Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók 1., 2. Prog. Inf. Bsc '08 2008-2009/tavaszi félév előadásjegyzet

Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenlőtlenség? Mikor van egyenlőség? Válasz: Minden h -1 valós számra és minden n N + -ra (1+h) n 1+nh. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha n = 1 vagy h = 0. 2. Fogalmazza meg a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget. Mikor van egyenlőség? Válasz: Minden n N + -ra és a 1 a n 0 valós számokra: a a a + +... + Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a 1 = a 2 =.= a n. 3. Írja le a valós számok közötti rendezés és a műveletek kapcsolatára vonatkozó axiómákat. Válasz: Minden, R-re létezik lineáris rendezés. Ekkor: - ha és R, akkor + + - ha és 0é R, akkor. 4. Mit mond ki a teljességi axióma? Válasz: Tegyük fel, hogy,,, R olyan halmazok, hogy minden és minden esetén. Ekkor létezik (í) R, hogy minden és -re. 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet. Válasz: Minden R felülről korlátos halmaz felső korlátai között van legkisebb. 6. Mit jelent az, hogy a R halmaz induktív? Válasz: R, induktív, ha 0, továbbá, ha esetén + 1. 7. Hogyan értelmezi a természetes számok halmazát? Válasz: N a legszűkebb induktív részhalmaza R-nek. 8. Fogalmazza meg a teljes indukció elvét! Válasz: Legyen A(n) egy állítás minden N-re. Tegyük fel, hogy A(0) igaz és ha A(n) igaz akkor A(n + 1) is igaz ( N). Ekkor A(n) igaz minden N-re. 9. Mikor van egy Rhalmaznak maximuma (minimuma)? Válasz: Ha létezik, minden -ra ( ). 1

10. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a Rhalmaznak nincs minimuma. Válasz: Minden, létezik, hogy <. 11. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a Rhalmaznak nincs maximuma. Válasz: Minden, létezik, hogy >. 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy Rhalmaz? Válasz: Ha létezik R, hogy minden -ra ( ). 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy Rhalmaz felülről nem korlátos! Válasz: Minden R-re létezik, hogy >. 14. Legyen A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy =? Válasz: Minden -ra és minden <-re, hogy >. 15. Legyen A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy =? Válasz: Minden -ra és minden >-re, hogy <. 16. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik az Archimédeszi-tulajdonsággal? Válasz: Minden, R -hoz létezik N, hogy <. 17. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik a Cantor-tulajdonsággal? Válasz: [, ] R korlátos zárt intervallum úgy, hogy [, ] [, ] minden N-re, akkor [, ] N Relációk és függvények 18. Definiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartománya és értékkészlete. Válasz: Az halmazt relációnak nevezzük. A reláció elemei rendezett párok. Értelmezési tartomány: =(, :(,) ) Értékkészlet: R =(, :(,) ). 19. Adja meg a függvény definícióját. Válasz: Az relációt függvénynek nevezzük, ha minden és! R : (,). Jelölése: () =. 2

20. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített képét? Válasz: :,,[] = {() : }. 21. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített ősképét? Válasz: :,, [] = { :() }. 22. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? Válasz: Az : függvény pontosan akkor invertálható, ha R elemhez pontosan egy olyan elem van amelyre () =. 23. Definiálja az inverz függvényt. Válasz: Minden R!, hogy () =. Az : R, függvényt az f inverzének nevezzük. 24. Mi a bijekció definíciója? Válasz: : bijektív, ha injektív és =R. 25. Írja le az összetett függvény fogalmát. Válasz: :, :. Tegyük fel, hogy: {,() }. Ekkor: :,(). =(). 26. Definiálja a következő fogalmakat: valós sorozat; sorozat n-edik tagja, index. Válasz: Az : R függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat () helyettesítési értéke a sorozat n-edik tagja ( N),n az sorozat indexe. 27. Mit jelent az, hogy egy ( ): Rsorozat korlátos? Válasz: Létezik R, hogy minden N-re. 28. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy az ( ) sorozat nem korlátos. Válasz: Minden R-re létezik N, hogy >. 29. Mit jelent az, hogy egy ( ) számsorozat indexsorozat? Válasz: ( ): N N szigorúan monoton növekedő. 30. Egy ( ) sorozatról mikor mondjuk, hogy a ( ) sorozat részsorozata? Válasz: Ha : N N indexsorozat, hogy ( ) = ( ). 31. Mit ért egy sorozat részsorozatán? 3

