MÉRÉSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE JÁNOSSY LAJOS SZERINT

Átírás

1 lehet most eltekte, mert a dötô megfgyelések a magas hômérsékletek tartomáyába estek. Vszot 600 C felett a kotuum háttér megôtt. Ezt köyyû volt meghatároz, mert az S lemez helyére rakott kôsólap a méredô sugárzást kszûrte, a zavarót átegedte. Ugyacsak verseybe tartotta a (17), (18) és (19) formulákat a kvarc maradék sugárzás hullámhossza végzett mérés. Bár a kvarchoz s két hullámhossz tartozk, de ezek olya közel fekszeek egymáshoz, hogy ettôl el lehet tekte. A 8,5 μm beleesk abba a tartomáyba, ameddg krtkus mérésekbe Lummer és Prgshem elmetek [15]. Marad tehát Plack, Raylegh és Lummer Jahke. Az utóbbt Rubes és Kurlbaum azzal ejtk el, hogy formulájuk túl boyolult. Raylegh formulájáról azt állítják, hogy Lummer és Prgshem kmutatták, hogy rövd hullámhosszakál em haszálható, am valóba gaz. Hvatkozást sajos em közöltek, az általam smert Lummer Prgshem ckkekbe em találtam. Utócsatározások Résztvevôk: Pasche [23, 24] és a Lummer Jahke páros [25, 26]. Az egymásak látszólag elletmodó eredméyeket publkáló szerzôk között folytatott vta olykor szubjektívek tûô, és kétségkívül szubjektív díttatású érvelést s tartalmaz, amek smertetésétôl eltektek. Ám a jó fzkus, ha kokrét kérdésekrôl va szó, fzkus marad. Pasche új fekete testeket épít, és kmutatja, hogy magas λt értékekél az zokromáták már em egyeesek [23]. Lummer és Prgshem gyakorlat célokra (hômérsékletmérésre) s fel kívája haszál az új törvéyt, és ajálja Pasche és Waer fotometra eljárását [26, 27]. Ezek utá a fzkusok közül, Jeas kvételével, talá már sek sem vota kétségbe Rubes és Kurlbaum méréséek helyességét. Irodalom 19. H. Rubes, E. F. Nchols: Versuche mt Wärmestrahle vo grosser Welleläge. Aale der Physk 296 (1897) H. Rubes: Über de Reststrahle des Flussspathes. Aale der Physk 305 (1899) H. Rubes, F. Kurlbaum: Awedug der Methode der Reststrahle zur Prüfug des Strahlugsgesetzes. Aale der Physk 309 (1901) M. Plack: Über ee Verbesserug der We sche Spektrahlglechug. Verhadluge der Deutsche Physkalsche Gesellschaft 2 (1900) F. Pasche: Ueber das Strahlusgesetzes des Schwarze Körpers. Aale der Physk 4 (1901) F. Pasche: Ueber das Strahlugsgesetzes des Schwarze Körpers, etgegug auf Ausführuge der Herre O. Lummer ud E. Prgshem. Aale der Physk 311 (1901) O. Lummer, E. Prgshem: Krtsches zur Schwarze Strahlug. Aale der Physk 311 (1901) O. Lummer, E. Prgshem: Temperaturbestmmug hoch erhtzter Körper (Glühlampe, usw.) auf bolometrsche ud photometrsche Wege. Verhadluge der Deutsche Physkalsche Gesellschaft 3 (1901) O. Lummer, E. Prgshem: De Strahlugstheoretsche Temperaturskala ud hre Verwrklchug bs 2300 abs. Verhadluge der Deutsche Physkalsche Gesellschaft 5 (1903) MÉRÉSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE JÁNOSSY LAJOS SZERINT Szatmáry Zoltá BME Nukleárs Techka Itézet Jáossy Lajos szerteágazó tudomáyos tevékeységébe fotos terület a mérés eredméyek kértékelése. Errôl szól egyk kézköyve [1], amelyet már megjeleéséek évébe lefordítottak oroszra. Késôbb megjelet a magyar kadása s émleg szûkített, émleg bôvített tartalommal. A köyvet számos ország kutató forgatták és alkalmazták saját mérések kértékelésére többyre eredméyese. Emlékezetes számomra, amkor egy reaktorfzka tárgyú, emzetköz yár skola kávészüetébe jugoszláv résztvevôk a szememre háyták, hogy beprogramozták Jáossy képletet, de az terácó sehogya sem akart kovergál. Ez egy évvel a köyv megjeleése utá, tehát 1966-ba törtét. A magyar valószíûségelmélet skola