KAPSIK KÁMÁ IPOMAERV
BUAPESI MŰSZAKI ÉS AZASÁUOMÁYI EYEEM ÉPÉSZMÉRÖKI KAR HIROIAMIKAI RESZEREK ASZÉK IPOMAERVEK
BUAPESI MŰSZAKI ÉS AZASÁUOMÁYI EYEEM ÉPÉSZMÉRÖKI KAR HIROIAMIKAI RESZEREK ASZÉK KAPSIK KÁMÁ IPOMAERV Spektrál módser alkalmaása a hő- és áramlástaba Koules: r. Hegedűs erec Aduktus émaveető: r. Hegedűs erec Aduktus Budapest 4
Serő og Klapcsk Kálmá 4. Serő og r. Hegedűs erec 4.
v
YIAKOZAOK Elogadás ylatkoat Ee terveés eladat a Budapest Műsak és adaságtudomáy Egyetem Hdrodamka Redserek aséke által a plomaterveés és Sakdolgoat eladatokra előírt valamey tartalm és orma követelméyek maradéktalaul eleget tes. E terveés eladatot bírálatra és ylváos előadásra alkalmasak tartom. A beadás dőpota: témaveető ylatkoat a öálló mukáról Alulírott Klapcsk Kálmá VQW a Budapest Műsak és adaságtudomáy Egyetem hallgatóa bütetőog és egyelm elelősségem tudatába keletem és saátkeű aláírásommal gaolom hogy et a dplomatervet/sakdolgoatot meg em egedett segítség élkül saát magam késítettem és a terveés/sakdolgoat ll. dplomaterv eladatomba csak a megadott orrásokat hasáltam el. Mde olya rést melyet só sert vagy aoos értelembe de átogalmava más orrásból átvettem egyértelműe a orrás megadásával megelöltem. Budapest 4. ecember. sgorló hallgató v
ARAOMJEYZÉK Elősó... Jelölések egyéke... v. Beveetés... 7.. élktűések... 7.. Spektrál módser törtéet áttektése... 8.3. Áramlástechka alkalmaások....4. Egy egyserű példa... 4.4.. Hőveetés aaltkus megoldása... 5.4.. Másodredű véges dereca módser... 6.4.3. Súlyoott maradékok módsere Ortogoáls vetítés... 9.4.4. Követketetések és kérdések... 3. Spektrál Módser Matematka Háttere... 35.. Iterpolácó pseudó spektrál módser... 37... Polomáls terpolácó... 37... skrét ortogoáls proekcó... 38..3. Stabltás problémák... 4.. alerk módser umerkus tegrálással... 4... umerkus tegrálás... 4... Ortogoaltás... 43... Pseudó spektrál háló... 44... em perodkus perem... 45... Roots rd... 46... Etrema plus Edpots rd... 48..3. Perodkus perem... 5..3.. Etrema rd... 5..3.. Roots rd... 53..3.3. Eltolt háló... 55..4. Mátr Sorat rasormácó... 56.3. erváló mátr... 57.3.. Mátr sorat trasormácó kerestül... 57.3.. A derváló mátr elemeek aaltkus meghatároása... 58.4. erváló Mátrok smmetrkus problémák megoldásáho... 59.4.. Smmetrkus háló és derváló mátr... 6 3. Hőveetés Parabolkus Parcáls erecál Egyelet... 65 3.. em perodkus peremeltétel... 65
3... Példa em perodkus peremre... 66 3.. Perodkus peremeltétel... 67 3... Példa perodkus peremeltételre... 68 4. Hullámegyelet Hperbolkus Parcáls erecál Egyelet... 7 4.. Aaltkus megoldás... 7 4... Rugalmas rúd em ulla kedet elmodulással... 7 4... Rugalmas rúd em ulla kedet sebességgel... 7 4..3. Rugalmas rúd általáos eset... 7 4.. A hullámegyelet általáos megoldása... 7 4.3. em perodkus peremeltétel... 73 4.3.. Példa em perodkus peremre... 74 4.4. Perodkus peremeltétel... 76 4.4.. Példa perodkus peremeltételre... 77 4.5. Sűrő elárások... 79 4.5.. Sűrő alkalmaása sakadásos kedet eltétel eseté... 8 5. Buborékmodell... 85 5.. Matematka modell... 85 5... átér... 85 5... olyadéktér... 86 5..3. Peremeltételek... 87 5.. A megoldadó kööséges derecálegyelet redser... 88 5... A sámítás tartomáy... 88 5... A dmeótla egyeletredser... 89 5..3. A peremeltételek keelése... 9 5..4. A kööséges derecálegyelet redser... 9 5.3. A megoldás módserek össehasolítása... 9 6. Össeoglalás... 96 7. Ktektés... 8. Summary... 9. Irodalomegyék... 3 Apped A. Matematka alapok... 6 A.. eárs terek és tuladosága... 6 A... eárs terek... 6 A... Ortogoaltás... 8 A..3. Ortogoáls Proekcó... 9 Apped B. erváló Mátrok leveetése... B.. ourer redser... B.. hebyshev redser... 3 B... Roots rd... 4
B... Etrema rd... 6 Apped. A Buborékmodellhe kapcsolódó leveetések..... Koordáta trasormácó...... Eergaegyelet a buborék belseébe...... Eergaegyelet a olyadék térbe... Apped. Matlab kódrésletek... 4.. Hőveetés egyelet megoldása másodredű cetráls dereca sémával.... 4.. Hőveetés egyelet megoldása alerk spektrál módserrel... 5.3. Hőveetés példa megoldása kollokácós módserrel em perodkus perem... 6.4. Hőveetés példa megoldása kollokácós módserrel perodkus perem...... 7.5. Hullámegyelet megoldása kollokácós módserrel em perodkus perem... 8.6. Hullámegyelet megoldása kollokácós módserrel perodkus perem.. 9
EŐSZÓ A dolgoatba a parcáls derecálegyeletek egy kevésbé smert umerkus megoldás módserét a spektrál módsert smertetük meg a olvasóval. Bemutatuk a módser matematka hátterét valamt a előyet és hátráyat külöböő alkalmaás példáko kerestül. A spektrál módser témakörébe sámos dege yelvű köyv és olyóratckk áll redelkeésre vsot eek ehee érthetőek és sok utáaárás sükséges mre valak öállóa képes spektrál parcáls derecálegyelet megoldó kódot ír. A dolgoat kdolgoása sorá arra kocetráltuk hogy a spektrál módsert mél érthetőbbe egyetem hallgatók sámára s eldolgoható ormába mutassuk be. agy hagsúly ektettük a matematka alapok és a ehee érthető leveetések bemutatására. A elmélet smereteke túl éháy egyserű alkalmaás példá kerestül hőveetés és hullámegyelet bemutatuk programoás techkákat: parcáls derecálegyelet elbotását kööséges derecál egyeletredserré általáos peremeltétel keelés techkákat smmetrák khasálásáak lehetőséget. Egy össetett emleárs parcáls derecálegyelet redser buborékmodell spektrál módserrel törtéő megoldására s mutatuk példát. A Apped eeetebe a megértést segítő Matlab kódrésletek s olvashatók valamt a dolgoatho csatolt melléklete s elérhetők. A dolgoattal a első magyar yelvű egyetem egyetet s meg kíváuk alapo a későbbekbe össetettebb problémák spektrál módserrel törtéő megoldásaval kegésítve. * * * Kösöettel tartoom a koulesemek r. Hegedűs erecek ak MSc-s élévem alatt végett eladatamba Öálló eladat K segítséget yútott kötük e plomaterv elkésítésébe s. Kösööm a sülemek hogy végg támogatták egyetem taulmáyamat. Budapest 4. ecember. Klapcsk Kálmá
JEÖÉSEK JEYZÉKE Spektrál módserek elölés redsere -edk básüggvéy a w m -edk básüggvéy együtthatóa ortogoáls vetítése bása köelített üggvéy P -ed okú köelítő üggvéy -edk hebyshev polom w -edk ourer bás agrage karakterskus bás hálóüggő súlyüggvéy -edk ostáspotba vett dskrét súly R a reduum o együttható mátr derváló mátr háló és umerkus séma üggő egrees o reedom sabadság ok ka meységek 3. eeetbe előorduló meységek: c hőveetés téyeő sűrűség álladó yomáso vett ahő hőmérsékletveetés téyeő u t hőmérséklet eloslás t dőpotba kedet eltétel hőmérsékleteloslás peremeltételek rúd hossa 4. eeetbe előorduló meységek: húóerő sűrűség hullámteredés sebesség v