Válasz: Ha a: N N sorozat és : N N indexsorozat, akkor az : N R sorozatot az a részsorozatának nevezzük. 32. Mi a definíciója annak, hogy egy valós számsorozatnak van csúcsa? Válasz: N az ( ) sorozat csúcsa, ha > -ra <. 33. Definiálja az Relem >0sugarú környezetét. Válasz: Az R valós szám >0 sugarú környezetén a () = (,+) intervallumot értjük. Az = + elem >0 sugarú környezete a (+ ) =, +, az = elemé pedig a ( ) =, intervallum. 34. Mikor nevezünk egy ( ) valós sorozatot konvergensnek? Válasz: Az ( ): N R sorozat konvergens, ha R, > 0, N, : <. 35. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat divergens? Válasz: Az ( ): N R sorozat divergens, ha R, > 0, N, :. 36. Tegyük fel, hogy az ( ): N Rsorozat határértéke az Rszám. Igaz-e hogy: N, hogy >0-ra és -ra <? Válasz: Nem igaz, hiszen a feltételből az következik, hogy = -ra. 37. Tegyük fel, hogy az Rszám minden környezete az ( ) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az ( ) sorozat konvergens? Válasz: Nem következik, hiszen a ((-1) n ) sorozat A = 1 vagy A =-1-gyel kielégíti a feltételt, mégsem konvergens. 38. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat (+ )-hez tart? Válasz: ( ) sorozat határértéke +, lim( )=, ha R, N, : > 39. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat ( )-hez tart? Válasz: ( ) sorozat határértéke, lim( )=, ha R, N, : < 40. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozatnak van határértéke? Válasz: ( ) sorozatnak létezik határértéke, ha: - konvergens vagy - lim = vagy - lim = azaz 4

R, > 0 N, : (). 41. Adott ( ): N R, Resetén mi a definíciója a lim =egyenlőségnek? Válasz: lim = akkor és csak akkor, ha > 0, N és -ra <. 42. Fogalmazza meg a sorozatok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt. Válasz: Ha ( ) konvergens, akkor ( ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet. Válasz: Tegyük fel, hogy N, : és az ( ) és ( ) sorozatok konvergensek. Ha lim = lim =akkor ( ) is konvergens és lim =. 44. Milyen állításokat ismer a határérték és a rendezés között? Válasz: Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens sorozatok. Ha lim > lim, akkor N, : >. Ha N, : akkor lim lim. 45. Igaz-e az, hogy ha az ( ) és ( ) sorozatoknak van határértéke és > minden n-re, akkor lim( )> lim ( )? Válasz: Nem igaz. Pl.: = és = 46. Mondja ki a monoton sorozatok konvergenciájára és határértékére vonatkozó állításokat. Válasz: 1. Ha az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos [monoton csökkenő és alulról korlátos], akkor konvergens, és lim = sup { N} R [lim = inf { N} R]. 2. Ha az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről nem korlátos [monoton csökkenő és alulról nem korlátos], akkor: lim = + [lim = ]. 47. Milyen műveleti tételeket ismer konvergens sorozatokra? Válasz: Ha ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim = R, lim = R, akkor: 1. Az( + ) sorozat is konvergens és lim( + )= +, 2. az ( ) sorozat is konvergens és lim( )=, 3. ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és lim =. 48. Igaz-e az, hogy ha ( ) konvergens és ( ) divergens, akkor ( + )is divergens. Válasz: Igen, hiszen ha ( + ) is konvergens lenne, akkor ( + ) ( )=( ) is konvergens lenne. 49. Fogalmazza meg sorozatok összegének határértékére vonatkozó állítást. 5

