5.4 A nehézségi rendellenességek

Átírás

1 Völgyesi L: Geofizika. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 00. Dr. Lajos VÖLGYESI, Departmet of Geodesy ad Surveyig, Budapest Uiversity of Techology ad Ecoomics, H-5 Budapest, Hugary, Műegyetem rkp. 3. Web: A ehézségi redelleességek A Föld ehézségi erőtere az ihomogé sűrűségeloszlás miatt meglehetőse boyolult szerkezetű; mid a ehézségi gyorsulás; mid a poteciál a térbe jeletőse változik. A változás legcélszerűbbe úgy jellemezhető, hogy a valódi, mért ehézségi erőteret összehasolítjuk a Föld elméleti, vagy ormál ehézségi erőterével. A ehézségi gyorsulás valódi, mérhető g értékéek és a γ ormál ehézségi gyorsulásak a g = g γ (5.9) külöbségét ehézségi redelleességek, vagy gravitációs aomáliáak; a W valódi- és az U ormálpoteciál T = W - U (5.0) külöbségét pedig poteciálzavarak evezzük. A poteciálzavar geodéziai felhaszálásával a fizikai geodézia foglalkozik, ezért ezzel a továbbiakba em foglalkozuk. A külöféle módo számított ehézségi redelleességekek a felsőgeodéziába és a geofizikába ige fotos szerepe va, mivel egyrészt ezek felhaszálásával meghatározható a Föld elméleti alakja, másrészt ezekből a felszí alatti tömegeloszlásokra, illetve a Föld belső felépítésére következtethetük A ormál ehézségi erőtér Válasszuk ki, és godolatba töltsük meg ayaggal olya, viszoylag egyszerű geometriai alakzatot, amely jó megközelíti a Föld elméleti alakját. Az így kialakított test az alakjáak és a tömegéek megfelelő tömegvozási erőtérrel redelkezik. Ha a felvett test tömege megegyezik a Föld M F össztömegével, méretei a Föld méreteit jól megközelítik és a Föld egyeletesek tekitett ω F forgási szögsebességével saját főtehetetleségi tegelye körül forog, akkor a felszíé és a külső terébe a Földéhez hasoló, ezt jól megközelítő ehézségi erőtér keletkezik. Az így létesített elméleti ehézségi erőteret haszáljuk viszoyítási alapak a Föld valóságos ehézségi erőteréek vizsgálata- 67

2 kor és ezt ormál ehézségi erőtérek a poteciálját pedig ormálpoteciálak evezzük. (A ormál ehézségi gyorsulást γ-val, a ormálpoteciált U-val jelöljük.) Ha a felvett testet határoló felület a ormál ehézségi erőtér poteciáljáak egy szitfelülete (az ú. alapszitfelülete) akkor ezt a Föld ormálalakjáak evezzük. Gyakorlati okokból midig arra törekszük, hogy mid a ormál ehézségi erőtér, mid eek alapszitfelülete matematikailag viszoylag egyszerű összefüggésekkel legye leírható. Geodéziai alapfelületkét célszerűe vagy az így fizikailag meghatározott és ayaghoz kötött ormálalakot, vagy az ezzel egyelő tegelyhosszúságú forgási ellipszoidot haszáljuk ameyibe a kettő em esik egybe. Miutá ily módo a Föld ormálalakjáak és ezzel a ormál ehézségi erőtérek a felvétele bizoyos fokig ökéyes, eek többféle módszere alakult ki [5] amikre itt most em térük ki. Sorfejtéssel az első tagokra szorítkozva a ormál ehézségi gyorsulás a kiválasztott alapfelülete a γ = γ e ( + β si ϕ + β si ϕ +...) (5. ) alakba fejezhető ki; tehát a ormál ehézségi gyorsulás a γ e, β és β álladók mellett csak a φ földrajzi szélesség függvéye. Az (5.) összefüggésbe ϕ = 0 illetve ϕ = 90 értéket helyettesítve megkapjuk a γ e és a β jeletését. Így γ e a ormál ehézségi gyorsulás egyelítői értéke, míg γ p γ e β = γ e az ú. ehézségi lapultság ( γ p a sarki ehézségi gyorsulás). A β -ek ics ilye szemléletes jeletése; levezethető azoba, hogy β = β ( a, b, ωf, γ e, km F ) azaz β értéke az ellipszoid a és b fél agy- illetve kistegelyéek, az ω F a Föld forgási szögsebességéek, a γ e valamit a km F geocetrikus gravitációs álladóak a függvéye [47]. 930-ba Stockholmba a Nemzetközi Geodéziai Szövetség közgyűlése CASSINIS ( si ϕ si ϕ) γ = (5.) képletét ajálotta emzetközi ormálképlet céljára, melybe az együtthatók számértékét egyrészt a Föld külöböző helyei végzett ehézségi gyorsulás mérések eredméyeiből, másrészt a szitellipszoid összefüggéseiből [47] határozták meg az a = m és az α = / 97.0 paraméterekkel redelkező ellipszoidra voatkozóa. A mesterséges holdak méréseit is figyelembe véve újabba meghatározott, majd 967-be elfogadott és ajálott emzetközi ormálképlet: ( si ϕ si ϕ) γ = (5.3) 68