híreve alapjá a beszélgetés résztvevô természetesek vették, hogy egy magyarak betéve kellee smere emcsak Jáossy köyvét, haem a több vlághírû matematkus (Réy, Prékopa stb.) mukásságát s. Akkor még túlságosa fatal voltam ahhoz, hogy erre a szemreháyásra megadjam a helyes választ. É ugyas azt válaszoltam, hogy feltehetôe rosszul programozták be a képleteket, am gaz lehetett, de ma úgy látom: másról volt szó. Késôbb ugyas felsmertem, hogy helyese beprogramozott helyes képletek még em feltétleül elégségesek agy tömegû mérés eredméy kezelésére. A számítógép alkalmazásokak saját problémák vaak, amelyek megoldásához szté sajátos módszerekre va szükség. Nem sokkal halála elôtt tapasztaltam, hogy maga Jáossy s ráérzett mderre: 1978-ba a KFKI egyk gazgatótaács ülésé rosszkedvûe megjegyezte, hogy az ô köyve éppe akkor jelet meg, amkor a számítógépek elterjedtek, így ô már em terjeszthette k mukásságát a számítógépek haszálatára. Az gazgatótaács akkor elöke (Pál Léárd) megyugtatta, hogy a Jáossy-skola létezk és éppe ebbe az ráyba fejlôdk, ézze meg például az é dol- 112 FIZIKAI SZEMLE 2013 / 4

2 gozatamat. Örömmel adtam át a reaktorfzkába általáosa haszált RFIT program elméletérôl akkor már létezô dolgozatamat. Azutá csak egyszer találkoztam vele, amkor jelezte, hogy olvasásukkal még em végzett, de rövdese jeletkezk. Nem sokkal késôbb sajos elhuyt, és csak remélhetem, hogy mukámat támogatta vola, ha tudtuk vola eszmét cserél róla. Ez utá a kssé személyes bevezetô utá ézzük meg tartalmlag, melyek voltak Jáossy legfotosabb godolata és eredméye, lletve ezek hogya élek tovább apjakba. A legfotosabb godolat magától értetôdôek tûk: a mérések eredméyet a matematka statsztka tételeek szabatos alkalmazásával kell kértékel, am elsôsorba a kofdecatartomáy megszerkesztésére (közap evé: a hbaszámításra) voatkozk. Sok laboratórumot smerek, ahol ugyaezt a Jáossy által elvárt korrektséggel végzk, de jártam egy vlágszte s vezetôek számító laboratórumba, ahol így godolkodtak: a mérés hbá belül em egyezek meg a számított és mért adatok, ezért mde mért adat hbáját megöveljük 1%-kal. Így azutá egyezés lett, de akkor mek mértük? ezt már é teszem hozzá. Sajos a mérés adatok kértékelése olyaak tûk, mt a labdarúgás vagy a gyermekevelés: soka azt képzelk, hogy eleve érteek hozzá. Jáossy köyve eek csattaós cáfolata: mde, általa vzsgált probléma esetébe kellô fgyelmet fordít a szórások, lletve a kovaracamátrx becslésére. Az smeretle paraméterek becslésére kozekvese a maxmum lkelhood módszert alkalmazta. Maga a módszer hosszú fejlôdés eredméye. A témakörbe kevéssé járatos olvasók számára talá em lesz haszotala, ha rövde összefoglaljuk a törtéelm fejlôdést. Abba az értelembe, ahogy azt ma értjük, a 18. század végé merültek fel méréskértékelés problémák. Nevezetes P. S. Laplace számítása (1786), amellyel a Föld alakját meghatározta. Már akkor tudták, hogy a Föld em gömb alakú, haem egy forgás ellpszoddal közelíthetô. Az ellpszod paraméteret méréssel határozták meg. Tektsük az 1. ábrát A Föld keresztmetszetét mutatja (erôse torzítva), amely a feltevés szert ellpszs. Külöbözô földrajz helyeke megmérték a délkör 1 középpot szöghöz tartozó darabjáak M hosszát. A mérés helyét az l szélesség körrel jellemezték. Geometra megfotolásokkal levezette, hogy M és l között a M a b s 2 l a bx 1. ábra 1. táblázat A Föld alakjára voatkozó mérések földrajz hely l ( ) x s 2 l M (dupla öl) Peru 0,000 0, ,85 Jóreméység foka 37,0093 0, ,65 Pesylvaa 43,5556 0, ,60 Olaszország 47,7963 0, ,55 Fracaország 51,3327 