Méréselmélet: 4 elődás 435 4 A becsléselmélet lpji A legisebb égetes hibájú becslés ismétlése Legisebb égetes hibájú becslő: ics előetes ismeretü sem méredő prméterről sem cstor rteristiáról jról egü fel hog megfigelési egelet lieáris: Feltételeü hog prméter â értéet ves fel és felállítj megfigelés modelljét: A megfigelést eel össevetve eressü â legjobb beállítását égetes hibfüggvé feltételeésével: C C mele sélsőértéét miimmát eressü: deriválásávl mivel: 68 feltétel visgáltávl 68 [ ] 69 Megjegése: A derivált helességét egserűe leelleőrihetjü h 68 össefüggésbe ijelölt mátri- ill vetor-sorásot ifejtjü és t övetőe deriválást ompoeseét végeü el Áltláosított/súloott égetes ritérimot is hsálht h beveetü eg Q égetes súloó mátriot: C Q 7 mivel [ Q] Q 7 3 H Q or 66 össefüggés seriti Gss-Mrov becslőt pj tehát GM becslő eg súloott legisebb égetes hibájú becslő hol súloást megfigelési j ovrici mátriá ivere dj 4 H ll várhtó értéű Gss eloslású fehér j vetor or t ~ I jelöljü el össhgb ~ Q -vel mert Gss eloslású vetor és â pedig ee vetor lieáris trsformáltj éldá: Lieáris modell síes Gss j eseté: ~ C vgis j ovrici mátri em les digoális mátri A ú fehérítési eljárást llm: mivel C poitív defiit eért létei ol ivertálhtó D mátri mellel: C D D el D mátrisl megsorov megfigelési j vetorát: [ D D ] [ D D ] DCD DD D D I vgis j ifehéredi és egségi vriciájú les H megfigelési egelet egését trsformálj D mátrisl or: D D D Itt D ~ I el problémát vissveettü fehér j esetére: [ ] [ D D] D D [ C ] C C [ C ] Lieáris modell ismert ompoes eseté: s jelompoes ismert: s s beveetésével: [ ] s fehér j eseté: C [ ]
Méréselmélet: 4 elődás 435 3 éld: r A Itt A eg ismeretle osts r pedig eg ismert osts: r r A r A A vr h j Gss és fehér 4 Mogó-átlg Movig Averge: MA prmétere becslése: A = - disrét értésorot imeőjel elemei eg csúsó blo erestül láthtó disrét értée bemeőjel lieáris ombiációjét áll elő: 7 Keresette súloó egütthtó A megfigelés lieáris: ; = - ] [ ] [ A legisebb égetes értelembe optimális prmétereet 69 össefüggés dj A előő óri példávl elletétbe itt bemeőjel em belépő eért csúsó blo erestül egtív ideű mitá is láts Érdemes megvisgáli hog mi iformációtrtlm ] [ mátri illetve vetor hhe írj fel mátriot didis sorto össegét: X X 73 A 73 össefüggésbe X Figeljü meg hog 73 eg ol mátri mele elemei llms ormálássl iegésítve disrét értésorot toorreláció értéeit becsli: p p R p = - 74 Hsolóéppe felírv vetort: 75 75 eg ol vetor mele elemei llms ormálássl iegésítve és disrét értésoroto erestorreláció értéeit becsli: R = - 76 Jelölje R 74 össefüggés seriti elemeből álló mátriot R pedig 76 össefüggés seriti elemeből álló vetort:
Méréselmélet: 4 elődás 435 R R 77 Megjegés: A 77 össefüggés termésetese midösse eg formális átírás péld seriti visoo esetére de ésőbbiebe láti fogj ee létjogosltságát e poto formális befejeü becsléselmélet lpji tárglását de folttás mit láti fogj redre méréseről jelesége ill o prmétereie és állpoti megrgdásáról sól mie orét esöei tipis becslési eljáráso lese 3 Vlós idejű iértéelés igée eseté 7 össefüggés helett hsálj mert sámításo elvégéséhe eg ütemi idő mideéppe süséges formát 5 Modellillestés A legisebb égetes hibájú becslő eseté ics előetes ismeretü vlójáb modellt illestettü A becslés vriciáját or dt meg mior dditív megfigelési jról tdt hog Gss eloslású és fehér Látt hog síes j eseté mile módserrel veethetjü viss illestés problémáját lpesetre A modellillestés problémáj meglehetőse serteágó gi lssis válfj regressió sámítás Regressió-sámítás: függő és függetle váltoó öötti övetle determiistis pcsolt meghtároás modellillestés eg speciális esete A 8 ábrá láthtó elredeésbe modelleedő g függvé étfjt függetle váltoóvl redelei: egiet jelöli melet ismerü és ébe td trti mási meliet jelöli mel ismeretle ébe em trthtó tipis jfolmt elépelt/modelleett folmt Megjegése: A továbbib rgmetmét sereplő is go gr iterációs lépést oosítj vg disrét időide mel evivles módo téleges ideét is megjelei időét e megfelelőe ill egeértéűe A is ettős hsált seit se vrjo ülöbség egértelmű: rgmetmét ill ideét disrét idő ide öálló pedig jfolmtét iterpretálj A modelleéshe eg áltl ébe trtott tipis prmétere segítségével módosíthtó hgolhtó g függvét hsál A cél eg ol beállítás elérése mel vlmile értelembe optimális ipis égetes ritérimot hsál: 78 Regressió-sámítás teljese specifiált sttistii jellemőel: h ismerjü és f egüttes vlósíűség sűrűség függvéét or feldt Bes becslési problém mele megoldás posteriori várhtó érté: g 79 A [ g ] görbe váltoó -r votottott regressiós görbéje H bemeet vetor or regressiós felület 3