3 amely a ehézségi gyorsulás ormálértékét az IUGG-67-es referecia ellipszoidra ( a = m, α = / ) voatkozóa adja meg m / s egységbe. A ormál ehézségi erőtér em csak a ehézségi gyorsulás ormálképletével, haem a ormálpoteciál függvéyével is megadható. Forgásszimmetrikus tömegeloszlású Föld feltételezése eseté a tömegvozási erőtér poteciálja az (5.8)-hoz hasoló formába írható, azoba a forgási szimmetria miatt hiáyozak a λ-tól függő tagok. Ebbe az esetbe (ha a vizsgált pot a Föld forgásába is részt vesz) a ehézségi erőtér poteciálja : U km a = J (siψ ) + ω r l r = cos ψ (5.4) Mivel ezzel az összefüggéssel számított poteciálérték a tömegeloszlásra voatkozó egyszerűsítő feltételezés miatt még akkor sem lehet azoos a ehézségi erőtér valódi W poteciálértékével, ha a sorak végtele sok tagját számítjuk ki, ezért az (5.4) összefüggéssel számítható értéket a W helyett U-val jelöljük. Az U=áll. poteciálértékű felületeket szferoidokak (szitszferoidokak) evezzük. A szitszferoidok a ehézségi erőtér részletes vizsgálatába fotos szerepet tölteek be, mert éppe ezekre támaszkodva, a T poteciálzavar (5.0) szeriti kiszámításával tudjuk a téyleges ehézségi erőtér W poteciáljáak szitfelületeit meghatározi. Redszerit az U függvéy (5.4) végtele sorából csak véges k számú egyelítői szimmetriás tagot veszük figyelembe eek megfelelőe az U = áll. poteciálértékű szitfelületeket k-ad fokú szitszferoidokak evezzük. A gyakorlatba a legegyszerűbb eseteket: a k= másodfokú, vagy a k=4 egyedfokú (Clairaut-, illetve Helmert-féle) szitszferoidokat haszáljuk [5] A ehézségi gyorsulás mérések redukciói A Föld felszíé közvetleül mérhető és a geoidra (a tegerszitre) átszámított ehézségi gyorsulás értékek többé-kevésbé eltérek a ehézségi gyorsulás ormális értékétől. A valódi és a ormál ehézségi gyorsulás (5.9) szerit értelmezett eltérését ehézségi (vagy gravitációs) redelleességekek (aomáliákak) evezzük. Valójába a gravitációs redelleesség találóbb elevezés, mivel az (5.9) jobb oldalá levő midkét meyiség ugyaazt a cetrifugális tagot tartalmazza, így ez a kivoás sorá kiesik, tehát a maradékba már csak a tömegvozási tag szerepel. A ehézségi gyorsulás méréseket természetese em az ellipszoido, sőt általába em is a geoido, haem külöböző helyeke (pl. a Föld boyolult topográfiájú felszíé külöböző tegerszit feletti magasságokba, mesterséges holdako stb.) végezzük. Köye belátható, hogy az így meghatározott g értékeket em célszerű közvetleül összehasolítai azokkal a g elméleti értékekkel, amelyek egy másik felületre: a Föld ormálalakjáak megfelelő ellipszoid felületére voatkozak. 69

4 Ha a g ormális értéket a mérési potoko közvetleül mérhető ehézségi gyorsulás értékekből vojuk le, akkor az adott potba a yers gravitációs aomáliákat kapjuk. Ezek az adatok csak bizoyos korrekciók elvégzése utá alkalmasak a geodéziai, valamit a geofizikai értelmezés és felhaszálás céljaira, ezért a mért g értékeket bizoyos javításokkal (redukciókkal) kell ellátuk. A külöböző redukciókak megfelelőe külöböző fajta gravitációs aomáliákat kapuk. Valójába a ehézségi gyorsulás méréseket arra az alapfelületre kellee átszámítauk, amelyre a ormál ehézségi gyorsulás képlete voatkozik. A későbbi geodéziai és geofizikai felhaszáláshoz azoba általába elegedő, ha a mérési eredméyeket a tegerszitre számítjuk át. Az átszámítás sorá külöféle hatásokat kell figyelembe vei. A következőkbe külö-külö tárgyaljuk az egyes lépéseket. A δ gf tiszta magassági javítással (a Faye-féle redukcióval) a mérési pot téyleges tegerszit feletti h magasságáról a voatkoztatási szit (általába a tegerszit) magasságára számítjuk át a mért ehézségi gyorsulás értékeket. Az átszámítást úgy végezzük, mitha a mérési pot és a voatkoztatási szit között em leéek tömegek. A mérési pot és a tegerszit között a g változását közelítőleg úgy számíthatjuk ki, hogy a Földet gömb alakúak feltételezzük és eltekitük a tegelykörüli forgástól. Ekkor az R sugarú Föld felszíé M g = k R a ehézségi gyorsulás értéke. Ezt R szerit differeciálva: dg km g = = 3 dr R R amelybe a g és az R átlagos földi értékét behelyettesítve: dg dr = Ez azt jeleti, hogy a Föld felszíé m magasságváltozás eseté kb. 0.3 mgal-t változik a ehézségi gyorsulás értéke. (A egatív előjel arra utal, hogy a magasság övekedésével csökke a ehézségi gyorsulás értéke.) Eek megfelelőe a tiszta magassági javítás : ms / m δ g 6 F = h. (5.5) Ha a h magasság értékét m-be írjuk be, akkor a javítás értékét m / s -be kapjuk. Az (5.5) képletből kiszámítható, hogy alig több mit 3 cm magasságváltozás már 0 µgal ehézségi gyorsulás változást okoz. (Emiatt kell a graviméteres mérések mellett mm potosságú szitezést végezi.) 70