0, ,28 Ausztra 53,0926 0, ,30 Lappföld 73,7037 0, ,25 1 dupla öl 2 1,949 m összefüggés áll fe, ahol a és b az ellpszs alakjától függô smeretle álladók. (a és b em az ellpszs féltegelyeek a hossza, de azokkal smert összefüggésbe áll. Ha tehát meghatározzuk a -t és b-t, a féltegelyeket s kszámítjuk.) A mérés eredméyek az 1. táblázatba találhatók. Az eredet jelöléseket és egységeket az érdekesség kedvéért hagytuk meg: a hosszúságot dupla öl egységekbe, a szögeket olya fokba mérték, amely szert a teljes szög 400. Laplace a következôképpe okoskodott. Tektve, hogy em lehet a és b értékét úgy megválaszta, hogy a képlet mde mérésre potosa érvéyes legye, a képlet hbáját a lehetô legksebb értékre próbálta leszoríta. Adott a és b mellett meghatározta az M a b s 2 l hbatagok maxmumát, majd megkereste a és b olya értéket, amelyek mellett ez a maxmum a legksebb. A moder termológa szert ezt mmax becslések evezzük. Laplace eredméye a következô volt: a 25525,1 dupla öl és b 308,2 dupla öl. Laplace-ak még ad hoc módszereket kellett alkalmaza, de Neuma Jáos játékelméletébe apjakra már közsmert módszereket dolgoztak k a mmax problémák megoldására. Eredetleg A. M. Legedre javasolta a legksebb égyzetek módszerét (1806). Javaslatát az 1. táblázatba szereplô adatokra voatkozóa fogalmazzuk meg. Ha az egyes mérések megkülöböztetésére bevezetjük az dexet, akkor szerte a M 1 Q 7 M a bx 2 l égyzetösszeg mmumát kell keres. C. F. Gauss többek között csllagászat és geodéza megfgyelések kértékelésével foglalkozott be ô vetette meg a legksebb égyzetek módszeréek az alapjat. A ma apg haszáljuk az általa bevezetett fogalmakat és jelöléseket. SZATMÁRY ZOLTÁN: MÉRÉSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE JÁNOSSY LAJOS SZERINT 113

3 A 19. század végé már alkalmazták az úgyevezett L 1 -ormába vett mmáls eltérések módszerét, amely szert a Q 1 7 M a bx összeg mmumát keressük az a és b paraméterek függvéyébe. A felmerülô matematka ehézségek matt a legksebb égyzetek módszere, de fôleg a maxmum lkelhood módszer (lásd alább) háttérbe szorította ezt a módszert. Idôközbe a gazdaság optmalzálás céljara kfejlôdött a leárs programozás (szmplex módszer), amelyre matematka szempotból vsszavezethetô az L 1 -orma mmalzálása. Mutá erre közhaszú programok jeletek meg, a matematkusok újra ajálják eek haszálatát s, ugyas a módszerek jeletôs elôye vaak. Dötô áttörést eredméyezett A. Fsher mukássága a 20. század tízes évebe. Az ô evéhez fûzôdk a ma általáosa alkalmazott maxmum lkelhood módszer. Eszert a keresett paraméterek becsült értékét úgy választjuk meg, hogy azok mellett a kapott kísérlet eredméyek a legvalószíûbbek legyeek. A módszer elôye, hogy matematkalag jól kezelhetô formulákra vezet, továbbá hogy a becslések kedvezô matematka statsztka tulajdosága vaak. Legfotosabb tulajdoságát a paraméterek becslésébe alapvetô Cramér Rao-egyelôtleség segítségével tudjuk megvlágíta: regulárs becslés problémák (lásd alább) esetébe a becsült paraméterek szórása em lehet egy alsó határál ksebb, bármlye módszert haszáluk s a becslés probléma megoldására. Nos, bebzoyították, hogy a maxmum lkelhood becslések szórása az alsó határhoz tart, amkor a mérés adatok száma mde határo túl ô. Vaak esetek, amelyekbe a szórások már véges számú adatok eseté s mmálsak. Eze a poto vsszatérük Jáossyhoz. Mvel sokat foglalkozott kozmkus sugárzással és elem részekkel, köyvéek példá lye jellegûek: a részecskékek fotoemulzó segítségével való megfgyelésével és a részecskeszámlálással kapcsolatosak. Ha a mérés eredméyek Gauss-eloszlásúak, a maxmum lkelhood módszer átmegy a legksebb égyzetek Gauss óta bevett módszerébe, de az említett mérések esetébe kább a Posso-eloszlás az érvéyes, tehát em volt más választása, mt a maxmum lkelhood módszer. 