Méréselmélet: 4 elődás 435 4 Regressió-sámítás résbe specifiált sttistii jellemőel: em ismerjü egüttes eloslást cs véges sámú mometmát Lieáris regressió: A illestedő függvé g slár lieáris függvé mele prméterei úg válstdó meg hog g miimális lege Lege ismert hol tóbbi ormliált erest-ovrici függvé: Miimliáldó 8 össefüggés és serit: ho mit 8 = ifejeésbe behelettesítve 8 Megjegése: A 8 össefüggés sármttásor felhsált hog vlmit A 8 össefüggésbe behelettesítve vr g e érté hib vriciáj Érdemes megvisgáli visoot prméter függvéébe H erest-ovrici ll or eg fevő egeest p imeet legjobb becslője bemeettől függetleül mért értée várhtó értée H erest-ovrici % or cs -tól függ jtól -től em 3 A lieáris regressió feldtá egfjt áltláosítás ú poliomiális regressió: g 83 mele fotos tljdoság hog prmétereibe lieáris A prmétereibe lieáris modelleet ért edveljü mert égetes hibritérim eseté sélsőérté-eresés lieáris egeletredser megoldásár veet mivel égetes ifejeése prmétere seriti deriválás lieáris össefüggést eredmée Lieáris regressió mérési dto lpjá: fetieet végigvihetjü or is h icse előetes iformáció Ileor mit eddig ] [
Méréselmélet: 4 elődás 435 Megjegés: bbe eredmébe 8 ifejeésbe sereplő sttistii jellemő becslőie össetevőit oosíthtj és átlításol - tipis átlgtól vló eltérése felírásávl - eeet ifejeéseet egmás teljese megfeleltethetjü egé meg! A regressiós sém áltláosítás: A 9 ábrá modell-illestést regressiós sémát övető módo mttj be A bemeetre dott válst sereté vlmile ritérim serit ábrá égetes értelembe legjobb megöelítei modell ŷ válsávl Érdees össeveti et sémát megfigelő sémávl lásd ábr hhe rjolj át ábr seriti formár A gfoú hsolóság egértelmű: midét esetbe modellillestést végü A megfigelő sém eseté prmétereet ismerjü és állpotot becsüljü míg regressiós sémáb modellü állpotát ébe trtj és prmétereet eressü Midét sém párhmos bb értelembe hog bemeő jelet illetőe párhmos pcsolód A modell-illestési problém megrgdhtó soros formáb is mior tljdoéppe ú iver-modellt illestjü lásd ábr mior bemeetet iver-modell áltl becsüljü e megöelítése hátrá dimis redsere esetébe soros pcsolás eredő ésleltetése eért iver-modellel jóslásr éserülü mi so ehéséggel jár Adptív lieáris ombiátor: A áltláosított regressiós sém pcsá egi gr hsált modell-csládot ábr mttj be bbe disrét értésorotból eg X o értésorotot állít elő elősör mjd ee értée lieáris ombiációjét állítj elő értéet A optimmeresés sorá W prmétere legedveőbb miimális égetes hibát eredméeő beállításár töresü Miimliálj [ X W ] [ X W ] W X W X X W 5 84 Veessü be X és X X R jelölést! el sélsőérté eresés RW miből optimális beállítás: W * R 85 W A 85 össefüggés ú Wieer-Hopf egelet Megjegése: A 85 össefüggést visshelettesítve 84-be: * R W 86 mi * * mi [ W W ] R[ W W ] mi * V RV 87 hol V [ W W ] ú prméterhib vetor A 87 össefüggés egértelműe mttj égetes hib llását prmétere ill prméterhib függvéébe A visoo illstrálásár 3 ábr solgál A hibfelület tetsőleges potjáb hib csöeés fjlgos mértéét felület meredeségével grdiesével mérhetjü: * R[ W W ] RV RW 88 W A 88 össefüggés itütetett serepet p dptív eljárásoál hol hibfelülete grdies meté eresedü éld: Lege X si / si / eg sisos hllámform ét egmás tái mitáj A regressiós vetor és prméter vetor ebbe példáb
Méréselmélet: 4 elődás 435 étdimeiós Itt most t jelöli hog sisos hllámform eg perióds há mitából áll cos / Hog válss meg W 89 prmétereet hho hog öelítés égetes hibáj miimális lege? A R és mátrio sisos ill osisos hllámformá teljes > periódsr törtéő átlgolásávl sármtthtó: 5 5cos R 9 5cos 5 si cos si / si / 5 si / si / si / cos / si / cos / si 5 5cos * R t / W R 9 5si 5cos 5 si / Megjegése: Mivel sisos mitá lieáris ombiációjávl hib élül elő lehet állíti osisos hllámformá mitáit eért péld seriti esetbe mi 3 ábrá prboloid leglsó potj ériti prmétere síját A példáb 7 össefüggéssel dott mogó átlgot sámítj lásd 4 ábr ismert hllámform mitáiból = esetet bl sélesség ettő feltételeve A teljes periódsr törtéő átlgolás megfelel hog mogó átlg prmétereie becsléseor * si / si / 3 X W cos / t / si / 4 Mivel lieáris ombiátor hib élül öveti övetedő jelet ért öelítés hibáj mi hibfelület leér prméter sír 6
Méréselmélet: 4 elődás 435 7