5 A valóságba a tegerszit és az észlelési pot között em levegő, haem külöböző sűrűségű kőzetek vaak. Természetese ezekek a tömegekek a hatása is bee va a g földfelszíe mért értékébe; és agysága elsősorba a h magasságtól függ. A δ gb Bouguer-javítással a mérési állomás és a voatkoztatási szit (a tegerszit) között elhelyezkedő tömegek hatását távolítjuk el. Az átszámítás sorá első közelítésbe eltekitük a mérési pot közvetle köryezetéek domborzati hatásától és így a téyleges felszíi topográfia és a voatkoztatási szit közötti tömegek hatását az 5.3 ábrá átható h magasságkülöbséggel azoos vastagságú, horizotálisa végtele kiterjedésű lemez (ú. Bouguer-lemez) hatásával közelítjük. Levezethető [8], hogy vízszitese végtele kiterjedésű h vastagságú és ϑ sűrűségű lemez által okozott δ g B gravitációs gyorsulás a lemez felső szélé levő tetszőleges potba: δ = πkϑh g B ahol k a gravitációs álladó. Eek megfelelőe, behelyettesítve a k és a π számértékét, valamit a földkéreg felső részére voatkozó ϑ = 670 kg / m átlagos sűrűségérték- 3 kel számolva a δ g B Bouguer-féle korrekció: δ g 6 B =.9 0 h. (5.6) 5.3 ábra. h vastagságú Bouguer-lemez Az (5.5)-höz hasolóa, ha a h értékét m-be helyettesítjük be, akkor a δ g B javítás értékét m / s -be kapjuk meg. A mérési állomás és a voatkoztatási szit közötti tömegek hatásáak eltávolítása sorá a Bouguer-korrekció csak az első lépés. Az 5.3 ábra mutatja, hogy egyes helyeke (pl. a és a B pot között) túlságosa kevés tömeget távolítuk el, más helyeke (pl. az A és a pot között) viszot olya tömegeket tételeztük fel, amelyek valójába em létezek. Ezt a potatlaságot szüteti meg a topográfiai javítás. A δ gt topográfiai javítás a valódi földfelszí és a Bouguer-lemez felső határa közötti tömegek, illetve "tömeghiáyok" hatását veszi figyelembe. A topográfiai javítás mide esetbe pozitív előjelű, mivel a mérési pot síkja fölött elhelyezkedő tömegek a 7

6 mért g értékét csökketik, tehát a javítást a mért értékhez hozzá kell adi; ugyaakkor a völgyek esetébe a Bouguer-korrekció elvégzésekor feltételeztük, hogy ayaggal va kitöltve és eek az ayagak a hatását a Bouguer-korrekcióval eltávolítottuk. A valóságba azoba itt icseek tömegek, tehát ezt a fölöslegese eltávolított hatást is hozzá kell adi a mért értékhez [56]. A topografikus javítást az Eötvös-iga mérések feldolgozásakor már említett formába, két részbe számíthatjuk ki: a mérési pot 00 m sugarú közvetle köryezetéek hatását térszíhatásak; a 00 m-e kívüli, de legfeljebb 0 km távolságig terjedő köryezet hatását pedig térképhatásak evezzük. A térszíhatás a mérési pot körül 8 iráyba mért szitezési szelvéyek alapjá az 5.4 ábrá látható ú. térszíhatás-diagram segítségével határozható meg [56]. Az ábrá látható szektorok hatása a potba ugyaakkora; pl. az i-edik szektor hatása: () π kϑ δ gi = l 4r o ahol k a gravitációs álladó, ϑ pedig a kőzetek sűrűsége. 5.4 ábra. A térszíhatás számításához haszált diagram 5.5 ábra. A térképhatás számításához haszált tömegelem 7

7 A térképhatás számításakor a téyleges topográfia egy-egy elemét az 5.5 ábrá látható hegergyűrű-szeletekkel közelítjük. Egyetle ilye ϑ sűrűségű és m vastagságú szegmes gravitációs teréek függőleges iráyú összetevője a potba: δ ( ) g i π = kϑ ( r + m r + m + r r ) ahol a hegergyűrűbe levő szegmesek számát jelöli [56]. Végül is ezek összegezésével a topográfiai javítás: () δgi + = () T δgi δ g. (5.7) Egyes külöleges esetekbe az eddigi hatásoko kívül egy további javítást is figyelembe szoktuk vei. A δ gi izosztatikus javítás feladata az, hogy a mért ehézségi gyorsulás értékeket teljese öves felépítésű (potosabba fogalmazva: gömbhéjakét homogé sűrűségeloszlású) földmodellre számítsuk át azo feltevés alapjá, hogy a felszíi magasságkülöbségek az izosztatikus úszási egyesúlyak megfelelőe alakulak ki. 5.6 ábra. Az Airy-féle izosztatikus modell A korrekció kiszámításához ismerük kell, hogy az izosztatikus úszási egyesúly eseté a földkéreg egyes részei milye mélye merülek a felső köpey ayagába. Ezért először határozzuk meg az Airy-féle izosztatikus elvek megfelelőe az 5.6 ábrá látható modell alapjá, hogy kotietális területe adott h kiemelkedéshez mekkora d kéregvastagodás, illetve óceái területe h bemélyedéshez mekkora d kéregvékoyodás tartozik. Az ábrá látható kiegyelítődési szitek hidrosztatikus úszási egyesúly eseté azoos yomású (izobár) felületek kell leie, ezért az A, B és a C potba 73