1 A dolgot egy kokrét mérés példájá mutatjuk be részletese. Tegyük fel, hogy egy részecskedetektorral egy radoaktív ayagba törtéô bomlások számát mérjük a t dô függvéyébe. A t dôpotba dô alatt mért beütésszám legye, amelyek várható értéke 1 Csak mellékese jegyezzük meg, hogy ebbe az esetbe a maxmum lkelhood módszer egyelete matematkalag ugyaolya alakúak, mt a legksebb égyzetek módszeréek egyelete, tehát mdkét módszer esetébe ugyaazt a számítógép programot alkalmazhatjuk. Mdez persze em ksebbít Jáossy érdemet, ak mt már említettük em met el a számítógép megvalósításg. M a 1 e a 2 t a 3 e a 4 t a 5 f a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,,2,. Itt feltettük, hogy a vzsgált ayag két radoaktív zotópot tartalmaz, amelyek bomlás álladója a 2 és a 4 ; az egyes zotópok meysége az a 1 és a 3 paraméterekkel aráyos; végül az a 5 paraméter a mérôlaboratórum háttere. Az f függvéyt llesztôfüggvéyek evezzük, és az dôegységre voatkozó beütésszám várható értékét adja meg a t dôpotba. A maxmum lkelhood módszer szert fel kell íruk aak valószíûségét, hogy ebbe a mérésbe az N 1, N 2, N beütésszám-együttest kapjuk eredméyül. A Possoeloszlás szert az -edk mérésbe P e f f valószíûséggel kapjuk az beütésszámot. Mvel az egyes mérések egymástól függetleek, az együttes valószíûség ezek szorzata: L N 1, N 2,,N ; a 1,,a 5 Ezt a függvéyt lkelhood-függvéyek evezzük (erre utal az L jelölés). A maxmum lkelhood módszer értelmébe az smeretle paramétereket úgy kell megválaszta, hogy L maxmáls legye. Matematkalag ez azt jelet, hogy meg kell olda a e f ll a k 0, k 1,2,3,4,5 N f. egyeletredszert. Mvel traszcedes egyeleteket kaptuk, megoldásuk csak umerkus módszerekkel képzelhetô el. Mt a legtöbb kísérlet fzkus, Jáossy s többször írt fel ehhez hasoló egyeletredszereket (persze más llesztôfüggvéyekkel), sôt megoldásukra javasolt terácós eljárásokat s. Mvel tt már csak számítógépek haszálata képzelhetô el, az terácók hatékoyságát mt már megbeszéltük em tudta vzsgál. A fet választott ötparaméteres llesztôfüggvéy olyasm lehet, amellyel fet említett jugoszláv kollégám próbálkoztak. Nos, az ehhez hasoló függvéyek a kísérlet fzkusok rémálma közé tartozak. Ez külööse akkor gaz, amkor az a 2 és a 4 paraméterek alg külöbözek egymástól. Ilyekor ugyas a kovergecát csak agyo szerecsése megválasztott kezdôértékkel skerül elér. Mutá az terácó kovergált, becslést kapuk a keresett paraméterekre, de ezzel párhuzamosa becsülük kell a kapott paraméterbecslések szórását s, mvel ez határozza meg a végeredméy statsztka bzoytalaságát. A kezdôértékek megválasztása csak az egyk umerkus probléma, a számítógép programba taácsos az terácót stablzál. A számítógépek haszá- 114 FIZIKAI SZEMLE 2013 / 4

4 latáak vaak más következméye s. Ha ugyas számítógépet haszáluk, jeletôse megô a kértékelhetô adatok meysége külööse a korszerû számítógépek teljesítméye mellett. Például a ehéz atommagok ütközésekor egyetle eseméy mtegy 20 Mbyte adatot eredméyez, amelyeket μs-ok alatt kell eltárol. Ilye feltételek mellett a kísérletezô általába em s látja a prmer adatokat, legfeljebb a kértékelés végeredméyét smer meg. Ha elég körültektô, készíttet a szoftverével éháy grafkot, de ez em változtat azo, hogy a fzka alapfeltevések (például az llesztôfüggvéy) helyességéek vzsgálata, a kszóró adatok