Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe az elsőfokú kétismeretlees egyeletredszerek a Z halmazo törtéő megoldási módszerei közül amikor lehet, leghamarabb a helyettesítési módszerrel próbálkozuk. Úgyszité amikor lehet, a kiküszöbölés módszerét is alkalmazhatjuk de láti fogjuk, hogy midkét módszerek előyei és hátráyai is lehetek, em beszélve arról, hogy esetekét egyik vagy másik módszer em is alkalmazható, ilyekor még más eljárásokat is beiktatuk. Mit ebbe, mit a következő részbe az egyeletredszerek megoldása sorá dolgot figyelük meg: az egyeletredszer megoldhatóságát valamit a megoldások számát. És midezeket sok példa segítségével végezzük el. A) A helyettesítés módszeréek első lépése az, hogy valamelyik egyeletből kifejezzük valamelyik ismeretlet. Ellebe ezt csak akkor tudjuk megvalósítai, ha az éppe kifejezedő ismeretle együtthatója ivertálható a Z halmazo, ami csak akkor lehetséges, ha ez az együttható relatív prím az -el. Az iverz elemmel való beszorzás utá 3. részbe is vázolt számolási eljárásokat követjük, és a x = b illetve c y = d egyeletek megoldásával találjuk szembe maguk. B) A kiküszöbölés módszere ott kezdődik, hogy pl. az x kiküszöbölése céljából az 1. egyeletet p-vel, a másodikat q-val szorozzuk be (p, q * Z ), úgy, hogy a1 p + a q = 0 a1 p = ( a) q legye, ahoa pl. p = ( a) és q = a 1 megfelel. Így a két beszorzott egyeletet összeadva egy c y = d alakú egyeletet kapuk. Ha eek va megoldása, akkor hasoló módo az y kiküszöbölése (vagy az előző y visszahelyettesítése) utá egy a x = b egyelet megoldásához jutuk, és a továbbiakba miél optimálisabb folytatási lehetőségeket keresük C) A kifejezési módszer beszorzás utá ugyaúgy kezdődik mit az előző módszer, ellebe a p, q Z értékekkel való beszorzás utá em a 0 kialakítására törekszük, haem 1 együttható kialakítására (így az illető ismeretle kifejezhető), vagyis a p + b q = 1 alakú egyeletet kell megoldauk, ami csak az (a, b, )= 1 esetbe eredméyez megoldást. Midezt kokrét gyakorlatok alapjá jobba megérthetjük. D) A zérusosztóval való beszorzás akkor alkalmazható, ha az a 1, a, b 1, b együtthatók valamelyike, vagy egyike sem ivertálható. Ilye esetbe úgy szorzuk be egy k Z zérusosztóval, hogy k a 1, k a, k b 1, k b valamelyike (de e midegyike!) 0 legye, így ezáltal a kiküszöbölés módszeréél hamarabb egy a x = b illetve c y = d alakú egyelet megoldásához jutuk. E) A Z valamelyik ivertálható elemével való beszorzást főleg azért alkalmazzuk, hogy a másik egyelettel olya lieáris kombiációt állítsuk elő amikor az előző módszerek valamelyike sikerese alkalmazható.