8 p A = pb = pc, azaz a yomások egyelőek. Az ábra jelöléseiek megfelelőe a yomásértékek: A A B p p A = g[ ϑ T0 + ϑ d] k = g[ ϑ ( T 0 + h d)] B k + p = p egyelőségből a kéregvastagodás: C a = g[ ϑ h + ϑ ( T 0 + h + d ) + ϑ ( d + d )] v k a ϑk d = h (5.8) ϑ ϑ a k a p = p és az (5.8) alapjá pedig a kéregvékoyodás: A C d ϑk ϑv = h ϑ ϑ a k (5.9) 3 A tegervíz ϑ v = 030 kg / m, a földkéreg ϑ k = 670 kg / m, valamit a felső köpey 3 ϑ a = 370 kg / m átlagos sűrűségéek felhaszálásával a h magasságú hegységekhez tartozó d, és a h mélységű óceáokhoz tartozó d értékek az (5.8) és az (5.9) alapjá egyszerűe meghatározhatók: d 4. 45h, és d. 73 h. Az izosztatikus javítás számításakor a hegységek d vastagságú "gyökeréek" hatását úgy tütetjük el, hogy az itt levő ϑ k sűrűségű kéregayagot ϑ a sűrűségű köpeyayaggal helyettesítjük; míg óceái területeke a h mélységű ϑ v sűrűségű víztömeget és a d vastagságú ϑ a sűrűségű felső köpeyayagot egyarát ϑ k sűrűségű kéregayaggal kell helyettesítei. Összefoglalva a külöféle redukciókat, láthatjuk tehát, hogy a δ gt topográfiai javítás és a δ gb Bouguer-javítás eltüteti a Föld felszíé mért ehézségi gyorsulás értékekből a geoid feletti tömegek hatását, a δ g F tiszta magassági javítás "leviszi" a mérési potot a geoid szitjére, a δ g I izosztatikus javítás pedig kiejti a földkéreg aljáak hullámzásából származó gravitációs hatásokat. Attól függőe, hogy milye redukciókat hajtuk végre a közvetleül mért g ehézségi gyorsulás értékeke, külöféle gravitációs redelleességeket kapuk : 3 a Faye-aomália: g F g + δg = F γ a Bouguer-aomália: g B g + δg δg + δg = F B T γ 74

9 az izosztatikus aomália: g g + δg δg + δg + δg γ. I = F B T I A geofizikai gyakorlatba főleg a Bouguer és a Faye-aomáliákat, a geodéziába elsősorba a Faye-aomáliákat haszáljuk. A Faye-aomáliák az összes tömeg hatását tartalmazzák, ezért gyakorlatilag feltevésmetesek; azoba térbe ige gyorsa változak, így eheze iterpolálhatók. A Bouguer-aomáliák ettől abba külöbözek, hogy ics beük a topográfiát is tartalmazó és a tegerszitig leyúló homogéek feltételezett kőzetlemez hatása; a Faye-aomáliákhoz képest sima futású, jól iterpolálható és közepelhető aomáliák. Az izosztatikus aomáliák a legmukaigéyesebb és a legkevésbé feltevésmetes aomáliák, viszot sima futásúak, ezért ige jól iterpolálhatók A gravitációs aomáliák meghatározása mesterséges holdak segítségével A Föld közelébe mozgó égitestek pályáját elsősorba a Föld gravitációs erőtere szabja meg, így az égitestek mozgását megfigyelve következteti lehet a gravitációs erőtér szerkezetére, azaz meghatározhatók a gravitációs redelleességek. 5.7 ábra. Mesterséges holdak pályaelemei Gömbszimmetrikus tömeg gravitációs erőterébe mozgó mesterséges holdak pályája mideemű zavaró hatástól metes esetbe térbe álladó helyzetű ellipszis. Ez azt jeleti, hogy az 5.7 ábrá látható Kepler-féle hat pályaelem közül öt (az a fél agytegely, az e első umerikus excetricitás égyzete, a felszálló csomópot Ω rektaszceziója, a periguem ω szöge és az i pályahajlás, vagy ikliáció) időbe álladó, és csak az égitest pillaatyi helyzetét jellemző ν szög, az ú. középaomália változik. Mivel a Föld erőtere em gömbszimmetrikus, a körülötte kerigő mesterséges hol- 75