kszûrése és hasoló feladatok fejlett statsztka módszerek kdolgozását géylk. Jáossy dejébe ezek másképpe merültek fel, mt maapság. A paraméterek becsléséek szabatos végrehajtásá túlmeôe Jáossy egy tovább kérdéssel s foglalkozott. Bár a maxmum lkelhood módszer ömagába bztosítja, hogy a becsült paraméterek szórása a lehetô legksebb legye, jogos felvet azt a kérdést, lehet-e a mérések körülméyeek alkalmas megválasztásával a Cramér Rao szert alsó határt csökkete. Ez a kísérletek tervezéséek problémája, amellyel Jáossy kívül számos szerzô foglalkozk. Eek elleére eze a területe átütô eredméyrôl még em skerült olvasom. Befejezésül még két példát hozuk, amelyek jól llusztrálják Jáossy godolkodását. Az egyk az [1] kézköyv magyar változatába található, a máskat személyese tôle hallottam. A részecskeszámlálásba óhatatla fellép a holtdô: egy részecske megszámlálása utá a számlálóberedezés egy τ deg em tud tovább részecskéket megszámlál. A holtdô hatását az alább példával vlágítjuk meg. Ha dô alatt részecskét regsztráltuk, akkor a számlálóberedezés τ deg halott volt, tehát az effektív számlálás dô vagys holtdô élkül N eff T eff τ, τ τ ν részecskét számláltuk vola meg dôegység alatt. Az tt szereplô ν téyezô a holtdô-korrekcós téyezô, amelyet gyakra alkalmazuk a ukleárs mérések gyakorlatába. 2 Nem trváls, de be lehet lát, hogy sem, sem N eff em követ a Posso-eloszlást, haem eloszlásuk valam más. Amíg tehát em számítjuk k ezt az eloszlást, em alkalmazhatjuk a maxmum lkelhood módszert, legfeljebb a legksebb égyzetek módszeréek valamlye közelítô változatára vagyuk utalva. Jáossy vezette le, hogy eloszlása P e τ f τ f am lehetôvé tesz a maxmum lkelhood módszer korrekt alkalmazását. A tapasztalat mutatja, hogy a holtdô okozta számlálás veszteségek drámaa tudják befolyásol az a 2 és a 4 paraméterek becsült értékét ha a fet példa mellett maraduk. Nem mdegy tehát, hogya vesszük fgyelembe ezeket a veszteségeket: a Jáossy szert korrekt módo vagy a holtdô-korrekcós téyezô alapjá valamlye heursztkus módszerrel. A másk példák az elem részek megfgyelésére voatkozk. Tegyük fel, hogy valamlye részecske mpulzusát szereték megmér, de a detektorba (fotoemulzóba, ködkamrába stb.) kapott yomak csak egy síkra való vetületét tudjuk megfgyel. 3 Mvel a részecske mpulzusáak ráy szert eloszlása zotróp, az -edk megfgyelt részecske p vetülete egyeletes eloszlású a [0, p ] tervallumba, ahol p a részecske keresett mpulzusa. Mdeek elôtt tsztázzuk, hogy eze mérés kértékelése em regulárs becslés probléma. Regulársak ugyas azokat a méréseket evezzük, amelyek lkelhood-függvéye a mért meységekek olya halmazá külöbözk zérustól, amely függetle a becsült paraméterektôl. Az adott esetbe a p vetület lkelhood-függvéye csak a [0, p] tervallumba külöbözk zérustól, azo kívül vszot zérus. Mvel tt éppe a p meységet kívájuk becsül, a probléma em regulárs. Ha ezt fgyelme kívül hagyjuk, p becslésére a regulárs problémákál megszokott átlagot haszáljuk: p am regulárs becslések esetébe fel szokott merül. Segítségével a p 2p becslést kapjuk, amelyek várható értéke p. Meg lehet mutat, hogy szórása p(3 ) 1/2. Itt vsszakaptuk a regulárs becslésekél megszokott eredméyt: a becsült paraméter szórása 1/2 redbe tart zérushoz. Mvel azoba a probléma em regulárs, esetleg eél léyegese jobb becslést s lehet talál. Vegyük ezért a mért vetületek közül a legagyobbat: p max. Meg lehet mutat, hogy várható értéke vagys p, M p max p 1, p 1 p max a p meység torzítatla becslése., 2 τ értéke Jáossy dejébe 100 μs agyságredû volt, am korukba a μs-os tartomáyba csökket. Így vagy úgy, de a kísérlet fzkusok hajlamosak túlfeszíte a húrt: ν jellegzetes értéke 1,05 1,10. 3 A moder kísérlet techkával az mpulzus mdhárom kompoesét meg tudjuk mér. Így az alábbakak csak módszerta jeletôségük va. SZATMÁRY ZOLTÁN: MÉRÉSI EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE JÁNOSSY LAJOS SZERINT 115