u t g a rúd elmodulása helyek t kedet eltétel elmodulás kedet eltétel sebesség rúd hossa pllaatba 5. eeetbe előorduló meységek: R t buboréksugár R t p p t p t u u c p r t r t r t r t buborékal sebesség yomás a buboréktól távol hőmérséklet a buboréktól távol gáyomás a buborék belseébe olyadék yomása a buborékal mellett gátér sebessége olyadéktér sebessége hőmérséklet meő a gátérbe hőmérséklet meő a olyadéktérbe ahővsoy a gá hőveetés téyeőe a olyadék hőveetés téyeőe a olyadék álladó yomáso vett ahőe a olyadék sűrűsége a olyadék damka vskotása elület esültség
. BEVEZEÉS.. élktűések A alkalmaott matematkába és tudomáyos sámításokba smert umerkus módserek egyk családa a spektrál módser mely derecálegyeletek agy potosságú megoldására solgál. A spektrál módserek hasálhatóak kööséges derecálegyeletek parcáls derecálegyeletek és saátérték problémák megoldásáho. A módser léyege hogy a smert vagy smeretle üggvéyt megelelőe megválastott básüggvéyek például ourer sor vagy hebyshev polomok össegével köelítük mad megválastuk a básüggvéyekhe tartoó együtthatókat úgy hogy a reduum a egakt és a umerkus megoldás külöbsége mmáls legye vagys a derecálegyelet és a peremeltételek a lehető legpotosabba k legyeek elégítve. A dolgoat céla a spektrál módserek résletes bemutatása a matematka hátteréek kdolgoása előyeek és hátráyaak bemutatása egyserű alkalmaás példáko kerestül. A dolgoatba sakrodalm hvatkoásoko kerestül áttektük a spektrál módserek törtéet hátterét mad példákat mutatuk áramlástechka alkalmaásokra. Bemutatuk a módserek matematka alapat a leveetéseket a klasskus em terpolácós alerk módsertől a moder terpolácós kollokácós módserg. agy gyelmet ordítuk aokra a leveetésekre amelyek em trválsak megértésük ehékes és a sakrodalomba s ehee megtalálhatóak. A matematkába két gyakra előorduló parcáls derecálegyelete a hőveetés egyelete és a hullámegyelete kerestül vsgáluk a külöböő umerkus sémák kovergeca sebességét és ástartását potos megoldásho képest dőbel eltolódás. A két egyserű példa megoldása sorá serett tapastalatokat elhasálva egy boyolultabb alkalmaás példá buborékmodell kerestül mutatuk be a peremeltételek keelését koordáta trasormácót és smmetrák khasálásáak lehetőségét. A dolgoat kdolgoása sorá gyeksük mél semléletesebbe és egyserűbbe smertet a külöböő spektráls módsereket hogy köye érthető legye olya egyetem dákok sámára s akk korábba em hallottak a spektrál módserekről. Habár a spektrál módserek meglehetőse korrottak és sámos dege yelvű sakrodalom áll redelkeésre magyar yelvű köyv még em sületett a témába. A dolgoattal céluk a első magyar yelvű egyetem egyet alapaak leektetése melyet a későbbekbe tovább példákkal és megoldadó problémákkal egésítük k. 7
.. Spektrál módser törtéet áttektése A derecálegyeletek umerkus megoldásáak egyk lehetséges móda a spektrál módser. A módser kulcsa a hely sert derváltak mél potosabb előállítása. A smert kedet eltétel vagy smeretle üggvéyt egy üggvéysor segítségével köelítük mely alkalmasa megválastott básüggvéyek a polomok vagy harmokus üggvéyek leárs kombácóából tevődk össe. Mde básüggvéy meg va sorova egy hoá tartoó együtthatóval. A így kapott üggvéy eladata a megoldás mél potosabb köelítése. A a potos üggvéy és a köelítésül solgáló üggvéysor köött külöbség a reduum. A céluk hogy a derecálegyelet és a peremeltételek a lehető legpotosabba k legyeek elégítve aa a reduum mmáls legye. Ehhe egy súlyüggvéyt veetük be melyre ortogoáls proekcót végeve a reduum mmalálható. A kora spektrál módsereket a sakrodalomba súlyoott maradékok módseréek weghted mea resdual method s evek lásd: layso és Scrve 966. A külöböő spektrál módserek a reduum mmalálásáak módába térek el. A ő ellegetesség am megkülöböet a spektrál módsereket a véges elem véges térogat és véges derecasémáktól a hogy hogya válastuk meg a básüggvéyeket. A klasskus spektrál módserek básüggvéye a adott térrése olytoosak végteleser derecálhatóak és köel ortogoálsak kcs a básüggvéyek belső sorataból képett mátr sávsélessége vagys globáls ellegű megköelítést alkalma. Eel sembe a véges elem véges térogat és véges dereca sémák eseté a teret elostuk ksebb elemekre ostáspotokra és a ostáspotok köryeetébe alacsoy oksámú polom segítségével köelítük a megoldást. Eek a bások lokáls ellegűek csak egy adott pot köryeetébe vaak értelmeve csak ott em ulla köel ortogoálsak de em végteleser derecálhatóak. A bás- lletve súlyüggvéy megválastása sert három kora spektrál módsert külöbötetük meg év sert: alerk kollokácó és a tau módser. A alerk módser ellegetessége hogy a bás- és a súlyüggvéyek megegyeek w lásd: alerk 95. A básüggvéyek sma végteleser derecálható üggvéyek és egyekét kelégítk a peremeltételeket. alerk módser eseté em hasáluk ostáspotokat haem olytoos üggvéyekkel dolgouk. Ekkor a skalársoratot a üggvéyek tegrálásával sámítuk k. A meghatároadó smeretleek a básokho tartoó együttható értékek a külöböő dősteke. Kollokácós módser eseté a teret a véges dereca sémákho hasolóa elbotuk kollokácós potokra ekkor a súlyüggvéyek a kollokácós potora köpotosított rac delta üggvéyek. E a módser btosíta hogy a derecálegyelet a kollokácós potokba potosa k legye elégítve. A smeretleek a kollokácós terpolácós potokba vett üggvéyértékek a kérdéses dőpllaatokba. A tau 8 w
módser hasoló a alerk módserhe aoba egyk básüggvéyek sem kell kelégítee a peremeltételeket eért kegésítő egyeletek sükségesek melyek btosíták a peremeltételek kelégülését. A kollokácós módser elősör Slater 934 és Katorovc 934 publkácóába elet meg külöleges alkalmaások kapcsá. Később raer et al. 937 a kööséges derecálegyeletek egyk általáos megoldás módserévé elestette tovább váltoatos básüggvéyeket és tetsőlegese megválastott kollokácós potokat hasáltak. A kollokácós potok eloslásáak melyet egy adott básüggvéy redserhe válastuk dötő serepe va abba hogy mlye potos megoldás érhető el et acos 938 állapította meg eel megteremtve a ortogoáls kollokácós módser alapa. A megállapítást többe elhasálták kedet érték probléma megoldása sorá básüggvéykét hebyshev polomokat válastva például: leshaw 957 leshaw és orto 963 Wrght 964. Vlladse és Stewart 967 továbbelestette a módsert alkalmassá téve peremérték problémák megoldására. A spektrál módsert térbe perodkus problémák eseté Kress és Olger 97 és Orsag 97 alkalmata elősör parcáls