IV. Integrálszámítás. IV.1. Alsó és felső közelítő összeg

Átírás

1 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 7. oldl IV. Iegrálszáíás Bevezeés: A fzká lálkozuk zzl proléávl, hogy száísuk k es áll ege u, h serjük de dőpll seességé, zz serjük v függvéy. Ez úgy ehejük eg, hogy feloszjuk z do dőro ks dőervlluokr, ezeke úgy ekjük seessége, álldó eysége, ehá ez dők l es s v uk esz eg. H összegezzük s uk, egkpjuk es áll ege összes u. H poos krjuk egkp ez ávolságo, kkor dőervlluok hosszá él rövdeek kell válsz. [I eg végeleül kcs proléájá üközük!] Érezheő, hogy ez godolee rlz zoyos ugrások. Mekkor z seesség, vel dőervlluok száoluk? [Melyk dőpohoz rozó seessége eksük álldók?] Hogy végezzük el z összegzés? Meyre lesz poos z eredéyük? Eze kérdések felveése uá jogos géy erül fel rr, hogy z lye jellegű proléák eglpozzuk, ódszer djuk ehhez hsoló száíások elvégzésére. IV.. Alsó és felső közelíő összeg Def. Legyeek z [, ervllu első poj z < < <... < < pook [ N ]. Ekkor z, jelöléssel z [, ] ervlluok [,,,..., ] z [, ervllu egy feloszásá jelek, z pook pedg feloszáshoz rozó oszópook. Def. Legye z f függvéy érelezve z [, ervlluo, és legye f korláos. Legye : < < <... < < z [, ervllu egy feloszás. Legye ováá z f függvéy fu [legkse lsó korláj vgy lsó hár] z, ] ervlluo, és legye [ M z f függvéy supreu [legkse felső korláj vgy felső hár] ugy. Ekkor z s S összege z f függvéy feloszáshoz rozó lsó közelíő összegéek, M összege z f függvéy feloszáshoz rozó felső közelíő összegéek

2 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 7. oldl evezzük. Megjegyzés: Az S lleve s defícójáól kövekezőe S s. Def. A feloszás foíásák evezzük Ψ feloszás, h Ψ oszópoj közö szerepel de oszópoj. Téel: H és Ψ z [, ervllu egy-egy feloszás, és Ψ feloszás foíás, kkor S S s s. Ψ Ψ Def. Legye és z [, ervllu egy-egy feloszás. A Ψ feloszás és közös foíásák evezzük, h oszópoj közö szerepel és de oszópoj. Téel: H és z [, ervllu egy-egy feloszás, és Ψ és közös foíás, kkor S S Ψ sψ s. IV.. A hározo egrál Nézzük ezek uá evezeő példá láo száolás ódszer. A példák szereplő függvéy seességfüggvéy, vzsgál ervllu feloszás pedg z álluk lklzo feloszás. H z lsó közelíő összege vesszük, z deképpe kse vgy egyelő, es áll ege ú, eszőleges feloszás eseé, hsze seessége dg lulról ecsüljük, zz es de egyes dőervllu gyo seességgel ozgo, így ö u e eg, ey rr z ervllur száoluk. Hsoló láhó, hogy felső közelíő összeg dg gyo vgy egyelő, es áll ege ú. Megállpíhjuk ehá, hogy h léezk es áll ege ú, [ kkor ez de feloszás eseé z s, S ] ervllu esk. A ege úk zo egyérelűek kell lee, ehá csk kkor kphjuk eg z u lye száíássl, h poos egy szá esk eze ervlluok degykée, zz eszeüke s. Def. Legye z f függvéy korláos [, -. Az f egrálhó [, -, h poos egy oly I szá léezk, elyre z [, eszőleges feloszás eseé feáll z S I s egyelőle-

3 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 74. oldl ség. Az I száo z f [, - ve hározo egrálják evezzük, és jelöljük. f -fel vgy f d -szel Péld:. Teksük z f c függvéy z [, eszőleges ervlluo. Nylvávló, hogy z [, eszőleges feloszás eseé M és éréke de eseé c. Tehá z lsó és felső közelíő összegek eszőleges feloszás eseé: S s c c c. Nylvávló ehá, hogy z f függvéy egrálhó [, - és hározo egrálj. Teksük, h rc. D úgyeveze Drchle-függvéy vlely [, ervllu-, h rrc. o. cd c. Mvel z [, ervllu eszőleges : < < <... < < feloszásár z [, ] ervllu esk rcoáls és rrcoáls szá s, ezér de, ] ervlluo [ M és. H felírjuk z lsó lleve felső közelíő összegeke, kkor s és S érékeke kpjuk eszőleges feloszás eseé. Eek lpjá ár ylvávló, hogy D függvéy e egrálhó selye [, ervlluo. Megjegyzés: A korák ár láuk, hogy eszőleges, feloszások eseé eljesül, hogy S s, zz f S sups [ z összes feloszás eleérjük]. A fe defícó zo z s jele, hogy f S I sups, udllk I s lleve S I de feloszásr vló feálláól I sup s és f S I kövekezk. Mvel z I egyérelű, sup s és f közö S csk egy szá lehe, z f S I sups egyelősége voj g uá. A defícó ehá úgy s kodhák, hogy z f egrálhó [, -, h z lsó lleve felső közelíő összegek közö csk egy elválszó érék v, vgys f S sups. A középskol uláyok sorá zo-

4 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 75. oldl z elíe evezeő godolee végére jo lleszkedk defícók z foráj, hogy z először koduk. A os elíe uljdoság vszo ovák foos szerepe fog kp. Az egrálhóság eldöésére lleve hározo egrál kszáíásár z eddgeke egy elv ódszer láhuk. Azo gykorl z ehéz közveleül áüle, hsze feloszások szá végele sok, eelle fjájuk s ge sokféle lehe. Oly ódszer kée ehá láluk, ely leegyszerűsí száolás, és leheővé esz, hogy zoyos specáls feloszások segíségével köye egállpíhssuk egy függvéy egrálhóságá és hározo egrálják éréké. IV.. Az oszcllácós összeg és közelíő összeg Def. Legye f korláos z [, ervlluo, és : < < <... < < z [, eszőleges feloszás. Az összegéek evezzük. Ω S s száo z f függvéy feloszáshoz rozó oszcllácós Téel: f egrálhó [, - kkor és csk kkor, h z Ω [ eszőleges feloszás z [, ervlluk] oszcllácós összegek hlzák fu [lsó hár]. Ez éel ásképp s egfoglzhjuk: Téel: f egrálhó [, - kkor és csk kkor, h léezk z [, ervllu feloszásól álló oly feloszássoroz, elyre z egyes feloszásokhoz rozó oszcllácós összegek soroz -hoz r. Kövekezéy: H láluk egy feloszássorozo, ely éel feléele kelégí, kkor feloszássoroz eleehez rozó lsó lleve felső közelíő összegek soroz koverges és hározo egrál érékéhez r. Def. A : < < <... < < feloszás z [, ] ervlluok hosszák uá feloszás foságák evezzük. Def. Az [, ervllu feloszásk soroz végeleül foodó, h feloszás-