Válasz: Tegyük fel, hogy: lim( ) = R, lim( ) = R, ekkor: ha + értelmes, akkor ( + ) sorozatnak létezik határértéke, és lim( + ) = +. 50. Táblázattal szemléltesse a sorozatok szorzatának a határértékére vonatkozó állítást. Válasz: Tegyük fel, hogy: lim( ) = R, lim( ) = R, ekkor: ha értelmes, akkor ( ) sorozatnak létezik határértéke, és lim( )=. >0 =0 <0 = = >0 =0 /////////// /////////// <0 = /////////// = /////////// 51. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Válasz: Minden ( ) korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. 52. Definiálja a Cauchy-sorozatot. Válasz: Az ( ): R sorozat Cauchy-sorozat, ha > 0, N és, <. 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy ( ): Rsorozat nem Cauchysorozat! Válasz: Az ( ): R sorozat nem Cauchy-sorozat, ha > 0, N és,. 54. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz: Az ( ): R sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat. 55. Hogyan értelmeztük az e számot? Válasz: Az 1+ sorozat konvergens és =lim1+. 56. Milyen állítást ismer a ( ) mértani sorozat határértékével kapcsolatosan? 0, < 1 Válasz: lim( 1, = 1 ) =, > 1, 1 57. Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt. Válasz: Legyen >1 természetes, a pozitív valós szám. Ekkor: 6

1. pontosan egy olyan pozitiv valós szám létezik, amelyre =, 2. ez az az: = + ( 1), N(x 0 >0 tetszőleges) rekurzióval értelmezett ( ) sorozat határértéke. 58. Legyen >0,1<. Melyik az a sorozat, amelynek határértéke? Válasz: Ha akkor lim = R, = 1 + ( 1), Végtelen sorok 59. Mi a végtelen sor definíciója? Válasz: Az (, N) sorozat által meghatározott = + +...+ sorozatot (az által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés:. a sorozat n-edik részletösszege. 60. Mit jelent az, hogy a végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét? Válasz: sor konvergens, ha az sorozat konvergens. Ha -nek létezik határértéke, akkor a sor összege ez a határérték, azaz = lim. 61. Milyen tételt ismer Resetén a geometriai sor konvergenciájáról? Válasz: akkor és csak akkor konvergens, ha <1 és ekkor 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Válasz: A konvergens sort teleszkópikus sornak nevezzük. () () Összege: = 1. az összege. 63. Fogalmazza meg a sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz: akkor és csak akkor konvergens, ha > 0, N,,, > : <. 64. Ismer-e sorok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt? Válasz: Igen, ha konvergens, akkor lim = 0. 65. Igaz-e az, hogy ha lim ( ) = 0, akkor a konvergens? Válasz: Nem igaz. Pl.: divergens. 66. Fogalmazza meg a nem-negatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tételt! 7