10 dak pályája a térbe em álladó helyzetű ellipszis, haem boyolult térgörbe lesz. A Föld erőterébe azoba a gömbszimmetrikus rész az uralkodó, ezért a pálya jellemzésére megtarthatjuk a Kepler-féle pályaelemeket, megadva ezek adott időpotra (epochára) voatkozó értékét és időbeli változásuk mértékét. A Föld tömegvozási erőteréek em gömbszimmetrikus részét az (5.8) poteciálfüggvéyből egyszerűe kiszámíthatjuk: km V = V r km a J r r = = a = (siψ ) r = m= ( C cosmλ + S si mλ) m m m (siψ ) (5.30) illetve ha a zoális és a tesszerális tagokat em választjuk külö, akkor az (5.30) a km a V = m + r r = m= 0 ( C cos mλ S si mλ) (siψ ) m m (5.3) alakba is írható. Ez tulajdoképpe az a "zavarfüggvéy", ami hatására a térbe és időbe álladó helyzetű és méretű Kepler-féle pályaellipszis helyett a boyolult, ú. perturbált pálya alakul ki. A zavarfüggvéy hatására létrejövő pályaelem perturbációkat (az egyes pályaelemek időbeli változását) a plaetáris Lagrage-egyeletek írják le [37]. A Lagrage-féle differeciálegyeletek megoldásával arra az eredméyre jutuk, hogy az egyes pályaelem-változások kifejezhetők a C m és az S m együtthatók függvéyekét: dω Ω & = = f Ω ( C m, S m ) dt dω & ω = = f ω ( C m, S m ) dt di i & = = fi ( Cm, Sm ) dt. Mivel a pályaelem változások empirikus úto meghatározhatók, ezekből a C m és az S m együtthatók kiszámíthatók. Ha sok égitest mozgását figyeljük meg a Föld külöböző helyei, akkor a C m és S m értékek meghatározásakor kiegyelítési lehetőségük is va. A C m és S m együtthatók ismeretébe viszot em csak az (5.30) illetve az (5.3) "zavarfüggvéy" írható fel, haem az (5.0) szerit értelmezett poteciálzavar is: 76

11 * km a T = W U = m + r r = m= 0 ( C cos mλ S si mλ) (siψ ) m m (5.3) ahol a * azt jeleti, hogy a szummázásból ki kell hagyi bizoyos tagokat, amelyek a valódi ehézségi erőtér W poteciáljáak gömbfüggvéy sorába és az U ormálpoteciál sorába egyarát szerepelek [50]. Végül a poteciálzavar függvéyéek ismeretébe a fizikai geodézia alap differeciálegyeletéek felhaszálásával [70] : T T g = + (5. 33) r r ahol a g a geoid és az ellipszoid egymásak megfelelő potjaiba levő valódi, illetve ormál ehézségi gyorsulás értékek külöbsége. Az (5.3) felhaszálásával elvégezve az (5.33)-ba kijelölt műveleteket: * km a g = ( ) m + r + r ( C cos mλ S si mλ) (si ) m m ψ = m= 0 (5.34) vagy másképpe írva: * g = (siψ ) (5.35) ( A cos + si ) m mλ Bm mλ = m= 0 Az (5.34) és az (5.35) összehasolításával megkaphatjuk a poteciál gömbfüggvéy sorába szereplő C m és S m harmoikus együtthatók és a gravitációs aomáliák (5.35) sorába szereplő A m és B m harmoikus együtthatók kapcsolatát [70]: A B m m m. m km a C = ( + ) r r S A mesterséges holdakkal meghatározott C m és S m harmoikus együtthatók alapjá tehát az (5.34) segítségével az egész Földre voatkozólag kiszámíthatjuk a gravitációs aomáliákat. Mivel a gravitációs aomáliáko semmiféle javítást em hajtuk végre, csupá azoos szitre, a geoidra redukáljuk, ezért az így yert értékek Faye-aomáliák. m 77

12 5.4.4 A gravitációs aomáliák predikciója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba a geodéziai gyakorlatba - többször előfordul, hogy olya helyeke is kelleek gravitációs redelleességek, ahol valójába em végeztük méréseket. Ezeke a helyeke a szomszédos potok ismert értékei alapjá iterpolációval, vagy extrapolációval (közös elevezéssel: predikcióval) állapíthatjuk meg az aomáliák legvalószíűbb értékét. 5.8 ábra. Aomáliák predikciója A gravitációs aomáliák predikciója sorá az a céluk, hogy az 5.8 ábrá látható ismert g, g,..., g gravitációs aomáliák felhaszálásával meghatározzuk az adott területe, vagy eek közelébe fekvő potba az ismeretle g ~ aomália-értéket. Matematikailag megfogalmazva: keressük azt az f függvéyt, amellyel g ~ a ~ g f,..., = ( g, g ) formába kifejezhető. Általába a legegyszerűbb lieáris függvéykapcsolatot írjuk fel: g ~ g = a g + a g a g = a g (5.36) ahol a i csak a és a i potok relatív helyzetéek függvéye. Az a i együtthatók megválasztásától függőe külöböző iterpolációs és extrapolációs módszerek ismeretesek. A két lehető legegyszerűbb módszer: a zérus-aomália és az ú. reprezetatív érték megadása. Nagyo ritka hálózatok eseté (pl. a tegereke) az ismeretle potoko zérus aomáliákat feltételezük, azaz: g ~ = 0 tehát eek megfelelőe : a a =... = a 0. = = Ezt főkét izosztatikus redelleességekre alkalmazzuk, mivel izosztatikus egyesúly eseté ez egyébkét is zérus, vagy ehhez közeli érték. i= i i 78

13 Ige egyszerű és bizoyos célokak jó megfelelő az ú. reprezetatív érték. Eszerit a ritka (általába 0 km-él kisebb potsűrűségű) hálózatok eseté az adott területre legikább jellemző g értéket tekitjük a pot ismeretle aomália értékéek: i Ekkor az (5.36) szerit és a g ~ = g i a i = =... = ai = ai =... = a = a + = 0 Nagyobb potsűrűségű hálózatok területé geometriai iterpolációval jutuk egyszerűe eredméyre. A módszer léyegét az 5.9 ábra szemlélteti. A, és a 3 potba ismert g, g, g3 érték alapjá a potba: ahol: ~ = a g + a g + a g g a = a( x, y, x, y, x, y, x3, y3) a = a x, y, x, y, x, y, x, ) ( 3 y3 3 a3( x, y, x, y, x, y, x3, y3 a = 3 ) ábra. A geometriai iterpoláció Eél léyegese megbízhatóbb megoldást szolgáltat a legkisebb égyzetek módszere szeriti predikció [47]. Jelölje ~ g = a i g i i= 79