derecálegyelet megoldására. Előbb ourer - utóbb pseudo-spektrál módserek evete. A első komolyabb probléma ahol parcáls derecálegyelet megoldására spektrál módsert hasáltak Slberma 954 ak alerk módser segítségével végett meteorológa modelleést. A alerk módser egy módosított ormáa a tau módser melyek alkalmaásával agy potosságú eredméyeket ért el Orsag 97 áramlásta leárs stabltás problémák megoldásába. ottleb és Orsag 977 taulmáya a első átogó matematka össegés a spektrál módser elméletéről mely leed a problémák séles válastékát. A 98-as évek másodk elétől egy ú módser vált egyre épserűbbé. A auss kvadratúra ormulák segítségével a alerk módserbe sereplő tegrálokat umerkusa köelítették. A auss kvadratúra egy adott üggvéy tegráláak köelítése boyos potokba vett üggvéyértékek súlyoott össegével. A auss éle tegrálás léyege hogy a súlyokat és a abscssákat s m válastuk. Ortogoáls básredser eseté a auss kvadratúra ormulák segítségével a terpolácós potok optmáls eloslása meghatároható lásd Mercer 98. A kollokácós módserhe hasolóa a smeretleek a megoldás kvadratúra potokba vett értéke. A sakrodalom et a megköelítésmódot alerk módser umerkus tegrálással -I eve A 98-as évek végére a spektrál módserek váltak a lamárs turbules átmeet és a turbules áramlások kutatásáak uralkodó umerkus esköévé. A et követő év eredméyes volt sámos köyv és ckk sületett a spektrál módser elmélet elődéséről és gyakorlat elhasálhatóságáról. A első megelet köyv auto et al. 988 mely a spektrál módser áramlástaba törtéő alkalmaásat mutata be. Boyd 989 és másodk kadás agy résletességgel és taácsokkal ellátva íra le a spektrál algortmusokat. orberg 996 bemutata a spektrál 9
kollokácós módser gyakorlat megvalósításáak módát mely tartalma példa llustrácókat megértést solgáló magyaráatot orta kód résleteket és tömör eeeteket a tubules áramlásokba és dőárás előreelésbe törtéő alkalmaásról. reethe beveető a spektrál kollokácós módserbe amelybe sámos Matlab példa s található. A spektrál módsert más területe s alkalmaták például elsőredű hperbolkus problémákho admor 998 és ottleb és Hesthave hullámegyelet megoldásáho ohe és asmmetrkus problémákho Berard et al. 999. A 98-as évek végére a klasskus spektrál módser meglehetőse kdolgoottá vált eért a magasabb redű módserek össetett geometrá törtéő alkalmaását kedték kutat. uaro 997 a spektrál elemes módsert vsgálta ellptkus peremérték probléma kapcsá össetett geometrába olya áramlásba ahol domás a kovekcó. A első átogó köyv a spektrál módser össetett geometrába törtéő alkalmaásáról körül elet meg. Karadaks és Shrew 999 egységes redserbe oglalta a spektrál elemes módsert lásd: Patera 984 és a h-p véges elem módsert h-p te elemet method mely a struktúrált és struktúrálatla térbe törtéő alkalmaásra s mutat példát md össeyomható és össeyomhatatla áramlás eseté. A véges elem módserekél a megoldás potosságáak övelése három módserrel lehetséges. A legegyserűbb a elemsám övelése h reemet ekkor a ostáspotok köött távolság h csökke mköbe a potokra llestett lokáls polom oksáma p váltoatla et általába ott alkalmauk ahol a áramlás ellemők rohamosa váltoak pl.: yíróréteg. A másk lehetséges módser sma megoldás eseté ha a elemsámot váltoatlaul hagyuk vsot a ostáspotokra llestett polom oksámát övelük p reemet. A h-p véges elem módser a kettő kombácóa lásd: Babuška et al. 98 uo és Babuška 986. evlle et al. magasabb redű sémákat kollokácós és spektrál-elemes módser hasált össeyomhatatla áramlások a ka térbe törtéő megoldására. Schwab 988 sámos hasos elmélet eredméyel solgál magasabb redű polommal törtéő köelítés tuladoságaról össetett geometrá..3. Áramlástechka alkalmaások Ahogy a törtéelm áttektés sorá már említettük a spektrál módserek a áramlásta problémák egyk ő umerkus módserévé váltak a 98-as évek végére. A spektrál módsert a áramlástaba skerrel alkalmaták a lamársból turbules áramlásba törtéő átmeet smulácóáho a turbules áramlások sámításáho lletve örvéyesség umerkus modelleéséhe stabltás problémákba össeyomható és össeyomhatatla áramlásokba s. A áramlások legegyserűbb ormáa a lamárs réteges áramlás. A lamárs áramlásokba a sebességeloslás sabályos a egymás mellett áramló olyadékrétegek ayaga csak a molekulárs dúó matt keveredk egymással. A lamárs
áramlások lehetek stablak vagy stablak. Stabl a áramlás ha egy ks avarás a áramlásba csökke stabl a áramlás ha a avarás öveksk. A legtöbb áramlás lamárskét dul mad stabllá válk térbe vagy dőbe míg végül a áramlás turbulessé válk. A turbules hosslépték turbules örvéy mérete séles tartomáyba 6 agyságred váltok. A legagyobb lépték a geometra tér méretevel aráyos. A legksebb örvéymérete a molekulárs vskotás matt dsspácó et k hatását a turbules mogás eerga hővé alakul. A makroskopkus hosslépték és a mkroskopkus legksebb hosslépték Kolmogorov hosslépték aráyát a alább össeüggés ee k: ahol: a Reyolds sám: ahol: a kematka vskotás és 3/ 4 Re. u Re. u u' / 3 / ahol u' a gadoó sebesség kompoes a elülvoás pedg a dőátlagolást elöl. Aért hogy mde léptéket leíruk ráyokét db ostáspot sükséges lásd: auto et al. 6: ahol a c c.3 soró értéke a alkalmaott umerkus sémától üggőe válastuk. A turbules áramlások két egyserű típusa a homogé és a otróp turbuleca. Homogé turbuleca eseté a átlagolt áramlás ellemők eltolástól üggetleek aa a és ráyba a gadoó sebességkompoesek RMS y u v és w u RMS Root Mea Square pl.: u / értéke álladóak a teles sámítás tartomáyo. Iotróp turbules áramlásba a áramlás ellemők a orgatásra varásak aa a átlagsebesség grades ulla a gadoó sebességkompoesek RMS értéke megegyeek u v w a teles térrése. A otróp turbuleca egyúttal homogé s. RMS RMS c RMS A.3 egyeletbe lévő soró téyeő értékét homogé turbuleca smulácókho spektrál módserrel körülbelül c egyedredű séma eseté c 6 másodredű séma eseté c 4 kell válasta aért hogy % vagy aál agyobb potosságot érük el. A makroskopkus dőlépték és mkroskopkus dőlépték aráyát: / t Re ee k. Ahho hogy a áramlás egy ellemő peródusát leíruk a sükséges dőlépések sáma: S Re..4 c t
