BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád
A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak A függvény definíciója Injektív, szürjektív, bijektív függvények Biológiai példák Fontosabb tulajdonságok 3 Folytonosság Alapok, definíciók Műveleti tulajdonságok 4 A határérték számítás alapjai Alapok, definíciók Határérték a végtelenben Tulajdonságok, megjegyzések Példák Sorozatok határértéke Mire jó? Biológiai példák
Bevezetés MI A BIOMATEMATIKA? Biológia + matematika? = biomatematika Biológiai természetű problémák matematikai úton történő kezelése. Biometria - korábban alakult ki, mint a matematikai statisztika. Célja a modellek valószínűségi vizsgálata. Numerikus taxonómia (majd később a numerikus cönotaxonómia) - a "klasszikus" (matematika nélküli biológia "matematizálása"). Kvalitatív és kvantitatív ökológiai topológia (ökológiai rendszerek, hálózatok minőségi és mennyiségi viszonyainak vizsgálata)...
Bevezetés TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS XIX. század eleje - első próbálkozások. XX. század első negyede - "klasszikus" biometria kialakulása. XX. század második negyede - "klasszikus" biomatematika megjelenése (folyamatleírások, dinamikus reprezentációk) az analízis betörése a biológia világába. XX. század harmadik negyede - "modern" biomatematika (számítógépes adatkezelés, értékelés, vizsgálat). Ekkor már nem csupán a matematika, hanem az informatika, fizika és egyéb természettudományok eszközei is beépülnek a biomatematikába. 1970-es évek: Mathematical Biosciences, Journal of Biomathematics, Biomathematics, Lecture Notes on Biomathematics. Jelen: bioinformatika, genetikai modellezés, géntérképek, illesztési algoritmusok
Függvények MI A FÜGGVÉNY? Definíció Legyen f A B egy reláció. 1 Legyen továbbá D f azon A-beli x elemek halmaza, melyekhez létezik olyan B-beli y elem, hogy x és y relációban állnak (azaz xfy). Legyen R f azon B-beli y elemek halmaza, melyekhez létezik A-beli x elem úgy, hogy xfy. Ha minden x D f esetén egyetlen y R f létezik úgy, hogy xfy, akkor f -et függvénynek nevezzük. Elnevezések, jelölések D f - a függvény értelmezési tartománya. R f - a függvény értékkészlete. f : A B (a mi esetünkben általában f : R R). 1 "Kapcsolat" az A és B halmazok között. Pl., ha A a nők-, B a férfiak halmaza, akkor f lehet azon emberek részhalmaza, akik már randevúztak egymással.
Függvények Az f A B reláció NEM függvény, mert az A 4 elemhez két különböző B-beli elemet rendel.
Függvények A g A B reláció viszont függvény (g : A B), D g = {A 1,A 3,A 4,A 6,A 7 }, R g = {B 2,B 3,B 4,B 5 }.
Függvények Definíciók Legyen f : A B egy függvény. Ha Ha D f = A és bármely x 1,x 2 A esetén f (x 1 ) f (x 2 ), akkor a függvény injektív (azaz minden A-beli elemhez rendel elemet a B halmazból és különböző elemekhez különböző elemeket rendel). Ha R f = B, akkor a függvény szürjektív (azaz ha a B halmaz összes eleme előáll f (x) formátumban valamely x A-val). Ha f injektív és szürjektív is egyben, akkor bijektív. Az előző dián lévő f : B A függvény se nem injektív, se nem szürjektív (D f B és R f A). A bijektivitáshoz mindkét tulajdonságnak egyszerre kell teljesülnie. Ha bármelyik nem teljesül a függvény nem lehet bijektív.
Függvények Példa Tanulság Ha f : R R egy olyan függvény, hogy f (x) = x 2, akkor f nem injektív, hisz f ( 2) = f (2) = 4. Továbbá nem szürjektív, mert pl. a ( 1) nem áll elő x 2 alakban. Ha azonban f : R + R és f (x) = x 2, akkor f már injektív, hiszen a nem pozitív számokat "kizártuk" a függvény értelmezési tartományából, így nem beszélhetünk f ( 2)-ről. A függvény továbbra sem szürjektív. Ha pedig f : R + R + és f (x) = x 2, akkor f immáron injektív és szürjektív is, hiszen bármely pozitív y számhoz találhatunk olyan x pozitív számot, hogy x 2 = y. Így a függvény ebben az esetben bijektív. Az injektivitás, szürjektivitás eldöntésénél mindig meg kell nézni, hogy milyen halmazokon dolgozunk.