Előre kihagsúlyozzuk, hogy az egyeletredszer megoldása az a x = b, c y = d vagy a x + b y = c alakú egyeletek megoldására vezetődik vissza, és ezekről részletese az 1. illetve. részbe írtuk (MatLap /009 illetve MatLap 3/009). 1. Az a 1, a, b 1, b együtthatók midegyike ivertálható a Z halmazo A léyeg jobb áttekithetősége kedvéért az eszmefuttatásukat feladatokkal szemléltetjük. 1. példa: Oldjuk meg Z7 -be a x + 3 y = 4 és 4 x + y = 5 egyeletredszert. Megoldások: Első módszer yilvávalóa a helyettesítési módszer, hisze mid a égy együttható ivertálható, ezért bármelyik egyeletből bármelyik ismeretle kifejezhető. Szorozzuk be az 1. egyeletet pl. = 4 -pal. Mivel (4, 7)= 1, biztosa em hozuk be idege gyököt (részletesebbe lásd az előző, 3. részbe, MatLap 4/009). Ekkor x + 5 y = vagyis x = y + adódik, amit a. egyeletbe helyettesítve, a 3 y = 4 egyelet adódik, és mivel (3, 7)= 1 ezért eek az egyeletek egyetle megoldása va a Z7 -be, ez y= 6, amire x = 6+ = 0. Tehát a feladatak egyetle megoldása va a Z7 -be, és ez éppe a (0,6) számpár. Második módszer: a kiküszöbölés módszerét próbáljuk alkalmazi, ezért az y kiküszöbölése céljából a. egyeletet -pal szorozva, és az 1. egyelettel összeadva a 3 x = 0 egyeletet kapjuk és mivel (3, 7)= 1, ezért gyökvesztés élkül 3 -pal egyszerűsítve x= 0 adódik. Most az x kiküszöbölése céljából a p + 4 q = 0 p = 3q elérése lee célszerű, így a p = 3 és q = választás célravezető. Ez egyeletek p-vel illetve q-val való beszorzása és összegezése utá a 6 y = 1 egyelet adódik, és a (6, 7)= 1 alapjá egy megoldás va, y= 6 éppe megfelel. Harmadik módszer: például a kiküszöbölés módszerévek az y kiküszöbölése az előbbiek szerit az x= 0 megoldáshoz vezet, és ezt behelyettesítve az egyeletredszer két egyeletébe, 3 y = 4 és y = 5 adódik, és mivel (3, 7)= (, 7)= 1, ezért midkét egyeletek 1-1 megoldása va és köye belátható hogy y= 6 megfelel. (Ha ezt a kombiált módszert akarjuk alkalmazi, természetese célszerűbb a köyebbe kiküszöbölhető ismeretlet küszöbölésével kezdei.).1. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = 1 egyeletredszert. Megoldás: Az előbbi megoldási módszerekhez viszoyítva belátható, hogy ezúttal is a helyettesítési módszer a legalkalmasabb. Az 1. egyeletet = 13 -pal szorozva 14 x + y = vagyis y = 11x +, amit a. egyeletbe helyettesítve a 10 x = 0 egyelethez jutuk, amiből a (, 5)= 1 miatt gyökvesztés élkül -pal egyszerűsítve az 5 x = 10 köyebbe megoldható egyelet adódik. Mivel (5, 5)= 5, ezért a megoldások x= + 5 m = 5m + alakúak, ahol (5, 5) m {0, 1,, 3, 4}. Tehát x {, 7, 1, 17, } és így az y = 11x + alapjá a megoldáshalmaz M= {( ; 4 ), ( 7 ; 4 ), (1 ;9 ), (17 ;14 ), ( ;19 )}.
Köye belátható, hogy ameyibe a kiküszöbölés módszerével próbálkoztuk vola, úgy a sorra megoldadó a x = b és c y = d egyeletek midegyikéek 5-5 megoldása va (hisze az előbb kaptuk az 5 megoldáspárt), és az 5 5 megoldáspárból az 5 téyleges megoldáspár kiválasztása hosszadalmas, ezért ebbe az esetbe a kiküszöbölés módszere is hosszadalmas... példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = egyeletredszert. Megoldás: Az előbb is alkalmazott helyettesítés módszer alapjá eljutuk az y = 11x + egyelethez, amit a. egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy 10 x = 1. Mivel (10, 5)= 5 1 hamis, ezért az egyeletredszerek ics megoldása. Ha a kiküszöbölés módszerével akarjuk megoldai, akkor az x kiküszöbölése végett az 1. egyeletet p-vel, a másodikat q-val szorozzuk be úgy, hogy 3 p + q = 0 3 p = 3q legye, ahol pl. p = 3 és q = 3 megfelel, így a beszorzások yomá a 19 x + 1 y = 17 és 6 x + 9 y = 6 egyeletek adódak, amelyek összegezéséből 5 x = 4 amiek ics megoldása, hisze (5, 5)= 5 4 hamis. Az együtthatókba levő szimmetria miatt az y kiküszöbölése is potosa ugyaezeket a számolásokat igéyli. 3. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = egyeletredszert. Megoldás: Az 1. egyeletet 3 = -pal szorozva x + 4 y = 3 vagyis x = y + 3, adódik, ami a. egyelet alapjá a 1 = elletmodáshoz vezet, vagyis az egyeletek ics megoldása a Z -be. Második megoldási módszer gyaát köye észrevehető, hogy ha összeadjuk a két 5 egyelet megfelelő oldalait, akkor a 0 = 1 elletmodást kapjuk. 4. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = 1 egyeletredszert. Megoldás: Ha ezúttal is összegezék a két egyelet megfelelő oldalait, akkor a 0 = 0 igaz állításhoz jutuk, ami elgodolkoztathat, hogy vajo ez azt jeleti-e, hogy az (x, y) Z 5 Z 5 mid a 5 számpára megoldás lee? A választ köye megkapjuk, ha a helyettesítési módszerrel, az 1. egyeletet ezúttal is 3 = -pal szorozzuk, ahoa x + 4 y = 3 vagyis x = y + 3 adódik. Ameyibe ezt behelyettesíteék a. egyeletbe, a semmitmodó 0 = 0 állítást kapák. Tehát, az egyeletredszerek valóba mide y Z 5 megoldása lesz, tehát y { 0, 1,, 3, 4 } ellebe az ezekek megfelelő x megoldásokat az x = y + 3 összefüggés származtatja, így a megoldáshalmaz M ={( 0 ; ), (1 ;3 ), ( ; 4 ), ( 3 ; 0 ), ( 4 ; 4 )}. A következő részbe majd belátjuk, hogy az előző égy példa, egymástól léyegese külöböző 4 esethez tartozik, ellebe a helyettesítési módszer em adhat iformációt eze 4 típus mibelétéről, sem a megoldások számáról, de az adott feltételek mellett ezzel a módszerrel az egyeletredszerek köyűszerrel megoldhatók.. Az 1 a, a, 1 b, b együtthatók em midegyike ivertálható a Z halmazo Nyilvávalóa ezt úgy kell érteük, hogy az együtthatók között va legalább egy ivertálható. Ugyacsak párhuzamba állított feladatoko keresztül szemléltetjük és figyeljük meg, hogy ez a helyzet mibe változtatja az előbbi eszmefejtésüket. Természetese, továbbra is megmarad a helyettesítési módszerrel való biztos megoldhatósági lehetőség, hisze legalább egyik
egyeletből, kifejezhető legalább egyik ismeretle. Ellebe érdemes lee tudi, hogy milye más lehetőségek maradak, vagy adódak! Folyamatosa erre is választ kapuk! 5. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a 3 x + y = 4 és x + 3 y = 1 egyeletredszert. Megoldás: A Z8 -ba csak a 3 ivertálható, így az 1. egyeletet 3 = 3 -pal szorozva, az x + 6 y = 4 x = y + 4 adódik, amit a. egyeletbe helyettesítve a 7 y = 1 egyeletet kapjuk, és mivel (7, 8)= 1 ezért az egyeletek csak egyetle megoldása va, köye belátható, hogy y = 7 megoldás. Erre kapjuk, hogy x =, vagyis ebbe az esetbe is éppe egy megoldásuk va. Vegyük észre, hogy a 3 kivételével a többi együttható mid zérusosztó a Z8 -ba, ezért midegyikéhez található olya szám a Z8 -ba, amellyel szorozva 0 -pot kapuk. Erre alapozva egy második megoldási módszer adódik, ha például az 1. egyeletet beszorozzuk 4 -pal (figyelem, a (4, 8)= 4 miatt idege gyököket is kaphatuk), akkor 4 x = 0 adódik amit gyökveszteség miatt em egyszerűsíthetjük 4 -pal! A (4, 8)= 4 alapjá az egyeletek 4 megoldása va, ezek x= 8 m = m, ahol m {0, 1,, 3}, vagyis x { 0,, 4, 6 }. Az y (4,8) meghatározása