A statstkalag megbíható eredméy érdekébe a sorótéyeő c és köött érték mely ügg a dőlépés algortmusától és a dőtervallumtól. Aért hogy rssítsük a megoldást a sükséges műveletek sáma dőlépésekét olya több lépéses sémák eseté mt például Adams-Bashorth vagy Ruge-Kutta lásd: auto et al. 6: ahol a soró téyeők spektrál módser eseté egyedredű térbel séma eseté c 7 és és c 3 6 aráyos: c 3 3 3 c log c3.5 c 45 és c 3 35 másodredű térbel séma alkalmaásával c 7. Homogé turbuleca smulácók sorá a memórakövetelméy durvá és a össes művelet köelítőleg: 4c 3 Re 9/ 4.6 4 c Re 3/ ] 4 c Re / c [ c log c3..7 A etek alapá megbecsülhető hogy mekkora elbotás sükséges aért hogy a áramlás smulácót a turbuleca hoss- és dőlépték teles skáláá turbuleca modell alkalmaása élkül umerkusa megolduk. Et a sámítás elárást drekt umerkus smulácóak S eveük a továbbakba bemutatott példák többsége S smulácóval késült. A spektrál módserek egyk léyeges kérdése hogy mlye básüggvéyeket hasáluk. A későbbekbe et résletesebbe tárgyaluk aoba a példák obb érthetősége matt otos megemlíte hogy a alkalmaott básüggvéyeket a peremeltételtől üggőe válastuk. Perodkus peremeltételek eseté pl.: határolatla terek smmetrák a legobb válastás a ourer sor em perodkus peremeltétel esetébe pl.: allal határolt tér pedg a estek többségébe hebyshev polomok alkalmaása a célraveető. Homogé 3 dmeós turbuleca smulácóát végete el össeyomhatatla áramlásba Orsag és Patterso 97 ourer básokat és alerk megköelítést alkalmatak a sámítást a akkorba leggyorsabb supersámítógépe végeték. A sámítás sebessége Mlop volt lebegőpotos művelet másodpercekét. c 5 tpkus értéke mellett 3 csomópottal mde ráyba a.7 egyelet alapá a sámítás óra alatt késült el Re 45 eseté. A sámítástechka elődésével a sámítás sebességek őttek a leggyorsabb supersámítógép sebessége körül lop volt lebegőpotos művelet másodpercekét eel a sámítás dee Re 3 eseté óra Re 4 eseté körülbelül 4 hóap. Iotróp turbuleca smulácót végett Re 635 mellett Kaeda és Ishhara 6 a Earth Smulator-o a vlág leggyorsabb supersámítógépe akkorba ourer spektrál 3 algortmust hasálva 496 db ostáspottal redelkeő háló. A sámítás sebesség 6 lop volt így a.7 egyelet alapá a kostasok tpkus értekevel sámolva a smulácó dee 35 órára adódk. 6
A spektrál módser egyedülálló skere abba relk hogy a aoos potossággal bíró véges dereca sémák sokkal agyobb erőorrást géyelek. egyedredű véges dereca séma eseté a dőlépések sáma egy -es aktorral több a sükséges memóra pedg egy -as aktorral agyobb. Másodredű séma eseté pedg 3 agyságreddel több erőorrás sükséges. A homogé turbuleca elmélet megotolása alapá eltolásra varás a spektrál módser básüggvéyeek ourer üggvéyek hasálhatók. Eel övelhető a sámítás hatékoyság továbbá meg va a a előye hogy segítségével megállapíthatók a emleárs kölcsöhatások amk hoáárulak a reoaca eleségek kalakulásáho eerga átadásho dsspácóho és más damka ellegetességekhe. A spektrál módser megeged a smmetrák khasálását s. Eek a előyök hatékoyabb módserek kdolgoását sprálták. Rogallo 977 kdolgoott egy trasormácót am lehetővé tes a ourer spektrál módser alkalmaását homogé turbules áramlásba. Blasdel et al. 993 et bővítették k kompressbls esetre. Homogé kompressbls turbuleca smulácót végetek ourer kollokácós módserrel egyeletes yírás eseté 9 os- 3 táspottal redelkeő háló. Olya problémák eseté ahol slárd perem va a sámítás tartomáy határá a spektrál módser alkalmaása ehékesebb mvel em lehet tstá oureer módsert hasál a lye esetekbe. Megbíható elárás a 97-es évek végég em volt. A első megbíható ourer-hebyshev spektrál algortmust Orsag és Kells 98 és Kleser és Schuma 98 alkalmaott egyserű allal határolt áramlásba. A legotosabb előye a spektrál módserek a véges dereca módserrel sembe hogy mmáls a áskésése. E külööse otos a stabltás és turbulecába törtéő átmeet smulácóa sorá mvel a lye smulácókat hullámok megeleése és emleárs kölcsöhatások követek több karakterstkus peróduso kerestül. A áshba kumulatív eért a peródusokét hbák össeadódak. A olya módser am akár pár sáalék áshbát megeged peródusokét hbás végeredméyt ad. Kleser és Schuma 984 párhuamos síklapok köött áramlásra dolgoott k egy módsert mely két ourer ráyt és egy hebyshev ráyt alkalma. Et a algortmust hasálta később lbert és Kleser 99 a első teles lamársból turbules áramlásba törtéő átmeet smulácóáho allal határolt áramlás térbe elemű háló. Km et al. 987 egy másk séles körbe elteredt elárást dolgoott k síklapok köt áramlásra. Rogers és Moser 99 a módser adaptácóát alkalmata sabad yírórétegbe. A két homogé ráyba ourer sort a harmadk ráyba Jacob polomokat hasálva. Scott és Pomell puláló csatoraáramlásba 3 arge-eddy smulácóho alkalmaott spektráls módsert 68 elemű háló. A ks elemsám lehetővé tes a séles paramétertartomáyo törtéő alkalmaást. A paramétertaulmáyal a puláló áramlás résletes káa ellemehető. A spektrál módserek a saátérték problémák megoldásába s ktűek. A hebyshev spektrál módser erősségét saátérték problémák dskretálásho Orsag 97 mutata be leárs stabltás vsgálat kapcsá am sámos úabb ku- 3 8 3
tatót sprált a spektrál módser alkalmaására kompressbls és kompressbls problémák megoldásáho egyarát. Erre példa heols ak két hebyshev és egy ourer ráyt alkalmaott agyléptékű saátérték problémáho..4. Egy egyserű példa A rodalm áttektése kerestül láttuk hogy a spektrál módser legőbb előye hogy sokkal agyobb potosság érhető el vele ksebb sámítás géy mellett mt derecasémák alkalmaásával. E eeetbe a spektrál módser ee előyét demostráluk egy egyserű hőveetés példá kerestül. A hőveetés egyelet a matematkába ól smert parcáls derecálegyelet mely aaltkusa megoldható. A aaltkus megoldást tektük a legpotosabbak ehhe tuduk vsoyíta a umerkus módserekkel kapott eredméyeket. ektsük a hőveetés egyeletet egyees álladó kerestmetsetű homogé ayagú rúd eseté. A tegely a rúd hossa meté helyekede el és elöle a rúd két végét. A hőveetés derecál egyelete dmeóba lásd: Boyce : ahol u a hőmérséklet u ut t.8 hely koordáta sert másodk derváltát u t a hőmérséklet dő sert első derváltát elöl. A a hőmérsékletveetés téyeő mely kostas csak a rúd ayagától ügg: ahol a hőveetés téyeő a sűrűség hőmérséklet eloslást smerük a rúdba: u.9 c c a ahő. eltételeük hogy a kedet. ahol smert üggvéy. Homogé peremeltételt íruk elő; a rúd vége a hőmérséklet u t u t. A megoldadó hőveetés probléma tehát: u t u u u t u t t / c.. A követkeő eeetekbe bemutatuk a aaltkus megoldást a másodredű véges dereca sémás megoldást és a egyk kora spektrál módserrel a alerk módserrel törtéő megoldás meetét. Mad össevetük a külöböő megoldás módserrel kapott eredméyeket és a megoldások potosságát. 4