Függvények Lineáris típusú függvények: f (x) = mx + b.
Függvények 1 x típusú függvények, vagy exponenciális függvények 1-nél kisebb alappal (f (x) = ax, ahol a < 1). Trigonometrikus függvények (sin, cos,...)
Függvények NÉHÁNY FONTOSABB TULAJDONSÁG (részletesebb függvényvizsgálat majd a differenciálszámítás témakörnél) Értelmezési tartomány (D f ), értékkészlet (R f ). Zérushelyek (f (x) = 0 esetén az x(-ek) meghatározása). Menete (monoton nő, csökken), folytonossága (van-e szakadása, ha igen, akkor milyen). Ha az X tengelyen ± -felé haladunk, akkor, hogyan változik a függvényérték? Hasonlóan a szakadási pontok két oldalán mi történik a függvénnyel? (Ez lesz az ún. határértékszámítás) Periodicitás, paritás. Szélsőértékek (minimum- és maximum helyek, -értékek). Konvexitás, inflexiós pontok (konvex, konkáv, hol vált egyikből a másikba).
Függvények folytonossága Definíció Azt mondjuk, hogy egy f függvény az x 0 pontban folytonos, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik olyan δ > 0 szám, hogy ha x x 0 < δ, akkor f (x) f (x 0 ) < ε. Példák Az f (x) = x 2 függvény folytonos az x 0 = 2 pontban, sőt folytonos bármely x 0 R pontban. Ezzel szemben a g(x) = [x] függvény folytonos az x 0 = 2,5 pontban, de nem folytonos az x 0 = 2 pontban. Többek között pl. a c, sin, cos, x n, x, x függvények folytonosak értelmezési tartományuk minden pontjában. Megjegyzés A folytonosság pontbeli (lokális) tulajdonság, de globálissá tehető.
Függvények folytonossága Tétel Ha az f és g függvények folytonosak az x 0 pontban, akkor az f + g, λf, (λ R) függvények is folytonosak x 0 -ban. Tétel Ha az f és g függvények folytonosak az x 0 pontban, akkor az f g és az f g (g(x) 0) függvények is folytonosak x 0-ban. Tétel - az összetett függvények folytonossága Legyenek f és g adott függvények. Ha f folytonos az x 0 pontban, g pedig folytonos az y 0 = f (x 0 ) pontban, akkor a h = g f függvény folytonos az x 0 pontban.
Függvényhatárérték MI A FÜGGVÉNYHATÁRÉRTÉK, MIRE JÓ? Definíció Azt mondjuk, hogy egy f függvény határértéke az x 0 pontban egy A szám, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha 0 < x x 0 < ε, akkor f (x) A < δ. Jelölés Ha az f függvény határértéke az x 0 pontban A, akkor azt -val jelöljük. lim f (x) = A x x 0
Szemléletes jelentés, a ± eset Minél közelebb megyünk az X-tengelyen az x 0 értékhez, annál közelebb érünk az Y-tengelyen az A értékhez. lim(x + 3) = 5, hiszen ha "nagyon-nagyon" közel vagyunk az x 2 x = 2 értékhez, akkor az x + 3 "nagyon" közel lesz az 5-höz. Az A = ± eset Ha A = ±, akkor a definícióban az f (x) A kifejezés nem értelmezhető, de a határérték lényege változatlan marad. Ha elég közel megyünk az X-tengelyen az x 0 ponthoz, akkor a függvény értéke tetszőlegesen nagy (A = + esetben), vagy tetszőlegesen kicsi (A = esetben) lesz. Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x 0 pontban plusz (mínusz) végtelen, ha bármely K pozitív (negatív) számhoz létezik olyan ε > 0 szám hogy ha x x 0 < ε, akkor f (x) > K (f (x) < K).