5 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 76. oldl soroz gjk foság -hoz r. Péld: Az [, ervllu részre öréő egyelees feloszásól képze feloszássoroz végeleül foodó, er z oszó ervlluok hossz végelee., és ez -hoz r, h r Téel: f egrálhó [, - kkor és csk kkor, h eszőleges végeleül foodó feloszássorozr feloszásokhoz rozó oszcllácós összegek soroz -hoz r. Kövekezéy: f egrálhó [, - kkor és csk kkor, h eszőleges végeleül foodó feloszássorozr feloszásokhoz rozó lsó lleve felső közelíő összegek soroz koverges és hárérékük egegyezk. A éelek és kövekezéyéek jeleősége rejlk, hogy h z egrálhóság éyé el udjuk döe [például vlely feloszássorozhoz rozó oszcllácós összegek soroz -hoz r], de z lsó lleve felső közelíő összegek hárérékéek kszáíás e leheséges vgy ehézkes, kkor válszhuk egy eszőleges, végeleül foodó feloszássorozo, elyre ár eseleg köyű kszáí pl. z lsó közelíő összegek sorozák háréréké. Péld:. Állpísuk eg, hogy z f egrálhó-e z, ] [ ervlluo, és h ge, száísuk k hározo egráljá! Legye z [, ] ervllu részre vló egyelees feloszás. Mvel z f szgorú ooo ő [, ] -, ezér z, ] ervlluo [ f f, M f f. Az [, ] ervlluok hossz. A -hez rozó oszcllácós összeg Ω M. Ez ylvá -hoz r, h r végelee, ehá z f függvéy egrálhó. Azo h z lsó vgy felső közelíő összegek sorozák háréréké krák kszáí erre feloszássoroz-

6 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 77. oldl r, kkor ehézségeke üközék. Láhó ugys, hogy kor pl. z lsó közelíő összege írjuk fel, lkú gok kell összegezük, és zedk hváyok összegéek zár lkr hozás zoy egleheőse oyolul feld. Ezér vegyük egy ásk, végeleül foodó feloszássorozo, ez legye Ψ. Legyeek z ee szereplő -edk feloszás oszópoj z < q < q <... < q pook, hol q k q k q k q, ezek közül leggyo [q éréké vsszírv]. Mvel < < q. A szoszédos oszópook ávolság k eseé fellépő q q és, ezér feloszássoroz végeleül foodó, így hozzá rozó lsó vgy felső közelíő összegek sorozák háréréke hározo egrál éréké dj. Az egyszerűség kedvéér ovár s q jelöléssel élve kpjuk, hogy: S Ψ q q q, er f szgorú ooo ő. S Ψ q q q q q q q q q q q Tudjuk, hogy q q q q 9 q 8. Mvel q, h, ezér... q q. q Tudjuk ováá z s, hogy l l, ehá q l S Ψ. Az kpuk ehá eredéyül, hogy z f egrálhó z, ] [ ervlluo, és hározo egrálják éréke f d.. Teksük z ú. Re-függvéy, zz z, h rrc. R p, h [ q q q függvéy. Iegrálhó-e R [, ] ervlluo? >, p, q ] Legye [, ] ervllu eszőleges feloszás. A függvéy lsó hár de ervlluo, vel de ervllu v rrcoáls szá, ezér z lsó közelíő összeg eszőleges fel-

7 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 78. oldl oszás eseé. Vegyük észre, hogy függvéy -él gyo éréke -él kevese helye vesz fel, ugys h f, kkor p, p, q és q kell eljesüljö. Mde q q -hez p -él kevese p v, elyre < <, és egfelelő q-k szá s legfelje, ehá fe e- q líe -ek szá legfelje [ső ál zos kse. Teksük ehá, ] [ ervllu részre vló egyelees feloszásá, ez legye. Az S M összege osuk egy S lleve Sösszegre: S -e vegyük zok gok, elyeke M, S -e rdéko. A fe- ek szer S legfelje gú összeg [előfordulh, hogy vlely po ké oszó ervllu hárá v, és dkeőél fgyelee kell veük], és z zos, hogy z S -e szereplő de M -re M. Tehá S de M -re M <. Tehá fgyelee véve z kpjuk, hogy. S -e S -él kevese g v, és z szereplő <. Az S lleve Sösszegre do felső ecslés < S S S <. Tehá feloszássorozr s [er de feloszásr s ], S, így z R egrálhó [, ] ervlluo, és z egrálj. Felhszálv z egrálhóság lleve z lsó és felső közelíő összegek kpcsolá, ég egy ódszer dhuk eg hározo egrál kszáíásár. Def. Legye : < < <... < < z [, ervllu egy feloszás, legye [, ], egyéké eszőleges [,,,..., ], és legye z f függvéy korláos z [, ervlluo. A σ f összege z f -hez rozó közelíő összegéek evezzük.[ σ éréke ylvá e függele egválszásáól!]. Megjegyzés: σ defícójáól ylvávló, hogy σ S s.

8 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 79. oldl A korá éelek lleve redőr-elv lklzásávl közelíő összeg lá uljdoság állpíhók eg: Téel: H f egrálhó z [, ervlluo, kkor eszőleges végeleül foodó feloszássorozr feloszásokhoz rozó eszőleges közelíő összegek soroz hározo egrál érékéhez r. Téel: f egrálhó z [, ervlluo és z egrálj I kkor és csk kkor, h de ε > szához v oly feloszás, elyhez rozó eszőleges σ közelíő összegre feáll z σ I < ε egyelőleség. IV.4. A hározo egrál uljdoság IV.4.. A hározo egrál és űveleek kpcsol Téel: H f egrálhó [, - és c eszőleges vlós szá, kkor cf s egrálhó [, - és cf d c f d. Téel: H f és g egrálhó [, -, kkor f g s egrálhó [, - és g d f d f g d. Téel: H f és g egrálhó [, -, kkor fg s egrálhó [, -. Megjegyzés: Eddg dfferecál- lleve egrálszáíás és űveleek kpcsoláál csup oly eseel lálkozuk, elyél z összeg-, szorz- s. függvéy egfelelő szárzo eysége kszáíhó vol z erede függvéyek egfelelő szárzo eységéek segíségével. Azo fg d e száíhó k f d és g d segíségével, poos foglzv cs oly álláos érvéyes eljárás, ellyel szorzfüggvéy egrálj z erede függvéyek egrálják segíségével kszáíhó lee. Ez ás szvkkl z jele, hogy ké

9 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 8. oldl függvéy egrálják éréke e hározz eg szorzfüggvéy egráljá. Ez egy egyszerű példávl eguhó. Legye például először f g, és száísuk k f, g és fg hározo egráljá [, ] ervlluo. Nylvávló, hogy f d g d és fg d 4. Mos legye f g, és száísuk k ugyeze hározo egrálok éréké. I os e részleeze száíássl kpjuk: f d g d, fg d. [A ké egrál éréke z egyelees feloszássorozhoz rozó lsó lleve felső közelíő összegek sorozák hárérékeké köye kszáíhó.] Az kpuk ehá, hogy dké esee f d g d, de z első esee fg d 4, ásodk esee fg d. H lee álláos képle fg d -ek f d és g d érékéől öréő kszáíásár, kkor dké esee ugyz kelle vol kpuk. Azo külööző eredéyekhez juouk, így e léezhe z géyeke kelégíő álláos eljárás. A feekhez hsoló éel e odhuk k ké függvéy háydosák egrálhóságár, hsze öek közö z se udjuk grál, hogy h f és g egrálhó [, -, kkor háydosfüggvéy korláos [, -, így f és g egrálhóságák ylvá e kövekezéye háydosuk egrálhóság. Vszo zoyos feléelek eljesülése eseé háydos egrálhó, evezeese: Téel: H g egrálhó [, -, és g c >, kkor s egrálhó [, -. g A fe éel és szorz egrálhóságár odo éel kövekezéye: f Téel: H f és g egrálhó [, -, és g c >, kkor s egrálhó [, -. g Megjegyzés: Terészeese scse álláos kszáíás ód, kárcsk szorzfüggvéy egráljáál.