14 g a pot- az (5.36) lieáris predikcióval meghatározott aomáliaértékeket és legye ba a valóságos aomáliaérték. Ekkor a lieáris predikció hibája: i= ε = g g~ = g a g (5.37) variaciája pedig (a predikció középhibájáak égyzete): var { ε } = m = M { ε } i i A feladat azo a a,, a,... a együtthatók meghatározása, amelyekkel számított { ε }. var = mi g ~ -re feltétel teljesül. A legkisebb égyzetek módszere szeriti predikcióval a megoldása [69]: vagy rövidebbe: C C... C g C C... C g (5.38) C C... C g [ C C... C ] g~ = g~ = c C g (, ) (, ) (,) ahol c az új pot és a mért potok közötti kovariacia-értékeket tartalmazó c vektor traszpoáltja, C a mért potok C variacia-kovariacia-mátrixáak iverze és g a mérésekből levezetett ismert aomáliaértékeket tartalmazó vektor. Az (5.36) és az (5.38) összehasolításával a legkisebb égyzetek módszere szeriti predikció eseté az a i együtthatók: a i = ckcki k= ahol C ki a C mátrix iverzéek elemeit jelöli. 80

15 5.0 ábra. Jellegzetes kovariacia-függvéy Az egyetle problémát a c kovariacia-vektor és a C variacia-kovariacia függvéyekek a meghatározása okozza. Ezeket úgy célszerű megválasztai, hogy a potok közötti távolság övekedésével a kovariacia-értékek zérushoz tartsaak, de esetekét az egyes mért potok között megfelelő szelekciót (súlyozást) is lehetővé tegyeek. Az 5.0 ábrá olya tipikus kovariacia-függvéyt láthatuk, amely értéke kizárólag a potok egymástól mért s távolságától függ [47]. Ige kicsi s távolságoko belül a g értékek csakem egyelők egymással (a variaciák közel egyelők a kovariaciákkal), tehát a g értékek között ige erős a korreláció. Az s távolság övekedésével a C(s) kovariacia-függvéy értéke csökke, mivel a g értékek között egyre gyegébb a kapcsolat. Ige agy távolságok eseté a kovariaciák agyo kicsik, de em feltétleül zérusok, mivel a gravitációs redelleességeket em csak a helyi tömegihomogeitások, haem agy területekre kiterjedő regioális hatások is befolyásolják Az aalitikai folytatások módszere Az aalitikai folytatások módszeréek az a léyege, hogy tetszőleges (pl. gravitációs) aomáliatereket az adott észlelési síkról átvisszük (áttraszformáljuk) valamely fölötte, vagy alatta levő síkra. Az előbbi az aalitikai felfelé folytatás, az utóbbi az aalitikai lefelé folytatás esete. Az utóbbi időkbe elsősorba a gravitációs aomáliatér aalitikai lefelé folytatásáak övekedett meg a jeletősége, mivel a mérési techika rohamos fejlődésével egyre potosabbak és egyszerűbbek a légi és az űrbeli gravitációs mérések és eek megfelelőe egyre agyobb meyiségű légi mérésből származó g redelleességet kell átszámítai a földfelszíre, vagy a tegerszitre. Az aalitikai lefelé és felfelé folytatás esete közül az aalitikai felfelé folytatás oldható meg egyszerűbbe. Ha adott az 5. ábrá látható z = 0 síko a g0( x, y) = g( x, y,0) aomáliatér, akkor h magasságba a z = h síko a ( x, y) = g( x, y, h) aomáliatér a g h 8

16 + + h g0 ( x, y ) g h ( x, y) = dx dy (5.39) 3 / π [( x x) + ( y y) + h ] traszformációval határozható meg [68]. Az aalitikai felfelé folytatás tehát úgy végezhető el, hogy az (5.39) itegrált valamilye umerikus itegrálási módszerrel kiértékeljük. 5. ábra. Az aalitikai folytatások elve Az aalitikai lefelé folytatás az előbbi művelet iverze. Ekkor a z = h síko a g h ( x, y) aomáliatér adott, és alatta h mélységbe a z = 0 síko levő g0( x, y) aomáliateret kell meghatározi. Ebbe az esetbe az (5.39) itegrálegyeletet kell megoldai g0( x, y) -ra [90], amely legegyszerűbbe kétváltozós Fourier-traszformáció alkalmazásával valósítható meg [56] Gravitációs aomáliatérképek A gravitációs aomáliákat részbe a jobb áttekithetőség érdekébe, részbe a külöböző felhaszálási célokak megfelelőe izoaomália, vagy átlagaomália térképeke szokás ábrázoli. Az izoaomália térképek szerkesztésekor a térképlapokra felrakott mérési potokhoz tartozó gravitációs redelleességek felhaszálásával a szitvoal-szerkesztési szabályok szerit megrajzolják az egyelő kerek aomáliaértékű helyeket összekötő ú. izoaomália voalakat. Az izoaomália voalak megszerkesztése az izosztatikus és a Bouguer-aomáliák eseté ige egyszerű, mivel ezek lieárisa iterpolálhatók. A Fayeféle aomáliák esetébe a kérdés boyolultabb, mert ez a magasság függvéye és így csak közvetve iterpolálható. 8