Függvényhatárérték A lim határérték nem létezik. Miért nem? Azért, mert nem x mindegy, hogy melyik "oldalról" közelítünk a 0 felé. Ha a számegyenes negatív oldaláról, akkor az 1-et egyre kisebb és kisebb abszolútértékű negatív számokkal osztjuk, így az eredmény ( ). Míg a pozitív oldalról közelítve (+ )-t kapunk. 1 1 = 1, 1 0,1 = 10,..., 1 0,0000000001 = 1010,stb. 1 1 = 1, 0,1 1 = 10,..., 1 0,00000000001 = 1010,stb. 1 lim = +, hiszen az abszolútérték jel miatt a kifejezés értéke x 0 x csak pozitív lehet attól függetlenül, hogy "melyik irányból" közelítünk a 0 felé. x 0 1
Határérték a végtelenben (és tovább... ) MI TÖRTÉNIK, HA x 0 IS ±? Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a plusz (mínusz) végtelenben vett határértéke az A szám, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik olyan pozitív (negatív) K szám, hogy ha x > K (x < K), akkor f (x) A < ε. A fentiekhez hasonlóan ez azt jelenti, hogy ha az x-et a végtelenségig növeljük (csökkentjük), akkor a függvény értéke egyre közelebb és közelebb kerül egy adott számhoz. Házi feladat Hogy hangozna a definíció, ha x 0 és A is ± lenne?
Tulajdonságok A HATÁRÉRTÉK FŐBB TULAJDONSÁGAI Legyen lim x x0 f (x) = A és lim x x0 g(x) = B. Ekkor: 1 lim x x0 (f ± g)(x) = A ± B. 2 lim x x0 (f g)(x) = A B. f 3 Ha B 0, akkor lim x x0 g (x) = A B Megjegyzés A fenti tulajdonságok igazak akkor is, ha x 0 ± -el egyenlő, viszont ha A-t, vagy B-t cseréljük végtelenre, akkor problémák adódhatnak. A 0 0, vagy típusú határértékekről a differenciálszámítás témakörben ejtünk szót.
Hasznos összefüggések Legyenek a, b, c R, b < 0, c > 0 valós számok. Ekkor: + =, + a = a + =. =, + a = a =. =, ( ) =, ( ) ( ) =. c = c =, ( ) c = c ( ) =. c =, c =, b =, c = c = b = b = 0. b =. Tétel 1 Ha lim x x0 f (x) = +, akkor lim x x0 f (x) = 0 (ha f 0). 1 Ha lim x x0 f (x) = 0, akkor lim x x0 f (x) = + (ha f 0).
Megjegyzések 1 Egy függvénynek nem mindig létezik határértéke. Ha pl. f (x) = sin(x), akkor a lim x f érték nem számolható. 2 Ha létezik a határérték, akkor az egyértelmű. Ez a definícióból következik, de szemléletesen is látszik. 3 Ha egy függvénynek létezik határértéke az x 0 -ban és az egy konkrét A szám, akkor azt mondjuk, hogy f konvergál A-hoz az x 0 pontban (azaz f konvergens x 0 -ban). 4 Ha egy függvénynek létezik határértéke és az +, illetve, akkor azt mondjuk, hogy f + -be, vagy -be divergál (valójában ez a divergencia kicsit eltér a fentitől, hiszen itt létezik a határérték, csak nem véges).
Példák x 0 -ban folytonos függvény határértéke x 0 -ban lim x 1 x 2 4 x 2 = 12 4 1 2 = 3, lim x 2()x 3 +3x +2) = 2 3 +3 2+2 = 16. 0 0-típusú határérték lim x 2 x 2 4 x 2 = lim x 2 (x 2)(x+2) x 2 = lim x 2 (x + 2) = 4. lim x+5 5 ( x+5 5)( x+5+ 5) x 0 x = lim x 0 x( x+5+ = 5) x+5 5 = lim x 0 x( x+5+ = lim 1 5) x 0 1 x+5+ 5 = 0+5+ 5 = 1 2. 5 lim x 0 sin(2x) sinx = lim x 0 2sinxcosx sinx = lim x 0 2cosx = 2cos0 = 2.