10 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 8. oldl A feekkel szee ké, de ervlluo egrálhó függvéyől képze összee függvéy e szükségképpe egrálhó. Legye például, h f, h, h rrc. R p, h, [ q >, p, q ] q q f ylvá egrálhó [, ] -, és ár láuk, hogy R s egrálhó. Vszo z, h rrc. f R D függvéy Drchle-függvéy, ről ár eguuk, hogy, h rc. selye [, - e egrálhó. f g egrálhóságár csk kkor kövekezeheük, h z egrálhóságo kívül ová uljdoságok feléelezük f-ről és g-ről. Például: Téel: H g egrálhó [, - és f folyoos egy g[, - rlzó zár ervlluo, kkor f g s egrálhó [, -. Téel: H f egrálhó [, -, kkor f s egrálhó [, -. Megjegyzés: A éel egfordíás ylvávló e gz. Legye például, h rc. f, h rrc. Ekkor f ylvá egrálhó de [, -, de egyszerűe eláhó, hogy f e egrálhó selye [, -, er [, eszőleges feloszás eseé z lsó közelíő összegek - vel, felső közelíő összegek -vl egyelőek, és. IV.4.. Az egrál ervlluo vló ddvás Téel: H f egrálhó [, - és [ c, d] z [, egy részervllu, kkor f egrálhó [ c, d] - s. Téel: H f egrálhó [, - és c,, kkor f egrálhó [, c] - és [ c, - s, és

11 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 8. oldl c d f d f f d. c Téel: H f egrálhó [, c] - és [ c, -, kkor f egrálhó [, - és c d f d f f d. c Def. Legye f egrálhó [, -. Ekkor vezessük e z lá hározo egrálok: Legye f d f d, és legye f d. A evezee új jelölésekkel lleve hározo egrál kerjesze érelezésével z lá álláos éelhez juuk: Téel: c d f d c f f d, eye z egyes egrálok léezek. [, és c eszőleges vlós száok] IV.4.. Az egrálhóság elégséges feléele Téel: H f ooo z [, ervlluo, kkor f egrálhó [, -. Téel: H f korláos [, -, és [, felohó véges sok ervllur, elyek degyké f ooo, kkor f egrálhó [, -. Téel: H f folyoos [, -, kkor f egrálhó [, -. Megjegyzés: Ez éel száukr ge foos, er z álluk hszál függvéyek gy része folyoos, így z egrálhóságo e kell külö egvzsgál ezek eseée. Téel: H f korláos z [, ervlluo, és de δ > eseé egrálhó z [ δ, ervlluo, kkor egrálhó z [, - s.

12 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 8. oldl Téel: H f korláos [, - és véges száú hely kvéelével folyoos, kkor f egrálhó [, -. Téel: H f egrálhó [, -, g érelezve v [, - és véges száú hely kvéelével g f, kkor g s egrálhó [, -, és f d g d. Ez éel leheősége d rá, hogy függvéy egrálhóságá kerjesszük rr z esere, kor z f függvéy z [, ervllu véges sok pojá cs érelezve, de z érelezés roáyák [, -e eső részé korláos. Legye ugys g f zok pook, hol f érelezve v [, -, rdék véges sok po pedg g éréke legye eszőleges. A korá odo éelek szer h g egrálhó [, -, kkor hározo egrálják éréke e függ eze véges sok po felve függvéyérékől. Vgys legye f d g d, h g egrálhó [, -, egyé esee pedg legye f e egrálhó [, -. Tehá összefogllv hározo egrál éréke e válozk, h:. A függvéy éréké véges sok po egválozjuk. A függvéy érelezésé véges sok po kerjeszjük. A függvéy érelezésé véges sok po egszüejük IV.4.4. A hározo egrálr vokozó egyelőleségek Téel: H f egrálhó [, -, és k f K z [, ervlluo, kkor k f d K. Téel: H f egrálhó [, -, és k f K z [, ] ervlluo, kkor v oly µ szá, elyre k µ K és f d µ.

13 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 84. oldl A éel kövekezéye z lá éel: Téel: H f folyoos [, -, kkor v oly c [,, elyre f d f c. IV.5. A hározo egrál és erüle kpcsol H z egrál defícójá ekjük és egy koordáredszere felrjzoljuk függvéy grfkojá lleve z lsó és felső közelíő összegeke, kkor láhjuk, hogy z lsó közelíő összegek oly égllpok erüleeek összege, elyek z egely, z és egyeesek vl függvéy grfkoj áll hárol síkdoo elül vk, felső közelíő összegek pedg oly égllpok erüleeek összege, elyek z elíe síkdoo lefedk. [A síkdo -o ág érelee kell veük, hsze például e folyoos függvéyek grfkoj e folyoos, e összefüggő görék.] A síkdo erülee [h egyállá v lye] gyo, ee levő égllpok erüleéek összege, és kse, z ő lefedő égllpok erüleéek összege. H függvéy egrálhó, kkor csk egy oly szá v, ely ezekkel uljdoságokkl redelkezk, és ez függvéy hározo egrálj. Tehá z elíe síkdo erülee hározo egrálll kell, hogy egegyezze z esee, h függvéy egrálhó. A feeke elodokk szelélees jeleésrl v. Mdeke v egy uív elképzelés erüleről, erüle fogláról, és ez vejük össze z egrálszáíás eddg egser eredéyevel. Azo erüle foglá e ár eglpoz, er e eljese egyérelű, hogy ér po úgy száíjuk k z egyes lkzok erüleé, hogy esszük. Erre v geoer lleve lkus ódszer s, de deképpe érdees vlhogy övöz kéféle árgylás ódo. Terészeese z lye ódo öréő erülefoglo felépíése e kell, hogy eljes ek precízséggel öréjék. Azo korá z érővel kpcsol lászólg elleodás kerülük szeléleel, ezér érdees erüle zo uljdoság keel, elyek vlágossá eszk, hogy erüleszáíás ér hszálhjuk hározo egrál kszáíásá. Az eddgeke láhuk ár éháy példá hározo egrál kszáíásár. Érezheő zo, hogy kár z lsó vgy felső közelíő összegegekkel, kár közelíő összegekkel vgy z oszcllácós összeggel öréő száolások elég oyolulk és ehézkesek. A ovák oly ód-

14 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 85. oldl szerről lesz szó, ely leegyszerűsí z egrál kszáíásá. IV.6. Az egrálfüggvéy Def. Legye f egrálhó [, -. Ekkor udjuk, hogy de eseé f egrálhó z [, ] ervlluo. Az I f d függvéy z f egrálfüggvéyéek evezzük. Téel: H f egrálhó [, -, kkor f egrálfüggvéye folyoos [, -. Téel: H f folyoos [, -, kkor f egrálfüggvéye folyoos [, -, dfferecálhó, -, és I f. H fe éel kcs egvzsgáljuk, z lá érdekes kpcsolo fedezhejük fel: Az egrálfüggvéy defícójá ekve ylvávló, hogy f d I I. Másrész vszo láuk, hogy h f folyoos, kkor I f, vgys hározo egrál éréké egy oly függvéyek z ervllu széle felve függvéyéréke külöségeké kpjuk, elyek derválj egráldó függvéy. Ez egfgyelés álláos s gz, evezeese: Téel: [Newo-Lez forul] H f egrálhó [, -, F folyoos [, -, dfferecálhó, - és F f, kkor f d F F. Az F F kfejezés szokásos jelölése [ F ]. Péld:. Legye f c. Száísuk k hározo egráljá z [, ervlluo! F c -re eljesül, hogy F f. Tudjuk, hogy f folyoos, ehá f egrálhó [, -, így Newo-Lez forul érelée f d F F c.