17 Magyarország területéről : és : méretaráyú Bouguer és : méretaráyú Faye-féle izoaomália térképek készültek. Természetese kisebb-agyobb területeke, ahol gravitációs részletméréseket vagy mikroméréseket is végeztek, jóval részletesebb térképek is redelkezésre állak. Az egész Föld területére a párizsi BGI (Bureau Gravimetric Iteratioal), azaz a Nemzetközi Gravimetriai Iroda készített :00 000, : és : méretaráyú Bouguer és Faye-féle izoaomália térképeket. Az átlagaomália térképek az 5. ábrá látható formába külöböző területegységekét adják meg a gravitációs aomáliák (általába a Faye-aomáliák) átlagos értékeit. 5. ábra. Átlagaomália térkép Magyarország területéről : térképszelvéyekét, azaz ϕ = 5 λ = 7 30 agyságú területegységekét állak redelkezésre Faye-féle átlagaomália értékek. Az egész Föld területére ugyacsak a BGI készített, illetve 5 5 területegységekét Faye-féle átlagaomália térképeket A gravitációs aomáliaterek szűrése A mérési eredméyek alapjá szerkesztett gravitációs izoaomália térképek együttese tartalmazzák a agy kiterjedésű (hosszú hullámhosszúságú) regioális aomáliákat és a kis területekre kiterjedő (rövid hullámhosszú) helyi aomáliákat. Bizoyos esetekbe az aomáliatér helyi hatásoktól metes összetevőjére: a regioális térre vagyuk kívácsiak; más esetekbe viszot (pl. yersayagkutatások céljára) éppe a kisebb helyi szerkezetek hatását tükröző helyi redelleességek ismerete, szükséges. Az előbbi esetbe a helyi hatásokat tükröző lokális aomáliateret kell kiszűri; az utóbbi esetbe viszot a teljes térbôl a regioális összetevőt kel eltávolítai, hogy az így keletkező ú. reziduális (maradék) tér már csak a helyi, lokális hatásokat tartalmazza. Az aomáliaterek regioális és reziduális részekre törtéő szétválasztása az alaptér megfelelő szűrésével lehetséges. A szűrés a 83

18 + + ( x u y v) ( x, y ) = s( u, v) g dudv (5.40) g sz 0 0 0, 0 művelettel valósítható meg, ahol s(u,v) a művelet súlyfüggvéye [8]. Az s(u,v) súlyfüggvéy Fourier-traszformáltja az S átviteli függvéyt adja. Az átviteli függvéy megfelelő választásával az aomáliatér bármely frekveciájú összetevője kiszűrhető [56]. A külöböző felülvágó szűrőket megvalósító átviteli függvéyeket az aomáliatér simítására, azaz a regioális tér meghatározására haszáljuk; ugyaakkor az alulvágó szűrőkkel a agyfrekveciás összetevők, tehát a térbe gyorsa változó lokális aomáliák emelhetők ki. A gyakorlatba a ehézségi aomáliaterek szűrését számítógépekkel végezzük. Az (5.40) megfelelő átalakításával, kétváltozós digitális szűréssel tetszőleges t rácstávolságú égyzethálózat rácspotjaiba adott g(x,y) aomáliatér eseté, a tér valamely x, ) potjába a szűrt gravitációs aomália értéke: ( 0 y 0 ( x + t y mt) gsz ( x0, y0) = cm g 0, 0 + m ahol a c m együtthatók az (5.40) összefüggésbe szereplő s(u,v) súlyfüggvéyek megfelelő súlymátrix (szűrőmátrix) elemei [57]. A digitális szűréshez az aomáliatérképeket digitalizáli kell, azaz a térképeket digitális adatredszerré kell átalakítai. Ez a gyakorlatba pl. úgy törtéik, hogy az adott aomáliatérképre k pottávolságú égyzethálózatot helyezük és a rácspotokba kiolvassuk az aomáliaértékeket A gravitációs aomáliák geodéziai és geofizikai alkalmazása A gravitációs aomáliák geodéziai alkalmazásával a felsőgeodézia foglalkozik, ezért itt csupá megemlítjük, hogy a geodéziába a legfotosabb felhaszálási területe a Föld elméleti alakjáak, a geoidak a meghatározása. Mivel a geoid meglehetőse boyolult felület, ezért a legcélszerűbb potokét meghatározi, azaz valamilye megfelelő voatkoztatási felülethez (pl. forgási ellipszoidhoz, vagy szitszferoidhoz) viszoyítva a távolságát (a geoidmagasságot, vagy geoidudulációt) potokét megadi. A gravitációs redelleességek alapjá a Föld tetszőleges potjába a geoidudulációt az R N = gs( ψ ) dσ 4π ~ γ σ (5.4) 84