.4.. HŐVEZEÉS AAIIKUS MEOÁSA A hőveetés egyelet aaltkus megoldása a váltoók sétválastásával törték. A leveetést lásd Boyce. eeetébe. A derecálegyelet megoldása a alább végtele üggvéysor: u t a s e t /.. A így kapott megoldásak k kell elégíte a kedet hőmérséklet eloslást e a Ha a rúd hossa u a s üggvéy susos ourer sora melyek együttható: a t.3 s d.....4 a hőmérsékletveetés téyeő dmeótla mey- akkor a együtthatók a ségek és a kedet hőmérséklet eloslás alább módo sámolhatók: a A tegrálás elvégésével a 8 s cos s. 3 3.5 a együtthatókra aaltkus össeüggést kaptuk. Et helyettesítük a. egyeletbe. A gyakorlatba em lehet végtele tagot ve eért tag utá leváguk így a hőveetés probléma megoldása a alább: u t cos s 8 3 3 e t :..6 A aaltkus módserrel kapott megoldás a.. ábrá látható külöböő dőpotokba esetére. E már agy potosságú megoldást eredméye mt at lát oguk. u t [-].8.6.4. t=. t=.5 t=.5 t=.5.5 [-].. ábra: A hőveetés egyelet aaltkus megoldása külöböő dőpotokba =. 5
.4.. MÁSOREŰ VÉES IEREIA MÓSZER Véges dereca módser eseté em a olytoos üggvéyel haem a üggvéy ostáspotokba vett értékevel u t u t dolgouk. A elölt ostáspotok és a potokba vett üggvéy értékek elírhatók vektoráls ormába: ahol u u és u továbbra s dőüggő. u t.......7 t u t u t... u t... u t. A követkeőkbe a eplct dőüggés elölését elhagyuk de A eladat hogy meghatárouk a dskrét üggvéy u t umerkus térbel derváltát tetsőleges dőpotba. Eek egyk legáltaláosabb móda hogy a üggvéyt tetsőleges ostáspot köryeetébe polommal köelítük. ektsük a háló 3 egymást követő potát: a hoáuk tartoó üggvéyértékek redre u u u P. Erre a három potra egyetle egy másodredű polom llesthető ahogy a.. ábrá s látható: u a a a P..8 u u - P u + - +.. ábra: Másodokú polom llestése három potra A ostáspotokba vett üggvéyértékek keehetőek a köelítő polom segítségével: Mvel u a adott u a a a..9 u a a a.. u a a a.. ostáspotokba smert a köelítő polom együttható { a a a } a.9.. egyeletekből keehetők vagys a együtthatók a helykoordátáktól és a ostáspotokba vett üggvéyértékektől üggeek: a u u u. 6
7 A üggvéy derválta a helye keehető a potokra llestett köelítő polom segítségével: a a u.. Ahol a hely koordáta sert derváltat elöl. Mvel a együtthatók csak a hálópotok koordátáától és a potokba vett üggvéyértékektől üggeek a. egyelet átalakítható a alább ormába: u u B u A u..3 Ahol A B együtthatók a alábbak lásd: Hegedűs et al. 3: A.4 B.5..6 A első és utolsó potba hogy tartsuk a másodredű potosságot egy ks módosítás törték: u u B u A u..7 u u B u A u..8 A együtthatók a ulláadk potba: A..9 B.3..3 A együtthatók a utolsó potba: A..3 B..33..34 A üggvéy dervált vektoráls alaka:...... ' u u u u u u így a hely sert derválás egy mátr-vektorsorássá egyserűsödk am a alább ormába írható: u u '..35
Ahol: a álladó együtthatós derecáló mátr mely a etebb elírt együtthatókból épül el: A u t u' u' u' u' u' u' A A B B A B A B üggvéy dskretálás utá össese A A B B u u. u u u u..36 db ostáspotot kapuk. Elő kell állítauk a üggvéy hely sert derváltát a ostáspotokba ehhe a a.36 egyeletbe látható derváló mátrot alkalmauk. Eel a.8 hőveetés egyelet a alább ormába írható: u u u..37 Mvel a sámítás tartomáy sélé a peremeltételből határouk mad meg a smeretle hőmérsékletet eért a u vektor első és utolsó és elemét eek megelelőe a derváló mátr első és utolsó sorát s töröl kell. Így össese db kööséges derecálegyeletet kapuk a belső ostáspotokra ahogy et a.3. ábra s semléltet. A sabadság okok sáma egrees o reedom megegyek a megoldadó kööséges derecálegyeletek sámával o. A törlés utá a.37 egyeletből a alább mátregyelet írható el: u u u u' ahol a ** el hogy a első és utolsó elem / sor törölve va. u u.38 t... t Peremeltétel Peremeltétel t t u u u u u - u...... -.3. ábra: A másodredű véges dereca módser semléltetése hőveetés példa eseté. 8
Egy kööséges derecálegyelet megoldó alkalmaásával például Matlab OE45 a belső ostáspotokba a úabb dőpllaatba meghatárohatók a hőmérsékletek. E utá a két sélső potba a peremeltételből meghatárouk a smeretle hőmérsékletet u u u t u t a t-edk dőpllaatba. A hőveetés probléma másodredű cetráls derecasémával törtéő megoldására Matlab kódréslet olvasható a Apped.. eeetébe..4.3. SÚYOZO MARAÉKOK MÓSZERE OROOÁIS VEÍÉS A spektrál módserek és a véges derecasémák köt legléyegesebb külöbség hogy a véges dereca sémák a keresett üggvéyt lokálsa a ostáspotokra llestett polomok segítségével köelítk eel sembe a spektrál módserek a üggvéyt globálsa llestett polommal vagy harmokus üggvéyel köelítk. Egy tetsőleges üggvéy térbel köelítése alkalmasa megválastott básüggvéyek leárs kombácóából tevődk össe lásd: Boyd : ahol a a együtthatókat P a.39 9 a básüggvéyeket elöl. A reduum üggvéy: R a a... a P..4 Egakt megoldás eseté a reduum üggvéy R a potosa ulla. éluk a smert vagy smeretle üggvéy mél potosabb köelítése úgy hogy a reduumot csökketük. A eladat tehát hogy úgy válassuk meg a básüggvéyeket és a együtthatókat hogy a reduum mmáls legye. A aaltkus megoldás s egy specáls spektrál módserek ogható el. A külöböő spektrál módserek a mmalálás módába külöböek. A legtöbb mmaláló módser besorolható a súlyoott maradékok módseréek method o mea weghted resdual MWR családába lásd: layso 973. Ha a básüggvéyek kelégítk a peremeltételeket akkor a együtthatók meghatárohatók egy megelelőe megválastott súlyüggvéyt w m beveetve: w m R a a... a..4 ahol.. a belső soratot elöl. Et a leárs algebrába vektorok skalár soratáak aalógáára ortogoáls proekcóak s evek lásd: Apped: A.. és A..3 eeete. Ha adottak két a b tervallumo olytoos és g tetsőleges üggvéyek és adott em egatív súlyüggvéy akkor deícó sert a belső sorat olytoos üggvéyekre a alább ormába írható: b g g d..4 a
3 Megegyedő hogy a két súlyüggvéy em aoos! w m a a üggvéy melyre végeük a proekcót vetítést míg btosíta a két üggvéy ortogoaltását ab tervallumo. alerk módser eseté a.4 egyeletbe sereplő súlyüggvéyek megegyeek a básüggvéyekkel. m w m m.....43 A.4 és.43 egyeleteket a.4 egyeletbe helyettesítve és a belső sorat tuladoságat lásd: Apped A.. eeet A.8 össeüggések khasálva: m m m m P P R..44 A.44 egyeletbe.39 keeést helyettesítve mad redeve a alább egyeletet kapuk: m a m m.....45 Jelöle m m a oslopvektor és m m a mátr elemet. Így a.45 a alább mátregyeletté átírható: a..46 Mátr alakba írva: m m m m m a a a a.47 Ie a spektráls együtthatók meghatárohatóak: a.48 A hőveetés egyeletbe.8 a smeretle üggvéy melyet köelítük a hőmérséklet eloslás P u. Behelyettesítve a.39 egyeletbe mvel a básüggvéyek csak helytől üggeek a együtthatók pedg csak dőtől a hőveetés egyelet elírható a alább ormába: a a.49 A etebb leveetés alapá a.49 egyeletet skalársa sorova m -el alább mátr egyelet adódk: a a..5 Ie a spektráls együtthatók dő sert derválta keehetők: a a a..5