15 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 86. oldl. Legye f. Száísuk k hározo egráljá z, ] [ ervlluo! Mvel f folyoos, f egrálhó z [, ] ervlluo. H F. A F, kkor f Newo-Lez forul érelée f d F F. A példákól s láhó, hogy Newo-Lez forul léyegese egyszerű száolás leheősége yúj, z lsó lleve felső közelíő összegek hárérékéek egdás. Persze éh z s ehézsége okoz, hogy láljuk oly függvéy, elyek derválj z álluk egrál kívá függvéy, de legö, középskolá előforduló függvéy eseé vszoylg egyszerű ódszerekkel lálhuk lye. A Newo-Lez forul z uj, hogy z egrál- és dfferecálszáíás közö kpcsol áll fe. A ovák ez kpcsolo vzsgáljuk eg. IV.7. Prív függvéy, hározl egrál A Newo-Lez forul kkor lklzhó, h f egrálhó [, -, és v oly F függvéy, elyre F f. Vezessük e egy új fogl! Def. H F dfferecálhó z, -, és F f, kkor F-e z f, -hez rozó prív függvéyek evezzük. Def. H F dfferecálhó z [, -, és F f, kkor F-e z f [, -hez rozó prív függvéyek evezzük. A Newo-Lez forul prív függvéy foglák segíségével z lá lk írhó fel: Téel: [Newo-Lez forul] H f egrálhó [, -, v prív függvéye és ez F, kkor f d F F.

16 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 87. oldl Ezek uá rögö kövekező kérdések erülek fel:. f lye uljdoságól kövekezk, hogy v prív függvéye?. H f-ek ö prív függvéye v, kkor ezek lye kpcsol vk egyássl?. Iegrálhóság és prív függvéy léezése közö v-e összefüggés? Nézzük os z egyes kérdésekre válszok! Téel: H f-ek v prív függvéye [, -, kkor f redelkezk Drou-uljdosággl, zz f de f és f köz éréke felvesz z [, ervlluo. Megjegyzés: A Drou-uljdoság szükséges, de e elégséges feléel prív függvéy léezéséhez. Legye ugys [, ] ervlluo f kövekezőképpe érelezve:, h f, h < Nylvávló, hogy f [, ] ervlluo de f és f közé eső éréke felvesz, er f f, így redelkezk Drou-uljdosággl. Vszo h lee oly F függvéy, elyre F f [, ] ervlluo, kkor F f eljesüle például [, ] ervlluo, zo ylvávló, hogy f e redelkezk Drou-uljdosággl, er f és f közé eső érékeke egyállá e vesz fel. Tehá f-ek e léezk prív függvéye [, ] ervlluo. Téel: H f folyoos [, -, kkor v prív függvéye [például z egrálfüggvéye]. Megjegyzés: A folyoosság elégséges, de e szükséges feléele prív függvéy léezéséek. Erre jd késő láuk példá. Téel: Legye F z f függvéy prív függvéye z [, ervlluo. G prív függvéye f- ek z [, ervlluo kkor és csk kkor, h v oly c koss, hogy z [, ervlluo G F c. A éelől láhó, hogy f prív függvéye csk egy koss érheek el egyásól, ehá h f egy prív függvéyé eghározzuk, egkphjuk z összes prív függvéyé eek se-

17 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 88. oldl gíségével. Mos ár z s érheő, hogy Newo-Lez forulá szereplő F prív függvéy ér lehe eszőleges: h ugys helyee egy G prív függvéy íruk, kkor vlely c-re G F c, és ezér F F [ F c] [ F c] G G. Def. Az f I ervlluhoz rozó prív függvéyeek összességé z f hározl egrálják evezzük, és f d -szel vgy rövde f -fel jelöljük. Láhó, de e ár hgsúlyoz, hogy z f függvéy kéféle egrálj ké eljese külööző dolgo kr: hározo egrál egy szá, íg hározl egrál do uljdoságú függvéyek hlz. IV.8. Alpegrálok Az ú. ele függvéyek dfferecálás szályk sereée kpjuk z ú. lpegrálok, elyeke z ele függvéyek derváljhoz hsoló áláz fogllhuk [ áláz prív függvéy elle fel v üeve z z ervllu, elye prív függvéy érvéyes]. f α, α α, α f d α I érelezés roáy l c, I, vgy I, rc g c, I, rcs c, I [, ] rsh c l c, I, rch c l c, I, vgy I, e e c, I,

18 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 89. oldl f f d c, >, I, l s cos c, I, cos s c, I, cos π π g c, I k,k sh ch c, I, ch sh c, I, ch sh h c, I, - ch c, I, vgy I, IV.9. Kpcsol prív függvéy léezése és z egrálhóság közö Téel: H F z [, - folyoos dfferecálhó [zz derválj folyoos], és z egyszerűség kedvéér F, kkor F F d, zz h z F függvéy derváljuk, jd derváljá egráljuk, vsszkpjuk z erede függvéy [vgy álláos esee F F -]. d Téel: H f folyoos [, -, kkor f d f, zz h függvéy egráljuk, jd z d egrálfüggvéy derváljuk, vsszkpjuk z erede függvéy. Megjegyzés: A fe ké éel z uj, hogy zoyos érelee véve z egrálás és derválás egyásk verz űvelee. Ez ké éel álláos s kodhó:

19 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 9. oldl Téel: H F dfferecálhó [, - és F egrálhó [, -, kkor F F d F. Téel: H f egrálhó [, - és v prív függvéye [, -, kkor f egrálfüggvéye dfferecálhó [, -, és, de pojá I f. V-e szoros kpcsol prív függvéy léezése és z egrálhóság közö? Az lák egujuk, hogy cs. Téel: H f egrálhó [, -, kkor eől e kövekezk, hogy f-ek v prív függvéye [, -. Ez egyszerű egu. Legye például f sg, zz, h > f, h, h < Nylvávló, hogy f egrálhó [, ] ervlluo, de e redelkezk Drouuljdosággl, így e léezk prív függvéye. Téel: H f egrálhó z [, -, egrálfüggvéye dfferecálhó [, -, kkor eől e kövekezk, hogy f-ek v prív függvéye [, -. Eek gzolásához eksük például z előző éelél szerepel f sg függvéy [, ] ervlluo. A korá odok érelée f egrálhó [, ] ervlluo, er egy po kvéelével folyoos, és egrálfüggvéyéek éréke de és közé eső -re egegyezk g függvéy egrálfüggvéyével. Tehá f egrálfüggvéye [, ] ervlluo dfferecálhó, és derválj g függvéy. Vszo f e lehe seelyk függvéyek derválj [, ] ervlluo, er e redelkezk Drou-uljdosággl. Ugyez feáll z R Re-függvéyre s. Korá ár szerepel, hogy R egrálhó [, ] ervlluo, és hározo egrálj. Köye eláhó, hogy R eszőleges ervlluo egrálhó, és hározo egrálják éréke. Eek egfelelőe pl. [, ] ervlluo R egrálfüggvéye z I függvéy, dfferecálhó, és derválj I. A Drou-éel felhszálv pedg eláhó, hogy R -ek e léezk [, ] er-

20 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 9. oldl vlluo prív függvéye, ső z s gz, hogy selye ervlluo cs prív függvéye. Téel: H f-ek v prív függvéye [, -, kkor eől e kövekezk, hogy f egrálhó s [, -. Eek eguásához oly F függvéy kell keresük, ely vlely [, - derválhó, de derválj e egrálhó. Ilye például [, ] ervlluo z s, h F, h függvéy. H <, kkor F s cos, ez ásodk g e korláos, h >, kkor F s cos, ez ásodk g szé e korlá- os. Köye eguhó, hogy F s léezk, ehá F dfferecálhó [, ] ervlluo, de derválj e egrálhó, er e korláos. Megjegyzés: Megdhó oly függvéy s, ely dfferecálhó vlely [, -, derválj korláos, de égse egrálhó. Téel: H f egrálhó [, - és v prív függvéye, kkor eől e kövekezk, hogy f folyoos s. Eek eguásához eksük [, ] ervlluo z s cos, h f, h függvéy. f z kvéelével deü folyoos, és korláos [, ] ervlluo, ehá egrálhó. f-ek prív függvéye s v, égpedg s, h F, h