Válasz: A nemnegatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha ( korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumot. ) N sorozat Válasz: Tegyük fel, hogy, nemnegatív tagú sorok és létezik N, hogy 0 minden -re. Ha konvergens, akkor is konvergens. Ha divergens, akkor is divergens. 68. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó gyökkritériumot. Válasz: Tegyük fel, hogy létezik lim. Ha lim <1, akkor a sor abszolút konvergens. Ha lim >1, akkor a sor divergens. 69. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó hányadoskritériumot. Válasz: Tegyük fel, hogy 0 ( N) és létezik lim. Ha lim <1, akkor a sor abszolút konvergens. Ha lim >1, akkor a sor divergens. 70. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergencia tételt ismer ezekkel kapcsolatban? Válasz: Ha 0 minden N-ra, akkor a ( 1) sort Leibniz-típusú sornak nevezzük. A ( 1) Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha lim =0. 71. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens. Válasz: A konvergens, mert Leibniz-típusú sor, de nem abszolút konvergens, ( 1) hiszen divergens. 72. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyiknek az összege az e szám. Válasz: =! 73. Mondja ki a tizedestörtekről a tételeket! Válasz: Ha ( ): N {0,1,2,,9}, akkor a sor konvergens és [0,1]. 8 Ha [0,1] akkor létezik ( ): N {0,1,2,,9}, hogy = 74. Mit nevez egy számsor zárójelezett sorának?. Válasz: Legyen ( ):N N szigorúan monoton növő. A sor ( ) indexsorozat által meghatározott zárójelezésén a sort értjük, ahol =, = 1. 75. Hogyan szólnak a végtelen sorok zárójelezésére vonatkozó tételek?

Válasz: Ha konvergens, akkor is az minden zárójelezés mellett és =. Ha az ( ) sorozat korlátos, lim =0 és konvergens, akkor is konvergens. 76. Mit nevez egy végtelen sor átrendezésének? Válasz: Ha :N N bijekció, akkor a sor által meghatározott átrendezésén a sort értjük. 77. Fogalmazza meg a feltételesen konvergens sorok átrendezésére vonatkozó Riemann-tételt. Válasz: Tegyük fel hogy feltételesen konvergens (konvergens, de nem abszolút konvergens). Ekkor: 1. R-hez ( ):N N bijekció, hogy = 2. ( ):N N bijekció, hogy divergens. 78. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezésével kapcsolatban? Válasz: Ha abszolút konvergens, akkor minden :N N bijekcióra a átrendezett sor is abszolút konvergens és =. 79. Definiálja a, sorok téglányszorzatát. Válasz: ( ) ( )= {,}. 80. Definiálja a, sorok Cauchy-szorzatát. Válasz: ( ) ( )=. 81. Adjon meg olyan végtelen sorokat, amelyek Cauchy-szorzata divergens. ) Válasz: ( ( 1) ) ( ( 1) divergens. 82. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzatára vonatkozó Cauchy-tételt. Válasz: Ha és abszolút konvergens sorok és =, =, akkor ezek Cauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata is abszolút konvergens és összegük AB. 83. Fogalmazza meg a Mertens-tételt. Válasz: Tegyük fel, hogy abszolút konvergens és konvergens sorok és =, =. Ekkor a ( ) ( ) Cauchy szorzat konvergens és összege AB. Hatványsorok, elemi függvények 9

84. Írja le a hatványsor definícióját. Válasz: Legyen =, ( ): N és adottak. Tekintsük N-re az () = ( ) ( )hatványfüggvényeket. Ekkor az ( ) függvénysorozatból képzett függvénysort, azaz a ( ) függvénysort az középpontú és együtthatójú hatványsornak nevezzük. 85. Fogalmazza meg a hatványsorok konvergenciasugaráról az általánosított Cauchy- Hadamard-tételt. Válasz: A ( ) hatványsorra a következő 3 eset egyike fennáll: 1. Létezik 0<< -re, amire < abszolút konvergens a hatványsor > divergens a hatványsor 2. a hatvány sor csak x=a esetén konvergens ( = 0) 3. R-re abszolút konvergens a hatványsor ( = ) Az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt. Válasz: Tekintsük a ( ) hatványsort és tegyük fel, hogy lim. Legyen, h =0 0, h = 1, üö Ha < akkor a ( ) hatványsor abszolút konvergens, ha > akkor divergens. 87. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1,1) intervallum. Válasz: Például: R, ( )=( 1,1), = 1, ( =, = 0) 88. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1,1] intervallum. Válasz: Például: R, ( () )=( 1,1], =1 89. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1,1) intervallum. Válasz: Például: R, ( ) = [ 1,1), = 10 90. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1,1] intervallum. =1