Eel kedet érték problémára veettük vssa a eladatot. Ha a köelítő polom oksáma akkor a... együtthatókra. A sabadság okok sáma a megoldadó kööséges db kööséges derecálegyeletet kapuk a derecálegyeletek sámával egyek meg o. Elősör básüggvéyeket válastuk melyek egyekét kelégítk a peremeltételeket. A básüggvéyek alapá a mátr előállítható. A kedet dőpllaatba smert a hőmérséklet eloslás kedet eltétel így a együtthatók a és a együtthatók dő sert első derválta a a kedet dőpllaatba meghatárohatók. Ebből a bások együttható a követkeő dőpllaatba sámolhatók. A eredméyül kapott együtthatókat a.39 köelítő üggvéybe helyettesítve előáll a hőmérséklet eloslás a úabb dőste. Egy kööséges derecálegyelet megoldó algortmust hasálva a teles dőtartomáy végg sámolható. A sámítások MAAB köryeetbe törtétek OE45 kööséges derecálegyelet megoldóval. Kódréslet a Apped. eeetébe található. alerk módser akkor alkalmaható ha a peremeltételeket a básüggvéyek egyekét kelégítk. Eért a alább módo válastuk básüggvéyeket lásd: Boyd : ahol.......5 a hebyshev polomok. A így képett básokra ga hogy bármely eseté. A keresett üggvéyüket u t átskáláuk a [ ] tervallumról a [ ] tervallumra így a peremeltételek kelégülek. A kapott básüggvéyeket a.4. ábrá látuk o 4 sabadságok 8 - eseté. 3 [-] - - - -.5.5 [-].4. ábra: A alerk módserbe alkalmaott básüggvéyek o=4 eseté 3
.4.4. KÖVEKEZEÉSEK ÉS KÉRÉSEK t.5 A külöböő megoldás módserekkel kapott eredméyeket dőpllaatba hasolítuk össe. A.5. ábrá láthatóak a kapott eredméyek a A dagramo 4 a B dagramo pedg sabadság ok eseté. Aaltkus = S Spektrál alerk.6 A.6 B ut [-].4. ut [-].4. - -.5.5 [-] - -.5.5 [-] R [-] -5 R [-] -5 - - -.5.5 [-] - -.5.5 [-].5. ábra: A külöböő megoldás módserekkel kapott eredméyek össehasolítása t=.5 dőpllaatba. A dagramo a másodredű véges dereca séma pros és a spektrál alerk öld megoldások egyarát o =4 sabadság ok mellett késültek míg a B ábrá o = volt. A és ábrá a = tagból álló aaltkus ekete megoldástól való eltérések absolút értéke láthatóak. - A aaltkus megoldást taggal köelítük et tektük a potos megoldásak. A és dagramo a másodredű cetráls dereca sémával pros és a alerk módserrel öld kapott megoldások aaltkustól potos való eltéréséek absolút értékét ábráoltuk logartmkus skálá. A dagramok alapá elmodható hogy a spektráls módser potossága agyságredekkel obb mt a hasoló sabadság okkal redelkeő másodredű cetráls dereca sémás megoldásak. Külöböő sabadság okok mellett kapott hba reduum absolút mamum értéket s ábráoltuk am a.6. ábrá látható. E alapá sté arra a követketetésre utuk hogy a spektrál módser gyorsabba kovergál és agyobb potosság érhető el vele mt cetráls sémával. Míg a alerk módserrel o mellett 6 már agyságredű a mamáls hba addg ugyalye sabadság ok mellett a cetráls séma csak agyságredet ér el. A ábrá kékkel a aaltkus megoldás kovergeca sebessége s el va tütetve. átható hogy kevés tagot véve s agy potosságot eredméye egy lye egyserű példa eseté s. 3
R Ma [-] - -4-6 -8-5 5 5 o [-].6. ábra: A másodredű véges dereca sémás pros és a alerk öld megoldás módserrel kapott eredméyek mamáls hbáa a sabadság ok üggvéyébe a smertetett hőveetés probléma eseté t=.5 dőpllaatba A alerk öld olytoos görbe kovergeca sebesség ábráá meggyelhető 6 hogy a sabadság ok övelésével a hba em csökke agyságred alá. Eek oka hogy a sámításho a MAAB beépített kööséges derecálegyelet megoldóát OE 45 hasáltuk alapbeállítások mellett ekkor a relatív a absolút toleraca pedg. A kööséges derecálegyelet megoldó toleracáát övelve o 4 eseté ér el a dőlpés toleracáát a agyságredet. 6 -re úra elvégetük a sámítást öld saggatott. Ekkor a reduum A ábrá ól meggyelhető a öld görbék a lépcsőetessége aa csak mde másodk sabadság ok övelés eredméye agyobb potosságot. Eek oka hogy a parcáls derecálegyelet megoldása smmetrkus így csak a smmetrkus básokho tartoó együtthatók em ullák. átható hogy elegedő lee csak eeket a együtthatókat vsgál és a smmetráak em eleget tevő básokat elhagy. A sükséges bások eel együtt a megoldadó kööséges derecálegyeletek sáma elére csökkethető. A smmetrák khasálásáak lehetőségéről a.4. eeetbe olvashatuk résletesebbe. 3 A spektrál módserek kapcsá gyakra elmerülek a alább kérdések:. Sokkal eheebb-e programo mt a véges dereca vagy véges-elem kódokat? em eheebb ahogy et később lát s oguk pseudo-spektrál módserekél a hely sert derváltat a cetráls sémáho hasolóa egy úgyeveett derváló mátrsal törtéő sorással állítuk elő és a ostáspotokra kapott derecálegyelet megoldásával kapuk meg a eredméyt. A lye kódok írása em boyolultabb mt a véges dereca lletve véges-elem kódoké. Egyedül ehéséget a klasskus spektrál módserek mt például a alerk módser okohat mvel tt a belső soratokat tegrálással sámoluk és a együtthatókra kapuk derecálegyelet redsert. 33
. A valós mérök életbe valóba sükség va-e agy sok tedes egy potosságra am a spektrál módserekkel elérhető? A hossú dőtartamú hdrodamka tegrálokat és a turbules áramlásba törtéő átmeetet gyakra tökretes a sámítás stabltás. yakor megoldás hogy megőrük a stabltást hogy sok dsspácót veetük be vagy eerga-megőrő dereca vagy véges-elem sémákat alkalmauk. Mdkét módser toríta a megoldást eért agy potosságú megoldás em érhető el mesterséges csllapítással vagy eplct elírt eerga megmaradással. A spektrál módserek a agy potosság matt gyakra stablak csllapítás és beveetett eerga megmaradás élkül s. 3. A spektrál módser csak akkor hasos amkor agy potosságra va sükség? em mvel memóra takarékos módser. 3 dmeóba durvá /8-ad ay sabadság ok sükséges hogy % potossággal vagy ao belül megolduk áramlás problémákat mt amey másod lletve egyedredű dereca séma eseté sükséges lee ugyalye potosság eléréséhe 4. A spektrál módser alkalmas-e lökéshullám vagy hullámrot áramlások eseté? Ige aoba a spektrál módserek cseek ayra komulta rásabva a lye típusú problémákra mt éháy alacsoyredű véges dereca vagy véges elem módser. Aoba agy előrelépések törtétek aak érdekébe hogy eeket a elméleteket spektrál módserekre s átdolgoák. Ilye problémák eseté a üggvéybe sakadások lehetek melyek köelébe a köelítő üggvéy oscllál ked. A oscllácó csökketésére léteek smítás techkák melyekről auto et al. 6 olvashatuk. Hasoló sakadással redelkeő probléma Burgers egyelet megoldásáról Basdevat et al. 986 és Augebaum 989 olyóratckkébe olvashatuk. A 4.5. eeetbe m s mutatuk smító elárásokat sakadás hellyel redelkeeő hullámegyelet megoldására. A dőbel előrehaladásra ól bevált módserek léteek például Ruge Kutta. A spektrál módser céla a üggvéy mél obb térbel elbotása. 34
