooto függvéyek képtartomáyai diszjuktak és egyesítésük N. Ha g ( ) = f ( f ( )) +, mide N -ra, számítsd ki f (40) - et. Az f: N N függvéy teljesíti a következő összefüggéseket: a) f ( ) = f () = ; b) f ( ) = f ( ), N ; c) f ( 4 + ) = f ( + ) f ( ), N ; d) f ( 4 + ) = f ( + ) f ( ), N. Az f ( ) = egyeletek háy darab 988-ál em agyobb megoldása va? (Nemzetközi olimpia 988.) 4. Határozd meg az összes f: R + R mooto függvéyt, amely teljesíti az m m m m m + +... + f ( ) +... + f = egyelőséget, mide,,..., R+ eseté 5. Határozd meg az f:r R bijekciót, ha f ( + y) + f ( y) és f ( y) f ( y),, y R (G.M. /97., M. Rădulescu) 6. Az f: R R függvéy em ijektiv és létezik egy olya g : R R R függvéy, amelyre f ( + y) = g(, y),, y R Bizoyítsd be, hogy f periodikus (M.L. /978., D.M. Bătieţu) 7. Az f: R R additív függvéy valamely ullától külöböző racioális helye racioális ( Q 0 és f ( 0 ) Q ). Bizoyítsd be, hogy Q, Q (G.M. 7/970., D.M. Bătieţu) 8. Az f: N N függvéyre f ( + ) > f ( ) és f ( f ( )) =, N. Határozd meg f ( 99) -t (Válogatóversey, 99., Geofry Barad) 9. Bizoyítsd be, hogy bármely P Q[ ] -re végtele sok olya irracioális α szám létezik, amelyekre P (α ) is irracioális (M. L. /978., Marcel Ţea) 0. Határozd meg azokat a P R[ ] poliomokat, amelyre P( ) = ( ) P( ), R, ahol természetes szám (Horvát verseyfeladat, 994.). Lehet-e egy egész együtthatós poliomiális függvéyek a racioális számok halmazára való leszűkítése ijektiv, aélkül, hogy a valós számok halmazá ijektiv lee? (M.L. 4/978)

0 Kitűzött feladatok a X. osztály számára. Határozd meg azokat a P és Q egész együtthatós poliomokat, amelyek főegyütthatói egyelők -el és P ( Q( )) = ( )( )...( 5) valamit Q( 0) = 0 (Válogatóversey, 989., Marius Dadârlat és Gheorghe Eckstei). Az f, g R[] poliomokra értéke végtele sok Q -ra racioális. g( ) Bizoyítsd be, hogy g( ) felírható két racioális együtthatójú poliom háyadosakét (Irái verseyfeladat 994.) 4. Az ( sorozatot a következőképpe értelmezzük: u ) 0 u 5, u = és u + = u ( u ) u,. 0 = ( ) Bizoyítsd be, hogy [ ] =, ahol [ ] u az valós szám egész részét jelöli (M.L. 5/977.) 5. Határozd meg midazo egyedfokú, valós és zérótól külöböző együtthatójú poliomokat, melyekre P( ) = P( ) P( ) (M.L. /978., Tache Negreau) 6. Bizoyítsd be, hogy ha bd + cd páratla, akkor a P ( ) = + b + c + d Z[ ] poliom irreducibilis Z[ ] 7. Bizoyítsd be, hogy a [ ] ( a 8. -be (Kíai verseyfeladat) P( ) C legalább m-ed fokú poliom ( a )( a )...( a ) -el való osztási maradéka potosa akkor 0-ad fokú, ha az a ) poliomokkal való osztási maradékai mid egyelők i ( i a ha i j ) j Igazold, hogy a P( ) = + és Q ( ) = (G.M. 9/97., Gh. Albu) + + + poliomok relatív prímek ( N -ra) (M.L. /978., Io Ursu) (Válogatóversey, 97., N. Maolache) 9. Bizoyítsd be, hogy ha a P Z[ ] poliom behelyettesítési értéke páratla egy páros és egy páratla számra, akkor ics egész gyöke (G.M. 0/97.) 40. Egy páros fokszámú, páratla egész együtthatójú poliomiális egyeletek lehet-e racioális gyöke? (M.L. 6/977., Ştefa Alee) 4. a) Bizoyítsd be, hogy ha m egy páratla természetes szám, akkor létezik olya () poliom, amelyre si m = Pm (si ) si. P m

Kitűzött feladatok a X. osztály számára b) Botsd téyezőkre a poliomot 4. Az P m ( a ) sorozatot az a 0 és a = a +, N összefüggések i i N 0 = segítségével értelmezzük. Bizoyítsd be, hogy ha kettőhatváy, akkor a is kettőhatváy (Svéd verseyfeladat, 970.) 4. Mutasd ki, hogy em létezik olya racioális F() függvéy, amelyre F( ) = + + +... +, N (M.L. /975., Da Vuza) 44. Bizoyítsd be, hogy ha a P ( ) = + a +... + a + ( ) a (a R a > 0 ) komple együtthatós poliom gyökei mid r modulusúak, akkor: a) P( r) R és P( r) R, ha páros b) P( r) R, ha páratla (M.L. 4/978., Marcel Chiriţă) 45. A P ( ) = a0 + a + a + a poliom együtthatói egész számok és p0 egy háromál agyobb prímszám. a) Bizoyítsd be, hogy ha p0 em osztója a0 -ak, akkor az f (0) f () f ( p0 ),,..., számok közt legtöbb három egész szám lehet p p p 0 0 0 b) Ha az előbbi számok közt több mit három egész szám va, akkor p 0 osztja a P mide együtthatóját 46. Bizoyítsd be, hogy ha egy egész együtthatós -ed fokú poliom behelyettesítési értéke legalább ( +) külöböző helye prímszám, akkor a poliom irreducibilis (G.M. 4/97., M. Rădulescu) + 47. A P R[] poliom teljesíti az ( + a) P( a) = ( + a ) P( ) egyelőséget, R, ahol a R rögzített szám. a) Bizoyítsd be, hogy ha P em idetikusa ulla, akkor -ed fokú b) Határozd meg az összes ilye poliomot (M.L.4/978., Marcel Chiriţă, M.L. /975., V. Matroseco) + 48. A P ( ) = + a +... + a és Q ) = + b +... + b + poliomok, ' ' + gyökei,...,, illetve,, ',..., '. Bizoyítsd be, hogy + ( + P ( ') = Q( ) i i i= i= (M.L. /975., N. Micu)