Analízis előadások Vajda István 2009. március 4.
Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük.
Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Jelölés: F (s) f(t), illetve f (t) =L 1 [F (s)].
Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Jelölés: F (s) f(t), illetve f (t) =L 1 [F (s)]. Példák: 1 s 1 1 e3t s 3 3s s 2 3 cos (2t) + 4
Az egyszerűbb racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformáltja gyakran meghatározható ránézésre vagy táblázat alapján. Eközben alkalmahatjuk az inverz Laplace-transzformáció homogén-lineáris tulajdonságát: L 1 [cf] = cl 1 [F] L 1 [F 1 + F 2 ] =L 1 [F 1 ] +L 1 [F 2 ] Ezek az összefüggések egyszerű következményei a Laplace-transzformáció hasonló tulajdonságainak. Ha a visszatranszformálandó racionális függvény összetettebb, akkor elemi törtekre bontással és a fenti szabályok alkalmazásával határozhatjuk meg az inverz Laplace-transzformáltjukat.
Példák: Határozzuk meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját: 5 (s 2) 2 + 9 6 (s + 4) 3 5s 10 (s 2) 2 + 16 2 s 2 4s + 5
Példák: Határozzuk meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját: 5 (s 2) 2 + 9 = 3 5 3 (s 2) 2 + 9 5 3 e2t sin(3t) 6 (s + 4) 3 5s 10 (s 2) 2 + 16 2 s 2 4s + 5
Példák: Határozzuk meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját: 5 (s 2) 2 + 9 = 3 5 3 (s 2) 2 + 9 5 3 e2t sin(3t) 6 (s + 4) = 3 2! 3 (s + 4) 3 3e 4t t 2 5s 10 (s 2) 2 + 16 2 s 2 4s + 5
Példák: Határozzuk meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját: 5 (s 2) 2 + 9 = 3 5 3 (s 2) 2 + 9 5 3 e2t sin(3t) 6 (s + 4) = 3 2! 3 (s + 4) 3 3e 4t t 2 5s 10 (s 2) 2 + 16 = 5 (s 2) (s 2) 2 + 16 5e2t cos (4t) 2 s 2 4s + 5
Példák: Határozzuk meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját: 5 (s 2) 2 + 9 = 3 5 3 (s 2) 2 + 9 5 3 e2t sin(3t) 6 (s + 4) = 3 2! 3 (s + 4) 3 3e 4t t 2 5s 10 (s 2) 2 + 16 = 5 (s 2) (s 2) 2 + 16 5e2t cos (4t) 2 s 2 4s + 5 = 2 1 (s 2) 2 + 1 2e2t sin t
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 5s + 1 (s 1) (s + 2) függvény
Példa: Határozzuk meg az F (s) = Megoldás: 5s + 1 (s 1) (s + 2) függvény 5s + 1 (s 1)(s + 2) = 2 s 1 + 3 s + 2 2et + 3e 2t
Példa: Határozzuk meg az F (s) = Megoldás: 5s + 1 (s 1) (s + 2) függvény 5s + 1 (s 1)(s + 2) = 2 s 1 + 3 s + 2 2et + 3e 2t 5s + 1 (s 1) (s + 2) = A s 1 + B s + 2 5s + 1 = A (s + 2) + B (s 1) s = 1: s = 2: 6 = 3A 9 = 3B A = 2 B = 3
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 14s2 44s + 12 (s 2) (s 2 9) függvény
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 14s2 44s + 12 (s 2) (s 2 9) függvény Megoldás: 14s 2 44s + 12 (s 2)(s 2 9) = 14s2 44s + 12 (s 2)(s 3)(s + 3) = = 4 s 2 + 1 s 3 + 9 s + 3 4e2t + e 3t + 9e 3t
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 14s2 44s + 12 (s 2) (s 2 9) függvény Megoldás: 14s 2 44s + 12 (s 2)(s 2 9) = 14s2 44s + 12 (s 2)(s 3)(s + 3) = = 4 s 2 + 1 s 3 + 9 s + 3 4e2t + e 3t + 9e 3t 14s 2 44s + 12 (s 2)(s 2 9) = A s 2 + B s 3 + C s + 3 14s 2 44s + 12 = A (s 3)(s + 3) + B (s 2)(s + 3) + C (s 2)(s 3) s = 2: s = 3: s = 3: 20 = 5A 6 = 6B 270 = 30C A = 4 B = 1 C = 9
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 5s2 11s + 39 (s 4) (s 2 + 9) függvény
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 5s2 11s + 39 (s 4) (s 2 + 9) függvény Megoldás: 5s 2 11s + 39 (s 4)(s 2 + 9) = 3 s 4 + 2s s 2 + 9 3 s 2 + 9 3e4t + 2 cos(3t) sin(3t)
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 5s2 11s + 39 (s 4) (s 2 + 9) függvény Megoldás: 5s 2 11s + 39 (s 4)(s 2 + 9) = 3 s 4 + 2s s 2 + 9 3 s 2 + 9 3e4t + 2 cos(3t) sin(3t) 5s 2 11s + 39 (s 4)(s 2 + 9) = A s 4 + Bs + C s 2 + 9 5s 2 11s + 39 = A ( s 2 + 9 ) + Bs (s 4) + C (s 4) s = 4: s = 0: s 2 : 75 = 25A 39 = 9A 4C 5 = A + B A = 3 C = 3 B = 2
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 4s2 27s 6 (s 4) (s + 1) 2 függvény
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 4s2 27s 6 (s 4) (s + 1) 2 függvény Megoldás: 4s 2 27s 6 (s 4)(s + 1) = 2 2 s 4 + 6 s + 1 5 (s + 1) 2 2e4t + 6e t 5te t
Példa: Határozzuk meg az F (s) = 4s2 27s 6 (s 4) (s + 1) 2 függvény Megoldás: 4s 2 27s 6 (s 4)(s + 1) = 2 2 s 4 + 6 s + 1 5 (s + 1) 2 2e4t + 6e t 5te t 4s 2 27s 6 (s 4)(s + 1) 2 = A s 4 + B s + 1 + C (s + 1) 2 4s 2 27s 6 = A (s + 1) 2 + B (s 4)(s + 1) + C (s 4) s = 4: s = 1: s 2 : 50 = 25A 25 = 5C 4 = A + B A = 2 C = 5 B = 6