. SPEKRÁ MÓSZER MAEMAIKA HÁERE Most hogy össehasolítottuk a spektrál módsert a másodredű véges dereca sémával és a aaltkus megoldással a egyserű hőveetés példá kerestül a külöböő megoldás módserekkel vssatérhetük a spektrál módser alapaak mélyebb megértéséhe. A spektrál módserek két átogó kategórába sorolhatóak: terpolácós vagy em terpolácós módserek. A terpolácós vagy más éve pseudó spektrál módser a terpolácós potokba vett üggvéyértékekre egy polomot llest. db ostáspotra potosa db -ed okú polom llesthető. A módser léyege hogy a llestett polom mél obba köelítse a keresett üggvéyt. A terpolácó deícó sert megkövetel hogy a llestett polom értéke a ostáspotokba megegyeeek a smert 35 P üggvéy értékevel P. Másképpe megogalmava a reduum a ostáspotoba deícó sert ulla kell hogy legye: R a a... a.... Mvel a reduum a terpolácós potokba ulla a derecálegyelet potosa k va elégítve a terpolácós vagy más éve kollokácós potokba. eltételehetőe ahogy ő a rácspotok sáma a reduum csökke egyre ksebb és ksebb les a kollokácós potok köött héagba ayra hogy a egés tartomáyo tehát P a övelésével egyre obba kovergál a üggvéyhe. Va R aoba kvétel amkor pustá a oksám övelésével em les potosabb a eredméy erre később mutatuk példát. örtéelmleg a em terpolácós módsereket edeték el hamarabb. A em terpolácós módserek családába tartoak a klasskus spektrál módserek például a alerk és a tau módser. Itt cseek rácspotok ehelyett a smert üggvéyt skalársa sorouk adott básüggvéyekkel és tegráluk ahogy at már a.4.3. eeetbe láthattuk. A terpolácós és em terpolácós módserek köött külöbségre csábító lehet úgy tekteük mt tegrálás kotra terpolácó e aoba túlságosa leegyserűsített elgodolás. Sámos köyv mt például o és Parker 968 megmutata hogya lehet a básüggvéyek boyos tuladoságat khasálva meghatáro a együtthatókat aélkül hogy tegrálák; és eek elleére a végeredméy aoos aal mt amt a tegrálás elvégésével kapák. Megtévestő lee tegrácós módserek eve mkor előordulhat hogy egyáltalá em kell tegrálást vége eért maraduk a em terpolácós módser eleveés hasálatáál. A együtthatók meghatároásáak módába cs egyértelmű kapcsolat a pseudó-spektrál és a súlyoott tegrálokat hasáló módserek köött. Ráadásul a terpolácós potok megválastása s a egyk ú eladatuk. Serecsére mde egyes gyakor bás üggvéy redserhe tartok egy termésetes eloslása a terpolácós potokak. Eek a terpolácós potok a alerk módserbe sereplő tegrálok auss-kvadratúra pota. A pseudó-spektrál módser ekvvales a
db terpolácós potba eért eveük a terpolácós mód- spektrál módserrel ha a tegrálást umerkusa a auss kvadratúrák segítségével köelítük a sert gyakra pseudó spektrál módserek s. Aak elleére hogy a terpolácós módserek óval egyserűbbek programoás sempotából valamt agyobb a sámítás hatékoyság vaak aoba olya területek ahol mégs a alerk módser a előyösebb. A alerk módsert eheebb programo mt a pseudó-spektrál algortmusokat. Eek egyserű a magyaráata a pseudó spektrál módserél a kvadratúrák segítségével becsülük a tegrált am mátrsorásra veethető vssa et umerkusa köyű elvége. alerk módserél tegráluk kell am ehékesebb. A alerk módserrel - ed okú köelítéssel ugyaolya potosság érhető el mt pseudó-spektrál módserek eseté okú köelítő üggvéysor által. Ha a oksám agy a külöbség elhayagolható vsot ks oksám eseté a etra egy két sabadságok eletős lehet. vagy Ks oksám eseté papírt és ceruát ragadva egyserű problémák sámítógép élkül s megoldhatók ha a mátr eleme aaltkusa tegrálhatóak. Eért a klasskus spektrál módser em csak umerkus haem elmélet eskö s lehet. alerk módsert alkalmaak a sérkus harmokus dőárás előreelésekhe és a klíma modellekbe mvel a lye problémákho gyorsabb mt a pseudó spektrál módser. A kvatum kéma területé s séles körbe a alerk módser a elteredt. A össetett molekulák olya agysámú sabadságokot géyelek hogy a sámítások csak sámítógéppel végehetők. Rá vagyuk kéyserítve hogy kevés básüggvéyt hasáluk elektrookét eért a smulácó s alacsoyredű még akkor s ha a sabadságokok sáma o 4! Eért a alerk módser etra potossága agyo otos lye esetekbe. agy elbotású umerkus sámításokho vsot a pseudó spektrál módser hatékoyabb. Egy otos kérdés még tstáatla: Mlye básüggvéy redsert válassuk? At sereték hogy a básüggvéyek: köye sámíthatóak legyeek gyorsa kovergálaak és a básüggvéy redser teles legye am at elet hogy bármely megoldás ábráolható tetsőlegese agy potossággal oksámot elegedőe agyak válastva. At hogy mlye básüggvéyeket hasáluk a geometra határoa meg. érbe perodkus problémák eseté a kööséges ourer sor a legobb válastás. em perodkus problémák megoldásáho pedg a esetek 95%-ba hebyshev polomok alkalmaása a legcélraveetőbb. A hebyshev polomokat gyakra öálló básüggvéy redserkét keelük mvel -be polom vsot a alább rekurós össeüggés alapá lásd: Boyd: cos cos. látható hogy a hebyshev redser váltoócserével valóába egy kosus ourer sor. 36
éteek aoba kvételek: egy gömbelsíe sokkal hatékoyabbak a sérkus harmokus üggvéyek él végtele terek eseté aguerre üggvéyek végtele tereke pedg Hermte Ratoal hebyshev vagy Sc üggvéyeket célserű alkalma. A dolgoat tovább résébe résletese áttektük a pseudó spektráls módserek matematka hátterét és a alkalmaás módát külöböő dmeós problémák esetébe. A legáltaláosabba hasálatos básokra a hebyshev polomra lletve a ourer sorra kocetráluk... Iterpolácó pseudó spektrál módser A pseudó spektrál módserek és a klasskus spektrál alerk módser sorosa össeüggeek egymással. Aért hogy et belássuk és megértsük a pseudó spektrál algortmusok működését át kell tektük éháy klasskus umerkus módsert a megértés érdekébe: a polomáls terpolácót a legksebb égyetek módserét dskrét esetbe a auss tegrálást és a ortogoáls bások ogalmát.... POIOMIÁIS IERPOÁIÓ A terpolácó egy olya köelítő módser ahol a keresett üggvéy em smert értéke a smert értékek terpolácós potokba vett üggvéyérték alapá becsülhetők. E a terpolácós potokra llestett polom üggvéy segítségével törték. db potra potosa egy db okú polom llesthető. A llestett üggvéyek deícó sert át kell halada a terpolácós potoko eért a llestett polom és a keresett üggvéy értéke a terpolácós potokba megegyeek: P.....3 A pseudó spektrál módserek céla a smert kedet dőpllaatba vagy smeretle üggvéy és a üggvéy derváltaak mél potosabb köelítése a terpolácós potokra llestett P polom segítségével: P a P a P a..4 ahol: básüggvéy legegyserűbb esetbe -ed okú polom és a a -dk básüggvéy együtthatóa a alsó de a sert derválást elöl. 37