19 Stokes-féle összefüggéssel számíthatjuk ki [47] ahol R a Föld közepes sugara, γ ~ a kérdéses földfelszíi pot ellipszoidi megfelelőjébe a ehézségi gyorsulás ormálértéke, az ψ ψ S ( ψ ) = 6si + 5cosψ 3cosψ l si + si si( ψ / ) a Stokes-féle függvéy, a dσ = siψ dψ dα az 5.3 ábrá látható R = sugarú gömb felületeleme, y pedig a ds felületelem távolsága a kérdéses pottól. Az itegrálást a teljes egységsugarú gömb felületére kell elvégezi; eek megfelelőe tetszőleges potba a geoidmagasság kiszámításához az egész Föld felületé ismeri kell a gravitációs redelleességek értékét. ψ 5.3 ábra. olárkoordiáták egységsugarú gömbö Az (5.4) Stokes-féle összefüggés a fizikai geodézia legfotosabb összefüggése, mivel ez ad lehetőséget a ehézségi erőtér ismeretébe a geoid meghatározására. A gravitációs redelleességeket a geofizikába a Föld szerkezetéek kutatásába és a felszí alatti tömegihomogeitások meghatározásá keresztül külöféle ásváyi yersayagok kutatására haszálják [8]. A földkéreg egyesúlyára és a kéregalatti sűrűségihomogeitásokra az izosztatikus redelleességek alapjá lehet következteti. A vizsgálatok szerit a ehézségi gyorsulás mérések izosztatikusa redukált értékei a földfelszí dötő részé csak ige kis mértékbe külöbözek a ormál ehézségi gyorsulás értékétől. Ebből arra következtethetük, hogy a földkéreg általába izosztatikus egyesúlyi állapotba va. Nagyobb regioális izosztatikus aomáliák a földfelszíek csak ige kis részé találhatók és zömébe hosszú, keskey sávok meté helyezkedek el. Ezek jeleléte egyrészt arra eged következteti, hogy helyekét jeletős sűrűségihomogeitások lehetek a Föld kérge alatt is; másrészt a Föld kisebb területei a kéreg egyesúlya eltérhet az 85

20 izosztatikus egyesúlyi állapottól. Ez utóbbi esetből az következik, hogy a földkéreg egyesúlyát em csupá az izosztázia törvéye szabályozza, haem bizoyos területeke más erők is szerepet játszaak ebbe. Ezek utá tekitsük át éháy fotosabb modellt, amelyek jellegzetes gravitációs aomáliákat szolgáltatak. Az egyik példába a Föld belső részébe feltételezett sűrűségihomogeitások felszíi gravitációs hatását, a másik példába pedig a földkéreg izosztatikus egyesúlyi állapotáak megfelelő gravitációs aomáliákat vizsgáljuk. 5.4 ábra. Sűrűségihomogeitások gravitációs hatása Az 5.4 ábrá a Föld belsejébe feltételezett sűrűségihomogeitások hatását szemléltetjük; az ábra bal oldalá relatív tömegtöbbletet, a jobb oldalá relatív tömeghiáyt feltételeztük. Az egyszerűség kedvéért legye a Föld felszíe vízszites, és magassága essék egybe a tegerszit magasságával. Ekkor a Faye-, a Bouguer-, valamit az izosztatikus aomáliák közel egyelők; és az ábrá látható sűrűségviszoyokak megfelelőe tömegtöbblet eseté pozitív, tömeghiáy eseté pedig egatív aomáliaértékek adódak. 5.5 ábra. Lehetséges gravitációs aomáliák hegyvidéki területeke 86

21 Az 5.5 ábrá látható modell hegyvidéki területeke mutatja be a földkéreg izosztatikus egyesúlyi állapota, illetve eek megbomlása eseté a külöféle gravitációs aomáliák alakulását. Az ábra felső részé a hegység izosztatikus egyesúlyi állapotba va. Eek megfelelőe az izosztatikus aomália zérus, a Faye-aomália gyegé pozitív, a Bouguer-aomália pedig határozotta egatív a "hegységgyökér" által okozott relatív tömeghiáy miatt. Az 5.5 ábra alsó jobb oldali részé a hegység jobba beyomódott a felső köpey ayagába, mit azt a súlya megkíváá; így eek megfelelőe midhárom aomália egatív. Ezzel elletétes iráyú az 5.5 ábra alsó bal oldali részé látható eset, ahol a földkéreg megemelkedése miatt a Bouguer-aomália egatív, a Fayeés az izosztatikus aomália viszot pozitív. (Teljese hasolóa modellezhetők a gravitációs aomáliák óceái területeke is.) A megfigyelések szerit a agy regioális gravitációs aomáliák általába egybeesek a Föld tektoikailag legaktívabb zóáival. éldául a.30 és a.3 ábrá látható szeizmikusa ige aktív Cirkum-acifikus és Alp-Himalájai övet az 5.6 ábra szerit határozotta pozitív Faye-aomáliák jellemzik, de általába pozitív Faye-aomáliák tapasztalhatók az óceáközépi-hátságok meté is. A jeleség okával a későbbiekbe foglalkozuk. A agy regioális aomáliák közül ige érdekes pl. a skadiáviai, a kaadai és az észak-szibériai egatív izosztatikus aomáliák magyarázata. Ezeke a területeke a legutóbbi jégkorszak sorá vastag jégtakaró volt. Eek hatására a kéreg erőse beyomódott a felső köpey ayagába és a jégtakaró elolvadása utá az 5.5 ábra alsó jobb oldali részé bemutatott helyzet állt elő. Az izosztázia törvéye szerit az egyesúly helyreállásához ezekek a területekek emelkedi kell - amit geodéziai mérésekkel sikerült is kimutati [67]. 5.6 ábra. RA (973) Faye-aomália térképe [80] 87