Válasz: Például: R, ( ) = [ 1,1], =1 91. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a = 2 pontban konvergens. Válasz: ( 2) 92. Definiálja az exp függvényt. Válasz: = ( )! 93. Definiálja a sin függvényt. ()! Válasz: = ( 1) ( ) 94. Definiálja a cos függvényt. Válasz: = ( 1) ( ) ()! 95. Írja fel ( +),,, segítségével. Válasz: (+)= + cos sin (, ) Függvény határértéke 96. Mit jelent az, hogy R torlódási pontja a Rhalmaznak? Válasz: Minden () környezetre a () végtelen halmaz. 97. Mivel egyenlő az R, a Q és az ( N}) halmaz? Válasz: R =R,Q =Q, N} = {0} 98. Adott R R,, Resetén mi a definíciója a lim a =egyenlőségnek? Válasz: Az f függvénynek az pontban van határértéke, ha R, hogy > 0, >0, ( ()\{}): () (). 99. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R, R. Ekkor: lim a = > 0 > 0,0< < : () <. 100. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R. Ekkor: lim a =+ R >0,0< <:() >. 11

101. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R. Ekkor: lim a = R >0,0< <:() <. 102. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +, R. Ekkor: lim = > 0 R, > : () <. 103. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R,, R. Ekkor: lim = > 0 R, < : () <. 104. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +. Ekkor: lim = + R R, >:()>. 105. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +. Ekkor: lim = R R, >:()<. 106. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: : R R,. Ekkor: lim =+ R R,< :() >. 107. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: : R R,. Ekkor: lim = R R,< :() <. 108. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet. Válasz: lim = ( ):N \{}, lim = esetén: lim( ) =. 109. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről? Válasz: Ha () = ( ) ( ()), akkor bármely () esetén létezik a lim határérték és lim = (). 12

110. Mit lehet mondani monoton növekedő függvény határértékéről? Válasz: Ha :(,) R, akkor lim = sup():,<, (,] és lim = inf():,>, [,). 111. Mit lehet mondani monoton csökkenő függvény határértékéről? Válasz: Ha :(,) R, akkor lim = inf():,<, (,] és lim = sup():,>, [,). Függvények folytonossága 112. Definiálja egy R Rfüggvény pontbeli folytonosságát. Válasz: Egy R R az pontban folytonos, ha > 0 > 0, < : () () <. 113. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között? Válasz: Ha, akkor () lim és lim = (). 114. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról? Válasz: Hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciahalmaz belsejében (a konvergenciatartományon). 115. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: () ( ):N,lim =:lim( ) =lim(). 116. Fogalmazza meg a hányados függvény folytonosságára vonatkozó tételt. Válasz:, (), ekkor ha () 0 akkor (). 117. Milyen tételt ismer az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? Válasz: (), () (). 118. Definiálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek megszüntethető szakadási helye van az -ben, ha lim és ez véges, és lim (). 119. Definiálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek elsőfajú szakadási helye van -ben, ha lim, lim és ezek végesek, de lim lim 120. Mit tud mondani monoton függvény szakadási helyeiről? 13

Válasz: Ha :(,) R monoton. Ekkor f-nek legfeljebb elsőfajú szakadásai lehetnek, azaz f vagy folytonos egy pontban, vagy elsőfajú szakadása van. 121. Mit tud mondani a korlátos és zárt [,] Rintervallumon folytonos függvény értékkészletéről? Válasz: A korlátos és zárt [,] R intervallumon folytonos függvény értékkészlete is korlátos. 122. Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: Ha : [,] R folytonos akkor f-nek létezik abszolút minimuma és abszolút maximuma. 123. Mit mond ki a Bolzano-tétel? Válasz: Tegyük fel, hogy : [,] R folytonos függvény. Ha () ()<0, akkor van olyan (,), hogy () = 0. 14