A -dk terpolácós potba vett üggvéyérték a alább ormába írható: P a..5 A et össeüggést a össes potra elírva a alább mátr egyeletet kapuk: Mátr alakba: e a együtthatók keehetőek: a..6 a a a.7 a..8 A együtthatókat a.4 egyeletekbe helyettesítve a terpolácós potokra llestett polomot és derváltat meghatárotuk. Így a üggvéy és derváltaak köelítése smert. Aoba a együtthatók lye módo törtéő meghatároása em hatékoy.... ISZKRÉ OROOÁIS PROJEKIÓ A ortogoáls proekcó dskrét esetbe a olytoosho aalóg módo veethető le. Ahogy már a alerk módser bemutatásáál s smertettük olytoos esetbe a belső sorat a alább módo deálható: ahol: a súlyüggvéy b m m d.9 a és a b m a tervallumo olytoos két tetsőleges básüggvéy. skrét esetbe a belső sorat deícó sert a két vektor skalárs soratakét értelmehető: ahol: m w m. w a -dk potba vett súly melyet m határouk meg a későbbekbe... ] és... ] a básüggvéyek [ m [ m m m ostáspotaba vett értéket tartalmaó vektorok ahol m.... A eladatuk most s a együtthatók meghatároása úgy hogy eköbe a reduum mmalálására töreksük: R P..... 38
39 A reduumot skalársa sorouk egy súlyüggvéyel mely a alerk módserhe hasolóa most s megegyek a básüggvéyel. A így kapott belső soratokat egyelővé tessük ullával aa ortogoáls proekcót alkalmauk. A leveetések matematka hátterét belső sorat ortogoaltás ortogoáls proekcó lásd a Apped A.. A.. és A..3 eeetébe.: m R m..... Így a alább egyeletredsert kapuk: m m P..3 A behelyettesítés utá: m a m m....4 am elírható mátregyeletkét a alább ormába: a.5 mely mátr alakba írva: m m m m m a a a a.6 e a együtthatók meghatárohatóak: a..7 E a leveetés csupá ayba külöbök a alerk módsertől hogy a vektor és a mátr elemet tegrálás helyett két vektor súlyoott skalárs soratakét határouk meg. A ortogoáls proekcó dskrét esetbe ekvvales a polom terpolácós módser aa.8 és.7 egyelet által leírtak aoosak a általuk meghatároott együtthatók megegyeek. E belátható ha a.7 mátregyelet mde sorát megsorouk m w -vel: m m m m m m w a w a w a w w w.8 A sorás utá kapott mátr egy sora egyserűbb alakba a alább ormába írható: m m w a w..9
A mátr sorat össegeük: w m a w m.. A. egyelet bal oldala és a áróele belül lévő tag a m és a belső soratak elel meg. Eel vssakaptuk a.4 egyeletet. Mvel m... eért a teles.5 mátregyelet elírható. Eel boyítottuk hogy a polom terpolácó és a dskrét ortogoáls proekcó ekvvales egymással...3. SABIIÁSI PROBÉMÁK A terpolácós potok megválastása em trváls. At godolhaták hogy a ostáspotokat egyeköűe elvéve a [ a b] tervallumo a hba csökke ha a terpolácós potok sáma öveksk bármlye sma üggvéy eseté. E aoba em telese ga. Istabltás problémák ordulhatak elő a ostópotok egyeköű eloslása eseté. éteek olya üggvéyek ahol a tartomáy séle a terpolált üggvéy oscllál ked magas oksámú polommal törtéő köelítés eseté et a matematkába Ruge - eleségek hívák. A eleséget a alább példa alapá semléltetük: 5 5.. [-].5.5 [-] -.5 -.5 A B - - -5 -.5.5 5-5 -.5.5 5 [-] [-].5.5.5 R [-].5 -.5 -.5-5 -.5.5 5 [-].. ábra: A Ruge eleség seméltetése a. egyelet alapá külöböő redű polomokkal törtéő köelítés eseté. A A és B dagramo a smert üggvéy ekete és a terpolácós üggvéy P kék látható. A pros potok a terpolácós potokat elölük. A esetbe 6db =5 B esetbe db = ostópotra llestett terpolácós üggvéyt ábráoltuk. A és dagramo a smert és a terpolácós üggvéy köött eltérés reduum látható. R [-] 4 - - -3-5 -.5.5 5 [-]
A ostáspotok sámáak övelésével a tartomáy belső résé csökke a hba vsot a tartomáy séle rohamosa ő. E egy otos megállapítás abból a sempotból hogy a potosság övelése érdekébe em elegedő csupá a potok sámát övel. A üggvéyt és a köelítő polomot semléltet a.. ábra am alapá látható hogy a potok sámáak övelésével a tartomáy köepé avult a köelítés potossága vsot a séleke őtt a hba. A helyet aoba em reméytele ha megotoluk a em egyeköű háló hasálatát. At látuk hogy a tartomáy köepével cs god a agy hbák a séleke vaak. Ebből arra követketethetük hogy köépe a potokat vsoylag távol s elhelyehetük egymástól a tartomáy séle pedg sűríte kell. Egy otos megválasoladó kérdés hogy mlye a potok optmáls eloslása? Erre a auss tegrálás segít válast ad ahogy et a.. eeetbe oguk résletese bemutat. A polomáls terpolácó másk hátráya hogy agy a.7 mátr rossul kodcoált. A mátr bal első eleme okú polom míg a obb alsó okút. Ha és a sámítás tartomáy első határa. példa alapá a mátr obb alsó eleme ekkor míg a bal első csak. Hasolóképp rossul kodcoált a.6 egyeletbe sereplő dskrét együttható mátr s. Ekkor a utolsó elem okú polom míg a bal első sarokba csak serepel. 5 A továbbakba arra keressük a válast hogy mlye a terpolácós kollokácós potok optmáls eloslása amvel el tuduk kerül a vsgált tartomáy séle eletkeő oscllácó matt hbát lletve hogya tuduk csökkete a agy sabadságokú problémák sorá a sámábráolás potosságból adódó hbát alkalmasa megválastott básüggvéyekkel. 5.. alerk módser umerkus tegrálással A kollokácós terpolácós módsereket aért evek pseudó spektrál módserek s mert a terpolácós potok optmáls megválastása a kollokácós módsert egyeértékűvé tes a alerk módserrel. A belső soratot auss éle umerkus tegrálással sámoluk és ortogoáls básüggvéy redsert hasáluk.... UMERIKUS IERÁÁS A umerkus tegrálás és a polom terpolácó sorosa össeügg hse egy kéeekvő módser a tegrálásra hogy a tegráladó üggvéyt polommal köelítük mad a polomot P tegráluk. 4
A llestett polom a agrage éle básüggvéyekkel s elírható: P.. db potra potosa egy darab pol- otos megegye hogy ugyaarra a om llesthető így a. egyeletbe elírt P ugyaa a llestett üggvéy mt a előő két esetbe csak egy specáls básüggvéy redser segítségével elírva. A egyeletbe sereplő a agrage éle karakterstkus básüggvéy amely a alább ormába írható: ;..3 A -edk terpolácós potba a üggvéy -et ad eredméyül a több potba pedg ullát -át:.5..4 [-].5 -.5 - - -.5.5 [-].. ábra: A = [ ;.5; ;.5; ] terpolácós potokra llestett agrage éle básüggvéyek semléltetése: = a kék =.5 a öld = lla 3 =.5 pros 4 = a bara üggvéy tartok. eketével a terpolácós potokat elöltük = ; =. Et semléltet a.. ábra melye a [ ] tervallumo 5 db egyeköűe elvett ostópotra llestett agrage üggvéyek láthatóak. A tegrál értékét tehát úgy kapuk hogy a llestett polomot tegráluk: b a b b d P d d w a..5 a A summa és tegrálás elcserélhető így a w kakvadratúra súlyok keehetők: b w d..6 a 4