21 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 9. oldl IV.. Iegrálás szályok A Newo-Lez forul segíségével kpcsolo láluk prív függvéy lleve hározo egrál közö. Állá oly függvéyek hározo egráljá száíjuk k, elyek elege eszek Newo-Lez forul feléeleek, ezér érdees éháy oly szály lleve ódszer véggeke, ely prív függvéy egkeresésée v segíségükre. Téel: [Prcáls egrálás szály] H f és g dfferecálhó z I ervlluo, és f g prív függvéye léezk, kkor f g prív függvéye s léezk és g fg fg f. Péld: Hározzuk eg s prív függvéyé! Legye f cos és g. Ekkor f s, g, ehá fe jelölésekkel d cos cos d cos s s c. Téel: [Prcáls egrálás szály] H f és g dfferecálhó z [, ervlluo és f és g egrálhó, kkor f g d [ f g ] f g d. Péld: Száísuk k e cos hározo egráljá [,π ] ervlluo! Legye f e, g cos. Ekkor e, g s f. Azz feek szer π π e cos d [ e cos ] π e s d Hsoló kpjuk, hogy π Azz z előző kfejezése vsszhelyeesíve e π π s d [ e s ] e cos d. π e cos d [ e cos ] π [ e s ] π π e cos d

22 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 9. oldl π e cos d [ e cos ] π [ e s ] π e π π e cos d [ e π ] Téel: [Helyeesíéssel vló egrálás ódszere] H g dfferecálhó z I ervlluo, f prív függvéye léezk gi - és ez F c, kkor f g g prív függvéye s léezk I- és f g g d F g c. Megjegyzés: A éel kéféle ódo hszálhjuk fel. Egyszer úgy, hogy vlely f függvéy prív függvéyé keresve egy oly g függvéy keresük, elyre z f g g prív függvéye köye egdhó, és ee g verzé írv egkpjuk kerese, f-hez rozó prív függvéy. Másodszor pedg úgy, hogy do vlely f függvéy, elyek ser prív függvéye, és z f g g függvéy prív függvéyé keressük. I os z első ódszerre láhuk példá. Péld: Hározzuk eg prív függvéyé [, ] ervlluo! Legye f és g s [ g π, ervlluo válozk, h f [, ] ervlluo]. Ekkor f g g s cos cos. cos cos s s s d d c c F g c 4 4 Ahhoz, hogy f prív függvéyé egkpjuk, z F g -e g -e, zz jele esee helyée rcs rcs -e kell íruk. Ekkor z F c függvéyhez juuk. Megjegyzés: A szály lászólg oyolul, e úlzo köveheő. Vszo ódszer egyszerűsíheő zoyos echk rükkökkel, elyek végé helyes eredéy kpjuk. [Ez z ú. fzkus ódszer, er fzkusok gykorl száíások sorá ez lklzzák.] Lássuk ehá, hogy lehe egyszerűsíe száolás!

23 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 94. oldl d éréké kell kszáíuk. Vezessük e új válozó, s helyeesíéssel. Ekkor dké oldl dfferecálv cos egyelősége kpjuk, z egyelőség dké oldlá d -vel egszorozv d cos d. Ez vsszírjuk lleve d helyée, és ekkor z lá forá kpjuk: d d s s rc s d s cosd cos d c c 4 Láhó ehá, hogy egyrész z új válozó evezeésével sokkl áekheőé válk száolás, ásrész z lklzo echk jo köveheővé esz, hogy z egyes kfejezések hogy válozk száolás sorá, lleve eek segíségével állpíhjuk eg, hogy egyállá s kell csál. d Ngyo foos zo egjegyez, hogy ez puszá szolkus száíás ódszer, d függvéy d-vel vló egszorzásák lleve d-vel vló egyszerűsíések kokré ek jeleése cs. Az egyszerűsége és áekheősége zo elle szól, hogy lklzzuk, és hszáljuk középskolás feldegoldás eseé s. A íás lleve lklzás sorá zo dg hgsúlyoz kell szolkus jellegé, cskúgy, például végele szóluák evezeésekor. A éel hározo egrálr s kodhó. Mvel láuk, hogy egyszerű és áekheő új válozó lklzás jelölése, éel ár lye forá odjuk k. Téel: [Helyeesíéssel vló egrálás ódszere] H g dfferecálhó z [, ervlluo, f egrálhó g[, - és v prív függvéye, vl f g g egrálhó [, - és v prív függvéye, kkor g f d f g g d g Péld: π cos Száísuk k z s e d egrál éréké! A egoldás sorá korá hszál fzkus ódszer fogjuk lklz. Legye cos!

24 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 95. oldl Ekkor d cos s d s d. Azz π e cos π s cos { s d e d e d e d [ e ] e 44 d A helyeesíés uá hárok úgy érdees egállpí, hogy egézzük, lye érékek közö válozk helyeesíe kfejezés lleve eek egfelelőe z új válozó. Jele esee cos, h -ól π -g válozk, kkor cos cos -ól π cos -g, zz -ől -g válozk. I, láhó, előfordulh, hogy fordío ráyú egrál kpuk, zz z egrál lsó hár gyo, felsőé, de ez csk egy egív előjele jele, ehá e okoz godo. IV.. Néháy péld hározl egrál kszáíásár Az előző egrálás szályok ódo dk rr, hogy z lpegrálok vgy zoyos függvéyek prív függvéyéek sereée ová függvéyek hározl egráljá kszáísuk. Azo, z láhó lesz későeke, éh oly ehézségeke üközük, ellyel dfferecálszáíás sorá e lálkozuk. Eek ok rejlk, hogy dfferecálás szályokól kderül: z ú. ele függvéyek [koss,, s, cos, l, e függvéyekől és ezek verzeől égy lpűvele lleve z összee függvéy képzés véges sokszor lklzásávl előállío függvéyek] derválj eghározhó, és ez dervál s ele függvéy. Ezzel szee prív függvéy egkeresése e űködk lye recepszerűe, legö esee külö öle kell hhoz, hogy z egrálás szályok hogy lklzzuk, pl. lye helyeesíő függvéy válszszuk. Eek z z ok, hogy e de ele függvéy prív függvéye ele függvéy. Ilyeek például s, cos, e függvéyek. Ezekek ylvá léezk prív függvéyük, er folyoosk, á égse dhók eg ele függvéyké. Álláos ódszer prív függvéy keresésére ehá e dhó. Vk zo oly függvéyek, kor ügyes helyeesíéssel vgy egfelelő álkíássl ár ser prív függvéyre vezeheő vssz hározl egrál egkeresése. Nézzük erre éháy példá!. Keressük eg z függvéy hározl egráljá [, ervlluo! [z egyszerűség kedvéér válszouk po ez z ervlluo; áshol ódszer hsoló űködk] A evező szorzá lkíhó:. A evező szorzlkjá felhszálv

25 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 96. oldl öre ké ör összegére udjuk o: Tehá d d c l l Hsoló kphjuk eg oly rcoáls örfüggvéyek hározl egráljá, elyek evezője ásodfokú és ké vlós gyöke v, száláló pedg egy koss áll. [A ké vlós gyök eseée keős gyökö s eleérjük.]. Keressük eg 5 Írjuk fel öre ké ör összegeké: függvéy hározl egráljá [, ervlluo! 5 5 Az előzőeke ár láuk, hogy d l l c és d l c. Eől z kpjuk, hogy 5 d l l l c 7 l l c Hsoló kphjuk eg oly rcoáls örfüggvéyek hározl egráljá, elyek evezője ké vlós gyökkel redelkező ásodfokú, evezője pedg első fokú polo. [A ké vlós gyök eseée keős gyökö s eleérjük.]. Keressük eg függvéy hározl egráljá! A evezőek cs vlós gyöke, ee z esee ehá e űködk z előzőeke lklzo ódszer. Alkísuk á úgy öre, hogy száláló evező derválj szerepelje! d l c. Meg kell ehá hároz hározl egráljá. Eh- hez lkísuk á öre!. Köye elleőrzheő, hogy