Példák ± ± -típusú határérték x 2 4 lim x x 2 x 2 4 lim x x 2 x 2 4x + 3 lim x 3x 2 2 x 2 4x + 3 lim x 3x 2 2 2x 2 4x + 3 lim x 5x 2 2 2x 2 4x + 3 lim x 5x 3 2x + 1 x 4 x = lim x 1 2 x x 4 x = lim x 1 2 x = = 1 4 x = lim + 3 x 2 x 3 2 = 1 3 x 2 1 4 x = lim + 3 x 2 x 3 2 = 1 3 x 2 = lim x 2 4 x + 3 x 2 5 2 x 2 = 2 5 = lim x 2 4 x + 3 x 2 5x 2 x + 2 x 2 = 0
Sorozatok határértéke Definíció Számsorozat (vagy röviden sorozat) alatt egy olyan valós függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza. Jelölés A függvényeknél megszokott jelölés értelmében: a : N R. E helyett azonban gyakoribb az (a n ) n N, vagy egyszerűen az a n jelölés használata. Amennyiben nem kapunk értelmezhetetlen értéket, úgy általában a 0-tól indítjuk n értékét. Megjegyzés Tekintve, hogy a sorozatok is függvények, így érvényesek rájuk a korábban tanultak. Mivel sorozat esetén határértéket + -ben veszünk, így az egyszerűség kedvéért gyakran lim n a n helyett lima n -et írunk.
Sorozatok határértéke Példák sorozatokra a n = 3n + 2. Az első néhány tag: a 0 = 2, a 1 = 5, a 2 = 8, stb. a n = 1 n. Az első néhány tag: a 1 = 1, a 2 = 0,5, stb. Figyeljünk arra, hogy itt n = 1-től indultunk. a n = a n 1 + a n 2, a 0 = 0, a 1 = 1. Ez egy úgynevezett rekurzív sorozat, azaz az n-edik elem az előző elemek alapján számolható ki. A megadott sorozat az ún. Fibonacci-sorozat, melynek minden eleme az előző két elem összege. Az első két elem a 0 és az 1, így a tagok: 0,1,1,2,3,5,8,11,... Példák sorozat határértékére lim n (3n + 5) = +. lim n 1 n = 0. lim n (1 + 1 n )n = e, ahol e = 2,71828182846...
Alkalmazások JÓ, JÓ, DE MIRE JÓ? Időben lejátszódó folyamatok előrejelzése (mi történik a populációval t idő elteltével?). Differenciálszámítás, integrálszámítás (ld. később) és ehhez kapcsolódóan: Függvények vizsgálata. Differenciálegyenletek (hőegyenletek, hullámegyenletek, stb.). Valószínűségszámítás, statisztika. Számsorozatok határértéke alkalmas a generációs változások előrejelzésére (milyen lesz a genetikai diverzitás n generáció múlva?).
Biológiai példa 1. Gömb alakú Arbacia (tengeri sün) petéket kapillárison átpréselve azok közelítően ellipszoid alakúra deformálódnak, majd fokozatosan visszanyerik eredeti alakjukat. Ha az eredeti sejtátmérő 2r 0, a deformáló erők megszűnte után eltelt idő t, a sejt mindenkori hosszátmérője 2r 1, a másik átmérője 2r 2, akkor r 1 és r 2 így írható fel az idő függvényében: r 1 (t) = r 0 1 + r 2 (t) = r 0 1 + ε2 0 1 + 0,64abt cr 0 ε2 0 1 + 0,64abt cr 0 ahol a,b,c > 0 rögzített, az adott fajtól függő állandók. 1 2,
Biológiai példa 1. Kérdések 1 Igaz-e az az (elvárt) állítás, hogy lim r 1 (t) = lim r 2 (t) = r 0? t t (Azaz ha elég sok idő eltelik, akkor a peték tényleg visszanyerik a gömb alakjukat?) 2 Mit jelent ebben a modellben ε 0?
Biológiai példa 2. Egy populáció egyedszáma minden évben q-szorosa az előző évinek. Legyen az első évben az egyedszám n 0 0. Megválasztható-e q úgy, hogy ha az évek száma végtelenhez tart, akkor az egyedszám 2n 0 -hoz konvergáljon? 1. generáció: q 0 n 0 2. generáció: q 1 n 0 3. generáció: q 2 n 0. k. generáció: q k 1 n 0 Ha lehet, akkor mi legyen q ahhoz, hogy lim k q k n 0 = 2n 0 legyen? Ha nem lehet így megválasztani, miért nem?