5 Szórására a p ( 2) Levohatjuk tehát azt a következtetést, hogy em árt a lkelhood-függvéy természetét alaposa megvzsgál, melôtt mérés eredméyek kértékelésébe fogák. eredméyt kapjuk. Elég agy -re tehát a szórás 1/ redbe tart zérushoz, am léyegese gyorsabb, mt az átlago alapuló becslés esetébe. Irodalom 1. L. Jáossy: Theory ad practce of the evaluato of measuremets. Oxford Uversty Press, NAP-TÍPUSÚ OSZCILLÁCIÓK TENGERE Molár László MTA CSFK Kokoly Thege Mklós Csllagászat Itézet Még a 2012 yará megredezett Kepler asztroszezmológa koferecáról, Balatoalmádból maradt meg az emlékembe két megjegyzés, amelyek jól jellemzk, hogy mkét formálja át az ûrtávcsô az exobolygókról és csllagokról alkotott képüket. Natale Batalha, a msszó tudomáyos vezetôhelyettese épp a lakhatóság zóába esô bolygójelölteket mutatta be, amkor valak megjegyezte ekem: Ez tszta Star Trek Az a helyzet, hogy cse kostas csllaguk. ez pedg egy kérdezz-felelek sorá hagzott el, majd valak potosított, hogy a több mt százötveezer csllagból azért akad egy-kétszáz specáls, Am szíképtípusú (erôs fémvoalakat mutató, a Napál valamvel féyesebb) csllag, amelyek a Kepler fotometra potossága mellett sem mutatak féyváltozásokat. A agyszerû eredméyek elsmeréséül a NASA meg s hosszabbította a küldetést 2+2 évvel 2016-g, egy 2014-be esedékes felülvzsgálattal. Az elsôdleges msszó 2012 ovemberébe véget ért, de az ûrtávcsô ge jó állapotba va. Két komolyabb meghbásodás törtét csak: 42 CCD detektora közül kettô 2010 jauárja óta em mûködk, 2012 júlusába pedg az egyk groszkópja met tökre. Utóbb jelet agyobb veszélyt a msszóra ézve, mvel így megszût a redudaca, a maradék háromra mdeképpe szükség va, hogy precíze a kívát ráyba tartsák a ûrtávcsövet. egyed csllagok, külööse exobolygók ayacsllagaak potos fzka paramétere váltak meghatározhatóvá. A fedésbôl például csak a csllag és bolygó sugaraak aráyát tudjuk meghatároz, de az oszcllácók modellezésével az abszolút geometra méretet s megkapjuk a csllagra, és így a bolygóra s. Ha a tömegeket s meg tudjuk határoz valamlye módszerrel (például radálssebesség-méréssel, vagy több bolygó eseté a kölcsöös gravtácós hatásokból), akkor adódk a bolygó sûrûsége, am komoly megszorítás a lehetséges összetételre. Így törtét például a Kepler elsô kôzetbolygója, a Kepler-10b eseté s [3]. Az asztroszezmológa modellllesztés másk szép példája a 16 Cyg A és B kettôscsllag. A kettôs mdkét tagja régóta smert Nap-aalóg: sok tektetbe, bár em mde paraméterébe hasolít a Napra (1. ábra). Eze csllagok összehasolítása a m közpot égtestükkel lehetôvé tesz, hogy a Napot a Tejútredszer egyk csllagakét s elhelyezhessük a több között. A Kepler elsô három hóapy mérésebôl 46, Új ablak a csllagokra Szabó Róbert és Derekas Alz 2011-es ckkükbe már bemutatták, hogy mlye rezgések alakulhatak k csllagokba [1]. Míg éháy évvel ezelôttg mdöszsze tucaty csllagba skerült Nap-típusú oszcllácókat, azaz lecsegô, de a kovektív mozgások által folyamatosa gerjesztôdô rezgések kavalkádját detektál, addg a Kepler elsô hóapja alatt ez a szám ötszázra ôtt [2]. A csllagok oszcllácós spektrumaak vzsgálata számos lehetôséget ytott: egyrészt 116 FIZIKAI SZEMLE 2013 / 4