26 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 97. oldl Tehá d d 4. Helyeesísük -, ekkor d d. Eek eredéyeképpe z kpjuk, hogy c d d rcg 4 4 Tehá végeredéy: c d rcg l. Hsoló lehe kszáí oly rcoáls örfüggvéy hározl egráljá, elyek evezőjée oly ásodfokú polo áll, elyek cs vlós gyöke, és száláló első vgy ásodfokú polo. 4. Keressük eg z e e e függvéy hározl egráljá, ervlluo! Helyeesísük e -e! Ekkor l, d d. c e c d d d d e e e l l H e rcoáls örfüggvéyé kell egrál, kkor e helyeesíés rcoáls örfüggvéy egrálásár veze. 5. Keressük eg z 4cos 5 függvéy hározl egráljá! Helyeesísük g -. Ekkor g rc, d d. Hszáljuk ég fel, hogy

27 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 98. oldl g cos, zz cos. g d 5 4cos 5 4 d 9 d rcg c rcg g c A z esee, h z egráldó kfejezés s lleve cos rcoáls örfüggvéye, kkor g g, rcg, d d helyeesíés cos és g g cos fgyeleevéelével rcoáls örfüggvéy egrálásár veze. g Megjegyzés: Alcsoy fokú rcoáls örfüggvéyre vezeő helyeesíés leheséges z esee, h s lleve cos rcoáls örfüggvéyée száláló és evező de gjá s lleve cos kevőjéek összege páros, vgy h de g párl. Ekkor cos és g s g összefüggések felhszálásávl z u g, rcgu, g d du helyeesíéssel szé rcoáls örfüggvéy egrálásához juuk. u IV.. Az egrálszáíás lklzás. Terüle- és érfogszáíás Korá ár ese szó rról, hogy h z f függvéy egrálhó z [, ervlluo, kkor z f grfkoj, z és egyeesek vl z egely áll hárol síkdo erülee z f d hározo egrál érékével dhó eg. Ez os zoyíás élkül szerepel, er erüleszáíás felépíése e kpcsolódk szoros éákhoz, de z egrálszáíás fel fogjuk hszál külööző lkzok erüleéek kszáíásár. Melő zo ráérék erre, eük kell egy egjegyzés. Az egrálszáíássl kpo erüle ú. előjeles erüle, égpedg éréke egív, h síkdo z egely l, pozív, h z egely fele helyezkedk el. [Ez hározo egrál defícóják segíségével köye egu-

28 Mgyr Zsol: Alízs középskolá 99. oldl hó.] Ezek lpjá elképzelheő, hogy egy síkdo erüleére - kpuk, h z egrálll száíjuk k, holo vlójá kérdéses erüle gyság e. [pl. f grfkoj, z és z egyeesek vl z egely áll hárol síkdo erülee, íg z egrálszáíássl kpo erüle z előjeles érékek.] Ez ehá gykorl lklzások sorá fgyelee kell veük: z síkdoo, elyek erüleé eg krjuk kp, oly részekre kell ouk, elyek eljes egészée z egely l lleve fele helyezkedek el, jd ezek erüleéek szolú éréké kell összegez. IV... A kör erülee Nylvávló, hogy eljes kör függvéy e udjuk érelez. Száísuk k ehá félkör erüleé! Az R sugrú, orgó középpoú félkör z f Helyeesísük válozk. I cos ϕ, ehá R függvéy grfkoj és z egely hárolj. Mvel ez végg z egely fele v, ezér erülee T R R R d. R s ϕ, d R cos ϕdϕ -. Ekkor éréke R-ől R-g, ϕ éréke π π -ől -g R R R π π π π d π R R s ϕ R cosϕdϕ π R cos ϕdϕ R ϕ s ϕ 4 π R IV... Körckk erülee Legye z R sugrú orgó középpoú körckk középpo szöge α. Ekkor körckke z egely, z gα [, R cos α] és R [ R cos α, R] függvéyek grfkoj hárolják. A körckk eljes egészée z egely fele v, ehá erüleé T R cos α R g α d R d kfejezés dj eg. R cos α

29 Mgyr Zsol: Alízs középskolá. oldl Az első egrál egy egyszerű leárs függvéy egrálj, ásodk pedg léyegée z előző feld kszáíouk, csupá hárok válozk eg z o érékhez képes. A erülere z egrálok kszáíásávl R α R α T s α R s α R éréke kpjuk. 4 4 IV... Ké egrálhó függvéy grfkoj köz síkdo erülee Legyeek f és g z [, ervlluo egrálhó függvéyek, és legye [, de pojá f g. Hározzuk eg z és egyeesek vl ké függvéy grfkoj áll hárol S síkdo erüleé! Legye z [, ervllu eszőleges feloszás! Jelölje s f és S f z f-hez rozó lsó lleve felső közelíő összegeke, hsoló ehhez s g és S g jelölje g-re vokozó ugyezeke eységeke! Nylvávló, hogy h képezzük z S f s g külösége, kkor ez kszáí kívá erüleél e kse, hsze ez külöség oly égllpok erüleéek összegé jele, elyek lefedk z S síkdoo [ez z áráról leolvshó]. Tehá, h kszáídó erülee T-vel jelöljük, kkor T S f s g. Hsoló kpjuk, hogy s f S g T, hsze z s f S g külöség oly égllpok összegé jele, elyek egyás e yúlók, és z S síkdo elsejée vk. Tehá z [, ervllu eszőleges feloszás eseé s f S g T S f s g. Legye z [, ervllu feloszásk egy végeleül foodó soroz. Eek de gjár feáll z s f S g T S f s g egyelőleség. Fgyelee véve, hogy f l S f f d és l g l S g l s s g d z kpjuk, hogy f d g d T f d g d. Mvel z egyelőleség ké szélé álló szá egegyezk, ezér deü egyelőség v, zz T f d g d f g d

30 Mgyr Zsol: Alízs középskolá. oldl IV..4. Forgáses érfog A érfogszáíás eseé hsoló ódszer lklzhuk, z előző po eük. A esek érfogák eghározásához ese lleve es köré ár ser érfogú lkzok rjzoluk, ezek érfogák segíségével kerese érfogo lulról lleve felülről ecsüljük. Iserek vesszük kock, sokszöglpú egyees hsá lleve heger érfogá: ezek z egrálszáíás seree élkül s, sorozok és hárérék-száíás segíségével s eghározhók lleve defálhók. Def. Legye f és folyoos z [, ervlluo. Forgásesek evezzük z A {, y, z, y z f } pohlz. Megjegyzés: A defícó szeléleese z jele, hogy h z f függvéy grfkojá z egely körül egforgjuk, kkor ez egy felülee ír le; e felüle lleve z áll közrefogo érrész evezzük forgásesek. és egyeleű síkok Száísuk k fe ódo defál forgáses érfogá! Vegyük z [, ervllu egy : < <... < feloszásá. Mvel f foly [, -, ezér de [, ] ervlluo léezk u lleve u, ezeke jelölje redre M lleve. H ekjük z egyeleű síkok, kkor ezek forgásese vsgságú szeleekre vágják fel. Egy-egy lye szele V érfogá felülről udjuk ecsül egy ő rlzó gsságú, M lpkör-sugrú heger érfogávl, lulról udjuk ecsül egy gsságú, lpkör-sugrú, szele áll rlzo heger érfogávl. Ezeke fgyelee véve érfogr π V M π lsó lleve felső ecslés, V forgáses V V érfogár π V M π lsó lleve felső ecslés kpjuk. Mvel f folyoos [, -, ezér f s folyoos [, -, ehá egrálhó. Másrész f gz, hogy z, ] ervlluo [ f u lleve u egegyezk f uák lleve uák égyzeével, zz M -el lleve -el. Ekkor V-re kpo lsó lleve felső ecslés éppe z f π függvéy feloszáshoz rozó lsó lleve felső közelíő összege. Mvel ecslés gz de feloszásr és f π egrálhó, csk egy