céljából máris két lehetőségük adódik. Az egyik az, hogy ezeket az értékeket redre visszahelyettesítjük a két egyeletbe. Azoal belátható, hogy ilymódo elég hosszadalmas megoldai az adódott a y = b alakú egyeleteket, amelyek száma esetükbe éppe 8. A másik lehetőség az, hogy ameyibe lehet, az egyeletek valamelyikét (akárcsak a megoldás kezdeté) úgy szorozzuk be valamelyik zérusosztóval, hogy ezúttal x együtthatója legye ulla (de az y együtthatója e legye ulla). A. egyeletet ugyacsak 4 -pal szorozva 4 y = 4 adódik, és a (4, 8)= 4 alapjá eek az egyeletek is égy megoldása va, éspedig m y= 1+ 8 = m + 1, ahol m {0, 1,, 3}, vagyis y {1, 3, 5, 7 }. Nem marad más hátra, (4,8) mit az, hogy a képezhető 4 4=16 számpárról megállapítsuk, hogy melyek is a megoldások. Ezt leghamarabb az egyeletredszer egyeleteibe való visszahelyettesítéssel végezhetjük el, és mideképpe járhatóbb útak tűik, mit az előbbi próbálkozás. Ellebe agyszámú y megoldás eseté ez sem rövid eljárás, de például egyszerű számítógépes program alkalmazásával gyorsa elleőrizhetők, hogy melyek a téyleges megoldások, és melyek jöttek be idege gyökek. Esetükbe az egyetle (x, y) megoldás csak a (, 7 ) a többi idege gyök. 6.1. példa: Oldjuk meg Z10 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = 1 egyeletredszert. Megoldás: Ezúttal is a Z10 -be is csak a 3 az ivertálható, így az 1. egyeletet 3 = 7 -pal szorozva x + 4 y = 8 x = 6 y + 8 adódik, amit a. egyeletbe helyettesítve a 5 y = 5 egyeletet kapjuk, amiek (5, 10)= 5 megoldása va y= m + 1 ahol m {0, 1,, 3, 5}.Az x = 6 y + 8 összefüggés alapjá a megoldáshalmaz M= {( 0 ;1 ), ( ;9 ), ( 4 ; 7 ), ( 6 ;3 ), (8 ;5 )}. Egy második módszerkét, ameyibe összeadjuk a két egyeletet az 5 z = 5 alakú egyelet
adódik (z= x+ y) amelyek a megoldásai z= x+ y= m + 1, és m {0, 1,, 3, 5}, így az x= m + 1- y visszahelyettesíthető valamelyik eredeti egyeletbe ahoa a már felsorolt 5 megoldáspárt kapjuk. Természetese a B) E) módszerek midegyike többé vagy kevésbé hosszabb számolások utá szité megoldáshoz vezetek. 6.. példa: Oldjuk meg Z10 -be a 3 x + y = 4 és x + 3 y = egyeletredszert. Megoldás: A két egyeletet összeadva az 5( x + y) = 6 5 z = 6 adódik (z= x+ y), és mivel (5, 10)=5 6 hamis állítás, ezért az egyeletek, és így az egyeletredszerek sics megoldása. Második módszer: a Z10 ivertálható elemei 3, 7 és 9, így az 1. egyeletet 3 = 7 -pal szorozva x + 4 y = 8 x = y + 8 amit a. egyeletbe helyettesítve 7 y = 6 adódik, és a (7, 10)= 1 alapjá egyetle megoldás va, és y = 8 megfelel, amit az 1. egyeletbe visszaírva 3 x = 8 adódik, és a (3, 10)= 1 alapjá 1 megoldása va, és x = 6 megfelel, de a ( 6,8 ) em elégítik ki az. egyeletet. Belátható, hogy ha a egyelet midegyikét az 5 zérusosztóval szorozák be, akkor az 5 x = 0 és 5 y = 0 egyeletekhez juták, amelyekek az (5, 10)= 5 alapjá 5-5 megoldása va, és ezek leelleőrzése eléggé hosszadalmas. 7. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y = és 4 x + y = 6 egyeletredszert. Megoldás: Mivel a Z8 -ba az ivertálható elemek 3, 5 és 7, ha az 1. egyeletet 3 = 3 -pal szorozzuk, 6 x + y = 6 y = x + 6 adódik, ami a. egyelet alapjá a 0 = elletmodáshoz vezet. Második módszer: a két egyeletet összegezve 6 x + 5 y = 0 5 y = x adódik amit 5 = 5 -pal beszorozva y= x, amit behelyettesítve az. egyeletbe 0 = 6 elletmodás adódik (az 1. egyeletbe helyettesítve csak 0 = 0 azoosság adóda). Harmadik módszer: ha az egyeleteket redre a 4 zérusosztóval szorozzuk a két egyeletből 4 y = 0 és 0 = 0 adódik, és a (4, 8)= 4 alapjá égy y megoldás va, ezek y { 0,, 4, 6 } amelyeket visszaírva a két egyeletbe a következő egyeletpárokat kapjuk: ( x = és 4 x = 6 ), ( x = 4 és 4 x = ), ( x = 6 és 4 x = 6 ), ( x = 0 és 4 x = ). A (4, 8)= 4 és 4 6 illetve 4 hamis állítások alapjá a 4 x = 6 illetve 4 x = egyeletekek ics megoldásuk a Z8 -ba. 8. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y = 1 és 4 x + y = 6 egyeletredszert. Megoldás: Mivel a Z8 -ba az ivertálható elemek 3, 5 és 7, ha az 1. egyeletet 3 = 3 -pal szorozzuk, 6 x + y = 3 y = x + 3 adódik, ami a. egyelet alapjá a 0 = 0 adódik. Tehát x Z 8 és az y = x + 6 alapjá M={( 0 ;3 ), (1 ;5 ), ( ; 7 ), ( 3 ;1 ), ( 4 ;3 ), ( 5,5 ),( 6, 7 ), ( 7,1 ) }. Második módszer: az 1. egyeletet 4 zérusosztóval szorozva a 4 y = 4 egyeletet kapjuk, amelyek a (4, 8)= 4 alapjá égy megoldása va, ezek y= 1 m +, ahol m {1, 3, 5, 7}. Ha visszahelyettesítjük az egyeletredszerbe, oa megkapjuk az x megoldásokat is, mide y
megoldás eseté éppe két x megoldást. Harmadik módszer gyaát vegyük észre, hogy az egyeletek bármelyikét az 5 vagy 7 ivertálható elemekkel beszorozva az 5 3 = 7 illetve az 7 3 = 5 alapjá ivertálható együtthatókat kapuk, így alkalmazható a helyettesítési módszer. Megjegyzés: ha valamelyik egyeletbe az x együtthatója, a másik egyeletbe pedig az y együtthatója ivertálható, akkor a helyettesítési módszer a legalkalmasabb megoldási módszer! 3. Az a 1, a, b 1, b együtthatók egyike sem ivertálható a Z halmazo Ebbe az esetbe idulásból em alkalmazhatjuk a helyettesítési módszert, de a B) E) módszerek bármelyikével próbálkozhatuk (vigyázat, mert esetekét a beszorzásokból adódó idege gyököket ki kell szűrük!). Sok esetbe ha a kiküszöbölés módszerével próbálkozuk, akkor esetekét egy zérusosztóval való beszorzást miatt idege gyökök kerülhetek be, vagy hosszas számolások aódhatak, a meg 0 = 0 semmitmodó (haszálhatatla) azoosságot is kaphatuk. 9. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a 3 x + y = 4 és x + 3 y = 1 egyeletredszert. Megoldás: A kiküszöbölés módszeréek (ezúttal a D) módszer) alkalmazása céljából ha az 1. egyeletet 3 -pal szorozzuk akkor 3 x = 0 egyelet adódik, ha pedig -pal szorozák, akkor a 4 y = egyelet adódik. Az elsőek (3,6)= 3, a másodikak (,6)= megoldása va, és ezek x { 0,, 4 }, illetve y {, 5 }, és a 6 számpárból csak a (,5 ) megoldás, a többi idege megoldás. Második módszer: Az első egyeletet az 5 ivertálható elemmel beszorozva a 3 x + 4 y = egyelet adódik, amit a. egyelettel összeadva az 5 x + y = 3 adja, ahoa bármelyik ismeretle kifejezhető, az optimálisabb kifejezés az y = x + 3 amit az 1. egyeletbe visszahelyettesítve az 5 x= 4 egyeletet adja és az (5, 6)= 1 alapjá egyetle megoldása va, x= éppe megfelel, és erre y= 5. Ez a megoldás esetükbe rövidebb mit az előbbi. 10.1. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 3 y = 3 és 4 x + y = 4 egyeletredszert. Megoldás: A két egyeletet összeadva az 5 y = 1 egyelet adódik, az (5, 6)= 1 alapjá egyetle megoldása va, y= 5 megfelel, amit ha visszaíruk a két egyeletbe x = 0 és 4 x = 0 adódik, és ahoa x = 0 és x = 3, ezért a megoldáshalmaz M= {( 0,5 );( 3,5 )}. Második módszer: Az 1. egyeletet az 5 ivertálható elemmel, a másodikat a zérusosztóval szorozva és összegezve y = 5 adódik, amit visszahelyettesítve a két egyeletbe, az előző megoldásokat kapjuk. Harmadik módszer gyaát, ha a vagy a 3 zérusosztókkal szorzuk, akkor a x = b illetve c y = d alakú egyeleteket kapuk, ezeket megoldva csak az előző két számpár felel meg. 10.. példa: Oldjuk meg Z1 -ba a 9 x + y = 3 és 3 x + 4 y = egyeletredszert. Megoldás: A két egyeletet összeadva a 6 y= 5 egyelet adódik amiek a (6, 1)= 6 1 hamis állítás alapjá ics megoldása. Második módszer: ivertálható elemekkel szorzuk be. Ha az 1. egyeletet 7 -pal szorozzuk és ezt kivojuk a. egyeletből, akkor a y = 5 egyelet kapjuk,
amiek a (, 1)= 5 hamis állítás alapjá ics megoldása. Úgyszité ha a. egyeletet 5 -pal szorozzuk és az 1. egyelettel összegezzük, akkor a 10 y = 1 egyelet adódik, amiek a (10, 1)= 1 hamis állítás alapjá szité ics megoldása. 11. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y = és 4 x + y = egyeletredszert. Megoldás: A két egyelet összegezése a 0 = 4 hamis állítást adja, vagyis az egyeletredszerek ics megoldása. Ellebe a C) módszer em alkalmazható sikerrel, mert a p + 4 q = 1 illetve 4 p + q = 1 egyeletekek a (, 4, 6)= 1 hamis állítás alapjá ics megoldásuk. A 3 zérusosztóval való beszorzás a 0 = 0 semmitmodó azoossághoz vezet, így ez a próbálkozás sem válik be. Ellebe ha akár az 1. egyeletet, akár a. egyeletet az 5 szimmetrizálható elemmel szorozzuk a másik egyelettel együtt a 4 x + y = 10 és 4 x + y = alapjá a 10 = elletmodást adja, a második esetbe pedig a x + 4 y = 10 és x + 4 y = alapjá úgyszité a 10 = elletmodás adódik. Ha jól megfigyeljük, akkor az elletmodás ie adódik: x + 4 y = 5 (4 x + y) vagy 4 x + y =5 ( x + 4 y ) és 5 = 4. 1. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y = 4 és 4 x + y = egyeletredszert. Megoldás: A két egyelet összegezése ezúttal a semmitmodó 0 = 0 azoossághoz vezet. Úgyszité, az előbbi számolások alapjá sem a C) módszer, sem a 3 zérusosztóval való beszorzás em vezet eredméyre. Ellebe az 5 -pal való beszorzás alapjá rájövük, hogy 5( x + 4 y 4) = 4 x + y sőt mi több fordítva is igaz, vagyis 5(4 x + y ) = x + 4 y 4. Akármelyik változatra is figyelük az következik, hogy egyik egyelet a másik egyeletek a 4 -pal való beszorzottja, ezért a megoldadó egyeletredszer pl. x + 4 y = 0 és 5 ( x + 4 y )= 0 és az (5, 6)= 1 alapjá gyökvesztés élkül egyszerűsíthetük 5 -pal. Ebből kifolyólag a megoldadó egyeletredszer egyetle egyeletből áll, a x + 4 y = 0 x + 4 y = 4 egyeletből. A feladatot és a részletes megoldását a. részbe megtaláljuk (MatLap 3/009, 5. példa). Az előbbiekbe bemutatott, agyszámú példák segítségével szemléltetett helyettesítési, kiküszöbölési vagy éppe más módszerek agyo kevés esetbe egedek következteti a kezdetbe felvetett kérdésük megválaszolására: az egyeletredszer megoldhatóságára valamit a megoldások számára. De midezek elleére a megoldási módszerek (az illető feltételek mellett) midig eredméyre vezettek, vagyis gyakorlati szempotból fotos az a téy, hogy ezekkel a módszerekkel megoldhatjuk a feladatokat (de előfordulhat, hogy esetekét hosszasabb számolásokba kell bocsátkozuk). Éppe ezért természetes az az elvárás, hogy a megoldási eljárások mellett, a feltett két kérdésre is választ kapjuk, a meg a áttekithetőbb, rövidebb módszerek utá kutassuk, és ezáltal átfogóbba, teljességébe láthassuk a kétismeretlees egyeletredszerek megoldását. Erre a következő részbe bemutatásra kerülő, determiások segítségével törtéő megoldás ad kielégítő választ.