31 Mgyr Zsol: Alízs középskolá. oldl oly szá v, ely egfelelő, ehá V π f d. Megjegyzés: A forgáses érfogá szelélee lpuló okoskodássl kpuk eg. A középskolá ez elfogdhó godolee, oh eklg e eljese precíz. I z egrálszáíás egy lklzásá láuk, elyek célj egszerze sereek felhszálás zoyos célokr, ee szeléle segíségükre vol. A ovák öször fogjuk lklz ez ódszer esek érfogák kszáíásár. IV..5. Az egyees körkúp érfog Az r lpkör-sugrú, gsságú egyees körkúp oly forgáses, ely r z f függvéy [, ] ervlluo ve grfkoják egely körül egforgásávl kelekezk. Eek egfelelőe érfogá V r π d kfejezés éréke dj eg. V r r π d π r d π r π r π IV..6. A gö érfog Az R sugrú gö oly forgáses, ely z f R függvéy [ R, R] ervlluo ve grfkoják [félkör] egely körül egforgásávl kelekezk. A érfog: V π R R R R 4 R d π R d π R R π R R R

32 Mgyr Zsol: Alízs középskolá. oldl IV..7. A gúl érfog Állpísuk eg először egy hárooldlú gúl eréder érfogá! Legye gúl lplpj z ABC hároszög, csúcs D po. Vegyük gúlák z lplppl párhuzos, D-ől ávolság levő síkeszeé. Ez esze egy hároszög, ely hsoló z lplphoz, hsolóság ráy, hol gúl ABC lplphoz rozó gsság [ez kelekező és z erede eréder hsolóságáól kpjuk]. H eszehároszög erüleé -szel, z lp- lp erüleé -vel jelöljük, kkor. Osszuk os fel gúl gsságá részre z X D X, X,..., X pookkl [jelölje z D, ávolságo ], és eksük gúl eze oszópooko áeő, lplppl párhuzos síkeszee. Ezek síkeszeek szeleekre vágják gúlá, elyek gsság. Egy lye szele érfogá felülről ecsülhejük z lplpjár felfelé állío gsságú hsá érfogávl, ely hsá rlzz gúl do szeleé [zér v lye, er gúl felfelé keskeyedő ; ez hsá gúláól függőe lehe egyees vgy ferde hsá. Eek hsák érfog, ehá gúl érfogá összeggel ecsülhejük felülről. Ehhez hsoló egy szele érfogá fedőlpjár lefelé állío, szele elsejée levő egyees vgy ferde hsá érfogávl udjuk lulról ecsül. Eek egfelelőe gúl érfogár lsó ecslés d összeg. Azz gúl V érfogár V X egyelőlesége kpjuk, eszőleges X, X oszópook eseé, eszőleges -re. D X, X,..., Fgyelee véve, hogy függvéy szgorú ooo ő és egrálhó [, ] ervlluo, gúl érfogár do lsó lleve felső ecslések éppe lsó lleve

33 Mgyr Zsol 4. oldl felső egrálközelíő összege [, ] ervlluo. Mvel csk egy oly szá v, ely z lsó lleve felső közelíő összegek közé esk, és ez hározo egrál, ezér V d d Ehhez hsoló közveleül kszáíhjuk eszőleges sokszög lpú gúl érfogá, de hároszög lpú gúl érfogák sereée egyszerű ódo, sokszög lpú gúlák hároszög lpú gúlákr drolv s egdhó érfoguk. IV.. Az egrálszáíás lklzás. Alkzok öegközéppoj IV... Rúd öegközéppoj H dok z egelye z,,,... pook z,,..., öegpook, kkor ezek öegközéppoják koordáájá z kp kfejezéssel dhjuk eg. M helyze zo kkor, h e öegpookról, he egy folyoos öegeloszlású, l hosszúságú rúdról v szó? Legye rúd sűrűségfüggvéye f [f folyoos és pozív [, l ] ervlluo]. Osszuk fel rud [zz [, l ] ervlluo] részre z < < <... < l oszópookkl. A rúd -edk ervllu eső drják öege f α, hol α vlely és közé eső szá. A öegporedszer öegközéppoják defícój érelée rúd öegközéppoj [z öegeke z α pook helyezve]: kp α α f α f α Mvel f folyoos, ezér száláló z f -ek, evezőe z f -ek [, l ] ervllu egy feloszásához rozó egrálközelíő összegé láljuk. A rúd lleve [, l ] ervllu feloszásá foív ké közelíő összeg elérése z egrálól egyre kse. Tehá rúd öeg-

34 Mgyr Zsol 5. oldl középpojá z kp l f d l f d kfejezéssel dhjuk eg, hol l rúd hossz, f rúd sűrűségfüggvéye. Péld: Száísuk k hoogé ygeloszlású rúd öegközéppoják koordáájá! Megoldás: Az, hogy rúd hoogé eloszlású, y jele, hogy sűrűsége álldó, f c. Ekkor öegközéppo koordááj: kp l l cd cd l l l. [Ez persze várhó vol, hsze rúd szerkus felezőpojár.] IV... Síkdo öegközéppoj Legye dv egy f függvéy, ely z [, ervlluo éreleze, folyoos és pozív függvéy. Hározzuk eg függvéy grfkoj, z és egyeesek vl z egely áll hárol síkdo öegközéppojá! [A rúd öegközéppojávl elleée os z egyelees öegeloszlás eseére száíjuk k öegközéppo koordáá.] Vegyük z [, ervllu egy : < < <... < feloszásá és legye α. Teksük z [ ] ervlluokr rjzol f α gsságú égllpok. Ezek öegközéppojk koordáá [ hoogeás és szer ] α, f α. A öegközépporól eláhó, hogy h egy lkzo ö lkzr ouk, kkor z egyes részek öege öegközéppojuk összevov z így kpo öegporedszer öegközéppoj egegyezk z erede lkz öegközéppojávl. A öegközéppo eze uljdoságá khszálv z elíe égllpredszer öegközéppoják koordáá z

35 Mgyr Zsol 6. oldl α f α f α kp, α f α f α f y kp kfejezésekkel dhjuk eg. [Az egyes részek öege, vel sűrűségük deü ugyy, erüleükkel ráyos.] A szálálók z f és z f egrálközelíő összege szerepelek. H feloszás foíjuk, kkor közelíő összegekkel kszáío súlypo éreleszerűe egyre jo egközelí síkdo súlypojá, eek koordáá ehá z d f d f kp, d f d f y kp kfejezésekkel dhjuk eg. Péld: Hározzuk eg z f függvéy grfkoj és koordáegelyek áll hárol hároszög öegközéppojá! kp d d d f d f kp d d d f d f y IV.4. Az egrálszáíás egyé lklzás IV.4.. Mukvégzés kszáíás Legye egy vízszese ozgó esre hó erő F kdulás poól ávolság, és legye F folyoos! Száísuk k, hogy kdulópoól lleve ávolságr levő pook közö ekkor

36 Mgyr Zsol 7. oldl z F erő áll végze uk! Az és köz ávolságo [z egelye z [, ervlluo] osszuk fel < < <... < oszópook segíségével. Az [ ] ervlluo végze W uk z F függvéy ] ervlluo felve áls lleve áls érékével [ F lleve F [ ] ecsülheő: F W F [A W uk gyo vgy egyelő, z úo F gyságú erő áll végze uk, de kse vgy egyelő, F áll végze uk.] A eljes W ukvégzésre W F F ecslés dhó. Mvel l- lleve jooldlo F lsó lleve felső egrálközelíő összege áll, így korá ár lklzo godolee érelée W F d. Péld: Száísuk k, ekkor uká végzük, h egy hosszú súlyos köele egyeleese felhúzuk kúól! [A köél éereké öege kg.] Megoldás: Az álluk kfeje erő z egyelees ozgás dg egegyezk kú lógó köéldr súlyávl. H ez hosszúságú [éere érve], kkor súly [ g fgyeleevéelével] s. Tehá végze uk: W d [ 5 ] 5 J A ukvégzésre ás feldo s dhuk. Száísuk k például, hogy ekkor uká kell végezük, hogy kszvyúzzuk egy csúcsá álló égyze lpú gúl lkú vízrály, elyek lpés oldléle egyrá hosszú!

37 Mgyr Zsol 8. oldl Tegyük e gúlá egy koordáredszere, elyek orgój gúl lplpják középpoj, z egely gúl lphoz rozó gsságák egyeesével esk egye, és pozív ráy lefelé u! A gúl gsság legye. Osszuk fel gúl gsságá [, ] ervlluo részre z < < <... < pookkl. Vegyük gúl lplppl párhuzos síkeszee ezeke pooko á, ezek szeleekre vágják gúlá. Száísuk k, hogy egy lye szele keeléséhez ekkor uká kell végez! A szele V érfog ár korá szerepel ódo egyelőleséggel ecsülheő [ gúl lperülee, V ]. A V érfog ρ V öege jele, elye vlely és közé eső ávolságr kell feleel. Tehá ρ V öegű szele kszvyúzásához szükséges W ukár eljesül ρ V g W ρ V g egyelőleség. H fgyelee vesszük ρg ecslés kpjuk, ez összegezve ρg A loldl kfejezés z V lsó lleve felső ecslésé, kkor W ρg V érfogokr lleve W ρg ukákr, eljes uk: W ρg f függvéy lsó, jooldl kfejezés ugyeze függvéy felső egrálközelíő összege. A korá odok érelée ehá W ρg ρg 4 4 ρg. Kszáíhó, hogy 4, eek felhszálásávl W ρg. 4

38 Mgyr Zsol 9. oldl Megjegyzés: Korá ár ese szó fzkus ódszerek -ről, így s egelíheük egy echklg egyszerű száíás ódo. A feekől láhó vol, hogy vszoylgos ek poosságr vló örekvésük oyolíj ecsléseke lleve összegzéseke. A fzkus godolee fe feld egoldásár kövekező: Vegyük z lplpól ávolság egy d vsgságú [d végeleül kcsy eység ] réege. Eek érfog d [, hogy z ár z előzőeke láuk], fel- eeléséhez szükséges ú. ele ukvégzés dw d ρ g [ gsság kell feleel d ρ gyságú öeggel redelkező réege]. Tehá dw ρg d. Mdké ol- dl összegezve [egrálv] W ρgd összefüggés kpjuk, elyek éréké feeke ár kszáíouk. Ez ódszer láhó egyszerűe hozz k helyes eredéy, zo v ee egy-ké oly godol ugrás, ely szgorú ve ek éréké csökke. IV.4.. A rdokív olás Állpísuk eg, hogy h dőpll öegű rdokív yg áll redelkezésükre, kkor dő elelével hogy válozk eek öege! Tudjuk, hogy rdokív ygok öegéek válozás seessége [ olás éréke] ráyos z yg öegével [vel olás véleleszerűe vgy ekövekezk vgy e; így ásodperceké olások szá ráyos részecskék száávl, zz öeggel s]. Ez egállpív fel- d írhjuk, hogy c, c koss, ráyosság éyező [ c <, er öeg csök- d ke]. H - krjuk eghároz, kkor eseleg dké oldl egrálhjuk. Ekkor egrálj - dj, de ásk oldlo egrálj jelek eg. Ez ehá e űk célrvezeő egoldásk. Helyee ká együk kövekező: T T Osszuk le dké oldl -vel, és uá egráljuk: d cd. Felhszálv, hogy

39 Mgyr Zsol. oldl prív függvéye l c, z kpjuk, hogy l T l ct, ho álkíássl z T e ct egyelőséghez juuk. Megjegyzés: Az c egyele dfferecálegyeleek legegyszerű fjáj, os ehá erre láluk egoldás. Hsoló egyele írj le eleg árgyk hűlésé lleve külső korláozó éyezőkől ees populácók szporodásá [pl. kérueyésze] s. IV.5. Az proprus egrál Vk oly eseek, kor vlely fzk eység összegzésé pl. de -él gyo érékre szereék elkészíe. Az eddgeke erre e yíl ód, hsze z egrál éréké csk vlely [, ervlluo száíouk k, és os felvee prolé vlely -r z [, ervlluo vló egrálás jeleee. Mód v rr zo, hogy lye ípusú egrálok s eghározzuk. Def. Az f függvéy z [, ervlluo proprus egrálhók evezzük, h de > szár f egrálhó z [, ] ervlluo, és l f d hárérék léezk és véges. Ekkor ez háréréke z f függvéy [, ervlluo ve proprus egrálják evezzük, és f d -vel jelöljük. Hsoló defálhó, ] ervlluo ve proprus egrál. Péld: Legye f. Iproprus egrálhó-e z [, ervlluo? Mde > eseé f egrálhó z [, ] ervlluo, er folyoos. l l l d Tehá f proprus egrálhó z [, ervlluo és proprus egrálj.

40 Mgyr Zsol. oldl. Legye f. Iproprus egrálhó-e z [, ervlluo? Mde > eseé f egrálhó z [, ] ervlluo, er folyoos. l d l l [ ] l l Mvel fe hárérék e véges, ezér f proprus e egrálhó z [, ervlluo. Az proprus egrál foglák segíségével lye érelee egrálhuk, ervlluo s: Def. Az f proprus egrálhó, ervlluo, h érelezve v R-e, de [, ervlluo egrálhó, és léezek z f d lleve f d proprus egrálok. Az f, ervlluo ve proprus egrálj ké elíe proprus egrál összege, jelölése: f d. Megjegyzés: A defícó helye árelyk ásk vlós szá szerepelhe. Eddg függvéyek egráljá zér e uduk érelez vlely [, ervlluo, er függvéy úgyod e vol érelezve -e; zo hárérék segíségével vlféleképpe egrálhóvá eük zoyos függvéyeke. Ugyez korákkl lóg ódo egehejük kkor s, h vlely po függvéy cs érelezve. Def: Legye f :, R függvéy. Az f függvéy proprus egrálhók evezzük z, ervlluo, h f de ε > eseé egrálhó z [ ε, ervlluo, és léezk l ε ε f d véges hárérék. Jelölése: f d. Hsoló defálhó z f függvéy [, ervlluo ve proprus egrálj. Megjegyzés: Korá ár szerepel oly éel, hogy h f [, - éreleze, korláos függvéy és de ε > eseé z [ ε, ervlluo egrálhó, kkor z [, ervlluo s -

41 Mgyr Zsol. oldl egrálhó. A os defícók eél öe od, hsze e köveelük eg z, hogy függvéy - s érelezve legye, vl z se, hogy korláos legye z, - lleve [, -. Bzoyos érelee véve ehá korá éelük álláosíás z proprus egrál defícój. Péld:. Iproprus egrálhó-e,] ervlluo z f függvéy? Az f függvéy de > ε > szár z [ε,] ervlluo egrálhó, er folyoos. l l ε d ε ε [ ] l ε Tehá z f függvéy proprus egrálhó,] ervlluo, és proprus egrálják éréke. ε ε. Iproprus egrálhó-e,] ervlluo z f függvéy? Az f függvéy de > ε > szár z [ε,] ervlluo egrálhó, er folyoos. l ε ε d l l l ε ε ε [ ] l ε Tehá z f függvéy e egrálhó proprus,] ervlluo. Az proprus egrálok jellezőe fzk száíások [pl. poecál kszáíás] lleve vlószíűségszáíás lehe felhszál. Érdekes lklzás ég végele sorok kovergecájávl vló összefüggéséek felhszálás.